Pronađite intervale konveksnosti funkcije. Intervali konveksnosti i konkavnosti funkcionalnog dijagrama

Koristeći online kalkulator, možete pronaći točke pregiba i intervali konveksnosti grafa funkcije s dizajnom rješenja u Wordu. Je li funkcija dviju varijabli f (x1, x2) konveksna rješava se pomoću Hesseove matrice.

Pravila unosa funkcije:

Smjer konveksnosti grafa funkcije. Pregibne točke

Definicija: Krivulja y = f (x) naziva se konveksna prema dolje u intervalu (a; b) ako leži iznad tangente u bilo kojoj točki tog intervala.

Definicija: Krivulja y = f (x) naziva se konveksna prema gore u intervalu (a; b) ako leži ispod tangente u bilo kojoj točki tog intervala.

Definicija: Intervali u kojima je graf funkcije okrenut prema gore ili prema dolje nazivaju se intervali konveksnosti grafa funkcije.

Konveksnost krivulje prema dolje ili prema gore, koja je graf funkcije y = f (x), karakterizira predznak njezine druge derivacije: ako je u nekom intervalu f '' (x) > 0, tada je krivulja konveksno prema dolje u ovom intervalu; ako je f'' (x)< 0, то кривая выпукла вверх на этом промежутке.

Definicija: Točka grafa funkcije y = f (x), koja razdvaja intervale konveksnosti suprotnih smjerova ovog grafa, naziva se točka pregiba.

Samo kritične točke druge vrste mogu poslužiti kao točke pregiba, t.j. točke koje pripadaju području definicije funkcije y = f (x), u kojima druga derivacija f '' (x) nestaje ili ima diskontinuitet.

Pravilo za pronalaženje prevojnih točaka grafa funkcije y = f (x)

1. Pronađite drugu derivaciju f '' (x).
2. Pronađite kritične točke druge vrste funkcije y = f (x), tj. točka u kojoj f '' (x) nestaje ili se prekida.
3. Istražite predznak druge derivacije f '' (x) u intervalu na koji pronađene kritične točke dijele područje definicije funkcije f (x). Ako u ovom slučaju kritična točka x 0 odvaja intervale konveksnosti suprotnih smjerova, tada je x 0 apscisa točke infleksije grafa funkcije.
4. Izračunajte vrijednosti funkcije u točkama pregiba.

Primjer 1. Nađite intervale konveksnosti i pregibnih točaka sljedeće krivulje: f (x) = 6x 2 –x 3.
Rješenje: Pronađite f ’(x) = 12x - 3x 2, f’ ’(x) = 12 - 6x.
Odredite kritične točke po drugom izvodu rješavanjem jednadžbe 12-6x = 0. x = 2.


f (2) = 6 * 2 2 - 2 3 = 16
Odgovor: Funkcija je konveksna prema gore za x∈ (2; + ∞); funkcija je konveksna prema dolje za x∈ (-∞; 2); prevojna točka (2; 16).

Primjer 2. Ima li funkcija točke pregiba: f (x) = x 3 -6x 2 + 2x-1

Primjer 3. Pronađite intervale na kojima je graf funkcije konveksan i zakrivljen: f (x) = x 3 -6x 2 + 12x + 4

Za određivanje konveksnosti (konkavnosti) funkcije na određenom intervalu mogu se koristiti sljedeći teoremi.

Teorem 1. Neka je funkcija definirana i kontinuirana na intervalu i ima konačan izvod. Da bi funkcija bila konveksna (konkavna) potrebno je i dovoljno da se njezina derivacija smanji (pove) na tom intervalu.

Teorem 2. Neka je funkcija definirana i neprekidna zajedno sa svojom derivacijom na i ima kontinuirani drugi izvod unutar. Za konveksnost (konkavnost) funkcije u potrebno je i dovoljno da unutra

Dokažimo teorem 2 za slučaj konveksnosti funkcije.

