فواصل تحدب تابع را بیابید. فواصل تحدب و تقعر یک نمودار تابع

با استفاده از ماشین حساب آنلاین، می توانید پیدا کنید نقاط عطف و فواصل تحدب نمودار تابعبا طراحی راه حل در Word. محدب بودن تابعی از دو متغیر f (x1, x2) با استفاده از ماتریس هس حل می شود.

قوانین ورود توابع:

جهت تحدب نمودار تابع. نقاط عطف

تعریف: منحنی y = f (x) در بازه (a; b) به سمت پایین محدب نامیده می شود اگر در هر نقطه از این بازه بالاتر از مماس قرار گیرد.

تعریف: منحنی y = f (x) در بازه (a; b) به سمت بالا محدب نامیده می شود اگر در هر نقطه از این بازه زیر مماس قرار گیرد.

تعریف: به فواصل زمانی که نمودار یک تابع به سمت بالا یا پایین می چرخد، فواصل تحدب نمودار تابع نامیده می شود.

تحدب رو به پایین یا رو به بالا منحنی، که نمودار تابع y = f (x) است، با علامت مشتق دوم آن مشخص می شود: اگر در یک بازه f '' (x)> 0 باشد، آنگاه منحنی است. محدب رو به پایین در این فاصله. اگر f '' (x)< 0, то кривая выпукла вверх на этом промежутке.

تعریف: نقطه نمودار تابع y = f (x) که فواصل تحدب جهات مخالف این نمودار را از هم جدا می کند، نقطه عطف نامیده می شود.

فقط نقاط بحرانی نوع دوم می توانند به عنوان نقاط عطف عمل کنند، یعنی. نقاط متعلق به حوزه تعریف تابع y = f (x)، که در آن مشتق دوم f '' (x) ناپدید می شود یا دارای ناپیوستگی است.

قانون یافتن نقاط عطف نمودار تابع y = f (x)

1. مشتق دوم f '' (x) را بیابید.
2. نقاط بحرانی نوع دوم تابع y = f (x) را پیدا کنید. نقطه ای که در آن f '' (x) ناپدید می شود یا می شکند.
3. علامت مشتق دوم f '' (x) را در بازه‌ای که نقاط بحرانی یافت شده دامنه تعریف تابع f (x) را به آن تقسیم می‌کنند، بررسی کنید. اگر در این حالت نقطه بحرانی x 0 فواصل تحدب جهات مخالف را از هم جدا کند، آنگاه x 0 آبسیسا نقطه عطف نمودار تابع است.
4. مقادیر تابع را در نقاط عطف محاسبه کنید.

مثال 1. فواصل تحدب و نقاط عطف منحنی زیر را بیابید: f (x) = 6x 2 –x 3.
راه حل: f '(x) = 12x - 3x 2، f' (x) = 12 - 6x را پیدا کنید.
با حل معادله 12-6x = 0 نقاط بحرانی را با مشتق دوم بیابید. x = 2.


f (2) = 6 * 2 2 - 2 3 = 16
پاسخ: تابع برای x∈ به سمت بالا محدب است (2; + ∞); تابع برای x∈ رو به پایین محدب است (-∞; 2). نقطه عطف (2؛ 16).

مثال 2. آیا تابع دارای نقاط عطف است: f (x) = x 3 -6x 2 + 2x-1

مثال 3. بازه هایی را که نمودار تابع در آنها محدب و منحنی است پیدا کنید: f (x) = x 3 -6x 2 + 12x + 4

برای تعیین تحدب (تعرفه) یک تابع در یک بازه معین می توان از قضایای زیر استفاده کرد.

قضیه 1.اجازه دهید تابع در بازه تعریف شده و پیوسته باشد و مشتق متناهی داشته باشد. برای محدب بودن تابع (مقعر) لازم و کافی است که مشتق آن در این بازه کاهش (افزایش) یابد.

قضیه 2.اجازه دهید تابع به همراه مشتق آن در تعریف و پیوسته باشد و یک مشتق دوم پیوسته در داخل داشته باشد. برای تحدب (تقعر) تابع در آن لازم و کافی است که داخل

اجازه دهید قضیه 2 را برای حالت تحدب یک تابع اثبات کنیم.

نیاز. بیایید یک نکته دلخواه را در نظر بگیریم. تابع را نزدیک یک نقطه در یک سری تیلور گسترش دهید

معادله مماس بر یک منحنی در یک نقطه با آبسیسا:

سپس مازاد منحنی بر مماس آن در نقطه برابر است با

بنابراین، باقیمانده برابر است با مازاد منحنی بر مماس بر آن در یک نقطه. به موجب تداوم، اگر ، سپس همچنین برای، متعلق به یک محله به اندازه کافی کوچک از نقطه، و بنابراین، بدیهی است، برای هر مقداری غیر از مقدار متعلق به محله نشان داده شده است.

