Aflați intervalele de convexitate ale funcției. Intervalele de convexitate și concavitate ale unei diagrame de funcție

Folosind calculatorul online, puteți găsi punctele de inflexiune și intervalele de convexitate ale graficului funcției cu designul soluției în Word. Dacă o funcție a două variabile f (x1, x2) este convexă se rezolvă folosind matricea Hesse.

Reguli de introducere a funcției:

Direcția convexității graficului funcției. Puncte de inflexiune

Definiție: O curbă y = f (x) se numește convexă în jos în intervalul (a; b) dacă se află deasupra tangentei în orice punct al acestui interval.

Definiție: O curbă y = f (x) se numește convexă în sus în intervalul (a; b) dacă se află sub tangentă în orice punct al acestui interval.

Definiție: Intervalele în care graficul unei funcții este rotit în sus sau în jos, se numesc intervale de convexitate a graficului funcției.

Convexitatea în jos sau în sus a curbei, care este graficul funcției y = f (x), este caracterizată de semnul derivatei a doua a acesteia: dacă într-un interval f '' (x)> 0, atunci curba este convex în jos în acest interval; dacă f ’’ (x)< 0, то кривая выпукла вверх на этом промежутке.

Definiție: Punctul graficului funcției y = f (x), care separă intervalele de convexitate a sensurilor opuse ale acestui grafic, se numește punct de inflexiune.

Doar punctele critice de al doilea fel pot servi drept puncte de inflexiune, adică. puncte aparținând domeniului de definiție al funcției y = f (x), la care derivata a doua f '' (x) dispare sau are o discontinuitate.

Regula pentru găsirea punctelor de inflexiune ale graficului funcției y = f (x)

1. Găsiți derivata a doua f '' (x).
2. Găsiți punctele critice ale celui de-al doilea fel al funcției y = f (x), adică. punctul în care f '' (x) dispare sau se rupe.
3. Investigați semnul derivatei a doua f '' (x) în intervalul în care punctele critice găsite împart domeniul de definire al funcției f (x). Dacă în acest caz punctul critic x 0 separă intervalele de convexitate de direcții opuse, atunci x 0 este abscisa punctului de inflexiune al graficului funcției.
4. Calculați valorile funcției la punctele de inflexiune.

Exemplul 1. Aflați intervalele de convexitate și puncte de inflexiune ale următoarei curbe: f (x) = 6x 2 –x 3.
Rezolvare: Aflați f ’(x) = 12x - 3x 2, f’ ’(x) = 12 - 6x.
Aflați punctele critice după derivata a doua rezolvând ecuația 12-6x = 0. x = 2.


f (2) = 6 * 2 2 - 2 3 = 16
Răspuns: Funcția este convexă în sus pentru x∈ (2; + ∞); funcția este convexă în jos pentru x∈ (-∞; 2); punctul de inflexiune (2; 16).

Exemplul 2. Funcția are puncte de inflexiune: f (x) = x 3 -6x 2 + 2x-1

Exemplul 3. Aflați intervalele pe care graficul funcției este convex și curbat: f (x) = x 3 -6x 2 + 12x + 4

Pentru a determina convexitatea (concavitatea) unei funcții pe un anumit interval se pot folosi următoarele teoreme.

Teorema 1. Fie ca funcția să fie definită și continuă pe interval și să aibă o derivată finită. Pentru ca o funcție să fie convexă (concavă) în, este necesar și suficient ca derivata ei să scadă (să crească) pe acest interval.

Teorema 2. Fie ca funcția să fie definită și continuă împreună cu derivata sa pe și are o derivată a doua continuă în interior. Pentru convexitatea (concavitatea) funcției în ea este necesar și suficient ca în interior

Să demonstrăm teorema 2 pentru cazul convexității unei funcții.

Nevoie. Să luăm un punct arbitrar. Extindeți funcția în apropierea unui punct dintr-o serie Taylor

Ecuația tangentei la o curbă într-un punct cu abscisă:

Apoi excesul curbei peste tangenta la aceasta în punctul este egal cu

Astfel, restul este egal cu excesul curbei peste tangenta la aceasta într-un punct. În virtutea continuităţii, dacă , apoi și pentru, aparținând unei vecinătăți suficient de reduse a punctului, și deci, evident, pentru orice altă valoare decât valoarea aparținând vecinătății indicate.

