Uzzīmējiet funkciju x 2 2x. Diagrammu veidošana tiešsaistē

Plaknē izvēlamies taisnstūra koordinātu sistēmu un uz abscisu ass attēlojam argumenta vērtības X, un uz y ass - funkcijas vērtības y = f(x).

Funkciju grafiks y = f(x) tiek izsaukta visu punktu kopa, kurai abscises pieder funkcijas domēnam, un ordinātas ir vienādas ar atbilstošajām funkcijas vērtībām.

Citiem vārdiem sakot, funkcijas y \u003d f (x) grafiks ir visu plaknes punktu kopa, koordinātas X, plkst kas apmierina attiecības y = f(x).

Uz att. 45 un 46 ir funkciju grafiki y = 2x + 1 Un y \u003d x 2 - 2x.

Stingri sakot, ir jānošķir funkcijas grafiks (kuras precīza matemātiskā definīcija tika sniegta iepriekš) no uzzīmētās līknes, kas vienmēr sniedz tikai vairāk vai mazāk precīzu diagrammas skici (un pat tad, kā likums, nevis viss grafiks, bet tikai tā daļa, kas atrodas plaknes pēdējās daļās). Tomēr turpmāk mēs parasti atsauksimies uz "diagrammu", nevis uz "diagrammas skici".

Izmantojot grafiku, jūs varat atrast funkcijas vērtību punktā. Proti, ja punkts x = a pieder pie funkcijas darbības jomas y = f(x), pēc tam, lai atrastu numuru f(a)(t.i., funkcijas vērtības punktā x = a) tas jādara. Vajag caur punktu ar abscisu x = a novilkt taisnu līniju, kas ir paralēla y asij; šī līnija krustos funkcijas grafiku y = f(x) vienā punktā; šī punkta ordināta saskaņā ar grafa definīciju būs vienāda ar f(a)(47. att.).

Piemēram, funkcijai f(x) = x 2 - 2x izmantojot grafiku (46. att.) atrodam f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 utt.

Funkcijas grafiks vizuāli ilustrē funkcijas uzvedību un īpašības. Piemēram, ņemot vērā att. 46 ir skaidrs, ka funkcija y \u003d x 2 - 2x pieņem pozitīvas vērtības, kad X< 0 un plkst x > 2, negatīvs - pie 0< x < 2; наименьшее значение функция y \u003d x 2 - 2x pieņem plkst x = 1.

Lai attēlotu funkciju f(x) jums jāatrod visi plaknes punkti, koordinātas X,plkst kas apmierina vienādojumu y = f(x). Vairumā gadījumu tas nav iespējams, jo šādu punktu ir bezgalīgi daudz. Tāpēc funkcijas grafiks ir attēlots aptuveni – ar lielāku vai mazāku precizitāti. Vienkāršākā ir vairāku punktu diagrammas metode. Tas sastāv no tā, ka arguments X norādiet ierobežotu skaitu vērtību - teiksim, x 1 , x 2 , x 3 ,..., x k un izveidojiet tabulu, kurā iekļautas funkcijas atlasītās vērtības.

Tabula izskatās šādi:

Sastādot šādu tabulu, funkcijas grafikā varam iezīmēt vairākus punktus y = f(x). Tad, savienojot šos punktus ar gludu līniju, mēs iegūstam aptuvenu funkcijas grafika skatu y = f(x).

Tomēr jāatzīmē, ka daudzpunktu zīmēšanas metode ir ļoti neuzticama. Faktiski diagrammas uzvedība starp atzīmētajiem punktiem un tās uzvedība ārpus segmenta starp galējiem punktiem joprojām nav zināma.

1. piemērs. Lai attēlotu funkciju y = f(x) kāds sastādīja argumentu un funkciju vērtību tabulu:

Atbilstošie pieci punkti ir parādīti attēlā. 48.

Pamatojoties uz šo punktu atrašanās vietu, viņš secināja, ka funkcijas grafiks ir taisna līnija (48. attēlā parādīta ar punktētu līniju). Vai šo secinājumu var uzskatīt par ticamu? Ja vien nav papildu apsvērumu, kas pamato šo secinājumu, to diez vai var uzskatīt par ticamu. uzticams.

Lai pamatotu mūsu apgalvojumu, apsveriet funkciju

.