بنابراین، نمودار تابع بالای خط مماس قرار دارد و منحنی در یک نقطه دلخواه محدب است.

کفایت. بگذارید منحنی روی بازه محدب باشد. بیایید یک نکته دلخواه را در نظر بگیریم.

مشابه مورد قبلی، تابع نزدیک یک نقطه را به یک سری تیلور گسترش می دهیم

مازاد منحنی بر مماس بر آن در نقطه ای که دارای آبسیسا است که با عبارت تعیین می شود

از آنجایی که مازاد برای همسایگی به اندازه کافی کوچک نقطه مثبت است، مشتق دوم نیز مثبت است. همانطور که ما تلاش می کنیم، آن را برای یک نقطه دلخواه به دست می آوریم .

مثال.تابع تحدب (تعریف) را بررسی کنید.

مشتق آن در کل محور عدد افزایش می یابد، به این معنی که در قضیه 1 تابع بر روی مقعر است.

مشتق دوم آن بنابراین، طبق قضیه 2، تابع بر روی مقعر است.

3.4.2.2 نقاط عطف

تعریف. نقطه عطفنمودار تابع پیوسته به نقطه ای گفته می شود که فواصل محدب و مقعر تابع را از هم جدا می کند.

از این تعریف بر می آید که نقاط عطف، نقاط منتهی الیه مشتق اول هستند. این مستلزم عبارات زیر برای شرایط عطف لازم و کافی است.

قضیه (شرط عطف ضروری)... برای اینکه یک نقطه نقطه عطف یک تابع دوبار متمایز باشد، لازم است مشتق دوم آن در این نقطه برابر با صفر باشد ( ) یا وجود نداشت.

قضیه (شرط عطف کافی).اگر مشتق دوم یک تابع دوبار متمایز هنگام عبور از یک نقطه خاص، یعنی یک نقطه عطف، علامت آن را تغییر دهد.

توجه داشته باشید که مشتق دوم ممکن است در خود نقطه وجود نداشته باشد.

تفسیر هندسی نقاط عطف در شکل 1 نشان داده شده است. 3.9

در همسایگی یک نقطه، تابع محدب است و نمودار آن زیر مماس رسم شده در این نقطه قرار دارد. در مجاورت یک نقطه، تابع مقعر است و نمودار آن بالای مماس رسم شده در این نقطه قرار دارد. در نقطه عطف، مماس نمودار تابع را به مناطق تحدب و تقعر تقسیم می کند.

3.4.2.3 بررسی تابع برای تحدب و وجود نقاط عطف

1. مشتق دوم را بیابید.

2. نقاطی را بیابید که مشتق دوم در آنها وجود ندارد یا وجود ندارد.

برنج. 3.9.

3. علامت مشتق دوم به چپ و راست نقاط پیدا شده را بررسی کنید و در مورد فواصل تحدب یا تقعر و وجود نقاط عطف نتیجه بگیرید.

مثال. تابع را از نظر تحدب و وجود نقاط عطف بررسی کنید.

2. مشتق دوم برابر با صفر در است.

3. مشتق دوم علامت آن را تغییر می دهد، بنابراین نقطه نقطه عطف است.

در یک بازه، تابع در آن بازه محدب است.

در بازه، سپس تابع در این بازه مقعر است.

3.4.2.4 طرح کلی مطالعه توابع و رسم

هنگام بررسی یک تابع و رسم نمودار آن، توصیه می شود از طرح زیر استفاده کنید:

1. دامنه تابع را پیدا کنید.
2. تابع یکنواختی - عجیب بودن را بررسی کنید. به یاد بیاورید که نمودار یک تابع زوج نسبت به محور رده متقارن است و نمودار یک تابع فرد نسبت به مبدا متقارن است.
3. مجانب عمودی را پیدا کنید.
4. رفتار یک تابع را در بی نهایت کاوش کنید، مجانب افقی یا مایل را پیدا کنید.
5. حداکثر و فواصل یکنواختی تابع را بیابید.
6. فواصل تحدب تابع و نقاط عطف را بیابید.
7. نقاط تقاطع را با محورهای مختصات پیدا کنید.

مطالعه تابع به طور همزمان با ساخت نمودار آن انجام می شود.

مثال. عملکرد کاوش و برنامه او را بسازید.