Prin urmare, graficul funcției se află deasupra liniei tangente, iar curba este convexă într-un punct arbitrar.

Adecvarea. Fie curba convexă pe interval. Să luăm un punct arbitrar.

Similar cu cea precedentă, extindem funcția lângă un punct într-o serie Taylor

Excesul curbei peste tangenta la aceasta în punctul care are abscisa, determinat de expresie este

Deoarece excesul este pozitiv pentru o vecinătate suficient de mică a punctului, derivata a doua este de asemenea pozitivă. Pe măsură ce ne străduim, obținem asta pentru un punct arbitrar .

Exemplu. Explorați funcția de convexitate (concavitate).

Derivatul său crește pe toată axa numerelor, ceea ce înseamnă că prin teorema 1 funcția este concavă.

A doua sa derivată , prin urmare, prin teorema 2, funcția este concavă.

3.4.2.2 Puncte de inflexiune

Definiție. Punct de inflexiune graficul unei funcții continue se numește punctul care separă intervalele în care funcția este convexă și concavă.

Din această definiție rezultă că punctele de inflexiune sunt punctele extreme ale primei derivate. Aceasta implică următoarele afirmații pentru condițiile de inflexiune necesare și suficiente.

Teorema (condiția de inflexiune necesară)... Pentru ca un punct să fie un punct de inflexiune al unei funcții de două ori diferențiabile, este necesar ca derivata a doua a acestuia în acest punct să fie egală cu zero ( ) sau nu a existat.

Teoremă (condiție de inflexiune suficientă). Dacă derivata a doua a unei funcții de două ori diferențiabile își schimbă semnul la trecerea printr-un anumit punct, adică un punct de inflexiune.

Rețineți că derivata a doua poate să nu existe în punctul însuși.

Interpretarea geometrică a punctelor de inflexiune este ilustrată în Fig. 3.9

În vecinătatea unui punct, funcția este convexă și graficul ei se află sub tangentei desenate în acest punct. În vecinătatea unui punct, funcția este concavă și graficul ei se află deasupra tangentei desenate în acest punct. La punctul de inflexiune, tangenta împarte graficul funcției în zone de convexitate și concavitate.

3.4.2.3 Investigarea funcției pentru convexitate și prezența punctelor de inflexiune

1. Găsiți derivata a doua.

2. Aflați punctele în care derivata a doua sau nu există.

Orez. 3.9.

3. Investigați semnul derivatei a doua în stânga și dreapta punctelor găsite și trageți o concluzie despre intervalele de convexitate sau concavitate și prezența punctelor de inflexiune.

Exemplu. Examinați funcția pentru convexitate și prezența punctelor de inflexiune.

2. A doua derivată este egală cu zero la.

3. A doua derivată își schimbă semnul la, deci punctul este punctul de inflexiune.

Pe un interval, atunci funcția este convexă pe acel interval.

Pe interval, atunci funcția este concavă pe acest interval.

3.4.2.4 Schema generală a studiului funcţiilor şi a trasării

Când examinați o funcție și trasați graficul acesteia, se recomandă utilizarea următoarei scheme:

1. Găsiți domeniul funcției.
2. Investigați funcția pentru uniformitate - ciudatenie. Reamintim că graficul unei funcții pare este simetric față de axa ordonatelor, iar graficul unei funcții impare este simetric față de origine.
3. Găsiți asimptotele verticale.
4. Explorați comportamentul unei funcții la infinit, găsiți asimptote orizontale sau oblice.
5. Găsiți extremele și intervalele de monotonitate ale funcției.
6. Aflați intervalele de convexitate ale funcției și punctele de inflexiune.
7. Aflați punctele de intersecție cu axele de coordonate.

Studiul funcției se realizează concomitent cu construcția graficului acesteia.

Exemplu. Explorați funcția și să-și construiască programul.

