Функцийн гүдгэрийн интервалуудыг ол. Функцийн графикийн гүдгэр ба хотгор хоорондын зай

Онлайн тооцоолуур ашиглан та олох боломжтой функцийн графикийн гулзайлтын цэг ба гүдгэр интервалууд Word дээрх шийдлийн дизайнтай. f (x1, x2) хоёр хувьсагчийн функц гүдгэр эсэхийг Гессе матриц ашиглан шийддэг.

Функцийг оруулах дүрэм:

Функцийн графикийн гүдгэрийн чиглэл. Гулзайлтын цэгүүд

Тодорхойлолт: y = f (x) муруйг (a; b) завсарт доош чиглэсэн гүдгэр гэж нэрлэдэг бөгөөд хэрэв энэ интервалын аль ч цэгт шүргэгчээс дээш байрлана.

Тодорхойлолт: y = f (x) муруйг (a; b) интервалаар дээш чиглэсэн гүдгэр гэж нэрлэдэг бөгөөд хэрэв энэ интервалын аль ч цэг дээр шүргэгчээс доогуур байвал.

Тодорхойлолт: Функцийн графикийг дээш доош эргүүлэх интервалыг функцийн графикийн гүдгэрийн интервал гэнэ.

y = f (x) функцийн график болох муруйны доош буюу дээш гүдгэр нь түүний хоёр дахь деривативын тэмдгээр тодорхойлогддог: хэрэв зарим интервалд f '' (x)> 0 байвал муруй нь энэ завсарт доошоо гүдгэр; хэрэв f '' (x)< 0, то кривая выпукла вверх на этом промежутке.

Тодорхойлолт: y = f (x) функцийн графикийн энэ графын эсрэг талын гүдгэрийн интервалыг тусгаарлах цэгийг гулзайлтын цэг гэнэ.

Зөвхөн хоёр дахь төрлийн эгзэгтэй цэгүүд нь гулзайлтын цэг болж чаддаг, жишээлбэл. y = f (x) функцийн тодорхойлолтын мужид хамаарах цэгүүд бөгөөд энэ үед f '' (x) хоёр дахь дериватив алга болох эсвэл тасалдалтай байна.

y = f (x) функцийн графикийн гулзайлтын цэгийг олох дүрэм

1. f '' (x) хоёр дахь деривативыг ол.
2. y = f (x) функцийн хоёр дахь төрлийн эгзэгтэй цэгүүдийг ол, i.e. f '' (x) алга болох буюу тасрах цэг.
3. Олдсон эгзэгтэй цэгүүд f (x) функцийн тодорхойлолтын мужийг хуваах интервал дахь хоёр дахь дериватив f '' (x) тэмдгийг судал. Хэрэв энэ тохиолдолд эгзэгтэй цэг x 0 нь эсрэг чиглэлийн гүдгэрийн интервалуудыг тусгаарладаг бол x 0 нь функцийн графикийн гулзайлтын цэгийн абсцисса юм.
4. Гулзайлтын цэг дээрх функцийн утгыг тооцоол.

Жишээ 1. Дараах муруйн гүдгэр ба гулзайлтын цэгүүдийн интервалыг ол: f (x) = 6x 2 –x 3.
Шийдэл: f ’(x) = 12x - 3x 2, f’ ’(x) = 12 - 6x-ийг ол.
12-6x = 0 тэгшитгэлийг шийдэж, хоёр дахь деривативын эгзэгтэй цэгүүдийг ол. x = 2.


f (2) = 6 * 2 2 - 2 3 = 16
Хариулт: Функц нь x∈ (2; + ∞)-ийн хувьд дээшээ гүдгэр; функц нь x∈ (-∞; 2) хувьд доошоо гүдгэр байна; гулзайлтын цэг (2; 16).

Жишээ 2. Функц нь нугалах цэгтэй юу: f (x) = x 3 -6x 2 + 2x-1

Жишээ 3. Функцийн график гүдгэр ба муруй байх интервалуудыг ол: f (x) = x 3 -6x 2 + 12x + 4

Тодорхой интервал дээрх функцийн гүдгэр (гүдгэр) байдлыг тодорхойлохын тулд дараах теоремуудыг ашиглаж болно.

Теорем 1.Функц нь интервал дээр тодорхойлогдсон ба тасралтгүй байх ба төгсгөлөг деривативтэй байг. Функц нь гүдгэр (гүдгэр) байхын тулд түүний дериватив нь энэ интервалд буурах (өсөх) нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай юм.

