Derivato. Differenziazione delle funzioni Differenziali di vario ordine

Derivato funzioni in un punto è chiamato limite del rapporto tra l'incremento della funzione e l'incremento dell'argomento, purché tenda a zero.

Regole fondamentali per trovare la derivata

Se - e - sono funzioni differenziabili nel punto , (cioè funzioni che hanno derivate nel punto), allora:

4) .

Tavola delle derivate delle funzioni fondamentali

1. 8.

2. 9.

3. 10.

5. 12.

6. 13.

7.

La regola per differenziare una funzione complessa. Se e , cioè , dove e hanno derivate, allora

Differenziazione di una funzione specificata parametricamente. Si specifichi parametricamente la dipendenza di una variabile da un'altra variabile mediante il parametro:

Compito 3. Trova le derivate di queste funzioni.

1)

Soluzione. Applicando la regola 2 per trovare le derivate e le formule 1 e 2 della tabella delle derivate, otteniamo:

Soluzione. Applicando la regola 4 per la ricerca delle derivate e le formule 1 e 13 della tavola delle derivate, otteniamo:

.

Soluzione. Applicando la regola 3 per la ricerca delle derivate e le formule 5 e 11 della tavola delle derivate, otteniamo:

Soluzione. Supponendo , dove , secondo la formula per trovare la derivata di una funzione complessa, otteniamo:

Soluzione. Abbiamo: Quindi, secondo la formula per trovare la derivata di una funzione specificata parametricamente, otteniamo:

4. Derivate di ordine superiore. La regola dell'Hopital.

Derivata del secondo ordine della funzioneè detta derivata della sua derivata, cioè . Per la derivata seconda si usano le seguenti notazioni: o , o .

Derivato del 1° ordine della funzioneè detta derivata della sua derivata del trentesimo ordine. Per la derivata del -esimo ordine si usano le seguenti notazioni: o , o .

La regola dell'Hopital. Siano le funzioni e differenziabili in un intorno del punto e la derivata non si annulla. Se le funzioni e sono contemporaneamente infinitamente piccole o infinitamente grandi in , e c'è un limite del rapporto in , allora c'è anche un limite del rapporto in . Inoltre

.

La regola vale anche quando.

Si noti che in alcuni casi, la divulgazione di incertezze del tipo o può richiedere l'applicazione ripetuta della regola di L'Hopital.

Incertezze sul tipo, ecc. con l'aiuto di trasformazioni elementari possono essere facilmente ridotti ad incertezze di forma o .

Compito 4. Trova il limite usando la regola di L'Hopital.

Soluzione Qui abbiamo l'incertezza della forma, perché A . Applichiamo la regola di L'Hopital:

.

Dopo aver applicato la regola di L'Hopital, abbiamo nuovamente ottenuto l'incertezza della forma, perché A . Applicando nuovamente la regola di L'Hopital, otteniamo:

.

5. Studio delle funzioni

a) Funzioni crescenti e decrescenti

La funzione viene chiamata crescente sul segmento , se per qualsiasi punto e dal segmento , dove , vale la disuguaglianza. Se una funzione è continua in un intervallo e per , allora aumenta nell'intervallo.

La funzione viene chiamata decrescente sul segmento , se per qualsiasi punto e dal segmento , dove , vale la disuguaglianza. Se una funzione è continua in un intervallo e per , allora diminuisce nell'intervallo.

Se una funzione aumenta o diminuisce solo in un dato intervallo, viene chiamata monotono sull'intervallo.

b) Estremi di funzione

punto minimo funzioni .

Se esiste un -intorno al punto tale che per tutti i punti di questo intorno vale la disuguaglianza, allora il punto viene chiamato punto massimo funzioni .

I punti di massimo e di minimo di una funzione si chiamano suoi punti estremi.

Il punto è chiamato punto stazionario, se o non esiste.

Se esiste un intorno di un punto stazionario tale che for e for , allora è il punto massimo della funzione.

Se esiste un intorno di un punto stazionario tale che in e in , allora il punto di minimo della funzione .

UN) Direzione convessa. Punti di flesso

convesso verso l'alto sull'intervallo , se si trova sotto la tangente tracciata al grafico della funzione in qualsiasi punto di questo intervallo.

Una condizione sufficiente per la convessità verso l'alto del grafico di una funzione su un intervallo è il soddisfacimento della disuguaglianza per uno qualsiasi degli intervalli considerati.

Il grafico di una funzione differenziabile si chiama convesso verso il basso sull'intervallo , se si trova sopra la tangente tracciata al grafico della funzione in qualsiasi punto di questo intervallo.

Una condizione sufficiente per la convessità verso il basso del grafico di una funzione su un intervallo è il soddisfacimento della disuguaglianza per uno qualsiasi degli intervalli considerati.

