ویژگی های انتظار ریاضی. ویژگی های انتظار ریاضی چگونه انتظار ریاضی یک متغیر تصادفی را پیدا کنیم
- تعداد پسر در بین 10 نوزاد.
کاملاً واضح است که این تعداد از قبل مشخص نیست و ده فرزند بعدی که متولد می شوند ممکن است شامل موارد زیر باشد:
یا پسران - یک و تنها یکاز گزینه های ذکر شده
و برای حفظ تناسب اندام، کمی تربیت بدنی:
- مسافت پرش طولانی (در برخی واحدها).
حتی یک استاد ورزش هم نمی تواند آن را پیش بینی کند :)
با این حال، فرضیه های شما؟
2) متغیر تصادفی پیوسته - می پذیرد همه مقادیر عددیاز یک بازه محدود یا نامتناهی
توجه داشته باشید : V ادبیات آموزشیاختصارات محبوب DSV و NSV
ابتدا بیایید متغیر تصادفی گسسته را تجزیه و تحلیل کنیم، سپس - مداوم.
قانون توزیع یک متغیر تصادفی گسسته
- این مکاتباتبین مقادیر ممکن این کمیت و احتمالات آنها. اغلب، قانون در یک جدول نوشته شده است: 
این اصطلاح اغلب استفاده می شود ردیف
توزیع، اما در برخی موقعیت ها مبهم به نظر می رسد، و بنابراین من به "قانون" پایبند خواهم بود.
و حالا نکته بسیار مهم: از متغیر تصادفی لزوماخواهد پذیرفت یکی از ارزش ها، سپس رویدادهای مربوطه تشکیل می شود گروه کاملو مجموع احتمالات وقوع آنها برابر با یک است:
یا اگر به صورت فشرده نوشته شود:
به عنوان مثال، قانون توزیع احتمال نقاط نورد شده روی یک قالب به شکل زیر است: 
بدون نظر.
ممکن است این تصور را داشته باشید که یک متغیر تصادفی گسسته فقط می تواند مقادیر صحیح "خوب" بگیرد. بیایید این توهم را از بین ببریم - آنها می توانند هر چیزی باشند:
مثال 1
برخی از بازی ها قانون توزیع برنده زیر را دارند: 
...احتمالا خیلی وقته آرزوی چنین کارهایی رو داشتی :) رازی رو بهت میگم - منم همینطور. به خصوص بعد از اینکه کارم تمام شد نظریه میدانی.
راه حل: از آنجایی که یک متغیر تصادفی می تواند تنها یکی از سه مقدار را بگیرد، رویدادهای مربوطه تشکیل می شوند گروه کامل، یعنی مجموع احتمالات آنها برابر با یک است: 
افشای "حزب": 
- بنابراین، احتمال برنده شدن واحدهای معمولی 0.4 است.
کنترل: این چیزی است که باید از آن مطمئن می شدیم.
پاسخ:
زمانی که لازم است خودتان قانون توزیع تهیه کنید، غیر معمول نیست. برای این استفاده می کنند تعریف کلاسیک احتمال, قضایای ضرب/جمع برای احتمالات رویدادو چیپس های دیگر tervera:
مثال 2
این جعبه حاوی 50 بلیط بخت آزمایی است که از بین آنها 12 برنده است و 2 تای آنها هر کدام 1000 روبل و بقیه - هر کدام 100 روبل برنده می شوند. یک قانون برای توزیع یک متغیر تصادفی ترسیم کنید - اندازه بردها، اگر یک بلیط به طور تصادفی از جعبه کشیده شود.
راه حل: همانطور که متوجه شدید، مقادیر یک متغیر تصادفی معمولا در آن قرار می گیرند به ترتیب صعودی. بنابراین، ما با کوچکترین بردها، یعنی روبل شروع می کنیم.
در کل 50 بلیط وجود دارد - 12 = 38 و با توجه به تعریف کلاسیک:
- احتمال اینکه بلیطی که به طور تصادفی گرفته شده بازنده باشد.
در موارد دیگر همه چیز ساده است. احتمال برنده شدن روبل:
بررسی کنید: - و این لحظه به خصوص لذت بخش از این وظایف است!
پاسخ: قانون مورد نظر توزیع برنده ها: 
وظیفه زیر برای شماست که خودتان آن را حل کنید:
مثال 3
احتمال برخورد تیرانداز به هدف است. یک قانون توزیع برای یک متغیر تصادفی ترسیم کنید - تعداد ضربه ها بعد از 2 ضربه.
...میدونستم دلت براش تنگ شده :) یادمون باشه قضایای ضرب و جمع. راه حل و پاسخ در پایان درس است.
