Makarskaya E. V. Nel libro: Giorni della scienza degli studenti. Primavera - 2011. M.: Moscow State University of Economics, Statistics and Informatics, 2011. P. 135-139.

Gli autori considerano l'applicazione pratica della teoria delle equazioni differenziali lineari per lo studio dei sistemi economici. Il documento fornisce un'analisi dei modelli dinamici di Keynes e Samuelson Hicks con la ricerca di stati di equilibrio di sistemi economici.

Ivanov A. I., Isakov I., Demin A.V. et al. 5. m.: Parola, 2012.

Il manuale ha esaminato i metodi quantitativi per lo studio del consumo di ossigeno da parte dell'uomo durante i test con esercizio del dosaggio eseguito nel GSC dell'Accademia russa delle scienze-Ambp Ras. Il manuale è inteso per scienziati, fisiologi e medici che lavorano nel campo della medicina aerospaziale, sott'acqua e sportiva.

Mikheev A. V. Spb.: Dipartimento della stampa operativa NSU HSE - St. Petersburg, 2012.

Questa collezione contiene compiti al tasso di equazioni differenziali, leggibili dall'autore presso la Facoltà di Economia Economia HSE - San Pietroburgo. All'inizio di ogni argomento, un breve riassunto dei principali fatti teorici è dato ed esempi di soluzioni di compiti tipici sono distribuiti. Per studenti e ascoltatori di programmi professionali più elevati.

KONAKOV V.D. Sti. WP BRP. Pubblicazione del Consiglio di Trustee dei Meccanici e della Facoltà di Matematica della Facoltà di Moscow State University, 2012. 2012.

Al centro di questo manuale di allenamento, c'è un corso speciale sulla selezione di uno studente, leggi dall'autore sulla meccanica meccanica - Facoltà Matematica della Mosca State University. M.V. Lomonosov nel 2010-2012 anni accademici. Il manuale introduce il lettore con il metodo parametrix e il suo analogo discreto, sviluppato all'ultima volta dall'autore del manuale e dai suoi colleghi-coautori. Combina insieme il materiale precedentemente tenuto solo in un numero di articoli di riviste. Non lottare per la massima generalità della presentazione, l'autore ha stabilito l'obiettivo di dimostrare le possibilità del metodo nella prova dei teoremi limite locali sulla convergenza delle catene Markov al processo di diffusione e al ricevimento delle valutazioni bilaterali del tipo di Aronson per qualche diffusione degenerata.

ISS. 20. NY: Springer, 2012.

Questa pubblicazione è una raccolta di articoli individuali "Terza conferenza internazionale sui sistemi di informazione", avvenuta presso l'Università della Florida, il 16-18 febbraio 2011. Lo scopo di questa conferenza è stato quello di raccogliere gli scienziati e gli ingegneri del settore, dei governi e del Cerchi scientifici in modo che possano scambiare nuove scoperte e risultati in materia di teoria relativi alla teoria e alla pratica della dinamica dei sistemi di informazione. Dinamica dei sistemi di informazione: la scoperta matematica è uno studio moderno ed è destinato agli studenti che sono interessati agli studenti Le ultime scoperte in teoria informativa e sistemi dinamici. Gli scienziati di altre discipline possono anche beneficiare dell'applicazione di nuovi sviluppi nelle loro aree di ricerca.

Palvelev R., Sergeyev A. G. Procedimenti dell'istituto matematico. V.a. Ferite di steklov. 2012. T. 277. P. 199-214.

Il limite dell'Ariabatico è studiato nelle equazioni iperboliche di Landau Ginzburg. Utilizzando il limite specificato, viene stabilita la corrispondenza tra le soluzioni delle equazioni Ginzburg-Landau e le traiettorie Adiabatic nello spazio delle soluzioni statiche, chiamate vortici. Menthon propone il principio euristico adiabatico che postula che qualsiasi soluzione delle equazioni di Ginzburg-Landau con un'energia cinetica sufficientemente bassa può essere ottenuta come una perturbazione di qualche traiettoria adiabatica. Prova rigida di questo fatto ha trovato recentemente il primo autore

Diamo una formula esplicita per un quasi-isomorfismo tra gli operai Hycomm (l'omologia dell'Oomotopy Operad di Batalin-Vilkovisky Operad da parte del BV-Operator). Nelle parole di Oter deriviamo un'equivalenza di hycomm-algebras e algebre BV potenziati da un'omotopia che banalizza il BV-operator. Queste formule sono fornite in termini dei grafici givental e sono dimostrati in due modi diversi. Una prova utilizza l'azione del Gruppo Givental, e l'altra prova passa attraverso una catena di formule esplicite sulle risoluzioni di Hycomm e BV. Il secondo approccio dà, in particolare, una spiegazione omologica dell'azione Gruppo Givental su Hycomm-Algebras.

Sotto scientifico Modificato: A. Mikhailov. 14. M.: Facoltà sociologica di Moscow State University, 2012.

Gli articoli di questa collezione sono scritti sulla base di report realizzati nel 2011 presso la Facoltà Sociologica della Mosca University State. M.V. Lomonosov in riunione del XIV seminario scientifico annuale interdisciplinare "modellazione matematica dei processi sociali". Eroe di Accademico del lavoro socialista A.A. Samara.

La pubblicazione è destinata a ricercatori, insegnanti, studenti di università e istituzioni scientifiche delle ferite interessate a problemi, sviluppo e attuazione della metodologia per la modellazione matematica dei processi sociali.

Questo corso di conferenza è letto più di 10 anni per studenti di matematica teorica e applicata nell'università di stato orientale. È conforme alla generazione standard II ma queste specialità. Studenti raccomandati e studenti universitari delle specialità matematiche.

Teorema di Cauchy sull'esistenza e l'unicità della soluzione del problema di Cauchy dell'equazione del primo ordine.
In questo paragrafo, imponendo certe limitazioni sulla parte destra della parte destra dell'equazione differenziale del primo ordine, dimostrando l'esistenza e l'unicità della soluzione determinata dai dati iniziali (X0, U0). La prima prova dell'esistenza della soluzione di equazioni differenziali appartiene a Cauchy; La prova di seguito è data dal Picar; Viene eseguito utilizzando il metodo delle approssimazioni consecutive.

SOMMARIO
1. Equazioni del primo ordine
1.0. introduzione
1.1. Equazioni con variabili di separazione
1.2. Equazioni uniformi
1.3. Equazioni omogenee generalizzate
1.4. Equazioni lineari del primo ordine e conducono a loro
1.5. Bernoulli Equazione
1.6. Riccati Equation.
1.7. Equazione in pieno differenziale
1.8. Integrazione del moltiplicatore. I casi più semplici di trovare un moltiplicatore di integrazione
1.9. Equazioni che non sono risolte relative al derivato
1.10. Teorema di Cauchy sull'esistenza e l'unicità della soluzione della sfida Cauchy del primo ordine
1.11. Punti speciali
1.12. Soluzioni speciali
2. Equazioni di ordini superiori
2.1. Concetti e definizioni di base
2.2. Tipi di equazioni N-Order che vengono risolte in Quarature
2.3. Integrali intermedi. Equazioni che consentono la diminuzione in ordine
3. Equazioni differenziali lineari su ordine
3.1. Concetti basilari
3.2. Equazioni differenziali omogenee lineari su ordine
3.3. Abbassando l'ordine di un'equazione omogenea lineare
3.4. Equazioni lineari eterogenee
3.5. Diminuzione dell'ordine in un'equazione di disomogenea lineare
4. Equazioni lineari con coefficienti costanti
4.1. Equazione lineare uniforme con coefficienti costanti
4.2. Equazioni lineari disomogenee con coefficienti costanti
4.3. Equazioni lineari del secondo ordine con soluzioni fluttuanti
4.4. Integrazione per serie di energia
5. Sistemi lineari
5.1. Sistemi disomogenei e omogenei. Alcune proprietà di soluzioni di sistemi lineari
5.2. Condizioni richieste e sufficienti per l'indipendenza lineare alle soluzioni di un sistema omogeneo lineare
5.3. L'esistenza di una matrice fondamentale. Costruire una soluzione generale di un sistema omogeneo lineare
5.4. Costruzione dell'intero insieme di matrici fondamentali di un sistema omogeneo lineare
5.5. Sistemi disomogenei. Costruzione di una soluzione generale con il metodo di variazione della costante arbitraria
5.6. Sistemi omogenei lineari con coefficienti costanti
5.7. Alcune informazioni dalla teoria delle funzioni da matrici
5.8. Costruire una matrice fondamentale di un sistema di equazioni omogenee lineari con coefficienti costanti nel caso generale
5.9. Teorema dell'esistenza e del teorema sulle proprietà funzionali di soluzioni di sistemi normali delle equazioni differenziali del primo ordine
6. Elementi della teoria della stabilità
6.1
6.2. I tipi più semplici di punti di riposo
7. Equazioni in derivati \u200b\u200bparziali del 1 ° ordine
7.1. Equazione omogenea lineare in derivati \u200b\u200bparziali del 1 ° ordine
7.2. Equazione lineare disomogenea in derivati \u200b\u200bprivati \u200b\u200bdi 1 ordine
7.3. Sistema di due equazioni differenziali parziali con 1 funzione sconosciuta
7.4. Equazione di PFAFFA.
8. Opzioni per attività di test
8.1. Numero dell'esame 1.
8.2. Numero dell'esame 2.
8.3. Numero di esame 3.
8.4. Numero dell'esame 4.
8.5. Numero dell'esame 5.
8.6. Numero dell'esame 6.
8.7. Numero dell'esame 7.
8.8. Numero dell'esame 8.

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"Lezioni sulle normali equazioni differenziali parte 1. Gli elementi della teoria generale nel libro di testo sono presentati le disposizioni che costituiscono la base per la teoria delle equazioni differenziali ordinarie: ..."

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A. E. MAMONTOV.

Conferenze sull'ordinario

Equazioni differenziali

Elementi della teoria generale

Il libro di testo stabilisce le disposizioni che costituiscono

la base della teoria delle normali equazioni differenziali: il concetto di soluzioni, la loro esistenza, unicità,

dipendenza dai parametri. Inoltre (nel § 3), una certa attenzione è versata alla soluzione "esplicita" ad alcune classi di equazioni. Il manuale è destinato a uno studio approfondito del corso "Equazioni differenziali" dagli studenti che studiano presso la Facoltà Matematica dell'Università Pedagogica statale di Novosibirsk.

UDC 517.91 BBK B161.61 tutorial prefazione progettato per gli studenti della Facoltà Matematica dell'Università Pedagogica di Novosibirsk, che vogliono esplorare il corso obbligatorio "Equazioni differenziali" in un volume esteso. I lettori sono offerti i principali concetti e risultati che costituiscono la fondazione della teoria delle equazioni differenziali ordinarie: il concetto di decisioni, teoremi sulla loro esistenza, unicità, a seconda dei parametri. Il materiale descritto è presentato sotto forma di un testo inseparabile logico in §§ 1, 2, 4, 5. Inoltre (nel § 3, in attesa di più residui e interrompere temporaneamente il thread principale del corso) considerare brevemente le tecniche più richieste Di soluzioni di ricerca "esplicite" di alcune classi di equazioni. Quando la prima lettura § 3 è possibile saltare senza danni significativi per la struttura logica del corso.

Gli esercizi svolgono un ruolo importante, in grandi quantità incluse nel testo. Il lettore si consiglia vivamente di affilare i loro "pixel caldi", che garantisce l'assimilazione del materiale e servono come test. Inoltre, spesso questi esercizi riempiono un tessuto logico, cioè senza risolverli, non tutte le disposizioni saranno rigorosamente provate.

Nelle staffe quadrate nel mezzo del testo hanno fatto commenti che rendono il ruolo dei commenti (esplosioni estese o laterali). Lessicamente, questi frammenti stanno interrompendo il testo principale (cioè, per una lettura coerente, hanno bisogno di "non notare"), ma sono ancora necessari come spiegazione. In altre parole, questi frammenti devono essere percepiti come se fossero messi sui campi.

Il testo Esistono separatamente categorizzati "Commenti per l'insegnante" - possono essere omessi durante la lettura degli studenti, ma utili per l'insegnante che utilizzerà il manuale, ad esempio, quando le lezioni di lettura - aiutano a capire meglio la logica del corso e indicare meglio la direzione di possibili miglioramenti (estensioni) del corso. Tuttavia, lo sviluppo di questi commenti agli studenti può essere accolto solo.

Un ruolo simile viene giocato da "giustificazioni per l'insegnante" - sono in forma estremamente compressa danno la prova di alcune disposizioni offerte al lettore come esercizi.

I termini più comuni (chiave) sono utilizzati sotto forma di abbreviazioni, il cui elenco è dato per comodità alla fine. Offre inoltre un elenco di designazioni matematiche incontrate nel testo, ma non correlate al più comune (e / o sconosciuto nella letteratura non ambigua).

Il simbolo significa la fine della prova, la formulazione di approvazione, commenti, ecc. (Dove è necessario evitare confusione).

La numerazione delle formule è condotta in modo indipendente in ogni paragrafo. Come riferimento a una parte della formula, vengono utilizzati indici, ad esempio (2) 3 indica la terza parte della formula (2) (frammenti, spazi tipografici separati e da posizioni logiche - un legamento "e").

Questo manuale non può sostituire completamente lo studio profondo del soggetto, che richiede esercizi indipendenti e la lettura di letteratura aggiuntiva, ad esempio, l'elenco dei quali viene fornito alla fine del manuale. Tuttavia, l'autore ha cercato di definire le principali disposizioni della teoria in una forma sufficientemente compressa adatta al corso di conferenza. A tale riguardo, va notato che quando si legge il corso di conferenza, circa 10 lezioni si svolgono su questo manuale.

Un'edizione di altre 2 parti (volumi), che continua questo manuale e il ciclo attuale delle lezioni sull'argomento delle "equazioni differenziali ordinarie" sono pianificate: parte 2 (equazioni lineari), parte 3 (ulteriore teoria delle equazioni non lineari, equazioni in derivati \u200b\u200bparziali del primo ordine).

§ 1. Introduzione L'equazione differenziale (DB) è il rapporto tra il modulo U1 U1 Uno, i derivati \u200b\u200bpiù elevati fy, u (y), ..., \u003d 0, y1 y2 yk (1) dove y \u003d (y1 ,. .., YK) RK - variabili indipendenti e u \u003d u (y) - funzioni sconosciute1, u \u003d (u1, ..., un). Quindi, in (1) ci sono n sconosciuti, in modo che le equazioni n sono necessarie, cioè f \u003d (f1, ..., fn), quindi (1) è generalmente parlando, il sistema da n equazioni. Se una funzione sconosciuta è una (n \u003d 1), l'equazione (1) è scalare (un'equazione).

Quindi, la funzione (s) f è impostata (s) e U è cercata. Se k \u003d 1, quindi (1) si chiama ODU e altrimenti - uch. Il secondo caso è oggetto del corso speciale dell'UMF, indicato nella serie di libri di testo. In questa serie di benefici (composto da 3 parti-volumi), studieremo solo l'ODU, ad eccezione dell'ultimo paragrafo dell'ultima parte (volume), in cui inizieremo ad imparare alcuni casi particolari di UCH.

2U U Esempio. 2 \u003d 0 - Questo è un urgente.

y1 y Valori sconosciuti U può essere reale o complesso, che è insignificante, dal momento che questo momento si applica solo alla forma di equazioni di registrazione: qualsiasi record completo può essere trasformato in un reale, separando le parti reali e immaginarie (ma, ovviamente , raddoppia il numero di equazioni e sconosciute), e viceversa, in alcuni casi è conveniente passare a un record integrato.

du d2v dv · 2 \u003d UV; U3 \u003d 2. Questo è un sistema di 2 Esempio di ODE.

dy Dy Dy per 2 funzioni sconosciute da un alternante indipendente.

Se K \u003d 1 (ODU), quindi viene utilizzata l'icona "Direct" D / Ding.

u (y) du Esempio. EXP (SIN Z) DZ è un ORD, poiché ha un esempio. \u003d U (u (y)) a n \u003d 1 non è un telecomando, ma la funzione è un'equazione differenziale in via di sviluppo.

Questo non è un telecomando, ma un'equazione integro-differenziale, non studieremo tali equazioni. Tuttavia, l'equazione (2) è facilmente ridotta all'ODU:

L'esercizio. Ridurre (2) all'ODU.

Ma in generale, le equazioni integrali sono un oggetto più complesso (è parzialmente studiato in un corso di analisi funzionale), anche se, come vedremo di seguito, è con il loro aiuto che alcuni risultati sono ottenuti per ODU.

Du sorgere da entrambe le esigenze intramathematics (ad esempio, in geometria differenziale) e in applicazioni (storicamente per la prima volta, e ora principalmente in fisica). Il du semplificato è il "compito di base del calcolo differenziale" sul restauro della funzione in base al suo derivato: \u003d h (y). Come è noto dall'analisi, la sua decisione ha la forma u (y) \u003d + h (s) ds. Più generali du per le sue soluzioni richiedono metodi speciali. Tuttavia, come vedremo, quasi tutti i metodi per la risoluzione di ODU "esplicitamente" sono essenzialmente ridotti alla custodia banale specificata.

Nelle applicazioni più spesso, il codice si verifica quando si descrive i processi che si sviluppano nel tempo, in modo che il ruolo di una variabile indipendente di solito sia in riproduzione del tempo t.

pertanto, il significato dell'ODU in tali applicazioni è di descrivere il cambiamento nei parametri del sistema nel tempo, quindi, è conveniente designare una variabile indipendente attraverso T (e chiamarlo un momento con tutte le conseguenze terminologiche risultanti), e funzione sconosciuta (AI) - attraverso x \u003d (x1, ..., xn). Pertanto, la visione generale di ODU (Systems ODU) è la seguente:

dove f \u003d (f1, ..., fn) è che e. Questo è un sistema di n odu per n funzioni x, e se n \u003d 1, quindi un ode per 1 funzione x.

In questo caso, x \u003d x (t), t r, e x in generale parlando è complesso (questo è per comodità, poiché alcuni sistemi sono registrati in modo più compatto).

Si dice che il sistema (3) abbia ordine m sulla funzione XM.

I derivati \u200b\u200bsono chiamati anziani e il resto (incluso xm \u003d) - più giovane. Se tutto m \u003d, quindi dicono semplicemente che l'ordine del sistema è uguale.

È vero, spesso l'ordine del sistema è chiamato il numero M, che è anche naturale, poiché diventa ulteriormente chiaro.

La questione della necessità di studiare l'ODU e le loro applicazioni, saremo considerati altre discipline abbastanza ragionevoli (geometria differenziale, analisi matematica, meccanica teorica, ecc.), Ed è parzialmente coperto in formazione pratica nella risoluzione dei problemi (ad esempio, dal compito). Nel corso attuale, saremo impegnati esclusivamente allo studio matematico dei sistemi del modulo (3), che implica la risposta alle seguenti domande:

1. Cosa significa "decidere" l'equazione (sistema) (3);

2. Come farlo;

3. Quali proprietà hanno queste decisioni, come esplorarle.

La domanda 1 non è così ovvia come sembra - vedi sotto. Si noti immediatamente che qualsiasi sistema (3) può essere ridotto al primo sistema di ordine, denotando i derivati \u200b\u200bpiù giovani come nuove funzioni sconosciute. La cosa più semplice è spiegare questa procedura usando l'esempio:

di 5 equazioni per 5 incognite. È facile capire che (4) e (5) sono equivalenti nel senso che la soluzione di uno di esse (dopo che la corrispondente riesaminava) è la soluzione dell'altro. Allo stesso tempo, dovrebbe essere consapevole della questione della levigatezza delle decisioni - questo sarà fatto ulteriormente quando incontreremo un ordine superiore (cioè non è il primo).

Ma ora è chiaro che è sufficiente studiare solo uno dei primi ordini, e altri potrebbero essere richiesti solo per la comodità delle designazioni (questa situazione si verificherà).

E ora limitiamo noi stessi del primo ordine:

dIMX \u003d DIMF \u003d n.

Lo studio dell'equazione (sistema) (6) è scomodo dovuto al fatto che non è risolta rispetto ai derivati \u200b\u200bDX / DT. Come è noto dall'analisi (dal teorema sulla funzione implicita), in determinate condizioni su F, l'equazione (6) può essere risolta rispetto al DX / DT e scriverlo nel modulo in cui f: rn + 1 rn è Set e X: RN è desiderato. Si dice che (7) c'è un ODU, consentito rispetto ai derivati \u200b\u200b(ordinata di una forma normale). Durante la transizione da (6) a (7), naturalmente, potrebbero sorgere difficoltà:

Esempio. EXP (X) \u003d 0 L'equazione non può essere registrata nel modulo (7) e non ha soluzioni, cioè, l'EXP non ha zero anche nel piano complesso.

Esempio. L'equazione x 2 + x2 \u003d 1 è scritta sotto forma di due normali ode x \u003d ± 1 x2. Ognuno di essi dovrebbe essere risolto e quindi interpretare il risultato.

Commento. Per informazioni (3) a (6), la difficoltà può verificarsi se (3) ha 0 ordine per qualche funzione o parte di funzioni (cioè è un'equazione differenziale funzionale). Ma poi queste funzioni devono essere escluse dal teorema sulla funzione implicita.

Esempio. x \u003d y, xy \u003d 1 x \u003d 1 / x. È necessario trovare X dall'ODU ottenuto, e poi Y dall'equazione funzionale.

Ma in ogni caso, il problema della transizione da (6) a (7) si riferisce piuttosto al campo dell'analisi matematica rispetto al DU, e non lo faremo. Tuttavia, quando si risolve l'ODE (6), i momenti interessanti possono verificarsi dal punto di vista, quindi questa domanda è appropriata per studiare quando si risolve le attività (in quanto ciò è fatto per esempio B) e sarà leggermente influenzato nel § 3. Ma Nel resto del corso affronteremo solo sistemi e equazioni normali. Quindi, considera l'ODU (System ODU) (7). Lo scriviamo 1 volta nella forma di pumidazione:

Il concetto di "risolvere (7)" (e in generale, qualsiasi do) per un lungo periodo è stato inteso come la ricerca di "formula esplicita" per risolvere (cioè, sotto forma di funzioni elementari, le loro funzioni primarie o speciali, ecc.)), senza accento sulla levigatezza della soluzione e dell'intervallo della sua definizione. Tuttavia, lo stato attuale della teoria delle ODU e di altre sezioni di matematica (e in scienze generali) dimostra che un tale approccio è insoddisfacente, almeno perché la quota di ODU che giveaway a tale "integrazione esplicita" è estremamente piccola (anche per Il più semplice Ode X \u003d F (T) è noto che la soluzione nelle funzioni elementari è rara, anche se c'è una "formula ovvia").

Esempio. Equazione X \u003d T2 + X2, nonostante la sua estrema semplicità, non ha soluzioni nelle funzioni elementari (e c'è persino "Nessuna formula").

E anche se conosci le classi di ODU, per la quale è possibile la soluzione "esplicita" (nello stesso modo in cui è utile essere in grado di "contare gli integrali", quando è possibile, anche se è possibile estremamente raramente), A tale proposito, i termini sono caratterizzati: "InitENGrilatori ODU", "Integral ODU" (analoghi obsoleti dei concetti moderni "per risolvere ODU", "decisione ODU"), che riflette i precedenti concetti sulla decisione. Come capire i termini moderni, indicheremo ora.

e questa questione sarà considerata nel § 3 (e anche la stessa attenzione è stata prestata anche molta attenzione durante la risoluzione dei problemi in classi pratiche), ma non si dovrebbe aspettarsi alcuna versatilità da questo approccio. Di norma, sotto il processo decisionale (7) comprenderemo passi completamente diversi.

Dovrebbe essere chiarito quale funzione X \u003d X (T) può essere definita una soluzione (7).