Aprēķini liecina, ka šīs funkcijas vērtības punktos -2, -1, 0, 1, 2 ir tikai aprakstītas iepriekšējā tabulā. Taču šīs funkcijas grafiks nepavisam nav taisna līnija (tā parādīta 49. att.). Vēl viens piemērs ir funkcija y = x + l + sinx; tā nozīmes ir aprakstītas arī iepriekš tabulā.

Šie piemēri parāda, ka savā "tīrā" veidā daudzpunktu diagrammas metode nav uzticama. Tāpēc, lai attēlotu doto funkciju, parasti rīkojieties šādi. Vispirms tiek pētītas šīs funkcijas īpašības, ar kuras palīdzību iespējams konstruēt grafa skici. Pēc tam, aprēķinot funkcijas vērtības vairākos punktos (kuru izvēle ir atkarīga no iestatītajām funkcijas īpašībām), tiek atrasti atbilstošie grafika punkti. Un visbeidzot, izmantojot šīs funkcijas īpašības, caur konstruētajiem punktiem tiek novilkta līkne.

Mēs apsvērsim dažas (vienkāršākās un biežāk lietotās) funkciju īpašības, kuras izmanto, lai atrastu grafa skici vēlāk, un tagad mēs analizēsim dažas visbiežāk izmantotās metodes grafiku zīmēšanai.

Funkcijas y = |f(x)| grafiks.

Bieži vien ir nepieciešams uzzīmēt funkciju y = |f(x)|, kur f(x) - dotā funkcija. Atcerieties, kā tas tiek darīts. Pēc skaitļa absolūtās vērtības definīcijas var rakstīt

Tas nozīmē, ka funkcijas grafiks y=|f(x)| var iegūt no grafika, funkcijas y = f(x)šādi: visi funkcijas grafika punkti y = f(x), kuras ordinātas nav negatīvas, jāatstāj nemainīga; tālāk funkcijas grafika punktu vietā y = f(x), kam ir negatīvas koordinātas, jākonstruē atbilstošie funkcijas grafika punkti y = -f(x)(t.i., funkciju grafika daļa
y = f(x), kas atrodas zem ass X, jāatspoguļo simetriski ap asi X).

2. piemērs Uzzīmējiet funkciju y = |x|.

Mēs ņemam funkcijas grafiku y = x(50. att., a) un daļa no šī grafika, kad X< 0 (guļ zem ass X) ir simetriski atspoguļots ap asi X. Rezultātā mēs iegūstam funkcijas grafiku y = |x|(50. att., b).

3. piemērs. Uzzīmējiet funkciju y = |x 2 - 2x|.

Vispirms mēs attēlojam funkciju y = x 2 - 2x.Šīs funkcijas grafiks ir parabola, kuras zari ir vērsti uz augšu, parabolas augšpusē ir koordinātas (1; -1), tās grafiks krusto abscisu asi punktos 0 un 2. Intervālā (0; 2) ) funkcijai ir negatīvas vērtības, tāpēc šī grafika daļa atspoguļojas simetriski ap x asi. 51. attēlā parādīts funkcijas grafiks y \u003d |x 2 -2x |, pamatojoties uz funkcijas grafiku y = x 2 - 2x

Funkcijas y = f(x) + g(x) grafiks

Apsveriet funkcijas attēlošanas problēmu y = f(x) + g(x). ja ir doti funkciju grafiki y = f(x) Un y = g(x).

Ņemiet vērā, ka funkcijas y domēns = |f(x) + g(x)| ir visu to x vērtību kopa, kurām ir definētas abas funkcijas y = f(x) un y = g(x), t.i., šis definīcijas apgabals ir definīcijas jomu, funkciju f(x) krustpunkts. ) un g(x).

Ļaujiet punktiem (x 0, y 1) Un (x 0, y 2) attiecīgi pieder funkciju grafikiem y = f(x) Un y = g(x), t.i., g 1 \u003d f (x 0), y 2 = g (x 0). Tad punkts (x0;. y1 + y2) pieder funkcijas grafikam y = f(x) + g(x)(priekš f(x 0) + g(x 0) = y 1+y2),. un jebkuru funkcijas grafika punktu y = f(x) + g(x) var iegūt šādā veidā. Tāpēc funkcijas grafiks y = f(x) + g(x) var iegūt no funkciju grafikiem y = f(x). Un y = g(x) aizstājot katru punktu ( x n, y 1) funkciju grafika y = f(x) punkts (x n, y 1 + y 2), Kur y 2 = g(x n), t.i., pārbīdot katru punktu ( x n, y 1) funkciju grafiks y = f(x) pa asi plkst pēc summas y 1 \u003d g (x n). Šajā gadījumā tiek ņemti vērā tikai šādi punkti. X n, kam ir definētas abas funkcijas y = f(x) Un y = g(x).

