Чему равна диагональ параллелепипеда. Определения параллелепипеда

Параллелепипед – это геометрическая фигура, все 6 граней которой представляют собой параллелограммы.

В зависимости от вида этих параллелограммов различают следующие виды параллелепипеда:

• прямой;
• наклонный;
• прямоугольный.

Прямым параллелепипедом называют четырехугольную призму, ребра которой составляют с плоскостью основания угол 90 °.

Прямоугольным параллелепипедом называют четырехугольную призму, все грани которой являются прямоугольниками. Куб есть разновидность четырехугольной призмы, у которой все грани и ребра равны между собой.

Особенности фигуры предопределяют ее свойства. К ним относят 4 следующих утверждений:

Запомнить все приведенные свойства просто, они легки для понимания и выводятся логически исходя из вида и особенностей геометрического тела. Однако, незамысловатые утверждения могут быть невероятно полезны при решении типовых заданий ЕГЭ и позволят сэкономить время необходимое для прохождения теста.

Формулы параллелепипеда

Для поиска ответов на поставленную задачу недостаточно знать только свойства фигуры. Также могут понадобиться и некоторые формулы для нахождения площади и объема геометрического тела.

Площадь оснований находится также как и соответствующий показатель параллелограмма или прямоугольника. Выбирать основание параллелограмма можно самостоятельно. Как правило, при решении задач проще работать с призмой, в основании которой лежит прямоугольник.

Формула нахождения боковой поверхности параллелепипеда, также может понадобиться в тестовых заданиях.

Примеры решения типовых заданий ЕГЭ

Задание 1.

Дано : прямоугольный параллелепипед с измерениями 3, 4 и 12 см.
Необходимо найти длину одной из главных диагоналей фигуры.
Решение : Любое решение геометрической задачи должно начинаться с построения правильного и четкого чертежа, на котором будет обозначено «дано» и искомая величина. На рисунке ниже приведен пример правильного оформления условий задания.

Рассмотрев сделанный рисунок и вспомнив все свойства геометрического тела, приходим к единственно верному способу решения. Применив 4 свойство параллелепипеда, получим следующее выражение:

После несложных вычислений получим выражение b2=169, следовательно, b=13. Ответ задания найден, на его поиск и чертеж необходимо потратить не более 5 минут.

Задание 2.

Дано : наклонный параллелепипед с боковым ребром 10 см, прямоугольник KLNM с измерениями 5 и 7 см, являющийся сечением фигуры параллельным указанному ребру.
Необходимо найти площадь боковой поверхности четырехугольной призмы.
Решение : Сначала необходимо зарисовать дано.

Для решения данного задания необходимо применить смекалку. Из рисунка видно, что стороны KL и AD – неравны, как и пара ML и DC. Однако, периметры данных параллелограммов очевидно равны.

Следовательно, боковая площадь фигуры будет равна площади сечения помноженной на ребро AA1, так как по условию ребро перпендикулярно сечению. Ответ: 240 см2.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Часто ученики возмущенно спрашивают: «Как мне в жизни это пригодится?». На любую тему каждого предмета. Не становится исключением и тема про объем параллелепипеда. И вот здесь как раз можно сказать: «Пригодится».

Как, например, узнать, поместится ли в почтовую коробку посылка? Конечно, можно методом проб и ошибок выбрать подходящую. А если такой возможности нет? Тогда на выручку придут вычисления. Зная вместимость коробки, можно рассчитать объем посылки (хотя бы приблизительно) и ответить на поставленный вопрос.

Параллелепипед и его виды

Если дословно перевести его название с древнегреческого, то получится, что это фигура, состоящая из параллельных плоскостей. Существуют такие равносильные определения параллелепипеда:

• призма с основанием в виде параллелограмма;
• многогранник, каждая грань которого - параллелограмм.

Его виды выделяются в зависимости от того, какая фигура лежит в его основании и как направлены боковые ребра. В общем случае говорят о наклонном параллелепипеде , у которого основание и все грани — параллелограммы. Если у предыдущего вида боковые грани станут прямоугольниками, то его нужно будет называть уже прямым . А у прямоугольного и основание тоже имеет углы по 90º.

Причем последний в геометрии стараются изображать так, чтобы было заметно, что все ребра параллельны. Здесь, кстати, наблюдается основное отличие математиков от художников. Последним важно передать тело с соблюдением закона перспективы. И в этом случае параллельность ребер совсем незаметна.

О введенных обозначениях

В приведенных ниже формулах справедливы обозначения, указанные в таблице.

Формулы для наклонного параллелепипеда

Первая и вторая для площадей:

Третья для того, чтобы вычислить объем параллелепипеда:

Так как основание - параллелограмм, то для расчета его площади нужно будет воспользоваться соответствующими выражениями.