قانون توزیع به طور کامل یک متغیر تصادفی را توصیف می کند، اما در عمل دانستن تنها برخی از آن می تواند مفید (و گاهی اوقات مفیدتر) باشد. ویژگی های عددی .
انتظار یک متغیر تصادفی گسسته
به عبارت ساده، این است میانگین ارزش مورد انتظارزمانی که تست بارها تکرار می شود. اجازه دهید متغیر تصادفی مقادیر با احتمالات را بگیرد 
به ترتیب. سپس انتظار ریاضی از این متغیر تصادفی برابر است با مجموع محصولاتتمام مقادیر آن به احتمالات مربوطه:
یا فرو ریخت: 
به عنوان مثال، انتظار ریاضی یک متغیر تصادفی را محاسبه کنیم - تعداد نقاطی که روی یک قالب ریخته شده است:
حالا بیایید بازی فرضی خود را به یاد بیاوریم: 
این سوال پیش می آید: آیا اصلاً انجام این بازی سودآور است؟ ... چه کسی برداشتی دارد؟ بنابراین شما نمی توانید آن را "بی رویه" بگویید! اما این سوال را می توان به راحتی با محاسبه انتظارات ریاضی پاسخ داد، اساسا - میانگین وزنیبر اساس احتمال برنده شدن:
بنابراین، انتظارات ریاضی از این بازی از دست دادن.
به برداشت های خود اعتماد نکنید - به اعداد اعتماد کنید!
بله، در اینجا می توانید 10 و حتی 20-30 بار متوالی برنده شوید، اما در دراز مدت با تباهی اجتناب ناپذیری روبرو خواهیم شد. و من به شما توصیه نمی کنم که چنین بازی هایی را انجام دهید :) خب، شاید فقط برای سرگرمی.
از تمام موارد فوق نتیجه می شود که انتظارات ریاضی دیگر یک مقدار تصادفی نیست.
کار خلاقانهبرای تحقیق مستقل:
مثال 4
مستر ایکس رولت اروپایی بازی می کند سیستم بعدی: دائماً 100 روبل روی "قرمز" شرط بندی می کند. قانون توزیع یک متغیر تصادفی - برنده های آن را ترسیم کنید. انتظارات ریاضی برنده ها را محاسبه کنید و آن را به نزدیکترین کوپک گرد کنید. چند تا میانگینآیا بازیکن به ازای هر صد شرط بندی بازنده می شود؟
ارجاع : رولت اروپایی شامل 18 بخش قرمز، 18 سیاه و 1 بخش سبز ("صفر") است. اگر "قرمز" پخش شود، دو برابر شرط به بازیکن پرداخت می شود، در غیر این صورت به درآمد کازینو می رود
بسیاری از سیستم های رولت دیگری وجود دارند که می توانید جداول احتمال خود را برای آنها ایجاد کنید. اما این در شرایطی است که ما به هیچ قانون یا جدولی نیاز نداریم، زیرا به طور قطع ثابت شده است که انتظارات ریاضی بازیکن دقیقاً یکسان خواهد بود. تنها چیزی که از سیستمی به سیستم دیگر تغییر می کند این است
اکثر توضیحات کاملیک متغیر تصادفی قانون توزیع آن است. با این حال، همیشه شناخته شده نیست و در این موارد باید به اطلاعات کمتری بسنده کرد. چنین اطلاعاتی ممکن است شامل موارد زیر باشد: محدوده تغییر یک متغیر تصادفی، بزرگترین (کوچکترین) مقدار آن، برخی ویژگی های دیگر که متغیر تصادفی را برای برخی توصیف می کند. به صورت خلاصه. همه این مقادیر نامیده می شوند ویژگی های عددیمتغیر تصادفی معمولا اینها تعدادی هستند غیر تصادفیاعدادی که به نوعی یک متغیر تصادفی را مشخص می کنند. هدف اصلی مشخصه های عددی بیان مختصرترین ویژگی های یک توزیع خاص است.
ساده ترین مشخصه عددی یک متغیر تصادفی ایکساو را صدا کرد ارزش مورد انتظار:
M(X)=x 1 p 1 + x 2 p 2 +… + x n p n. (1.3.1)
اینجا x 1, x 2, …, x n- مقادیر ممکن متغیر تصادفی ایکس، آ ص 1, ص 2, …, р n- احتمالات آنها
مثال 1.انتظارات ریاضی یک متغیر تصادفی را در صورتی پیدا کنید که قانون توزیع آن مشخص باشد:
راه حل. M(X)=2×0.3+3×0.1+5×0.6=3.9.
مثال 2. انتظارات ریاضی تعداد وقوع یک رویداد را بیابید آدر یک آزمایش، اگر احتمال این رویداد برابر باشد آر.
