Нийлмэл функцийн язгуурын дериватив. Деривативыг ол: алгоритм ба шийдлийн жишээ

19.11.2021

Үүний дээр бид хамгийн энгийн деривативуудад дүн шинжилгээ хийж, мөн ялгах дүрэм, дериватив олох зарим техниктэй танилцсан. Тиймээс, хэрэв та функцийн деривативын талаар тийм ч сайн биш эсвэл энэ өгүүллийн зарим зүйл бүрэн ойлгомжгүй байвал эхлээд дээрх хичээлийг уншина уу. Ноцтой сэтгэл санааг тохируулна уу - материал нь тийм ч амар биш, гэхдээ би үүнийг энгийн бөгөөд ойлгомжтой байдлаар харуулахыг хичээх болно.

Практикт та нийлмэл функцийн деривативтай маш олон удаа харьцах хэрэгтэй болдог, тэр ч байтугай дериватив олох даалгавар өгөх үед би бараг үргэлж хэлнэ.

Нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрмийн (№ 5) хүснэгтээс бид харж байна.

Бид ойлгож байна. Юуны өмнө тэмдэглэгээг авч үзье. Энд бид хоёр функцтэй - ба , функц нь дүрсээр хэлбэл функцэд үүрлэсэн байна. Ийм төрлийн функцийг (нэг функц нөгөөд нь үүрлэсэн үед) нарийн төвөгтэй функц гэж нэрлэдэг.

Би функцийг дуудах болно гадаад функц, болон функц – дотоод (эсвэл үүрлэсэн) функц.

! Эдгээр тодорхойлолтууд нь онолын хувьд биш бөгөөд даалгаврын эцсийн загварт тусгагдаагүй байх ёстой. Би "гадаад функц", "дотоод" гэсэн албан бус хэллэгийг зөвхөн материалыг ойлгоход хялбар болгох үүднээс ашигладаг.

Нөхцөл байдлыг тодруулахын тулд дараахь зүйлийг анхаарч үзээрэй.

Жишээ 1

Функцийн деривативыг ол

Синусын дор бид зөвхөн "x" үсэг биш, харин бүхэл бүтэн илэрхийлэлтэй тул хүснэгтээс деривативыг шууд олох нь ажиллахгүй болно. Энд эхний дөрвөн дүрмийг энд хэрэглэх боломжгүй гэдгийг бид анзаарч байгаа, ялгаа байгаа юм шиг байгаа юм, гэхдээ синусыг "урагдах" боломжгүй юм.

Энэ жишээн дээр миний тайлбараас харахад функц нь нарийн төвөгтэй функц, олон гишүүнт нь дотоод функц (суулгах), гадаад функц болох нь ойлгомжтой байна.

Эхний алхам, нийлмэл функцийн деривативыг олох үед гүйцэтгэх ёстой аль функц нь дотоод, аль нь гадаад болохыг ойлгох.

Энгийн жишээнүүдийн хувьд олон гишүүнт синусын дор үүрлэсэн нь тодорхой харагдаж байна. Гэхдээ энэ нь тодорхойгүй байвал яах вэ? Ямар функц гадаад, аль нь дотоод гэдгийг яг яаж тодорхойлох вэ? Үүнийг хийхийн тулд би оюун ухаанаар эсвэл ноорог дээр хийж болох дараах техникийг ашиглахыг санал болгож байна.

Илэрхийллийн утгыг тооцоолуураар (нэг биш, ямар ч тоо байж болно) тооцоолох хэрэгтэй гэж төсөөлөөд үз дээ.

Бид эхлээд юуг тооцох вэ? Юуны өмнөта дараах үйлдлийг гүйцэтгэх хэрэгтэй болно: , тиймээс олон гишүүнт дотоод функц болно:

ХоёрдугаартТа олох хэрэгтэй, тиймээс синус нь гадаад функц байх болно:

Бидний дараа ОЙЛГОХдотоод болон гадаад функцтэй бол нийлмэл функцийг ялгах дүрмийг хэрэглэх цаг болжээ .

Бид шийдэж эхэлнэ. Хичээлээс Деривативыг хэрхэн олох вэ?Аливаа деривативын шийдлийн загвар үргэлж ингэж эхэлдэг гэдгийг бид санаж байна - бид илэрхийлэлийг хаалтанд хийж, баруун дээд буланд зураас тавьдаг.

