Trova gli intervalli di convessità della funzione. Intervalli di convessità e concavità di un diagramma di funzioni

Usando il calcolatore online, puoi trovare punti di flesso e intervalli di convessità del grafico della funzione con la progettazione della soluzione in Word. Se una funzione di due variabili f (x1, x2) è convessa si risolve usando la matrice di Hesse.

Regole di immissione delle funzioni:

La direzione della convessità del grafico della funzione. Punti di flesso

Definizione: Una curva y = f (x) si dice convessa verso il basso nell'intervallo (a; b) se si trova sopra la tangente in qualsiasi punto di questo intervallo.

Definizione: Una curva y = f (x) si dice convessa verso l'alto nell'intervallo (a; b) se si trova al di sotto della tangente in qualsiasi punto di questo intervallo.

Definizione: Gli intervalli in cui il grafico di una funzione è rivolto verso l'alto o verso il basso, sono chiamati intervalli della convessità del grafico della funzione.

La convessità verso il basso o verso l'alto della curva, che è il grafico della funzione y = f (x), è caratterizzata dal segno della sua seconda derivata: se in qualche intervallo f '' (x)> 0, allora la curva è convesso verso il basso in questo intervallo; se f '' (x)< 0, то кривая выпукла вверх на этом промежутке.

Definizione: Il punto del grafico della funzione y = f (x), che separa gli intervalli della convessità delle direzioni opposte di questo grafico, è chiamato punto di flesso.

Solo i punti critici del secondo tipo possono fungere da punti di flesso, ad es. punti appartenenti al dominio di definizione della funzione y = f (x), in corrispondenza dei quali la derivata seconda f '' (x) si annulla o presenta una discontinuità.

La regola per trovare i punti di flesso del grafico della funzione y = f (x)

1. Trova la derivata seconda f '' (x).
2. Trova i punti critici del secondo tipo della funzione y = f (x), ad es. il punto in cui f '' (x) svanisce o si rompe.
3. Indagare il segno della derivata seconda f '' (x) nell'intervallo in cui i punti critici trovati dividono il dominio di definizione della funzione f (x). Se in questo caso il punto critico x 0 separa gli intervalli della convessità di direzioni opposte, allora x 0 è l'ascissa del punto di flesso del grafico della funzione.
4. Calcola i valori della funzione nei punti di flesso.

Esempio 1. Trova gli intervalli di convessità e i punti di flesso della seguente curva: f (x) = 6x 2 –x 3.
Soluzione: Trova f '(x) = 12x - 3x 2, f' '(x) = 12 - 6x.
Trova i punti critici dalla derivata seconda risolvendo l'equazione 12-6x = 0. x = 2.


f (2) = 6 * 2 2 - 2 3 = 16
Risposta: La funzione è convessa verso l'alto per x∈ (2; + ∞); la funzione è convessa verso il basso per x∈ (-∞; 2); punto di flesso (2; 16).

Esempio 2. La funzione ha punti di flesso: f (x) = x 3 -6x 2 + 2x-1

Esempio 3. Trova gli intervalli su cui il grafico della funzione è convesso e curvo: f (x) = x 3 -6x 2 + 12x + 4

Per determinare la convessità (concavità) di una funzione su un certo intervallo, si possono usare i seguenti teoremi.

Teorema 1. Sia la funzione definita e continua sull'intervallo e abbia una derivata finita. Perché una funzione sia convessa (concava), è necessario e sufficiente che la sua derivata diminuisca (aumenti) su questo intervallo.

Teorema 2. Sia la funzione definita e continua insieme alla sua derivata su e ha una seconda derivata continua all'interno. Per la convessità (concavità) della funzione in essa è necessario e sufficiente che all'interno

Dimostriamo il Teorema 2 per il caso di convessità di una funzione.