راه حل. اگر ایکس- تعداد وقوع رویداد آدر یک آزمون، پس بدیهی است که قانون توزیع ایکسدارای فرم:
سپس M(X)=0×(1–р)+1×р=р.
بنابراین: انتظار ریاضی تعداد وقوع یک رویداد در یک آزمایش برابر با احتمال آن است.
معنای احتمالی انتظار ریاضی
بذار تولید بشه nآزمون هایی که در آن متغیر تصادفی است ایکسپذیرفته شده متر 1برابر ارزش x 1, متر 2برابر ارزش x 2, …, m kبرابر ارزش x k. سپس مجموع تمام مقادیر در nتست ها برابر است با:
x 1 m 1 + x 2 m 2 +…+ x k m k.
بیایید میانگین حسابی همه مقادیر گرفته شده توسط متغیر تصادفی را پیدا کنیم:
مقادیر - فراوانی های نسبی وقوع مقادیر x i (i=1، …، k). اگر nبه اندازه کافی بزرگ (n®¥)، سپس این فرکانس ها تقریباً برابر با احتمالات هستند: . اما بعد
=x 1 p 1 + x 2 p 2 +… + x k p k = M(X).
بنابراین، انتظارات ریاضی تقریباً برابر است (هر چه دقیق تر، تعداد بزرگترآزمون ها) میانگین حسابی مقادیر مشاهده شده متغیر تصادفی. این معنای احتمالی انتظار ریاضی است.
ویژگی های انتظار ریاضی
1. انتظار ریاضی از یک ثابت برابر است با خود ثابت.
M(C)=C×1=C.
2. عامل ثابت را می توان از علامت انتظار ریاضی خارج کرد
M(CX)=C×M(X).
اثبات. اجازه دهید قانون توزیع ایکسارائه شده توسط جدول:
سپس متغیر تصادفی CXارزش ها را می گیرد Cx 1, Cx 2, …, Сх n با احتمالات یکسان، یعنی قانون توزیع CXدارای فرم:
M(СХ)=Сх 1 × р 1 + Сх 2 × р 2 +…+ Сх n × p n =
=C(x 1 p 1 + x 2 p 2 +… + x n p n) = CM(X).
3. انتظار ریاضی حاصلضرب دو متغیر تصادفی مستقل با حاصلضرب انتظارات ریاضی آنها برابر است:
M(XY)=M(X)×M(Y).
این بیانیه بدون اثبات ارائه شده است (اثبات بر اساس تعریف انتظار ریاضی است).
نتیجه. انتظارات ریاضی حاصلضرب چندین متغیر تصادفی مستقل از یکدیگر برابر است با حاصلضرب انتظارات ریاضی آنها.
به طور خاص، برای سه متغیر تصادفی مستقل
M(XYZ)=M(X)×M(Y)×M(Z).
مثال. انتظارات ریاضی حاصل ضرب تعداد نقاطی را که می تواند هنگام پرتاب دو تاس ظاهر شود، پیدا کنید.
راه حل. اجازه دهید X i- تعداد امتیاز در هر مناستخوان ها میتونه اعداد باشه 1 , 2 , …, 6 با احتمالات سپس
M(X i)=1× +2× +…+6× = (1+2+…+6)= × ×6= .
اجازه دهید X=X 1×X 2. سپس
M(X)=M(X 1)×M(X2)= =12.25.
4. انتظار ریاضی از مجموع دو متغیر تصادفی (مستقل یا وابسته) برابر است با مجموع انتظارات ریاضی اصطلاحات:
M(X+Y)=M(X)+M(Y).
این ویژگی در مورد تعداد دلخواه اصطلاح تعمیم می یابد.
مثال. 3 شلیک با احتمال اصابت به هدف برابر است p 1 = 0.4, p 2 = 0.3و p 3 = 0.6. انتظارات ریاضی تعداد کل بازدیدها را بیابید.
راه حل. اجازه دهید X i- تعداد بازدید در من-مین شلیک سپس
М(Х i)=1×p i +0×(1–p i)=p i.
بدین ترتیب،
M(X 1 + X 2 + X 3) = = 0.4 + 0.3 + 0.6 = 1.3.
انتظار ریاضی (مقدار متوسط) یک متغیر تصادفی X داده شده در یک فضای احتمال گسسته، عدد m =M[X]=∑x i p i است اگر سری کاملاً همگرا شود.
هدف از خدمات. با استفاده از سرویس آنلاین انتظارات ریاضی، واریانس و انحراف معیار محاسبه می شود(نمونه را ببینید). علاوه بر این، نموداری از تابع توزیع F(X) رسم می شود.
ویژگی های انتظار ریاضی یک متغیر تصادفی
- انتظار ریاضی یک مقدار ثابت با خودش برابر است: M[C]=C، C – ثابت.