Теорем 2.Функц нь деривативын хамт тодорхой ба тасралтгүй байх ба дотор нь тасралтгүй хоёр дахь дериватив байна. Функцийн гүдгэр (гүдгэр) нь дотор нь зайлшгүй шаардлагатай бөгөөд хангалттай юм

Функцийн гүдгэр байдлын хувьд теорем 2-ыг баталъя.

Хэрэгтэй. Дурын нэг цэгийг авч үзье. Тейлорын цувралын цэгийн ойролцоо функцийг өргөжүүлнэ үү

Абциссатай цэг дээрх муруй руу шүргэгчийн тэгшитгэл:

Дараа нь тухайн цэгт шүргэгчээс давсан муруйн илүүдэл нь тэнцүү байна

Тиймээс үлдэгдэл нь тухайн цэгт шүргэгчээс давсан муруйн илүүдэлтэй тэнцүү байна. Тасралтгүй байдлын ачаар, хэрэв , дараа нь мөн хувьд, тухайн цэгийн хангалттай жижиг хороололд харьяалагддаг, тиймээс мэдээжийн хэрэг, заасан хөршид хамаарах үнэ цэнээс өөр ямар ч үнэ цэнийн хувьд.

Иймээс функцийн график шүргэгч шулуунаас дээгүүр байрлах ба муруй нь дурын цэг дээр гүдгэр байна.

Хангалттай байдал. Интервал дээр муруйг гүдгэр болго. Дурын нэг цэгийг авч үзье.

Өмнөхтэй адил бид цэгийн ойролцоох функцийг Тейлорын цуврал болгон өргөжүүлдэг

Илэрхийлэлээр тодорхойлогддог абсцисс бүхий цэг дээрх муруйн шүргэгчээс хэтэрсэн хэмжээ нь байна

Илүүдэл нь цэгийн хангалттай жижиг хөршийн хувьд эерэг байдаг тул хоёр дахь дериватив нь эерэг байна. Бид хичээж байхдаа үүнийг дур зоргоороо олж авдаг .

Жишээ.Гүдгэр (гүдгэр) функцийг судлах.

Түүний дериватив бүх тооны тэнхлэгт нэмэгдэх бөгөөд энэ нь теорем 1-ээр функц нь хотгор байна гэсэн үг юм.

Түүний хоёр дахь дериватив , тиймээс теорем 2-оор функц нь хонхор дээр байна.

3.4.2.2 Гулзайлтын цэгүүд

Тодорхойлолт. Гулзайлтын цэгҮргэлжилсэн функцийн графикийг функц нь гүдгэр ба хотгор байх интервалуудыг тусгаарлах цэг гэнэ.

Энэ тодорхойлолтоос харахад гулзайлтын цэгүүд нь эхний деривативын экстремум цэгүүд юм. Энэ нь шаардлагатай бөгөөд хангалттай гулзайлтын нөхцлийн дараах мэдэгдлүүдийг агуулдаг.

Теорем (зайлшгүй нугалах нөхцөл)... Цэг нь хоёр дахин дифференциалагдах функцийн гулзайлтын цэг байхын тулд түүний хоёр дахь дериватив нь тэгтэй тэнцүү байх шаардлагатай ( ) эсвэл байхгүй байсан.

Теорем (хангалттай гулзайлтын нөхцөл).Хоёр дахин дифференциалагдах функцийн хоёр дахь уламжлал нь тодорхой цэг, өөрөөр хэлбэл гулзайлтын цэгээр дамжих үед тэмдэг өөрчлөгддөг.

Хоёрдахь дериватив нь тухайн цэг дээр байхгүй байж болохыг анхаарна уу.

Гулзайлтын цэгүүдийн геометрийн тайлбарыг Зураг дээр үзүүлэв. 3.9

Цэгийн ойролцоо функц нь гүдгэр бөгөөд график нь энэ цэг дээр зурсан шүргэгчээс доогуур байна. Нэг цэгийн ойролцоо функц нь хотгор бөгөөд график нь энэ цэг дээр зурсан шүргэгчээс дээгүүр байрлана. Гулзайлтын цэг дээр шүргэгч нь функцийн графикийг гүдгэр ба хотгорын хэсэгт хуваана.

3.4.2.3 Гүдгэр байдлын функц, гулзайлтын цэг байгаа эсэхийг судлах

1. Хоёр дахь деривативыг ол.

2. Хоёр дахь дериватив эсвэл байхгүй цэгүүдийг ол.