Bisogno. Prendiamo un punto arbitrario. Espandi la funzione vicino a un punto in una serie di Taylor

Equazione della tangente ad una curva in un punto con un'ascissa:

Allora l'eccedenza della curva sulla tangente ad essa nel punto è uguale a

Quindi, il resto è uguale all'eccesso della curva sulla tangente ad essa in un punto. In virtù della continuità, se , quindi anche per, appartenente ad un intorno sufficientemente piccolo del punto, e quindi, ovviamente, per qualsiasi valore diverso da quello appartenente all'intorno indicato.

Quindi, il grafico della funzione si trova sopra la linea tangente e la curva è convessa in un punto arbitrario.

Adeguatezza. Lascia che la curva sia convessa sull'intervallo. Prendiamo un punto arbitrario.

Analogamente alla precedente, espandiamo la funzione vicino a un punto in una serie di Taylor

L'eccedenza della curva sulla tangente ad essa nel punto avente l'ascissa, determinata dall'espressione è

Poiché l'eccesso è positivo per un intorno sufficientemente piccolo del punto, anche la derivata seconda è positiva. Mentre ci sforziamo, lo otteniamo per un punto arbitrario .

Esempio. Esplora la funzione di convessità (concavità).

Il suo derivato aumenta sull'intero asse dei numeri, il che significa che per il Teorema 1 la funzione è concava.

La sua seconda derivata , quindi, per il Teorema 2, la funzione è concava su.

3.4.2.2 Punti di flesso

Definizione. Punto di flesso il grafico di una funzione continua è detto punto che separa gli intervalli in cui la funzione è convessa e concava.

Da questa definizione segue che i punti di flesso sono i punti estremi della derivata prima. Ciò implica le seguenti affermazioni per le condizioni di flesso necessarie e sufficienti.

Teorema (condizione di flessione necessaria)... Affinché un punto sia un punto di flesso di una funzione differenziabile due volte, è necessario che la sua seconda derivata in questo punto sia uguale a zero ( ) o non esisteva.

Teorema (condizione di flessione sufficiente). Se la derivata seconda di una funzione differenziabile due volte cambia segno quando passa per un certo punto, cioè un punto di flesso.

Nota che la seconda derivata potrebbe non esistere nel punto stesso.

L'interpretazione geometrica dei punti di flesso è illustrata in Fig. 3.9

In un intorno di un punto, la funzione è convessa e il suo grafico si trova al di sotto della tangente tracciata in questo punto. In prossimità di un punto, la funzione è concava e il suo grafico si trova sopra la tangente tracciata in questo punto. Nel punto di flesso, la tangente divide il grafico della funzione in aree di convessità e concavità.

3.4.2.3 Indagine della funzione per convessità e presenza di punti di flesso

1. Trova la derivata seconda.

2. Trova i punti in cui la derivata seconda o non esiste.

Riso. 3.9.

3. Indagare il segno della derivata seconda a sinistra ea destra dei punti trovati e trarre una conclusione sugli intervalli di convessità o concavità e la presenza di punti di flesso.

Esempio. Esaminare la funzione per la convessità e la presenza di punti di flesso.

2. La seconda derivata è uguale a zero in.

3. La derivata seconda cambia segno in, quindi il punto è il punto di flesso.

Su un intervallo, allora la funzione è convessa su quell'intervallo.

Sull'intervallo, allora la funzione è concava su questo intervallo.

3.4.2.4 Schema generale dello studio delle funzioni e dei grafici

Quando si esamina una funzione e si traccia il suo grafico, si consiglia di utilizzare il seguente schema:

1. Trovare il dominio della funzione.
2. Indagare la funzione per l'uniformità - stranezza. Ricordiamo che il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto all'asse delle ordinate e il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto all'origine.
3. Trova gli asintoti verticali.
4. Esplora il comportamento di una funzione all'infinito, trova asintoti orizzontali o obliqui.
5. Trova gli estremi e gli intervalli di monotonicità della funzione.
6. Trova gli intervalli di convessità della funzione e i punti di flesso.
7. Trova i punti di intersezione con gli assi coordinati.

Lo studio della funzione viene effettuato contemporaneamente alla costruzione del suo grafico.