- M=C M[X]
- انتظارات ریاضی از مجموع متغیرهای تصادفی برابر است با مجموع انتظارات ریاضی آنها: M=M[X]+M[Y]
- انتظارات ریاضی حاصلضرب متغیرهای تصادفی مستقل برابر است با حاصلضرب انتظارات ریاضی آنها: M=M[X] M[Y]، اگر X و Y مستقل باشند.
خواص پراکندگی
- واریانس یک مقدار ثابت صفر است: D(c)=0.
- ضریب ثابت را می توان با مربع کردن آن از زیر علامت پراکندگی خارج کرد: D(k*X)= k 2 D(X).
- اگر متغیرهای تصادفی X و Y مستقل باشند، واریانس مجموع برابر است با مجموع واریانس‌ها: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
- اگر متغیرهای تصادفی X و Y وابسته باشند: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
- فرمول محاسباتی زیر برای پراکندگی معتبر است:
D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2
مثال. انتظارات ریاضی و واریانس دو متغیر تصادفی مستقل X و Y مشخص است: M(x)=8، M(Y)=7، D(X)=9، D(Y)=6. انتظارات ریاضی و واریانس متغیر تصادفی Z=9X-8Y+7 را بیابید.
راه حل. بر اساس ویژگی های انتظار ریاضی: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23.
بر اساس خواص پراکندگی: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345
الگوریتم محاسبه انتظارات ریاضی
ویژگی های متغیرهای تصادفی گسسته: تمام مقادیر آنها را می توان با اعداد طبیعی شماره گذاری کرد. هر مقدار با یک احتمال غیر صفر همراه است.- جفت ها را یکی در یک ضرب می کنیم: x i در p i .
- حاصلضرب هر جفت x i p i را اضافه کنید.
به عنوان مثال، برای n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4
مثال شماره 1.
| x i | 1 | 3 | 4 | 7 | 9 |
| p i | 0.1 | 0.2 | 0.1 | 0.3 | 0.3 |
انتظارات ریاضی را با استفاده از فرمول m = ∑x i p i می یابیم.
انتظار M[X].
M[x] = 1*0.1 + 3*0.2 + 4*0.1 + 7*0.3 + 9*0.3 = 5.9
واریانس را با استفاده از فرمول d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 پیدا می کنیم.
واریانس D[X].
D[X] = 1 2 * 0.1 + 3 2 * 0.2 + 4 2 * 0.1 + 7 2 * 0.3 + 9 2 * 0.3 - 5.9 2 = 7.69
انحراف معیار σ(x).
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7.69) = 2.78
مثال شماره 2. یک متغیر تصادفی گسسته دارای سری توزیع زیر است:
| ایکس | -10 | -5 | 0 | 5 | 10 |
| آر | آ | 0,32 | 2آ | 0,41 | 0,03 |
راه حل. مقدار a از رابطه: Σp i = 1 بدست می آید
Σp i = a + 0.32 + 2 a + 0.41 + 0.03 = 0.76 + 3 a = 1
0.76 + 3 a = 1 یا 0.24 = 3 a ، از آنجا a = 0.08
مثال شماره 3. قانون توزیع یک متغیر تصادفی گسسته را در صورتی که واریانس آن مشخص باشد، تعیین کنید و x 1
p 1 = 0.3; p 2 = 0.3; p 3 = 0.1; p 4 = 0.3
d(x)=12.96
راه حل.
در اینجا باید فرمولی برای یافتن واریانس d(x) ایجاد کنید:
d(x) = x 1 2 p 1 + x 2 2 p 2 + x 3 2 p 3 + x 4 2 p 4 -m(x) 2
جایی که انتظار m(x)=x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4
برای داده های ما
m(x)=6*0.3+9*0.3+x 3 *0.1+15*0.3=9+0.1x 3
12.96 = 6 2 0.3+9 2 0.3+x 3 2 0.1+15 2 0.3-(9+0.1x 3) 2
یا -9/100 (x 2 -20x+96)=0
بر این اساس، ما باید ریشه های معادله را پیدا کنیم و دو تا از آنها وجود خواهد داشت.
x 3 = 8، x 3 = 12
یکی را انتخاب کنید که شرط x 1 را برآورده می کند
قانون توزیع یک متغیر تصادفی گسسته
x 1 = 6; x 2 = 9; x 3 = 12; x 4 = 15
p 1 = 0.3; p 2 = 0.3; p 3 = 0.1; p 4 = 0.3
همچنین وظایفی برای شما وجود خواهد داشت که خودتان آنها را حل کنید که می توانید پاسخ آنها را ببینید.
