مشتق. تمایز توابع دیفرانسیل های مرتبه های مختلف

مشتق کارکرددر یک نقطه حد نسبت افزایش تابع به افزایش آرگومان نامیده می شود، مشروط بر اینکه به سمت صفر گرایش داشته باشد.

قوانین اساسی برای یافتن مشتق

اگر - و - توابع متمایزپذیر در نقطه هستند (یعنی توابعی که مشتقاتی در نقطه دارند)، پس:

4) .

جدول مشتقات توابع پایه

1. 8.

2. 9.

3. 10.

5. 12.

6. 13.

7.

قانون تمایز یک تابع پیچیدهاگر و، یعنی ، کجا و مشتقات داشته باشید، سپس

تمایز یک تابع مشخص شده به صورت پارامتری. اجازه دهید وابستگی یک متغیر به یک متغیر به صورت پارامتریک با استفاده از پارامتر مشخص شود:

وظیفه 3. مشتقات این توابع را بیابید.

1)

راه حل. با اعمال قانون 2 برای یافتن مشتقات و فرمول های 1 و 2 جدول مشتقات، به دست می آوریم:

راه حل.با اعمال قانون 4 برای یافتن مشتقات و فرمول های 1 و 13 جدول مشتقات، به دست می آوریم:

.

راه حل.با اعمال قانون 3 برای یافتن مشتقات و فرمول های 5 و 11 جدول مشتقات، به دست می آوریم:

راه حل.با فرض اینکه در آن، طبق فرمول یافتن مشتق یک تابع مختلط، به دست می آوریم:

راه حل. داریم: سپس با توجه به فرمول یافتن مشتق یک تابع که بصورت پارامتریک مشخص شده است، به دست می آوریم:

4. مشتقات مرتبه بالاتر. قانون L'Hopital.

مشتق مرتبه دوم تابعرا مشتق مشتق آن می گویند، یعنی. . نمادهای زیر برای مشتق دوم استفاده می شود: یا , یا .

مشتق از مرتبه 1 تابعمشتق مشتق مرتبه هفتم آن نامیده می شود. برای مشتق مرتبه هفتم، از نمادهای زیر استفاده می شود: یا، یا .

قانون L'Hopital.اجازه دهید توابع و قابل تمایز در یک همسایگی از نقطه و مشتق از بین نمی رود. اگر توابع و به طور همزمان یا بی نهایت کوچک یا بی نهایت بزرگ در هستند، و حدی از نسبت در وجود دارد، پس محدودیتی برای نسبت در نیز وجود دارد. علاوه بر این

.

این قانون همچنین زمانی اعمال می شود که .

توجه داشته باشید که در برخی موارد، افشای عدم قطعیت هایی از نوع یا ممکن است مستلزم اعمال مکرر قانون L'Hopital باشد.

عدم قطعیت های نوع و غیره با کمک دگرگونی های ابتدایی می توان آنها را به راحتی به عدم قطعیت های شکل یا .

وظیفه 4. با استفاده از قانون L'Hopital حد را پیدا کنید.

راه حلدر اینجا ما عدم قطعیت فرم را داریم، زیرا در . بیایید قانون L'Hopital را اعمال کنیم:

.

پس از اعمال قانون L'Hopital، ما دوباره عدم قطعیت فرم را به دست آوردیم، زیرا در . با اعمال مجدد قانون L'Hopital، دریافت می کنیم:

.

5. مطالعه عملکرد

الف) توابع افزایش و کاهش

تابع فراخوانی می شود افزایش می یابددر بخش ، اگر برای هر نقطه و از بخش ، جایی که ، نابرابری برقرار است. اگر تابعی در یک بازه و برای یک پیوسته باشد، در بازه افزایش می یابد.

تابع فراخوانی می شود در حال کاهشدر بخش ، اگر برای هر نقطه و از بخش ، جایی که ، نابرابری برقرار است. اگر تابعی در یک بازه و برای یک پیوسته باشد، در بازه کاهش می یابد.

اگر تابعی در یک بازه معین فقط در حال افزایش یا کاهش باشد، آنگاه فراخوانی می شود یکنواختدر فاصله زمانی

ب) تابع افراطی

حداقل امتیازکارکرد .

اگر یک -همسایگی نقطه وجود دارد به طوری که برای تمام نقاط این همسایگی نابرابری برقرار است، آنگاه نقطه فراخوانی می شود حداکثر امتیازکارکرد .