1. Zona de definire a funcției -.

2. Funcția investigată este pară , prin urmare, graficul său este simetric față de axa ordonatelor.

3. Numitorul funcției dispare la, deci graficul funcției are asimptote verticale și.

Punctele sunt puncte de discontinuitate de al doilea fel, deoarece limitele din stânga și din dreapta la aceste puncte tind să.

4. Comportarea funcției la infinit.

Prin urmare, graficul funcției are o asimptotă orizontală.

5. Extreme și intervale de monotonie. Găsiți prima derivată

Căci, deci, funcția scade în aceste intervale.

Căci, prin urmare, funcția crește în aceste intervale.

Când, deci, punctul este punctul critic.

Găsiți derivata a doua

Deoarece, punctul este punctul minim al funcției.

6. Intervale de convexitate și puncte de inflexiune.

Funcția la , deci pe acest interval funcția este concavă.

Funcția la, înseamnă că la aceste intervale funcția este convexă.

Funcția nu dispare nicăieri, deci nu există puncte de inflexiune.

7. Puncte de intersecție cu axe de coordonate.

Ecuația are o soluție, ceea ce înseamnă punctul de intersecție a graficului funcției cu axa ordonatelor (0, 1).

Ecuația nu are soluție, deci nu există puncte de intersecție cu axa absciselor.

Luând în considerare cercetările efectuate, este posibil să se construiască un grafic al funcției

Graficul schematic al unei funcții prezentat în Fig. 3.10.

Orez. 3.10.

3.4.2.5 Asimptotele graficului unei funcții

Definiție. Asimptotă graficul unei funcții se numește linie dreaptă, care are proprietatea că distanța de la un punct () la această dreaptă tinde spre 0 cu o distanță nelimitată de la originea punctului grafic.

Schema generală a studiului funcției și construcției graficului.
1. Investigarea funcției pentru convexitate și concavitate.

1. 
   
2. 
   Asimptotele graficului unei funcții.

Introducere.

În cursul de matematică din școală, v-ați întâlnit deja cu nevoia de a reprezenta grafice ale funcțiilor. În, ați folosit metoda de construcție punct cu punct. Trebuie remarcat faptul că este simplu în concept și duce relativ rapid la obiectiv. În cazurile în care funcția este continuă și se modifică destul de ușor, această metodă poate oferi gradul necesar de acuratețe a reprezentării grafice. Pentru a face acest lucru, trebuie să luați mai multe puncte pentru a obține o anumită densitate a plasării lor.

Să presupunem acum că funcția în unele locuri are caracteristici în „comportamentul” ei: fie valorile sale undeva într-o zonă mică se schimbă brusc, fie există discontinuități. Este posibil ca cele mai semnificative părți ale graficului să nu fie detectate în acest fel.

Această împrejurare reduce și valoarea metodei de trasare a graficului „pe puncte”.

Există o a doua modalitate de a construi diagrame, bazată pe studiul analitic al funcțiilor. Se compară favorabil cu metoda discutată la cursul de matematică din școală.

1. Studiul funcției de convexitate și concavitate .

Lasă funcția
diferențiabil pe intervalul (a, c). Apoi există o tangentă la graficul funcției în orice punct
acest grafic (
), iar tangenta nu este paralelă cu axa OY, deoarece panta ei este egală cu
, desigur.

O
misiune Vom spune că graficul funcției
pe (a, b) are o eliberare în jos (în sus), dacă nu este situat sub (nu deasupra) vreunei tangente la graficul funcției de pe (a, b).

a) curbă concavă b) curbă convexă

Teorema 1 (o condiție necesară pentru convexitatea (concavitatea) unei curbe).

Dacă graficul unei funcții de două ori diferențiabile este o curbă convexă (concavă), atunci derivata a doua a intervalului (a, b) este negativă (pozitivă) pe acest interval.

Teorema 2(o condiție suficientă pentru convexitatea (concavitatea) unei curbe).

Dacă funcția este de două ori diferențiabilă pe (a, b) și
(
) în toate punctele acestui interval, atunci curba care este graficul funcției este convexă (concavă) pe acest interval.

