x 2 2x функцийн графикийг зур. Онлайн график

Хавтгай дээрх тэгш өнцөгт координатын системийг сонгож, аргументийн утгыг абсцисса тэнхлэг дээр зуръя. X, ба ординат дээр - функцийн утгууд у = f(x).

Функцийн график у = f(x)Энэ нь абсциссууд нь функцийг тодорхойлох мужид хамаарах бүх цэгүүдийн олонлог бөгөөд ординатууд нь функцийн харгалзах утгатай тэнцүү байна.

Өөрөөр хэлбэл y = f (x) функцийн график нь хавтгайн бүх цэгүүдийн олонлог, координат юм. X, цагтхарилцааг хангадаг у = f(x).

Зураг дээр. 45 ба 46 функцүүдийн графикийг харуулав y = 2x + 1Тэгээд y = x 2 - 2x.

Хатуухан хэлэхэд функцийн графикийг ялгах хэрэгтэй (яг математикийн тодорхойлолтдээр өгөгдсөн) ба зурсан муруй нь үргэлж графын илүү бага нарийвчлалтай ноорог өгдөг (тэр ч байтугай дүрмээр бол графикийг бүхэлд нь биш, харин түүний зөвхөн нэг хэсэг нь төгсгөлийн хэсэгт байрладаг. онгоц). Дараа нь бид ерөнхийдөө "график" гэхээсээ илүү "график" гэж хэлэх болно.

График ашиглан функцийн утгыг цэг дээр олох боломжтой. Тухайлбал, хэрэв цэг x = aфункцийн тодорхойлолтын мужид хамаарна у = f(x), дараа нь дугаарыг олох f(a)(жишээ нь цэг дээрх функцийн утгууд x = a) та үүнийг хийх хэрэгтэй. Энэ нь абсцисса цэгээр зайлшгүй шаардлагатай x = aординатын тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам зурах; Энэ шугам нь функцийн графиктай огтлолцоно у = f(x)нэг цэг дээр; Графикийн тодорхойлолтын дагуу энэ цэгийн ординат нь тэнцүү байх болно f(a)(Зураг 47).

Жишээлбэл, функцийн хувьд f(x) = x 2 - 2xграфикийг (46-р зураг) ашиглан бид f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 гэх мэтийг олно.

Функцийн график нь функцийн зан төлөв, шинж чанарыг тодорхой харуулдаг. Жишээ нь, Зураг дээр авч үзвэл. 46 функц болох нь тодорхой байна y = x 2 - 2xүед эерэг утгыг авдаг X< 0 болон цагт x > 2, сөрөг - 0-д< x < 2; наименьшее значение функция y = x 2 - 2xхүлээн авдаг x = 1.

Функцийн графикийг зурах f(x)Та онгоцны бүх цэг, координатыг олох хэрэгтэй X,цагттэгшитгэлийг хангадаг у = f(x). Ихэнх тохиолдолд ийм цэгүүд хязгааргүй олон байдаг тул үүнийг хийх боломжгүй юм. Тиймээс функцийн графикийг ойролцоогоор дүрсэлсэн болно - их эсвэл бага нарийвчлалтай. Хамгийн энгийн нь хэд хэдэн цэгийг ашиглан график зурах арга юм. Энэ нь аргументаас бүрддэг XХ 1, x 2, x 3,..., x k гэсэн хязгаарлагдмал тооны утгыг өгч, сонгосон функцийн утгуудыг багтаасан хүснэгтийг үүсгэ.

Хүснэгт дараах байдлаар харагдаж байна.

Ийм хүснэгтийг гаргасны дараа бид функцийн график дээрх хэд хэдэн цэгийг тоймлон гаргаж болно у = f(x). Дараа нь эдгээр цэгүүдийг гөлгөр шугамаар холбосноор функцийн графикийн ойролцоо дүрсийг олж авна y = f(x).

Гэхдээ олон цэгийн графикийн арга нь маш найдваргүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Үнэн хэрэгтээ, төлөвлөсөн цэгүүдийн хоорондох графикийн төлөв байдал болон авсан хэт цэгүүдийн хоорондох сегментийн гаднах байдал тодорхойгүй хэвээр байна.

