Atrodiet funkcijas izliekuma intervālus. Funkcijas diagrammas izliekuma un ieliekuma intervāli

Izmantojot tiešsaistes kalkulatoru, varat atrast funkciju grafika lēciena punkti un izliekuma intervāli ar risinājuma noformējumu programmā Word. Vai divu mainīgo f (x1, x2) funkcija ir izliekta, tiek atrisināta, izmantojot Hesenes matricu.

Funkciju ievadīšanas noteikumi:

Funkcijas grafika izliekuma virziens. Līkuma punkti

Definīcija: līkni y = f (x) sauc par izliektu uz leju intervālā (a; b), ja tā atrodas virs tangences jebkurā šī intervāla punktā.

Definīcija: Līkni y = f (x) sauc par izliektu augšup intervālā (a; b), ja tā atrodas zem tangences jebkurā šī intervāla punktā.

Definīcija: Intervālus, kuros funkcijas grafiks tiek pagriezts uz augšu vai uz leju, sauc par funkcijas grafika izliekuma intervāliem.

Līknes uz leju vai augšupejošu izliekumu, kas ir funkcijas y = f (x) grafiks, raksturo tās otrā atvasinājuma zīme: ja kādā intervālā f '' (x)> 0, tad līkne ir šajā intervālā izliekts uz leju; ja f '' (x)< 0, то кривая выпукла вверх на этом промежутке.

Definīcija: Funkcijas y = f (x) grafika punktu, kas atdala šī grafika pretējo virzienu izliekuma intervālus, sauc par lēciena punktu.

Par lēciena punktiem var kalpot tikai otrā veida kritiskie punkti, t.i. punkti, kas pieder funkcijas y = f (x) definīcijas apgabalam, pie kuriem otrais atvasinājums f '' (x) pazūd vai tam ir pārtraukums.

Noteikums funkcijas y = f (x) grafika lēciena punktu atrašanai

1. Atrodiet otro atvasinājumu f '' (x).
2. Atrodiet funkcijas y = f (x) otrā veida kritiskos punktus, t.i. punkts, kurā f '' (x) pazūd vai pārtrūkst.
3. Izpētīt otrā atvasinājuma f '' (x) zīmi intervālā, kurā atrastie kritiskie punkti sadala funkcijas f (x) definīcijas apgabalu. Ja šajā gadījumā kritiskais punkts x 0 atdala pretējo virzienu izliekuma intervālus, tad x 0 ir funkcijas grafika lēciena punkta abscisa.
4. Aprēķiniet funkcijas vērtības lēciena punktos.

1. piemērs. Atrodiet šādas līknes izliekuma un lēciena punktu intervālus: f (x) = 6x 2 –x 3.
Risinājums: atrodiet f '(x) = 12x - 3x 2, f' '(x) = 12 - 6x.
Atrodiet kritiskos punktus pēc otrā atvasinājuma, atrisinot vienādojumu 12-6x = 0. x = 2.


f (2) = 6 * 2 2 - 2 3 = 16
Atbilde: Funkcija ir izliekta uz augšu x∈ (2; + ∞); funkcija ir izliekta uz leju x∈ (-∞; 2); lēciena punkts (2; 16).

2. piemērs. Vai funkcijai ir lēciena punkti: f (x) = x 3 -6x 2 + 2x-1

3. piemērs. Atrodiet intervālus, kuros funkcijas grafiks ir izliekts un izliekts: f (x) = x 3 -6x 2 + 12x + 4

Lai noteiktu funkcijas izliekumu (ieliekumu) noteiktā intervālā, var izmantot šādas teorēmas.

1. teorēma.Ļaujiet funkcijai būt definētai un nepārtrauktai šajā intervālā, un tai ir ierobežots atvasinājums. Lai funkcija būtu izliekta (ieliekta), ir nepieciešams un pietiekami, lai tās atvasinājums šajā intervālā samazinās (palielinās).

2. teorēma.Ļaujiet funkcijai būt definētai un nepārtrauktai kopā ar tās atvasinājumu un tajā ir nepārtraukts otrais atvasinājums. Funkcijas izliekumam (ieliekumam) tajā ir nepieciešams un pietiekams, ka iekšā

Pierādīsim 2. teorēmu funkcijas izliekuma gadījumā.

