Hallar intervalos de convexidad de la función. Intervalos de convexidad y concavidad de la gráfica de una función

Con una calculadora en línea, puede encontrar puntos de inflexión e intervalos de convexidad de un gráfico de función con el diseño de la solución en Word. Si una función de dos variables f(x1,x2) es convexa se decide usando la matriz hessiana.

Reglas de entrada de funciones:

La dirección de la convexidad de la gráfica de la función. Puntos de inflexión

Definición: Una curva y=f(x) se llama convexa hacia abajo en el intervalo (a; b) si se encuentra por encima de la tangente en cualquier punto de este intervalo.

Definición: La curva y=f(x) se llama convexa hacia arriba en el intervalo (a; b) si se encuentra por debajo de la tangente en cualquier punto de este intervalo.

Definición: Los intervalos en los que la gráfica de la función es convexa hacia arriba o hacia abajo se denominan intervalos de la convexidad de la gráfica de la función.

La convexidad hacia abajo o hacia arriba de la curva, que es la gráfica de la función y=f(x), se caracteriza por el signo de su segunda derivada: si en algún intervalo f''(x) > 0, entonces la curva es convexa hacia abajo en este intervalo; si f''(x)< 0, то кривая выпукла вверх на этом промежутке.

Definición: El punto de la gráfica de la función y=f(x) , que separa los intervalos de convexidad de direcciones opuestas de esta gráfica, se denomina punto de inflexión.

Sólo los puntos críticos del segundo tipo pueden servir como puntos de inflexión; puntos pertenecientes al dominio de la función y = f(x) , en los que la segunda derivada f''(x) se anula o se rompe.

La regla para encontrar los puntos de inflexión de la función gráfica y = f(x)

1. Encuentra la segunda derivada f''(x) .
2. Encuentre los puntos críticos del segundo tipo de la función y=f(x), es decir el punto en el que f''(x) desaparece o se rompe.
3. Investigar el signo de la segunda derivada f''(x) en los intervalos en que los puntos críticos encontrados dividen el dominio de la función f(x) . Si, en este caso, el punto crítico x 0 separa los intervalos de convexidad de direcciones opuestas, entonces x 0 es la abscisa del punto de inflexión de la gráfica de la función.
4. Calcule los valores de la función en los puntos de inflexión.

Ejemplo 1 . Encuentre las brechas de convexidad y los puntos de inflexión de la siguiente curva: f(x) = 6x 2 –x 3 .
Solución: Encuentre f '(x) = 12x - 3x 2 , f ''(x) = 12 - 6x.
Encontremos los puntos críticos por la segunda derivada resolviendo la ecuación 12-6x=0 . x=2


f(2) = 6*2 2 - 2 3 = 16
Respuesta: La función es convexa hacia arriba para x∈(2; +∞) ; la función es convexa hacia abajo para x∈(-∞; 2) ; punto de inflexión (2;16) .

Ejemplo 2 . ¿La función tiene puntos de inflexión: f(x)=x 3 -6x 2 +2x-1

Ejemplo 3 . Encuentra los intervalos donde la gráfica de la función es convexa y convexa: f(x)=x 3 -6x 2 +12x+4

Para determinar la convexidad (concavidad) de una función en un cierto intervalo, se pueden usar los siguientes teoremas.

Teorema 1. Sea la función definida y continua en el intervalo y tenga una derivada finita. Para que una función sea convexa (cóncava) en , es necesario y suficiente que su derivada disminuya (aumente) en este intervalo.

Teorema 2. Sea la función definida y continua junto con su derivada en y tenga una segunda derivada continua dentro de . Para la convexidad (concavidad) de la función en ella es necesario y suficiente que dentro

Demostremos el Teorema 2 para el caso de convexidad de la función .