Šī funkcijas grafika attēlošanas metode y = f(x) + g(x) sauc par funkciju grafiku saskaitīšanu y = f(x) Un y = g(x)

4. piemērs. Attēlā ar grafiku pievienošanas metodi ir izveidots funkcijas grafiks
y = x + sinx.

Uzzīmējot funkciju y = x + sinx mēs to pieņēmām f(x) = x, A g(x) = sinx. Lai izveidotu funkciju grafiku, mēs atlasām punktus ar abscisēm -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5,, 1,5, 2. Vērtības f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx mēs aprēķināsim izvēlētajos punktos un ievietosim rezultātus tabulā.

Funkciju grafiks ir vizuāls attēlojums kādas funkcijas darbībai koordinātu plaknē. Grafiki palīdz izprast dažādus funkcijas aspektus, kurus nevar noteikt pēc pašas funkcijas. Varat izveidot daudzu funkciju grafikus, un katra no tām tiks dota ar noteiktu formulu. Jebkuras funkcijas grafiks tiek veidots pēc noteikta algoritma (ja esat aizmirsis precīzu konkrētas funkcijas grafika uzzīmēšanas procesu).

Soļi

Lineāras funkcijas uzzīmēšana

Nosakiet, vai funkcija ir lineāra. Lineāru funkciju nosaka formas formula F (x) = k x + b (\displeja stils F(x)=kx+b) vai y = k x + b (\displaystyle y=kx+b)(piemēram, ), un tā grafiks ir taisna līnija. Tādējādi formula ietver vienu mainīgo un vienu konstanti (konstanti) bez eksponentiem, saknes zīmēm un tamlīdzīgi. Ņemot vērā līdzīgas formas funkciju, šādas funkcijas attēlošana ir diezgan vienkārša. Šeit ir citi lineāro funkciju piemēri:

Izmantojiet konstanti, lai atzīmētu punktu uz y ass. Konstante (b) ir grafika krustošanās punkta "y" koordināte ar Y asi, tas ir, tas ir punkts, kura "x" koordināte ir 0. Tātad, ja x = 0 tiek aizvietots formulā , tad y = b (konstante). Mūsu piemērā y = 2x + 5 (\displaystyle y=2x+5) konstante ir 5, tas ir, krustošanās punktam ar Y asi ir koordinātas (0,5). Atzīmējiet šo punktu koordinātu plaknē.

Atrodiet līnijas slīpumu. Tas ir vienāds ar mainīgā reizinātāju. Mūsu piemērā y = 2x + 5 (\displaystyle y=2x+5) ar mainīgo "x" ir koeficients 2; tātad slīpums ir 2. Slīpums nosaka taisnes slīpuma leņķi pret X asi, tas ir, jo lielāks slīpums, jo ātrāk funkcija palielinās vai samazinās.

Uzrakstiet slīpumu kā daļu. Slīpums ir vienāds ar slīpuma leņķa tangensu, tas ir, vertikālā attāluma (starp diviem punktiem uz taisnas līnijas) attiecību pret horizontālo attālumu (starp tiem pašiem punktiem). Mūsu piemērā slīpums ir 2, tāpēc varam teikt, ka vertikālais attālums ir 2 un horizontālais attālums ir 1. Uzrakstiet to kā daļskaitli: 2 1 (\displaystyle (\frac (2) (1))).

• Ja slīpums ir negatīvs, funkcija samazinās.

1. No punkta, kur līnija krustojas ar Y asi, uzzīmējiet otru punktu, izmantojot vertikālo un horizontālo attālumu. Lineāru funkciju var attēlot, izmantojot divus punktus. Mūsu piemērā krustošanās punktam ar Y asi ir koordinātas (0,5); no šī punkta pārvietojiet 2 atstarpes uz augšu un pēc tam 1 atstarpi pa labi. Atzīmējiet punktu; tai būs koordinātes (1,7). Tagad jūs varat novilkt taisnu līniju.