Vajag. Ņemsim patvaļīgu punktu. Izvērsiet funkciju netālu no Teilora sērijas punkta

Līknes pieskares vienādojums punktā ar abscisu:

Tad līknes pārsniegums virs tās pieskares punktā ir vienāds ar

Tādējādi atlikums ir vienāds ar līknes pārsniegumu pār tai pieskares punktā noteiktā punktā. Nepārtrauktības dēļ, ja , tad arī par piederību pietiekami nelielai punkta apkaimē, un tāpēc acīmredzot jebkurai citai vērtībai, izņemot vērtību, kas pieder norādītajai apkārtnei.

Tādējādi funkcijas grafiks atrodas virs pieskares līnijas, un līkne ir izliekta patvaļīgā punktā.

Atbilstība. Lai līkne ir izliekta uz intervāla. Ņemsim patvaļīgu punktu.

Līdzīgi kā iepriekšējā, mēs izvēršam funkciju netālu no punkta par Teilora sēriju

Līknes pārsniegums virs tās pieskares punktā ar abscisu, ko nosaka ar izteiksmi

Tā kā pārsniegums ir pozitīvs pietiekami mazai punkta apkārtnei, arī otrais atvasinājums ir pozitīvs. Cenšoties mēs to iegūstam patvaļīgam punktam .

Piemērs. Izpētiet izliekuma (ieliekuma) funkciju.

Tā atvasinājums palielinās uz visas skaitļa ass, kas nozīmē, ka saskaņā ar 1. teorēmu funkcija ir ieliekta.

Tā otrais atvasinājums , tāpēc saskaņā ar 2. teorēmu funkcija ir ieliekta.

3.4.2.2. Līkuma punkti

Definīcija. Līkuma punkts nepārtrauktas funkcijas grafiku sauc par punktu, kas atdala intervālus, kuros funkcija ir izliekta un ieliekta.

No šīs definīcijas izriet, ka lēciena punkti ir pirmā atvasinājuma galējie punkti. Tas nozīmē šādus apgalvojumus par nepieciešamajiem un pietiekamiem locīšanas nosacījumiem.

Teorēma (nepieciešams locīšanas nosacījums)... Lai punkts būtu divreiz diferencējamas funkcijas lēciena punkts, ir nepieciešams, lai tā otrais atvasinājums šajā punktā būtu vienāds ar nulli ( ) vai neeksistēja.

Teorēma (pietiekams locīšanas nosacījums). Ja divreiz diferencējamas funkcijas otrais atvasinājums maina zīmi, ejot caur noteiktu punktu, tas ir, lēciena punktu.

Ņemiet vērā, ka otrs atvasinājums var nepastāvēt pašā punktā.

Līkuma punktu ģeometriskā interpretācija ir parādīta attēlā. 3.9

Punkta tuvumā funkcija ir izliekta, un tās grafiks atrodas zem šajā punktā novilktās pieskares. Punkta tuvumā funkcija ir ieliekta, un tās grafiks atrodas virs šajā punktā novilktās pieskares. Līkuma punktā tangenss sadala funkcijas grafiku izliekuma un ieliekuma zonās.

3.4.2.3. Funkcijas izliekuma un lēciena punktu klātbūtnes izpēte

1. Atrodiet otro atvasinājumu.

2. Atrodiet punktus, kuros otrais atvasinājums vai nepastāv.

Rīsi. 3.9.

3. Izpētīt otrā atvasinājuma zīmi pa kreisi un pa labi no atrastajiem punktiem un izdarīt secinājumu par izliekuma vai ieliekuma intervāliem un lēciena punktu esamību.

Piemērs. Pārbaudiet izliekuma funkciju un lēciena punktu klātbūtni.

2. Otrais atvasinājums ir vienāds ar nulli at.

3. Otrais atvasinājums maina zīmi pie, tātad punkts ir lēciena punkts.

Intervālā funkcija ir izliekta šajā intervālā.

Intervālā funkcija ir ieliekta šajā intervālā.

3.4.2.4. Funkciju izpētes un diagrammas vispārīgā shēma

Pārbaudot funkciju un veidojot tās grafiku, ieteicams izmantot šādu shēmu:

1. Atrodiet funkcijas domēnu.
2. Izpētiet vienmērīguma - dīvainības funkciju. Atgādinām, ka pāra funkcijas grafiks ir simetrisks ap ordinātu asi, bet nepāra funkcijas grafiks ir simetrisks pret izcelsmi.
3. Atrodiet vertikālās asimptotes.
4. Izpētiet funkcijas uzvedību bezgalībā, atrodiet horizontālās vai slīpās asimptotes.
5. Atrodiet funkcijas monotonitātes galējības un intervālus.
6. Atrodiet funkcijas izliekuma intervālus un lēciena punktus.
7. Atrodiet krustošanās punktus ar koordinātu asīm.