Цагаан будаа. 3.9.

3. Олдсон цэгүүдийн баруун, зүүн талд байгаа хоёр дахь деривативын тэмдгийг судалж, гүдгэр буюу хотгорын интервал, гулзайлтын цэг байгаа эсэх талаар дүгнэлт гарга.

Жишээ. Функцийг гүдгэр, гулзайлтын цэг байгаа эсэхийг шалгана уу.

2. Хоёр дахь дериватив нь тэгтэй тэнцүү at.

3. Хоёрдахь дериватив нь тэмдгийг өөрчилдөг тул цэг нь гулзайлтын цэг болно.

Интервал дээр функц нь тухайн интервал дээр гүдгэр байна.

Интервал дээр функц нь энэ интервал дээр хонхор байна.

3.4.2.4 Функцийг судлах ерөнхий схем, график

Функцийг шалгаж, түүний графикийг зурахдаа дараахь схемийг ашиглахыг зөвлөж байна.

1. Функцийн домайныг ол.
2. Тэгш - сондгой байдлын функцийг судал. Тэгш функцийн график нь ординатын тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй, сондгой функцийн график нь эхийн хувьд тэгш хэмтэй байдгийг санаарай.
3. Босоо асимптотуудыг ол.
4. Хязгааргүйд функцийн зан төлөвийг судлах, хэвтээ эсвэл ташуу асимптотуудыг олох.
5. Функцийн монотон байдлын экстремум ба интервалыг ол.
6. Функцийн гүдгэр интервал ба гулзайлтын цэгүүдийг ол.
7. Координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийг ол.

Функцийг судлах нь түүний графикийг бүтээхтэй зэрэгцэн явагддаг.

Жишээ. Функцийг судлах мөн түүний хуваарийг зохио.

1. Функцийн тодорхойлолтын талбар -.

2. Судлагдсан функц тэгш байна , тиймээс түүний график нь ордны тэнхлэгт тэгш хэмтэй байна.

3. Функцийн хуваагч нь цагт алга болдог тул функцийн график нь босоо асимптоттой ба.

Эдгээр цэгүүдийн зүүн ба баруун талын хязгаарууд нь чиг хандлагатай байдаг тул цэгүүд нь хоёр дахь төрлийн тасалдал юм.

4. Хязгааргүй үед функцийн зан төлөв.

Тиймээс функцийн график нь хэвтээ асимптоттой байна.

5. Нэг хэвийн байдлын экстремум ба интервал. Эхний деривативыг ол

Тиймээс эдгээр интервалд функц буурдаг.

Тиймээс эдгээр интервалд функц нэмэгддэг.

Тиймээс, цэг нь эгзэгтэй цэг юм.

Хоёр дахь деривативыг ол

Учир нь цэг нь функцийн хамгийн бага цэг юм.

6. Гүдгэр ба гулзайлтын цэгийн интервалууд.

Үйл ажиллагаа нь , тиймээс энэ интервал дээр функц нь хотгор байна.

at, функц нь эдгээр интервал дээр функц гүдгэр байна гэсэн үг.

Функц нь хаана ч алга болдоггүй тул гулзайлтын цэг байхгүй.

7. Координатын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд.

Тэгшитгэл нь функцийн графикийн ординатын тэнхлэгтэй (0, 1) огтлолцох цэг гэсэн утгатай шийдэлтэй байна.

Тэгшитгэлд шийдэл байхгүй тул абсцисса тэнхлэгтэй огтлолцох цэг байхгүй.

Хийсэн судалгааг харгалзан функцийн графикийг байгуулах боломжтой

Функцийн бүдүүвч график Зурагт үзүүлэв. 3.10.

Цагаан будаа. 3.10.

3.4.2.5 Функцийн графикийн асимптотууд

Тодорхойлолт. Асимптотфункцийн графикийг шулуун шугам гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ нь () цэгээс энэ шулуун шугам хүртэлх зай нь графикийн цэгийн эхлэлээс хязгааргүй зайд 0 руу чиглэдэг шинж чанартай байдаг.

Функцийг судлах ерөнхий схем, график байгуулах.
1. Гүдгэр ба хотгорын функцийг судлах.

1. 
   
2. 
   Функцийн графикийн асимптотууд.

Танилцуулга.