انتظارات و واریانس متداول ترین مشخصه های عددی متغیر تصادفی هستند. آنها مهمترین ویژگی های توزیع را مشخص می کنند: موقعیت و درجه پراکندگی آن. مقدار مورد انتظار اغلب به سادگی میانگین نامیده می شود متغیر تصادفی پراکندگی یک متغیر تصادفی - مشخصه پراکندگی، گسترش یک متغیر تصادفی در مورد انتظارات ریاضی آن
در بسیاری از مسائل عملی، یک مشخصه کامل و جامع از یک متغیر تصادفی - قانون توزیع - یا نمی توان به دست آورد یا اصلاً مورد نیاز نیست. در این موارد، یکی به توصیف تقریبی یک متغیر تصادفی با استفاده از ویژگی‌های عددی محدود می‌شود.
انتظار یک متغیر تصادفی گسسته
بیایید به مفهوم انتظار ریاضی برسیم. بگذارید جرم یک ماده بین نقاط محور x توزیع شود ایکس1 , ایکس 2 , ..., ایکس n. علاوه بر این، هر نقطه مادی دارای جرم مربوطه با احتمال است پ1 , پ 2 , ..., پ n. لازم است یک نقطه در محور آبسیسا انتخاب شود که موقعیت کل سیستم نقاط مادی را با در نظر گرفتن جرم آنها مشخص می کند. طبیعی است که مرکز جرم سیستم نقاط مادی را چنین نقطه ای در نظر بگیریم. این میانگین وزنی متغیر تصادفی است ایکس، که به آن آبسیسه هر نقطه ایکسمنبا "وزن" برابر با احتمال مربوطه وارد می شود. مقدار متوسط متغیر تصادفی از این طریق به دست می آید ایکسانتظار ریاضی آن نامیده می شود.
انتظارات ریاضی از یک متغیر تصادفی گسسته، مجموع حاصل از تمام مقادیر ممکن آن و احتمالات این مقادیر است:
مثال 1.قرعه کشی برد-برد برگزار شده است. 1000 برد وجود دارد که 400 آن 10 روبل است. هر کدام 300-20 روبل. هر کدام 200 تا 100 روبل. و هر کدام 100 - 200 روبل. میانگین برد برای کسی که یک بلیط می خرد چقدر است؟
راه حل. اگر مجموع بردها را که 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50000 روبل است، بر 1000 (مجموع برنده) تقسیم کنیم، میانگین برد را پیدا خواهیم کرد. سپس 50000/1000 = 50 روبل می گیریم. اما عبارت برای محاسبه میانگین برد را می توان به شکل زیر ارائه کرد:
از طرف دیگر، در این شرایط، اندازه برنده یک متغیر تصادفی است که می تواند مقادیر 10، 20، 100 و 200 روبل را بگیرد. با احتمالات به ترتیب برابر با 0.4; 0.3; 0.2; 0.1. در نتیجه، میانگین برد مورد انتظار برابر است با مجموع حاصل از اندازه بردها و احتمال دریافت آنها.
مثال 2.ناشر تصمیم گرفت کتاب جدیدی منتشر کند. او قصد دارد این کتاب را به قیمت 280 روبل بفروشد که خود 200 روبل، 50 روبل به کتابفروشی و 30 روبل به نویسنده دریافت خواهد کرد. این جدول اطلاعاتی در مورد هزینه های چاپ کتاب و احتمال فروش تعداد معینی از نسخه های کتاب ارائه می دهد.
سود مورد انتظار ناشر را بیابید.
راه حل. متغیر تصادفی "سود" برابر است با تفاوت بین درآمد حاصل از فروش و هزینه تمام شده. به عنوان مثال، اگر 500 نسخه از یک کتاب فروخته شود، درآمد حاصل از فروش 200 * 500 = 100000 و هزینه انتشار 225000 روبل است. بنابراین، ناشر با ضرر 125000 روبلی مواجه است. جدول زیر مقادیر مورد انتظار متغیر تصادفی - سود را خلاصه می کند:
| عدد | سود ایکسمن | احتمال پمن | ایکسمن پمن |
| 500 | -125000 | 0,20 | -25000 |
| 1000 | -50000 | 0,40 | -20000 |
| 2000 | 100000 | 0,25 | 25000 |
| 3000 | 250000 | 0,10 | 25000 |
| 4000 | 400000 | 0,05 | 20000 |
| جمع: | 1,00 | 25000 |
بنابراین، انتظار ریاضی سود ناشر را به دست می آوریم:
.
مثال 3.احتمال ضربه زدن با یک شلیک پ= 0.2. مصرف پرتابه هایی را که انتظار ریاضی تعداد ضربه برابر با 5 را ارائه می دهند، تعیین کنید.
راه حل. از همان فرمول انتظار ریاضی که تاکنون استفاده کرده ایم، بیان می کنیم ایکس- مصرف پوسته:
.
