Derivată a rădăcinii unei funcții complexe. Găsiți derivata: algoritm și exemple de soluții

Pe care am analizat cele mai simple derivate, și, de asemenea, ne-am familiarizat cu regulile de diferențiere și unele tehnici de găsire a derivatelor. Astfel, dacă nu sunteți prea mult cu derivatele funcțiilor sau unele puncte din acest articol nu sunt în totalitate clare, atunci citiți mai întâi lecția de mai sus. Vă rog, acordați-vă o dispoziție serioasă - materialul nu este unul ușor, dar voi încerca totuși să îl prezint într-un mod simplu și accesibil.

În practică, trebuie să te ocupi foarte des de derivata unei funcții complexe, chiar aș spune, aproape întotdeauna, când ți se dau sarcini să găsești derivate.

Ne uităm în tabel la regula (nr. 5) pentru diferențierea unei funcții complexe:

Înţelegere. În primul rând, să fim atenți la înregistrare. Aici avem două funcții - și, în plus, funcția, la figurat vorbind, este încorporată în funcție. O funcție de acest fel (când o funcție este imbricată în alta) se numește funcție complexă.

Voi apela funcția functie externa si functia - o funcție interioară (sau imbricată)..

! Aceste definiții nu sunt teoretice și nu ar trebui să apară în proiectarea finală a sarcinilor. Folosesc expresii informale „funcție externă”, funcție „internă” doar pentru a vă facilita înțelegerea materialului.

Pentru a clarifica situația, luați în considerare:

Exemplul 1

Aflați derivata unei funcții

Sub sinus, nu avem doar litera „X”, ci o expresie întreagă, deci nu va fi posibil să găsim derivata imediat din tabel. De asemenea, observăm că este imposibil să aplici primele patru reguli aici, pare să existe o diferență, dar adevărul este că nu poți „srupe” un sinus:

În acest exemplu, deja din explicațiile mele, este intuitiv clar că o funcție este o funcție complexă, iar polinomul este o funcție internă (imbricare) și o funcție externă.

Primul pas, care trebuie efectuată la găsirea derivatei unei funcții complexe, este că aflați ce funcție este internă și care este externă.

În cazul exemplelor simple, pare clar că un polinom este imbricat sub sinus. Dar dacă totul nu este evident? Cum să determinați exact ce funcție este externă și care este internă? Pentru a face acest lucru, vă sugerez să utilizați următoarea tehnică, care poate fi făcută mental sau pe ciornă.

Imaginează-ți că trebuie să calculăm valoarea unei expresii la pe un calculator (în loc de unul, poate exista orice număr).

Ce vom calcula mai întâi? Pentru inceput va trebui să efectuați următoarea acțiune:, deci polinomul va fi o funcție internă:

În al doilea rând va trebui găsită, deci sine va fi o funcție externă:

După ce noi Înțeles cu funcții interne și externe, este timpul să aplici regula de diferențiere a unei funcții complexe .

Începem să decidem. De la lecție Cum găsesc derivatul? ne amintim că proiectarea soluției oricărei derivate începe întotdeauna astfel - închidem expresia în paranteze și punem o contur în dreapta sus:

Primul găsiți derivata funcției externe (sinus), uitați-vă la tabelul derivatelor funcțiilor elementare și observați că. Toate formulele tabelare sunt aplicabile chiar dacă „x” este înlocuit cu o expresie complexă, în acest caz:

Rețineți că funcția interioară nu s-a schimbat, nu o atingem.

Ei bine, este destul de evident că

Rezultatul aplicării formulei în designul final arată astfel:

Un factor constant este de obicei plasat la începutul unei expresii:

Dacă există vreo confuzie, notează soluția și citește din nou explicațiile.

Exemplul 2

Aflați derivata unei funcții

Exemplul 3

Aflați derivata unei funcții

Ca întotdeauna, notăm:

Să ne dăm seama unde avem o funcție externă și unde avem una internă. Pentru a face acest lucru, încercați (mental sau pe o schiță) să calculați valoarea expresiei la. Ce ar trebui făcut mai întâi? În primul rând, trebuie să calculați cu ce este egală baza: ceea ce înseamnă că polinomul este funcția internă:

Și, abia atunci se realizează exponențiarea, prin urmare, funcția de putere este o funcție externă:

Conform formulei , mai întâi trebuie să găsiți derivata funcției externe, în acest caz, gradul. Căutăm formula necesară în tabel:. Repetăm ​​din nou: orice formulă tabelară este valabilă nu numai pentru „x”, ci și pentru o expresie complexă... Astfel, rezultatul aplicării regulii de diferențiere a unei funcții complexe Următorul:

Subliniez din nou că atunci când luăm derivata funcției exterioare, funcția interioară nu se schimbă pentru noi:

Acum rămâne să găsiți o derivată foarte simplă a funcției interioare și să „pieptănați” puțin rezultatul:

Exemplul 4

Aflați derivata unei funcții

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă (răspunsul la sfârșitul tutorialului).