   Izmantojiet lineālu, lai novilktu taisnu līniju caur diviem punktiem. Lai izvairītos no kļūdām, atrodiet trešo punktu, taču vairumā gadījumu grafiku var veidot, izmantojot divus punktus. Tādējādi jūs esat uzzīmējis lineāru funkciju.

   Punktu zīmēšana koordinātu plaknē

   1. Definējiet funkciju. Funkcija tiek apzīmēta kā f(x). Visas iespējamās mainīgā "y" vērtības sauc par funkcijas diapazonu, un visas iespējamās mainīgā "x" vērtības sauc par funkcijas domēnu. Piemēram, apsveriet funkciju y = x+2, proti, f(x) = x+2.

      Uzzīmējiet divas krustojošas perpendikulāras līnijas. Horizontālā līnija ir X ass, vertikālā līnija ir Y ass.

      Atzīmējiet koordinātu asis. Sadaliet katru asi vienādos segmentos un numurējiet tos. Asu krustpunkts ir 0. X asij: pozitīvie skaitļi ir attēloti labajā pusē (no 0), bet negatīvie skaitļi - kreisajā pusē. Y asij: pozitīvie skaitļi tiek attēloti augšpusē (no 0), bet negatīvie skaitļi - apakšā.

      Atrodiet "y" vērtības no "x" vērtībām. Mūsu piemērā f(x) = x+2. Šajā formulā aizstājiet noteiktas "x" vērtības, lai aprēķinātu atbilstošās "y" vērtības. Ja tiek dota sarežģīta funkcija, vienkāršojiet to, vienādojuma vienā pusē izolējot "y".

      • -1: -1 + 2 = 1
      • 0: 0 +2 = 2
      • 1: 1 + 2 = 3

   2. Uzzīmējiet punktus koordinātu plaknē. Katram koordinātu pārim rīkojieties šādi: atrodiet atbilstošo vērtību uz x ass un novelciet vertikālu līniju (punktētu līniju); atrodiet atbilstošo vērtību uz y ass un novelciet horizontālu līniju (punktētu līniju). Atzīmējiet divu punktētu līniju krustošanās punktu; tādējādi jūs esat uzzīmējis grafika punktu.

      Izdzēsiet punktētās līnijas. Dariet to pēc visu grafika punktu uzzīmēšanas koordinātu plaknē. Piezīme: funkcijas f(x) = x grafiks ir taisne, kas iet caur koordinātu centru [punkts ar koordinātām (0,0)]; grafiks f(x) = x + 2 ir taisne, kas ir paralēla taisnei f(x) = x, bet nobīdīta uz augšu par divām vienībām un tāpēc iet caur punktu ar koordinātām (0,2) (jo konstante ir 2) .

   Sarežģītas funkcijas uzzīmēšana

   Atrodiet funkcijas nulles. Funkcijas nulles ir mainīgā "x" vērtības, pie kurām y = 0, tas ir, tie ir diagrammas krustošanās punkti ar x asi. Ņemiet vērā, ka ne visām funkcijām ir nulles, bet tas ir pirmais solis jebkuras funkcijas grafika zīmēšanas procesā. Lai atrastu funkcijas nulles, iestatiet to vienādu ar nulli. Piemēram:

   Atrodiet un marķējiet horizontālās asimptotes. Asimptote ir līnija, kurai funkcijas grafiks tuvojas, bet nekad nešķērso (tas ir, funkcija šajā apgabalā nav definēta, piemēram, dalot ar 0). Atzīmējiet asimptotu ar punktētu līniju. Ja mainīgais "x" atrodas daļdaļas saucējā (piemēram, y = 1 4 − x 2 (\displaystyle y=(\frac (1)(4-x^(2))))), iestatiet saucēju uz nulli un atrodiet "x". Iegūtajās mainīgā "x" vērtībās funkcija nav definēta (mūsu piemērā velciet punktētas līnijas caur x = 2 un x = -2), jo nevar dalīt ar 0. Bet asimptoti pastāv ne tikai gadījumos, kad funkcija satur daļēju izteiksmi. Tāpēc ieteicams izmantot veselo saprātu:

"Funkciju transformācija" - Šūpotājs. Pārvietojieties uz augšu pa y asi. Ieslēdziet pilnu skaļumu - jūs palielināsiet gaisa vibrāciju (amplitūdu). Pārvietojiet pa x asi pa kreisi. Nodarbības mērķi. 3 punkti. Mūzika. Uzzīmējiet funkciju un nosakiet D(f), E(f) un T: x saspiešanu. Pārvietojieties uz leju pa y asi. Pievienojiet paletei sarkanu krāsu - samazināsiet elektromagnētisko svārstību k (frekvenci).