Prima di tutto, notiamo che la chiara formulazione del concetto di risoluzione è impossibile senza specificare il set su cui è definito, se solo perché la soluzione è una funzione, e qualsiasi funzione (secondo la definizione della scuola) è una legge che corrisponde Qualsiasi elemento di un determinato set (chiamato la regione di definizione questa funzione) qualche elemento di un altro set (valori funzione). Pertanto, è assurdo per definizione senza specificare l'area della sua definizione. Le funzioni analitiche (più ampiamente elementare) servono qui "Eccezione" (fuorviante) sotto i motivi elencati di seguito (e alcuni altri), ma nel caso di DU Tale libertà è inaccettabile.

e in generale, senza specificare i set per la definizione di tutte le funzioni coinvolte in (7). Sarà chiaro da oltre, è consigliabile collegare rigidamente il concetto di risoluzione con una moltitudine della sua definizione e considerare soluzioni a diverse, se i set della loro definizione sono diversi, anche se le croci di questi set coincidono.

Molto spesso, in situazioni specifiche, ciò significa che se le soluzioni sono costruite sotto forma di funzioni elementari, in modo che 2 soluzioni hanno una "formula identica", è necessario verificare se i set su cui sono scritte queste formule. La confusione, per un lungo periodo regnata in merito, era un'esclusione, mentre le decisioni sono state considerate sotto forma di funzioni elementari, poiché le funzioni analitiche continuano chiaramente su intervalli più ampi.

Esempio. X1 (t) \u003d et on (0.2) e x2 (t) \u003d et on (1,3) - diverse soluzioni dell'equazione x \u003d x.

Allo stesso tempo, naturalmente, nella qualità della definizione di qualsiasi soluzione per prendere un intervallo aperto (forse infinito), poiché questo set dovrebbe essere:

1. Aperto in modo che in qualsiasi momento abbia senso parlare del derivato (bilaterale);

2. Svyaznoy, in modo che la soluzione non si adatta a pezzi incoerenti (in questo caso è più conveniente parlare di diverse soluzioni) - vedere l'esempio precedente.

Pertanto, la soluzione (7) è una coppia (, (A, B)), in cui A B + è definita su (A, B).

Commento per l'insegnante. In alcuni libri di testo, è consentito includere la fine del segmento nel campo della determinazione della decisione, ma è inappropriata dovuta al fatto che complica solo la presentazione e la vera generalizzazione non dà (vedi § 4).

Per rendere più facile capire ulteriori ragionamenti, è utile usare un'interpretazione geometrica (7). Nello spazio RN + 1 \u003d ((T, X)) ad ogni punto (T, X), dove è definito F è definito, il vettore F (T, X) può essere considerato. Se si costruisce un grafico della soluzione (7) in questo spazio (è chiamato una curva integrale del sistema (7)), quindi è costituito da punti del modulo (T, X (T)). Quando viene modificato il T (A, B), questo punto si muove lungo l'IR. La tangente all'IR al punto (t, x (t)) ha il modulo (1, x (t)) \u003d (1, f (t, x (t))). Pertanto, IR sono quelli e solo quelle curve nello spazio RN + 1, che in ciascuno dei propri punti (T, X) hanno un vettore tangenziale e parallelo (1, f (t, x)). A questa idea, è stato costruito così chiamato. Il metodo Isocline per la costruzione approssimativa dell'IR, che viene utilizzata come grafici di soluzioni di specifici ODU (vedi

per esempio ). Ad esempio, a N \u003d 1, la nostra costruzione indica quanto segue: Ad ogni punto IR, la sua pendenza verso l'asse T ha la proprietà TG \u003d F (T, X). È naturale presumere che prendendo qualsiasi punto da un set di definizione f, possiamo trascorrere un IR attraverso di esso. Questa idea sarà ulteriormente giustificata. Finché ci manca la rigorosa formulazione della levigatezza delle soluzioni: questo sarà fatto di seguito.

Ora è necessario chiarire il set B, che definisce f. Questo è un sacco di prendere naturalmente:

1. Aprire (in modo che l'IR possa essere costruito nel quartiere di qualsiasi punto da B), 2. Collegato (altrimenti tutti i pezzi collegati possono essere considerati - comunque, IR (come grafico di una funzione continua) non può saltare fuori Un pezzo in un altro, in modo che la ricerca della comunità di soluzioni non influenzerà).

Considereremo solo soluzioni classiche (7), cioè tale che X e la sua X è continua su (A, B). Quindi richiedono naturalmente f c (b). Successivamente, questo requisito sarà implicito da noi. Quindi, finalmente otteniamo una definizione. Lascia che B rn + 1 sia l'area, f c (b).

Una coppia (, (a, b)), AB +, è definita da (A, B), è chiamata la soluzione (7) se c (A, B), ogni volta t (A, B), (t, (T)) B ed esiste (t), con (t) \u003d f (t, (t)) (quindi automaticamente C 1 (A, B)).

È geometrico chiaro che (7) avrà molte soluzioni (che è facile da capire graficamente), poiché eseguire IR, a partire da punti del modulo (T0, X0), dove è fissato T0, allora riceveremo diverso IR. Inoltre, il cambiamento nell'intervallo di definizione decisionale darà un'altra soluzione, in base alla nostra definizione.

Esempio. X \u003d 0. Soluzione: X \u003d \u003d CONST RN. Tuttavia, se si seleziona un po 'di T0 e fissa il valore X0 della soluzione al punto T0: X (T0) \u003d X0, il valore è definito in modo univoco: \u003d x0, cioè la soluzione è unica con una precisione della selezione dell'intervallo (A, b) T0.

La presenza di un set di soluzioni "senza volto" è scomodo per lavorare con Nimi2 - è più conveniente per "importare" come segue: aggiungi a (7) condizioni aggiuntive in modo da evidenziare l'unico (in un certo senso) la decisione , quindi, sovrastando queste condizioni, lavorare con ciascuna la soluzione è separata (la soluzione geometrica può essere una (IR), e ci sono molti pezzi - con questo inconveniente sembreranno successivamente).

Definizione. Il compito per (7) è (7) con condizioni aggiuntive.

Abbiamo inventato sostanzialmente il compito più semplice - questo è il compito di Cauchy: (7) con le condizioni del modulo (dati di Cauchy, dati iniziali):

Punto di vista C delle applicazioni Questo compito è naturale: ad esempio, se (7) descrive la modifica in alcuni parametri X con il tempo T, quindi (8) significa che in alcuni (iniziali) momento è noto il valore dei parametri . È necessario imparare altri compiti, ne parleremo più tardi, ma per ora ci concentreremo sul compito di Cauchy. Naturalmente, questo compito ha senso (T0, X0) B. Di conseguenza, la soluzione del problema (7), (8) è chiamata soluzione (7) (nel senso della definizione riportata sopra) tale tale da T0 (A, B) ed è eseguito (otto).

Il nostro compito più vicino è dimostrare l'esistenza della soluzione del problema di Cauchy (7), (8), e con un certo esempio aggiuntivo - un'equazione quadrata, è meglio scrivere x1 \u003d ..., x2 \u003d ... di X \u003d B / 2 ± ...

ipotesi su f - e la sua unicità in un certo senso.

Commento. Dobbiamo chiarire il concetto della norma del vettore e della matrice (anche se le matrici saranno necessarie solo nella parte 2). A causa del fatto che nello spazio dimensionale finito tutte le regole sono equivalenti, la scelta di una norma particolare non ha importanza se siamo interessati solo come stime e non valori accurati. Ad esempio, per i vettori è possibile applicare | X | P \u003d (| XI | P) 1 / P, P - P - P - PEANO segmento (Pickara). Considera il cono k \u003d (| x x0 | f | t T0 |) e la sua parte troncata K1 \u003d k (T IP). È chiaro che solo K1 C.

Teorema. (Peano). Lasciare i requisiti per F nel problema (1) specificato nel determinare la soluzione, I.e.:

f c (b), dove B è un'area in rn + 1. Quindi, a tutti (T0, X0) B, c'è una soluzione di compito (1).

Prova. Impostare arbitrariamente (0, T0] e costruire il cosiddetto. Loars di Eulero con un passo, vale a dire: è rotto in RN + 1, in cui ogni collegamento ha una proiezione sull'asse T Long, il primo collegamento al destra inizia al punto (T0, X0) e questo è che è DX / DT \u003d F (T0, X0); l'estremità destra di questo collegamento (T1, X1) funge da estremità sinistra per il secondo, su quale DX / Dt \u003d f (T1, x1), e così via e allo stesso modo a sinistra. Il risultante rotto definisce una funzione lineare a tratti x \u003d (t). Mentre T IP, il rotto rimane in K1 (e ancora di più in c , e quindi in B), quindi la costruzione è corretta - per questo in realtà ed è stata eseguita la costruzione ausiliaria prima del teorema.

Infatti, ovunque tranne i punti della pausa esistono, e poi (s) (t) \u003d (z) DZ, dove ci sono valori derivati \u200b\u200barbitrari nei punti di rottura.

Allo stesso tempo (spostandosi lungo la dogenza di induzione) in particolare, | (t) x0 | F | T T0 |.

Quindi, sulle funzioni IP:

2. Uquativamente continuo, dal lipshtsy:

Qui, se necessario, aggiorna la mia conoscenza su tali concetti e risultati come: Continuità equa, convergenza uniforme, il teorema dell'Arzel Ascol, ecc.

Dal teorema ARZEL-ASCOL c'è una sequenza K 0 tale che K su IP, dove c (IP). Per costruzione, (T0) \u003d X0, quindi rimane per verificare che lo dimostreremo per s t.

L'esercizio. Simile a considerare s t.

Impostare 0 e troviamo 0 che per tutti (T1, X1), (T2, X2) C, ciò può essere fatto a causa della continuità uniforme di F su Compact C. Troveremo m n in modo da risolvere t int ( IP) e prendere qualsiasi S int (IP) è che TST +. Quindi per tutti Z abbiamo | k (z) k (t) | F, quindi in mente (4) | k (z) (t) | 2F.

Si noti che k (z) \u003d k (z) \u003d f (z, k (z)), dove z è l'ascissa dell'estremità sinistra del taglio rotto contenente il punto (z, k (z)). Ma il punto (z, k (z)) entra nel cilindro con parametri (2F), costruito al punto (t, (t)) (infatti, anche in un cono troncato - vedi fig. Ma non importa ora ), Quindi in vista di (3) otteniamo | k (z) f (t, (t)) |. Per rotto, abbiamo, come menzionato sopra, la formula per k darà (2).

Commento. Lascia che f c 1 (b) sia. Quindi la soluzione definita su (A, B) sarà la classe C 2 (A, B). Infatti, su (a, b) abbiamo: ci sono f (t, x (t)) \u003d ft (t, x (t)) + (t, x (t)) x (t) (qui - il Matrix of Jacobi) - Funzione continua. Cheat, c'è anche 2 c (a, b). È possibile continuare ad aumentare la levigatezza della soluzione se f liscia. Se F è analitico, allora puoi dimostrare l'esistenza e l'unicità della soluzione analitica (questo è così chiamato. Teorema di Cauchy), sebbene non dovrebbe essere nel ragionamento precedente!

Qui è necessario ricordare quale sia una funzione analitica. Non per essere confuso con la funzione, rappresentabile dal numero di potenza (è solo una rappresentazione della funzione analitica su, in generale, parti della sua definizione)!

Commento. A specificato (T0, X0), è possibile, variare T e R, prova a massimizzare T0. Tuttavia, questo di solito non è così importante, poiché studiare l'intervallo massimo dell'esistenza della soluzione ci sono metodi speciali (vedi § 4).

Nel teorema Perano, nulla ha dichiarato l'unicità della decisione. Con la nostra comprensione della soluzione, non è sempre l'unico, poiché se c'è qualche soluzione, i suoi restringenti saranno altre soluzioni per gli intervalli più ristretti. In questo momento considereremo più dettagliatamente in seguito (al § 4), e finora, in unicità, comprendiamo la coincidenza di qualsiasi due soluzioni all'incrocio degli intervalli della loro definizione. Anche in questo senso, il teorema di Peaono non dice nulla sull'unicità che non è per caso, poiché è impossibile garantire l'unicità.

Esempio. n \u003d 1, f (x) \u003d 2 | x |. Il problema di Cauchy ha una soluzione banale: X1 0 e oltre a X2 (T) \u003d T | T |. Di queste due soluzioni, una famiglia familiare intera 2 parametrica può essere compilata:

dove + (valori infiniti significano l'assenza del ramo corrispondente). Se contate per l'area di definizione di tutte queste soluzioni tutte r, allora sono ancora infinitamente molto.

Si notiamo che se si applica la prova del teorema di Peano attraverso l'eulero rotto, allora solo la soluzione zero sarà. D'altra parte, se nel processo di costruzione di un eulero rotto per consentire un piccolo errore in ogni fase, anche dopo il desiderio del parametro di errore a zero, tutte le soluzioni rimarranno. Pertanto, il teorema di Peano e l'eulero rotto sono naturali come metodo per la costruzione di soluzioni e strettamente correlati a metodi numerici.

Il problema osservato nell'esempio è dovuto al fatto che la funzione F è non distribuita da x. Si scopre che se si impongono requisiti aggiuntivi per la regolarità F per X, allora l'unità può essere assicurata, e questo passaggio è in un certo senso necessario (vedi sotto).

Richiamare alcuni concetti dall'analisi. La funzione (scalare o vettore) G è chiamata un elgenzia con un indicatore (0, 1] sul set, se la condizione di lipshitz è corretta. A 1, è possibile solo per le funzioni permanenti. La funzione specificata sul segmento (dove La scelta è irrilevante) è chiamata il modulo di continuità, se dicono che G soddisfa la condizione dell elindo generalizzato con un modulo se in questo caso si chiama il modulo di continuità G.

Si può dimostrare che qualsiasi modulo di continuità è un modulo di continuità di una funzione continua.

Il fatto inverso è importante per noi, vale a dire: qualsiasi funzione continua sul compatto ha il proprio modulo di continuità, cioè soddisfacendo (5) con alcuni. Lo dimostrare. Ricordiamo che se è compatto, e G c (), allora è in modo uniforme continuo, cioè.

\u003d (): | x y | \u003d | G (x) g (y) |. Si scopre che questo è equivalente a condizione (5) con alcuni. In effetti, se c'è, è sufficiente costruire un modulo di continuità tale che (()), e poi a | x y | \u003d \u003d () Otteniamo (e) arbitrariamente, x e y può essere qualsiasi.

E viceversa, se (5) è vero, è sufficiente trovare tale che ((()), e poi a | x y | \u003d () Riceviamo che rimane per sostenere transizioni logiche:

Per monotono e abbastanza da prendere funzioni inverse, e in generale, è necessario usarlo così chiamato. Feedback generalizzato. La loro esistenza richiede una prova separata che non guideremo, ma diciamo solo un'idea (è utile accompagnare i disegni di lettura):

per qualsiasi f, definiamo f (x) \u003d min f (y), f (x) \u003d max f (y) sono funzioni monotoni e hanno inverso. VVIF è facile da verificare che x x f (f (x)), (f) 1 (f (x)) x, f ((f) 1 (x)) x.

Il miglior modulo di continuità è lineare (condizione di lipschits). Queste sono funzioni "quasi differenziabili". Per dare senso rigoroso, l'ultima affermazione richiede alcuni sforzi, e ci limiteremo a due commenti:

1. Parlando rigorosamente, non tutte le funzionalità di Lipschitz differenziando, come l'esempio G (x) \u003d | x | su r;

2. Ma dalla differenziabilità segue Lipshesivity, come mostra la seguente istruzione. Qualsiasi funzione G, che ha tutti M su un set convesso, soddisfa le condizioni di Lipschitz su di esso.

[Mentre per Brevity, considera le funzioni scalari g.] Prova. Per tutti x, y abbiamo chiaramente che questa affermazione è vera per le funzioni vettoriali.

Commento. Se f \u003d f (t, x) (generalmente parlando, illustrazione vettoriale), quindi puoi inserire il concetto di "f lipschitsev per x", cioè | | f (t, x) f (t, y) | C | xy |, e dimostruire anche che se D è convesso in x per tutto t, allora per la lipshesivity f da x in d, è sufficiente avere derivati \u200b\u200bF per x, limitato nella dichiarazione che abbiamo ricevuto una stima | G ( x) G (y) | attraverso | x y |. Con N \u003d 1, di solito è fatto usando una formula di incremento finita: G (x) G (y) \u003d G (Z) (XY) (se G è una funzione vettoriale, quindi Z è proprie per ogni componente). Per N 1 è conveniente utilizzare il seguente analogo di questa formula:

Lemma. (ADAMARA). Lascia che f c (d) sia (in generale, la funzione vettoriale), dove d (t \u003d t) convex a qualsiasi t, e f (t, x) f (t, y) \u003d a (t, x, y) · (XY), dove A è una matrice rettangolare continua.

Prova. Con qualsiasi valore fisso, applichiamo il calcolo dalla prova dell'approvazione per \u003d D (t \u003d t), g \u003d fk. Otteniamo la rappresentazione desiderata con A (T, X, Y) \u003d A è infatti continuo.

Torniamo alla questione dell'unicità della soluzione del problema (1).

Metteremo la domanda come questa: quale dovrebbe essere il modulo di continuità F per X, in modo che la soluzione (1) sia l'unica cosa nel senso che 2 soluzioni definite nello stesso intervallo coincidono? La risposta è data al teorema seguente:

Teorema. (Osgood). Lasciare sotto le condizioni del Peano la continuità della continuità della X in B, cioè la funzione in disuguaglianza soddisfa la condizione (c). Quindi il problema (1) non può avere due diverse soluzioni definite nello stesso intervallo di forma (T0 A, T0 + B).

Confronta con un esempio di un'interconnessione sopra.

Lemma. Se z c 1 (,), quindi tutto (,):

1. A punti in cui Z \u003d 0, esiste | Z |, e || z | | | Z |;

2. A punti, dove z \u003d 0, ci sono derivati \u200b\u200bunilaterali | Z | ±, e || Z | ± | \u003d | z | (In particolare, se z \u003d 0, quindi esiste | z | \u003d 0).

Esempio. n \u003d 1, z (t) \u003d t. Al punto T \u003d 0 derivato da | z | Non c'è, ma ci sono derivati \u200b\u200bunilaterali.

Prova. (Lemmi). A quei punti dove z \u003d 0, haz · z IT: esiste | Z | \u003d, e || z | | | Z |. A quei punti t, dove z (t) \u003d 0, abbiamo:

Caso 1: z (t) \u003d 0. Quindi otteniamo l'esistenza | z | (t) \u003d 0.

Caso 2: z (T) \u003d 0. Quindi, a + o 0 Ochiz (T +) | | z (t) | Il cui modulo è uguale | z (t) |.

Per condizione, f c 1 (0,), f 0, f, f (+0) \u003d +. Lascia che Z1.- sia due soluzioni (1) definite da (T0, T0 +). Dennare Z \u003d Z1 Z2. Abbiamo:

Supponiamo che sia T1 (per decisamente T1 T0) tale che z (T1) \u003d 0. Il set A \u003d (T T1 | z (T) \u003d 0) non è vuoto (T0 A) e limitato dall'alto. Significa che ha una faccia superiore T1. Per costruzione, z \u003d 0 on (, T1), ea causa della continuità della Z, abbiamo z () \u003d 0.

Di Lemma | z | C 1 (, T1), e a questo intervallo a destra | Z | | Z |. (| Z |), in modo che l'integrazione del software (T, T1) (dove t (, t1)) dà f (| z (t) |) f (| z (T1) |) t1 t. Con T + 0, otteniamo una contraddizione.

Corollario 1. Se, sotto le condizioni del teorema di Peano F, Lipshitsev secondo X in B, quindi il problema (1) ha una soluzione singola nel senso descritto nel teorema dell'OSGOOD, poiché in questo caso () \u003d C soddisfa (7 ).

Corollario 2. Se sotto le condizioni di Teorema di Peaono C (B), quindi la soluzione (1) definita su INT (IP), l'unico.

Lemma. Qualsiasi decisione (1), definita su IP, è necessaria per soddisfare la valutazione | x | \u003d | F (t, x) | F, e il suo programma - si trovano in K1, e ancora di più in C.

Prova. Supponiamo, ci sarà T1 IP tale che (T, X (T)) C. Per la definizione, lascia T1 T0. Poi c'è T2 (T0, T1] tale che | X (T) X0 | \u003d R. Allo stesso modo, gli argomenti nella prova del teorema dell'OSCA possono essere considerati che T2 è il punto più sinistro del punto, e abbiamo (t , x (t)) c, così | f (t, x (t)) | f, e quindi (t, x (t)) K1, che contraddice | x (T2) x0 | \u003d R. Quindi, (t , X (t)) c su tutti ip, e quindi (ripetere i calcoli) (T, X (T)) K1.

Prova. (Corollary 2). C è un MNOF compatto che f Lipszyttev Software in C, dove i grafici trovano tutte le soluzioni in vista del Lemma. Per indagine 1 otteniamo il desiderato.

Commento. Condizione (7) significa che la condizione di Lipschitz per F non può essere sostanzialmente indebolita. Ad esempio, la condizione del Helder C 1 non è più adatta. Solo i moduli di continuità sono vicini a lineari - come il legame "il cattivo":

L'esercizio. (abbastanza complicato). Dimostrare che se soddisfa (7), allora c'è 1, soddisfacente (7) tale che 1 / a zero.

In generale, non è necessario richiedere qualcosa dal modulo di continuità F per X per l'unicità - sono possibili vari tipi di occasioni speciali: ad esempio:

Dichiarazione. Se, nelle condizioni del teorema di Peano, qualsiasi 2 soluzioni (1), definita su (9), si possono vedere che XC 1 (A, B), e quindi differenziazione (9) dà (1) 1, e (1 ) 2 ovvio.

In contrasto con (1), per (9), è naturale costruire una soluzione su un segmento chiuso.

Picar ha suggerito per la risoluzione (1) \u003d (9) il seguente metodo di approssimazioni consecutive. Denota x0 (t) x0 e poi sull'induzione del teorema. (Cauchy Picara). Lasciare sotto le condizioni del teorema di Peano Funzione F Lipshitsev secondo X in qualsiasi convesso di X compatto K dalla regione B, cioè.

Quindi per qualsiasi (T0, X0) B, The Cauchy Task (1) (IT (9)) ha una soluzione singola su INT (IP) e XK X su IP, in cui XK è definito in (10).

Commento. È chiaro che il teorema rimane forza se la condizione (11) è sostituita da C (B), a causa di questa condizione, segue (11).

Commento per l'insegnante. Infatti, non è necessario per tutti i software convessi da X Compacts, ma solo i cilindri, ma la formulazione viene eseguita esattamente che, perché in § 5 compatti più generali saranno richiesti, e più precisamente, è proprio questa formulazione.

Prova. Scegli arbitrariamente (T0, X0) B e faremo la stessa costruzione ausiliaria di prima del teorema di Peano. Proviamo dall'induzione che tutto il XK è definito e continuo sul PI, e i grafici sono sdraiati in K1, e anche di più in C. per X0 è ovvio. Se questo è vero per XK1, quindi da (10) è chiaro che XK è definito e continuo sull'IP, e questo è appartenente al K1.

Ora dimostriamo di induzione una valutazione su IP:

(C è convesso da x CD in B e L (c) è definito per questo). A K \u003d 0, questa è una stima provata (T, X1 (T)) K1. Se (12) è vero per K: \u003d K 1, quindi da (10) abbiamo ciò che è stato richiesto. Pertanto, un certo numero di numeri convergenti IP Murizzata e pertanto (questo è chiamato teorema Weierstrass) uniformemente su IP converge a qualche funzione X C (IP). Ma significa xk x su IP. Quindi in (10) sull'IP Vai al limite e ottenere (9) su IP e quindi (1) su INT (IP).

L'unicità viene immediatamente ottenuta da una conseguenza di 1 del teorema dell'OSGOOD, ma è utile dimostrarlo e in un altro modo utilizzando l'equazione (9). Supponiamo che ci siano 2 soluzioni X1.2 attività (1) (cioè I. (9)) su INT (IP). Come accennato sopra, i grafici sono necessariamente sdraiati in K1, e anche di più in C. Let T I1 \u003d (T0, T0 +), dove - qualche numero positivo. Quindi \u003d 1 / (2L (c)). Quindi \u003d 0. Quindi, x1 \u003d x2 su i1.

Commento per l'insegnante. C'è ancora la prova dell'unicità con l'aiuto del lemma di Hronole, è ancora più naturale, poiché ci vuole immediatamente a livello globale, ma mentre il lemma di Hronulla non è molto conveniente, poiché è difficile percepirlo adeguatamente.