Necesitar. Tomemos un punto arbitrario. Expandimos la función cerca del punto en una serie de Taylor

La ecuación de una tangente a una curva en un punto que tiene una abscisa:

Entonces el exceso de la curva sobre la tangente a ella en el punto es igual a

Así, el resto es igual al exceso de la curva sobre la tangente a ella en el punto . Por continuidad, si , entonces también para , perteneciente a una vecindad suficientemente pequeña del punto , y por lo tanto, obviamente, para cualquiera diferente del valor de , perteneciente a la vecindad especificada.

Esto significa que la gráfica de la función se encuentra por encima de la tangente y la curva es convexa en un punto arbitrario.

Adecuación. Sea la curva convexa en el intervalo . Tomemos un punto arbitrario.

De manera similar a la anterior, desarrollamos la función cerca del punto en una serie de Taylor

El exceso de la curva sobre la tangente a ella en el punto que tiene la abscisa definida por la expresión es igual a

Como el exceso es positivo para una vecindad suficientemente pequeña del punto , la segunda derivada también es positiva. Mientras nos esforzamos, obtenemos que para un punto arbitrario .

Ejemplo. Investigue la función de convexidad (concavidad).

su derivado crece en todo el eje real, por lo que por el Teorema 1 la función es cóncava en .

su segunda derivada , por lo tanto, por el Teorema 2, la función es cóncava en .

3.4.2.2 Puntos de inflexión

Definición. punto de inflexión Se llama gráfico de una función continua al punto que separa los intervalos en los que la función es convexa y cóncava.

De esta definición se sigue que los puntos de inflexión son los puntos del punto extremo de la primera derivada. Esto implica las siguientes afirmaciones para las condiciones de inflexión necesarias y suficientes.

Teorema (condición de flexión necesaria). Para que un punto sea punto de inflexión de una función dos veces derivable, es necesario que su segunda derivada en ese punto sea igual a cero ( ) o no existió.

Teorema (condición suficiente para la flexión). Si la segunda derivada de una función diferenciable dos veces cambia de signo al pasar por cierto punto, entonces hay un punto de inflexión.

Tenga en cuenta que la segunda derivada puede no existir en el punto mismo.

La interpretación geométrica de los puntos de inflexión se ilustra en la fig. 3.9

En la vecindad de un punto, la función es convexa y su gráfica se encuentra debajo de la tangente trazada en ese punto. En la vecindad de un punto, la función es cóncava y su gráfica se encuentra por encima de la tangente trazada en ese punto. En el punto de inflexión, la tangente divide la gráfica de la función en regiones de convexidad y concavidad.

3.4.2.3 Examen de una función para la convexidad y la presencia de puntos de inflexión

1. Encuentra la segunda derivada.

2. Encuentra los puntos en los que la segunda derivada o no existe.

Arroz. 3.9.

3. Examine el signo de la segunda derivada a la izquierda ya la derecha de los puntos encontrados y saque una conclusión sobre los intervalos de convexidad o concavidad y la presencia de puntos de inflexión.

Ejemplo. Investigue la función de convexidad y la presencia de puntos de inflexión.

2. La segunda derivada es igual a cero en .

3. La segunda derivada cambia de signo en , por lo que el punto es el punto de inflexión.

En el intervalo , entonces la función es convexa en este intervalo.

En el intervalo , entonces la función es cóncava en este intervalo.

3.4.2.4 Esquema general para el estudio de funciones y trazado

Al estudiar una función y trazar su gráfico, se recomienda utilizar el siguiente esquema:

1. Encuentre el alcance de la función.
2. Investigue la función par - impar. Recuerda que la gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje y, y la gráfica de una función impar es simétrica con respecto al origen.
3. Encuentra asíntotas verticales.
4. Explora el comportamiento de una función en el infinito, encuentra asíntotas horizontales u oblicuas.
5. Hallar extremos e intervalos de monotonicidad de la función.
6. Encuentre los intervalos de convexidad de la función y los puntos de inflexión.
7. Encuentra puntos de intersección con ejes de coordenadas.