نقاط حداکثر و حداقل یک تابع را آن می نامند نقاط افراطی

نقطه نامیده می شود نقطه ثابت،اگر وجود داشته باشد یا نباشد.

اگر یک -همسایگی یک نقطه ثابت وجود داشته باشد به طوری که برای و برای ، آنگاه حداکثر نقطه تابع است.

اگر یک همسایگی یک نقطه ثابت وجود داشته باشد به طوری که برای و برای، آنگاه نقطه -مینیمم تابع است.

آ) جهت محدب. نقاط عطف

محدبدر فاصله زمانی , اگر زیر مماس رسم شده بر نمودار تابع در هر نقطه از این بازه قرار گیرد.

شرط کافی برای تحدب رو به بالا نمودار یک تابع در یک بازه، تحقق نابرابری برای هر یک از بازه های در نظر گرفته شده است.

نمودار یک تابع متمایز نامیده می شود محدب به پاییندر فاصله زمانی , اگر بالای مماس رسم شده بر نمودار تابع در هر نقطه از این بازه قرار گیرد.

شرط کافی برای تحدب رو به پایین نمودار یک تابع در یک بازه، تحقق نابرابری برای هر یک از بازه های در نظر گرفته شده است.

به نقطه ای که جهت تحدب نمودار یک تابع تغییر می کند گفته می شود نقطه عطف.

نقطه ای که وجود ندارد یا وجود ندارد، در صورتی که علائم سمت چپ و راست آن متفاوت باشد، ابسیسا نقطه عطف است.

د) مجانب

اگر فاصله یک نقطه از نمودار یک تابع تا یک خط مستقیم خاص با دور شدن بی‌نهایت نقطه از مبدأ به صفر برسد، خط مستقیم نامیده می‌شود. مجانبی از نمودار تابع.

اگر عددی وجود داشته باشد که , پس خط است مجانب عمودی

اگر محدودیت هایی وجود دارد ، سپس خط است مجانب مورب (افقی در k=0).

ه) مطالعه کلی عملکرد

1. دامنه تابع

2. نقاط تقاطع نمودار با محورهای مختصات

3. مطالعه تابع برای تداوم، زوج/فرد و تناوب

4. فواصل یکنواختی یک تابع

5. نقاط افراطی تابع

6. فواصل تحدب و نقاط عطف یک نمودار تابع

7. مجانب نمودار یک تابع

8. نمودار تابع.

وظیفه 5. تابع را کاوش کرده و نمودار آن را بسازید.

راه حل. 1) تابع در کل خط عددی تعریف می شود به جز نقطه ای که مخرج کسر به صفر می رسد. . داریم: به دامنه تعریف این تابع تعلق ندارد. در نتیجه، نقاط ثابت این تابع، نقاطی هستند که حداقل مقدار را دارند (همانطور که در شکل نشان داده شده است).

8) با استفاده از داده های به دست آمده، بیایید یک نمودار از تابع اصلی بسازیم:

محتوای مقاله

مشتق- مشتق تابع y = f(ایکس، در یک بازه زمانی مشخص داده می شود ( آ, ب) در نقطه ایکسبه این فاصله حدی گفته می شود که نسبت افزایش تابع به آن میل می کند fدر این مرحله به افزایش متناظر آرگومان هنگامی که افزایش آرگومان به صفر میل می کند.

مشتق معمولاً به صورت زیر نشان داده می شود:

نام‌های دیگر نیز به طور گسترده مورد استفاده قرار می‌گیرند:

سرعت آنی

بگذارید نکته مدر یک خط مستقیم حرکت می کند فاصله سنقطه متحرک، از یک موقعیت اولیه شمارش می شود م 0 ، بستگی به زمان دارد تی، یعنی سوجود دارد تابعزمان تی: س= f(تی). اجازه دهید در یک نقطه از زمان تینقطه متحرک مدر فاصله ای بود ساز موقعیت شروع م 0 و در لحظه ای دیگر تی+دی تیخود را در موقعیتی یافت م 1 - در فاصله س+دی ساز موقعیت اولیه ( عکس را ببینید.).

بنابراین، در یک دوره زمانی D تیفاصله سبه مقدار D تغییر کرد س. در این مورد می گویند که در بازه زمانی D تیاندازه سافزایش D را دریافت کرد س.