مثال 4.انتظارات ریاضی یک متغیر تصادفی را تعیین کنید ایکستعداد ضربه با سه ضربه، در صورت احتمال ضربه با هر شلیک پ = 0,4 .
نکته: احتمال مقادیر متغیر تصادفی را بر اساس پیدا کنید فرمول برنولی .
ویژگی های انتظار ریاضی
بیایید ویژگی های انتظار ریاضی را در نظر بگیریم.
ملک 1.انتظار ریاضی یک مقدار ثابت برابر با این ثابت است:
ملک 2.عامل ثابت را می توان از علامت انتظار ریاضی خارج کرد:
ملک 3.انتظار ریاضی از مجموع (تفاوت) متغیرهای تصادفی برابر است با مجموع (تفاوت) انتظارات ریاضی آنها:
ملک 4.انتظارات ریاضی حاصلضرب متغیرهای تصادفی برابر است با حاصل ضرب انتظارات ریاضی آنها:
ملک 5.اگر تمام مقادیر یک متغیر تصادفی ایکسکاهش (افزایش) به همان تعداد با، سپس انتظارات ریاضی آن به همان مقدار کاهش می یابد (افزایش می یابد):
وقتی نمی توانید خود را فقط به انتظارات ریاضی محدود کنید
در بیشتر موارد، تنها انتظار ریاضی نمی تواند به اندازه کافی متغیر تصادفی را مشخص کند.
اجازه دهید متغیرهای تصادفی ایکسو Yتوسط قوانین توزیع زیر ارائه می شود:
| معنی ایکس | احتمال |
| -0,1 | 0,1 |
| -0,01 | 0,2 |
| 0 | 0,4 |
| 0,01 | 0,2 |
| 0,1 | 0,1 |
| معنی Y | احتمال |
| -20 | 0,3 |
| -10 | 0,1 |
| 0 | 0,2 |
| 10 | 0,1 |
| 20 | 0,3 |
انتظارات ریاضی از این مقادیر یکسان است - برابر با صفر:
با این حال، الگوهای توزیع آنها متفاوت است. مقدار تصادفی ایکسفقط می تواند مقادیری را بگیرد که کمی با انتظارات ریاضی و متغیر تصادفی متفاوت است Yمی تواند مقادیری را بگیرد که به طور قابل توجهی از انتظارات ریاضی منحرف می شود. مثال مشابه: دستمزد متوسط امکان قضاوت در مورد سهم کارگران با دستمزد بالا و پایین را نمی دهد. به عبارت دیگر، نمی توان از روی انتظارات ریاضی قضاوت کرد که حداقل به طور متوسط چه انحرافی از آن ممکن است. برای این کار باید واریانس متغیر تصادفی را پیدا کنید.
واریانس یک متغیر تصادفی گسسته
واریانسمتغیر تصادفی گسسته ایکسانتظار ریاضی مربع انحراف آن از انتظار ریاضی نامیده می شود:
انحراف معیار یک متغیر تصادفی ایکسمقدار حسابی جذر واریانس آن را می گویند:
.
مثال 5.واریانس و انحراف معیار متغیرهای تصادفی را محاسبه کنید ایکسو Yکه قوانین توزیع آن در جداول بالا آورده شده است.
راه حل. انتظارات ریاضی از متغیرهای تصادفی ایکسو Y، همانطور که در بالا مشاهده شد، برابر با صفر هستند. با توجه به فرمول پراکندگی در E(ایکس)=E(y)=0 دریافت می کنیم:
سپس انحراف معیار متغیرهای تصادفی ایکسو Yآرایش
.
بنابراین، با همان انتظارات ریاضی، واریانس متغیر تصادفی ایکسبسیار کوچک، اما یک متغیر تصادفی Y- قابل توجه. این نتیجه تفاوت در توزیع آنها است.
مثال 6.سرمایه گذار دارای 4 پروژه سرمایه گذاری جایگزین است. جدول سود مورد انتظار در این پروژه ها را با احتمال مربوطه خلاصه می کند.
| پروژه 1 | پروژه 2 | پروژه 3 | پروژه 4 |
| 500, پ=1 | 1000, پ=0,5 | 500, پ=0,5 | 500, پ=0,5 |
| 0, پ=0,5 | 1000, پ=0,25 | 10500, پ=0,25 | |
| 0, پ=0,25 | 9500, پ=0,25 |
انتظارات ریاضی، واریانس و انحراف معیار را برای هر جایگزین بیابید.
راه حل. اجازه دهید نشان دهیم که چگونه این مقادیر برای گزینه سوم محاسبه می شود:
جدول مقادیر یافت شده را برای همه گزینه ها خلاصه می کند.