Potreba. Uzmimo proizvoljnu točku. Proširite funkciju blizu točke u Taylorovom nizu

Jednadžba tangente na krivulju u točki s apscisom:

Tada je višak krivulje nad tangentom na nju u točki jednak

Dakle, ostatak je jednak višku krivulje nad tangentom na nju u točki. Na temelju kontinuiteta, ako , zatim i za, koji pripada dovoljno malom susjedstvu točke, i stoga, očito, za bilo koju vrijednost osim vrijednosti koja pripada naznačenom susjedstvu.

Dakle, graf funkcije leži iznad tangente, a krivulja je konveksna u proizvoljnoj točki.

Adekvatnost. Neka je krivulja konveksna na intervalu. Uzmimo proizvoljnu točku.

Slično prethodnom, funkciju u blizini točke proširujemo u Taylorov niz

Višak krivulje nad tangentom na nju u točki koja ima apscisu, određen izrazom je

Budući da je višak pozitivan za dovoljno malo susjedstvo točke, drugi je izvod također pozitivan. Dok težimo, dobivamo to za proizvoljnu točku .

Primjer. Istražite funkciju konveksnosti (konkavnosti).

Njegov derivat raste na cijeloj brojevnoj osi, što znači da je po teoremu 1 funkcija konkavna na.

Njegov drugi derivat , dakle, prema teoremu 2, funkcija je konkavna na.

3.4.2.2 Prevojne točke

Definicija. Točka pregiba graf neprekidne funkcije naziva se točka koja razdvaja intervale u kojima je funkcija konveksna i konkavna.

Iz ove definicije proizlazi da su točke pregiba točke ekstrema prve derivacije. To podrazumijeva sljedeće tvrdnje za potrebne i dovoljne uvjete pregiba.

Teorem (nužni uvjet pregiba)... Da bi točka bila prijelomna točka dvostruko diferencibilne funkcije, potrebno je da njezina druga derivacija u ovoj točki bude jednaka nuli ( ) ili nije postojao.

Teorem (uvjet dovoljne fleksije). Ako drugi izvod dvostruko diferencibilne funkcije promijeni predznak pri prolasku kroz određenu točku, odnosno prevojnu točku.

Imajte na umu da druga derivacija možda ne postoji u samoj točki.

Geometrijska interpretacija točaka pregiba ilustrirana je na Sl. 3.9

U susjedstvu točke, funkcija je konveksna i njezin graf leži ispod tangente nacrtane u ovoj točki. U blizini točke, funkcija je konkavna i njezin graf leži iznad tangente nacrtane u ovoj točki. U točki pregiba tangenta dijeli graf funkcije na područja konveksnosti i konkavnosti.

3.4.2.3 Ispitivanje funkcije za konveksnost i prisutnost točaka pregiba

1. Nađi drugu izvedenicu.

2. Pronađite točke u kojima drugi izvod ili ne postoji.

Riža. 3.9.

3. Istražiti predznak druge derivacije lijevo i desno od pronađenih točaka i zaključiti o intervalima konveksnosti ili konkavnosti i prisutnosti točaka pregiba.

Primjer. Ispitajte funkciju za konveksnost i prisutnost točaka pregiba.

2. Drugi izvod jednak je nuli pri.

3. Druga derivacija mijenja predznak u, pa je točka prijevojna točka.

Na intervalu je funkcija konveksna na tom intervalu.

Na intervalu je funkcija konkavna na tom intervalu.

3.4.2.4 Opća shema proučavanja funkcija i crtanja

Prilikom ispitivanja funkcije i crtanja njenog grafa, preporuča se koristiti sljedeću shemu:

1. Pronađite domenu funkcije.
2. Istražite funkciju za parnost – neparnost. Podsjetimo da je graf parne funkcije simetričan oko ordinatne osi, a graf neparne funkcije je simetričan u odnosu na ishodište.
3. Pronađite vertikalne asimptote.
4. Istražite ponašanje funkcije u beskonačnosti, pronađite horizontalne ili kose asimptote.
5. Naći ekstreme i intervale monotonosti funkcije.
6. Pronađite intervale konveksnosti funkcije i točke pregiba.
7. Pronađite točke presjeka s koordinatnim osi.