Viene chiamato il punto in cui cambia la direzione della convessità del grafico di una funzione punto di flesso.

Un punto in cui esiste o non esiste è l'ascissa di un punto di flesso se i segni a sinistra e a destra di esso sono diversi.

d) Asintoti

Se la distanza tra un punto sul grafico di una funzione e una certa retta tende a zero man mano che il punto si allontana infinitamente dall'origine, allora la retta si chiama asintoto del grafico della funzione.

Se c'è un numero tale che , allora la linea lo è asintoto verticale.

Se ci sono dei limiti , allora la linea è asintoto obliquo (orizzontale a k=0).

e) Studio generale della funzione

1. Dominio delle funzioni

2. Punti di intersezione del grafico con gli assi delle coordinate

3. Studio di una funzione di continuità, pari/dispari e periodicità

4. Intervalli di monotonicità di una funzione

5. Punti estremi della funzione

6. Intervalli di convessità e punti di flesso di un grafico di funzione

7. Asintoti del grafico di una funzione

8. Grafico della funzione.

Compito 5. Esplora la funzione e costruisci il suo grafico.

Soluzione. 1) La funzione è definita su tutta la linea numerica tranne il punto in cui il denominatore della frazione va a zero. . Abbiamo: non appartiene al dominio di definizione di questa funzione. Di conseguenza, i punti stazionari di questa funzione sono i punti con il valore minimo (come mostrato in figura).

8) Utilizzando i dati ottenuti, costruiamo un grafico della funzione originale:

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DERIVATO– derivata della funzione sì = F(X), dato su un certo intervallo ( UN, B) al punto X di questo intervallo è detto limite al quale tende il rapporto dell'incremento della funzione F a questo punto al corrispondente incremento dell'argomento quando l'incremento dell'argomento tende a zero.

La derivata è solitamente indicata come segue:

Anche altre designazioni sono ampiamente utilizzate:

Velocità istantanea.

Lasciamo il punto M si muove in linea retta. Distanza S punto in movimento, contato da una posizione iniziale M 0 , dipende dal tempo T, cioè. S C'è funzione tempo T: S= F(T). Lasciamo che ad un certo punto nel tempo T punto in movimento M era a distanza S dalla posizione di partenza M 0, e in un momento successivo T+D T si è trovata in una posizione M 1 - sulla distanza S+D S dalla posizione iniziale ( vedi foto.).

Pertanto, nel corso del tempo D T distanza S modificato dell'importo D S. In questo caso si dice che durante l'intervallo di tempo D T grandezza S incremento ricevuto D S.

La velocità media non può in tutti i casi caratterizzare con precisione la velocità di movimento di un punto M in un determinato momento T. Se, ad esempio, il corpo all'inizio dell'intervallo D T si è mosso molto velocemente, e alla fine molto lentamente, la velocità media non sarà in grado di riflettere le caratteristiche indicate del movimento del punto e dare un'idea della vera velocità del suo movimento in questo momento T. Per esprimere con maggiore precisione la velocità reale utilizzando la velocità media, è necessario impiegare un periodo di tempo D più breve T. Caratterizza in modo più completo la velocità di movimento di un punto al momento T il limite al quale tende la velocità media in D T® 0. Questo limite è chiamato velocità attuale:

Pertanto, la velocità di movimento in un dato momento è chiamata limite del rapporto di incremento del percorso D S all'incremento temporale D T, quando l'incremento temporale tende a zero. Perché

Significato geometrico della derivata. Tangente al grafico di una funzione.

La costruzione delle tangenti è uno di quei problemi che hanno portato alla nascita del calcolo differenziale. Si intitolava la prima opera pubblicata relativa al calcolo differenziale, scritta da Leibniz Un nuovo metodo dei massimi e dei minimi, nonché delle tangenti, per il quale né le quantità frazionarie né quelle irrazionali costituiscono un ostacolo, e un tipo speciale di calcolo per questo.

Sia la curva il grafico della funzione sì =F(X) in un sistema di coordinate rettangolari ( cm. riso.).

Ad un certo valore X la funzione conta sì =F(X). Questi valori X E sì il punto sulla curva corrisponde M 0(X, sì). Se l'argomento X Dare incremento D X, quindi il nuovo valore dell'argomento X+D X corrisponde al nuovo valore della funzione sì+ D sì = F(X + D X). Il punto corrispondente della curva sarà il punto M 1(X+D X,sì+D sì). Se disegni una secante M 0M 1 e indicato con j l'angolo formato da una trasversale con la direzione positiva dell'asse Bue, dalla figura è subito chiaro che .