Жишээ 1. Функцийн графикийг зурах у = f(x)хэн нэгэн аргумент болон функцийн утгуудын хүснэгтийг эмхэтгэсэн:

Холбогдох таван цэгийг Зураг дээр үзүүлэв. 48.

Эдгээр цэгүүдийн байршилд үндэслэн тэрээр функцийн график нь шулуун шугам юм (Зураг 48-д тасархай шугамаар харуулав) гэж дүгнэсэн. Энэ дүгнэлтийг найдвартай гэж үзэж болох уу? Энэхүү дүгнэлтийг батлах нэмэлт хүчин зүйл байхгүй бол үүнийг найдвартай гэж үзэх боломжгүй юм. найдвартай.

Бидний мэдэгдлийг батлахын тулд функцийг авч үзье

.

Тооцоолол нь -2, -1, 0, 1, 2 цэг дээрх энэ функцийн утгыг дээрх хүснэгтэд яг тодорхой зааж өгсөн болохыг харуулж байна. Гэхдээ энэ функцийн график нь огт шулуун биш (49-р зурагт үзүүлэв). Өөр нэг жишээ бол функц байж болно y = x + l + sinπx;Үүний утгыг дээрх хүснэгтэд мөн тайлбарласан болно.

Эдгээр жишээнүүд нь "цэвэр" хэлбэрээрээ хэд хэдэн цэгийг ашиглан график зурах арга нь найдваргүй болохыг харуулж байна. Тиймээс өгөгдсөн функцийн графикийг зурахдаа ихэвчлэн дараах байдлаар ажиллана. Нэгдүгээрт, энэ функцийн шинж чанарыг судалж, түүний тусламжтайгаар та графикийн ноорог зурж болно. Дараа нь функцийн утгыг хэд хэдэн цэг дээр (түүний сонголт нь функцийн тогтоосон шинж чанараас хамаарна) тооцоолсноор графикийн харгалзах цэгүүдийг олно. Эцэст нь энэ функцийн шинж чанарыг ашиглан барьсан цэгүүдээр муруй зурна.

График ноорог олоход хэрэглэгдэх функцүүдийн зарим шинж чанаруудыг (хамгийн энгийн бөгөөд түгээмэл хэрэглэгддэг) дараа нь авч үзэх болно, харин одоо бид график байгуулахад түгээмэл хэрэглэгддэг аргуудыг авч үзэх болно.

y = |f(x)| функцийн график.

Функцийн графикийг байгуулахад ихэвчлэн шаардлагатай байдаг у = |f(x)|, хаана f(x) -өгөгдсөн функц. Үүнийг хэрхэн хийснийг танд сануулъя. Тооны үнэмлэхүй утгыг тодорхойлсноор бид бичиж болно

Энэ нь функцийн график гэсэн үг юм y =|f(x)|графикаас авч болно, функц у = f(x)дараах байдлаар: функцийн график дээрх бүх цэгүүд у = f(x), ординатууд нь сөрөг бус байвал өөрчлөгдөхгүй байх; цаашлаад функцийн графикийн цэгүүдийн оронд у = f(x)Сөрөг координаттай бол функцийн график дээр харгалзах цэгүүдийг байгуулах хэрэгтэй у = -f(x)(жишээ нь функцийн графикийн хэсэг
у = f(x), тэнхлэгийн доор байрладаг X,тэнхлэгт тэгш хэмтэй туссан байх ёстой X).

Жишээ 2.Функцийн график зур y = |x|.

Функцийн графикийг авч үзье у = x(Зураг 50, а) ба энэ графикийн хэсэг нь at X< 0 (тэнхлэгийн доор хэвтэж байна X) тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй туссан X. Үүний үр дүнд бид функцийн графикийг авдаг y = |x|(Зураг 50, b).

Жишээ 3. Функцийн график зур y = |x 2 - 2x|.