El estudio de la función se realiza simultáneamente con la construcción de su gráfica.

Ejemplo. Función Explorar y trazarlo.

1. Alcance de la función - .

2. La función en estudio es par , por lo que su gráfica es simétrica con respecto al eje y.

3. El denominador de la función se anula en , por lo que la gráfica de la función tiene asíntotas verticales y .

Los puntos son puntos de discontinuidad del segundo tipo, ya que los límites por la izquierda y la derecha en estos puntos tienden a .

4. Comportamiento de la función en el infinito.

Por lo tanto, la gráfica de la función tiene una asíntota horizontal.

5. Extremos e intervalos de monotonicidad. Encontrar la primera derivada

Para , por tanto, la función decrece en estos intervalos.

Para , por tanto, la función crece en estos intervalos.

Para , por lo tanto, el punto es un punto crítico.

Encontrar la segunda derivada

Como , entonces el punto es el punto mínimo de la función .

6. Intervalos de convexidad y puntos de inflexión.

Función en , por lo que la función es cóncava en este intervalo.

La función en , significa que la función es convexa en estos intervalos.

La función nunca desaparece, por lo que no hay puntos de inflexión.

7. Puntos de intersección con los ejes de coordenadas.

La ecuación , tiene una solución , que significa el punto de intersección de la gráfica de la función con el eje y (0, 1).

La ecuación no tiene solución, lo que significa que no hay puntos de intersección con el eje de abscisas.

Teniendo en cuenta la investigación realizada, es posible construir un gráfico de la función

Gráfico esquemático de una función mostrado en la fig. 3.10.

Arroz. 3.10.

3.4.2.5 Asíntotas de la gráfica de una función

Definición. Asíntota la gráfica de la función se llama línea recta, la cual tiene la propiedad de que la distancia del punto () a esta línea recta tiende a 0 con una remoción ilimitada del punto de la gráfica del origen.

El esquema general del estudio de la función y la construcción de un gráfico.
1. Investigación de la función de convexidad y concavidad.

1. 
   
2. 
   Asíntotas de la gráfica de una función.

Introducción.

En el curso de matemáticas de la escuela, ya se encontró con la necesidad de trazar gráficos de funciones. En , usó el método punto por punto. Cabe señalar que es simple en concepto y relativamente rápido conduce a la meta. En los casos en que la función es continua y cambia con bastante suavidad, este método también puede proporcionar el grado necesario de precisión de la representación gráfica. Para hacer esto, debe tomar más puntos para lograr una cierta densidad de su ubicación.

Supongamos ahora que la función en algunos lugares tiene características en su "comportamiento": sus valores cambian bruscamente en algún lugar en un área pequeña o hay interrupciones. Es posible que las partes más significativas del gráfico no se detecten de esta manera.

Esta circunstancia resta valor al método de construcción de un gráfico "por puntos".

Existe una segunda forma de trazar gráficas, basada en el estudio analítico de funciones. Se compara favorablemente con el método considerado en el curso de matemáticas de la escuela.

1. Investigación de una función para convexidad y concavidad .

Deja que la función
es diferenciable en el intervalo (a, c). Entonces hay una tangente a la gráfica de la función en cualquier punto
este gráfico (
), y la tangente no es paralela al eje OY, ya que su pendiente es igual a
, por supuesto.

O
definición Diremos que la gráfica de la función
en (a, c) tiene un disparador que apunta hacia abajo (arriba) si no está ubicado debajo (ni arriba) de ninguna tangente a la gráfica de la función en (a, c).

a) curva cóncava b) curva convexa

Teorema 1 (una condición necesaria para la convexidad (concavidad) de la curva).

Si la gráfica de una función diferenciable dos veces es una curva convexa (cóncava), entonces la segunda derivada en el intervalo (a, c) es negativa (positiva) en este intervalo.

Teorema 2(una condición suficiente para la convexidad (concavidad) de la curva).