Pentru a consolida înțelegerea derivatei unei funcții complexe, voi da un exemplu fără comentarii, încercați să vă dați seama singur, speculați unde este funcția externă și unde este funcția internă, de ce sarcinile au fost rezolvate astfel?

Exemplul 5

a) Aflați derivata funcției

b) Aflați derivata funcției

Exemplul 6

Aflați derivata unei funcții

Aici avem o rădăcină, iar pentru a diferenția rădăcina, aceasta trebuie reprezentată ca un grad. Astfel, mai întâi aducem funcția într-o formă adecvată pentru diferențiere:

Analizând funcția, ajungem la concluzia că suma a trei termeni este o funcție internă, iar exponențiația este o funcție externă. Aplicam regula de diferentiere a unei functii complexe :

Gradul este din nou reprezentat ca un radical (rădăcină), iar pentru derivata funcției interne aplicăm o regulă simplă de diferențiere a sumei:

Gata. De asemenea, puteți aduce expresia la un numitor comun între paranteze și scrieți totul într-o fracție. Frumos, desigur, dar atunci când se obțin derivate lungi greoaie, este mai bine să nu faci acest lucru (este ușor să te confuzi, să faci o greșeală inutilă și profesorul va fi incomod să verifice).

Exemplul 7

Aflați derivata unei funcții

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă (răspunsul la sfârșitul tutorialului).

Este interesant de observat că uneori, în locul regulii de diferențiere a unei funcții complexe, se poate folosi regula de diferențiere a coeficientului. , dar o astfel de soluție va părea neobișnuită ca o perversie. Iată un exemplu tipic:

Exemplul 8

Aflați derivata unei funcții

Aici puteți folosi regula pentru diferențierea coeficientului , dar este mult mai profitabil să găsim derivata prin regula de diferențiere a unei funcții complexe:

Pregătim funcția pentru diferențiere - mutăm minusul în afara semnului derivatei și ridicăm cosinusul la numărător:

Cosinusul este o funcție internă, exponențiația este o funcție externă.
Ne folosim regula :

Găsiți derivata funcției interne, resetați cosinusul înapoi în jos:

Gata. În exemplul luat în considerare, este important să nu vă confundați în semne. Apropo, încercați să o rezolvați cu regula , răspunsurile trebuie să se potrivească.

Exemplul 9

Aflați derivata unei funcții

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă (răspunsul la sfârșitul tutorialului).

Până acum, am analizat cazurile în care am avut un singur atașament într-o funcție complexă. În sarcinile practice, puteți găsi adesea derivate, în care, precum păpușile de cuibărit, una în cealaltă, 3 sau chiar 4-5 funcții sunt imbricate deodată.

Exemplul 10

Aflați derivata unei funcții

Să înțelegem atașamentele acestei funcții. Încercarea de a evalua expresia folosind valoarea de test. Cum am conta pe un calculator?

Mai întâi trebuie să găsiți, ceea ce înseamnă că arcsinusul este cel mai adânc cuib:

Atunci acest arcsinus al lui unu ar trebui să fie pătrat:

Și, în sfârșit, ridicați 7 la putere:

Adică, în acest exemplu avem trei funcții diferite și două atașamente, în timp ce funcția cea mai interioară este arcsinus, iar funcția cea mai exterioară este funcția exponențială.

Începem să rezolvăm

Conform regulii mai întâi trebuie să luați derivata funcției externe. Ne uităm la tabelul de derivate și aflăm derivata funcției exponențiale: Singura diferență este că în loc de „x” avem o expresie complexă, care nu anulează validitatea acestei formule. Deci, rezultatul aplicării regulii de diferențiere a unei funcții complexe Următorul.

Sunt date exemple de calculare a derivatelor folosind formula pentru derivata unei funcții complexe.

Conţinut

Vezi si: Dovada formulei pentru derivata unei funcții complexe

Formule de bază

Aici oferim exemple de calcul a derivatelor următoarelor funcții:
; ; ; ; .

Dacă o funcție poate fi reprezentată ca o funcție complexă în următoarea formă:
,
atunci derivata sa este determinată de formula:
.
În exemplele de mai jos, vom scrie această formulă după cum urmează:
.
Unde .
Aici, indicele sau sub semnul derivatei indică variabilele asupra cărora se realizează diferențierea.