Эхлээд функцийн графикийг зуръя y = x 2 - 2x.Энэ функцийн график нь парабол бөгөөд түүний салбарууд дээшээ чиглэсэн, параболын орой нь координаттай (1; -1), түүний график нь 0 ба 2 цэгүүдэд х тэнхлэгийг огтолж байна. интервалд (0; 2) функц нь сөрөг утгыг авдаг тул графикийн энэ хэсэг нь абсцисса тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй тусгагдсан байдаг. Зураг 51-д функцийн графикийг үзүүлэв y = |x 2 -2x|, функцийн график дээр үндэслэсэн y = x 2 - 2x

y = f(x) + g(x) функцийн график

Функцийн график байгуулах асуудлыг авч үзье y = f(x) + g(x).Хэрэв функцийн график өгөгдсөн бол у = f(x)Тэгээд у = g(x).

y = |f(x) + g(x)| функцийн тодорхойлолтын муж гэдгийг анхаарна уу y = f(x) ба y = g(x) функц хоёулаа тодорхойлогдсон x-ийн бүх утгуудын багц, өөрөөр хэлбэл энэ тодорхойлолтын муж нь f(x) функцүүдийн огтлолцол юм. болон g(x).

Оноо өгье (x 0 , y 1) Мөн (x 0, y 2) функцүүдийн графикт тус тус хамаарна у = f(x)Тэгээд у = g(x), өөрөөр хэлбэл y 1 = f(x 0), y 2 = g(x 0).Тэгвэл (x0;. y1 + y2) цэг нь функцийн графикт хамаарна у = f(x) + g(x)(for f(x 0) + g(x 0) = y 1 +y2),. функцийн график дээрх дурын цэг у = f(x) + g(x)ингэж авч болно. Тиймээс функцийн график у = f(x) + g(x)функцийн графикаас авч болно у = f(x). Тэгээд у = g(x)цэг бүрийг солих ( x n, y 1) функциональ график у = f(x)цэг (x n, y 1 + y 2),Хаана y 2 = g(x n), өөрөөр хэлбэл цэг бүрийг шилжүүлэх замаар ( x n, y 1) функцийн график у = f(x)тэнхлэгийн дагуу цагтхэмжээгээр y 1 = g(x n). Энэ тохиолдолд зөвхөн ийм цэгүүдийг авч үзнэ X n, аль аль нь функцийг тодорхойлсон у = f(x)Тэгээд у = g(x).

Функцийн графикийн энэ арга у = f(x) + g(x) функцын график нэмэх гэж нэрлэдэг у = f(x)Тэгээд у = g(x)

Жишээ 4. Зураг дээр график нэмэх аргыг ашиглан функцийн графикийг байгуулсан
y = x + sinx.

Функцийг зурахдаа y = x + sinxбид тэгж бодсон f(x) = x,А g(x) = sinx.Функцийн графикийг зурахын тулд бид -1.5π, -, -0.5, 0, 0.5,, 1.5, 2 абсциссатай цэгүүдийг сонгоно. f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinxСонгосон цэгүүд дээр тооцоолж, үр дүнг хүснэгтэд байрлуулцгаая.

Функцийн график нь координатын хавтгай дээрх функцийн үйл ажиллагааны дүрслэл юм. График нь функцийг өөрөө тодорхойлох боломжгүй функцийн янз бүрийн талыг ойлгоход тусална. Та олон функцийн графикийг барьж болох бөгөөд тус бүрд нь тодорхой томьёо өгөх болно. Аливаа функцийн графикийг тодорхой алгоритм ашиглан бүтээдэг (хэрэв та тодорхой функцийн график зурах үйл явцыг мартсан тохиолдолд).

Алхам

Шугаман функцийн график зурах

Функц шугаман эсэхийг тодорхойл.Шугаман функцийг маягтын томъёогоор өгөгдсөн F (x) = k x + b (\displaystyle F(x)=kx+b)эсвэл y = k x + b (\displaystyle y=kx+b)(жишээ нь, ), түүний график нь шулуун шугам юм. Тиймээс томьёо нь нэг хувьсагч ба нэг тогтмол (тогтмол) -ийг илтгэгч, язгуур тэмдэг гэх мэт зүйлгүйгээр агуулдаг. Хэрэв ижил төрлийн функц өгөгдсөн бол ийм функцийн графикийг зурах нь маш энгийн. Шугаман функцүүдийн бусад жишээ энд байна:

Y тэнхлэг дээрх цэгийг тэмдэглэхийн тулд тогтмолыг ашиглана.Тогтмол (b) нь графикийн Y тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийн "y" координат бөгөөд өөрөөр хэлбэл энэ нь "x" координат нь 0-тэй тэнцүү цэг юм. Тиймээс хэрэв x = 0-ийг томъёонд орлуулсан бол. , дараа нь y = b (тогтмол). Бидний жишээнд y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5)тогтмол нь 5-тай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл Y тэнхлэгтэй огтлолцох цэг нь координаттай (0.5). Энэ цэгийг координатын хавтгайд зур.