Si la función es dos veces derivable en (a, b) y
(
) en todos los puntos de este intervalo, entonces la curva que es la gráfica de la función es convexa (cóncava) en este intervalo.

1. 
   Los puntos de inflexión de la gráfica de la función.

Definición Punto
se llama punto de inflexión de la gráfica de la función, si en el punto
la gráfica tiene una tangente, y existe tal vecindad del punto , dentro de la cual la gráfica de la función a la izquierda y derecha del punto tiene diferentes direcciones de convexidad.

O es obvio que en el punto de inflexión la tangente cruza la gráfica de la función, ya que en un lado de este punto la gráfica se encuentra sobre la tangente, y en el otro - debajo de ella, es decir, en la vecindad del punto de inflexión, la gráfica La gráfica de la función pasa geométricamente de un lado de la tangente al otro y se "dobla" a través de ella. De ahí viene el nombre de "punto de inflexión".

Teorema 3(condición de punto de inflexión necesaria). Que la gráfica de la función tenga una inflexión en un punto y que la función tenga en un punto Segunda derivada continua. Entonces
.
No todos los puntos para los cuales , es un punto de inflexión. Por ejemplo, la gráfica de la función
no tiene punto de inflexión en (0, 0), aunque
en
. Por lo tanto, la igualdad de la segunda derivada a cero es solo una condición necesaria para la flexión.

Puntos de la gráfica para los que se llama puntos críticosYo-ciudades. Es necesario investigar más a fondo el tema de la presencia de torceduras en cada punto crítico.

Teorema 4(condición suficiente para un punto de inflexión). Deje que la función tenga una segunda derivada en alguna vecindad del punto. Entonces, si dentro del vecindario especificado
tiene diferentes signos a la izquierda ya la derecha del punto, entonces el gráfico tiene una inflexión en el punto.
Comentario. El teorema sigue siendo cierto si
tiene una segunda derivada en alguna vecindad del punto, excepto por el punto mismo, y hay una tangente a la gráfica de la función en el punto
. Entonces, si dentro de la vecindad indicada tiene signos diferentes a la izquierda ya la derecha del punto , entonces la gráfica de la función tiene una inflexión en el punto .
Esquema de estudio de la función de convexidad, concavidad, puntos de inflexión.

Ejemplo. Función Explorar
convexidad, concavidad, puntos de inflexión.
1.

2.
,
=

3. no existe en

	)	1	(1, +)
	-		+
		1

1. 
   Asíntotas de la gráfica de una función.

Al estudiar el comportamiento de una función en
o cerca de los puntos de discontinuidad del segundo tipo, a menudo resulta que la gráfica de una función se aproxima a una u otra línea recta tanto como se quiera. Tales líneas se llaman.

O definición 1. Derecho se llama asíntota de la curva L si la distancia desde el punto de la curva a esta línea tiende a cero a medida que el punto se aleja a lo largo de la curva hasta el infinito. Hay tres tipos de asíntotas: verticales, horizontales, oblicuas.

Definición 2. Derecho
se llama asíntota vertical de la función gráfica si al menos uno de los límites laterales es igual a
, es decir, o

Por ejemplo, la gráfica de la función
tiene una asíntota vertical
, porque
, a
.

Definición 3. La línea recta y \u003d A se llama asíntota horizontal del gráfico de la función cuando
Si
.

Por ejemplo, la gráfica de una función tiene una asíntota horizontal y=0, porque
.

Definición 4. Derecho
(
) se llama la asíntota oblicua de la gráfica de la función para
Si
;

Si al menos uno de los límites no existe, entonces la curva no tiene asíntotas. Si, entonces estos límites deben buscarse por separado, para y
.

Por ejemplo. Hallar las asíntotas de la gráfica de una función

; x=0 – asíntota vertical

;
.

es la asíntota oblicua.
4. Esquema de estudio completo de la función y trazado.