Та сургуулийнхаа математикийн хичээл дээр функцүүдийн график зурах хэрэгцээг аль хэдийн олж мэдсэн. онд, Та цэгийн барилгын аргыг ашигласан. Энэ нь үзэл баримтлалын хувьд энгийн бөгөөд харьцангуй хурдан зорилгодоо хүргэдэг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Функц нь тасралтгүй бөгөөд жигд өөрчлөгддөг тохиолдолд энэ арга нь график дүрслэлийн шаардлагатай нарийвчлалыг хангаж чадна. Үүнийг хийхийн тулд тэдгээрийн байршлын тодорхой нягтралд хүрэхийн тулд илүү их оноо авах хэрэгтэй.

Зарим газар функц нь "зан төлөв"-ийн онцлог шинж чанартай байдаг гэж бодъё: эсвэл жижиг газар нутгийн хаа нэгтээ түүний утгууд огцом өөрчлөгддөг, эсвэл тасалдсан байдаг. Графикийн хамгийн чухал хэсгүүдийг ийм байдлаар илрүүлэхгүй байж болно.

Энэ нөхцөл байдал нь мөн графикийг "цэгээр" зурах аргын утгыг бууруулдаг.

Функцуудын аналитик судалгаанд үндэслэн диаграмм байгуулах хоёр дахь арга бий. Энэ нь сургуулийн математикийн хичээл дээр яригдсан аргатай харьцуулахад эерэг байдаг.

1. Гүдгэр ба хотгорын функцийг судлах .

Функцийг зөвшөөр
интервалаар ялгах боломжтой (a, c). Дараа нь функцийн графикт дурын цэгт шүргэгч байна
энэ график (
), шүргэгч нь OY тэнхлэгтэй параллель биш, учир нь түүний налуу нь тэнцүү байна
, мэдээж.

О
даалгавар Бид функцийн график гэж хэлэх болно
(a, b) дээр (a, b) дээрх функцийн графиктай шүргэгчээс доош (дээд биш) байрласан бол доошоо (дээш) суллах боломжтой.

a) хотгор муруй б) гүдгэр муруй

Теорем 1 (муруйн гүдгэр (гүдгэр) байх зайлшгүй нөхцөл).

Хоёр дахин ялгах функцийн график нь гүдгэр (хүнх) муруй байвал (a, b) интервал дээрх хоёр дахь дериватив нь энэ интервал дээр сөрөг (эерэг) байна.

Теорем 2(муруйн гүдгэр (гүдгэр) байх хангалттай нөхцөл).

Хэрэв функц (a, b) ба дээр хоёр дахин ялгагдах боломжтой бол
(
) энэ интервалын бүх цэгт байвал функцийн график болох муруй нь энэ интервал дээр гүдгэр (гүдгэр) байна.

1. 
   Функцийн графикийн гулзайлтын цэгүүд.

ТодорхойлолтОноо
цэг дээр байвал функцийн графикийн гулзайлтын цэг гэнэ
График нь шүргэгч шулуунтай бөгөөд цэгийн хөрш байдаг , түүний дотор цэгийн зүүн ба баруун талд байрлах функцын график нь гүдгэрийн өөр өөр чиглэлтэй байна.

О Гулзайлтын цэг дээр тангенс нь функцын графикийг огтолж байгааг харж болно, учир нь энэ цэгийн нэг талд график шүргэгчээс дээгүүр, нөгөө талд нь түүний доор, өөрөөр хэлбэл гулзайлтын цэгийн ойролцоо байрладаг. , функцийн график геометрийн хувьд шүргэгчийн нэг талаас нөгөө тал руу шилжиж, түүн дээр "Нугарна". Эндээс л "нугалах цэг" гэсэн нэр гарч ирсэн.

Теорем 3(нугалах цэгийн урьдчилсан нөхцөл). Функцийн график цэг дээр гулзайлттай, функц нь цэг дээр байна тасралтгүй хоёр дахь дериватив. Дараа нь
.
Бүх цэг нь гулзайлтын цэг биш. Жишээлбэл, функцийн график
(0, 0) цэг дээр ямар ч нугалаагүй боловч
цагт
... Тиймээс хоёр дахь деривативын тэгтэй тэнцүү байх нь зөвхөн зайлшгүй шаардлагатай нугалах нөхцөл юм.

Графикийг нэрлэх цэгүүд чухал цэгүүдII- хотууд.Эгзэгтэй цэг бүрт гулзайлт байгаа эсэх асуудлыг цаашид судлах шаардлагатай байна.