De obicei, în tabelele de derivate sunt date derivatele de funcții ale variabilei x. Cu toate acestea, x este un parametru formal. Variabila x poate fi înlocuită cu orice altă variabilă. Prin urmare, la diferențierea unei funcții de o variabilă, pur și simplu schimbăm, în tabelul derivatelor, variabila x în variabila u.

Exemple simple

Exemplul 1

Aflați derivata unei funcții complexe
.

Să scriem funcția dată într-o formă echivalentă:
.
În tabelul derivatelor găsim:
;
.

Prin formula pentru derivata unei funcții complexe, avem:
.
Aici .

Exemplul 2

Găsiți derivată
.

Scoatem constanta 5 în afara semnului derivatei și din tabelul derivatelor găsim:
.

.
Aici .

Exemplul 3

Găsiți derivata
.

Scoatem o constantă -1 în spatele semnului derivatei și din tabelul derivatelor găsim:
;
Din tabelul derivatelor găsim:
.

Aplicam formula pentru derivata unei functii complexe:
.
Aici .

Exemple mai complexe

În exemple mai complexe, aplicăm de mai multe ori regula de diferențiere a funcției compuse. Făcând acest lucru, calculăm derivata de la final. Adică, împărțim funcția în părțile sale componente și găsim derivatele celor mai simple părți folosind tabelul derivatelor... De asemenea, folosim reguli de diferențiere a sumei, produse și fracții. Apoi facem substituții și aplicăm formula pentru derivata unei funcții complexe.

Exemplul 4

Găsiți derivata
.

Să selectăm cea mai simplă parte a formulei și să găsim derivata acesteia. ...

.
Aici am folosit notația
.

Găsiți derivata următoarei părți a funcției originale folosind rezultatele obținute. Aplicam regula de diferentiere a sumei:
.

Încă o dată aplicăm regula diferențierii unei funcții complexe.

.
Aici .

Exemplul 5

Aflați derivata funcției
.

Să selectăm cea mai simplă parte a formulei și să găsim derivata acesteia din tabelul cu derivate. ...

Aplicam regula de diferentiere a unei functii complexe.
.
Aici
.

Diferențiem partea următoare folosind rezultatele obținute.
.
Aici
.

Diferențiem partea următoare.

.
Aici
.

Acum găsim derivata funcției necesare.

.
Aici
.

Vezi si:

Și teorema asupra derivatei unei funcții complexe, a cărei formulare este următoarea:

Fie 1) funcția $ u = \ varphi (x) $ să aibă la un moment dat $ x_0 $ derivata $ u_ (x) "= \ varphi" (x_0) $, 2) funcția $ y = f (u) $ are în corespondent punctul $ u_0 = \ varphi (x_0) $ derivata $ y_ (u) "= f" (u) $. Atunci funcția complexă $ y = f \ left (\ varphi (x) \ right) $ la punctul menționat va avea și o derivată egală cu produsul derivatelor funcțiilor $ f (u) $ și $ \ varphi ( x) $:

$$ \ stânga (f (\ varphi (x)) \ dreapta) "= f_ (u)" \ stânga (\ varphi (x_0) \ dreapta) \ cdot \ varphi "(x_0) $$

sau, într-un mod mai scurt: $ y_ (x) "= y_ (u)" \ cdot u_ (x) "$.

În exemplele din această secțiune, toate funcțiile sunt de forma $ y = f (x) $ (adică, considerăm doar funcțiile unei variabile $ x $). În consecință, în toate exemplele derivata $ y "$ este luată în raport cu variabila $ x $. Pentru a sublinia faptul că derivata este luată în raport cu variabila $ x $, se scrie adesea $ y" _x $ în loc de $ y „$.

Exemplele # 1, # 2 și # 3 oferă un proces detaliat pentru găsirea derivatei funcțiilor complexe. Exemplul nr. 4 este destinat unei înțelegeri mai complete a tabelului de derivate și este logic să vă familiarizați cu acesta.

Este recomandabil, după studierea materialului din exemplele nr. 1-3, să se treacă la soluția independentă a exemplelor nr. 5, nr. 6 și nr. 7. Exemplele # 5, # 6 și # 7 oferă o soluție scurtă, astfel încât cititorul să poată verifica corectitudinea rezultatului lor.

Exemplul #1

Aflați derivata funcției $ y = e ^ (\ cos x) $.