Эхлээдбид гадаад функцийн деривативыг (синус) олоод, анхан шатны функцүүдийн деривативын хүснэгтийг хараад . Хүснэгтийн бүх томьёо нь "x"-г нийлмэл илэрхийллээр сольсон ч хэрэгжинэ, энэ тохиолдолд:

Дотоод функцийг анхаарна уу өөрчлөгдөөгүй, бид түүнд хүрэхгүй.

За энэ нь ойлгомжтой

Томьёог хэрэглэсний үр дүн цэвэрхэн дараах байдлаар харагдаж байна.

Тогтмол хүчин зүйлийг ихэвчлэн илэрхийллийн эхэнд байрлуулдаг.

Хэрэв үл ойлголцол гарсан бол шийдвэрээ цаасан дээр бичиж, тайлбарыг дахин уншина уу.

Жишээ 2

Функцийн деривативыг ол

Жишээ 3

Функцийн деривативыг ол

Бид үргэлж бичдэг:

Бидэнд гадаад функц хаана байна, дотоод функц хаана байна вэ гэдгийг олж мэдэв. Үүнийг хийхийн тулд бид (сэтгэцийн хувьд эсвэл ноорог дээр) илэрхийллийн утгыг тооцоолохыг оролддог. Эхлээд юу хийх хэрэгтэй вэ? Юуны өмнө та суурь нь юутай тэнцүү болохыг тооцоолох хэрэгтэй бөгөөд энэ нь олон гишүүнт нь дотоод функц гэсэн үг юм.

Зөвхөн дараа нь экспонентаци хийгддэг тул чадлын функц нь гадаад функц юм.

Томъёоны дагуу , эхлээд та гадаад функцийн деривативыг олох хэрэгтэй, энэ тохиолдолд зэрэг. Хүснэгтээс бид хүссэн томъёог хайж байна. Бид дахин давтана: Хүснэгтийн аливаа томьёо нь зөвхөн "x"-д төдийгүй нийлмэл илэрхийлэлд хүчинтэй байна. Тиймээс нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрмийг хэрэглэсний үр дүн дараачийн:

Бид гадаад функцийн деривативыг авахад дотоод функц өөрчлөгдөхгүй гэдгийг би дахин онцлон тэмдэглэе.

Одоо дотоод функцийн маш энгийн деривативыг олж, үр дүнг бага зэрэг "самнах" л үлдлээ.

Жишээ 4

Функцийн деривативыг ол

Энэ бол өөрийгөө шийдэх жишээ юм (хичээлийн төгсгөлд хариулт).

Нарийн төвөгтэй функцийн деривативын талаархи ойлголтыг нэгтгэхийн тулд би тайлбаргүйгээр жишээ өгөх болно, үүнийг өөрөө олж мэдэхийг хичээ, учир нь, гадаад, дотоод функц нь хаана байна, яагаад даалгавруудыг ингэж шийдсэн бэ?

Жишээ 5

a) Функцийн деривативыг ол

б) Функцийн деривативыг ол

Жишээ 6

Функцийн деривативыг ол

Энд бид язгууртай бөгөөд уг үндсийг ялгахын тулд үүнийг зэрэг хэлбэрээр илэрхийлэх ёстой. Тиймээс бид эхлээд функцийг ялгахын тулд зохих хэлбэрт оруулдаг.

Функцэд дүн шинжилгээ хийснээр бид гурван гишүүний нийлбэр нь дотоод функц, экспоненциал нь гадаад функц гэсэн дүгнэлтэд хүрсэн. Бид нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрмийг ашигладаг :

Зэрэг нь дахин радикал (үндэс) хэлбэрээр илэрхийлэгддэг бөгөөд дотоод функцийн деривативын хувьд бид нийлбэрийг ялгах энгийн дүрмийг хэрэгжүүлдэг.

Бэлэн. Та мөн илэрхийллийг хаалтанд нийтлэг хуваагч руу авчирч, бүгдийг нэг бутархай болгон бичиж болно. Энэ нь мэдээжийн хэрэг үзэсгэлэнтэй, гэхдээ төвөгтэй урт деривативуудыг олж авбал үүнийг хийхгүй байх нь дээр (төөрөлдөх, шаардлагагүй алдаа гаргах, багш шалгахад тохиромжгүй байх болно).

Жишээ 7

Функцийн деривативыг ол

Энэ бол өөрийгөө шийдэх жишээ юм (хичээлийн төгсгөлд хариулт).

Заримдаа нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрмийн оронд хуваалтыг ялгах дүрмийг ашиглаж болно гэдгийг тэмдэглэх нь сонирхолтой юм. , гэхдээ ийм шийдэл нь ер бусын гажуудал мэт харагдах болно. Энд ердийн жишээ байна:

Жишээ 8

Функцийн деривативыг ол

Энд та хуваалтыг ялгах дүрмийг ашиглаж болно , гэхдээ цогц функцийг ялгах дүрмээр дамжуулан деривативыг олох нь илүү ашигтай байдаг.