همه جایگزین ها انتظارات ریاضی یکسانی دارند. این بدان معناست که در دراز مدت همه درآمد یکسانی دارند. انحراف استاندارد را می توان به عنوان معیاری از ریسک تفسیر کرد - هر چه بیشتر باشد، ریسک سرمایه گذاری بیشتر می شود. سرمایه‌گذاری که ریسک زیادی نمی‌خواهد، پروژه 1 را انتخاب می‌کند زیرا دارای کمترین انحراف استاندارد (0) است. اگر سرمایه گذار ریسک و بازده بالا را در یک دوره کوتاه ترجیح دهد، پروژه با بیشترین انحراف معیار - پروژه 4 را انتخاب می کند.
خواص پراکندگی
اجازه دهید خواص پراکندگی را ارائه دهیم.
ملک 1.واریانس یک مقدار ثابت صفر است:
ملک 2.ضریب ثابت را می توان با مربع کردن آن از علامت پراکندگی خارج کرد:
.
ملک 3.واریانس یک متغیر تصادفی برابر است با انتظار ریاضی مربع این مقدار که مجذور انتظار ریاضی خود مقدار از آن کم می شود:
,
جایی که 
.
ملک 4.واریانس مجموع (تفاوت) متغیرهای تصادفی برابر است با مجموع (تفاوت) واریانس آنها:
مثال 7.مشخص است که یک متغیر تصادفی گسسته ایکسفقط دو مقدار را می گیرد: -3 و 7. علاوه بر این، انتظارات ریاضی مشخص است: E(ایکس) = 4 . واریانس یک متغیر تصادفی گسسته را پیدا کنید.
راه حل. اجازه دهید با نشان دادن پاحتمالی که یک متغیر تصادفی مقداری را می گیرد ایکس1 = −3 . سپس احتمال مقدار ایکس2 = 7 1 خواهد بود پ. اجازه دهید معادله انتظار ریاضی را استخراج کنیم:
E(ایکس) = ایکس 1 پ + ایکس 2 (1 − پ) = −3پ + 7(1 − پ) = 4 ,
جایی که احتمالات را بدست می آوریم: پ= 0.3 و 1 - پ = 0,7 .
قانون توزیع یک متغیر تصادفی:
| ایکس | −3 | 7 |
| پ | 0,3 | 0,7 |
ما واریانس این متغیر تصادفی را با استفاده از فرمول از ویژگی 3 پراکندگی محاسبه می کنیم:
D(ایکس) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .
انتظارات ریاضی یک متغیر تصادفی را خودتان پیدا کنید و سپس به راه حل نگاه کنید
مثال 8.متغیر تصادفی گسسته ایکسفقط دو مقدار می گیرد. بزرگتر از مقادیر 3 را با احتمال 0.4 می پذیرد. علاوه بر این، واریانس متغیر تصادفی مشخص است D(ایکس) = 6. انتظارات ریاضی یک متغیر تصادفی را پیدا کنید.
مثال 9. 6 توپ سفید و 4 توپ سیاه در کوزه وجود دارد. 3 توپ از کوزه کشیده می شود. تعداد توپ های سفید در بین توپ های کشیده شده یک متغیر تصادفی گسسته است ایکس. انتظارات ریاضی و واریانس این متغیر تصادفی را بیابید.
راه حل. مقدار تصادفی ایکسمی تواند مقادیر 0، 1، 2، 3 را بگیرد. احتمالات مربوطه را می توان از قانون ضرب احتمال. قانون توزیع یک متغیر تصادفی:
| ایکس | 0 | 1 | 2 | 3 |
| پ | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
بنابراین انتظارات ریاضی از این متغیر تصادفی:
م(ایکس) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .
واریانس یک متغیر تصادفی داده شده عبارت است از:
D(ایکس) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .
انتظار و واریانس یک متغیر تصادفی پیوسته
برای یک متغیر تصادفی پیوسته، تفسیر مکانیکی انتظار ریاضی همان معنی را حفظ خواهد کرد: مرکز جرم برای یک واحد جرم که به طور پیوسته روی محور x با چگالی توزیع شده است. f(ایکس). بر خلاف یک متغیر تصادفی گسسته که آرگومان تابع آن ایکسمنتغییر ناگهانی برای یک متغیر تصادفی پیوسته، آرگومان به طور مداوم تغییر می کند. اما انتظارات ریاضی از یک متغیر تصادفی پیوسته با مقدار میانگین آن نیز مرتبط است.
برای یافتن انتظارات ریاضی و واریانس یک متغیر تصادفی پیوسته، باید انتگرال های معین را پیدا کنید. . اگر تابع چگالی یک متغیر تصادفی پیوسته داده شود، آنگاه مستقیماً وارد انتگرال می شود. اگر تابع توزیع احتمال داده شود، با تفکیک آن، باید تابع چگالی را پیدا کنید.