Формулы для прямоугольного параллелепипеда

Аналогично первому пункту - две формулы для площадей:

И еще одна для объема:

Первая задача

Условие. Дан прямоугольный параллелепипед, объем которого требуется найти. Известна диагональ — 18 см - и то, что она образует углы в 30 и 45 градусов с плоскостью боковой грани и боковым ребром соответственно.

Решение. Чтобы ответить на вопрос задачи, потребуется узнать все стороны в трех прямоугольных треугольниках. Они дадут необходимые значения ребер, по которым нужно сосчитать объем.

Сначала нужно выяснить, где находится угол в 30º. Для этого нужно провести диагональ боковой грани из той же вершины, откуда чертилась главная диагональ параллелограмма. Угол между ними и будет тем, что нужен.

Первый треугольник, который даст одно из значений сторон основания, будет следующим. В нем содержатся искомая сторона и две проведенные диагонали. Он прямоугольный. Теперь потребуется воспользоваться отношением противолежащего катета (стороны основания) и гипотенузы (диагонали). Оно равно синусу 30º. То есть неизвестная сторона основания будет определяться как диагональ, умноженная на синус 30º или ½. Пусть она будет обозначена буквой «а».

Вторым будет треугольник, содержащий известную диагональ и ребро, с которым она образует 45º. Он тоже прямоугольный, и можно опять воспользоваться отношением катета к гипотенузе. Другими словами, бокового ребра к диагонали. Оно равно косинусу 45º. То есть «с» вычисляется как произведение диагонали на косинус 45º.

с = 18 * 1/√2 = 9 √2 (см).

В этом же треугольнике требуется найти другой катет. Это необходимо для того, чтобы потом сосчитать третью неизвестную - «в». Пусть она будет обозначена буквой «х». Ее легко вычислить по теореме Пифагора:

х = √(18 2 - (9√2) 2) = 9√2 (см).

Теперь нужно рассмотреть еще один прямоугольный треугольник. Он содержит уже известные стороны «с», «х» и ту, что нужно сосчитать, «в»:

в = √((9√2) 2 - 9 2 = 9 (см).

Все три величины известны. Можно воспользоваться формулой для объема и сосчитать его:

V = 9 * 9 * 9√2 = 729√2 (см 3).

Ответ: объем параллелепипеда равен 729√2 см 3 .

Вторая задача

Условие. Требуется найти объем параллелепипеда. В нем известны стороны параллелограмма, который лежит в основании, 3 и 6 см, а также его острый угол — 45º. Боковое ребро имеет наклон к основанию в 30º и равно 4 см.

Решение. Для ответа на вопрос задачи нужно взять формулу, которая была записана для объема наклонного параллелепипеда. Но в ней неизвестны обе величины.

Площадь основания, то есть параллелограмма, будет определена по формуле, в которой нужно перемножить известные стороны и синус острого угла между ними.

S о = 3 * 6 sin 45º = 18 * (√2)/2 = 9 √2 (см 2).

Вторая неизвестная величина — это высота. Ее можно провести из любой из четырех вершин над основанием. Ее найти можно из прямоугольного треугольника, в котором высота является катетом, а боковое ребро — гипотенузой. При этом угол в 30º лежит напротив неизвестной высоты. Значит, можно воспользоваться отношением катета к гипотенузе.

н = 4 * sin 30º = 4 * 1/2 = 2.

Теперь все значения известны и можно вычислить объем:

V = 9 √2 * 2 = 18 √2 (см 3).

Ответ: объем равен 18 √2 см 3 .

Третья задача

Условие. Найти объем параллелепипеда, если известно, что он прямой. Стороны его основания образуют параллелограмм и равны 2 и 3 см. Острый угол между ними 60º. Меньшая диагональ параллелепипеда равна большей диагонали основания.

Решение. Для того чтобы узнать объем параллелепипеда, воспользуемся формулой с площадью основания и высотой. Обе величины неизвестны, но их несложно вычислить. Первая из них высота.

Поскольку меньшая диагональ параллелепипеда совпадает по размеру с большей основания, то их можно обозначить одной буквой d. Больший угол параллелограмма равен 120º, поскольку с острым он образует 180º. Пусть вторая диагональ основания будет обозначена буквой «х». Теперь для двух диагоналей основания можно записать теоремы косинусов :

d 2 = а 2 + в 2 - 2ав cos 120º,

х 2 = а 2 + в 2 - 2ав cos 60º.

Находить значения без квадратов не имеет смысла, так как потом они будут снова возведены во вторую степень. После подстановки данных получается:

d 2 = 2 2 + 3 2 - 2 * 2 * 3 cos 120º = 4 + 9 + 12 * ½ = 19,

х 2 = а 2 + в 2 - 2ав cos 60º = 4 + 9 - 12 * ½ = 7.