Commento. L'ultima prova di unicità è istruttiva in quella ancora una volta dimostrata in una luce diversa, come un'unicità locale porta a un globale (che non è corretto all'esistenza).

L'esercizio. Dimostra l'unicità immediatamente su tutti i IP, discutendo dall'avversario come nella prova del teorema dell'osto osgolante.

Un importante caso privato (1) è lineare ODU, I.e., in cui il valore f (T, X) è lineare da x:

In questo caso, al fine di inserire le condizioni della teoria generale, dovrebbe essere richiesto in questo modo, in questo caso, la stringa sporge e la condizione di Lindsery (e anche differenziabilità) secondo X viene eseguita automaticamente: a tutti t (a, b), x, y rn Abbiamo | f (t, x) f (t, y) | \u003d | A (t) (x y) | | A (T) | · | (X y) |.

Se assegni temporaneamente un Compact (A, B), quindi sarà ottenuto | f (t, x) f (t, y) | L | (x y) |, dove l \u003d max | A |.

Dai teoremi di Peano e Osgood o Cauchy-Picar, la solvibilità inequivocabile del problema (13) su un certo intervallo (Picking-picking) contenente T0 dovrebbe essere non ambiguo. Inoltre, la soluzione su questo intervallo è il limite di approssimazioni coerenti del pickara.

L'esercizio. Trova questo intervallo.

Ma si scopre che in questo caso tutti questi risultati possono essere dimostrati immediatamente a livello globale, cioè, su tutto (A, B):

Teorema. Lascia che sia vero (14). Quindi il problema (13) ha una soluzione singola su (A, B), e le approssimazioni sequenziali della raccolta convergono uniformemente su qualsiasi compatto (A, B).

Prova. Di nuovo, come in TK-P, costruiamo una soluzione all'equazione integrale (9) con l'aiuto di approssimazioni consecutive da parte della formula (10). Ma ora non abbiamo bisogno di controllare la condizione per inserire il cono e il cilindro, poiché.

f è definito a tutti x, mentre t (a, b). È solo necessario verificare che tutti i XK siano definiti e continui su (A, B), che è ovvio per l'induzione.

Invece di (12), ora mostreremo ora una stima simile della specie in cui n è un numero a seconda della scelta. Il primo passo di induzione per questa valutazione di un altro (T. K. non è associato a K1): per k \u003d 0 | x1 (t) x0 | N a causa della continuità X1 e i seguenti passaggi sono simili (12).

Non puoi dipingerlo, perché è ovvio, ma possiamo notare di nuovo xk x su, e x è la soluzione del corrispondente (10). Ma in tal modo abbiamo costruito una soluzione su tutto (A, B), perché la scelta del compatto è arbitraria. L'unicità deriva dal teorema dell'OSGOOOD o dal Coshi-Pickara (e dal ragionamento sopra sull'unicità globale).

Commento. Come menzionato sopra, il TC-P è formalmente la prigionia dovuta alla presenza di teoremi di Peano e Osgood, ma è utile per 3 motivi: lei:

1. Ti consente di associare il problema di Cauchy per ODU con un'equazione integrale;

2. invita il metodo costruttivo di approssimazioni consecutive;

3. Rende facile dimostrare l'esistenza globale per ODU lineare.

[Sebbene quest'ultimo possa essere derivato dal ragionamento § 4.] Avanti, si riferiremo spesso ad esso.

Esempio. x \u003d x, x (0) \u003d 1. Approssimazione sequenziale significa x (t) \u003d E - La soluzione dell'attività iniziale in tutta R.

Più spesso si ottiene un numero, ma rimane un certo design. Puoi anche valutare l'errore di x xk (vedere).

Commento. Di Peano, Osguda, Teorema e Cauchy Picar, è facile ottenere i teoremi corrispondenti per il più alto ordine.

L'esercizio. Formulare i concetti del problema di Cauchy, soluzioni del sistema e dei compiti di Cauchy, tutti i teoremi per il più alto ordine, utilizzando la minimizzazione dei sistemi di primo ordine stabiliti al § 1.

Parecchi violazione della logica del corso, ma con l'obiettivo di una migliore assimilazione e motivazione dei metodi per risolvere i problemi nelle classi pratiche, interrompiamo temporaneamente la presentazione della teoria generale e affronteremo il problema tecnico della "decisione esplicita del Odu ".

§ 3. Alcune tecniche di integrazione, quindi considera l'equazione scalare \u003d f (t, x). Prodt i passaggi di un caso privato che ha imparato ad integrare è così chiamato. URP, I.e. Equazione in cui f (t, x) \u003d a (t) B (x). Il metodo formale di integrazione dell'URP è quello di "dividere" le variabili T e X (da qui il nome): \u003d A (T) DT, e quindi prendere l'integrale:

chim X \u003d B (A (T)). Un ragionamento così formale contiene diversi punti che richiedono la giustificazione.

1. Decisione su B (X). Crediamo che F sia continuo, quindi a c (,), b c (,), cioè il rettangolo sporge () (,)(Generalmente parlando, infinito). Set (B (X) 0) e (B (X) 0) Aperto e quindi sono set di intervalli finiti o numerabili. Tra questi intervalli ci sono punti o segmenti, dove B \u003d 0. Se B (X0) \u003d 0, allora l'attività Cauchy ha una soluzione x x0. Forse questa soluzione non è l'unica, quindi nella sua area di definizione ci sono intervalli, dove B (x (T)) \u003d 0, ma quindi può essere diviso in B (X (T)). Si notiamo simultaneamente che a questi intervalli la funzione B monotonne e quindi può essere presa B 1. Se B (x0) \u003d 0, quindi nel quartiere di T0 consapevolmente B (x (T) \u003d 0, e la procedura è legale. Pertanto, la procedura descritta dovrebbe, in generale, applicare quando si divide l'area per determinare la soluzione da parte.

2. Integrando le parti sinistra e destra in base alle diverse variabili.

Metodo I. Lascia che vogliamo trovare la soluzione del compito KDD (T) (1) x \u003d (t). Abbiamo: \u003d A (t) B ((t)), da dove hanno ottenuto la stessa formula rigorosamente.

Metodo II. L'equazione è così chiamata. Registrazione simmetrica dell'OCS originale, cioè, questo in cui non è specificato, quale variabile è indipendente e che dipende. Questa forma ha senso solo nel caso di una delle equazioni del primo ordine in esame a causa del teorema sull'invariamento della forma del primo differenziale.

È opportuno capire più dettagli con il concetto di differenziale, illustrandolo con un esempio di un piano (((t, x)), curve su di esso, collegamenti emergenti, gradi di libertà, parametro sulla curva.

Pertanto, l'equazione (2) lega i differenziali T e X lungo il IR desiderato. Quindi l'integrazione dell'equazione (2) nel metodo mostrato all'inizio è completamente legale: significa, se si desidera, integrando su qualsiasi variabile selezionata come indipendente.

Nel metodo I, abbiamo mostrato questo scegliendo come una variabile indipendente t. Ora mostreremo questo scegliendo il parametro S come una variabile indipendente lungo l'IR (poiché questo è più chiaramente mostrato dall'uguaglianza T e X). Lasciare che il valore s \u003d s0 corrisponda al punto (T0, X0).

Quindi abbiamo: \u003d A (t / i) t (s) DS, che dopo di esso lo dà per fare un'enfasi sulla versatilità di una registrazione simmetrica, un esempio: un cerchio non è registrato né x (t), né come t (x), ma come x (s), t (s).

Alcuni altri ODU del primo ordine sono ridotti agli URP, che possono essere visti durante la risoluzione dei compiti (ad esempio, in un compito).

Un altro caso importante è un codice lineare:

Metodo I. Variazione a costante.

questo è un caso speciale di un approccio più generale, che sarà considerato in parte 2. Il significato è che la ricerca di soluzioni in forma speciale riduce l'ordine dell'equazione.

Devo prima essere così chiamato. Equazione uniforme:

In virtù dell'unicità x 0, OVUNQUE X \u003d 0. In quest'ultimo caso (lascia che doni (4), fornisce tutte le soluzioni (3) 0 (incluso zero e negativo).

In formula (4) c'è una costante c1 arbitraria.

Il metodo di variazione è costante consistente nel fatto che la soluzione (3) c1 (t) \u003d c0 + è visibile (come per sistemi lineari algebrici) la struttura di Orna \u003d Chrn + OROU (su di esso in modo più dettagliato nella parte 2).

Se vogliamo risolvere l'Attività Cauchy X (T0) \u003d X0, è necessario trovare C0 dai dati Cauchy, ottenendo facilmente C0 \u003d X0.

Metodo II. Li troveremo, cioè, cioè una tale funzione V, a cui è necessario moltiplicare (3) (registrato in modo che tutti sconosciuti siano assemblati nel lato sinistro: xa (t) x \u003d b (t)) in modo che il derivato sia derivato da una combinazione confortevole.

Abbiamo: VX VAX \u003d (VX) se V \u003d AV, cioè (tale equazione, (3) è equivalente a un'equazione che è già facilmente risolta e dà (5). Se il compito di Cauchy è risolto, quindi in (6) è comodo subito prendere immediatamente un specifico integrale a Linear ODU (3) Alcuni altri sono ridotti, come si può vedere quando si risolve i problemi (ad esempio, in un compito). Il caso più importante di ODU lineare (immediatamente per qualsiasi n) sarà considerato in parte 2.

Entrambe le situazioni considerate sono un caso speciale cosiddetto. PED. Considera il primo ordine ODU (con n \u003d 1) in una forma simmetrica:

Come accennato, (7) imposta l'IR nel piano (T, X) senza chiarire quale variabile è considerata indipendente.

Se moltiplicare (7) su una funzione arbitraria M (T, X), verrà ottenuto la forma equivalente della registrazione della stessa equazione:

Quindi, la stessa cosa ha molti record simmetrici. Tra questi, viene giocato un ruolo speciale così chiamato. Le voci in differenziali completi, il nome di UPD è infruttuoso, poiché questa proprietà non è equazione, ma le forme del suo disco, cioè tale che la parte sinistra (7) è uguale a DF (T, X) con alcuni F.

È chiaro che (7) c'è un aggiornamento quindi e solo se A \u003d Ft, B \u003d FX con alcuni F. Come è noto dall'analisi, è necessario per quest'ultimo, e non giustifichiamo momenti rigorosamente tecnici, per Esempio, la levigatezza di tutte le funzioni. Il fatto è che § gioca un ruolo minore - in genere non è necessario per altre parti del corso, e non vorrei spendere sforzi eccessivi sulla sua presentazione implementata.

Pertanto, se (9) viene eseguita, quindi c'è tale f (è unico con una precisione alla costante additiva), che (7) riscrivi sotto forma di DF (T, X) \u003d 0 (lungo IC), I.e.

F (t, x) \u003d cont lungo IR, cioè l'essenza IR della linea di livello della funzione F. Otteniamo che l'integrazione del UPD è un compito banale, poiché la ricerca F da A e B soddisfacente (9) non lo è difficile. Se (9) non è soddisfatto, dovrebbe essere trovato così chiamato. È m (t, x) tale che (8) è l'aggiornamento, per il quale è necessario e sufficiente per eseguire analogico (9), che prende il modulo:

Come segue dalla teoria dell'UC del primo ordine (che consideriamo nella parte 3), l'equazione (10) ha sempre una soluzione, in modo che esistano. Pertanto, qualsiasi equazione formale (7) ha una voce sotto forma di UPD e quindi consente l'integrazione "esplicita". Ma questi argomenti non danno un metodo costruttivo nel caso generale, poiché risolvere (10) in generale, è necessario trovare una soluzione (7), che stiamo cercando. Tuttavia, ci sono una serie di tecniche di ricerca per loro, che sono tradizionalmente considerate in formazione pratica (vedi ad esempio).

Si noti che le tecniche di cui sopra per la decisione dell'URP e ODU lineare sono un caso speciale di ideologia.

Infatti, URP DX / DT \u003d A (T) B (X), registrato in una forma simmetrica DX \u003d A (T) B (X) DT, viene risolto moltiplicando ad esso 1 / B (x), dal momento che dopo questo Si trasforma in DX / B (X) \u003d A (T) DT, ecc. DB (X) \u003d DA (T). Equazione lineare DX / DT \u003d A (T) X + B (T) registrata in un modulo simmetrico DX A (T) XDT B (T) DT è risolto moltiplicando a loro, quasi tutti i metodi di risoluzione dell'ODU "esplicitamente"

(Ad eccezione di un grande blocco associato ai sistemi lineari), è che con l'aiuto di metodi speciali per abbassare le variabili di ordine e sostituzione, sono ridotti al primo ordine, che vengono quindi ridotti a UPD e sono Risolto con l'uso del teorema del calcolo differenziale principale: DF \u003d 0 f \u003d const. La questione di una diminuzione dell'ordine è tradizionalmente inclusa nel corso della formazione pratica (vedere ad esempio).

Diciamo alcune parole sul primo ordine del primo ordine, non consentito rispetto al derivato:

Come menzionato nel § 1, è possibile provare a risolvere (11) relativi a X e ottenere una forma normale, ma non è sempre appropriato. Spesso è più conveniente risolvere (11) direttamente.

Considera lo spazio ((t, x, p)), dove p \u003d x è temporaneamente considerato come una variabile indipendente. Quindi (11) definisce la superficie in questo spazio (f (t, x, p) \u003d 0), che può essere scritto parametricamente:

È utile ricordare cosa significa, ad esempio, con l'aiuto di una sfera in R3.

Le soluzioni desiderate corrispondono alle curve su questa superficie: t \u003d s, x \u003d x (s), p \u003d x (s) - un grado di libertà è perso perché c'è una connessione DX \u003d PDT su soluzioni. Scriviamo questo link in termini di parametri sulla superficie (12): GU DU + GV DV \u003d H (Fudu + FV DV), I.e.

Pertanto, le soluzioni desiderate corrispondono alle curve sulla superficie (12), in cui i parametri sono collegati dall'equazione (13). Quest'ultimo è in forma simmetrica che può essere risolta.

Caso I. Se in qualche area (GU HFU) \u003d 0, quindi (12) quindi T \u003d F (((V), V), X \u003d G ((V), V) fornisce una registrazione parametrica delle curve desiderate nel Aereo ((t, x)) (cioè proiettamo su questo piano, dal momento che non abbiamo bisogno).

Caso II. Allo stesso modo, se (GV HFV) \u003d 0.

Caso III. A alcuni punti allo stesso tempo, GU HFU \u003d GV HFV \u003d 0. Richiede un'analisi separata, sia che si tratti di molte soluzioni (vengono quindi chiamate speciali).

Esempio. Equazione CLEDO X \u003d TX + X 2. Abbiamo:

x \u003d TP + P2. Parametrizzare questa superficie: t \u003d u, p \u003d v, x \u003d uv + v 2. equazione (13) prenderà il modulo (U + 2V) DV \u003d 0.

Caso I. Non implementato.

Caso II. U + 2v \u003d 0, quindi dv \u003d 0, I.e. v \u003d c \u003d const.

Quindi, t \u003d u, x \u003d cu + c 2 - registrazione IR parametrica IR.

Brucia facilmente in una forma chiara x \u003d ct + c 2.

Caso III. U + 2v \u003d 0, I.e. v \u003d u / 2. Quindi, t \u003d u, x \u003d u2 / 4 - il record parametrico del "candidato in IR".

Per verificare se è un IR, lo scriviamo esplicitamente X \u003d T2 / 4. È risultato che questa è una decisione (speciale).

L'esercizio. Dimostra che una soluzione speciale riguarda tutti gli altri.

Questo è un fatto comune - il programma di qualsiasi soluzione speciale è la busta della famiglia di tutte le altre soluzioni. Questo è basato su un'altra definizione di una soluzione speciale precisamente come busta (vedere).

L'esercizio. Per dimostrare che per un Clero Equation più generale X \u003d TX (x) con una funzione convessa, una particolare soluzione è visualizzata x \u003d (t), dove - la conversione della corrente da, IE \u003d () 1 o (T) \u003d max (TV (TV)). Allo stesso modo, per l'equazione x \u003d tx + (x).

Commento. Leggi di più e accuratamente il contenuto § 3 è impostato nel libro di testo.

Commento per l'insegnante. Quando si legge il corso delle lezioni, può essere utile espandere il § 3, dandogli una forma più rigorosa.

Ora torna alla tela principale del corso, continuando la presentazione iniziata nel §§§§.

§ 4. Solvibilità globale del problema di Cauchy nel § 2 Abbiamo dimostrato l'esistenza locale della soluzione del problema di Cauchy, cioè solo ad un certo intervallo contenente un punto T0.

Con alcune supplementari su F, abbiamo anche dimostrato l'unicità della soluzione, comprendendola come una coincidenza di due soluzioni definite nello stesso intervallo. Se F è lineare da X, si ottiene un'esistenza globale, cioè in tutto l'intervallo, dove i coefficienti dell'equazione (sistema) sono determinati e continui. Tuttavia, come tentativo di utilizzare al sistema lineare della teoria generale mostra, l'intervallo di raccolta di peano è generalmente inferiore a cui è possibile costruire la soluzione. Domande naturali sorgono:

1. Come determinare l'intervallo massimo su cui deve essere approvata la soluzione (1)?

2. Questo intervallo coincide sempre con il massimo su cui la parte giusta (1) 1 ha senso?

3. Come formulare ordinatamente il concetto dell'unicità della soluzione senza prenotazioni sull'intervallo della sua definizione?

La risposta alla domanda 2 in genere parlava negativa (o piuttosto richiede grande precisione), afferma il seguente esempio. x \u003d x2, x (0) \u003d x0. Se x0 \u003d 0, quindi x 0 - non ci sono altre soluzioni sul teorema degli osgoo. Se x0 \u003d 0, allora decidiamo di fare una foto). L'intervallo dell'esistenza della soluzione non può essere maggiore di (1 / x0) o (1 / x0, +), rispettivamente, con X0 0 e X0 0 (il secondo ramo degli iperboles non è correlato alla soluzione! - Questo è un errore tipico dello studente). A prima vista, niente nel compito iniziale "non ha previsto un risultato del genere". Nel § 4 troveremo una spiegazione per questo fenomeno.

Nell'esempio dell'equazione X \u003d T2 + X2, si manifesta un errore tipico degli studenti sull'intervallo della soluzione. Qui il fatto che la "equazione sia dappertutto è definita" non è affatto comporti la continuità della decisione sull'intera diretta. Questo è chiaro anche da un punto di vista puramente quotidiano, ad esempio, in relazione alle leggi e ai processi giuridici che si sviluppano sotto di loro: l'enalizzazione della legge è chiaramente non prescritto la cessazione dell'esistenza di una società nel 2015, non significa questo La società non andrà a regole per quest'anno. Per motivi interni (anche se in vigore all'interno della legge).

Per rispondere alle domande 1-3 (e persino per formularli chiaramente), è necessario il concetto di una soluzione breve. Lo faremo (come abbiamo concordato sopra) considera le soluzioni di equazione (1) 1 come coppia (, (TL (), TR ())).

Definizione. Soluzione (, (TL (TL (), TR ())) Esiste una continuazione della soluzione (, (TL (), TR ())), se (TL (), TR ()) (TL (), TR ( )), e | (TL (), TR ()) \u003d.

Definizione. Soluzione (, (TL (TL (), TR ())) - Breve, se non ha non banale (I.e. Oltre ad esso) continuazione. (Vedi esempio sopra).

È chiaro che è NR che è un valore particolare, e nei loro termini è necessario dimostrare l'esistenza e l'unicità. C'è una domanda naturale - posso costruire HP, sulla base di una decisione locale, o sul compito di Cauchy? Si scopre sì. Per capire questo, introduciamo i concetti:

Definizione. Un set di soluzioni ((, ((TL (), TR ()))))) è coerente se alcune soluzioni da questo set coincidono all'incrocio degli intervalli della loro definizione.

Definizione. Un insieme coerente di soluzioni è chiamato massimo, se non si può aggiungere un'altra soluzione a ciò, in modo che il nuovo set sia coerente e contenesse nuovi punti nella combinazione delle aree di definizione delle soluzioni.

È chiaro che la costruzione del MNN è equivalente a costruire HP, vale a dire:

1. Se c'è HP, quindi qualsiasi MNN, che è contenente, può essere solo un insieme dei suoi restringimenti.

L'esercizio. Dai un'occhiata.

2. Se c'è un MNN, allora HP (, (T, T +)) è costruito come:

put (t) \u003d (t), dove - qualsiasi elemento enn definito a questo punto. Ovviamente, tale funzione sarà definita in modo univoco su tutto (T, T +) (UNABIGIUIUITÀ deriva dalla consistenza del set), e coincide ad ogni punto con tutti gli elementi ENN definiti a questo punto. Per qualsiasi T (T, T +) c'è qualche tipo di definito in esso, e quindi nei suoi dintorni, e così via. In questo quartiere c'è una soluzione (1) 1, quindi anche. Quindi, c'è una soluzione (1) 1 su tutto (t, t +). È breve, poiché, altrimenti, la continuazione non circiale potrebbe essere aggiunta al MNN contrario alla sua massimaità.

Costruire il problema del MNH (1) Nel caso generale (nelle condizioni del teorema di Peano), quando non ci sono unicità locali, è possibile (vedi,), ma piuttosto ingombrante - è basato sull'uso passo-passo di il teorema di Peano con una stima del fondo dell'intervallo-continuazione. Quindi, l'HP esiste sempre. Lo giustifichiamo solo nel caso in cui vi è un'unicità locale, allora la costruzione del MNN (e quindi HP) è banale. Ad esempio, per la definizione, agiremo all'interno del quadro del TC-P.

Teorema. Lasciare che le condizioni TK-P nella regione B rn + 1 siano eseguite. Quindi per qualsiasi (T0, X0) B, il problema (1) ha un singolo hp.

Prova. Considera il set di tutte le soluzioni di problema (1) (non è vuoto da TK-P). Forma il MNN - coerente a causa dell'unicità locale, e il massimo dovuto al fatto che questo è un sacco di tutte le soluzioni del problema di Cauchy. Quindi esiste HP. È l'unico per l'unicità locale.

Se si desidera creare HP sulla base della decisione locale esistente (1) 1 (e non il compito del Cauchy), questo problema nel caso dell'unicità locale è ridotta al compito di Cauchy: è necessario scegliere qualsiasi punto sul Disponibile IR e considera il compito di Cauchy corrispondente. HP di questo compito sarà una continuazione della soluzione iniziale dovuta all'unicità. Se non vi è alcuna unicità, la continuazione di una determinata soluzione viene eseguita dalla procedura specificata sopra.

Commento. HP non può essere dedicato alle estremità dell'intervallo della sua esistenza (indipendentemente dalla condizione dell'unicità) in modo che sia una soluzione e nei punti terminali. Per giustificare, è necessario chiarire tale comprensione sotto la decisione dell'ODU alle estremità del segmento:

1. Approccio 1. Lasciare sotto la decisione (1) 1 sul segmento è inteso come una funzione che soddisfi l'equazione nelle estremità nel senso di derivato unilaterale. Quindi la possibilità del formato specificato di qualche soluzione, ad esempio, all'estremità destra dell'intervallo della sua esistenza (T, T +] significa che IR ha un punto finale all'interno di B e C 1 (T, T +]. Ma poi decidere il compito Cauchy X (T +). \u003d (T +) per (1) e trovando la sua soluzione, otteniamo, per la fine destra T + (al punto T + entrambi i derivati \u200b\u200bunilaterali esistono e sono uguali a f ( T +, (T +)), il che significa che c'è un derivato comune), cioè non è stato HP.

2. Approccio 2. Se sotto la soluzione (1) 1 sul segmento è inteso come una funzione, solo continuo alle estremità, ma tale che le estremità dell'IR sono sdraiate in B (anche se l'equazione non è richiesta) - Risulta lo stesso ragionamento solo in termini di equazione integrale corrispondente (vedere i dettagli).

Pertanto, immediatamente limitato ad intervalli aperti come serie di definizione di soluzioni, non abbiamo violato la Comunità (e evitava solo il Vene inutile con derivati \u200b\u200bunilaterali, ecc.).