Бид функцийг ялгахад бэлтгэдэг - бид деривативын хасах тэмдгийг гаргаж, косинусыг тоологч руу нэмнэ.

Косинус нь дотоод функц, экспоненциал нь гадаад функц юм.
Өөрийн дүрмээ ашиглацгаая :

Бид дотоод функцийн деривативыг олоод косинусыг дахин тохируулна:

Бэлэн. Үзэж буй жишээн дээр шинж тэмдгүүдэд андуурахгүй байх нь чухал юм. Дашрамд хэлэхэд, үүнийг дүрмээр шийдэхийг хичээ , хариултууд таарч байх ёстой.

Жишээ 9

Функцийн деривативыг ол

Энэ бол өөрийгөө шийдэх жишээ юм (хичээлийн төгсгөлд хариулт).

Одоогийн байдлаар бид нарийн төвөгтэй функцэд зөвхөн нэг үүртэй байсан тохиолдлыг авч үзсэн. Практик даалгаврын хувьд та үүрлэх хүүхэлдэй гэх мэт 3 эсвэл бүр 4-5 функцийг нэг дор байрлуулдаг деривативуудыг олж болно.

Жишээ 10

Функцийн деривативыг ол

Бид энэ функцийн хавсралтыг ойлгож байна. Бид туршилтын утгыг ашиглан илэрхийлэлийг үнэлэхийг оролддог. Бид тооцоолуур дээр яаж тооцох вэ?

Эхлээд та олох хэрэгтэй бөгөөд энэ нь арксинус нь хамгийн гүн үүрлэдэг гэсэн үг юм.

Эв нэгдлийн энэ нумыг квадрат болгох хэрэгтэй:

Эцэст нь бид долоог хүчирхэг болгон өсгөв:

Өөрөөр хэлбэл, энэ жишээнд бид гурван өөр функц, хоёр үүртэй байх ба хамгийн дотоод функц нь арксинус, хамгийн гадна талын функц нь экспоненциал функц юм.

Бид шийдэж эхэлнэ

Дүрмийн дагуу эхлээд та гадаад функцийн деривативыг авах хэрэгтэй. Бид деривативын хүснэгтийг харж, экспоненциал функцийн деривативыг олно: Цорын ганц ялгаа нь "x"-ийн оронд бид нийлмэл илэрхийлэлтэй байгаа нь энэ томъёоны хүчинтэй байдлыг үгүйсгэхгүй. Тиймээс нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрмийг хэрэглэсний үр дүн дараачийн.

Нарийн төвөгтэй функцийн деривативын томъёог ашиглан деривативыг тооцоолох жишээг үзүүлэв.

Агуулга

Мөн үзнэ үү: Нарийн төвөгтэй функцийн деривативын томъёоны баталгаа

Үндсэн томъёо

Дараах функцүүдийн деривативыг тооцоолох жишээг энд харуулав.
; ; ; ; .

Хэрэв функцийг нийлмэл функцээр дараах хэлбэрээр дүрсэлж чадвал:
,
Дараа нь түүний деривативыг дараахь томъёогоор тодорхойлно.
.
Доорх жишээнүүдэд бид энэ томъёог дараах хэлбэрээр бичнэ.
.
хаана.
Энд деривативын тэмдгийн доор байрлах дэд тэмдэгтүүд буюу , ялгах хийгдэж буй хувьсагчийг заана.

Ихэвчлэн деривативын хүснэгтэд х хувьсагчийн функцүүдийн деривативуудыг өгдөг. Гэсэн хэдий ч x нь албан ёсны параметр юм. x хувьсагчийг өөр ямар ч хувьсагчаар сольж болно. Тиймээс, функцийг хувьсагчаас ялгахдаа бид деривативын хүснэгтэд х хувьсагчийг u хувьсагч болгон өөрчилдөг.

Энгийн жишээнүүд

Жишээ 1

Нарийн төвөгтэй функцийн деривативыг ол
.

Бид өгөгдсөн функцийг эквивалент хэлбэрээр бичнэ.
.
Деривативын хүснэгтээс бид дараахь зүйлийг олно.
;
.

Нарийн төвөгтэй функцийн деривативын томъёоны дагуу бид дараах байдалтай байна.
.
Энд.

Жишээ 2

Деривативыг ол
.