Se ora D X tende a zero, quindi il punto M 1 si muove lungo la curva, avvicinandosi al punto M 0 e angolo J cambia con il d X. A Dx® 0 l'angolo j tende ad un certo limite a e la retta passante per il punto M 0 e la componente con direzione positiva dell'asse x, l'angolo a, sarà la tangente desiderata. La sua pendenza è:

Quindi, F´( X) = tga

quelli. valore derivato F´( X) per un dato valore di argomento Xè uguale alla tangente dell'angolo formato dalla tangente al grafico della funzione F(X) nel punto corrispondente M 0(X,sì) con direzione dell'asse positiva Bue.

Differenziabilità delle funzioni.

Definizione. Se la funzione sì = F(X) ha una derivata nel punto X = X 0, allora la funzione è a questo punto differenziabile.

Continuità di una funzione avente una derivata. Teorema.

Se la funzione sì = F(X) è differenziabile ad un certo punto X = X 0, allora a questo punto è continuo.

Pertanto, la funzione non può avere una derivata nei punti di discontinuità. La conclusione opposta è errata, cioè dal fatto che ad un certo punto X = X 0 funzione sì = F(X) è continuo non significa che sia differenziabile a questo punto. Ad esempio, la funzione sì = |X| continuo per tutti X(–̐ x x = 0 non ha derivata. A questo punto non c'è alcuna tangente al grafico. C'è una tangente destra e una sinistra, ma non coincidono.

Alcuni teoremi sulle funzioni differenziabili. Teorema sulle radici della derivata (teorema di Rolle). Se la funzione F(X) è continua sul segmento [UN,B], è differenziabile in tutti i punti interni di questo segmento e alle estremità X = UN E X = B va a zero ( F(UN) = F(B) = 0), quindi all'interno del segmento [ UN,B] c'è almeno un punto X= Con, UN c b, in cui la derivata Fў( X) va a zero, cioè Fў( C) = 0.

Teorema dell'incremento finito (teorema di Lagrange). Se la funzione F(X) è continua sull'intervallo [ UN, B] ed è differenziabile in tutti i punti interni di questo segmento, quindi all'interno del segmento [ UN, B] c'è almeno un punto Con, UN c b quello

F(B) – F(UN) = Fў( C)(B– UN).

Teorema sul rapporto tra gli incrementi di due funzioni (teorema di Cauchy). Se F(X) E G(X) – due funzioni continue sul segmento [UN, B] e differenziabile in tutti i punti interni di questo segmento, e Gў( X) non svanisce da nessuna parte all'interno di questo segmento, quindi all'interno del segmento [ UN, B] c'è un punto del genere X = Con, UN c b quello

Derivati ​​di vari ordini.

Lasciamo la funzione sì =F(X) è differenziabile su qualche intervallo [ UN, B]. Valori derivati F ў( X), in generale, dipendono da X, cioè. derivato F ў( X) è anche una funzione di X. Quando differenziamo questa funzione, otteniamo la cosiddetta derivata seconda della funzione F(X), che è indicato F ўў ( X).

Derivato N--esimo ordine di funzione F(X) è detta derivata (del primo ordine) della derivata N- 1- th ed è indicato dal simbolo sì(N) = (sì(N– 1))ў.

Differenziali di vario ordine.

Differenziale di funzione sì = F(X), Dove X– variabile indipendente, sì dy = F ў( X)dx, alcune funzioni da X, ma da X solo il primo fattore può dipendere F ў( X), il secondo fattore ( dx) è l'incremento della variabile indipendente X e non dipende dal valore di questa variabile. Perché dy c'è una funzione da X, allora possiamo determinare il differenziale di questa funzione. Il differenziale del differenziale di una funzione è chiamato differenziale del secondo o differenziale del secondo ordine di questa funzione ed è indicato D 2sì:

D(dx) = D 2sì = F ўў( X)(dx) 2 .

Differenziale N- del primo ordine è detto differenziale primo del differenziale N- 1- ° ordine:

d no sì = D(d.n–1sì) = F(N)(X)dx(N).

Derivata parziale.

Se una funzione non dipende da uno, ma da più argomenti x io(io varia da 1 a N,io= 1, 2,… N),F(X 1,X 2,… x n), quindi nel calcolo differenziale viene introdotto il concetto di derivata parziale, che caratterizza la velocità di variazione di una funzione di più variabili quando cambia un solo argomento, ad esempio, x io. Derivata parziale del 1° ordine rispetto a x ioè definita come una derivata ordinaria e si presuppone che tutti gli argomenti tranne x io, mantenere valori costanti. Per le derivate parziali viene introdotta la notazione

Le derivate parziali del primo ordine così definite (come funzioni degli stessi argomenti) possono a loro volta avere anche derivate parziali, queste sono derivate parziali del secondo ordine, ecc. Tali derivati ​​presi da argomenti diversi sono detti misti. Le derivate miste continue dello stesso ordine non dipendono dall'ordine di differenziazione e sono uguali tra loro.

Anna Chugainova