Di conseguenza, abbiamo risposto alla domanda 3, consegnata all'inizio del § 4: quando si eseguono la condizione di unicità (ad esempio, osgrood o cauchy-picara), l'unicità di HP che risolve il problema di Cauchy ha luogo. Se la condizione dell'unicità è rotta, potrebbe esserci un sacco di task HP Cauchy, ciascuno con il suo intervallo di esistenza. Qualsiasi soluzione (1) (o semplicemente (1) 1) può essere continuata a HP.

Per rispondere alle domande 1.2, è necessario considerare non la variabile T separatamente, ma il comportamento dell'IC nello spazio RN + 1. Sulla questione di quanto si comporteremo IR "vicino alle estremità", noteremo che l'intervallo di esistenza è termina e IR potrebbe non avere loro (la fine dell'IR in B non esiste sempre - vedere l'osservazione sopra, ma potrebbe non esistere B - Vedi sotto).

Teorema. (A proposito di lasciare il compatto).

lo formulamo in condizioni di unicità locale, ma questo non è necessariamente - vedere, TPK è formulato come criterio di HP.

Nelle condizioni del TC-P, un grafico di qualsiasi equazione HP (1) 1 lascia qualsiasi compatto K B, cioè, K B (T, T +): (t, (t)) k con t.

Esempio. K \u003d (((t, x) b | ((t, x), b)).

Commento. Pertanto, l'IR NR vicino a T ± si avvicina B: ((t, (t)), b) 0 a T T ± - il processo di continuare la soluzione non può sfondare rigorosamente all'interno di B.

positivamente, qui come esercizio è utile dimostrare la positività tra i set multipli chiusi non distrutti, uno dei quali è un compatto.

Prova. Fix K B. Prendi 0 (0, (K, B)). Se B \u003d rn + 1, quindi per definizione consideriamo (k, b) \u003d +. Il set k1 \u003d (((t, x) | (((t, x), k) 0/2) C'è anche un compatto in B, quindi c'è un f \u003d max | f |. Scegli i numeri T e R Dok sono costantemente piccoli in modo che qualsiasi cilindro del modulo, ad esempio, è sufficiente per prendere T 2 + R2 2/4. Quindi il compito del tipo Cauchy ha una soluzione sulla soluzione TC-P sull'intervallo non già di (T T0, T + T0), dove T0 \u003d min (T, R / F) per tutti (T, X) K .

Ora come un segmento desiderato può essere preso \u003d. In effetti, è necessario dimostrare che se (t, (t)) k, quindi t + t0 t + t0. Mostreremo, ad esempio, la seconda disuguaglianza. La soluzione del problema di Cauchy (2) con X \u003d (T) esiste a destra almeno al punto T + T0, ma l'HP dello stesso problema, che in vista dell'unicità c'è una continuazione, quindi T + T0 T +.

Pertanto, il grafico HP sempre "raggiunge B", in modo che l'intervallo dell'esistenza di HP dipenda dalla geometria dell'IR.

Per esempio:

Dichiarazione. Sia b \u003d (a, b) rn (l'intervallo finito o infinito), F soddisfa le condizioni del TK-P in B, è il problema HP (1) con T0 (A, B). Quindi T + \u003d B, o | (t) | + AT T T + (e simile a T).

Prova. Quindi, lascia T + B, allora T + +.

Considerare la compatta K \u003d B B. Con qualsiasi R + secondo il TPK, c'è (R) T + in modo tale da T (((((R), T +) (t, (t)) K. Ma da quando T +, quindi è possibile solo per il conto | (T) | R. Ma significa | (t) | + AT T T +.

In questo caso particolare, vediamo che se F è definito "con tutte le x", l'intervallo dell'esistenza NR potrebbe essere inferiore al massimo possibile (A, B) solo a causa del desiderio di HP dall'approccio alle estremità di L'intervallo (T, T +) (in caso generale - al confine B).

L'esercizio. Riassumere l'ultima dichiarazione nel caso in cui B \u003d (A, B), dove RN è un'area arbitraria.

Commento. È necessario capire che | (t) | + non significa alcun k (t).

Pertanto, abbiamo risposto alla domanda 2 (cfr. Esempio all'inizio § 4): IR arriva a B, ma la sua proiezione sull'asse T potrebbe non raggiungere le estremità della proiezione B sull'asse T. La domanda rimane 1 - ci sono segni per i quali, senza risolvere ODU, può essere giudicato sulla possibilità di continuare la decisione sulla "vasta gamma di intervalli"? Sappiamo che per ODU lineare, questa continuazione è sempre possibile, e nell'esempio all'inizio del § 4 è impossibile.

Considera prima di illustrare il caso speciale dell'URP a N \u003d 1:

la convergenza dell'integrabile integrale H (s) DS (incompatibile in vista \u003d + o dovuto alle funzionalità H al punto) non dipende dalla scelta (,). Pertanto, scriviamo solo h (s) DS quando si tratta di convergenza o divergenza di questo integrale.

questo potrebbe essere fatto già nel teorema di Osguda e nelle associazioni associate.

Dichiarazione. Lascia che un c (,), b c (, +) sia positivo ai loro intervalli. Lascia che il problema di Cauchy (dove T0 (,), x0) abbia HP X \u003d X (T) sull'intervallo (T, T +) (,). Poi:

Corollario. Se A \u003d 1, \u003d +, quindi T + \u003d + Proof. (Approvazione). Si noti che X aumenta monotonicamente.

L'esercizio. Dimostrare.

Pertanto, ci sono x (T +) \u003d Lim x (T) +. Abbiamo un caso 1. T +, X (T +) + è impossibile su TPK, poiché x è HP.

Entrambi integrali o finiti o infiniti.

L'esercizio. Finire la prova.

Motivazione per l'insegnante. Alla fine, otteniamo ciò nel caso di 3: A (s) ds +, e nel caso di 4 (se è generalmente implementato) lo stesso.

Pertanto, per il più semplice ODU a N \u003d 1 della specie x \u003d f (x), la continuità delle soluzioni è determinata in modo più dettagliato sulla struttura delle soluzioni come (il cosiddetto.

le equazioni autonome) vedono la parte 3.

Esempio. Per f (x) \u003d x, 1 (in particolare, il caso lineare \u003d 1) e f (x) \u003d x ln x, è possibile garantire la continuità delle soluzioni (positive) a +. Per f (x) \u003d x e f (x) \u003d x ln x, con 1 soluzioni, "distrutto dall'ora finale".

In generale, la situazione è determinata da molti fattori e non è così semplice, ma l'importanza del "tasso di crescita F per X rimane l'importanza. Per N 1, formulare i criteri per la continuazione è difficile, ma esistono condizioni sufficienti. Di norma, hanno confermato con l'aiuto del cosiddetto. a priori valutazioni di soluzioni.

Definizione. Sia h c (), h 0. Si dice che per soluzioni di alcuni strane, c'è un AO | X (T) | h (t) on (,), se una soluzione di questo ode soddisfa questa stima da parte dell'intervallo (,), dove è determinata (cioè non si presume che le soluzioni siano necessariamente definite in tutto l'intervallo (,) ).

Ma si scopre che la disponibilità di AO garantisce che le soluzioni saranno ancora definite su tutti () (e pertanto soddisfano la valutazione in tutto l'intervallo), quindi la valutazione a priori si trasforma in un posteriori:

Teorema. Lascia che il problema di Cauchy (1) soddisfi le condizioni di TK-P e per le sue soluzioni c'è un AO sull'intervallo () con alcuni hc (,) e il cilindro curvilineo (| x | h (t), t ( ,)) B. Quindi HP (1) è definito su tutti (,) (e quindi soddisfa il JSC).

Prova. Dimostriamo che T + (T è simile). Supponiamo T +. Considera il compatto k \u003d (| x | h (t), t) b. Secondo TPK a T T +, il punto del grafico (t, x (t)) lascia k, che è impossibile a causa del JSC.

Pertanto, a prova la continuità della soluzione per un certo intervallo, è sufficiente apprezzare formalmente la soluzione sull'intero intervallo richiesto.

Analogia: la misurabilità della funzione Leb e la valutazione formale dell'entità integrale dell'esistenza effettiva dell'integrale.

Diamo alcuni esempi di situazioni in quanto questa logica funziona. Iniziamo con l'illustrazione della tesi sopra menzionata sulla "crescita f da x abbastanza lenta".

Dichiarazione. Let B \u003d (,) rn, f soddisfa le condizioni del TK-P in B, | f (t, x) | A (T) B (| x |), dove A e B soddisfano le condizioni della precedente approvazione c \u003d 0, e \u003d +. Quindi il problema HP (1) esiste su (,) a tutti T0 (,), X0 RN.

Lemma. Se continuo, (T0) (T0); Con la prova T T. Si noti che nei dintorni (T0, T0 +): IF (T0) (T0), allora questo è immediatamente ovvio, e in realtà (se (T0) \u003d (T0) \u003d 0) avere (T0) \u003d G (T0, 0 ) (T0), che dà nuovamente richiesto.

Supponiamo ora che ci sia un T1 T0 tale che (T1). È possibile trovare un ragionamento ovvio (T1) T2 (T0, T1] tale che (T2) \u003d (T2) e On (T0, T2). Ma poi al punto T2 abbiamo \u003d, - contraddizione.

g Qualunque, e davvero hai bisogno solo, c e ovunque dove \u003d, lì. Ma per non segnare la testa, considerare come nel Lemma. Qui è strettamente disuguaglianza, ma è ODU non lineare, e c'è ancora così chiamato.

Commento per l'insegnante. Le disuguaglianze di questo tipo come in Lemma si chiama Chaplygin disuguaglianze (LF). È facile vedere che nel Lemma non c'era bisogno di unicità, in modo che tale "severo LF" sia vero e all'interno del quadro del teorema di Peano. "Non forte LF" è ovviamente sbagliato senza unicità, poiché l'uguaglianza è un caso speciale di disuguaglianza non rigorosa. Infine, il "non ictus" come parte della condizione dell'unicità è vera, ma è possibile dimostrarlo solo localmente - con l'aiuto di esso.

Prova. (Approvazione). Dimostriamo che T + \u003d (T \u003d è simile). Supponiamo T +, quindi secondo l'approvazione sopra | X (T) | + AT T T +, in modo che possa essere considerato x \u003d 0 a. Se dimostriamo JSC | X | H per) (una palla per comodità è chiusa).

The Cauchy Task X (0) \u003d 0 ha l'unico HP X \u003d 0 su R.

Indichiamo una condizione sufficiente su F, in cui l'esistenza di HP su R + può essere garantita affatto sufficientemente piccola x0 \u003d x (0). Per fare ciò, supponiamo che (4) abbia il cosiddetto. Funziona Lyapunova, cioè tale funzione v, che:

1. V C 1 (B (0, R));

2. SGNV (X) \u003d SGN | X |;

Controllare l'adempimento delle condizioni A e B:

A. Considerare il compito di Cauchy dove | X1 | R / 2. Costruiamo il cilindro B \u003d R B (0, R) è il campo di determinazione della funzione F, dove è limitato e classe C 1, in modo che ci sia f \u003d max | f |. Secondo TC-P, c'è una soluzione (5), determinata sull'intervallo (T1 T0, T1 + T0), dove T0 \u003d min (T, R / (2F)). La scelta di T sufficientemente grandi può essere raggiunta T0 \u003d R / (2F). È importante che T0 non dipenda dalla scelta (T1, X1), solo | X1 | R / 2.

B. Mentre la soluzione (5) è determinata e rimane in una palla B (0, R), possiamo eseguire il seguente ragionamento. Abbiamo:

V (x (t)) \u003d f (x (t)) · v (x (t)) 0, i.e. v (x (t)) v (x1) m (r) \u003d max v (y). È chiaro che m e m non diminuiscono, Incredi | R frivans in zero, m (0) \u003d m (0) \u003d 0 e esterno zero sono positivi. Pertanto, c'è r 0 tale che m (r) m (r / 2). Se | X1 | R, quindi v (x (t)) v (x1) m (r) m (r / 2), da dove | x (t) | R / 2. Nota che r r / 2.

Ora possiamo formulare teorema che da PP. A, B Visualizza l'esistenza globale di soluzioni (4):

Teorema. Se (4) ha una funzione Lyapunov in B (0, R), quindi su X0 B (0, R) (dove r è definita sopra) Attività HP Cauchy X (T0) \u003d X0 per il sistema (4) (con qualsiasi T0) definito a +.

Prova. In virtù di P. A, la soluzione può essere costruita su, dove T1 \u003d T0 + T0 / 2. Questa soluzione è in B (0, R) e ad esso usa il paragrafo B, in modo che | X (T1) | R / 2. Si appliciniamo di nuovo a n. A e otteniamo una soluzione su, dove T2 \u003d T1 + T0 / 2, I.e., ora la soluzione è integrata. A questa soluzione, applicare il paragrafo B e ottenere | x (T2) | R / 2, ecc. Per il numero numerabile di passaggi, otteniamo una soluzione a § 5. La dipendenza delle decisioni ODU considerare il compito di Cauchy in cui RK. Se in alcuni, T0 (), X0 (), questa attività Cauchy ha HP, allora è X (T,). La domanda sorge: come studiare dipendenza x da? Questo problema è importante per varie applicazioni (e sorgerà in particolare nella parte 3), una delle quali (anche se non è la cosa più importante) è una decisione approssimativa dell'ODU.

Esempio. Considera il compito di Cauchy. Il suo HP esiste ed è l'unico, come segue da TC-P, ma è impossibile esprimerlo nelle funzioni elementari. Come quindi per esplorare le sue proprietà? Un modo per: notare che (2) "Chiudi" al problema y \u003d y, y (0) \u003d 1, la cui soluzione è facilmente posizionata: y (t) \u003d et. Si può presumere che x (t) y (t) \u003d et. Questa idea è contabilizzata: considera il problema a \u003d 1/100 questo (2), e at \u003d 0 è un'attività per y. Se dimostriamo che x \u003d x (t,) è continuo da (in un certo senso), otteniamo quella x (t,) y (t) a 0, e questo significa x (t, 1/100) y (t ) \u003d Et.

Vero, non è chiaro come chiudere X a Y, ma la prova della continuità del software X è il primo passo necessario senza la quale è impossibile promuovere ulteriormente.

Allo stesso modo, è utile e studio in base ai parametri nei dati iniziali. Come vedremo in seguito, questa dipendenza riduce facilmente al parametro sul parametro nella parte destra dell'equazione, così che ancora limitiamo al compito della forma sia FC (D), dove D è la regione in Rn + K + 1; F lipszytseva da x in qualsiasi convesso su x compatto da D (ad esempio, c (D)). FIX (T0, X0). Denna m \u003d rk | (T0, X0,) D è una pluralità di ammissibile (in cui il compito (4) ha senso). Si noti che m è aperto. Assumeremo che (T0, X0) venga scelto in modo che m \u003d. Secondo TK-P, per ogni m, v'è un unico problema NR (4) - la funzione x \u003d (t,), determinato intervallo T (T (), T + ()).

Parlando rigorosamente, perché dipende da molte variabili, è necessario registrare (4) quindi:

dove (5) 1 viene realizzata su l'insieme G \u003d ((t,) | m, t (t (), t + ())). Tuttavia, la differenza tra le icone D / DT e / T è puramente psicologica (il loro uso dipende dallo stesso concetto psicologico di "fissaggio"). Così, l'insieme G è una definizione massima naturale impostato della funzione, e la questione della continuità dovrebbe essere studiata su G.

Avremo bisogno di un risultato ausiliario:

Lemma. (Holonolla). Sia la funzione C, 0, soddisfa la stima per tutti T. Poi, a tutti, l'osservazione è vera per l'insegnante. Quando si legge una lezione, non puoi ricordare questa formula in anticipo, ma lasciare un posto e dopo l'uscita per entrare.

Ma poi mantieni questa formula in vista, poiché sarà necessario in tonnellata.

h \u003d A + B AH + B, da dove si ottiene il desiderato.

Il significato di questo lemma: equazione differenziale e disuguaglianza, la relazione tra loro, l'equazione integrale e la disuguaglianza, la relazione tra di loro da parte di tutti, il lemma differenziale e integrale del Gronoull e della relazione tra loro.

Commento. È possibile dimostrare questo lemma e con le ipotesi più generali circa, A e B, ma non è necessario per noi ancora, e sarà fatto nel corso UMF (così è facile vedere che non abbiamo usato la continuità A e B , eccetera.).

Ora siamo pronti a formulare chiaramente il risultato:

Teorema. (Tons) Con le ipotesi di F e nella notazione dell'introdotto sopra può essere sostenuto che G è aperto, e c (G).

Commento. È chiaro che il set m è generalmente non connesso, in modo che G potrebbe non essere collegato.

Commento per l'insegnante. Tuttavia, se fossimo inclusi (T0, X0) nel numero di parametri, la connettività sarebbe così fatta in.

Prova. Let (T,) G. È necessario dimostrare che:

Supponiamo per la definizione T T0. Abbiamo: M, in modo che (T,) sia definito da (t (T), t + ()) t, t0, e quindi su un qualche segmento tale che T Dot (T, (T,),) eseguire la curva compatta D (iperpiano parallelo (\u003d 0)). Quindi, un sacco di definizione di tipo deve tenere costantemente davanti ai tuoi occhi!

inoltre c'è un compatto in D con A e B sufficientemente ridotto (convex da x), in modo che la funzione f lipshitsev sia su x:

[Questa valutazione deve essere mantenuta davanti agli occhi costantemente! ] E in modo uniforme continuo su tutte le variabili, e ancor di più | f (t, x, 1) f (t, x, 2) | (| 12 |), (t, x, 1), (t, x, 2).

[Questa valutazione deve essere mantenuta davanti agli occhi costantemente! ] Considera arbitrario 1 tale che | 1 | BI La soluzione corrispondente (T, 1). Il set (\u003d 1) è un compatto in D (\u003d 1), a T \u003d T0, il punto (T, (T, 1), 1) \u003d (T0, X0, 1) \u003d (T0, (T0, ), 1) (\u003d 1), e secondo TPK a T T + (1), il punto (T, (T, 1), 1) fogli (\u003d 1). Lascia che T2 T0 sia (T2 T + (1)) sia il primo valore in cui il punto detto si accende.

. Per costruzione, T2 (T0, T1] Il nostro compito sarà dimostrare che T2 \u003d T1 con ulteriori restrizioni Lasciate ora T3 hanno (con tutte queste T3, tutti i valori sono utilizzati ulteriormente definiti da costruzione)..:

(T3, 1) (T3,) \u003d f (t, (t, 1), 1) f (t, (t,),) dt, proviamo a dimostrare che questo valore è inferiore a un.

dove è la funzione integrata valutata come segue:

± F (t, (t,),), e non ± f (t, (t,),),), perché sulla differenza | (T, 1) (T,) | Non c'è alcuna valutazione per ora, quindi (t, (t, 1),) non è chiaro, ma per | 1 | Ci sono, e (t, (t,), 1) è noto.

quindi alla fine | (T3, 1) (T3,) | K | (T, 1) (T,) | + (| 1 |) DT.

Quindi, la funzione (T3) \u003d | (T3, 1) (T3,) | (Questa è una funzione continua) soddisfa le condizioni del lemma di gronolo con un (s) k 0, b (s) (| 1 |), t \u003d t2, \u003d 0, quindi andiamo lungo questo lemma [questa valutazione di cui hai bisogno tenere davanti ai tuoi occhi! ] Se prendi | 1 | 1 (T1). Assumiamo che 1 (T1) b. Tutti i nostri argomenti sono vere per tutti T3.

Quindi, con una tale scelta 1, quando T3 \u003d T2, però | (T2, 1) (T2,) | A, così come | 1 | b. Quindi, (T2, (T2, 1), 1) è possibile solo per il fatto che T2 \u003d T1. Ma questo in particolare significa che (T, 1) è definito su tutto il segmento, cioè T1 T + (1) e tutti i punti del modulo (T, 1) G, se T, | 1 | 1 (T1).

Cioè, anche se T + dipende, ma il segmento rimane la partita T + () con, strettamente vicino al. La figura è simile a T t0, viene mostrato l'esistenza di numeri T4 T0 e 2 (T4). Se T T0, quindi il punto (T,) B (, 1) G è simile al T T0, e se T \u003d T0, entrambi i casi sono applicabili, quindi (T0,) B (, 3) G, dove 3 \u003d min (12). È importante che con un fisso (T,) si possa trovare T1 (T) in modo tale da T1 T 0 (o rispettivamente T4) e 1 (T1) \u003d 1 (T,) 0 (o rispettivamente 2), quindi scegliendo 0 \u003d 0 (t,) è chiaro (t. Per. Nel quartiere cilindrica risultante è possibile inserire la palla).

infatti, è stata dimostrata una proprietà più sottile: se HP è determinato su un determinato segmento, quindi definisce tutti gli HP con parametri sufficientemente vicini (I.e.

tutto il piccolo HP indignato). Tuttavia, al contrario, questa struttura consegue l'apertura G, come verrà illustrato di seguito, quindi queste sono dicitura equivalente.

Quindi, abbiamo dimostrato di essere 1.

Se siamo nel cilindro specificato nello spazio, la valutazione è vera | 1 | 4 (, t,). Allo stesso tempo | (T3,) (T,) | A | T3 T | 5 (, t) a causa della continuità entro t. Di conseguenza, a (t3, 1) b ((t,),) abbiamo | (t3, 1) (t,) |, dove \u003d min (4, 5). Questo è il paragrafo 2.