Considere un esquema ejemplar por el cual es recomendable investigar el comportamiento de una función y construir su gráfica.

Ejemplo. Función Explorar
y trazarlo.

1., excepto x=-1.

2.
funcion ni par ni impar

-

-



+

+

y

-4


tr

0

Conclusión.
Una característica importante del método considerado es que se basa principalmente en la detección y estudio de rasgos característicos en el comportamiento de la curva. Los lugares donde la función cambia suavemente no se estudian en particular detalle y no hay necesidad de tal estudio. Pero aquellos lugares donde la función tiene peculiaridades en el comportamiento están sujetos a una investigación completa y la representación gráfica más precisa. Estas características son los puntos de máximo, mínimo, puntos de discontinuidad de la función, etc.

La determinación de la dirección de la concavidad y las inflexiones, así como el método indicado para encontrar asíntotas, permiten estudiar funciones con más detalle y obtener una idea más precisa de sus gráficos.

Instrucción

Los puntos de inflexión de la función deben pertenecer al dominio de su definición, que debe encontrarse primero. Un gráfico de función es una línea que puede ser continua o tener rupturas, decrecer o aumentar monótonamente, tener puntos mínimos o máximos (asíntotas), ser convexa o cóncava. Un cambio brusco en los dos últimos estados se denomina inflexión.

Una condición necesaria para la existencia de una inflexión de la función es que el segundo sea igual a cero. Así, habiendo derivado dos veces la función e igualando a cero la expresión resultante, se pueden encontrar las abscisas de los posibles puntos de inflexión.

Esta condición se deriva de la definición de las propiedades de convexidad y concavidad del gráfico de función, es decir valores negativos y positivos de la segunda derivada. En el punto de inflexión, hay un cambio brusco en estas propiedades, lo que significa que la derivada pasa la marca cero. Sin embargo, la igualdad a cero todavía no es suficiente para indicar un punto de inflexión.

Hay dos condiciones suficientes para que la abscisa encontrada en el paso anterior pertenezca al punto de inflexión: Por este punto se puede trazar una tangente a la función. La segunda derivada tiene signos diferentes a la derecha ya la izquierda del supuesto punto de inflexión. Así, no es necesaria su existencia en el punto mismo, basta determinar que cambia de signo en él.La segunda derivada de la función es cero, pero la tercera no lo es.

La primera condición suficiente es universal y se usa con más frecuencia que otras. Considere un ejemplo ilustrativo: y = (3 x + 3) ∛ (x - 5).

Solución. Encuentra el dominio de definición. En este caso no hay restricciones, por lo tanto, es todo el espacio de los números reales. Calcula la primera derivada: y' = 3 ∛ (x - 5) + (3 x + 3) / ∛ (x - 5)².

Presta atención a la apariencia de la fracción. De esto se sigue que el dominio de definición de la derivada es limitado. El punto x = 5 está perforado, lo que significa que por él puede pasar una tangente, lo que corresponde en parte al primer criterio de suficiencia de la flexión.

Determine los límites unilaterales para la expresión resultante en x → 5 - 0 yx → 5 + 0. Son iguales a -∞ y +∞. Probaste que una tangente vertical pasa por el punto x=5. Este punto puede ser un punto de inflexión, pero primero calcula la segunda derivada: - 5)^5 = (2 x - 22)/∛(x - 5)^5.

Omite el denominador, porque ya has tenido en cuenta el punto x = 5. Resuelve la ecuación 2 x - 22 = 0. Tiene una sola raíz x = 11. El último paso es confirmar que los puntos x = 5 yx = 11 son puntos de inflexión. Analizar el comportamiento de la segunda derivada en su vecindad. Obviamente, en el punto x = 5, cambia de signo de “+” a “-”, y en el punto x = 11, viceversa. Conclusión: ambos puntos son puntos de inflexión. Se cumple la primera condición suficiente.