1. منطقه تعریف تابع -.

2. تابع بررسی شده زوج است بنابراین، نمودار آن متقارن در مورد محور ارتین است.

3. مخرج تابع در ناپدید می شود، بنابراین نمودار تابع دارای مجانب عمودی و.

نقاط، نقاط ناپیوستگی نوع دوم هستند، زیرا محدودیت‌های سمت چپ و راست در این نقاط به سمت چپ گرایش دارند.

4. رفتار تابع در بی نهایت.

بنابراین، نمودار تابع دارای مجانبی افقی است.

5. افراط و فواصل یکنواختی. مشتق اول را پیدا کنید

بنابراین، تابع در این فواصل کاهش می یابد.

بنابراین، تابع در این فواصل افزایش می یابد.

بنابراین، زمانی که نقطه، نقطه بحرانی است.

مشتق دوم را بیابید

از آنجایی که نقطه حداقل نقطه تابع است.

6. فواصل تحدب و نقاط عطف.

عملکرد در ، بنابراین در این بازه تابع مقعر است.

تابع at به این معنی است که در این فواصل تابع محدب است.

تابع در هیچ کجا ناپدید نمی شود، بنابراین هیچ نقطه عطفی وجود ندارد.

7. نقاط تقاطع با محورهای مختصات.

معادله یک راه حل دارد که به معنای نقطه تقاطع نمودار تابع با محور ارتین (0، 1) است.

معادله هیچ راه حلی ندارد، بنابراین هیچ نقطه تقاطعی با محور آبسیسا وجود ندارد.

با در نظر گرفتن تحقیقات انجام شده، می توان نموداری از تابع ساخت

نمودار شماتیک یک تابع نشان داده شده در شکل 3.10.

برنج. 3.10.

3.4.2.5 مجانب نمودار یک تابع

تعریف. مجانبنمودار یک تابع را خط مستقیم می نامند که این خاصیت را دارد که فاصله یک نقطه () تا این خط مستقیم با فاصله نامحدود از مبدا نقطه نمودار به 0 میل می کند.

طرح کلی مطالعه تابع و ساخت نمودار.
1. بررسی تابع برای تحدب و تقعر.

1. 
   
2. 
   مجانبی از نمودار یک تابع.

معرفی.

در درس ریاضی مدرسه خود، قبلاً با نیاز به رسم نمودار توابع مواجه شده اید. در، شما از روش ساخت نقطه به نقطه استفاده کردید. لازم به ذکر است که از نظر مفهومی ساده است و نسبتاً سریع به هدف منجر می شود. در مواردی که تابع پیوسته است و به آرامی تغییر می‌کند، این روش می‌تواند دقت لازم در نمایش گرافیکی را فراهم کند. برای این کار باید امتیاز بیشتری بگیرید تا به تراکم خاصی از قرارگیری آنها برسید.

اکنون فرض کنید که این تابع در برخی مکان ها دارای ویژگی هایی در "رفتار" خود است: یا مقادیر آن در جایی در یک منطقه کوچک به طور ناگهانی تغییر می کند یا ناپیوستگی هایی وجود دارد. مهم ترین بخش های نمودار ممکن است به این روش شناسایی نشوند.

این شرایط همچنین ارزش روش رسم نمودار را به صورت "توسط نقاط" کاهش می دهد.

راه دومی برای ساخت نمودار وجود دارد که بر اساس مطالعه تحلیلی توابع است. این روش با روشی که در درس ریاضی مدرسه مورد بحث قرار گرفت، مقایسه مطلوبی دارد.

1. مطالعه تابع برای تحدب و تقعر .

اجازه دهید تابع
قابل تمایز در بازه (a, c). سپس یک مماس بر نمودار تابع در هر نقطه وجود دارد
این نمودار (
، و مماس با محور OY موازی نیست، زیرا شیب آن برابر است با
، البته.

O
وظیفه خواهیم گفت که نمودار تابع
در (a, b) دارای رهاسازی رو به پایین (بالا) است، اگر در زیر (نه در بالا) هیچ مماس بر نمودار تابع در (a, b) نباشد.

الف) منحنی مقعر ب) منحنی محدب

قضیه 1 (شرط لازم برای تحدب (تعرفه) یک منحنی).

اگر نمودار یک تابع دوبار متمایز منحنی محدب (مقعر) باشد، مشتق دوم در بازه (a, b) منفی (مثبت) در این بازه است.

قضیه 2(شرط کافی برای تحدب (تعرفه) یک منحنی).

اگر تابع دو بار در (a, b) و قابل تمایز باشد
(
) در تمام نقاط این بازه، منحنی که نمودار تابع است روی این بازه محدب (مقعر) است.