"Vairāku mainīgo funkcijas" - Augstāku pasūtījumu atvasinājumi. Divu mainīgo funkciju var attēlot grafiski. Diferenciāļa un integrāļa aprēķins. Iekšējie un robežpunkti. 2 mainīgo funkcijas robežas noteikšana. Matemātiskās analīzes kurss. Bermans. Funkcijas robeža no 2 mainīgajiem. Funkciju grafiks. Teorēma. Ierobežota teritorija.

"Funkcijas jēdziens" - Kvadrātfunkcijas grafiku zīmēšanas metodes. Dažādu funkciju definēšanas veidu apgūšana ir svarīgs metodiskais paņēmiens. Kvadrātfunkcijas izpētes iezīmes. Jēdziena "funkcija" ģenētiskā interpretācija. Funkcijas un grafiki skolas matemātikas kursā. Lineāras funkcijas jēdziens tiek izcelts, veidojot kādas lineāras funkcijas grafiku.

"Tēmas funkcija" - analīze. Ir jānoskaidro nevis tas, ko skolēns nezina, bet gan tas, ko viņš zina. Pamatu likšana sekmīgai eksāmena nokārtošanai un uzņemšanai augstskolās. Sintēze. Ja skolēni strādā dažādi, tad skolotājam ar viņiem jāstrādā dažādi. Analoģija. Vispārināšana. USE uzdevumu sadalījums atbilstoši skolas matemātikas kursa satura galvenajiem blokiem.

"Funkciju grafiku transformācija" - Atkārtojiet grafiku transformāciju veidus. Saistiet katru grafiku ar funkciju. Simetrija. Nodarbības mērķis: Sarežģītu funkciju zīmēšana. Apsveriet transformāciju piemērus, izskaidrojiet katru transformācijas veidu. Funkciju grafiku transformācija. Stiepšanās. Fiksēt funkciju grafiku konstrukciju, izmantojot elementāro funkciju grafiku transformācijas.

"Funkciju grafiki" - funkcija Skatīt. Funkciju diapazons ir visas atkarīgā mainīgā y vērtības. Funkcijas grafiks ir parabola. Funkcijas grafiks ir kubiskā parabola. Funkcijas grafiks ir hiperbola. Funkcijas apjoms un diapazons. Korelējiet katru taisni ar tās vienādojumu: Funkcijas domēns ir visas neatkarīgā mainīgā x vērtības.

1. Lineāra daļfunkcija un tās grafiks

Funkciju formā y = P(x) / Q(x), kur P(x) un Q(x) ir polinomi, sauc par daļēju racionālu funkciju.

Jūs droši vien jau esat iepazinies ar racionālo skaitļu jēdzienu. Līdzīgi racionālas funkcijas ir funkcijas, kuras var attēlot kā divu polinomu koeficientu.

Ja daļēja racionāla funkcija ir divu lineāru funkciju - pirmās pakāpes polinomu - koeficients, t.i. skatīšanas funkcija

y = (ax + b) / (cx + d), tad to sauc par daļēju lineāru.

Ņemiet vērā, ka funkcijā y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (pretējā gadījumā funkcija kļūst lineāra y = ax/d + b/d) un ka a/c ≠ b/d (pretējā gadījumā funkcija ir konstante). Lineāri daļskaitļu funkcija ir definēta visiem reālajiem skaitļiem, izņemot x = -d/c. Lineāri daļskaitļu funkciju grafiki pēc formas neatšķiras no diagrammas, kuru jūs zināt, y = 1/x. Tiek izsaukta līkne, kas ir funkcijas y = 1/x grafiks hiperbola. Ar neierobežotu x absolūtās vērtības pieaugumu, funkcija y = 1/x absolūtā vērtībā bezgalīgi samazinās un abi grafika zari tuvojas abscisu asij: labais tuvojas no augšas, bet kreisais tuvojas no apakšas. Līnijas, kurām tuvojas hiperbolas zari, sauc par tās asimptoti.

1. piemērs

y = (2x + 1) / (x - 3).

Risinājums.