Proučavanje funkcije provodi se istodobno s konstrukcijom njezina grafa.

Primjer. Funkcija istraživanja i izgraditi njezin raspored.

1. Područje definicije funkcije -.

2. Istražena funkcija je parna , dakle, njegov je graf simetričan u odnosu na ordinatnu os.

3. Nazivnik funkcije nestaje na, pa graf funkcije ima vertikalne asimptote i.

Točke su točke diskontinuiteta druge vrste, budući da granice s lijeve i desne strane u tim točkama teže.

4. Ponašanje funkcije u beskonačnosti.

Stoga graf funkcije ima horizontalnu asimptotu.

5. Ekstremi i intervali monotonije. Pronađite prvu derivaciju

Jer, dakle, funkcija opada u tim intervalima.

Jer, dakle, funkcija raste u tim intervalima.

Kada je, dakle, točka kritična točka.

Pronađite drugu derivaciju

Budući da je točka minimalna točka funkcije.

6. Intervali konveksnosti i točke pregiba.

Funkcija na , pa je na ovom intervalu funkcija konkavna.

Funkcija at, znači da je na tim intervalima funkcija konveksna.

Funkcija nigdje ne nestaje, tako da nema točaka pregiba.

7. Točke sjecišta s koordinatnim osovinama.

Jednadžba ima rješenje, što znači točku presjeka grafa funkcije s ordinatnom osi (0, 1).

Jednadžba nema rješenja, pa nema točaka presjeka s osi apscise.

Uzimajući u obzir provedeno istraživanje, moguće je izgraditi graf funkcije

Shematski graf funkcije prikazano na sl. 3.10.

Riža. 3.10.

3.4.2.5 Asimptote grafa funkcije

Definicija. Asimptota graf funkcije naziva se ravna linija, koja ima svojstvo da udaljenost od točke () do ove ravne crte teži 0 s neograničenom udaljenosti od ishodišta točke grafa.

Opća shema proučavanja funkcije i konstrukcije grafa.
1. Istraživanje funkcije za konveksnost i konkavnost.

1. 
   
2. 
   Asimptote grafa funkcije.

Uvod.

U svom školskom kolegiju matematike već ste se susreli s potrebom za crtanjem grafova funkcija. U, koristili ste metodu konstrukcije točku po točku. Treba napomenuti da je konceptno jednostavan i relativno brzo vodi do cilja. U slučajevima kada je funkcija kontinuirana i mijenja se prilično glatko, ova metoda može osigurati potreban stupanj točnosti grafičkog prikaza. Da biste to učinili, morate uzeti više bodova kako biste postigli određenu gustoću njihovog položaja.

Pretpostavimo sada da funkcija na nekim mjestima ima značajke u svom "ponašanju": ili se njezine vrijednosti negdje na malom području naglo mijenjaju, ili postoje diskontinuiteti. Najznačajniji dijelovi grafikona možda neće biti otkriveni na ovaj način.

Ova okolnost također umanjuje vrijednost metode crtanja grafa "po točkama".

Postoji drugi način za izradu grafikona, koji se temelji na analitičkom proučavanju funkcija. Povoljno je u usporedbi s metodom o kojoj se govori u školskom kolegiju matematike.

1. Proučavanje funkcije za konveksnost i konkavnost .

Neka funkcija
diferencibilan na intervalu (a, c). Tada postoji tangenta na graf funkcije u bilo kojoj točki
ovaj graf (
), a tangenta nije paralelna s OY osi, budući da je njezin nagib jednak
, naravno.

O
zadatak Reći ćemo da je graf funkcije
na (a, b) ima otpuštanje prema dolje (gore), ako se ne nalazi ispod (ne iznad) bilo koje tangente na graf funkcije na (a, b).

a) konkavna krivulja b) konveksna krivulja

Teorem 1 (nužan uvjet za konveksnost (konkavnost) krivulje).

Ako je graf dvostruko diferencibilne funkcije konveksna (konkavna) krivulja, tada je druga derivacija na intervalu (a, b) negativna (pozitivna) na tom intervalu.