1. 
   نقاط عطف نمودار تابع.

تعریفنقطه
نقطه عطف نمودار تابع نامیده می شود، اگر در نقطه
نمودار یک خط مماس دارد و یک همسایگی نقطه وجود دارد ، که در آن نمودار تابع سمت چپ و راست نقطه دارای جهات تحدب مختلف است.

O مشاهده می شود که در نقطه عطف، مماس نمودار تابع را قطع می کند، زیرا در یک طرف این نقطه نمودار بالای مماس قرار دارد، و از طرف دیگر - در زیر آن، یعنی در مجاورت نقطه عطف قرار دارد. ، نمودار تابع به صورت هندسی از یک طرف مماس به سمت دیگر می رود و روی آن خم می شود. نام "نقطه عطف" از اینجا می آید.

قضیه 3(پیش نیاز نقطه عطف). اجازه دهید نمودار تابع در نقطه عطف داشته باشد و تابع در نقطه باشد مشتق دوم پیوسته سپس
.
نه هر نقطه ای که برای آن نقطه عطف باشد. به عنوان مثال، نمودار تابع
گرچه در نقطه (0، 0) عطف ندارد
در
... بنابراین، تساوی صفر مشتق دوم تنها شرط عطف ضروری است.

نقاط گراف که برای آنها فراخوانی می شود نقاط بحرانیII-شهرهابررسی بیشتر موضوع وجود انحرافات در هر نقطه بحرانی ضروری است.

قضیه 4(شرط کافی برای نقطه عطف). اجازه دهید تابع مشتق دوم را در همسایگی نقطه داشته باشد. سپس، اگر در محله مشخص شده است
دارای علائم مختلف در سمت چپ و راست نقطه است، سپس نمودار دارای یک نقطه عطف در نقطه است.
اظهار نظر.قضیه صادق می ماند اگر
یک مشتق دوم در برخی از همسایگی های نقطه دارد، به جز خود نقطه، و مماس بر نمودار تابع در نقطه وجود دارد.
... سپس، اگر در داخل همسایگی مشخص شده دارای علائم مختلفی در سمت چپ و راست نقطه باشد، نمودار تابع دارای یک نقطه عطف در نقطه است.
طرح مطالعه تابع برای تحدب، تقعر، نقاط عطف.

مثال.عملکرد کاوش
در تحدب، تقعر، نقاط عطف.
1.

2.
,
=

3. وجود ندارد برای

	)	1	(1, +)
	-		+
		1

1. 
   مجانبی از نمودار یک تابع.

هنگام مطالعه رفتار یک تابع با
یا نزدیک به نقاط ناپیوستگی نوع دوم، اغلب معلوم می شود که نمودار تابع تا حد امکان به یک خط مستقیم نزدیک می شود. چنین خطوط مستقیمی نامیده می شود.

O تعریف 1. سر راست اگر فاصله نقطه منحنی تا این خط مستقیم با دور شدن نقطه در طول منحنی تا بی نهایت به صفر برسد، مجانب منحنی L نامیده می شود. سه نوع مجانب وجود دارد: عمودی، افقی، مایل.

تعریف 2.سر راست
مجانب عمودی نمودار تابع نامیده می شود اگر حداقل یکی از حدهای یک طرفه باشد.
، یعنی یا

به عنوان مثال، نمودار تابع
مجانبی عمودی دارد
، زیرا.
، آ
.

تعریف 3.خط مستقیم y = A را مجانب افقی نمودار تابع at می نامند
اگر
.

به عنوان مثال، نمودار یک تابع دارای مجانب افقی y = 0 است، زیرا.
.

تعریف 4.سر راست
(
) مجانب مایل نمودار تابع در نامیده می شود
اگر
;

اگر حداقل یکی از حدها وجود نداشته باشد، منحنی مجانبی ندارد. اگر، پس این حدود را باید جداگانه جستجو کرد، برای و
.

مثلا. مجانب نمودار یک تابع را پیدا کنید

; x = 0 - مجانب عمودی

;
.

- مجانب مایل.
4. طرح مطالعه کامل تابع و رسم.

بیایید یک طرح تقریبی را در نظر بگیریم که بر اساس آن توصیه می شود رفتار یک تابع را بررسی کنیم و نمودار آن را بسازیم.

مثال.عملکرد کاوش
و برنامه او را بسازید.

1.، به جز x = -1.

2.
تابع نه زوج است و نه فرد

-

-



+

+

y

-4


t p.