Шугамын налууг ол.Энэ нь хувьсагчийн үржүүлэгчтэй тэнцүү байна. Бидний жишээнд y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5)"x" хувьсагчийн хувьд 2-ын хүчин зүйл байна; ингэснээр налуугийн коэффициент нь 2-той тэнцүү байна.Налуугийн коэффициент нь шулуун шугамын X тэнхлэгт налуу өнцгийг тодорхойлдог, өөрөөр хэлбэл налуугийн коэффициент их байх тусам функц хурдан өсөх эсвэл буурах болно.

Налууг бутархай хэлбэрээр бич.Өнцгийн коэффициент нь налуу өнцгийн тангенс, өөрөөр хэлбэл босоо зайг (шулуун шугамын хоёр цэгийн хоорондох) хэвтээ зайд (ижил цэгүүдийн хоорондох) харьцаатай тэнцүү байна. Бидний жишээн дээр налуу нь 2 тул босоо зай нь 2, хэвтээ зай нь 1 байна гэж хэлж болно. Үүнийг бутархай хэлбэрээр бичнэ үү. 2 1 (\displaystyle (\frac (2)(1))).

• Хэрэв налуу нь сөрөг байвал функц буурч байна.

1. Шулуун шугам нь Y тэнхлэгтэй огтлолцох цэгээс босоо болон хэвтээ зайг ашиглан хоёр дахь цэгийг зур. Шугаман функцийг хоёр цэг ашиглан графикаар зурж болно. Бидний жишээнд Y тэнхлэгтэй огтлолцох цэг нь координаттай (0.5); Энэ цэгээс дээш 2 зай, дараа нь баруун тийш 1 зай ав. Нэг цэгийг тэмдэглэх; энэ нь координаттай байх болно (1,7). Одоо та шулуун шугам зурж болно.

   Захирагч ашиглан хоёр цэгээр шулуун шугам зур.Алдаа гаргахгүйн тулд гурав дахь цэгийг олоорой, гэхдээ ихэнх тохиолдолд графикийг хоёр цэгийг ашиглан зурж болно. Тиймээс та шугаман функцийг зурсан байна.

   Координатын хавтгай дээрх цэгүүдийг зурах

   1. Функцийг тодорхойлох.Функцийг f(x) гэж тэмдэглэнэ. "y" хувьсагчийн бүх боломжит утгыг функцийн домэйн гэж нэрлэдэг ба "x" хувьсагчийн бүх боломжит утгыг функцийн домэйн гэж нэрлэдэг. Жишээлбэл, y = x+2, тухайлбал f(x) = x+2 функцийг авч үзье.

      Хоёр огтлолцсон перпендикуляр шугам зур.Хэвтээ шугам нь Y тэнхлэг юм.

      Координатын тэнхлэгүүдийг тэмдэглэ.Тэнхлэг бүрийг тэнцүү хэсгүүдэд хувааж, дугаарлана. Тэнхлэгүүдийн огтлолцох цэг нь 0. X тэнхлэгийн хувьд: эерэг тоонуудыг баруун тийш (0-ээс), сөрөг тоонуудыг зүүн тийш зурна. Y тэнхлэгийн хувьд: эерэг тоонуудыг дээд талд (0-ээс), сөрөг тоонуудыг доод талд нь зурна.

      "x"-ийн утгуудаас "y"-ийн утгыг ол.Бидний жишээнд f(x) = x+2. Харгалзах y утгыг тооцоолохын тулд энэ томьёонд тодорхой x утгуудыг орлуулна уу. Хэрэв нийлмэл функц өгөгдсөн бол тэгшитгэлийн нэг талын "y"-г тусгаарлах замаар хялбаршуулна.