Trebuie să găsim derivata unei funcții complexe $ y "$. Deoarece $ y = e ^ (\ cos x) $, atunci $ y" = \ stânga (e ^ (\ cos x) \ dreapta) "$. Pentru găsiți derivata $ \ left (e ^ (\ cos x) \ right) "$ utilizați formula # 6 din tabelul derivatelor. Pentru a utiliza formula # 6, trebuie să țineți cont de faptul că în cazul nostru $ u = \ cos x $. Soluția ulterioară constă în înlocuirea trivială a expresiei $ \ cos x $ în loc de $ u $ în formula # 6:

$$ y "= \ stânga (e ^ (\ cos x) \ dreapta)" = e ^ (\ cos x) \ cdot (\ cos x) "\ etichetă (1.1) $$

Acum trebuie să găsim valoarea expresiei $ (\ cos x) "$. Ne întoarcem din nou la tabelul de derivate, alegând formula nr. 10 din acesta. Înlocuind $ u = x $ în formula nr. 10, avem: $ (\ cos x)" = - \ sin x \ cdot x "$. Acum continuăm egalitatea (1.1), completând-o cu rezultatul găsit:

$$ y "= \ stânga (e ^ (\ cos x) \ dreapta)" = e ^ (\ cos x) \ cdot (\ cos x) "= e ^ (\ cos x) \ cdot (- \ sin x \ cdot x ") \ tag (1.2) $$

Deoarece $ x "= 1 $, continuăm egalitatea (1.2):

$$ y "= \ stânga (e ^ (\ cos x) \ dreapta)" = e ^ (\ cos x) \ cdot (\ cos x) "= e ^ (\ cos x) \ cdot (- \ sin x \ cdot x ") = e ^ (\ cos x) \ cdot (- \ sin x \ cdot 1) = - \ sin x \ cdot e ^ (\ cos x) \ tag (1.3) $$

Deci, din egalitatea (1.3) avem: $ y "= - \ sin x \ cdot e ^ (\ cos x) $. Desigur, explicațiile și egalitățile intermediare sunt de obicei sărite, scriind derivația pe o singură linie, ca în egalitate. ( 1.3) Deci, derivata unei funcții complexe a fost găsită, rămâne doar să notăm răspunsul.

Răspuns: $ y "= - \ sin x \ cdot e ^ (\ cos x) $.

Exemplul nr. 2

Aflați derivata funcției $ y = 9 \ cdot \ arctg ^ (12) (4 \ cdot \ ln x) $.

Trebuie să calculăm derivata $ y "= \ left (9 \ cdot \ arctg ^ (12) (4 \ cdot \ ln x) \ right)" $. Pentru început, rețineți că constanta (adică, numărul 9) poate fi mutată în afara semnului derivatei:

$$ y "= \ stânga (9 \ cdot \ arctg ^ (12) (4 \ cdot \ ln x) \ dreapta)" = 9 \ cdot \ stânga (\ arctg ^ (12) (4 \ cdot \ ln x) \ dreapta) „\ etichetă (2.1) $$

Acum să trecem la expresia $ \ left (\ arctg ^ (12) (4 \ cdot \ ln x) \ right) "$. Pentru a selecta formula dorită din tabelul de derivate a fost mai ușor, voi reprezenta expresia în cauză în această formă: $ \ stânga ( \ stânga (\ arctg (4 \ cdot \ ln x) \ dreapta) ^ (12) \ dreapta) „$. Acum puteți vedea că este necesar să folosiți formula # 2, adică. $ \ stânga (u ^ \ alpha \ dreapta) "= \ alpha \ cdot u ^ (\ alpha-1) \ cdot u" $. Înlocuiți $ u = \ arctg (4 \ cdot \ ln x) $ și $ \ alpha = 12 $ în această formulă:

Completând egalitatea (2.1) cu rezultatul obținut, avem:

$$ y "= \ stânga (9 \ cdot \ arctg ^ (12) (4 \ cdot \ ln x) \ dreapta)" = 9 \ cdot \ stânga (\ arctg ^ (12) (4 \ cdot \ ln x) \ dreapta) "= 108 \ cdot \ stânga (\ arctg (4 \ cdot \ ln x) \ dreapta) ^ (11) \ cdot (\ arctg (4 \ cdot \ ln x))" \ tag (2.2) $$