Esempio. Esplora la funzione e costruire il suo programma.

1. Area di definizione della funzione -.

2. La funzione indagata è pari , quindi, il suo grafico è simmetrico rispetto all'asse delle ordinate.

3. Il denominatore della funzione si annulla a, quindi il grafico della funzione ha asintoti verticali e.

I punti sono punti di discontinuità del secondo tipo, poiché i limiti a sinistra ea destra in questi punti tendono a.

4. Comportamento della funzione all'infinito.

Pertanto, il grafico della funzione ha un asintoto orizzontale.

5. Estremi e intervalli di monotonia. Trova la derivata prima

Per, quindi, la funzione decresce in questi intervalli.

Per, quindi, la funzione aumenta in questi intervalli.

Quando, dunque, il punto è il punto critico.

Trova la derivata seconda

Poiché il punto è il punto di minimo della funzione.

6. Intervalli di convessità e punti di flesso.

Funzione a , quindi su questo intervallo la funzione è concava.

La funzione a significa che su questi intervalli la funzione è convessa.

La funzione non svanisce da nessuna parte, quindi non ci sono punti di flesso.

7. Punto di intersezione con gli assi cartesiani.

L'equazione ha una soluzione, ovvero il punto di intersezione del grafico della funzione con l'asse delle ordinate (0, 1).

L'equazione non ha soluzione, quindi non ci sono punti di intersezione con l'asse delle ascisse.

Tenendo conto della ricerca condotta, è possibile costruire un grafico della funzione

Grafico schematico di una funzione mostrato in Fig. 3.10.

Riso. 3.10.

3.4.2.5 Asintoti del grafico di una funzione

Definizione. Asintoto il grafico di una funzione è detto retta, che ha la proprietà che la distanza da un punto () a questa retta tende a 0 con una distanza illimitata dall'origine del punto del grafico.

Lo schema generale dello studio della funzione e la costruzione del grafico.
1. Indagine sulla funzione per convessità e concavità.

1. 
   
2. 
   Asintoti del grafico di una funzione.

Introduzione.

Nel corso di matematica della tua scuola, hai già incontrato la necessità di tracciare grafici di funzioni. In, hai usato il metodo di costruzione punto per punto. Va notato che è semplice nel concetto e conduce relativamente rapidamente all'obiettivo. Nei casi in cui la funzione è continua e cambia in modo piuttosto fluido, questo metodo può fornire il necessario grado di accuratezza della rappresentazione grafica. Per fare ciò, è necessario prendere più punti per ottenere una certa densità del loro posizionamento.

Supponiamo ora che la funzione in alcuni punti abbia caratteristiche nel suo "comportamento": o i suoi valori da qualche parte in una piccola area cambiano bruscamente, o ci sono discontinuità. Le parti più significative del grafico potrebbero non essere rilevate in questo modo.

Questa circostanza riduce anche il valore del metodo di tracciare il grafico "per punti".

Esiste un secondo modo per costruire grafici, basato sullo studio analitico delle funzioni. Si confronta favorevolmente con il metodo discusso nel corso di matematica della scuola.

1. Studio della funzione per convessità e concavità .

Lascia che la funzione
differenziabile sull'intervallo (a, c). Allora c'è una tangente al grafico della funzione in ogni punto
questo grafico (
), e la tangente non è parallela all'asse OY, poiché la sua pendenza è pari a
, Certo.

oh
Incarico Diremo che il grafico della funzione
su (a, b) ha un rilascio verso il basso (su), se si trova non al di sotto (non al di sopra) di qualsiasi tangente al grafico della funzione su (a, b).

a) curva concava b) curva convessa

Teorema 1 (condizione necessaria per la convessità (concavità) di una curva).

Se il grafico di una funzione differenziabile due volte è una curva convessa (concava), allora la seconda derivata sull'intervallo (a, b) è negativa (positiva) su questo intervallo.

Teorema 2(condizione sufficiente per la convessità (concavità) di una curva).