      • -1: -1 + 2 = 1
      • 0: 0 +2 = 2
      • 1: 1 + 2 = 3

   2. Координатын хавтгай дээрх цэгүүдийг зур.Хос координат бүрийн хувьд дараахь зүйлийг хий: X тэнхлэг дээр харгалзах утгыг олж, босоо шугам (цэсгээр) зурах; Y тэнхлэг дээр харгалзах утгыг олж, хэвтээ шугам (тасархай) зур. Хоёр тасархай шугамын огтлолцлын цэгийг тэмдэглэ; Тиймээс та график дээр цэг зурсан байна.

      Тасалсан зураасыг арилга.График дээрх бүх цэгүүдийг координатын хавтгайд зурсны дараа үүнийг хий. Тайлбар: f(x) = x функцийн график нь координатын төвийг дайран өнгөрөх шулуун шугам [координат (0,0) цэг]; f(x) = x + 2 график нь f(x) = x шулуунтай параллель шулуун боловч хоёр нэгжээр дээш шилжсэн тул (0,2) координаттай цэгийг дайран өнгөрдөг (учир нь тогтмол нь 2) .

   Нарийн төвөгтэй функцийг графикаар зурах

   Функцийн тэгийг ол.Функцийн тэг нь x хувьсагчийн утгууд бөгөөд y = 0, өөрөөр хэлбэл эдгээр нь график X тэнхлэгтэй огтлолцдог цэгүүд юм, гэхдээ бүх функцууд тэгтэй байдаггүй гэдгийг санаарай Аливаа функцийн графикийг зурах үйл явцын алхам. Функцийн тэгийг олохын тулд үүнийг тэгтэй тэнцүүл. Жишээлбэл:

   Хэвтээ асимптотуудыг олж тэмдэглэ.Асимптот гэдэг нь функцийн график ойртож байгаа мөртлөө огтлолцохгүй шугам юм (өөрөөр хэлбэл энэ мужид функц тодорхойлогдоогүй, жишээлбэл, 0-д хуваагдах үед). Асимптотыг тасархай шугамаар тэмдэглэ. Хэрэв "x" хувьсагч нь бутархайн хуваарьт байгаа бол (жишээлбэл, y = 1 4 − x 2 (\displaystyle y=(\frac (1)(4-x^(2))))), хуваагчийг тэг болгож, “x”-ийг ол. "X" хувьсагчийн олж авсан утгуудад функц тодорхойлогдоогүй байна (бидний жишээнд x = 2 ба x = -2 дундуур тасархай шугам зурна уу), учир нь та 0-д хувааж болохгүй. Гэхдээ асимптотууд нь зөвхөн функц нь бутархай илэрхийлэл агуулсан тохиолдолд байдаггүй. Тиймээс нийтлэг ойлголтыг ашиглахыг зөвлөж байна:

"Функцуудын өөрчлөлт" - Seesaw. Y тэнхлэгийг дээш шилжүүлнэ үү. Дууг бүрэн хэмжээгээр нь эргүүлээрэй - та агаарын чичиргээний a (далайц) нэмэгдэх болно. X тэнхлэгийг зүүн тийш шилжүүлнэ үү. Хичээлийн зорилго. 3 оноо. Хөгжим. Функцийг графикаар зурж D(f), E(f) ба T тодорхойлно: x тэнхлэгийн дагуу шахалт. Y тэнхлэгийг доош шилжүүл. Палетт дээр улаан нэмж, цахилгаан соронзон хэлбэлзлийн k (давтамж) -ийг бууруулна.

"Хэд хэдэн хувьсагчийн функцууд" - Дээд зэрэглэлийн деривативууд. Хоёр хувьсагчийн функцийг графикаар дүрсэлж болно. Дифференциал ба интеграл тооцоо. Дотоод болон хилийн цэгүүд. 2 хувьсагчийн функцийн хязгаарыг тодорхойлох. Математик анализын курс. Берман. 2 хувьсагчийн функцийн хязгаар. Функцийн график. Теорем. Хязгаарлагдмал талбай.

“Функцийн тухай ойлголт” - Квадрат функцийн график зурах арга. Функцийг тодорхойлох янз бүрийн аргыг судлах нь чухал арга зүйн арга юм. Квадрат функцийг судлах онцлог. "Функц" гэсэн ойлголтын генетикийн тайлбар. Сургуулийн математикийн хичээлийн функц, график. Тодорхой шугаман функцийн графикийг зурахдаа шугаман функцийн санааг тодотгож өгдөг.