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Kudryashov. ISBN 978-5-7262-1400-9 © National Research Nuclear University "MiII", 2011 Sommario Prefazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 I. Introduzione alla teoria delle equazioni differenziali ordinarie concetti di base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 6 11 II. L'esistenza e l'unicità della soluzione del problema di Cauchy per la prima equazione dell'ordine è teorema dell'unicità per il primo ordine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Risolvere la soluzione del problema di Cauchy per il primo ordine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Continua la soluzione per il primo ordine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III. Compito di Cauchy per i normali concetti di base del sistema di ordine n-th e alcune proprietà ausiliarie della funzione vettoriale. . . . Identità di risolvere il problema di Cauchy per il normale sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; . Il concetto di spazio metrico. PRISIYPE DELL'ESPARTAMENTO DI SQUINAMENTO. . . . . . Teori del problema e l'unicità della soluzione del problema di Cauchy per i sistemi normali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 14 23 34 38 34 43 44 48 IV. Alcune classi di equazioni differenziali ordinarie risolte nell'equazione delle quadrature con variabili di separazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Primo ordine lineare. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Equazioni uniformi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Equazione Áernlli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Equazione in completi rivenditori differenziati. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 55 58 63 64 65 V. 67 Le equazioni del primo ordine non consentite relative al derivato del problema del problema e l'unicità della soluzione dell'Oäu, non consentita relativa al derivato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soluzione speciale Curva Ächrimnant. Invidiarsi. . . . . . . . . . . . . . . . Il parametro dell'amministrazione dei parametri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Equazione di lagrana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Equazione di Clairo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vi. Concetti di base dei sistemi di Ode lineare. Teorema del problema e l'unicità di risolvere il problema Sistemi omogenei di Oäu lineare. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Il determinante è ârnoyy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soluzioni complesse per un sistema omogeneo. Transizione al CCR essenziale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I sistemi sistemi sistemi di Oäu lineare. Ìtode Variaii costante. . . . . Sistemi uniformi di Oäu lineare con Cobfinger costante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funzione indicativa dalla matriana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 67 70 77 79 81 85 Cauchy 85. . . 87. . . 91. . . . . . 96 97. . . 100. . . 111 I sistemi sistemi sistemi di Oäu lineare con cuobing costante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 VII. ADU adu ordinaria lineare è ridotto al sistema lineare Oäu. Teorema del problema e l'unicità della soluzione del problema di Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ordine alto lineare uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Proprietà di soluzioni complesse di un ordine alto lineare omogeneo. Transizione dal complesso CPC all'essenziale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fondazione lineare linearie lineari. Ìtode Variaii costante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soluzioni ad alto livello lineare uniforme con cobftpinger costante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Questo è un lineare lineare ad alto livello con un co-effetto costante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 VIII. Teoria della stabilità I concetti di base e le definizioni relative alla sostenibilità. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stabilità delle soluzioni del sistema lineare. . . . . . Oregioso Lyapunov sulla stabilità. . . . . . . . . . Stabilità in base alla prima approssimazione. . . . . . . Il comportamento delle traiettorie di fase vicino al punto di riposo 162. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 128 136 139 142 150 162 168 172 182 187 IX. I primi integrali dei sistemi ODU 1988 i primi integrali di sistemi autonomi di diverse equazioni delicale diverse198 i sistemi autonomi dell'Oäu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 Sistemi di record simmetrici Oäu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 X. Equazioni in derivati \u200b\u200bprivati \u200b\u200bdel primo ordine Equazioni lineari uniformi nei derivati \u200b\u200bprivati \u200b\u200bdel primo ordine del Cauchy ç per un'equazione lineare nei derivati \u200b\u200bprivati \u200b\u200bdel primo ordine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Equazioni quasilinear in derivati \u200b\u200bprivati \u200b\u200bdi primo ordine. . . . Cauchy ha un'equazione quasilineare nei derivati \u200b\u200bprivati \u200b\u200bdel primo ordine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bibliografia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -4- 210. . . . . 210. . . . . 212. . . . . 216. . . . . 223. . . . . 227 Prefazione Quando si prepara il libro, gli autori erano finalizzati a valutare in un'unica posizione e informazioni sulla maggior parte delle questioni relative alla teoria delle equazioni differenziali ordinarie in una forma conveniente. Pertanto, oltre al materiale incluso nel programma obbligatorio del corso delle normali equazioni differenziali lettura in NIII (e in altre università), l'indennità comprende ulteriori domande per le quali, di norma, non c'è abbastanza tempo alle lezioni, ma che sarà utile per una migliore comprensione. Soggetti e verranno forniti studenti attuali nelle loro ulteriori attività professionali. Tutte le dichiarazioni di benefici proposti sono prove matematicamente rigide. Queste prove sono di solito non originali, ma tutti vengono ridisegnati in conformità con lo stile della presentazione dei corsi matematici nel Mefo. Secondo diffuso tra insegnanti e scienziati, le discipline matematiche dovrebbero essere studiate con prove piene e dettagliate, spostandosi gradualmente da semplici a complessi. Gli autori di questo manuale aderiscono alla stessa opinione. Le informazioni teoriche citate nel libro sono supportate dall'analisi di un numero sufficiente di esempi che, come speriamo, semplificare il lettore per studiare il materiale. Il manuale è rivolto agli studenti delle università con una maggiore preparazione matematica, prima di tutto, studenti di Niya Mepi. Allo stesso tempo, sarà anche utile per tutti coloro che sono interessati alla teoria delle equazioni differenziali e utilizza questa sezione della matematica nel suo lavoro. -5- Capitolo I. Introduzione alla teoria delle normali equazioni differenziali 1. 1. Concetti di base ovunque nel manuale attraverso Ha, BI sarà denotato da qualsiasi set (A, B) ,, (A, B], noi Ottenere X0 2 ZX LN 4C + 3 U (T) V (T) DT5 ZX V (T) DT. LN C 6 x0 x0 Dopo il potenziamento dell'ultima disuguaglianza e uso (2.3), abbiamo 2 x 3 ZX ZU ( x) 6 c + u (t) v (t) DT 6 c EXP 4 V (T) DT5 X0 X0 a tutti x 2 [1, 1]. Stimiamo la differenza JF (x, y2) f (x, y1 ) j \u003d peccato x y1 y2 6 a tutti (x, y) 2 g. Quindi, F soddisfa la condizione di Lipschitz con L \u003d 1 infatti, anche con l \u003d peccato 1 lungo y. Tuttavia, il derivato FY0 nei punti ( x, 0) 6 \u003d (0, 0) non esiste nemmeno. Il teorema seguente, un interessante in sé, consentirà di dimostrare l'unicità della soluzione del problema di Cauchy. Teorema 2. 1 (sulla valutazione della differenza tra due soluzioni). Let g regione 2 in r, e f (x, y) 2 cg e soddisfatte nella condizione G Lipschitz y con costante L. Se Y1, Y2 due soluzioni dell'equazione y 0 \u003d f (x, y ) Sul segmento, quindi è giusto disuguaglianza (valutazione): JY2 (X) Y1 (X) J 6 JY2 (X0) Y1 (x0) j exp l (x x0) 6 y1 a tutti x 2. -19- Y2 Proof. Per definizione 2. 2 soluzioni di equazione (2.1) otteniamo che 8 x 2 punti x, y1 (x) e x, y2 (x) 2 g. Per tutti i T 2, abbiamo uguaglianza fedele Y10 (T) \u003d ft, Y1 (t) e y20 (t) \u003d ft, y2 (t), che integrano con T sul segmento, dove x 2. L'integrazione è legale, poiché le parti giuste e sinistra sono continue su funzioni. Otteniamo il sistema di uguaglianza ZX Y1 (X) Y1 (X0) \u003d X0 ZX Y2 (X) Y2 (X0) \u003d F T, Y1 (T) DT, F T, Y2 (T) DT. X0 sottraendo uno degli altri, abbiamo jy1 (x) y2 (x) j \u003d y1 (x0) y2 (x0) + zx hft, y1 (t) Ift, y2 (t) dt 6 x0 zx 6 y1 (x0) Y2 (x0) + ft, y1 (t) ft, y2 (t) dt 6 x0 zx 6 y1 (x0) y2 (x0) + l y1 (t) y2 (t) dt. X0 Denna da c \u003d y1 (x0) y2 (x0)\u003e 0, v (t) \u003d l\u003e 0, u (t) \u003d y1 (t) Quindi, nella disuguaglianza di Hronolla-áellman, otteniamo un rating: JY2 (X) Y1 (x) J 6 JY2 (X0) Y1 (X0) J EXP L (X X0) Y2 (T)\u003e 0. Per tutti x 2. Il teorema è dimostrato. Come conseguenza di un teorema comprovato, otteniamo il teorema dell'unicità della soluzione del problema di Cauchy (2. 1), (2.2). Alternativo 1. Lasciare la funzione f (x, y) 2 cg e soddisfa le condizioni di Lipschitz in Y e le funzioni di Y1 (X) e Y2 (X), le due soluzioni di equazione (2.1) sullo stesso segmento, e X0 2. Se Y1 (X0) \u003d Y2 (X0), quindi y1 (x) y2 (x) acceso. Prova. Considera due casi. -20- 1. Lascia x\u003e x0, quindi, dal teorema 2. 1 Ne consegue che H I I.e. Y1 (x) y1 (x) y2 (x) 6 0 exp l (x x0), y2 (x) su x\u003e x0. 2. Lascia x 6 x0 Lascia che la sostituzione t \u003d x, allora yi (x) \u003d yi (t) y ~ i (t) a i \u003d 1, 2. Dal x 2, t 2 [x0, x1] e eseguito l'uguaglianza y ~ 1 (x0) \u003d y ~ 2 (x0). Scopriamo quale equazione è soddisfacente Y ~ I (T). La prossima catena di equalità è vera: D y ~ i (t) \u003d dt d ~ yi (x) \u003d dx f x, yi (x) \u003d f (t, y ~ i (t)). Qui abbiamo approfittato della differenziazione della funzione complessa e del fatto che Yi (X) è soluzioni di equazione (2.1). Dal momento che la funzione f ~ (t, y) f (t, y) è continua e soddisfa le condizioni di Lipschitz per y, poi da teorema 2. 1 abbiamo quello y ~ 1 (t) y ~ 2 (t) su [x0 , x1], I.e. y1 (x) y2 (x) acceso. Combinando entrambi i casi considerati, otteniamo l'approvazione dell'indagine. In alternativa 2. (Su dipendenza continua dai dati iniziali) Lasciare la funzione f (x, y) 2 cg e soddisfa la condizione di Lipschitz lungo Y con la costante L e le funzioni Y1 (X) e Y2 (X) sono soluzioni di Equazione (2.1) definita. Corrispondiamo a l \u003d x1 x0 e δ \u003d y1 (x0) y2 (x0). Se a 8 x 2, la disuguaglianza Y1 (X) Y2 (X) 6 Δ EL L è vero. La dimostrazione dovrebbe essere immediatamente da teorema 2. 1. La disuguaglianza da Corollary 2 è chiamata la valutazione della sostenibilità della decisione sui dati iniziali. Il suo significato è che se su X \u003d X0, le soluzioni sono "vicine", quindi sul segmento finale sono anche vicine. Teorema 2. 1 Fornisce una stima importante del modulo di differenza di due soluzioni per le applicazioni e una conseguenza di 1 è l'unicità della soluzione del problema di Cauchy (2.1), (2.2). Ci sono anche altre condizioni sufficienti per l'unicità, una delle quali ora diamo. Come notato sopra, il geometricamente l'unicità della soluzione del problema di Cauchy significa che attraverso una regione Punto (X0, Y0) G non può passare non più di una curva integrale di equazione (2.1). Teorema 2. 2 (OsGuda sull'unicità). Supponiamo che la funzione f (x, y) 2 cg e per 8 (x, y1), (x, y2) 2 g venga eseguita disuguaglianza f (x, y1) f (x, y2) 6 6 φ jy1 y2 j, dove φ (u)\u003e 0 a U 2 (0, β], φ (u) è continuo e Zβ du! +1, quando ε! 0+. Se il punto (x0, y0), la regione φ (u ) ε g non è più una curva integrale (2.1). -21- Prova. Supponiamo che ci siano due soluzioni Y1 (x) e Y2 (x) di equazione (2.1), tale che Y1 (X0) \u003d Y2 (X0) \u003d Y0, denota z (x) \u003d y2 (x) y1 (x). Dyi poiché \u003d f (x, yi), a i \u003d 1, 2, quindi per z (x), l'uguaglianza DX DZ \u003d F (X, Y2) F (X, Y1) è valida. DX DZ \u003d F (X, Y2) F (X, Y1) JZJ 6 φ JZJ JZJ, I.e. Abbastanza poi z dx 1 d La disuguaglianza JZJ2 6 φ JZJ JZJ, da cui quando JZJ 6 \u003d 0 segue 2 DX Dual Diseguaglianza: ZJZ2 J ZX2 DX 6 X1 2 D JZJ 6 2 JZJφ JZJ ZX2 DX, (2.5) X1 JZ1 J Dove L'integrazione viene eseguita secondo qualsiasi segmento su cui Z (x)\u003e 0 e zi \u003d z (xi), i \u003d 1, 2. Assunzione, z (x) 6 0 e, inoltre, continuo, quindi tale segmento si trova, sceglielo e risolvilo. Considera i set n o x1 \u003d x x< x1 и z(x) = 0 , n o X2 = x x > x2 e z (x) \u003d 0. Se uno di questi set non è vuoto, poiché z (x0) \u003d 0 e x0 62. Lasciare, ad esempio, x1 6 \u003d ∅, è limitato dall'alto, quindi 9 α \u003d sup X1. Nota che z (α) \u003d 0, I.e. α 2 x1, poiché si presume che z (α)\u003e 0, in virtù della continuità, avremo z (x)\u003e 0 ad alcuni intervalli α Δ1, α + δ1, e questo è contrario alla definizione α \u003d sup x1. Dalla condizione z (α) \u003d 0 ne consegue che α< x1 . По построению z(x) > 0 per tutti x 2 (α, x2] e in virtù della continuità z (x)! 0+ su x! Α + 0. ripetere gli argomenti in PIN (2.5), integrando sul segmento [α + Δ, x2 ], dove X2 è stato scelto sopra e riparato, e Δ 2 (0, x2 α) - arbitrario, otteniamo la disuguaglianza: ZJZ2 J ZX2 DX 6 α + Δ D JZJ2 6 2 JZJφ JZJ JZ (α + Δ) J ZX2 DX. α + Δ in questo doppio definirò Δ! 0+, quindi z (α + δ)! z (α) \u003d 0, da zjz2 jd jzj2! +1, secondo la continuità di z (x), e Quindi il teorema Integral 2 Jzjφ JZJ. JZ (α + Δ) J -22- Parte destra della disuguaglianza RX2 DX \u003d X2 α Δ 6 x2 α è limitata α + Δ da sopra il valore finale, che è simultaneamente impossibile. Il risultante La contraddizione dimostra il teorema. 2. 2. Essenziale la soluzione del problema di Cauchy per il primo ordine Qual è il compito di Cauchy (2.1), (2.2) è inteso come il seguente compito di trovare la funzione Y (x): 0 y \u003d f (x, y), (x, y) 2 g, y (x0) \u003d y0, (x0, y0) 2 g, dove f (x, y) 2 cg e (x0, y0) 2 g; g è una regione in R2. Lemma 2. 2. Sia f (x, y) 2 cg. Se le seguenti affermazioni hanno luogo: 1) Tutto φ (x) Equazione (2.1) sulla gamma di ha, bi, soddisfacente (2.2) x0 2 ha, bi, è una soluzione su HA, BI Equazione integrale ZX Y (X) \u003d Y0 + F τ, Y (τ) dτ; (2.6) x0 2) Se φ (x) 2 C ha, soluzione BI dell'equazione integrale (2.6) su Ha, BI, 1 dove x0 2 ha, bi, poi φ (x) 2 c ha, bi ed è un Soluzione (2.1), (2.2). Prova. 1. Lasciare φ (x), la decisione (2.1), (2.2) su Ha, BI. Quindi, secondo la commento 2,2 φ (x) 2 c ha, bi e 8 τ 2 ha, bi, abbiamo l'uguaglianza φ 0 (τ) \u003d f τ, φ (τ), integrando quale da x0 a x, noi ottenere (in qualsiasi x 2 ha, bi) rx φ (x) φ (x0) \u003d f τ, φ (τ) dτ, con φ (x0) \u003d y0, I.e. φ (x) - Soluzione (2.6). x0 2. Sia y \u003d φ (x) 2 c ha, bi - soluzione (2.6). Poiché FX, φ (x) è continuo su ha, bi per condizione, quindi zx φ (x) y0 + f τ, φ (τ) dτ 2 c 1 ha, BI X0 come parte integrante con un limite superiore variabile dal continuo continuo funzione. Differenziare l'ultima uguaglianza di X, otteniamo φ 0 (x) \u003d f x, φ (x) 8 x 2 ha, bi e, ovviamente, φ (x0) \u003d y0, I.e. φ (x) è la soluzione del problema di Cauchy (2.1), (2.2). (Come al solito, sotto il derivato alla fine del segmento è inteso come il corrispondente derivatore unilaterale.) -23 "Revisione 2. 6. Lemma 2. 2 è chiamato Lemma sul problema di Cauchy (2.1), ( 2.2) dell'equazione integrale (2.6). Se dimostraremo che la soluzione di equazione (2.6) esiste, otteniamo la solvibilità e gli obiettivi del Cauchy (2.1), (2.2). Questo piano è implementato nel teorema seguente. Teorema 2. 3 (teorema locale dell'esistenza). Lascia che il rettangolo p \u003d (x, y) 2 r2: jx x0 j 6 α, jy y0 j 6 β si trova interamente in g della funzione di determinare la funzione f (x, y). La f (x, y) 2 c G e soddisfa la condizione di Lipschitz per n y ov g con costante L. il corrispondente β m \u003d max f (x, y), h \u003d min α, m. Se c'è una soluzione del compito di êshoshi (2.1), (2.2). Prova. Sul taglio, stabiliamo l'esistenza di una soluzione dell'equazione integrale (2.6). Per fare ciò, considera la seguente sequenza di funzioni: ZX Y0 (x) \u003d y0, y1 (x) \u003d y0 + f τ, y0 (τ) dτ, ... x0 zx yn (x) \u003d y0 + f τ, yn 1 (τ) dτ, ecc. X0 1. Mostriamo che le 8 n 2 n funzioni YN (approssimazioni successive) sono definite, cioè. Mostriamo che a 8 x 2, la disuguaglianza YN (X) Y0 6 β viene eseguita per tutti n \u003d 1, 2 ,. . . Utilizziamo il metodo di induzione matematica (MMI): a) la base di induzione: n \u003d 1. zx y1 (x) y0 \u003d f τ, y0 (τ) dτ 6 m0 x0 6 mh 6 β, x0 dove m0 \u003d max f (x, y0) su jx x 0 j 6 α, m0 6 m; b) Assunzione e passaggio di induzione. Lascia che la disuguaglianza sia vera per YN 1 (X), lo dimostriamo per YN (x): ZX YN (X) Y0 \u003d f τ, yn 1 (τ) Dτ 6 mx x0 così, se jx x0 j 6 h, allora YN (X) Y0 6 β 8 N 2 N. -224 - X0 6 m H 6 β. Il nostro obiettivo sarà la prova del seguace di convergenza del 1 ° YK più vicino (x) k \u003d 0, per questo è conveniente rappresentarlo nella forma: yn \u003d y0 + nx yk 1 (x) \u003d y0 + y1 yk (x ) Y0 + Y2 Y1 +. . . + yn yn 1, k \u003d 1 I.e. Sequenze di somme parziali della serie funzionale. 2. Stimiamo i membri di questa serie dimostrando le seguenti disuguaglianze 8 n 2 n e 8 x 2: x0 jn yn (x) yn 1 6 m0 l 6 m0 ln n! Applicare il metodo di induzione matematica: JX N 1 1 HN. N! (2.7) a) Base di induzione: n \u003d 1. Y1 (x) x y 0 6 m0 x0 6 m0 h, dimostrato sopra; b) Assunzione e passaggio di induzione. Lascia che la disuguagliaglia sia vera per n ciascuna per n: zx yn (x) yn 1 f τ, yn 1 (τ) \u003d f τ, yn 2 (τ) 1, dτ 6 x0 zx i yn 6 per lipsshitz 6 l h yn 1 2 Dτ 6 x0 h ZX I 6 dall'assunzione di induzione 6 l n 2 m0 l jτ x0 jn 1 dτ \u003d (n 1)! x0 m0 ln 1 \u003d (n 1)! Zx jτ n 1 x0 j m0 ln 1 jx x0 jn m0 l n 6 dτ \u003d (n 1)! N! 1 x0 rx Qui abbiamo usato il fatto che l'integrale I \u003d jτ x0 su x\u003e x0 con x< x0 Rx I = (τ x0 Rx I = (x0 n 1 x0) τ)n 1 dτ = dτ = x0 (x (x0 x)n n Таким образом, неравенства (2.7) доказаны. -25- x0)n и n = jx x0 jn . n x0 jn 1 dτ : hn . 3. Рассмотрим тождество yn = y0 + ним функциональный ряд: y0 + 1 P n P yk (x) yk 1 (x) и связанный с k=1 yk 1 (x) . Частичные суммы это- yk (x) k=1 го ряда равны yn (x), поэтому, доказав его сходимость, получим сходимость 1 последовательности yk (x) k=0 . В силу неравенств (2.7) функциональный ряд мажорируется на отрезке k 1 P k 1 h числовым рядом M0 L . Этот числовой ряд сходится k! k=1 по признаку Даламбера, так как M0 Lk hk+1 k! ak+1 = ak (k + 1)! M0 L k 1 hk = h L ! 0, k+1 k ! 1. Тогда по признаку Вейерштрасса о равномерной сходимости функциональный 1 P ряд y0 + yk (x) yk 1 (x) сходится абсолютно и равномерно на отрезk=1 ке , следовательно и функциональная последовательность 1 yk (x) k=0 сходится равномерно на отрезке к некоторой функ- ции ϕ(x), а так как yn (x) 2 C , то и ϕ(x) 2 C как предел равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций. 4. Рассмотрим определение yn (x): Zx yn (x) = y0 + f τ, yn 1 (τ) dτ (2.8) x0 – это верное равенство при всех n 2 N и x 2 . У левой части равенства (2.8) существует предел при n ! 1, так как yn (x) ⇒ ϕ(x) на , поэтому и у правой части (2.8) тоже существует Rx предел (тот же самый). Покажем, что он равен функции y0 + f τ, ϕ(τ) dτ , x0 используя для этого следующий критерий равномерной сходимости функциональной последовательности: X yn (x) ⇒ ϕ(x) при n ! 1 () sup yn (x) y(x) ! 0 при n ! 1 . x2X X Напомним, что обозначение yn (x) ⇒ ϕ(x) при n ! 1 принято использовать для равномерной на множестве X сходимости функциональной последователь 1 ности yk (x) k=0 к функции ϕ(x). -26- Покажем, что y0 + Rx X f τ, yn 1 (τ) dτ ⇒ y0 + x0 здесь X = . Для этого рассмотрим f τ, yn 1 (τ) f τ, ϕ(τ) dτ 6 x2X x0 Zx h i yn 1 (τ) 6 по условию Липшица 6 sup L ϕ(τ) dτ 6 x2X x0 6 L h sup yn 1 (τ) ϕ(τ) ! 0 при n ! 1 τ 2X X в силу равномерной при n ! 