1. 
   Punctele de inflexiune ale graficului funcției.

Definiție Punct
se numește punctul de inflexiune al graficului funcției, dacă este în punct
graficul are o linie tangentă și există o vecinătate a punctului , în cadrul căruia graficul funcției din stânga și dreapta punctului are direcții diferite de convexitate.

O Se poate observa că în punctul de inflexiune tangenta intersectează graficul funcției, deoarece pe o parte a acestui punct graficul se află deasupra tangentei, iar pe cealaltă - sub aceasta, adică în vecinătatea punctului de inflexiune. , graficul funcției merge geometric dintr-o parte a tangentei pe cealaltă și „Se îndoaie” peste ea. De aici provine numele „punct de inflexiune”.

Teorema 3(o condiție prealabilă pentru punctul de inflexiune). Fie că graficul funcției are o inflexiune în punct și funcția să aibă în punct derivată a doua continuă. Atunci
.
Nu orice punct pentru care este un punct de inflexiune. De exemplu, graficul funcției
nu are inflexiune în punctul (0, 0), deși
la
... Prin urmare, egalitatea la zero a derivatei a doua este doar o condiție de inflexiune necesară.

Punctele graficului pentru care este numit puncte criticeII-orase. Este necesar să se investigheze în continuare problema prezenței inflexiunilor în fiecare punct critic.

Teorema 4(o condiție suficientă pentru un punct de inflexiune). Fie ca funcția să aibă derivata a doua într-o vecinătate a punctului. Apoi, dacă în cartierul specificat
are semne diferite la stânga și la dreapta punctului, apoi graficul are un punct de inflexiune în punctul respectiv.
Cometariu. Teorema rămâne adevărată dacă
are o derivată a doua într-o vecinătate a punctului, cu excepția punctului însuși, și există o tangentă la graficul funcției în punct
... Apoi, dacă în vecinătatea specificată are semne diferite la stânga și la dreapta punctului, atunci graficul funcției are un punct de inflexiune în punctul respectiv.
Schema studiului funcției pentru convexitate, concavitate, puncte de inflexiune.

Exemplu. Explorați funcția
pe convexitate, concavitate, puncte de inflexiune.
1.

2.
,
=

3. nu exista pentru

	)	1	(1, +)
	-		+
		1

1. 
   Asimptotele graficului unei funcții.

La studierea comportamentului unei funcţii cu
sau în apropierea punctelor de discontinuitate de al 2-lea fel, se dovedește adesea că graficul funcției se apropie cât mai aproape de una sau alta dreaptă. Astfel de linii drepte sunt numite.

O definiția 1. Drept se numește asimptota curbei L dacă distanța de la punctul curbei la această dreaptă tinde spre zero pe măsură ce punctul se îndepărtează de-a lungul curbei până la infinit. Există trei tipuri de asimptote: verticale, orizontale, oblice.

Definiția 2. Drept
se numește asimptota verticală a graficului funcției dacă cel puțin una dintre limitele unilaterale este
, adică sau

De exemplu, graficul funcției
are o asimptotă verticală
, deoarece.
, A
.

Definiția 3. Linia dreaptă y = A se numește asimptota orizontală a graficului funcției la
dacă
.

De exemplu, graficul unei funcții are o asimptotă orizontală y = 0, deoarece.
.

Definiția 4. Drept
(
) se numește asimptota oblică a graficului funcției la
dacă
;

Dacă cel puțin una dintre limite nu există, atunci curba nu are asimptote. Dacă, atunci aceste limite ar trebui căutate separat, pentru și
.

De exemplu. Găsiți asimptotele graficului unei funcții

; x = 0 - asimptotă verticală

;
.

- asimptotă oblică.
4. Schema unui studiu complet al funcției și graficului.

Să luăm în considerare o schemă aproximativă conform căreia este recomandabil să investigăm comportamentul unei funcții și să construim graficul acesteia.

Exemplu. Explorați funcția
și să-și construiască programul.

1., cu excepția x = -1.

2.
funcția nu este nici pară, nici impară

-

-



+

+

y

-4


t p.