"Сэдвийн функц" - Шинжилгээ. Оюутан юу мэддэгийг биш, харин юу мэддэгийг нь олж мэдэх хэрэгтэй. Улсын нэгдсэн шалгалтыг амжилттай өгч, их дээд сургуульд элсэн орох үндсийг тавих. Синтез. Хэрэв сурагчид өөрөөр ажилладаг бол багш тэдэнтэй өөрөөр ажиллах ёстой. Аналоги. Ерөнхий ойлголт. Улсын нэгдсэн шалгалтын даалгаврыг сургуулийн математикийн хичээлийн агуулгын үндсэн блокуудын дагуу хуваарилах.

“Функцийн графикийн хувиргалт” - График хувиргалтын төрлүүдийг давт. График бүрийг функцтэй тохируул. Тэгш хэм. Хичээлийн зорилго: График бүтээх нарийн төвөгтэй функцууд. Өөрчлөлтийн жишээг авч үзээд хувиргалтын төрөл бүрийг тайлбарлая. Функцийн графикийг хувиргах. Сунгах. Энгийн функцүүдийн графикийн хувиргалтыг ашиглан функцийн график байгуулах ажлыг бэхжүүлэх.

"Функцийн график" - Функцийн төрөл. Функцийн утгын муж нь y хамааралтай хувьсагчийн бүх утгууд юм. Функцийн график нь парабол юм. Функцийн график нь куб парабол юм. Функцийн график нь гипербол юм. Тодорхойлолтын домэйн ба функцийн утгын хүрээ. Мөр бүрийг тэгшитгэлтэй нь холбоно уу: Функцийн тодорхойлолтын муж нь x бие даасан хувьсагчийн бүх утгууд юм.

1. Бутархай шугаман функц ба түүний график

P(x) ба Q(x) нь олон гишүүнт байх y = P(x) / Q(x) хэлбэрийн функцийг бутархай рационал функц гэнэ.

Та рационал тооны тухай ойлголтыг аль хэдийн мэддэг болсон байх. Үүний нэгэн адил оновчтой функцууднь хоёр олон гишүүнтийн категори хэлбэрээр илэрхийлэгдэх функцууд юм.

Хэрэв бутархай рационал функц нь хоёр шугаман функцийн категори юм - нэгдүгээр зэргийн олон гишүүнт, өөрөөр хэлбэл. хэлбэрийн функц

y = (ax + b) / (cx + d), тэгвэл үүнийг бутархай шугаман гэж нэрлэдэг.

y = (ax + b) / (cx + d) функцэд c ≠ 0 (эсвэл функц шугаман y = ax/d + b/d болно) ба a/c ≠ b/d (өөрөөр бол функц тогтмол). Шугаман бутархай функц нь x = -d/c-ээс бусад бүх бодит тоонуудад тодорхойлогддог. Бутархай шугаман функцүүдийн графикууд нь таны мэдэх y = 1/x графикаас хэлбэрийн хувьд ялгаатай биш юм. y = 1/x функцийн график болох муруйг нэрлэнэ гипербол. Үнэмлэхүй утгаараа х хязгааргүй өсөхөд y = 1/x функц нь үнэмлэхүй утгаараа хязгааргүй буурч, графикийн хоёр салаа абсцисс руу ойртоно: баруун нь дээрээс, зүүн нь доороос ойртоно. Гиперболын мөчрүүд ойртож буй мөрүүдийг түүний гэж нэрлэдэг асимптотууд.

Жишээ 1.

y = (2x + 1) / (x – 3).

Шийдэл.

Бүх хэсгийг сонгоцгооё: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).

Одоо энэ функцын графикийг y = 1/x функцийн графикаас дараах хувиргалтаар олж авах нь хялбар юм: баруун тийш 3 нэгж сегментээр шилжих, Ой тэнхлэгийн дагуу 7 дахин сунах, 2-оор шилжих. нэгж сегментүүд дээшээ.