Funkcijas izpēte tiek veikta vienlaikus ar tās grafika veidošanu.

Piemērs. Izpētīt funkciju un izveidojiet viņas grafiku.

1. Funkciju definīcijas apgabals -.

2. Pētītā funkcija ir pāra , tāpēc tā grafiks ir simetrisks attiecībā pret ordinātu asi.

3. Funkcijas saucējs pazūd pie, tātad funkcijas grafikā ir vertikālas asimptotes un.

Punkti ir otrā veida pārtraukuma punkti, jo šajos punktos ir tendence pa kreisi un pa labi.

4. Funkcijas uzvedība bezgalībā.

Tāpēc funkcijas grafikam ir horizontāla asimptote.

5. Ekstrēmas un monotonijas intervāli. Atrodiet pirmo atvasinājumu

Tāpēc funkcija šajos intervālos samazinās.

Tāpēc funkcija šajos intervālos palielinās.

Kad tāpēc punkts ir kritiskais punkts.

Atrodiet otro atvasinājumu

Tā kā punkts ir funkcijas minimālais punkts.

6. Izliekuma intervāli un lēciena punkti.

Funkcija plkst , tāpēc šajā intervālā funkcija ir ieliekta.

Funkcija at, nozīmē, ka šajos intervālos funkcija ir izliekta.

Funkcija nekur nepazūd, tāpēc nav lēciena punktu.

7. Krustošanās punkti ar koordinātu asīm.

Vienādojumam ir risinājums, kas nozīmē funkcijas grafika krustošanās punktu ar ordinātu asi (0, 1).

Vienādojumam nav atrisinājuma, tāpēc nav krustošanās punktu ar abscisu asi.

Ņemot vērā veikto pētījumu, iespējams izveidot funkcijas grafiku

Funkcijas shematisks grafiks attēlā parādīts. 3.10.

Rīsi. 3.10.

3.4.2.5. Funkcijas grafika asimptotes

Definīcija. Asimptote funkcijas grafiku sauc par taisni, kurai ir īpašība, ka attālums no punkta () līdz šai taisnei tiecas uz 0 ar neierobežotu attālumu no grafika punkta sākuma.

Funkcijas izpētes vispārīgā shēma un grafa uzbūve.
1. Izliekuma un ieliekuma funkcijas izpēte.

1. 
   
2. 
   Funkcijas grafika asimptotes.

Ievads.

Savā skolas matemātikas kursā jūs jau esat saskāries ar vajadzību uzzīmēt funkciju grafikus. Jūs izmantojāt konstruēšanas metodi, izmantojot punktu pa punktam. Jāatzīmē, ka tā ir vienkārša koncepcijā un salīdzinoši ātri noved pie mērķa. Gadījumos, kad funkcija ir nepārtraukta un mainās diezgan vienmērīgi, šī metode var nodrošināt nepieciešamo grafiskā attēlojuma precizitātes pakāpi. Lai to izdarītu, jums ir jāņem vairāk punktu, lai sasniegtu noteiktu to izvietojuma blīvumu.

Pieņemsim, ka tagad funkcijai dažviet ir iezīmes tās "uzvedībā": vai nu tās vērtības kaut kur nelielā apgabalā pēkšņi mainās, vai arī ir pārtraukumi. Šādā veidā var netikt noteiktas nozīmīgākās diagrammas daļas.

Šis apstāklis ​​samazina arī grafikas zīmēšanas metodes vērtību "pēc punktiem".

Ir otrs veids, kā izveidot diagrammas, pamatojoties uz funkciju analītisko izpēti. Tas ir labvēlīgi salīdzināms ar skolas matemātikas kursā apspriesto metodi.

1. Izliekuma un ieliekuma funkcijas izpēte .

Ļaujiet funkcijai
diferencējams intervālā (a, c). Tad funkcijas grafikam jebkurā punktā ir pieskare
šis grafiks (
), un pieskare nav paralēla OY asij, jo tās slīpums ir vienāds ar
, protams.

O
uzdevums Mēs teiksim, ka funkcijas grafiks
uz (a, b) ir lejupvērsta (augšup) atbrīvošana, ja tā neatrodas zem (ne virs) jebkuras pieskares funkcijas grafikam uz (a, b).

a) ieliekta līkne b) izliekta līkne

1. teorēma (nepieciešams nosacījums līknes izliekumam (ieliekumam).

Ja divreiz diferencējamas funkcijas grafiks ir izliekta (ieliekta) līkne, tad otrais atvasinājums intervālā (a, b) ir negatīvs (pozitīvs) šajā intervālā.