1 сходимости yn (x) ⇒ ϕ(x). Таким образом, переходя к пределу в (2.8), получим при всех x 2 верное равенство Zx ϕ(x) = y0 + f τ, ϕ(τ) dτ, x0 в котором ϕ(x) 2 C . По доказанной выше лемме 2. 2 ϕ(x) – решение задачи Коши (2.1), (2.2). Теорема доказана. Замечание 2. 7. В теореме 2. 3 установлено существование решения на отрезке . По следствию 1 из теоремы 2. 1 это решение единственно в том смысле, что любое другое решение задачи Коши (2.1), (2.2), определенное на совпадает с ним на этом отрезке. Замечание 2. 8. Представим прямоугольник P в виде объединения двух (пересекающихся) прямоугольников P = P [ P + , (рис. 2. 3) где n P = (x, y) n P = (x, y) + x 2 ; x 2 ; -27- jy jy o y0 j 6 β , o y0 j 6 β . Рис. 2. 3. Объединение прямоугольников Обозначим f (x, y . M − = max − f (x, y , M + = max + P P Повторяя,с очевидными изменениями, доказательство теоремы 2. 3 отдель но для P + или P − , получим существование (и единственность) решения на отрезке n o β + + , где h = min α, M + или, соответственно, на , n o β − . Отметим, что при этом, вообще говоря, h+ 6= h− , а h h = min α, M − из теоремы 2. 3 есть минимум из h+ и h− . Замечание 2. 9. Существование решения задачи (2.1), (2.2) теоремой 2. 3 гарантируется лишь на некотором отрезке . В таком случае говорят, что теорема является локальной. Возникает вопрос: не является ли локальный характер теоремы 2. 3 следствием примененного метода ее доказательства? Может быть, используя другой метод доказательства, можно установить существование решения на всем отрезке , т.е. глобально, как это было со свойством единственности решения задачи Коши (2.1), (2.2)? Следующий пример показывает, что локальный характер теоремы 2. 3 связан с «существом» задачи, а не с методом ее доказательства. Пример 2. 1. Рассмотрим задачу Коши 0 y = −y 2 , (2.9) y(0) = 1 n o в прямоугольнике P = (x, y) jxj 6 2, jy − 1j 6 1 . Функция f (x, y) = −y 2 непрерывна в P и fy0 = −2y 2 C P , поэтому все условия тео1 β , α = и ремы 2. 3 выполнены, а M = max f (x, y) = 4. Тогда h = min P P M 4 -28- теорема 2. 3 гарантирует существование решения на отрезке 1 1 . Решим − , 4 4 эту задачу Коши, используя «разделение переменных»: − dy = dx y2 () y(x) = 1 . x+C 1 – решение задачи Коши (2.9). x+1 График решения представлен на рис. (2.4), из которого видно, что решение 1 при x < x = − покидает прямоугольник P , а при x 6 −1 даже не 2 существует. Подставляя x = 0, найдем C = 1 и y(x) = Рис. 2. 4. Локальный характер разрешимости задачи Коши В связи с этим возникает вопрос об условиях, обеспечивающих существование решения на всем отрезке . На приведенном примере мы видим, что решение покидает прямоугольник P , пересекая его «верхнее» основание, поэтому можно попробовать вместо прямоугольника P в теореме 2. 3 взять полосу: o n 2 A 6 x 6 B − 1 < y < +1 , A, B 2 R. Q = (x, y) 2 R Оказывается, что при этом решение существует на всем отрезке A, B , если f (x, y) удовлетворяет условию Липшица по переменной y в Q. А именно, имеет место следующая важная для приложений теорема. Теорема 2. 4. Пусть функция f (x, y) определена, непрерывна и удовлетворяет условию Липшица по y с константой L в полосе Q = (x, y) 2 R2: A 6 x 6 B, y 2 R , -29- где A, B 2 R. Òогда при любых начальных данных x0 2 , y0 2 R т.е. (x0 y0) 2 Q существует и притом единственное решение задачи Êоши (2.1), (2.2), определенное на всем . Доказательство. Áудем считать, что x0 2 (A, B). Проведем рассуждения по схеме теоремы 2. 3 отдельно для полосы o n + 2 x 2 y 2 R и Q = (x, y) 2 R n Q = (x, y) 2 R2 o x 2 y 2 R . + Если x0 = A или x0 = B, то один из этапов рассуждений (для Q или, соответственно, для Q) отсутствует. + Возьмем полосу Q и построим последовательные приближения yn+ (x), + как в теореме 2. 3. Поскольку Q не содержит ограничений на размер по y, то пункт 1) доказательства теоремы 2. 3 не проверяем. Далее, как в предыдущей теореме, от последовательности переходим к ряду с частичными суммами yn+ (x) = y0 + n X yk+ (x) yk+ 1 (x) , где x 2 . k=1 Повторяя рассуждения, доказываем оценку вида (2.7) x0 jn x0)n n 1 (B 6 M0 L 6 M0 L (2.10) n! n! при всех x 2 ; здесь M0 = max f (x, y0) при x 2 , откуда yn+ (x) yn+ 1 n 1 jx yn+ (x) как и выше в теореме 2. 3 получим, что ⇒ ϕ+ (x), n ! 1, причем ϕ+ (x) 2 C , ϕ+ (x) – решение интегрального уравнения (2.6) на . Возьмем полосу Q и построим последовательность yn (x). Действуя ана логично, получим, что 9 ϕ (x) 2 C , ϕ (x) – решение интегрального уравнения (2.6) на . Определим функцию ϕ(x) как «сшивку» по непрерывности ϕ+ и ϕ , т.е. + ϕ (x), при x 2 , ϕ(x) = ϕ (x), при x 2 . Отметим, что ϕ+ (x0) = ϕ (x0) = y0 и потому ϕ(x) 2 C . Функции ϕ (x) по построению удовлетворяют интегральному уравнению (2.6), т.е. Zx ϕ (x) = y0 + f τ, ϕ (τ) dτ, x0 -30- где x 2 для ϕ+ (x) и x 2 для ϕ (x), соответственно. Следовательно, при любом x 2 функция ϕ(x) удовлетворяет инте 1 гральному уравнению (2.6). Тогда по лемме 2. 2, ϕ(x) 2 C и является решением задачи Коши (2.1), (2.2). Теорема доказана. Из доказанной теоремы 2. 4 нетрудно получить следствие для интервала (A, B) (открытой полосы). Ñледствие. Пусть функция f (x, y) определена, непрерывна в открытой полосе Q = (x, y) 2 R2: x 2 (A, B), y 2 R , причем A и B 2 R могут быть символами 1 и +1 соответственно. Предположим, что f (x, y) удовлетворяет в полосе Q условию: 9 L(x) 2 C(A, B), такая, что 8 x 2 (A, B) и 8 y1 , y2 2 R выполняется неравенство f (x, y2) f (x, y1) 6 L(x) jy2 y1 j. Òогда при любых начальных данных x0 2 (A, B), y0 2 R т.е. (x0 y0) 2 Q существует и притом единственное решение задачи Êоши (2.1), (2.2), определенное на всем (A, B). Доказательство. Для любой полосы Q1 = (x, y) 2 R2: x 2 , y2R , где A1 > A, B1.< B, лежащей строго внутри Q и содержащей (x0 , y0), справедлива теорема 2. 4, так как при доказательстве оценок вида (2.10), необходимых для обоснования равномерной на сходимости последовательности yn (x) , используются постоянные M0 = max f (x, y0) при x 2 и L = max L(x) x 2 . Эти постоянные не убывают при расширении (A, B). Возьмем последовательность расширяющихся отрезков , удовлетворяющих условиям B > BK + 1\u003e BK per tutti K 2 N; 1) A.< Ak+1 < Ak , 2) x0 2 при всех k 2 N; 3) Ak ! A, Bk ! B при k ! 1. Заметим сразу, что S = (A, B) и, более того, для любого x 2 (A, B) k найдется номер x 2 . N (x) 2 N, такой, что при всех -31- k > N viene eseguito dimostrando questa dichiarazione ausiliaria per il caso di A, B 2 R (I.E., A e B sono finiti; se a \u003d 1 o B \u003d + 1, quindi allo stesso modo). Prendi X A B X, Arbitrary x 2 (A, B) e Δ (x) \u003d min, δ (x)\u003e 0. 2 2 2 del numero Δ dalla convergenza di AK! A e BK! B otteniamo che 9 N1 (Δ) 2 N: 8 K\u003e N1, a< Ak < A + δ < x, 9 N2 (δ) 2 N: 8 k > N2, x.< B δ < Bk < B. Тогда для N = max N1 , N2 справедливо доказываемое свойство. Построим последовательность решений задачи Коши (2.1), (2.2) Yk (x), применяя теорему 2. 4 к соответствующему отрезку . Любые два из этих решений совпадают на общей области определения по следствию 1 из теоремы 2.1. Таким образом, два последовательных решения Yk (x) и Yk+1 (x) совпадают на , но Yk+1 (x) определено на более широком отрезке . Построим решение на всем (A, B). Возьмем и построим ϕ(x) – решение задачи (2.1), (2.2) на всем (по теореме 2. 4). Затем продолжим это решение на , . . . , . . . Получим, что решение ϕ(x) определено на всем (A, B). Докажем его единственность. Предположим, что существует решение ψ(x) задачи Коши (2.1), (2.2), также определенное на всем (A, B). Докажем, что ϕ(x) ψ(x) при любом x 2 (A, B). Пусть x – произвольная точка (A, B), найдется номер N (x) 2 N, такой, что x 2 при всех k > N. Applicazione di una conseguenza di 1 p. 2.1 (cioè, il teorema di unicità), otteniamo che φ (T) ψ (T) a tutti i T 2 e, in particolare, a T \u003d x. Dal momento che X è un punto arbitrario (A, B), l'unicità della soluzione, e con esso, la conseguenza è dimostrata. Nota 2. 10. Nell'indagine comprovata, abbiamo incontrato per la prima volta il concetto di continuare la decisione su un set più ampio. Nel prossimo paragrafo, lo studieremo in modo più dettagliato. Diamo alcuni esempi. P Esempio 2. 2. Per equazione Y 0 \u003d EJXJ X2 + Y 2, scopri se la sua soluzione esiste su tutto (A, B) \u003d (1, +1). Considera questa equazione nella "striscia" q \u003d r2, la funzione p jxj f (x, y) \u003d e x2 + y 2 ∂f y \u003d ejxj p, fy0 6 ejxj \u003d l (x). ∂Y X2 + Y 2 secondo la rivendicazione 2. 1 del paragrafo 2.1 La funzione F (X, Y) soddisfa la condizione di Lipschitz su y con la "costante" L \u003d l (x), X è fissa. Quindi vengono eseguite tutte le condizioni di conseguenza, e con qualsiasi dato iniziale (X0, Y0) 2 R2, la soluzione del problema di Cauchy esiste e inoltre è l'unico su (1, +1). Si noti che l'equazione stessa in quadrature non è risolta, ma le soluzioni approssimative possono essere costruite numericamente. È determinato e continuo in q, -32- Esempio 2. 3. Per l'equazione Y 0 \u003d ex y 2, scopri se le sue soluzioni definite su R. Se riteniamo nuovamente questa equazione nella "Strip" Q \u003d R2, dove la funzione ∂ ff (x, y) \u003d ex y 2 è definita e continua, a \u003d 2yex, possiamo notare, che la condizione dell'indagine è violata, vale a dire non esiste una tale funzione continua l (x) che f (x, y2) f (x, y1) 6 l (x) jy2 y1 j con tutto y1, y2 2 r. Infatti, f (x, y2) f (x, y1) \u003d ex jy2 + y1 j JY2 Y1 J, E l'espressione JY2 + Y1 J non è limitata a Y1, Y2 2 R. Quindi, la conseguenza non è applicabile. Decido questa equazione "Separazione delle variabili", otteniamo una soluzione generale: "Y (x) \u003d 0, y (x) \u003d 1. Ex + C Preca per la definizione X0 \u003d 0, Y0 2 R. Se Y0 \u003d 0, Allora Y (X) 0 - La soluzione del problema di Cauchy su R. 1 - la soluzione del problema di Cauchy. A Y0 2 [1, 0) EX è definito a tutti x 2 R, e a Y0 2 (1, 1) [(0, +1) Y0 + 1 può continuare attraverso il punto x \u003d ln. Più precisamente, se x\u003e 0, quindi y0 1 soluzione y (x) \u003d y0 +1 è definito su x 2 (1, x), e se x< 0 x e y0 y0 < 1 , то решение определено при x 2 (x , +1). В первом случае lim y(x) = +1, а во втором – lim y(x) = 1. Если y0 6= 0, то y(x) = x!x 0 y0 +1 y0 x!x +0 -33- Для наглядности нарисуем интегральные кривые при соответствующих значениях y0 (рис. 2. 5). Рис. 2. 5. Интегральные кривые уравнения y 0 = ex y 2 Таким образом, для задачи Коши 0 y = ex y 2 , y(0) = y0 имеем следующее: 1) если y0 2 [ 1, 0], то решение существует при всех x 2 R; y0 + 1 2) если y0 < 1, то решение существует лишь при x 2 ln ; +1 ; y0 y0 + 1 . 3) если y0 > 0, quindi la soluzione esiste solo a x 2 1; LN Y0 Questo esempio mostra che il limite sulla crescita della funzione f (x, y) nella conseguenza corrente del teorema 2. 4 è essenziale per continuare la soluzione per tutti (A, B). Allo stesso modo, esempi con la funzione f (x, y) \u003d f1 (x) y 1 + ε con qualsiasi ε\u003e 0, nell'esempio dato, ε \u003d 1 solo per la comodità della presentazione. 2. 3. Continuazione della soluzione per il primo ordine del primo ordine. Definizione 2. 5. Considera l'equazione y 0 \u003d f (x, y) e lascia che (x) - la sua soluzione su ha, bi e y (X) - La sua soluzione su Ha, Bi, con Ha, BI è contenuta in Ha, Bi e Y (x) \u003d y (x) su ha, bi. Allora y (x) è chiamato la continuazione della soluzione y (x) su ha, bi, e su y (x) dicono che è proseguito su ha, bi. -34- Nel paragrafo 2.2, abbiamo dimostrato il teorema locale dell'esistenza del problema di Cauchy (2.1), (2.2). Sotto quali condizioni è prosegui questa decisione su un gap più ampio? Questo problema è dedicato a questo problema. Il risultato principale è il seguente. Teorema 2. 5 (sulla continuazione della soluzione in un'area chiusa limitata). Lasciare la funzione f (x, y) 2 cg e soddisfa le condizioni di Lipschitz lungo Y in R2, A (X0, Y0) il punto interno della regione chiusa limitata G G. La soluzione dell'equazione y 0 \u003d f (x, y), continuato fino a un bordo del bordo della regione G, cioè Può essere continuato su un simile segmento che punta A, Y (A) e B, Y (B) si trovano su ∂G. ∂F (x, y) è continuo in limitato da OT, chiuso, convesso dalla regione Y G, quindi la funzione f (x, y) soddisfa la condizione di Lipschitz nella variabile y. Vedere la conseguenza dell'approvazione 2. 1 ∂F dal paragrafo 2.1. Pertanto, questo teorema sarà valido se è continuo in ∂y G. Nota 2. 11. Richiama che se prova. Poiché (x0, y0) è un punto interno G, quindi c'è un rettangolo chiuso no 2 p \u003d (x, y) 2 r x0 6 α, y y0 6 β, l'intero sdraiato in G. Poi by theorem 2. 3 di. 2.2 Ci sono h\u003e 0 in modo tale che vi sia una soluzione sul segmento (e l'unica) soluzione y \u003d φ (x) dell'equazione y 0 \u003d f (x, y). Prima continuerò questa decisione di compiacere il confine del G della regione, rompendo la prova ai singoli passaggi. 1. Considerare il set er: no e \u003d α\u003e 0 la soluzione y \u003d φ (x) continuamente sulla soluzione y \u003d φ1 (x) dell'equazione y 0 \u003d f (x, y), soddisfacendo le condizioni di cauchy φ1 ~ B \u003d φ ~ b. Pertanto, φ (x) e φ1 (x) sono soluzioni sul segmento di ~ B H1, ~ b un'unica equazione che corrisponde al punto x \u003d ~ B, quindi coincidono su tutto il segmento ~ B H1, ~ B e, quindi , φ1 (x) è una continuazione della soluzione φ (x) dal segmento ~ B H1, ~ B a ~ B H1, ~ B + H1. Considera la funzione ψ (x): φ (x), x 2 x0, ψ (x) \u003d φ1 (x), x 2 ~ b ~ b, h1, ~ b + h1 ~ B h1, x0 + α0 + h1, Quale è una soluzione all'equazione y 0 \u003d f (x, y) e soddisfa la condizione del cauchy ψ (x0) \u003d y0. Quindi il numero α0 + H1 2 E, e questo è contrario alla definizione di α0 \u003d sup e. Pertanto, il caso 2 è impossibile. Allo stesso modo, la soluzione φ (x) continua a sinistra, sul segmento, dove il punto A, φ (A) 2 ∂G. Teorema è completamente dimostrato. -37- Capitolo III. Il compito di Cauchy per il normale sistema di N-TH Order 3. 1. I concetti di base e alcune proprietà ausiliarie delle funzioni vettoriali in questo capitolo considereranno il normale sistema di ordinazione del modulo 8\u003e t, y ,. . . , y y _ \u003d f 1 n 1 1\u003e,< y_ 2 = f2 t, y1 , . . . , yn , (3.1) . . . > \u003e: y_ \u003d f t, y,. . . , Y, n n 1 n dove sconosciuto (il desiderato) sono le funzioni Y1 (T) ,. . . , YN (T) e le funzioni sono note, I \u003d 1, n, il punto sulla funzione denota il derivato di T. Si presume che tutti i fi siano definiti nella regione G Rn + 1. È conveniente registrare il sistema (3.1) nel modulo vettoriale: y_ \u003d f (t, y), dove y (t) y1 (t). . . , yn (t), f (t, y) f1 (t, y). . . , fn (t, y); Arrogatori nella designazione dei vettori non scriveranno per Brevity. Tale record sarà anche denotato (3.1). Lascia che il punto T0, Y10 ,. . . , YN0 si trova in G. Il problema di Cauchy per (3.1) è trovare una soluzione φ (t) del sistema (3.1) che soddisfa la condizione: φ1 (T0) \u003d Y10, φ2 (T0) \u003d Y20, ..., φn (T0) \u003d yn0, (3.2) o in forma vettoriale φ (T0) \u003d y 0. Come notato nel capitolo 1, sotto la soluzione del sistema (3.1), la funzione vettoriale φ (t) \u003d φ1 (t) è intesa come il sistema di ha, bi. . . , φn (t), condizioni soddisfacenti: 1) 8 T 2 ha, Bi punto T, φ (T) si trova in g; 2) 8 T 2 ha, BI 9 d DT φ (T); 38 3) 8 T 2 ha, bi φ (T) soddisfa (3.1). Se tale decisione soddisfa inoltre (3.2), dove T0 2 ha, BI, quindi è chiamata la soluzione del problema di Cauchy. Le condizioni (3.2) sono chiamate sulle forze o sulle condizioni di cauch e il numero T0, Y10 ,. . . , YN0 - Dati Cauchy (dati iniziali). Nel caso particolare, quando la variabile della funzione vettoriale F (T, Y) (N + 1) dipende da Y1 ,. . . , yn linearmente, cioè Ha la forma: f (t, y) \u003d A (t) y + g (t), dove A (T) \u003d AIJ (T) - N N Matrix, System (3.1) è chiamato lineare. In futuro, avremo bisogno delle proprietà delle funzioni vettoriali che qui siamo qui per la comodità dei collegamenti. Le regole di aggiunta e la moltiplicazione del numero per i vettori sono note dal corso dell'algebra lineare, queste operazioni di base sono completamente implementate. n se in r introdurre un prodotto scalare x, y \u003d x1 y1 +. . . + Xn Yn, otteniamo lo spazio euclideo, che sarà anche denotato da RN, con una lunghezza s q n p vector jxj \u003d x, x \u003d x2k (o dalla norma euclidea). Per scalare k \u003d 1, le opere e le lunghezze sono fieristiche due disuguaglianze principali: 1) 8 x, y 2 rn 2) 8 x, y 2 rn). x + y 6 x + y x, y 6 x (disuguaglianza triangolare); Y (la disuguaglia di Cauchy appartiene - dal corso dell'analisi matematica del secondo semestre, è noto che la convergenza della sequenza di punti (vettori) nello spazio euclideo (dimensionale finita) è equivalente alla convergenza di sequenze del coordinate di questi vettori, dicono che è equivalente alla convergenza di coordinamento. È facilmente seguito da disuguaglianze: QP max x 6 x21 + ... + x2n \u003d jxj 6 n max xk. 16k6n 16k6n Allo stesso modo a un caso scalare è determinato dal caso scalare derivato e integrale della funzione vettoriale, e le proprietà sono facilmente dimostrate dalla transizione alle coordinate. Ecco alcune disuguaglianze per le funzioni vettoriali utilizzate in futuro. 1. Per qualsiasi funzione vettoriale y (t) \u003d y1 (t) ,. . . , YN (T) integrabile (ad esempio, continuo) su, abbastanza disuguaglianza ZB ZB Y (T) DT 6 AY \u200b\u200b(T) DT A -39- (3.3) o in forma di coordinata 0 ZB ZB Y1 (T) DT, @ Y2 (T) DT ,. . . , 1 ZB a ZB Q YN (T) DT A 6 Y12 (T) +. . . Yn2 (t) dt. Una prova. Nota In primo luogo, che nella disuguaglianza non esclude il caso di< a, для этого случая в правой части присутствует знак внешнего модуля. По определению, интеграл от вектор-функции – это предел интегральn P ных сумм στ (y) = y(ξk) tk при характеристике («мелкости») разбиения k=1 λ(τ) = max tk стремящейся к нулю. По условию στ ! k=1, N Rb y(t) dt , а по a неравенству треугольника получим στ 6 n X Zb y(ξk) tk ! k=1 при λ(τ) ! 0 y(t) dt, a (здесь мы для определенности считаем a < b). По теореме о переходе к пределу в неравенстве получим доказываемое. Случай b < a сводится к изученному, Rb Ra так как = . a b Аналоги теорем Ролля и Лагранжа отсутствуют для вектор-функций, однако можно получить оценку, напоминающую теорему Лагранжа. 2. Для любой вектор-функции x(t), непрерывно дифференцируемой на , имеет место оценка ¾приращения¿: x(b) x(a) 6 max x 0 (t) b a. (3.4) Доказательство. Неравенство (3.4) сразу получается из (3.3) при y(t) = x 0 (t). При доказательстве теоремы разрешимости для линейных систем нам понадобятся оценки с n n матрицами, которые мы сейчас и рассмотрим. 3. Пусть A(t) = aij (t) n n матрица, обозначим произведение Ax через y. Как оценить y через матрицу A и x ? Оказывается, справедливо неравенство Ax 6 A -40- 2 x, (3.5) где x = p jx1 j2 + . . . + jxn j2 , A 2 = n P ! 12 a2ij , а элементы матрицы i,j=1 A и координаты вектора x могут быть комплексными. Доказательство. Для любого i = 1, n, ai – i-я строка матрицы A, тогда: 2 2 2 yi = ai1 x1 + ai2 x2 + . . . + ain xn = ai , x 6 h i 2 6 по неравенству Коши-Áуняковского 6 jai j2 x = ! ! n n X X 2 2 aik xl = , k=1 суммируя эти неравенства по i = 1, n, имеем: 0 1 n X 2 2 2 aik A x = A y [Email protetto] 2 2 l \u003d 1 2 x, k, i \u003d 1 da dove segue (3.5). Definizione 3. 1. Per dire che la funzione vettoriale f (t, y) soddisfa la condizione di lipschitz sulla variabile vettoriale Y sul MNA 1 G di variabili (t, y), se 9 l\u003e 0 è tale che con qualsiasi T , Y, 2 T, Y 2 G viene eseguito disuguaglianza Ft, y 2 ft, y 1 6 l y 2 y 1. Come nel caso della funzione di due variabili (cfr. Approvazione 2.1), una condizione sufficiente per i lipshee nella regione "Convex on Y" G è i derivati \u200b\u200bparziali limitati. Diamo una definizione esatta. Definizione 3. 2. La gamma G di variabili (t, y) si chiama convex 1 2 di y, se per due punti t, y e t, y sdraiato in g, appartiene interamente ad esso e il segmento che collega questi due punti, t. e. Il set n o t, y y \u003d y 1 + τ y 2 y 1, dove τ 2. Approvazione 3. 