Atlasīsim vesela skaitļa daļu: (2x + 1) / (x - 3) = 2 + 7 / (x - 3).

Tagad ir viegli redzēt, ka šīs funkcijas grafiks ir iegūts no funkcijas y = 1/x grafika ar sekojošām transformācijām: nobīdīt par 3 vienības segmentiem pa labi, izstiept pa Oy asi 7 reizes un nobīdīt par 2 vienības segmenti uz augšu.

Jebkuru daļu y = (ax + b) / (cx + d) var uzrakstīt tādā pašā veidā, izceļot “visu daļu”. Līdz ar to visu lineāri frakcionētu funkciju grafiki ir hiperbolas, kas dažādos veidos nobīdītas pa koordinātu asīm un izstieptas pa Oy asi.

Lai uzzīmētu kādas patvaļīgas lineāri daļskaitļu funkcijas grafiku, nemaz nav nepieciešams pārveidot daļu, kas nosaka šo funkciju. Tā kā mēs zinām, ka grafiks ir hiperbola, tad pietiks, lai atrastu taisnes, kurām tuvojas tā zari - hiperbolas asimptotes x = -d/c un y = a/c.

2. piemērs

Atrodiet funkcijas y = (3x + 5)/(2x + 2) grafika asimptotus.

Risinājums.

Funkcija nav definēta, ja x = -1. Tādējādi līnija x = -1 kalpo kā vertikāla asimptote. Lai atrastu horizontālo asimptotu, noskaidrosim, kam tuvojas funkcijas y(x) vērtības, kad argumentam x palielinās absolūtā vērtība.

Lai to izdarītu, mēs dalām frakcijas skaitītāju un saucēju ar x:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

Kā x → ∞ daļai ir tendence uz 3/2. Tādējādi horizontālā asimptote ir taisna līnija y = 3/2.

3. piemērs

Uzzīmējiet funkciju y = (2x + 1)/(x + 1).

Risinājums.

Mēs izvēlamies frakcijas “visu daļu”:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 - 1) / (x + 1) = 2 (x + 1) / (x + 1) - 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Tagad ir viegli redzēt, ka šīs funkcijas grafiks ir iegūts no funkcijas y = 1/x grafika, veicot šādas transformācijas: nobīde par 1 vienību pa kreisi, simetrisks attēlojums attiecībā pret Ox un nobīde. 2 vienību intervāli uz augšu pa Oy asi.

Definīcijas apgabals D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Vērtību diapazons E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Krustošanās punkti ar asīm: c Oy: (0; 1); c Vērsis: (-1/2; 0). Funkcija palielinās katrā definīcijas domēna intervālā.

Atbilde: 1. attēls.

2. Frakcionāli-racionālā funkcija

Aplūkosim daļēju racionālu funkciju formā y = P(x) / Q(x), kur P(x) un Q(x) ir polinomi, kuru pakāpe ir augstāka par pirmo.

Šādu racionālu funkciju piemēri:

y \u003d (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) vai y \u003d (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Ja funkcija y = P(x) / Q(x) ir divu polinomu, kuru pakāpe ir augstāka par pirmo, koeficients, tad tās grafiks, kā likums, būs sarežģītāks, un dažreiz var būt grūti to precīzi izveidot , ar visām detaļām. Tomēr bieži vien pietiek ar paņēmieniem, kas ir līdzīgi tiem, ar kuriem mēs jau tikāmies iepriekš.

Lai daļa ir pareiza (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x) / Q(x) \u003d A 1 / (x - K 1) m1 + A 2 / (x - K 1) m1-1 + ... + A m1 / (x - K 1) + . .. +

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + ... + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).

Acīmredzot daļskaitļu racionālās funkcijas grafiku var iegūt kā elementāro daļu grafiku summu.

Daļējo racionālo funkciju uzzīmēšana

Apsveriet vairākus veidus, kā attēlot daļēju-racionālu funkciju.

4. piemērs

Uzzīmējiet funkciju y = 1/x 2 .

Risinājums.

Mēs izmantojam funkcijas y \u003d x 2 grafiku, lai attēlotu grafiku y \u003d 1 / x 2, un izmantojam grafiku "dalīšanas" metodi.

Domēns D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Vērtību diapazons E(y) = (0; +∞).

Nav krustošanās punktu ar asīm. Funkcija ir vienmērīga. Palielinās visiem x no intervāla (-∞; 0), samazinās x no 0 līdz +∞.