Теорем 4(нугалах цэгийн хангалттай нөхцөл). Функц нь цэгийн аль нэг хэсэгт хоёр дахь деривативтэй байг. Дараа нь заасан хороололд байгаа бол
цэгийн зүүн ба баруун талд өөр өөр тэмдэгтэй бол график нь цэг дээр гулзайлтын цэгтэй байна.
Сэтгэгдэл.Хэрэв теорем үнэн хэвээр үлдэнэ
нь тухайн цэгээс бусад хэсэгт хоёр дахь деривативтай бөгөөд тухайн цэг дээрх функцийн графикт шүргэгч байна.
... Дараа нь хэрэв заасан хөршийн дотор цэгийн зүүн ба баруун талд өөр өөр тэмдэг байгаа бол функцийн график цэг дээр гулзайлтын цэгтэй байна.
Гүдгэр, хонхорхой, гулзайлтын цэгүүдийн функцийг судлах схем.

Жишээ.Функцийг судлах
гүдгэр, хонхорхой, гулзайлтын цэгүүд дээр.
1.

2.
,
=

3. төлөө байхгүй

	)	1	(1, +)
	-		+
		1

1. 
   Функцийн графикийн асимптотууд.

-тэй функцийн зан төлөвийг судлахдаа
эсвэл 2-р төрлийн тасалдалтай цэгүүдийн ойролцоо функцийн график нь аль болох нэг шулуун шугамд ойртдог нь ихэвчлэн тохиолддог. Ийм шулуун шугамыг нэрлэдэг.

О тодорхойлолт 1. Чигээрээ Хэрэв цэг муруй дагуу хязгааргүйд шилжихэд муруйн цэгээс энэ шулуун шугам хүртэлх зай тэг болох хандлагатай байвал муруйн асимптот гэж нэрлэнэ. Босоо, хэвтээ, ташуу гэсэн гурван төрлийн асимптот байдаг.

Тодорхойлолт 2.Чигээрээ
Хэрэв нэг талт хязгаарын дор хаяж нэг нь байвал функцийн графикийн босоо асимптот гэнэ.
, өөрөөр хэлбэл, эсвэл

Жишээлбэл, функцийн график
босоо асимптоттой
, учир нь.
, a
.

Тодорхойлолт 3. y = A шулуун шугамыг at функцийн графикийн хэвтээ асимптот гэнэ
хэрэв
.

Жишээлбэл, функцийн график нь хэвтээ асимптот y = 0 байна, учир нь.
.

Тодорхойлолт 4.Чигээрээ
(
) функцийн графикийн ташуу асимптот гэнэ
хэрэв
;

Хэрэв ядаж нэг хязгаар байхгүй бол муруй нь асимптотгүй болно. Хэрэв, дараа нь эдгээр хязгаарыг тусад нь хайх хэрэгтэй, төлөө болон
.

Жишээлбэл. Функцийн графикийн асимптотуудыг ол

; x = 0 - босоо асимптот

;
.

- ташуу асимптот.
4. Функцийг бүрэн судлах схем ба график.

Функцийн үйл ажиллагааг судалж, графикийг нь байгуулахыг зөвлөж буй ойролцоо схемийг авч үзье.

Жишээ.Функцийг судлах
мөн түүний хуваарийг зохио.

1., x = -1-ээс бусад.

2.
функц тэгш, сондгой ч биш

-

-



+

+

y

-4


t p.

0

Дүгнэлт.
Энэ аргын нэг чухал онцлог нь голчлон муруйн зан үйлийн онцлог шинж чанарыг илрүүлэх, судлахад суурилдаг явдал юм. Функц нь жигд өөрчлөгддөг газруудыг нарийвчлан судлаагүй тул ийм судалгаа хийх шаардлагагүй болно. Гэхдээ функц нь зан үйлийн онцлог шинж чанартай газруудад бүрэн судалгаа хийж, хамгийн зөв график дүрслэлд хамрагдах ёстой. Эдгээр шинж чанарууд нь функцийн хамгийн их, хамгийн бага цэг, тасалдал гэх мэт цэгүүд юм.

Хонхор ба гулзайлтын чиглэлийг тодорхойлох, түүнчлэн асимптотуудыг олох заасан арга нь функцийг илүү нарийвчлан судлах, тэдгээрийн графикийн талаар илүү нарийвчлалтай ойлголт авах боломжийг олгодог.