În această situație, se face adesea o eroare atunci când rezolvatorul la primul pas alege formula $ (\ arctg \; u) "= \ frac (1) (1 + u ^ 2) \ cdot u" $ în locul formulei $ \ stânga (u ^ \ alpha \ dreapta) "= \ alpha \ cdot u ^ (\ alpha-1) \ cdot u" $. Ideea este că derivata funcției externe trebuie găsită mai întâi. Pentru a înțelege ce funcție va fi externă expresiei $ \ arctg ^ (12) (4 \ cdot 5 ^ x) $, imaginați-vă că numărați valoarea expresiei $ \ arctg ^ (12) (4 \ cdot 5 ^ x) $ pentru o valoare de $ x $. Mai întâi, veți calcula valoarea de $ 5 ^ x $, apoi înmulțiți rezultatul cu 4 pentru a obține $ 4 \ cdot 5 ^ x $. Acum luăm arctangenta din acest rezultat, obținând $ \ arctg (4 \ cdot 5 ^ x) $. Apoi ridicăm numărul rezultat la a douăsprezecea putere, obținând $ \ arctg ^ (12) (4 \ cdot 5 ^ x) $. Ultima acțiune, adică ridicarea la puterea de 12, - și va fi o funcție externă. Și tocmai cu ea ar trebui să începem să găsim derivata, care a fost făcută în egalitate (2.2).

Acum trebuie să găsim $ (\ arctg (4 \ cdot \ ln x)) "$. Folosim formula # 19 a tabelului de derivate, înlocuind $ u = 4 \ cdot \ ln x $ în ea:

$$ (\ arctg (4 \ cdot \ ln x)) "= \ frac (1) (1+ (4 \ cdot \ ln x) ^ 2) \ cdot (4 \ cdot \ ln x)" $$

Să simplificăm puțin expresia obținută, ținând cont de $ (4 \ cdot \ ln x) ^ 2 = 4 ^ 2 \ cdot (\ ln x) ^ 2 = 16 \ cdot \ ln ^ 2 x $.

$$ (\ arctg (4 \ cdot \ ln x)) "= \ frac (1) (1+ (4 \ cdot \ ln x) ^ 2) \ cdot (4 \ cdot \ ln x)" = \ frac ( 1) (1 + 16 \ cdot \ ln ^ 2 x) \ cdot (4 \ cdot \ ln x) „$$

Egalitatea (2.2) va deveni acum:

$$ y "= \ stânga (9 \ cdot \ arctg ^ (12) (4 \ cdot \ ln x) \ dreapta)" = 9 \ cdot \ stânga (\ arctg ^ (12) (4 \ cdot \ ln x) \ dreapta) „= \\ = 108 \ cdot \ stânga (\ arctg (4 \ cdot \ ln x) \ dreapta) ^ (11) \ cdot (\ arctg (4 \ cdot \ ln x))" = 108 \ cdot \ stânga (\ arctg (4 \ cdot \ ln x) \ dreapta) ^ (11) \ cdot \ frac (1) (1 + 16 \ cdot \ ln ^ 2 x) \ cdot (4 \ cdot \ ln x) " \ tag (2.3) $$

Rămâne de găsit $ (4 \ cdot \ ln x) "$. Mută ​​constanta (adică 4) în afara semnului derivat: $ (4 \ cdot \ ln x)" = 4 \ cdot (\ ln x) "$. Căci pentru a găsi $ (\ ln x) "$ folosim formula # 8, înlocuind $ u = x $ în ea: $ (\ ln x)" = \ frac (1) (x) \ cdot x "$. Deoarece $ x "= 1 $, atunci $ (\ ln x)" = \ frac (1) (x) \ cdot x "= \ frac (1) (x) \ cdot 1 = \ frac (1) (x ) $. Inlocuind rezultatul obtinut in formula (2.3), obtinem:

$$ y "= \ stânga (9 \ cdot \ arctg ^ (12) (4 \ cdot \ ln x) \ dreapta)" = 9 \ cdot \ stânga (\ arctg ^ (12) (4 \ cdot \ ln x) \ dreapta) „= \\ = 108 \ cdot \ stânga (\ arctg (4 \ cdot \ ln x) \ dreapta) ^ (11) \ cdot (\ arctg (4 \ cdot \ ln x))" = 108 \ cdot \ stânga (\ arctg (4 \ cdot \ ln x) \ dreapta) ^ (11) \ cdot \ frac (1) (1 + 16 \ cdot \ ln ^ 2 x) \ cdot (4 \ cdot \ ln x) " = \\ = 108 \ cdot \ stânga (\ arctg (4 \ cdot \ ln x) \ dreapta) ^ (11) \ cdot \ frac (1) (1 + 16 \ cdot \ ln ^ 2 x) \ cdot 4 \ cdot \ frac (1) (x) = 432 \ cdot \ frac (\ arctg ^ (11) (4 \ cdot \ ln x)) (x \ cdot (1 + 16 \ cdot \ ln ^ 2 x)). $ $

Permiteți-mi să vă reamintesc că derivata unei funcții complexe este cel mai adesea într-o singură linie, așa cum este scrisă în ultima egalitate. Prin urmare, atunci când faceți calcule standard sau lucrări de control, nu este deloc necesar să pictați soluția în același detaliu.