1. Se la gamma G di variabili (T, Y) è convessa a y, e ∂fi i derivati \u200b\u200bprivati \u200b\u200bsono continui e limitati alla costante l in g con ∂yj tutto I, j \u003d 1, n, allora il La funzione di vettore ft soddisfa in g, la condizione di lipschitz per y con una costante l \u003d n l. 1 2 Prova. Considera i punti arbitrari T, Y e T, Y da G e 1 2 segmenti, collegandoli, I.e. Il set t, y, dove y \u003d y + τ y y1, t è fisso e τ 2. -41- Introduciamo la funzione vettoriale di un'unica argomentazione scalare G (τ) \u003d ft, y (τ), 2 1 poi g (1) g (0) \u003d ft, yft, y, e dall'altra parte - Z1 G (1) G (0) \u003d DG (τ) Dτ \u003d dτ z1 a (τ) dy (τ) dτ \u003d dτ 0 0 h \u003d in virtù y \u003d y 1 + τ y 2 yi 1 z1 \u003d a (τ) y 2 y 1 dτ 0 dove A (τ) è una matrice con elementi ∂fi, e ∂yj y2 y 1 è la colonna corrispondente. Qui abbiamo approfittato della regola di differenziazione della complessa funzione, vale a dire, affatto I \u003d 1, N, T - fissa, abbiamo: GI0 (τ) \u003d ∂Fi ∂Y1 ∂Fi ∂y2 ∂Fi ∂yn d fi t , Y (τ) \u003d + + ... + \u003d dτ ∂y1 ∂τ ∂y2 ∂τ ∂yn ∂τ ∂fi ∂fi, ..., y2 y1. \u003d ∂Y1 ∂YN Ricordando questo in forma di matrice, otteniamo: 0 2 1 G (τ) \u003d A (τ) y y con N N Matrix A (τ) \u003d AIJ (τ) ∂Fi ∂yj. Utilizzando la stima dell'integual (3.3) e della disuguaglianza (3.5), dopo la sostituzione, otteniamo: ft, y 2 ft, y 1 z1 \u003d g 0 (τ) dτ \u003d 0 z1 6 a (τ) y 2 z1 y1 A (τ) y 2 0 z1 dτ 6 0 A (τ) a (τ) dτ y2 y1 6 y2 y1 6 nl 0 6 max a (τ) dal 2 y 1 dτ 6 2 2 np ∂fi \u003d i, j \u003d 1 ∂YJ 2 Y2 Y1, 2 6 N2 L2 a 8 τ 2. La dichiarazione è dimostrata. -42- 3. 2. La pericità della soluzione del problema di Cauchy per il normale sistema di teorema 3. 1 (sulla valutazione della differenza di due soluzioni). Sia g di essere una regione rn + 1, e la funzione vettoriale f (x, y) è continua in g e soddisfa la condizione di lipschitz su una variabile vettoriale y sul set g con costante L. Se Y 1, y 2 due soluzioni di il sistema normale (3.1) y_ \u003d f (x, y) sul segmento, quindi il rating y 2 (t) y 1 (t) 6 y 2 (T0) y 1 (T0) EXP L (T T0) è valido per tutti t 2. La prova di letteralmente, tenendo conto delle esposte risistey, ripete la prova del teorema 2.1 dal paragrafo 2.1. 2 Da qui è facile ottenere il teorema dell'unicità e la stabilità della decisione sui dati iniziali. Alternativamente 3.1. Lascia che la funzione vettoriale f (t, y) continui nella regione G e soddisfa nella condizione G Lipschitz lungo Y e le funzioni Y 1 (T) e Y 2 (T) due soluzioni del sistema normale (3.1) sul stesso segmento, inoltre, T0 2. Se Y 1 (T0) \u003d y 2 (T0), allora y 1 (t) y 2 (t) acceso. Alternativamente 3.2. (sulla dipendenza continua dai dati iniziali). Lascia che la funzione vettoriale f (t, y) sia continua nella regione G e soddisfa nella condizione G Lipschitz lungo Y con costante L\u003e 0 e le funzioni vettoriali Y 1 (T) e Y 2 (T) sono soluzioni del sistema normale (3.1) definito. Se a 8 T 2, la disuguaglianza Y 1 (t) è vera dove Δ \u003d y 1 (T0) y 2 (T0) e l \u003d t1 y 2 (t) 6 Δ el l, t0. La prova delle conseguenze di letteralmente, tenendo conto delle riserve apparenti, ripete la prova delle conseguenze 2.1 e 2.2. 2 Studio della solvibilità del problema di Cauchy (3.1), (3.2), come nel caso unidimensionale, è ridotto alla solvibilità dell'equazione integrale (vettore). Lemma 3. 1. Sia f (t, y) 2 c g; Rn 1. Le seguenti affermazioni si svolgono: 1) Qualsiasi soluzione φ (t) Equazione (3.1) sul Gap Ha, BI, soddisfacente (3.2) T0 2 ha, BI, è una soluzione continua su HA, BI 1 attraverso C G; H è adottato per indicare il set di tutte le funzioni continue nella regione G con i valori nello spazio H. Ad esempio, f (t, y) 2 c g; Componenti RN) definiti sul set G. - il set di tutte le funzioni di vettore continuo (dall'equazione integrale N -43 Y (T) \u003d Y 0 + ZT F τ, Y (τ) Dτ; (3.6) T0 2) Se se -Function φ (t) 2 c Ha, BI è una soluzione continua dell'equazione integrale (3.6) su Ha, BI, dove T0 2 ha, BI, quindi φ (T) ha un derivato continuo su ha, bi ed è Una soluzione (3.1), (3.2). Prova. 1. Lasciare 8 τ 2 ha, BI viene eseguita dall'uguaglianza Dφ (τ) \u003d f τ, φ (τ). Quindi integrando da T0 a T, tenendo conto (3.2), Semidτ Rt 0 Chim, che φ (t) \u003d y + f τ, φ (τ) dτ, I.e. φ (t) soddisfa l'equazione (3.6). T0 2. Lasciare la funzione di vettore continuo φ (t) soddisfare l'equazione (3.6) su Ha, Bi, quindi ft, φ (t) è continuo su ha, bi dal teorema di continuità della funzione complessa, e quindi il giusto Lato a mano (3.6) (e, quindi, la parte sinistra) ha un derivato continuo di T per Ha, BI. A T \u003d T0 da (3.6) φ (T0) \u003d y 0, I.e. φ (t) è la soluzione del problema di Cauchy (3.1), (3.2). Si noti che come al solito, sotto il derivato alla fine del segmento (se appartiene ad esso) è inteso per essere una funzione derivata unilaterale. Lemma è dimostrato. Nota 3. 1. Utilizzo di un'analogia con un caso unidimensionale (cfr. Capitolo 2) e le approvazioni di cui sopra, è possibile dimostrare il Terromentare sull'esistenza e continuare a risolvere il problema di Cauchy, la costruzione di una sequenza iterativa converge per risolvere il Equazione integrale (3.6) su un determinato segmento T0 H, T0 + H. Qui presentiamo un'altra prova dell'esistenza di soluzioni di teorema (e unicità) basata sul principio di mappature compressive. Lo facciamo per uscire dal lettore con metodi più moderni della teoria, che saranno applicati in futuro, in corsi di equazioni integrali e equazioni della fisica matematica. Per implementare il nostro piano, avrai bisogno di una serie di nuovi concetti e asserzioni ausiliarie, che procederemo. 3. 3. Il concetto di spazio metrico. Il principio di compressione dei mapping il concetto più importante del limite nella matematica è basato sul concetto di "prossimità" dei punti, cioè. L'opportunità di trovare la distanza tra loro. Sull'asse numerico, la distanza è il modulo dei due numeri, sull'aereo è una formula ben nota della distanza euclidea, ecc. Molti dei fatti di analisi non usano le proprietà algebriche degli elementi, e si basano sul concetto di distanza con il miele. Lo sviluppo di questo approccio, I.e. L'assegnazione della "creatura" relativa al concetto di limite conduce al concetto di spazio metrico. -44- Definizione 3. 3. Lascia che X sia una pluralità della natura arbitraria, e ρ (x, y) - la funzione effettiva di due variabili x, y 2 x, soddisfacendo i tre assiomi: 1) ρ (x, y) \u003e 0 8 x, y 2 x, e ρ (x, y) \u003d 0 solo a x \u003d y; 2) ρ (x, y) \u003d ρ (y, x) (assioma simmetria); 3) ρ (x, z) 6 ρ (x, y) + ρ (y, z) (disuguaglianza del triangolo). In questo caso, il set X con una determinata funzione ρ (x, y) è chiamato lo spazio metrico (ìp), e la funzione ρ (x, y): x x 7! R, soddisfacente 1) - 3), - metrica o distanza. Presentiamo alcuni esempi di spazi metrici. ESEMPIO 3. Sia x \u003d r con una distanza ρ (x, y) \u003d x y, otteniamo il MP R. N O N XI 2 R, I \u003d 1, n è ESEMPIO 3. 2. Let X \u003d R \u003d X1 ,. . . , Xn Set di set ordinati da N Numeri validi S n 2 P x \u003d x1 ,. . . , Xn con una distanza ρ (x, y) \u003d xk yk, otteniamo N1 k \u003d 1 N Dimensional Euclidean Space R. n ESEMPIO 3. 3. Lascia X \u003d C A, B; R è il set di tutte le funzioni continue su A, B con valori in RN, I.e. Funzioni di vettore continuo, con una distanza ρ (f, g) \u003d max f (t) g (t), dove f \u003d f (t) \u003d f1 (t) ,. . . , Fn (t), T2 s n 2 p g \u003d g (t) G1 (T) ,. . . , Gn (t), f g \u003d fk (t) gk (t). K \u003d 1 per esempi 3. 1 -3. 3 Assiomi MP sono controllati direttamente, lasciarlo come un esercizio per un lettore di coscienza. Come al solito, se ogni naturale n viene messo in conformità con l'elettrone di Xn 2 X, si dice che la sequenza dei punti Xn ÌP X viene data. Definizione 3. 4. La sequenza di punti Xn MP X è chiamato x 2 X Punto, se lim ρ xn, x \u003d 0. n! 1 Definizione 3. 5. La sequenza Xn è chiamata fondamentale, se per qualsiasi ε\u003e 0 c'è un numero naturale n (ε) che per tutto n\u003e n e M\u003e n disuguaglianza ρ xn, xm< ε. Определение 3. 6. МП X называется полным (ПÌП), если любая его фундаментальная последовательность сходится к элементу этого пространства. -45- Полнота пространств из примеров 3. 1 и 3. 2 доказана в курсе математиче ского анализа. Докажем полноту пространства X = C a, b ; Rn из примера 3. 3. Пусть последовательность вектор-функций fn (t) фундаментальна в X. Это означает, что 8 ε > 0 9 N (ε) 2 N: 8m, n\u003e n \u003d) max fm (t) fn (t)< ε. Поэтому выполнены условия критерия Коши равномерной на a, b сходи мости функциональной последовательности, т.е. fn (t) ⇒ f (t) при n ! 1. Как известно, предел f (t) в этом случае – непрерывная функция. Докажем, что f (t) – это предел fn (t) в метрике пространства C a, b ; Rn . Из равномерной сходимости получим, что для любого ε > 0 C'è un numero N (ε) tale che per tutti n\u003e n e per tutti T 2 A, B viene eseguito disuguaglianza fn (t) f (t)< ε, а так как в левой части неравенства стоит непрерывная функция, то и max fn (t) f (t) < ε. Это и есть сходимость в C a, b ; Rn , следовательно, полнота установлена. В заключение приведем пример МП, не являющегося полным. Пример 3. 4. Пусть X = Q – множество рациональных чисел, а расстояние ρ(x, y) = x y – модуль разностиpдвух чисел. Если взять последовательность десятичных приближений числа 2 , т.е. x1 = 1; x2 = 1, 4; x3 = 1, 41; . . ., p то, как известно, lim xn = 2 62 Q. При этом данная последовательность n!1 сходится в R, значит она фундаментальна в R, а следовательно, она фундаментальна и в Q. Итак, последовательность фундаментальна в Q, но предела, лежащего в Q, не имеет. Пространство не является полным. Определение 3. 7. Пусть X – метрическое пространство. Отображение A: X 7! X называется сжимающим отображением или сжатием, если 9 α < 1 такое, что для любых двух точек x, y 2 X выполняется неравенство: ρ Ax, Ay 6 α ρ(x, y). (3.7) Определение 3. 8. Точка x 2 X называется неподвижной точкой отображения A: X 7! X, если Ax = x . Замечание 3. 2. Всякое сжимающее отображение является непрерывным, т.е. любую сходящуюся последовательность xn ! x, n ! 1, переводит в сходящуюся последовательность Axn ! Ax, n ! 1, а предел последовательности – в предел ее образа. Действительно, если A – сжимающий оператор, то положив в (3.7) X X y = xn ! x, n ! 1, получим, что Axn ! Ax, n ! 1. Теорема 3. 2 (Принцип сжимающих отображений). Пусть X полное метрическое пространство, а отображение A: X 7! X является сжатием. Òогда A имеет и притом единственную неподвижную точку. Доказательство этого фундаментального факта см. , . -46- Приведем обобщение теоремы 3. 2, часто встречающееся в приложениях. Теорема 3. 3 (Принцип сжимающих отображений). Пусть X полное метрическое пространство, а отображение A: X 7! X таково, что оператор B = Am с некоторым m 2 N является сжатием. Òогда A имеет и притом единственную неподвижную точку. Доказательство. При m = 1 получаем теорему 3. 2. Пусть m > 1. Considera B \u003d AM, B: X 7! X, B - Compressione. Per teorema 3. 2, l'operatore B ha un singolo punto fisso x. Dal momento che A e B sono permutibili AB \u003d BA e poiché BX \u003d X, abbiamo B Ax \u003d A BX \u003d AX, I.e. Y \u003d AX è anche un punto fisso B, e dal momento che un tale punto da teorema 3. 2 è unico, quindi y \u003d x o ax \u003d x. Da qui x è un punto fisso dell'operatore A. Proveremo l'unicità. Supponiamo che x ~ 2 x e a ~ x \u003d x ~, quindi m m 1 b x ~ \u003d a x ~ \u003d a x ~ \u003d. . . \u003d x ~, I.e. x ~ - Anche un punto fisso per B, dove x ~ \u003d x. Il teorema è dimostrato. Un'occasione speciale dello spazio metrico è uno spazio normalizzato lineare. Diamo la definizione esatta. Definizione 3. 9. Lascia che X sia uno spazio lineare (reale o complesso), che definisce la funzione numerica x che agisce da x a r e soddisfacendo gli assiomi: 1) 8 x 2 x, x\u003e 0 e x \u003d 0 solo con x \u003d θ; 2) 8 x 2 x e per 8 λ 2 r (o c) 3) 8 x, viene eseguito 2 x). x + y 6 x + y λx \u003d jλj x; (La disuguaglianza del triangolare - quindi X è chiamata lo spazio normalizzato, x: x 7! R, soddisfacente 1) - 3), - la norma. E la funzione nell'aspirazione normalizzata può essere introdotta la distanza tra gli elementi da parte della formula ρ x, y \u003d x y. L'esecuzione di un assioma di MP è facilmente controllato. Se lo spazio metrico ottenuto è completamente, lo spazio normalizzato corrispondente è chiamato spazio di bana. Spesso inserisci la norma sullo stesso spazio lineare in modi diversi. A questo proposito, un tale concetto sorge. Definizione 3. 10. Lascia che X sia uno spazio lineare, e - due 1 2 standard inseriti su di esso. Le norme sono chiamate 1 2 norme, se 9 c1\u003e 0 e c2\u003e 0: 8 x 2 x c1 x 1 6 x 2 6 c2 x 1. Nota 3. 3. Se entrambe sono due norme equivalenti su X e 1 2 Spazio X è completa di uno, allora è completamente e su un'altra norma. Ciò segue facilmente dal fatto che la sequenza Xn X, il software fondamentale, fondamentale anche in e converge a 1 2 dello stesso elemento x 2 x. -47- revisione 3. 4. Spesso teorema 3. 2 (o 3. 3 ) Viene utilizzato quando una palla chiusa di questo spazio o br (a) \u003d x 2 x ρ x, a 6 r, dove R\u003e 0 e A 2 x è fissato come uno spazio completo. Si noti che una palla chiusa in PMP stesso è un PMP con la stessa distanza. La prova di questo fatto lascia il lettore come esercizio. Nota 3. 5. La completezza dello spazio è stata stabilita sopra. 3. Si noti che nello spazio lineare X \u003d C 0, T, R, è possibile immettere la velocità KXK \u003d max x (t) in modo che il valore normalizzato sarà Banach. Sullo stesso set di continui sullo spazio 0, le funzioni vettoriali, è possibile inserire la norma equivalente dalla formula kxkα \u003d max e αt x (t) con qualsiasi α 2 R. Quando α\u003e 0, l'equivalenza deriva dalle disuguaglianze e αt x (t) 6 e αt x (t) 6 x (T) a tutti T 2 0, T, da dove E αt kxk 6 kxkα 6 kxk. Utilizzeremo questa proprietà di norme equivalenti nella prova del teorema sulla solvibilità inequivocabile del problema di Cauchy per sistemi lineari (normali). 3. 4. I teoremi dell'esistenza e dell'unicità della soluzione del problema di Cauchy per i sistemi normali considerano il problema di Cauchy (3.1) - (3.2), dove i dati iniziali T0, Y 0 2 G, G RN + 1 è il Campo di determinazione della funzione vettoriale f (t, y). In questo paragrafo, supponiamo che G abbia un certo aspetto N G \u003d A, b o, dove la regione rn e br (y 0) \u003d si svolge il teorema. Y 2 rn y y0 6 r è interamente in. Teorema 3. 4. Lasciare la funzione vettoriale f (t, y) 2 c g; Rn, con 9 m\u003e 0 e l\u003e 0 tali che condizioni 1) 8 (t, y) 2 g \u003d A, B f (t, y) sono eseguiti 6 m; 2) 8 (t, y 1), (t, y 2) 2 g f t, y 2 f t, y 1 6 l y 2 y 1. Fissare il numero Δ 2 (0, 1) e lasciare T0 2 (A, B). R 1 δ 9 h \u003d min; ; T0 A; B T0\u003e 0 ml tale che esiste e più della soluzione del problema di êshoshi (3.1), (3.2) y (t) sulla sezione JH \u003d T0 H, T0 + H, e Y (T) Y 0 6 R con tutto T 2 JH. -48- Prova. In Lemma 3. 1, il problema di Cauchy (3.1), (3.2) è equivalente a un'equazione integrale (3.6) sul segmento, e quindi, su JH, dove H è scelto sopra. Considera lo spazio di Banach x \u003d c (jh; rn) - una pluralità di funzioni vettoriali continue x (t) con la norma kxk \u003d max x (t) e introduciamo un set chiuso: T2JH SR Y 0 N 8 T 2 JH \u003d y (t) 2 x y (t) n \u003d y (t) 2 x yy (t) o 0 6r \u003d o 0 y 6R Palla chiusa in X. Operatore A, determinato dalla regola: AY \u003d Y 0 + ZT F τ , Y (τ) dτ, t 2 jh, t0 traduce sr y 0 a se stesso, poiché y 0 \u003d max ay zt t2jh f τ, y (τ) dτ 6 h \u200b\u200bm 6 r t0 per condizione 1 del teorema e la definizione H. Dimostriamo che A è sull'operatore di compressione SR. Prendi un arbitrario 0 1 2 e stimiamo il valore: y (t), y (t) 2 sr y a 2 ay 1 \u003d max zt h t2jh f τ, y 2 (τ) se τ, y 1 (τ) dτ 6 T0 ZT 6 MAX T2JH F τ, y 2 (τ) f τ, y 1 (τ) dτ 6 t0 6h l y2 y1 \u003d q y2 y1, dove q \u003d h l 6 1 δ< 1 по условию теоремы. Отметим (см. замечание 3.4), что замкнутый шар SR y 0 в банаховом пространстве X является ПМП. Поэтому применим принцип сжимающих отображений (теорема 3. 2), по которому существует единственное решение y(t) 2 X интегрального уравнения (3.6) на отрезке Jh = t0 h, t0 + h . Теорема доказана. Замечание 3. 6. Если t0 = a или t0 = b, то утверждение теоремы сохраняется с небольшими изменениями в формуле для h и отрезка Jh . Приведем эти изменения для случая t0 = a. В этом случае число h > 0 Selezionare secondo la formula r \u003d min m; 1L δ; B A, e come segmento JH, è necessario prendere -49- JH \u003d T0, T0 + H \u003d A, A + H. Tutte le altre condizioni del teorema non cambiano, la sua prova, tenendo conto del riesame, è raggiunta. Per il caso di T0 \u003d B, allo stesso modo, h \u003d min m; 1L δ; B A, e JH \u003d B H, b. n Nota 3. 7. Nel teorema 3. 4, la condizione f (t, y) 2 c g; R, dove G \u003d A, B D può essere indebolito sostituendo il requisito della continuità f (t, y) per variabile T ogni volta Y 2, con la conservazione delle condizioni 1 e 2. La prova non cambierà. Nota 3. 8. È sufficiente che le condizioni 1 e 2 dei teoremi 3. 4 sono state eseguite 0 a tutti T, Y 2 A, B BR Y, e il costante M e L dipendono da 0 in genere parlando, da y e r . Con più duri le limitazioni sulla funzione FT, Y vettoriale, simile al teorema 2.4, è valida per il teorema dell'esistenza e l'unicità della soluzione del problema di Cauchy (3.1), (3.2) su tutto il segmento A, b. N teorema 3. 5. Lasciare la funzione FX Vector FX, Y 2 CG, R, dove G \u003d A, B RN, esiste l\u003e 0, tale che la condizione 8 t, y 1, t, y 2 2 g ft, Y 2 ft, y 1 6 ly 2 y 1. Se un T0 2 e Y 0 2 RN, su A, B esiste e inoltre, l'unica soluzione del compito di êshoshi (3.1), (3.2). Prova. Prendi Arbitrary T0 2 e Y 0 2 RN e risolvili. Il set G \u003d A, B RN è presente nel modulo: G \u003d G [G +, dove Rn, e G + \u003d T0, B Rn, credendo che T0 2 A, B, altrimenti uno G \u003d A, T0 dal Le fasi di evidenza saranno assenti. Condurre il ragionamento per la striscia G +. Sul segmento T0, B, il problema di Cauchy (3.1), (3.2) è equivalente all'equazione (3.6). Presentiamo l'operatore Integral n A: x 7! X, dove x \u003d c t0, b; R, secondo la formula ay \u003d y 0 + zt f τ, y (τ) dτ. T0 quindi l'equazione integrale (3.6) può essere scritta sotto forma di un'equazione dell'operatore AY \u003d Y. (3.8) Se dimostriamo che l'equazione dell'operatore (3.8) ha una soluzione nel PMP X, quindi otteniamo la solvibilità del problema di Cauchy su T0, B o su A, T0 per G. Se questa soluzione è l'unica, a causa dell'equivalenza, l'unica soluzione sarà la soluzione del problema di Cauchy. Diamo due prove della solvibilità non ambigua dell'equazione (3.8). Prova 1. Prendi in considerazione le funzioni arbitrarie vettoriali 1 2 n y, y 2 x \u003d c T0, B; R, i valori sono validi per qualsiasi -50- T 2 T0, B AY 2: AY 1 ZT HF τ, Y 2 (τ) \u003d 1 f τ, y (τ) i dτ 6 t0 zt y 2 (τ ) 6L Y 1 (τ) Dτ 6 l T0 max y 2 (τ) y 1 (τ) 6 τ 2 T0 6L T T0 Y2 Y1. Ricordiamo che in X la norma è inserita come segue: kxk \u003d max x (τ). Dalla disuguaglianza risultante avremo: 2 2 AY 2 1 AY ZT HF τ, AY 2 (τ) \u003d 1 I τ t0 dτ f τ, ay (τ) dτ 6 t0 6 l2 zt ay 2 (τ) AY 1 ( τ) Dτ 6 l2 T0 ZT Y2 Y1 6 T0 6 L2 T T0 2! 2 y2 y1. Continuando questo processo, può essere dimostrato dall'induzione che 8 K 2 N AK Y 2 AK Y 1 6 L T T0 K! K y2 y1. Quindi, infine, otteniamo una stima di AK Y 2 AK Y 1 \u003d Max AK Y 2 L B T0 AK Y 1 6 L B T0 K! K y2 y1. K poiché α (k) \u003d! 0 per k! 1, quindi c'è un k0 che, k! che α (k0)< 1. Применим теорему 3. 3 с m = k0 , получим, что A имеет в X неподвижную точку, причем единственную. Доказательство 2. В банаховом пространстве X = C t0 , b ; Rn введем семейство эквивалентных норм, при α > 0 (vedi Nota 3. 5) per Formula: X α \u003d max e αt x (t). -51- Mostreremo che puoi scegliere α in modo che l'operatore A nello spazio X con la norma a α\u003e l sarà compressiva. Infatti, α Ay 2 AY 1 α ZT HF τ, y 2 (τ) αt \u003d max e 1 f τ, y (τ) i dτ 6 t0 6 max e αt zt y 2 (τ) l y 1 (τ) dτ \u003d T0 \u003d \u200b\u200bl Max e zt αt e ατ y 2 (τ) eατ dτ 6 y 1 (τ) T0 6 l max e αt zt eατ dτ max e ατ y 2 (τ) y 1 (τ) \u003d y2 α t0 \u003d l Max e αt da α\u003e l, quindi q \u003d l α 1 1 αt e α e eαt0 l \u003d α α b t0 y 2 y1 y 1 α \u003d 1 e α b T0.