Teorem 2(dovoljan uvjet za konveksnost (konkavnost) krivulje).

Ako je funkcija dvaput diferencibilna na (a, b) i
(
) u svim točkama ovog intervala, tada je krivulja koja je graf funkcije konveksna (konkavna) na tom intervalu.

1. 
   Pregibne točke grafa funkcije.

Definicija Točka
naziva se točka pregiba grafa funkcije, ako je u točki
graf ima tangentu i postoji susjedstvo točke , unutar kojega graf funkcije lijevo i desno od točke ima različite smjerove konveksnosti.

O Vidi se da u prijevojnoj točki tangenta siječe graf funkcije, budući da s jedne strane ove točke graf leži iznad tangente, a s druge - ispod nje, odnosno u blizini točke pregiba , graf funkcije geometrijski ide s jedne strane tangente na drugu i "savija se" preko nje. Odatle dolazi naziv "točka pregiba".

Teorem 3(preduvjet za točku pregiba). Neka graf funkcije ima infleksiju u točki i neka funkcija ima u točki kontinuirani drugi izvod. Zatim
.
Nije svaka točka za koju je prijelomna točka. Na primjer, graf funkcije
nema fleksiju u točki (0, 0), iako
na
... Stoga je jednakost nule druge derivacije samo nužan uvjet fleksije.

Točke grafa za koje se zove kritične točkeII-gradovi. Potrebno je dodatno istražiti pitanje prisutnosti pregiba na svakoj kritičnoj točki.

Teorem 4(dovoljan uvjet za prevojnu točku). Neka funkcija ima drugi izvod u nekom susjedstvu točke. Zatim, ako je unutar navedenog susjedstva
ima različite predznake lijevo i desno od točke, tada graf ima prevojnu točku u točki.
Komentar. Teorem ostaje istinit ako
ima drugu derivaciju u nekom susjedstvu točke, osim same točke, i postoji tangenta na graf funkcije u točki
... Zatim, ako unutar navedenog susjedstva ima različite predznake lijevo i desno od točke, tada graf funkcije ima točku pregiba u točki.
Shema proučavanja funkcije za konveksnost, konkavnost, pregibne točke.

Primjer. Funkcija istraživanja
na konveksnosti, konkavnosti, pregibnim točkama.
1.

2.
,
=

3. ne postoji za

	)	1	(1, +)
	-		+
		1

1. 
   Asimptote grafa funkcije.

Prilikom proučavanja ponašanja funkcije s
ili blizu točaka diskontinuiteta 2. vrste, često se pokaže da se graf funkcije što bliže približava jednoj ili drugoj ravnoj liniji. Takve ravne linije nazivaju se.

O definicija 1. Ravno naziva se asimptota krivulje L ako udaljenost od točke krivulje do ove ravne crte teži nuli dok se točka udaljava duž krivulje u beskonačnost. Postoje tri vrste asimptota: okomite, horizontalne, kose.

Definicija 2. Ravno
naziva se vertikalna asimptota grafa funkcije ako je barem jedna od jednostranih granica
, odnosno ili

Na primjer, graf funkcije
ima vertikalnu asimptotu
, jer.
, a
.

Definicija 3. Pravac y = A naziva se horizontalna asimptota grafa funkcije at
ako
.

Na primjer, graf funkcije ima horizontalnu asimptotu y = 0, budući da je.
.

Definicija 4. Ravno
(
) naziva se kosa asimptota grafa funkcije at
ako
;

Ako barem jedna od granica ne postoji, tada krivulja nema asimptote. Ako, onda ove granice treba tražiti odvojeno, za i
.

Na primjer. Pronađite asimptote grafa funkcije

; x = 0 - vertikalna asimptota

;
.

- kosa asimptota.
4. Shema cjelovitog proučavanja funkcije i crtanja.

Razmotrimo približnu shemu prema kojoj je preporučljivo istražiti ponašanje funkcije i izgraditi njezin graf.

Primjer. Funkcija istraživanja
i izgraditi njezin raspored.

1., osim za x = -1.

2.
funkcija nije ni parna ni neparna

-

-



+

+

y

-4


t str.