Atbilde: 2. attēls.

5. piemērs

Atzīmējiet funkciju y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x).

Risinājums.

Domēns D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y \u003d (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) \u003d (x - 3) (x - 1) / (-3 (x - 3)) \u003d - (x - 1) / 3 \ u003d -x / 3 + 1/3.

Šeit mēs izmantojām faktoringa, samazināšanas un samazināšanas paņēmienu līdz lineārai funkcijai.

Atbilde: 3. attēls.

6. piemērs

Uzzīmējiet funkciju y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1).

Risinājums.

Definīcijas apgabals ir D(y) = R. Tā kā funkcija ir pāra, grafiks ir simetrisks pret y asi. Pirms zīmēšanas mēs vēlreiz pārveidojam izteiksmi, izceļot veselo skaitļu daļu:

y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1) \u003d 1 - 2 / (x 2 + 1).

Ņemiet vērā, ka, veidojot grafikus, veselā skaitļa daļas izvēle daļskaitļu-racionālas funkcijas formulā ir viena no galvenajām.

Ja x → ±∞, tad y → 1, t.i., līnija y = 1 ir horizontāla asimptote.

Atbilde: 4. attēls.

7. piemērs

Aplūkosim funkciju y = x/(x 2 + 1) un mēģiniet atrast tieši tās lielāko vērtību, t.i. augstākais punkts diagrammas labajā pusē. Lai precīzi izveidotu šo grafiku, ar mūsdienu zināšanām nepietiek. Ir skaidrs, ka mūsu līkne nevar "uzkāpt" ļoti augstu, jo saucējs ātri sāk “apdzīt” skaitītāju. Apskatīsim, vai funkcijas vērtība var būt vienāda ar 1. Lai to izdarītu, jums jāatrisina vienādojums x 2 + 1 \u003d x, x 2 - x + 1 \u003d 0. Šim vienādojumam nav reālu sakņu. Tātad mūsu pieņēmums ir nepareizs. Lai atrastu funkcijas lielāko vērtību, jānoskaidro, kuram lielākajam A vienādojumam A \u003d x / (x 2 + 1) būs risinājums. Aizstāsim sākotnējo vienādojumu ar kvadrātvienādojumu: Ax 2 - x + A \u003d 0. Šim vienādojumam ir risinājums, ja 1 - 4A 2 ≥ 0. No šejienes mēs atrodam lielāko vērtību A \u003d 1/2.

Atbilde: 5. attēls, max y(x) = ½.

Vai jums ir kādi jautājumi? Vai nezināt, kā izveidot funkciju grafikus?
Lai saņemtu pasniedzēja palīdzību - reģistrējieties.
Pirmā nodarbība bez maksas!

vietne, pilnībā vai daļēji kopējot materiālu, ir nepieciešama saite uz avotu.

"Dabiskais logaritms" - 0,1. naturālie logaritmi. 4. "Logaritmiskās šautriņas". 0.04. 7.121.

"Jaudas funkcijas pakāpe 9" - U. Kubiskā parabola. Y = x3. 9. klases skolotāja Ladoškina I.A. Y = x2. Hiperbola. 0. Y \u003d xn, y \u003d x-n kur n ir dots naturāls skaitlis. X. Eksponents ir pāra naturāls skaitlis (2n).

"Kvadrātfunkcija" - 1 Kvadrātfunkcijas definīcija 2 Funkcijas īpašības 3 Funkciju grafiki 4 Kvadrātvienādības 5 Secinājums. Īpašības: Nevienlīdzības: Sagatavojis Andrejs Gerlics, 8.A klases skolnieks. Plāns: Grafiks: - Monotoniskuma intervāli pie a > 0 pie a< 0. Квадратичная функция. Квадратичные функции используются уже много лет.

"Kvadrātfunkcija un tās grafiks" — lēmums. y \u003d 4x A (0,5: 1) 1 \u003d 1 A-pieder. Ja a=1, formulai y=ax ir forma.

"8. klases kvadrātiskā funkcija" - 1) Konstruējiet parabolas virsotni. Kvadrātfunkcijas zīmēšana. x. -7. Uzzīmējiet funkciju. Algebra 8. klase Skolotājs 496 skola Bovina TV -1. Būvniecības plāns. 2) Konstruē simetrijas asi x=-1. y.