سرعت متوسط ​​در همه موارد نمی تواند به طور دقیق سرعت حرکت یک نقطه را مشخص کند مدر یک نقطه از زمان تی. اگر مثلاً بدن در ابتدای بازه D تیبسیار سریع و در پایان بسیار آهسته حرکت کرد، آنگاه سرعت متوسط ​​نمی‌تواند ویژگی‌های مشخص شده حرکت نقطه را منعکس کند و تصوری از سرعت واقعی حرکت آن در لحظه ارائه دهد. تی. برای بیان دقیق تر سرعت واقعی با استفاده از سرعت متوسط، باید مدت زمان کوتاهتری را در نظر بگیرید تی. به طور کامل سرعت حرکت یک نقطه را در لحظه مشخص می کند تیحدی که سرعت متوسط ​​به D میل می کند تی® 0. این حد را سرعت جاری می نامند:

بنابراین، سرعت حرکت در یک لحظه معین، حد نسبت افزایش مسیر D نامیده می شود سبه افزایش زمان D تی، زمانی که افزایش زمان به صفر میل می کند. زیرا

معنای هندسی مشتق. مماس بر نمودار یک تابع.

ساخت خطوط مماس یکی از آن مشکلاتی است که منجر به تولد حساب دیفرانسیل شد. اولین اثر منتشر شده مربوط به حساب دیفرانسیل که توسط لایب نیتس نوشته شده بود، عنوان شد روش جدید ماکزیمم و کمینه و همچنین مماس که نه کمیت کسری و نه غیرمنطقی مانعی برای آن نیست و نوع خاصی از حساب برای این کار.

بگذارید منحنی نمودار تابع باشد y =f(ایکس) در یک سیستم مختصات مستطیلی ( سانتی متر. برنج.).

به مقداری ایکسعملکرد مهم است y =f(ایکس). این ارزش ها ایکسو yنقطه روی منحنی مطابقت دارد م 0(ایکس, y). اگر استدلال ایکسدادن افزایش D ایکس، سپس مقدار جدید آرگومان ایکس+دی ایکسبا مقدار تابع جدید مطابقت دارد y+ D y = f(ایکس + D ایکس). نقطه متناظر منحنی نقطه خواهد بود م 1(ایکس+دی ایکس,y+دی y). اگر یک سکانت بکشید م 0م 1 و با j نشان داده می شود زاویه ای که توسط یک عرضی با جهت مثبت محور تشکیل می شود گاو نر، از شکل بلافاصله مشخص است که .

اگر الان دی ایکسبه سمت صفر میل می کند، سپس نقطه م 1 در امتداد منحنی حرکت می کند و به نقطه نزدیک می شود م 0 و زاویه j با D تغییر می کند ایکس. در Dx® 0 زاویه j به حد معینی a و خط مستقیمی که از نقطه عبور می کند میل می کند م 0 و جزء با جهت مثبت محور x، زاویه a، مماس مورد نظر خواهد بود. شیب آن عبارت است از:

از این رو، f´( ایکس) = tga

آن ها ارزش مشتق f´( ایکس) برای یک مقدار آرگومان داده شده ایکسبرابر با مماس زاویه تشکیل شده توسط مماس بر نمودار تابع است f(ایکس) در نقطه مربوطه م 0(ایکس,y) با جهت محور مثبت گاو نر.

تمایز توابع

تعریف. اگر تابع y = f(ایکس) در نقطه مشتق دارد ایکس = ایکس 0، سپس تابع در این نقطه قابل تفکیک است.

تداوم تابعی که مشتق دارد. قضیه.

اگر تابع y = f(ایکس) در نقطه ای قابل تمایز است ایکس = ایکس 0، سپس در این نقطه پیوسته است.

بنابراین، تابع نمی تواند مشتق در نقاط ناپیوستگی داشته باشد. نتیجه مخالف نادرست است، یعنی. از این واقعیت که در مقطعی ایکس = ایکسعملکرد 0 y = f(ایکس) پیوسته بودن به این معنی نیست که در این نقطه قابل تمایز است. به عنوان مثال، تابع y = |ایکس| مستمر برای همه ایکس(–Ґ x x = 0 هیچ مشتقی ندارد. در این نقطه هیچ مماس بر نمودار وجود ندارد. یک مماس راست و یک چپ وجود دارد، اما آنها بر هم منطبق نیستند.