2. teorēma(pietiekams nosacījums līknes izliekumam (ieliekumam).

Ja funkcija ir divreiz diferencējama uz (a, b) un
(
) visos šī intervāla punktos, tad līkne, kas ir funkcijas grafiks, šajā intervālā ir izliekta (ieliekta).

1. 
   Funkcijas grafika lēciena punkti.

Definīcija Punkts
sauc par funkcijas grafika lēciena punktu, ja punktā
grafikā ir pieskares līnija, un ir punkta apkārtne , kurā funkcijas grafikam pa kreisi un pa labi no punkta ir dažādi izliekuma virzieni.

O Redzams, ka lēciena punktā pieskare krusto funkcijas grafiku, jo vienā šī punkta pusē grafiks atrodas virs pieskares, bet otrā - zem tā, tas ir, lēciena punkta tuvumā. , funkcijas grafiks ģeometriski iet no vienas pieskares puses uz otru un "izliecas" pāri tai. No šejienes cēlies nosaukums "locījuma punkts".

3. teorēma(priekšnoteikums lēciena punktam). Ļaujiet funkcijas grafikam būt locījumam punktā un funkcijai punktā nepārtraukts otrais atvasinājums. Tad
.
Ne katrs punkts ir lēciena punkts. Piemēram, funkcijas grafiks
nav locījuma punktā (0, 0), lai gan
plkst
... Tāpēc otrā atvasinājuma vienādība ar nulli ir tikai nepieciešams locīšanas nosacījums.

Grafika punkti, kuriem tas tiek izsaukts kritiskie punktiII- pilsētas. Nepieciešams turpināt pētīt jautājumu par locījumu esamību katrā kritiskajā punktā.

4. teorēma(pietiekams nosacījums lēciena punktam). Lai funkcijai ir otrs atvasinājums kādā punkta apkārtnē. Tad, ja norādītajā apkārtnē
ir dažādas zīmes pa kreisi un pa labi no punkta, tad grafikā punktā ir lēciena punkts.
komentēt. Teorēma paliek patiesa, ja
ir otrs atvasinājums kādā punkta apkārtnē, izņemot pašu punktu, un funkcijas grafikam punktā ir pieskare.
... Tad, ja norādītajā apkārtnē ir atšķirīgas zīmes pa kreisi un pa labi no punkta, tad funkcijas grafikam punktā ir lēciena punkts.
Izliekuma, ieliekuma, lēciena punktu funkcijas izpētes shēma.

Piemērs. Izpētīt funkciju
uz izliekuma, ieliekuma, lēciena punktiem.
1.

2.
,
=

3. neeksistē priekš

	)	1	(1, +)
	-		+
		1

1. 
   Funkcijas grafika asimptotes.

Pētot funkcijas uzvedību ar
vai tuvu 2. veida pārtraukumu punktiem, bieži vien izrādās, ka funkcijas grafiks tuvojas pēc iespējas tuvāk vienai vai otrai taisnei. Tādas taisnas līnijas sauc.

O definīcija 1. Taisni sauc par līknes L asimptotu, ja attālumam no līknes punkta līdz šai taisnei ir tendence uz nulli, punktam attālinoties pa līkni līdz bezgalībai. Ir trīs veidu asimptoti: vertikāli, horizontāli, slīpi.

2. definīcija. Taisni
sauc par funkcijas grafika vertikālo asimptotu, ja ir vismaz viena no vienpusējām robežām
, tas ir, vai

Piemēram, funkcijas grafiks
ir vertikāla asimptote
, jo.
, a
.

3. definīcija. Taisni y = A sauc par funkcijas at grafika horizontālo asimptotu
ja
.

Piemēram, funkcijas grafikā ir horizontāla asimptote y = 0, kopš.
.

4. definīcija. Taisni
(
) sauc par funkcijas at grafa slīpo asimptotu
ja
;

Ja vismaz viena no robežām nepastāv, tad līknei nav asimptotu. Ja, tad šīs robežas jāmeklē atsevišķi, priekš un
.

Piemēram. Atrodiet funkcijas grafika asimptotus

; x = 0 - vertikāla asimptote

;
.

- slīpa asimptote.
4. Funkcijas pilnīgas izpētes un diagrammas shēma.

Apskatīsim aptuvenu shēmu, pēc kuras ieteicams izpētīt funkcijas uzvedību un izveidot tās grafiku.

Piemērs. Izpētīt funkciju
un izveidojiet viņas grafiku.

1., izņemot x = -1.

2.
funkcija nav ne pāra, ne nepāra

-

-



+

+

y

-4


t lpp.