Răspuns: $ y "= 432 \ cdot \ frac (\ arctg ^ (11) (4 \ cdot \ ln x)) (x \ cdot (1 + 16 \ cdot \ ln ^ 2 x)) $.

Exemplul nr. 3

Găsiți funcția $ y "$ $ y = \ sqrt (\ sin ^ 3 (5 \ cdot9 ^ x)) $.

Mai întâi, să transformăm puțin funcția $ y $, exprimând radicalul (rădăcină) ca putere: $ y = \ sqrt (\ sin ^ 3 (5 \ cdot9 ^ x)) = \ left (\ sin (5 \ cdot) 9 ^ x) \ dreapta) ^ (\ frac (3) (7)) $. Acum să începem să găsim derivata. Deoarece $ y = \ stânga (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x) \ dreapta) ^ (\ frac (3) (7)) $, atunci:

$$ y "= \ stânga (\ stânga (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x) \ dreapta) ^ (\ frac (3) (7)) \ dreapta)" \ tag (3.1) $$

Folosim formula # 2 din tabelul de derivate, înlocuind $ u = \ sin (5 \ cdot 9 ^ x) $ și $ \ alpha = \ frac (3) (7) $ în ea:

$$ \ stânga (\ stânga (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x) \ dreapta) ^ (\ frac (3) (7)) \ dreapta) "= \ frac (3) (7) \ cdot \ stânga ( \ sin (5 \ cdot 9 ^ x) \ right) ^ (\ frac (3) (7) -1) (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x)) "= \ frac (3) (7) \ cdot \ stânga (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x) \ dreapta) ^ (- \ frac (4) (7)) (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x)) "$$

Continuăm egalitatea (3.1) folosind acest rezultat:

$$ y "= \ stânga (\ stânga (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x) \ dreapta) ^ (\ frac (3) (7)) \ dreapta)" = \ frac (3) (7) \ cdot \ stânga (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x) \ dreapta) ^ (- \ frac (4) (7)) (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x)) "\ tag (3.2) $$

Acum trebuie să găsim $ (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x)) "$. Pentru aceasta folosim formula nr. 9 din tabelul de derivate, înlocuind $ u = 5 \ cdot 9 ^ x $ în ea:

$$ (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x)) "= \ cos (5 \ cdot 9 ^ x) \ cdot (5 \ cdot 9 ^ x)" $$

Completând egalitatea (3.2) cu rezultatul obținut, avem:

$$ y "= \ stânga (\ stânga (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x) \ dreapta) ^ (\ frac (3) (7)) \ dreapta)" = \ frac (3) (7) \ cdot \ stânga (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x) \ dreapta) ^ (- \ frac (4) (7)) (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x)) "= \\ = \ frac (3) (7) \ cdot \ left (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x) \ right) ^ (- \ frac (4) (7)) \ cos (5 \ cdot 9 ^ x) \ cdot (5 \ cdot 9) ^ x) „\ etichetă (3.3) $$

Rămâne să găsiți $ (5 \ cdot 9 ^ x) "$. Mai întâi, mutați constanta (numărul $ 5 $) în afara semnului derivatei, adică $ (5 \ cdot 9 ^ x)" = 5 \ cdot (9 ^ x) "$. Pentru a găsi derivata $ (9 ^ x)" $ aplicați formula 5 din tabelul de derivate, înlocuind $ a = 9 $ și $ u = x $ în ea: $ (9 ^ x) "= 9 ^ x \ cdot \ ln9 \ cdot x "$. Deoarece $ x "= 1 $, atunci $ (9 ^ x)" = 9 ^ x \ cdot \ ln9 \ cdot x "= 9 ^ x \ cdot \ ln9 $. Acum putem continua egalitatea (3.3):

$$ y "= \ stânga (\ stânga (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x) \ dreapta) ^ (\ frac (3) (7)) \ dreapta)" = \ frac (3) (7) \ cdot \ stânga (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x) \ dreapta) ^ (- \ frac (4) (7)) (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x)) "= \\ = \ frac (3) (7) \ cdot \ left (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x) \ right) ^ (- \ frac (4) (7)) \ cos (5 \ cdot 9 ^ x) \ cdot (5 \ cdot 9) ^ x) "= \ frac (3) (7) \ cdot \ left (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x) \ right) ^ (- \ frac (4) (7)) \ cos (5 \ cdot 9) ^ x) \ cdot 5 \ cdot 9 ^ x \ cdot \ ln9 = \\ = \ frac (15 \ cdot \ ln 9) (7) \ cdot \ stânga (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x) \ dreapta) ^ (- \ frac (4) (7)) \ cdot \ cos (5 \ cdot 9 ^ x) \ cdot 9 ^ x. $$