0

Concluzie.
O caracteristică importantă a metodei luate în considerare este că se bazează în primul rând pe detectarea și studiul trăsăturilor caracteristice în comportamentul curbei. Locurile în care funcția se schimbă fără probleme nu sunt studiate în detaliu și nu este nevoie de un astfel de studiu. Dar acele locuri în care funcția are anumite particularități în comportament sunt supuse cercetării complete și celei mai precise reprezentări grafice. Aceste caracteristici sunt punctele de maxim, minim, puncte de discontinuitate ale funcției etc.

Determinarea direcției concavității și curbelor, precum și metoda indicată de găsire a asimptotelor, fac posibilă studierea funcțiilor și mai detaliată și obținerea unei idei mai precise a graficelor lor.

Instrucțiuni

Punctele de inflexiune ale funcției trebuie să aparțină domeniului definiției sale, care trebuie găsit mai întâi. Graficul unei funcții este o dreaptă care poate fi continuă sau să aibă discontinuități, să scadă sau să crească monoton, să aibă puncte minime sau maxime (asimptote), să fie convexă sau concavă. O schimbare bruscă în ultimele două stări se numește inflexiune.

O condiție necesară pentru existența unei inflexii a unei funcții este egalitatea secundei la zero. Astfel, prin diferențierea funcției de două ori și egalând expresia rezultată cu zero, se pot găsi abscisele posibilelor puncte de inflexiune.

Această condiție rezultă din definirea proprietăților de convexitate și concavitate ale graficului unei funcții, i.e. valori negative și pozitive ale derivatei a doua. La punctul de inflexiune, există o schimbare bruscă a acestor proprietăți, ceea ce înseamnă că derivata trece peste marcajul zero. Cu toate acestea, egalitatea cu zero încă nu este suficientă pentru a indica o inflexiune.

Sunt două suficiente pentru ca abscisa găsită la etapa precedentă să aparțină punctului de inflexiune: Prin acest punct, puteți desena o tangentă la funcție. A doua derivată are semne diferite la dreapta și la stânga punctului de inflexiune presupus. Astfel, existența sa în punctul în sine nu este necesară, este suficient să se determine că își schimbă semnul la acesta.Derivata a doua a funcției este egală cu zero, iar a treia nu este.

Prima condiție suficientă este universală și este folosită mai des decât altele. Luați în considerare un exemplu ilustrativ: y = (3 x + 3) ∛ (x - 5).

Soluție: Găsiți domeniul de aplicare. În acest caz, nu există restricții, prin urmare, este întregul spațiu al numerelor reale. Calculați prima derivată: y '= 3 ∛ (x - 5) + (3 x + 3) / ∛ (x - 5) ².

Acordați atenție aspectului fracției. De aici rezultă că domeniul de definire a derivatului este limitat. Punctul x = 5 este perforat, ceea ce înseamnă că o tangentă poate trece prin el, ceea ce corespunde parțial primului semn al suficienței flexiunii.

Determinați limitele unilaterale pentru expresia rezultată ca x → 5 - 0 și x → 5 + 0. Ele sunt -∞ și + ∞. Ai demonstrat că o tangentă verticală trece prin punctul x = 5. Acest punct se poate dovedi a fi un punct de inflexiune, dar mai întâi calculați derivata a doua: Y '' = 1 / ∛ (x - 5) ² + 3 / ∛ (x - 5) ² - 2/3 (3 x + 3) ) / ∛ (x - 5) ^ 5 = (2 x - 22) / ∛ (x - 5) ^ 5.

Omiteți numitorul, deoarece ați luat deja în considerare punctul x = 5. Rezolvați ecuația 2 x - 22 = 0. Are o singură rădăcină x = 11. Ultimul pas este să confirmați că punctele x = 5 și x = 11 sunt puncte de inflexiune. Analizați comportamentul derivatei a doua în vecinătatea lor. Este evident că în punctul x = 5 își schimbă semnul din „+” în „-”, iar în punctul x = 11 - invers. Concluzie: ambele puncte sunt puncte de inflexiune. Prima condiție suficientă este îndeplinită.