Аливаа бутархай y = (ax + b) / (cx + d) ижил төстэй байдлаар бичиж, "бүхэл хэсэг" -ийг тодруулж болно. Үүний үр дүнд бүх бутархай шугаман функцүүдийн графикууд нь координатын тэнхлэгийн дагуу янз бүрийн аргаар шилжиж, Ой тэнхлэгийн дагуу сунасан гиперболууд юм.

Дурын бутархай шугаман функцийн графикийг байгуулахын тулд энэ функцийг тодорхойлсон бутархайг хувиргах шаардлагагүй. График нь гипербол гэдгийг бид мэдэж байгаа тул түүний салбарууд ойртож буй шулуун шугамуудыг олоход хангалттай байх болно - гиперболын асимптотууд x = -d/c ба y = a/c.

Жишээ 2.

y = (3x + 5)/(2x + 2) функцийн графикийн асимптотуудыг ол.

Шийдэл.

Х = -1 үед функц тодорхойлогдоогүй байна. Энэ нь x = -1 шулуун шугам нь босоо асимптотын үүрэг гүйцэтгэдэг гэсэн үг юм. Хэвтээ асимптотыг олохын тулд аргумент х үнэмлэхүй утгаараа нэмэгдэхэд y(x) функцын утгууд ямар утгатай болохыг олж мэдье.

Үүнийг хийхийн тулд бутархайн хуваагч ба хуваагчийг х-д хуваана.

у = (3 + 5/х) / (2 + 2/х).

x → ∞ хувьд бутархай нь 3/2 байх хандлагатай байна. Энэ нь хэвтээ асимптот нь шулуун шугам y = 3/2 гэсэн үг юм.

Жишээ 3.

y = (2x + 1)/(x + 1) функцийн графикийг зур.

Шийдэл.

Бутархайн "бүхэл хэсгийг" сонгоно уу:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Одоо энэ функцын графикийг y = 1/x функцийн графикаас дараах хувиргалтаар олж болохыг хялбархан харж болно: зүүн тийш 1 нэгжээр шилжих, Ox-тэй харьцуулахад тэгш хэмтэй дэлгэц, Ой тэнхлэгийн дагуу дээш 2 нэгж сегмент.

Domain D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Утгын хүрээ E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд: c Oy: (0; 1); c Үхэр: (-1/2; 0). Функц нь тодорхойлолтын домэйны интервал бүрт нэмэгддэг.

Хариулт: Зураг 1.

2. Бутархай рационал функц

y = P(x) / Q(x) хэлбэрийн бутархай рационал функцийг авч үзье, P(x) ба Q(x) нь эхнийхээс өндөр зэрэгтэй олон гишүүнтүүд юм.

Ийм оновчтой функцүүдийн жишээ:

y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) эсвэл y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Хэрэв y = P(x) / Q(x) функц нь эхнийхээс өндөр зэрэгтэй хоёр олон гишүүнтийн хуваалтыг илэрхийлж байвал түүний график нь дүрмээр илүү төвөгтэй байх бөгөөд заримдаа үүнийг үнэн зөв байгуулахад хэцүү байдаг. , бүх нарийн ширийн зүйлсийн хамт. Гэсэн хэдий ч, бидний дээр дурдсантай ижил төстэй техникийг ашиглах нь ихэвчлэн хангалттай байдаг.

Бутархайг зөв бутархай болгоё (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 +p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 +p t x + q t).

Мэдээжийн хэрэг, бутархай рационал функцийн графикийг энгийн бутархайн графикуудын нийлбэр хэлбэрээр авч болно.

Бутархай рационал функцүүдийн график зурах

Бутархай рационал функцийн график байгуулах хэд хэдэн аргыг авч үзье.

Жишээ 4.

y = 1/x 2 функцийн графикийг зур.

Шийдэл.

Бид y = x 2 функцийн графикийг ашиглан y = 1/x 2-ын графикийг байгуулж, графикуудыг "хуваах" аргыг ашигладаг.

Домэйн D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Утгын хүрээ E(y) = (0; +∞).

Тэнхлэгтэй огтлолцох цэг байхгүй. Функц нь жигд байна. Бүх x-ийн хувьд (-∞; 0) интервалаас нэмэгдэнэ, x-ийн хувьд 0-ээс +∞ хүртэл буурна.

Хариулт: Зураг 2.

Жишээ 5.

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) функцийн графикийг зур.

Шийдэл.