0

نتیجه.
یکی از ویژگی های مهم روش در نظر گرفته شده این است که اساساً مبتنی بر تشخیص و مطالعه ویژگی های مشخصه در رفتار منحنی است. مکان هایی که عملکرد به آرامی تغییر می کند با جزئیات خاصی مورد مطالعه قرار نمی گیرد و نیازی به چنین مطالعه ای نیست. اما مکان هایی که عملکرد در آنها ویژگی های رفتاری دارد، در معرض تحقیقات کامل و دقیق ترین نمایش گرافیکی هستند. این ویژگی ها نقاط ماکزیمم، حداقل، نقاط ناپیوستگی تابع و ... هستند.

تعیین جهت تقعر و خمیدگی و همچنین روش مشخص شده برای یافتن مجانب، مطالعه توابع با جزئیات بیشتر و دریافت ایده دقیق تری از نمودارهای آنها را امکان پذیر می کند.

دستورالعمل ها

نقاط عطف تابع باید به حوزه تعریف آن تعلق داشته باشد که ابتدا باید آن را پیدا کرد. نمودار یک تابع خطی است که می تواند پیوسته یا دارای ناپیوستگی باشد، به صورت یکنواخت کاهش یا افزایش یابد، دارای حداقل یا حداکثر نقاط (مجانب)، محدب یا مقعر باشد. تغییر ناگهانی در دو حالت آخر عطف نامیده می شود.

شرط لازم برای وجود عطف یک تابع، برابری دوم به صفر است. بنابراین، با دوبار افتراق تابع و برابر کردن عبارت حاصل با صفر، می توان ابسیساهای نقاط عطف احتمالی را پیدا کرد.

این شرط از تعریف خصوصیات تحدب و تقعر نمودار یک تابع، یعنی. مقادیر منفی و مثبت مشتق دوم. در نقطه عطف، یک تغییر شدید در این ویژگی ها وجود دارد، به این معنی که مشتق از علامت صفر می رود. با این حال، تساوی صفر هنوز برای نشان دادن یک عطف کافی نیست.

دو مورد کافی وجود دارد که آبسیسه یافت شده در مرحله قبل به نقطه عطف تعلق دارد: از طریق این نقطه، می توانید مماس بر تابع رسم کنید. مشتق دوم دارای علائم مختلفی در سمت راست و چپ نقطه عطف مفروض است. بنابراین، وجود آن در خود نقطه ضروری نیست، کافی است مشخص کنیم که در آن علامت تغییر می کند، مشتق دوم تابع برابر با صفر است و سومی نیست.

اولین شرط کافی جهانی است و بیشتر از دیگران استفاده می شود. یک مثال گویا را در نظر بگیرید: y = (3 x + 3) ∛ (x - 5).

راه حل: محدوده را پیدا کنید. در این مورد، هیچ محدودیتی وجود ندارد، بنابراین، کل فضای اعداد حقیقی است. اولین مشتق را محاسبه کنید: y '= 3 ∛ (x - 5) + (3 x + 3) / ∛ (x - 5) ².

به ظاهر کسری توجه کنید. از این نتیجه می شود که دامنه تعریف مشتق محدود است. نقطه x = 5 سوراخ است، به این معنی که یک مماس می تواند از آن عبور کند، که تا حدی با اولین علامت کفایت عطف مطابقت دارد.

حدود یک طرفه برای عبارت حاصل را به صورت x → 5 - 0 و x → 5 + 0 تعیین کنید. آنها -∞ و + ∞ هستند. شما ثابت کردید که یک مماس عمودی از نقطه x = 5 می گذرد. این نقطه ممکن است یک نقطه عطف باشد، اما ابتدا مشتق دوم را محاسبه کنید: Y '' = 1 / ∛ (x - 5) ² + 3 / ∛ (x - 5) ² - 2/3 (3 x + 3) ) / ∛ (x - 5) ^ 5 = (2 x - 22) / ∛ (x - 5) ^ 5.

مخرج را حذف کنید، زیرا قبلاً نقطه x = 5 را در نظر گرفته اید. معادله 2 x - 22 = 0 را حل کنید. یک ریشه واحد x = 11 دارد. آخرین مرحله تأیید این است که نقاط x = 5 و x = 11 نقاط عطف هستند. رفتار مشتق دوم را در مجاورت آنها تجزیه و تحلیل کنید. واضح است که در نقطه x = 5 علامت خود را از "+" به "-" تغییر می دهد و در نقطه x = 11 - بالعکس. نتیجه گیری: هر دو نقطه نقطه عطف هستند. اولین شرط کافی برآورده می شود.