0

Secinājums.
Svarīga aplūkotās metodes iezīme ir tā, ka tā galvenokārt balstās uz līknes uzvedības raksturīgo pazīmju noteikšanu un izpēti. Vietas, kur funkcija vienmērīgi mainās, nav īpaši detalizēti pētītas, un šāda izpēte nav nepieciešama. Bet tās vietas, kur funkcijai ir kādas uzvedības īpatnības, ir pakļautas pilnīgai izpētei un visprecīzākajam grafiskajam attēlojumam. Šīs pazīmes ir maksimālās, minimālās, funkcijas pārtraukuma punkti utt.

Ieliekuma un locījumu virziena noteikšana, kā arī norādītā asimptotu atrašanas metode ļauj vēl detalizētāk izpētīt funkcijas un iegūt precīzāku priekšstatu par to grafikiem.

Instrukcijas

Funkcijas lēciena punktiem ir jāiekļaujas tās definīcijas jomā, kas vispirms jāatrod. Funkcijas grafiks ir līnija, kas var būt nepārtraukta vai ar pārtraukumiem, monotoni samazināties vai palielināties, ar minimālo vai maksimālo punktu (asimptotu), būt izliekta vai ieliekta. Pēkšņas izmaiņas pēdējos divos stāvokļos sauc par locījumu.

Nepieciešams nosacījums funkcijas locījuma pastāvēšanai ir otrās vienādība ar nulli. Tādējādi, divreiz diferencējot funkciju un pielīdzinot iegūto izteiksmi nullei, var atrast iespējamo lēciena punktu abscises.

Šis nosacījums izriet no funkcijas grafika izliekuma un ieliekuma īpašību definīcijas, t.i. otrā atvasinājuma negatīvās un pozitīvās vērtības. Līkuma punktā notiek strauja šo īpašību maiņa, kas nozīmē, ka atvasinājums iet pāri nulles atzīmei. Tomēr vienlīdzība ar nulli joprojām nav pietiekama, lai apzīmētu locījumu.

Ir divi pietiekami, lai iepriekšējā posmā atrastā abscisa piederētu lēciena punktam: Caur šo punktu var uzzīmēt funkcijas tangensu. Otrajam atvasinājumam ir dažādas zīmes pa labi un pa kreisi no pieņemtā lēciena punkta. Tātad tās eksistence pašā punktā nav nepieciešama, pietiek noteikt, ka tā maina zīmi tajā.Otrais funkcijas atvasinājums ir vienāds ar nulli, bet trešais nav.

Pirmais pietiekams nosacījums ir universāls un tiek izmantots biežāk nekā citi. Apsveriet ilustratīvu piemēru: y = (3 x + 3) ∛ (x - 5).

Risinājums: atrodiet darbības jomu. Šajā gadījumā ierobežojumu nav, tāpēc tā ir visa reālo skaitļu telpa. Aprēķiniet pirmo atvasinājumu: y '= 3 ∛ (x - 5) + (3 x + 3) / ∛ (x - 5) ².

Pievērsiet uzmanību frakcijas izskatam. No tā izriet, ka atvasinājuma definīcijas diapazons ir ierobežots. Punkts x = 5 ir caurdurts, kas nozīmē, ka caur to var iziet pieskare, kas daļēji atbilst pirmajai lieces pietiekamības pazīmei.

Nosakiet iegūtās izteiksmes vienpusējas robežas kā x → 5 - 0 un x → 5 + 0. Tās ir -∞ un + ∞. Jūs pierādījāt, ka vertikālā pieskare iet caur punktu x = 5. Šis punkts var izrādīties lēciena punkts, taču vispirms aprēķiniet otro atvasinājumu: Y '' = 1 / ∛ (x - 5) ² + 3 / ∛ (x - 5) ² - 2/3 (3 x + 3 ) / ∛ (x - 5) ^ 5 = (2 x - 22) / ∛ (x - 5) ^ 5.

Izlaidiet saucēju, jo jūs jau esat ņēmis vērā punktu x = 5. Atrisiniet vienādojumu 2 x - 22 = 0. Tam ir viena sakne x = 11. Pēdējais solis ir apstiprināt, ka punkti x = 5 un x = 11 ir lēciena punkti. Analizējiet otrā atvasinājuma uzvedību to tuvumā. Ir skaidrs, ka punktā x = 5 tas maina savu zīmi no "+" uz "-", un punktā x = 11 - otrādi. Secinājums: abi punkti ir lēciena punkti. Pirmais pietiekošais nosacījums ir izpildīts.