چند قضیه در مورد توابع متمایز قضیه بر ریشه های مشتق (قضیه رول).اگر تابع f(ایکس) روی قطعه پیوسته است [آ,ب]، در تمام نقاط داخلی این قطعه و در انتها قابل تمایز است ایکس = آو ایکس = ببه صفر می رسد ( f(آ) = f(ب) = 0)، سپس در داخل بخش [ آ,ب] حداقل یک نکته وجود دارد ایکس= با, آج ب، که در آن مشتق fў( ایکس) به صفر می رسد، یعنی. fў( ج) = 0.

قضیه افزایش محدود (قضیه لاگرانژ).اگر تابع f(ایکس) در بازه [ آ, ب] و در تمام نقاط داخلی این بخش، سپس در داخل قطعه [ آ, ب] حداقل یک نکته وجود دارد با, آج ب که

f(ب) – f(آ) = fў( ج)(ب– آ).

قضیه نسبت افزایش دو تابع (قضیه کوشی).اگر f(ایکس) و g(ایکس) – دو تابع پیوسته روی قطعه [آ, ب] و قابل تمایز در تمام نقاط داخلی این بخش، و gў( ایکس) در هیچ جای این بخش ناپدید نمی شود، سپس در داخل قطعه [ آ, ب] چنین نکته ای وجود دارد ایکس = با, آج ب که

مشتقات سفارشات مختلف.

اجازه دهید تابع y =f(ایکس) در برخی بازه ها قابل تمایز است [ آ, ب]. مقادیر مشتق f ў( ایکس)، به طور کلی، بستگی به ایکس، یعنی مشتق f ў( ایکس) نیز تابعی از ایکس. هنگام تمایز این تابع، به اصطلاح مشتق دوم تابع را به دست می آوریم f(ایکس) که نشان داده می شود f ўў ( ایکس).

مشتق n-ترتیب کارکرد f(ایکس) مشتق ( مرتبه اول) مشتق نامیده می شود n- 1- th و با نماد نشان داده می شود y(n) = (y(n– 1)) •.

دیفرانسیل سفارشات مختلف

دیفرانسیل عملکرد y = f(ایکس)، جایی که ایکس– متغیر مستقل، بله دو = f ў( ایکس)dx, برخی از عملکرد از ایکس, اما از ایکستنها عامل اول می تواند بستگی داشته باشد f ў( ایکسعامل دوم ( dx) افزایش متغیر مستقل است ایکسو به مقدار این متغیر بستگی ندارد. زیرا دویک تابع از وجود دارد ایکس، سپس می توانیم دیفرانسیل این تابع را تعیین کنیم. دیفرانسیل دیفرانسیل یک تابع را دیفرانسیل دوم یا دیفرانسیل مرتبه دوم این تابع می نامند و نشان می دهند. د 2y:

د(dx) = د 2y = f ўў( ایکس)(dx) 2 .

دیفرانسیل n-از مرتبه اول اولین دیفرانسیل دیفرانسیل نامیده می شود n- 1- مرتبه ام:

d n y = د(dn–1y) = f(n)(ایکس)dx(n).

مشتق جزئی.

اگر یک تابع نه به یک، بلکه به چندین آرگومان وابسته باشد x i(مناز 1 تا n,من= 1, 2,… n),f(ایکس 1,ایکس 2,… x n، سپس در حساب دیفرانسیل مفهوم مشتق جزئی معرفی می شود که سرعت تغییر یک تابع از چندین متغیر را زمانی که فقط یک آرگومان تغییر می کند مشخص می کند، برای مثال، x i. مشتق جزئی مرتبه 1 با توجه به x iبه عنوان یک مشتق معمولی تعریف می شود و فرض بر این است که همه آرگومان ها به جز x i، مقادیر را ثابت نگه دارید. برای مشتقات جزئی، نماد معرفی شده است

مشتقات جزئی مرتبه اول که به این ترتیب تعریف می شوند (به عنوان توابع همان آرگومان ها) به نوبه خود می توانند مشتقات جزئی نیز داشته باشند، این مشتقات جزئی مرتبه دوم و غیره هستند. چنین مشتقاتی که از استدلال های مختلف گرفته شده اند، مختلط نامیده می شوند. مشتقات مخلوط پیوسته از یک مرتبه به ترتیب تمایز بستگی ندارند و با یکدیگر برابر هستند.

آنا چوگاینووا