Vă puteți întoarce din nou de la grade la radicali (adică rădăcini) scriind $ \ left (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x) \ right) ^ (- \ frac (4) (7)) $ ca $ \ frac (1 ) (\ stânga (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x) \ dreapta) ^ (\ frac (4) (7))) = \ frac (1) (\ sqrt (\ sin ^ 4 (5 \ cdot 9 ^) x))) $. Apoi derivata va fi scrisă sub următoarea formă:

$$ y "= \ frac (15 \ cdot \ ln 9) (7) \ cdot \ stânga (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x) \ dreapta) ^ (- \ frac (4) (7)) \ cdot \ cos (5 \ cdot 9 ^ x) \ cdot 9 ^ x = \ frac (15 \ cdot \ ln 9) (7) \ cdot \ frac (\ cos (5 \ cdot 9 ^ x) \ cdot 9 ^ x) (\ sqrt (\ sin ^ 4 (5 \ cdot 9 ^ x))). $$

Răspuns: $ y "= \ frac (15 \ cdot \ ln 9) (7) \ cdot \ frac (\ cos (5 \ cdot 9 ^ x) \ cdot 9 ^ x) (\ sqrt (\ sin ^ 4 (5 \ cdot 9 ^ x))) $.

Exemplul nr. 4

Arătați că formulele nr. 3 și nr. 4 din tabelul derivatelor sunt un caz special al formulei nr. 2 din acest tabel.

Formula 2 a tabelului de derivate conține derivata funcției $ u ^ \ alpha $. Înlocuind $ \ alpha = -1 $ în formula # 2, obținem:

$$ (u ^ (- 1)) "= - 1 \ cdot u ^ (- 1-1) \ cdot u" = - u ^ (- 2) \ cdot u "\ etichetă (4.1) $$

Deoarece $ u ^ (- 1) = \ frac (1) (u) $ și $ u ^ (- 2) = \ frac (1) (u ^ 2) $, egalitatea (4.1) poate fi rescrisă după cum urmează: $ \ stânga (\ frac (1) (u) \ dreapta) "= - \ frac (1) (u ^ 2) \ cdot u" $. Aceasta este formula # 3 din tabelul derivatelor.

Să ne întoarcem din nou la formula # 2 din tabelul derivatelor. Să înlocuim $ \ alpha = \ frac (1) (2) $ în el:

$$ \ stânga (u ^ (\ frac (1) (2)) \ dreapta) "= \ frac (1) (2) \ cdot u ^ (\ frac (1) (2) -1) \ cdot u" = \ frac (1) (2) u ^ (- \ frac (1) (2)) \ cdot u "\ tag (4.2) $$

Deoarece $ u ^ (\ frac (1) (2)) = \ sqrt (u) $ și $ u ^ (- \ frac (1) (2)) = \ frac (1) (u ^ (\ frac ( 1) ) (2))) = \ frac (1) (\ sqrt (u)) $, atunci egalitatea (4.2) poate fi rescrisă după cum urmează:

$$ (\ sqrt (u)) "= \ frac (1) (2) \ cdot \ frac (1) (\ sqrt (u)) \ cdot u" = \ frac (1) (2 \ sqrt (u) ) \ cdot u "$$

Egalitatea rezultată $ (\ sqrt (u)) "= \ frac (1) (2 \ sqrt (u)) \ cdot u" $ este formula # 4 din tabelul derivatelor. După cum puteți vedea, formulele # 3 și # 4 din tabelul derivatelor sunt obținute din formula # 2 prin înlocuirea valorii corespunzătoare cu $ \ alpha $.

Nu este în întregime corect să apelăm funcții de tip complex prin termenul „funcție complexă”. De exemplu, pare foarte impresionant, dar această funcție nu este complicată, spre deosebire de.

În acest articol, ne vom ocupa de conceptul de funcție complexă, vom învăța cum să o identificăm ca parte a funcțiilor elementare, vom oferi o formulă pentru găsirea derivatei sale și vom analiza în detaliu soluția exemplelor tipice.

Vom folosi constant tabelul derivatelor și regulile de diferențiere atunci când rezolvăm exemplele, așa că păstrați-le în fața ochilor.

Funcție complexă Este o funcție al cărei argument este și o funcție.