میانگین حسابی تمام مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی پیوسته آن نامیده می شود انتظارات ریاضی، با یا نشان داده می شود.
همانطور که قبلاً شناخته شده است، قانون توزیع به طور کامل یک متغیر تصادفی را مشخص می کند. با این حال، اغلب قانون توزیع ناشناخته است و فرد باید خود را به اطلاعات کمتر محدود کند. گاهی اوقات استفاده از اعدادی که متغیر تصادفی را در کل توصیف می کنند سودآورتر است. چنین اعدادی نامیده می شوند ویژگی های عددی یک متغیر تصادفی.
یکی از ویژگی های عددی مهم، انتظار ریاضی است.
انتظارات ریاضی تقریباً برابر با مقدار متوسط متغیر تصادفی است.
انتظارات ریاضی از یک متغیر تصادفی گسستهمجموع حاصل از تمام مقادیر ممکن و احتمالات آنها است.
اگر یک متغیر تصادفی با یک سری توزیع محدود مشخص شود:
| ایکس | x 1 | x 2 | x 3 | … | x n |
| آر | ص 1 | ص 2 | ص 3 | … | r p |
سپس انتظارات ریاضی M(X)با فرمول تعیین می شود:
انتظارات ریاضی از یک متغیر تصادفی پیوسته با برابری تعیین می شود:
چگالی احتمال متغیر تصادفی کجاست ایکس.
مثال 4.7.انتظار ریاضی تعداد نقاطی که هنگام پرتاب تاس ظاهر می شود را بیابید.
راه حل:
مقدار تصادفی ایکسمقادیر 1، 2، 3، 4، 5، 6 را می گیرد. بیایید قانون توزیع آن را ایجاد کنیم:
| ایکس | ||||||
| آر |
سپس انتظار ریاضی این است:
ویژگی های انتظار ریاضی:
1. انتظار ریاضی از یک مقدار ثابت برابر است با خود ثابت:
M (S) = S.
2. عامل ثابت را می توان از علامت انتظار ریاضی خارج کرد:
M (CX) = CM (X).
3. انتظارات ریاضی حاصلضرب دو متغیر تصادفی مستقل برابر است با حاصل ضرب انتظارات ریاضی آنها:
M(XY) = M(X)M(Y).
مثال 4.8. متغیرهای تصادفی مستقل ایکسو Yتوسط قوانین توزیع زیر ارائه می شود:
| ایکس | Y | ||||||
| آر | 0,6 | 0,1 | 0,3 | آر | 0,8 | 0,2 |
انتظارات ریاضی متغیر تصادفی XY را پیدا کنید.
راه حل.
بیایید انتظارات ریاضی هر یک از این کمیت ها را پیدا کنیم:
متغیرهای تصادفی ایکسو Yمستقل، بنابراین انتظارات ریاضی مورد نیاز عبارتند از:
M(XY) = M(X)M(Y)=
نتیجه.انتظارات ریاضی حاصلضرب چندین متغیر تصادفی مستقل از یکدیگر برابر است با حاصلضرب انتظارات ریاضی آنها.
4. انتظارات ریاضی از مجموع دو متغیر تصادفی برابر است با مجموع انتظارات ریاضی عبارت‌ها:
M (X + Y) = M (X) + M (Y).
نتیجه.انتظار ریاضی از مجموع چندین متغیر تصادفی با مجموع انتظارات ریاضی عبارت ها برابر است.
مثال 4.9. 3 شلیک با احتمال اصابت به هدف برابر است ص 1 = 0,4; p2= 0.3 و ص 3= 0.6. انتظارات ریاضی تعداد کل بازدیدها را بیابید.
راه حل.
تعداد ضربه ها در اولین ضربه یک متغیر تصادفی است X 1، که فقط می تواند دو مقدار داشته باشد: 1 (hit) با احتمال ص 1= 0.4 و 0 (از دست دادن) با احتمال q 1 = 1 – 0,4 = 0,6.
انتظار ریاضی تعداد ضربه در اولین ضربه برابر با احتمال ضربه است:
به طور مشابه، انتظارات ریاضی تعداد ضربه‌های شلیک دوم و سوم را می‌یابیم:
M(X 2)= 0.3 و M(X 3)= 0,6.
تعداد کل ضربه ها نیز یک متغیر تصادفی است که از مجموع ضربات در هر یک از سه ضربه تشکیل شده است:
X = X 1 + X 2 + X 3.
انتظارات ریاضی مورد نیاز ایکسما آن را با استفاده از قضیه در مورد انتظار ریاضی از مجموع می یابیم.