< 1 и оператор A – сжимающий (например, с α = L). Таким образом, доказано, что существует и притом единственная вектор + функция ϕ (t) – решение Коши (3.1), (3.2) на t0 , b . задачи Rn задачу Коши сведем к предыдущей при Для полосы G = a, t0 помощи линейной замены τ = 2t0 t. В самом деле, для вектор-функция y(t) = y 2t0 τ = y~(t), задача Коши (3.1), (3.2) запишется в виде: y~(τ) = f (2t0 τ, y~(τ)) f~ (τ, y~(τ)) , y~(t0) = y 0 на отрезке τ 2 t0 , 2t0 a . Поэтому можно применить предыдущие рассуждения, взяв b = 2t0 a. Итак, существует и притом единственное решение задачи Коши y~(τ) на всем отрезке τ 2 t0 , 2t0 a и,следовательно, ϕ (t) = y~ 2t0 t – решение задачи Коши (3.1), (3.2) на a, t0 . Возьмем «сшивку» вектор-функций ϕ (t) и ϕ+ (t), т.е. вектор-функцию ϕ (t), при t 2 a, t0 ; ϕ(t) = ϕ+ (t), при t 2 t0 , b . d dτ Как при доказательстве теоремы 2.4, устанавливаем, что ϕ(t) – это решение задачи Коши (3.1), (3.2) на a, b . Единственность его следует из следствия 3.1. Теорема доказана. -52- Замечание 3.9. Утверждение 3. 1 дает достаточное условие того, что векторфункция f t, y в выпуклой по y области G удовлетворяет условию Лип∂fi шица. А именно, для этого достаточно, чтобы все частные производные ∂yj были непрерывны и ограничены некоторой константой в G. Аналогично следствию из теоремы 2.4 получаем такое утверждение для нормальных систем. Ñледствие 3.3. Пусть вектор-функция f (t, y) определена, непрерывна в открытой полосе o n n Q = (t, y) t 2 (A, B), y 2 R , причем A и B могут быть символами 1 и +1 соответственно. Предположим, что вектор-функция f (t, y) удовлетворяет в полосе Q условию: 9 L(t) 2 C(A, B) такая, что 8 t 2 (A, B) и 8 y 1 , y 2 2 Rn выполняется неравенство f t, y 2 f t, y 1 6 L(t) y 2 y 1 . Òогда при любых начальных данных t0 2 (A, B), y 0 2 Rn существует и притом единственное решение задачи Êоши (3.1), (3.2) на всем интервале (A, B). Доказательство проводится повторением соответствующих рассуждений из п. 2.2, оставляем его добросовестному читателю. В качестве других следствий из доказанной теоремы 3. 5 получим теорему о существовании и единственности решения задачи Коши для линейной системы. Речь идет о задаче нахождения вектор-функции y(t) = (y1 (t), . . . , yn (t)) из условий: d y(t) = A(t)y(t) + f 0 (t), t 2 a, b , (3.9) dt y(t0) = y 0 , (3.10) где A(t) = aij (t) – n n матрица, f 0 (t) – вектор-функция переменной t, t0 2 a, b , y 0 2 Rn – заданы. n 0 Теорема 3. 6. Пусть a (t) 2 C a, b , f (t) 2 C a, b ; R , ij t0 2 a, b , y 0 2 Rn заданы. Òогда существует и притом единственное решение задачи Êоши (3.9), (3.10) на всем отрезке a, b . Доказательство. Проверим, что для функции f t, y = A(t)y + f 0 (t) выполнены теоремы 3. 5. Во-первых, f t, y 2 C G; Rn , где условия G = a, b Rn , как сумма двух непрерывных функций. Во-вторых, (см. неравенство (3.5)): Ay 2 Ay 1 = A(t) y 2 y 1 6 A 2 y 2 y 1 6 L y 2 y 1 , -53- поскольку A n P 2 ! 21 aij (t) 2 – непрерывная на a, b функция. Тогда i,j=1 по теореме 3. 5 получим доказываемое утверждение. Теорема 3. 7. Пусть aij (t) 2 C (R), f 0 (t) 2 C (R; Rn) заданы. Òогда при любых начальных данных t0 2 R, y 0 2 Rn существует и притом единственное решение задачи Êоши (3.9), (3.10) на всей числовой прямой. Доказательство. Проверим, что выполнены все условия следствия из теоре мы 3. 5 с A = 1, B = +1. Вектор-функция f t, y = A(t)y + f 0 (t) непрерывна в полосе Q = R Rn как функция (n + 1) переменной. Кроме того, L(t) y 2 y 1 , f t, y 2 f t, y 1 6 A(t) 2 y 2 y 1 где L(t) – непрерывная по условию теоремы на A, B = 1, +1 функция. Таким образом, все условия следствия выполнены, и теорема доказана. -54- Глава IV. Некоторые классы обыкновенных дифференциальных уравнений, решаемых в квадратурах В ряде случаев дифференциальное уравнение может быть решено в квадратурах, т.е. для его решения может быть получена явная формула. В таких случаях методика решения, как правило, следующая. 1. Предполагая, что решение существует, находят формулу, по которой решение выражается. 2. Существование решения затем доказывается непосредственной проверкой, т.е. подстановкой найденной формулы в исходное уравнение. 3. Используя дополнительные данные, (например, задавая начальные данные Коши) выделяют конкретное решение. 4. 1. Уравнение с разделяющимися переменными В данном параграфе применим уже использовавшуюся выше методику для решения уравнений с разделяющимися переменными, т.е. уравнений вида y 0 (x) = f1 (x) f2 (y), Áудем предполагать, что f1 (x) 2 C (ha, bi) , x 2 ha, bi, f2 (y) 2 C (hc, di) , y 2 hc, di. (4.1) f2 (y) 6= 0 на hc, di а следовательно, в силу непрерывности функции f2 (y), она сохраняет знак на hc, di . Итак, предположим, что в окрестности U(x0) точки x0 2 ha, bi существует решение y = ϕ(x) уравнения (4.1). Тогда имеем тождество dy = f1 (x) f2 (y), dx y = ϕ(x), 55 x 2 U(x0). Но тогда равны дифференциалы dy = f1 (x) dx f2 (y) мы учли, что f2 (y) 6= 0 . Из равенства дифференциалов вытекает равенство первообразных с точностью до постоянного слагаемого: Z Z dy = f1 (x) dx + C. (4.2) f2 (y) После введения обозначений Z F2 (y) = Z dy , f2 (y) F1 (x) = f1 (x) dx, получаем равенство F2 (y) = F1 (x) + C. (4.3) Заметим, что F20 (y) = 1/f2 (y) 6= 0, поэтому к соотношению (4.3) можно применить теорему об обратной функции, в силу которой равенство (4.3) можно разрешить относительно y и получить формулу y(x) = F2 1 F1 (x) + C , (4.4) справедливую в окрестности точки x0 . Покажем, что равенство (4.4) дает решение уравнения (4.1) в окрестности точки x0 . Действительно, используя теорему о дифференцировании обратной функции и учитывая соотношение F10 (x) = f1 (x), получим y 0 (x) = dF2 1 (z) dz z=F1 (x)+C F10 (x) = 1 F20 (y) y=y(x) F10 (x) = f2 y(x) f1 (x), откуда следует, что функция y(x) из (4.4) является решением уравнения (4.1). Рассмотрим теперь задачу Коши для уравнения (4.1) с начальным условием y(x0) = y0 . (4.5) Формулу (4.2) можно записать в виде Zy dξ = f2 (ξ) Zx f1 (x) dx + C. x0 y0 Подставляя сюда начальное условие (4.5), находим, что C = 0, т.е. решение задачи Коши определяется из соотношения Zy y0 dξ = f2 (ξ) Zx f1 (x) dx. x0 -56- (4.6) Очевидно, оно определяется однозначно. Итак, общее решение уравнения (4.1) задается формулой (4.4), а решение задачи Коши (4.4), (4.5) находится из соотношения (4.6). Замечание 4. 1. Если f2 (y) = 0 при некоторых y = yj , (j = 1, 2, . . . , s), то, очевидно, решениями уравнения (4.1) являются также функции y(x) yj , j = 1, 2, . . . , s, что доказывается непосредственной подстановкой этих функций в уравнение (4.1). Замечание 4. 2. Для уравнения (4.1) общее решение определяем из соотношения F2 (y) F1 (x) = C. (4.7) Таким образом, левая часть соотношения (4.7) постоянна на каждом решении уравнения (4.1). Соотношения типа (4.7) можно записать и при решении других ОДУ. Такие соотношения принято называть интегралами (общими интегралами) соответствующего ОДУ. Дадим точное определение. Определение 4. 1. Рассмотрим уравнение y 0 (x) = f (x, y). (4.8) Соотношение (x, y) = C, (4.9) где (x, y) – функция класса C 1 , называется общим интегралом уравнения (4.8), если это соотношение не выполняется тождественно, но выполняется на каждом решении уравнения (4.8). При каждом конкретном значении C 2 R мы получаем частный интеграл. Общее решение уравнения (4.8) получается из общего интеграла (4.9) с использованием теоремы о неявной функции. Пример 4. 1. Рассмотрим уравнение x (4.10) y 0 (x) = y и начальное условие y(2) = 4. (4.11) Применяя для решения уравнения (4.10) описанный выше метод разделения переменныõ, получаем y dy = x dx, откуда находим общий интеграл для уравнения (4.10) y 2 x2 = C. Общее решение уравнения (4.10) запишется по формуле p y= C + x2 , а решение задачи Коши (4.10), (4.11) – по формуле p y = 12 + x2 . -57- 4. 2. Линейные ОДУ первого порядка Линейным ОДУ первого порядка называется уравнение y 0 (x) + p(x)y(x) = q(x), Если q(x) 6 Если q(x) x 2 ha, bi. (4.12) 0, то уравнение называется неоднородным. 0, то уравнение называется однородным: y 0 (x) + p(x)y(x) = 0. (4.120) Теорема 4. 1. 1) Если y1 (x), y2 (x) решения однородного уравнения (4.120), α, β произвольные числа, то функция y (x) αy1 (x) + βy2 (x) также является решением уравнения (4.120). 2) Для общего решения неоднородного уравнения (4.12) имеет место формула yон = yоо + yчн; (4.13) здесь yон общее решение неоднородного уравнения (4.12), yчн частное решение неоднородного уравнения (4.12), yоо общее решение однородного уравнения (4.120). Доказательство. Первое утверждение теоремы доказывается непосредственной проверкой: имеем y 0 αy10 + βy20 = αp(x)y1 βp(x)y2 = p(x) αy1 + βy2 = p(x)y . Докажем второе утверждение. Пусть y0 – произвольное решение уравнения (4.120), тогда y00 = p(x)y0 . C другой стороны, 0 yчн = p(x)yчн + q(x). Следовательно, 0 y0 + yчн = p(x) y0 + yчн + q(x), а значит y y0 + yчн является решением уравнения (4.12). Таким образом, формула (4.13) дает решение неоднородного уравнения (4.12). Покажем, что по этой формуле могут быть получены все решения уравнения (4.12). Действительно, пусть y^(x) – решение уравнения (4.12). Положим y~(x) = y^(x) yчн. Имеем y~ 0 (x) = y^ 0 (x) 0 yчн (x) = p(x)^ y (x) + q(x) + p(x)yчн (x) = p(x) y^(x) q(x) = yчн (x) = p(x)~ y (x). Таким образом, y~(x) – решение однородного уравнения (4.120), и мы имеем y^(x) = y~(x) + yчн, что соответствует формуле (4.13). Теорема доказана. -58- Ниже будем рассматривать задачи Коши для уравнений (4.12) и (4.120) с начальным условием y(x0) = y0 , x0 2 ha, bi. (4.14) Относительно функций p(x) и q(x) из (4.12) будем предполагать, что p(x), q(x) 2 C (ha, bi). Замечание 4. 3. Положим F (x, y) = p(x)y + q(x). Тогда в силу наложенных выше условий на p(x) и q(x) имеем F (x, y), ∂F (x, y) 2 C G , ∂y G = ha, bi R1 , а следовательно, для задачи Коши (4.12), (4.14) справедливы теоремы существования и единственности решения, доказанные в главе 2. В доказанных ниже теоремах 4. 2, 4. 3 будут получены явные формулы для решений уравнений (4.120) и (4.12) и будет показано, что эти решения существуют на всем промежутке ha, bi. Рассмотрим сначала однородное уравнение (4.120). Теорема 4. 2. утверждения: Пусть p(x) 2 C (ha, bi). Òогда справедливы следующие 1) любое решение уравнения (4.120) определено на всем промежутке ha, bi; 2) общее решение однородного уравнения (4.120) задается формулой y(x) = C e где C R p(x) dx , (4.15) произвольная константа; 3) решение задачи Êоши (4.120), (4.14) задается формулой Rx y(x) = y0 e x0 p(ξ) dξ . (4.16) Доказательство. Выведем формулу (4.15) в соответствии с данной в начале главы методикой. Прежде всего заметим, что функция y 0 является решением уравнения (4.120). Пусть y(x) – решение уравнения (4.120), причем y 6 0 на ha, bi. Тогда 9 x1 2 ha, bi такая, что y(x1) = y0 6= 0. Рассмотрим уравнение (4.120) в окрестности точки x1 . Это уравнение с разделяющимися переменными, причем y(x) 6= 0 в некоторой окрестности точки x1 . Тогда, следуя результатам предыдущего параграфа, получим явную формулу для решения Z dy = p(x) dx, ln y = p(x) dx + C, y -59- откуда R y(x) = C e p(x) dx , c 6= 0, что соответствует формуле (4.15). Áолее того, решение y 0 также задается формулой (4.15) при C = 0. Непосредственной подстановкой в уравнение (4.120) убеждаемся, что функция y(x), задаваемая по формуле (4.15) при любом C, является решением уравнения (4.120), причем на всем промежутке ha, bi. Покажем, что формула (4.15) задает общее решение уравнения (4.120). Действительно, пусть y^(x) – произвольное решение уравнения (4.120). Если y^(x) 6= 0 на ha, bi, то повторяя предыдущие рассуждения, получим, что эта функция задается формулой (4.15) при некотором C: именно, если y^(x0) = y^0 , то Rx p(ξ) dξ . y^(x) = y^0 e x0 Если же 9x1 2 ha, bi такая, что y^(x1) = 0, то задача Коши для уравнения (4.120) с начальным условием y(x1) = 0 имеет два решения y^(x) и y(x) 0. В силу замечания 4. 3 решение задачи Коши единственно, поэтому y^(x) 0, а следовательно, задается формулой (4.15) при C = 0. Итак, доказано, что общее решение уравнения (4.120) определено на всем ha, bi и задается формулой (4.15). Формула (4.16), очевидно, является частным случаем формулы (4.15), поэтому задаваемая ею функция y(x) является решением уравнения (4.120). Кроме того, x R0 p(ξ) dξ y(x0) = y0 e x0 = y0 , поэтому формула (4.16) действительно задает решение задачи Коши (4.120), (4.14). Теорема 4. 2 доказана. Рассмотрим теперь неоднородное уравнение (4.12). Теорема 4. 3. Пусть p(x), q(x) 2 C (ha, bi). Òогда справедливы следующие утверждения: 1) любое решение уравнения (4.12) определено на всем промежутке ha, bi; 2) общее решение неоднородного уравнения (4.12) задается формулой Z R R R p(x) dx p(x) dx q(x)e p(x) dx dx, (4.17) y(x) = Ce +e где C произвольная константа; 3) решение задачи Êоши (4.12), (4.14) задается формулой Rx y(x) = y0 e x0 Zx p(ξ) dξ + q(ξ)e x0 -60- Rx ξ p(θ) dθ dξ. (4.18) Доказательство. В соответствии с теоремой 4. 1 и формулой (4.13) yон = yоо + yчн требуется найти частное решение уравнения (4.12). Для его нахождения применим так называемый метод вариации произвольной постоянной. Суть этого метода заключается в следующем: берем формулу (4.15), заменяем в ней константу C на неизвестную функцию C(x) и ищем частное решение уравнения (4.12) в виде yчн (x) = C(x) e R p(x) dx . (4.19) Подставим yчн (x) из (4.19) в уравнение (4.12) и найдем C(x) так, чтобы это уравнение удовлетворялось. Имеем R R 0 yчн (x) = C 0 (x) e p(x) dx + C(x) e p(x) dx p(x) . Подставляя в (4.12), получим C 0 (x) e R p(x) dx + C(x) e R p(x) dx p(x) + C(x)p(x) e R p(x) dx = q(x), откуда R C 0 (x) = q(x) e p(x) dx . Интегрируя последнее соотношение и подставляя найденное C(x) в формулу (4.19), получим, что Z R R p(x) dx yчн (x) = e q(x) e p(x) dx dx. Кроме того, в силу теоремы 4. 2 R yоо = C e p(x) dx . Поэтому используя формулу (4.13) из теоремы 4. 1, получаем, что Z R R R p(x) dx p(x) dx y(x) = yоо + yчн = Ce +e q(x)e p(x) dx dx, что совпадает с формулой (4.17). Очевидно, что формула (4.17) задает решение на всем промежутке ha, bi. Наконец, решение задачи Коши (4.12), (4.14) задается формулой Rx y(x) = y0 e Rx p(ξ) dξ x0 +e p(θ) dθ Zx Rξ p(θ) dθ q(ξ)ex0 x0 dξ. (4.20) x0 Действительно, формула (4.20) является частным случаем формулы (4.17) при C = y0 , поэтому она задает решение уравнения (4.12). Кроме того, x R0 y(x0) = y0 e x0 x R0 p(ξ) dξ +e p(θ) dθ Zx0 Rξ q(ξ)e x0 x0 x0 -61- p(θ) dθ dξ = y0 , поэтому удовлетворяются начальные данные (4.14). Приведем формулу (4.20) к виду (4.18). Действительно, из (4.20) имеем Rx y(x) = y0 e Zx p(ξ) dξ + x0 Rξ q(ξ)e x p(θ) dθ Rx dξ = y0 e Zx p(ξ) dξ + x0 x0 Rx q(ξ)e p(θ) dθ dξ, ξ x0 что совпадает с формулой (4.18). Теорема 4. 3 доказана. Ñледствие(об оценке решения задачи Коши для линейной системы). x0 2 ha, bi, p(x), q(x) 2 C (ha, bi), причем p(x) 6 K, q(x) 6 M Пусть 8 x 2 ha, bi. Òогда для решения задачи Êоши (4.12), (4.14) справедлива оценка M Kjx x0 j Kjx x0 j y(x) 6 y0 e + e 1 . K (4.21) Доказательство. Пусть сначала x > x0. In virtù di (4.18), abbiamo rx zx k dξ y (x) 6 y0 ex0 rx k dθ m eξ + dξ \u003d y0 ek (x x0) zx + m x0 \u003d y0 ek (x x0) ek (x ξ) dξ \u003d x0 m + k e k (x ξ) ξ \u003d x ξ \u003d x0 \u003d y0 e kjx x0 j m kjx + e k x0 j 1. Ora lascia x.< x0 . Тогда, аналогично, получаем x R0 y(x) 6 y0 e x K dξ Zx0 + Rξ M ex K dθ dξ = y0 eK(x0 x) Zx0 +M x = y0 e K(x0 eK(ξ x) dξ = x M x) eK(ξ + K x) ξ=x0 ξ=x M h K(x0 x) = y0 e + e K M Kjx Kjx x0 j e = y0 e + K i 1 = K(x0 x) x0 j Таким образом, оценка (4.21) справедлива 8 x 2 ha, bi. Пример 4. 2. Решим уравнение y = x2 . x Решаем сначала однородное уравнение: y0 y0 y = 0, x dy dx = , y x ln jyj = ln jxj + C, -62- y = C x. 1 . Решение неоднородного уравнения ищем методом вариации произвольной постоянной: y чн = C(x) x, Cx = x2 , x 0 C x+C 0 C = x, x2 C(x) = , 2 откуда x3 , 2 y чн = а общее решение исходного уравнения y =Cx+ x3 . 2 4. 3. Однородные уравнения Однородным уравнением называется уравнение вида y 0 y (x) = f , (x, y) 2 G, x (4.22) G – некоторая область в R2 . Áудем предполагать, что f (t) – непрерывная функция, x 6= 0 при (x, y) 2 G. Однородное уравнение заменой y = xz, где z(x) – новая искомая функция, сводится к уравнению с разделяющимися переменными. В силу данной замены имеем y 0 = xz 0 + z. Подставляя в уравнение (4.22), получим xz 0 + z = f (z), откуда z 0 (x) = 1 x f (z) z . (4.23) Уравнение (4.23) представляет собой частный случай уравнения с разделяющимися переменными, рассмотренного в п. 4.1. Пусть z = ϕ(x) – решение уравнения (4.23). Тогда функция y = xϕ(x) является решением исходного уравнения (4.22). Действительно, y 0 = xϕ 0 (x) + ϕ(x) = x 1 x f (ϕ(x)) ϕ(x) + ϕ(x) = xϕ(x) y(x) = f ϕ(x) = f =f . x x Пример 4. 3. Ðешим уравнение y0 = y x -63- ey/x . Положим y = zx. Тогда xz 0 + z = z откуда y(x) = 1 z e, x z0 = ez , dz dx = , e z = ln jzj + C, z e x z = ln ln Cx , c 6= 0, x ln ln Cx , c 6= 0. 4. 4. Уравнение Áернулли Уравнением Áернулли называется уравнение вида y 0 = a(x)y + b(x)y α , α 6= 0, α 6= 1 . x 2 ha, bi (4.24) При α = 0 или α = 1 получаем линейное уравнение, которое было рассмотрено в п. 4.2. Áудем предполагать, что a(x), b(x) 2 C (ha, bi). Замечание 4. 4. Если α > 0, quindi, ovviamente, la funzione Y (x) 0 è una soluzione di equazione (4.24). Per risolvere l'equazione dei Bernilli (4.24) α 6 \u003d 0, α 6 \u003d 1, dividiamo entrambe le parti dell'equazione su Y α. A α\u003e 0, è necessario tener conto che in virtù dei commenti 4. 4, la funzione Y (x) 0 è la soluzione dell'equazione (4.24), che andrà persa con questa divisione. Di conseguenza, in futuro dovrà aggiungere alla soluzione generale. Dopo la divisione, otteniamo il rapporto y α y 0 \u003d A (x) y 1 α + b (x). Introduce una nuova funzione desiderata Z \u003d y 1 α, quindi z 0 \u003d (Pertanto, arriviamo all'equazione relativa a zz 0 \u003d (1 α) A (x) z + (1 α) y α) b (x) . α y 0, A (4.25) Equazione (4.25) è un'equazione lineare. Tali equazioni sono considerate in clausola 4.2, dove è stata ottenuta la formula di una soluzione generale, in virtù del quale la soluzione z (x) di equazione (4.25) è scritta nella forma z (x) \u003d CE R (α 1) a (x) DX + + (1 α) E R (α 1) A (X) DX 1 Z B (X) E R (α 1) A (X) DX DX. (4.26) Quindi la funzione Y (x) \u003d z 1 α (x), dove z (x) è definita in (4.26), è una soluzione dell'equazione Bernilli (4.24). -64- Inoltre, come descritto sopra, a α\u003e 0, la soluzione è anche la funzione Y (x) 0. Esempio 4. 4. 4. L'equazione Y 0 + 2Y \u003d y 2 ex. (4.27) Dividiamo l'equazione (4.27) a Y 2 e sostituiremo Z \u003d otteniamo un'equazione di disomogenea lineare 1 y. Di conseguenza, Z 0 + 2Z \u003d ex. (4.28) Per prima cosa decidiamo l'equazione omogenea: Z 0 + 2Z \u003d 0, DZ \u003d 2DX, Z LN JZJ \u003d 2X + C, Z \u003d CE2X, C 2 R1. Soluzione dell'equazione interstinata (4.28) Stiamo cercando una variazione di una costante arbitraria: zn \u003d c (x) E2x, c 0 E2X 2CE2X + 2CE2X \u003d EX, C 0 \u003d ex, c (x) \u003d ex, da dove Zhen \u003d ex e la soluzione generale dell'equazione (4.28) z (x) \u003d CE2X + ex. Di conseguenza, la soluzione dell'equazione Bernilli (4.24) è registrata come Y (X) \u003d 1. Ex + CE2X Inoltre, la soluzione di equazione (4.24) è anche la funzione Y (x) questa soluzione che abbiamo perso quando questa equazione è divisa in Y 2. 0. 4. 5. L'equazione in pieno differenziale considera l'equazione nei differenziali M (x, y) DX + N (X, Y) DX \u003d 0, (X, Y) 2 G, (4.29) G è qualche regione in R2. Questa equazione è chiamata l'equazione in pieno differenziale se c'è una funzione f (x, y) 2 c 1 (g), chiamata potenziale, tale che DF (x, y) \u003d m (x, y) dx + n ( x, y) dy, (x, y) 2 G. Assumeremo che m (x, y), n (x, y) 2 c 1 (g) e l'area G è un singolo collegato. In queste ipotesi, consapevole dell'analisi matematica (vedi, ad esempio), si è dimostrato che esiste il potenziale f (x, y) per l'equazione (I.e. (4.29) - l'equazione in differenziali completi) se e solo quando il mio (x, y) \u003d nx (x, y) -65- 8 (x, y) 2 g. Allo stesso tempo (x, zy) f (x, y) \u003d m (x, y) dx + n (x, y) dy, (4.30) (x0, y0) dove il punto (x0, y0) è un po ' Punto fisso da G, (X, Y) - Il punto corrente in G, e l'integrale curvilineo è preso lungo qualsiasi curva che collega i punti (x0, y0) e (x, y) e l'intero sdraiato nella regione G. Se Equazione (4.29) è equazione