Se la funzione è due volte derivabile su (a, b) e
(
) in tutti i punti di questo intervallo, allora la curva che è il grafico della funzione è convessa (concava) su questo intervallo.

1. 
   Punti di flesso del grafico della funzione.

Definizione Punto
si chiama punto di flesso del grafico della funzione, se nel punto
il grafico ha una retta tangente, e c'è un intorno del punto , all'interno del quale il grafico della funzione a sinistra ea destra del punto ha diverse direzioni di convessità.

oh Si può vedere che nel punto di flesso la tangente interseca il grafico della funzione, poiché da un lato di questo punto il grafico si trova sopra la tangente e dall'altro - al di sotto di essa, cioè in prossimità del punto di flesso , il grafico della funzione va geometricamente da un lato all'altro della tangente e si "piega" su di esso. Da qui deriva il nome "punto di flesso".

Teorema 3(un prerequisito per il punto di flesso). Lascia che il grafico della funzione abbia un'inflessione nel punto e lascia che la funzione abbia un punto derivata seconda continua. Quindi
.
Non tutti i punti per i quali è un punto di flesso. Ad esempio, il grafico della funzione
non ha flesso nel punto (0, 0), sebbene
a
... Pertanto, l'uguaglianza a zero della derivata seconda è solo una condizione di flessione necessaria.

I punti del grafico per cui è chiamato punti criticiII-città.È necessario approfondire la questione della presenza di inflessioni in ogni punto critico.

Teorema 4(condizione sufficiente per un punto di flesso). Lascia che la funzione abbia la derivata seconda in qualche intorno del punto. Quindi, se all'interno del quartiere specificato
ha segni diversi a sinistra ea destra del punto, quindi il grafico ha un punto di flesso nel punto.
Commento. Il teorema rimane vero se
ha una derivata seconda in qualche intorno del punto, eccetto per il punto stesso, e c'è una tangente al grafico della funzione nel punto
... Quindi, se all'interno dell'intorno specificato ha segni diversi a sinistra ea destra del punto, il grafico della funzione ha un punto di flesso nel punto.
Schema dello studio della funzione per convessità, concavità, punti di flesso.

Esempio. Esplora la funzione
su convessità, concavità, punti di flesso.
1.

2.
,
=

3. non esiste per

	)	1	(1, +)
	-		+
		1

1. 
   Asintoti del grafico di una funzione.

Quando si studia il comportamento di una funzione con
o in prossimità di punti di discontinuità del 2° tipo, spesso risulta che il grafico della funzione si avvicina il più possibile all'una o all'altra retta. Tali linee rette sono chiamate.

oh definizione 1. Dritto si dice asintoto della curva L se la distanza dal punto della curva a questa retta tende a zero man mano che il punto si allontana lungo la curva all'infinito. Esistono tre tipi di asintoti: verticale, orizzontale, obliquo.

Definizione 2. Dritto
si dice asintoto verticale del grafico della funzione se almeno uno dei limiti unilaterali è
, cioè, o

Ad esempio, il grafico della funzione
ha un asintoto verticale
, perché.
, un
.

Definizione 3. La retta y = A è detta asintoto orizzontale del grafico della funzione at
Se
.

Ad esempio, il grafico di una funzione ha un asintoto orizzontale y = 0, poiché.
.

Definizione 4. Dritto
(
) è detto asintoto obliquo del grafico della funzione at
Se
;

Se almeno uno dei limiti non esiste, allora la curva non ha asintoti. Se, allora questi limiti dovrebbero essere ricercati separatamente, per e
.

Per esempio. Trova gli asintoti del grafico di una funzione

; x = 0 - asintoto verticale

;
.

- asintoto obliquo.
4. Schema di uno studio completo della funzione e della rappresentazione grafica.

Consideriamo uno schema approssimativo secondo il quale è opportuno indagare il comportamento di una funzione e costruirne il grafico.

Esempio. Esplora la funzione
e costruire il suo programma.

1., eccetto x = -1.

2.
la funzione non è né pari né dispari

-

-



+

+

sì

-4


t p.