Теперь высота, она же боковое ребро параллелепипеда, окажется катетом в треугольнике. Гипотенузой будет известная диагональ тела, а вторым катетом — «х». Можно записать Теорему Пифагора:

н 2 = d 2 - х 2 = 19 - 7 = 12.

Отсюда: н = √12 = 2√3 (см).

Теперь вторая неизвестная величина — площадь основания. Ее можно сосчитать по формуле, упомянутой во второй задаче.

S о = 2 * 3 sin 60º = 6 * √3/2 = 3√3 (см 2).

Объединив все в формулу объема, получаем:

V = 3√3 * 2√3 = 18 (см 3).

Ответ: V = 18 см 3 .

Четвертая задача

Условие. Требуется узнать объем параллелепипеда, отвечающего таким условиям: основание — квадрат со стороной 5 см; боковые грани являются ромбами; одна из вершин, находящихся над основанием, равноудалена от всех вершин, лежащих в основании.

Решение. Сначала нужно разобраться с условием. С первым пунктом про квадрат вопросов нет. Второй, про ромбы, дает понять, что параллелепипед наклонный. Причем все его ребра равны 5 см, поскольку стороны у ромба одинаковые. А из третьего становится ясно, что три диагонали, проведенные из нее, равны. Это две, которые лежат на боковых гранях, а последняя внутри параллелепипеда. И эти диагонали равны ребру, то есть тоже имеют длину 5 см.

Для определения объема будет нужна формула, записанная для наклонного параллелепипеда. В ней опять нет известных величин. Однако площадь основания вычислить легко, потому что это квадрат.

S о = 5 2 = 25 (см 2).

Немного сложнее обстоит дело с высотой. Она будет таковой в трех фигурах: параллелепипеде, четырехугольной пирамиде и равнобедренном треугольнике. Последним обстоятельством и нужно воспользоваться.

Поскольку она высота, то является катетом в прямоугольном треугольнике. Гипотенузой в нем будет известное ребро, а второй катет равен половине диагонали квадрата (высота - она же и медиана). А диагональ основания найти просто:

d = √(2 * 5 2) = 5√2 (см).

Высоту нужно будет сосчитать как разность второй степени ребра и квадрата половины диагонали и не забыть потом извлечь квадратный корень :

н = √ (5 2 - (5/2 * √2) 2) = √(25 - 25/2) = √(25/2) = 2,5 √2 (см).

V = 25 * 2,5 √2 = 62,5 √2 (см 3).

Ответ: 62,5 √2 (см 3).

Теорема. Во всяком параллелепипеде противоположные грани равны и параллельны.

Так, грани (рис.) BB 1 С 1 С и AA 1 D 1 D параллельны, потому, что две пересекающиеся прямые BB 1 и B 1 С 1 одной грани параллельны двум пересекающимся прямым AA 1 и A 1 D 1 другой. Эти грани и равны, так как B 1 С 1 =A 1 D 1 , B 1 B=A 1 A (как противоположные стороны параллелограммов) и ∠BB 1 С 1 = ∠AA 1 D 1 .

Теорема. Во всяком параллелепипеде все четыре диагонали пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.

Возьмем (рис.) в параллелепипеде какие-нибудь две диагонали, например, AС 1 и DB 1 , и проведем прямые AB 1 и DС 1 .

Так как ребра AD и B 1 С 1 соответственно равны и параллельны ребру BС, то они равны и параллельны между собой.

Вследствие этого фигура ADС 1 B 1 есть параллелограмм, в котором С 1 A и DB 1 - диагонали, а в параллелограмме диагонали пересекаются пополам.

Это доказательство можно повторить о каждых двух диагоналях.

Поэтому диагональ AC 1 пересекается с BD 1 пополам, диагональ BD 1 с A 1 С пополам.

Таким образом, все диагонали пересекаются пополам и, следовательно, в одной точке.

Теорема. В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали равен сумме квадратов трех его измерений.

Пусть (рис.) AC 1 есть какая-нибудь диагональ прямоугольного параллелепипеда.

Проведя AC, получим два треугольника: AC 1 С и ACB. Оба они прямоугольные:

первый потому, что параллелепипед прямой, и следовательно, ребро СС 1 перпендикулярно к основанию,

второй потому, что параллелепипед прямоугольный, значит в основании его лежит прямоугольник.

Из этих треугольников находим:

AC 2 1 = AC 2 + СС 2 1 и AC 2 = AB 2 + BC 2

Следовательно, AC 2 1 = AB 2 + BC 2 + СС 2 1 = AB 2 + AD 2 + AA 2 1

Следствие. В прямоугольном параллелепипеде все диагонали равны .