Домэйн D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3)(x – 1) / (-3(x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.

Энд бид хүчин зүйлчлэл, бууралт, бууралтын аргыг шугаман функц болгон ашигласан.

Хариулт: Зураг 3.

Жишээ 6.

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) функцийн графикийг зур.

Шийдэл.

Тодорхойлолтын муж нь D(y) = R. Функц нь тэгш байх тул график нь ординаттай харьцуулахад тэгш хэмтэй байна. График бүтээхээсээ өмнө илэрхийллийг дахин хувиргаж, бүх хэсгийг нь тодруулцгаая.

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).

Бутархай рационал функцийн томьёо дахь бүхэл тоог тусгаарлах нь график байгуулахад хийх гол ажлуудын нэг гэдгийг анхаарна уу.

Хэрэв x → ±∞ бол y → 1, i.e. y = 1 шулуун шугам нь хэвтээ асимптот юм.

Хариулт: Зураг 4.

Жишээ 7.

y = x/(x 2 + 1) функцийг авч үзээд түүний хамгийн том утгыг үнэн зөв олохыг хичээцгээе. графикийн баруун тал дахь хамгийн өндөр цэг. Энэ графикийг үнэн зөв бүтээхийн тулд өнөөдрийн мэдлэг хангалттай биш байна. Мэдээжийн хэрэг, бидний муруй тийм ч өндөр "өсөх" боломжгүй, учир нь хуваагч нь тоологчийг хурдан "гүйцэж" эхэлдэг. Функцийн утга 1-тэй тэнцүү байж болох эсэхийг харцгаая.Үүний тулд x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0 тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй. Энэ тэгшитгэл нь бодит үндэсгүй. Энэ нь бидний таамаг буруу байна гэсэн үг. Хамгийн ихийг олохын тулд их ач холбогдолфункцийг ашиглахын тулд та A = x/(x 2 + 1) тэгшитгэл ямар том А үед шийдэлтэй болохыг олж мэдэх хэрэгтэй. Анхны тэгшитгэлийг квадрат тэгшитгэлээр орлуулъя: Аx 2 – x + А = 0. Энэ тэгшитгэл нь 1 – 4А 2 ≥ 0 үед шийдтэй байна. Эндээс бид олно. хамгийн өндөр үнэ цэнэ A = 1/2.

Хариулт: Зураг 5, max y(x) = ½.

Асуулт хэвээр байна уу? Функцуудыг хэрхэн графиклахаа мэдэхгүй байна уу?
Багшаас тусламж авахын тулд бүртгүүлнэ үү.
Эхний хичээл үнэ төлбөргүй!

вэб сайт, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулахдаа эх сурвалжийн холбоосыг оруулах шаардлагатай.

"Байгалийн логарифм" - 0.1. Байгалийн логарифмууд. 4. Логарифмын сумнууд. 0.04. 7.121.

“Эрчим хүчний функц 9-р зэрэг” - U. Куб парабол. Y = x3. 9-р ангийн багш Ладошкина И.А. Y = x2. Гипербола. 0. Y = xn, y = x-n энд n нь өгөгдсөн натурал тоо. X. Экспонент нь тэгш натурал тоо (2n).

“Квадрат функц” - 1 Квадрат функцийн тодорхойлолт 2 Функцийн шинж чанар 3 Функцийн график 4 Квадрат тэгш бус байдал 5 Дүгнэлт. Шинж чанар: Тэгш бус байдал: Бэлтгэсэн 8А ангийн сурагч Андрей Герлиц. Төлөвлөгөө: График: - a > 0 үед монотон байдлын интервалууд< 0. Квадратичная функция. Квадратичные функции используются уже много лет.

“Квадрат функц ба түүний график” - Шийдэл.y=4x A(0.5:1) 1=1 А-харъяалагдана. a=1 үед y=ax томьёо хэлбэрийг авна.

“8-р ангийн квадрат функц” - 1) Параболын оройг байгуул. Квадрат функцийн график зурах. x. -7. Функцийн графикийг байгуул. Алгебр 8-р ангийн багш 496 Бовина сургууль Т.В -1. Барилгын төлөвлөгөө. 2) Тэгш хэмийн тэнхлэгийг x=-1 байгуул. y.