0

Conclusione.
Una caratteristica importante del metodo considerato è che si basa principalmente sul rilevamento e sullo studio delle caratteristiche nel comportamento della curva. I luoghi in cui la funzione cambia in modo fluido non sono studiati in modo particolare e non è necessario tale studio. Ma quei luoghi in cui la funzione ha delle peculiarità nel comportamento sono soggetti a una ricerca completa e alla rappresentazione grafica più accurata. Queste caratteristiche sono i punti di massimo, minimo, punti di discontinuità della funzione, ecc.

La determinazione della direzione della concavità e delle curve, nonché il metodo indicato per trovare gli asintoti, consentono di studiare le funzioni in modo ancora più dettagliato e di avere un'idea più accurata dei loro grafici.

Istruzioni

I punti di flesso della funzione devono appartenere al dominio della sua definizione, che deve essere trovata per prima. Il grafico di una funzione è una retta che può essere continua o presentare discontinuità, diminuire o aumentare in modo monotono, avere punti di minimo o massimo (asintoti), essere convessa o concava. Un brusco cambiamento negli ultimi due stati è chiamato inflessione.

Una condizione necessaria per l'esistenza di un'inflessione di una funzione è l'uguaglianza del secondo a zero. Quindi, differenziando due volte la funzione ed eguagliando l'espressione risultante a zero, si possono trovare le ascisse dei possibili punti di flesso.

Questa condizione segue dalla definizione delle proprietà di convessità e concavità del grafico di una funzione, cioè valori negativi e positivi della seconda derivata. Nel punto di flesso, c'è un brusco cambiamento in queste proprietà, il che significa che la derivata va oltre lo zero. Tuttavia, l'uguaglianza a zero non è ancora sufficiente per indicare un'inflessione.

Ce ne sono due sufficienti perché l'ascissa trovata nella fase precedente appartenga al punto di flesso: Attraverso questo punto, puoi disegnare una tangente alla funzione. La seconda derivata ha segni diversi a destra ea sinistra del punto di flesso ipotizzato. Pertanto, la sua esistenza nel punto stesso non è necessaria, è sufficiente determinare che cambia segno in esso La seconda derivata della funzione è uguale a zero e la terza no.

La prima condizione sufficiente è universale e viene utilizzata più spesso di altre. Considera un esempio illustrativo: y = (3 x + 3) ∛ (x - 5).

Soluzione: trovare l'ambito. In questo caso, non ci sono restrizioni, quindi è l'intero spazio dei numeri reali. Calcola la derivata prima: y '= 3 ∛ (x - 5) + (3 x + 3) / ∛ (x - 5) ².

Presta attenzione all'aspetto della frazione. Ne consegue che il campo di definizione della derivata è limitato. Il punto x = 5 è forato, il che significa che può attraversarlo una tangente, che in parte corrisponde al primo segno della sufficienza del flesso.

Determinare i limiti unilaterali per l'espressione risultante come x → 5 - 0 e x → 5 + 0. Sono -∞ e + ∞. Hai dimostrato che una tangente verticale passa per il punto x = 5. Questo punto può rivelarsi un punto di flesso, ma prima calcola la seconda derivata: Y '' = 1 / ∛ (x - 5) ² + 3 / ∛ (x - 5) ² - 2/3 (3 x + 3 ) / (x - 5) ^ 5 = (2 x - 22) / (x - 5) ^ 5.

Ometti il ​​denominatore, poiché hai già preso in considerazione il punto x = 5. Risolvi l'equazione 2 x - 22 = 0. Ha un'unica radice x = 11. L'ultimo passaggio consiste nel confermare che i punti x = 5 e x = 11 sono punti di flesso. Analizzare il comportamento della derivata seconda nelle loro vicinanze. È ovvio che nel punto x = 5 cambia segno da "+" a "-", e nel punto x = 11 - viceversa. Conclusione: entrambi i punti sono punti di flesso. La prima condizione sufficiente è soddisfatta.