0

Zaključak.
Važna značajka razmatrane metode je da se temelji prvenstveno na otkrivanju i proučavanju karakterističnih značajki u ponašanju krivulje. Mjesta na kojima se funkcija glatko mijenja ne proučavaju se posebno detaljno i nema potrebe za takvim proučavanjem. Ali ona mjesta gdje funkcija ima bilo kakve osobitosti u ponašanju podložna su cjelovitom istraživanju i najtočnijem grafičkom prikazu. Te značajke su točke maksimuma, minimuma, točke diskontinuiteta funkcije itd.

Određivanje smjera udubljenja i zavoja, kao i naznačena metoda pronalaženja asimptota, omogućuju još detaljnije proučavanje funkcija i dobivanje točnije ideje o njihovim grafovima.

Upute

Prevojne točke funkcije moraju pripadati domeni njezine definicije, koja se mora prvo pronaći. Graf funkcije je pravac koji može biti kontinuiran ili imati diskontinuitete, monotono se smanjivati ​​ili povećavati, imati minimalne ili maksimalne točke (asimptote), biti konveksan ili konkavan. Nagla promjena u posljednja dva stanja naziva se infleksija.

Neophodan uvjet za postojanje fleksije funkcije je jednakost sekunde prema nuli. Dakle, diferenciranjem funkcije dvaput i izjednačavanjem rezultirajućeg izraza s nulom, može se pronaći apscisa mogućih točaka pregiba.

Ovaj uvjet proizlazi iz definicije svojstava konveksnosti i konkavnosti grafa funkcije, t.j. negativne i pozitivne vrijednosti druge derivacije. U točki pregiba dolazi do nagle promjene ovih svojstava, što znači da derivacija prelazi nultu oznaku. Međutim, jednakost nuli još uvijek nije dovoljna za označavanje fleksije.

Dovoljne su dvije da apscisa pronađena u prethodnoj fazi pripada točki pregiba: Kroz ovu točku možete povući tangentu na funkciju. Druga derivacija ima različite predznake desno i lijevo od pretpostavljene točke infleksije. Dakle, njeno postojanje u samoj točki nije nužno, dovoljno je utvrditi da u njoj mijenja predznak.Drugi izvod funkcije jednak je nuli, a treći nije.

Prvi dovoljan uvjet je univerzalan i koristi se češće od ostalih. Razmotrimo ilustrativan primjer: y = (3 x + 3) ∛ (x - 5).

Rješenje: Pronađite opseg. U ovom slučaju nema ograničenja, dakle, to je cijeli prostor realnih brojeva. Izračunajte prvi izvod: y '= 3 ∛ (x - 5) + (3 x + 3) / ∛ (x - 5) ².

Obratite pažnju na izgled razlomka. Iz ovoga proizlazi da je raspon definicije izvedenice ograničen. Točka x = 5 je probušena, što znači da kroz nju može proći tangenta, što dijelom odgovara prvom znaku dovoljnosti fleksije.

Odredite jednostrane granice za rezultirajući izraz kao x → 5 - 0 i x → 5 + 0. One su -∞ i + ∞. Dokazali ste da okomita tangenta prolazi točkom x = 5. Ova točka može se pokazati kao točka pregiba, ali prvo izračunajte drugu derivaciju: Y '' = 1 / ∛ (x - 5) ² + 3 / ∛ (x - 5) ² - 2/3 (3 x + 3 ) / ∛ (x - 5) ^ 5 = (2 x - 22) / ∛ (x - 5) ^ 5.

Izostavite nazivnik, jer ste već uzeli u obzir točku x = 5. Riješite jednadžbu 2 x - 22 = 0. Ima jedan korijen x = 11. Posljednji korak je potvrditi da su točke x = 5 i x = 11 prevojne točke. Analizirati ponašanje druge derivacije u njihovoj blizini. Očito je da u točki x = 5 mijenja predznak iz "+" u "-", a u točki x = 11 - obrnuto. Zaključak: obje točke su točke pregiba. Prvi dovoljan uvjet je zadovoljen.