Din punctul nostru de vedere, această definiție este cea mai de înțeles. Poate fi notat în mod convențional ca f (g (x)). Adică, g (x) este ca un argument pentru funcția f (g (x)).

De exemplu, dacă f este funcția arctangentă și g (x) = lnx este funcția logaritm natural, atunci funcția complexă f (g (x)) este arctan (lnx). Un alt exemplu: f este funcția de ridicare la a patra putere, și este o întreagă funcție rațională (uite), atunci .

La rândul său, g (x) poate fi și o funcție complexă. De exemplu, ... În mod convențional, o astfel de expresie poate fi notată ca ... Aici f este funcția sinus, este funcția rădăcină pătrată, - funcţie raţională fracţională. Este logic să presupunem că gradul de imbricare al funcțiilor poate fi orice număr natural finit.

Puteți auzi adesea că este numită o funcție complexă alcatuirea functiilor.

Formula pentru găsirea derivatei unei funcții complexe.

Exemplu.

Aflați derivata unei funcții complexe.

Soluţie.

În acest exemplu, f este o funcție la pătrat și g (x) = 2x + 1 este o funcție liniară.

Iată o soluție detaliată folosind o formulă derivată a funcției compuse:

Să găsim această derivată după simplificarea formei funcției originale.

Prin urmare,

După cum puteți vedea, rezultatele sunt aceleași.

Încercați să nu confundați care funcție este f și care este g (x).

Să explicăm acest lucru cu un exemplu de atenție.

Exemplu.

Găsiți derivate ale funcțiilor complexe și.

Soluţie.

În primul caz, f este funcția de pătrat și g (x) este funcția sinus, deci
.

În al doilea caz, f este o funcție sinus și o funcție de putere. Prin urmare, prin formula pentru produsul unei funcții complexe, avem

Formula derivată pentru funcție are forma

Exemplu.

Funcția de diferențiere .

Soluţie.

În acest exemplu, o funcție complexă poate fi scrisă condiționat ca , unde este funcția sinus, funcția de ridicare la a treia putere, funcția de luare a logaritmului la baza e, funcția de luare a arctangentei și respectiv funcția liniară.

Prin formula pentru derivata unei funcții complexe

Acum găsim

Adunarea rezultatelor intermediare obținute:

Nu este nimic înfricoșător, dezasamblați funcții complexe precum păpușile de cuib.

Acesta ar putea fi sfârșitul articolului, dacă nu unul, dar...

Este recomandabil să înțelegeți clar când să aplicați regulile de diferențiere și tabelul derivatelor și când formula pentru derivata unei funcții complexe.

ACUM FI MAI ATENȚIE. Vom vorbi despre diferența dintre funcțiile complexe și funcțiile complexe. Cât de mult vedeți această diferență va determina succesul găsirii de derivate.

Să începem cu câteva exemple simple. Funcţie poate fi privit ca complex: g (x) = tgx, ... Prin urmare, puteți aplica imediat formula pentru derivata unei funcții complexe

Și aici este funcția dificil deja nu poate fi numit.

Această funcție este suma a trei funcții, 3tgx și 1. Deși - este o funcție complexă: este o funcție de putere (parabolă pătratică), iar f este o funcție tangentă. Prin urmare, mai întâi aplicăm formula de diferențiere a sumei:

Rămâne de găsit derivata unei funcții complexe:

Asa de .

Sperăm că înțelegeți esențialul.

Mai larg, se poate argumenta că funcțiile de tip complex pot face parte din funcții complexe, iar funcțiile complexe pot face parte din funcții de tip complex.

Ca exemplu, să analizăm funcția .

in primul rand, aceasta este o funcție complexă care poate fi reprezentată ca, unde f este funcția logaritm la baza 3 și g (x) este suma a două funcții și ... Acesta este, .

În al doilea rând, ne vom ocupa de funcția h (x). Reprezintă o relație cu .

Aceasta este suma celor două funcții și , Unde - o funcție complexă cu un coeficient numeric de 3. - funcţie de cubărire, - funcţie cosinus, - funcţie liniară.

Aceasta este suma a două funcții și, unde - funcție complexă, - funcție de exponențiere, - funcție de putere.

În acest fel, .

În al treilea rând, mergeți la, care este produsul unei funcții complexe și o întreagă funcție rațională

Funcția de pătrat este funcția de a duce logaritmul la baza e.

Prin urmare, .

Să rezumam:

Acum structura funcției este clară și a devenit clar ce formule și în ce secvență să se aplice la diferențierea acesteia.

În secțiunea despre diferențierea unei funcții (găsirea derivatei), vă puteți familiariza cu rezolvarea unor probleme similare.