Зааварчилгаа

Функцийн гулзайлтын цэгүүд нь түүний тодорхойлолтын мужид хамаарах ёстой бөгөөд үүнийг эхлээд олох ёстой. Функцийн график гэдэг нь тасралтгүй эсвэл тасалдалтай, нэг хэвийн буурах эсвэл өсөх, хамгийн бага ба хамгийн их цэгүүд (ассимптот), гүдгэр эсвэл хотгор байж болох шугам юм. Сүүлийн хоёр төлөвийн огцом өөрчлөлтийг гулзайлт гэнэ.

Функцийн урвуу байх зайлшгүй нөхцөл бол хоёр дахь нь тэгээс тэнцүү байх явдал юм. Тиймээс функцийг хоёр удаа ялгаж, үүссэн илэрхийлэлийг тэгтэй тэнцүүлэх замаар боломжит гулзайлтын цэгүүдийн абсциссуудыг олж болно.

Энэ нөхцөл нь функцийн графикийн гүдгэр ба хонхор байдлын шинж чанарын тодорхойлолтоос үүдэлтэй, i.e. Хоёрдахь деривативын сөрөг ба эерэг утгууд. Гулзайлтын цэг дээр эдгээр шинж чанарт огцом өөрчлөлт гарч байгаа бөгөөд энэ нь дериватив нь тэг тэмдгээс давсан гэсэн үг юм. Гэсэн хэдий ч тэгтэй тэнцүү байх нь нугалалтыг илэрхийлэхэд хангалтгүй хэвээр байна.

Өмнөх үе шатанд олдсон абсцисса нь гулзайлтын цэгт хамаарах хангалттай хоёр зүйл байдаг: Энэ цэгээр дамжуулан та функцэд шүргэгч зурж болно. Хоёрдахь дериватив нь таамагласан гулзайлтын цэгийн баруун ба зүүн талд өөр өөр тэмдэгтэй байна. Иймд тухайн цэг дээр түүний оршин тогтнох нь өөрөө шаардлагагүй бөгөөд энэ нь тэмдэгээ өөрчилдөгийг тодорхойлоход хангалттай.Функцийн хоёр дахь дериватив нь тэгтэй тэнцүү, гурав дахь нь тийм биш юм.

Эхний хангалттай нөхцөл нь бүх нийтийнх бөгөөд бусдаас илүү олон удаа ашиглагддаг. Тодорхой жишээг авч үзье: y = (3 x + 3) ∛ (x - 5).

Шийдэл: Хамрах хүрээг ол. Энэ тохиолдолд ямар ч хязгаарлалт байхгүй тул энэ нь бодит тоонуудын бүхэл бүтэн орон зай юм. Эхний деривативыг тооцоол: y '= 3 ∛ (x - 5) + (3 x + 3) / ∛ (x - 5) ².

Бутархайн харагдах байдалд анхаарлаа хандуулаарай. Үүнээс үзэхэд деривативын тодорхойлолтын хүрээ хязгаарлагдмал байна. x = 5 цэг нь цоорсон бөгөөд энэ нь шүргэгч дамжин өнгөрч болно гэсэн үг бөгөөд энэ нь гулзайлтын хангалттай байдлын эхний шинж тэмдэгтэй хэсэгчлэн тохирч байна.

Үүссэн илэрхийллийн нэг талын хязгаарыг x → 5 - 0 ба x → 5 + 0 гэж тодорхойл. Тэдгээр нь -∞ ба + ∞ байна. Босоо шүргэгч х = 5 цэгээр дамждаг гэдгийг та нотолсон. Энэ цэг нь гулзайлтын цэг болж хувирах боловч эхлээд хоёр дахь деривативыг тооцоол: Y '' = 1 / ∛ (x - 5) ² + 3 / ∛ (x - 5) ² - 2/3 (3 x + 3) ) / ∛ (x - 5) ^ 5 = (2 x - 22) / ∛ (x - 5) ^ 5.

Та x = 5 цэгийг аль хэдийн харгалзан үзсэн тул хуваагчийг орхи. 2 x - 22 = 0 тэгшитгэлийг шийд. Энэ нь нэг язгууртай x = 11. Сүүлийн алхам нь x = 5 ба x = 11 цэгүүд гулзайлтын цэг гэдгийг батлах явдал юм. Тэдний ойр орчмын хоёр дахь деривативын зан төлөвт дүн шинжилгээ хий. x = 5 цэг дээр тэмдэгээ "+" -ээс "-" болгож, x = 11 цэг дээр эсрэгээр нь өөрчилдөг нь тодорхой байна. Дүгнэлт: хоёр цэг нь гулзайлтын цэг юм. Эхний хангалттай нөхцөл хангагдсан байна.