Бид деривативын тэмдгээс цааш 5 тогтмолыг гаргаж, деривативын хүснэгтээс дараахь зүйлийг олно.
.

.
Энд.

Жишээ 3

Деривативыг ол
.

Бид тогтмолыг гаргаж авдаг -1 Деривативын тэмдгийн хувьд болон деривативын хүснэгтээс бид дараахь зүйлийг олно.
;
Деривативын хүснэгтээс бид дараахь зүйлийг олно.
.

Бид нарийн төвөгтэй функцийн деривативын томъёог ашигладаг.
.
Энд.

Илүү төвөгтэй жишээнүүд

Илүү төвөгтэй жишээнүүдэд бид нийлмэл функцийг ялгах дүрмийг хэд хэдэн удаа ашигладаг. Ингэхдээ бид төгсгөлөөс нь деривативыг тооцдог. Өөрөөр хэлбэл, бид функцийг бүрэлдэхүүн хэсгүүдэд хувааж, хамгийн энгийн хэсгүүдийн деривативуудыг ашиглан олдог дериватив хүснэгт. Бид бас өргөдөл гаргаж байна нийлбэрийг ялгах дүрэм, бүтээгдэхүүн ба бутархай . Дараа нь бид орлуулалт хийж, нийлмэл функцийн деривативын томъёог хэрэглэнэ.

Жишээ 4

Деривативыг ол
.

Бид томъёоны хамгийн энгийн хэсгийг сонгоод деривативыг нь олдог. .

.
Энд бид тэмдэглэгээг ашигласан
.

Бид олж авсан үр дүнг ашиглан анхны функцийн дараагийн хэсгийн деривативыг олдог. Бид нийлбэрийг ялгах дүрмийг ашигладаг.
.

Дахин нэг удаа бид нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрмийг ашигладаг.

.
Энд.

Жишээ 5

Функцийн деривативыг ол
.

Бид томъёоны хамгийн энгийн хэсгийг сонгоод деривативын хүснэгтээс деривативыг нь олдог. .

Бид нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрмийг ашигладаг.
.
Энд
.

Бид олж авсан үр дүнг ашиглан дараагийн хэсгийг ялгадаг.
.
Энд
.

Дараагийн хэсгийг ялгаж үзье.

.
Энд
.

Одоо бид хүссэн функцийн деривативыг оллоо.

.
Энд
.

Мөн үзнэ үү:

Мөн нийлмэл функцийн деривативын тухай теорем, томъёолол нь дараах байдалтай байна.

1) $u=\varphi (x)$ функц нь хэзээ нэгэн цагт $u_(x)"=\varphi"(x_0)$ дериватив $x_0$, 2) $y=f(u)$ функцтэй байг. харгалзах цэг дээр $u_0=\varphi (x_0)$ дериватив $y_(u)"=f"(u)$ байна. Дараа нь дурдсан цэг дэх $y=f\left(\varphi (x) \right)$ нийлмэл функц нь мөн $f(u)$ ба $\varphi ( функцуудын деривативын үржвэртэй тэнцүү деривативтай болно. x)$:

$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \баруун)\cdot \varphi"(x_0) $$

эсвэл богино тэмдэглэгээгээр: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$.

Энэ хэсгийн жишээнүүдэд бүх функцууд нь $y=f(x)$ хэлбэртэй байна (өөрөөр хэлбэл, бид зөвхөн нэг хувьсагчийн функцүүдийг авч үзэх болно $x$). Үүний дагуу бүх жишээн дээр $y"$ деривативыг $x$ хувьсагчтай холбоотойгоор авдаг. Дериватив нь $x$ хувьсагчтай холбоотой гэдгийг онцлон тэмдэглэхийн тулд ихэвчлэн $-ын оронд $y"_x$ гэж бичдэг. y"$.

Жишээ №1, №2, №3 нь нарийн төвөгтэй функцүүдийн деривативыг олох нарийвчилсан процессыг өгдөг. Жишээ №4 нь деривативын хүснэгтийг илүү бүрэн дүүрэн ойлгоход зориулагдсан бөгөөд үүнтэй танилцах нь зүйтэй юм.

1-3-р жишээн дэх материалыг судалсны дараа 5, 6, 7-р жишээнүүдийг бие даан шийдвэрлэхийг зөвлөж байна. №5, №6, 7-р жишээнүүд нь богино хэмжээний шийдлийг агуулдаг бөгөөд ингэснээр уншигч өөрийн үр дүнгийн зөв эсэхийг шалгах боломжтой болно.

Жишээ №1

$y=e^(\cos x)$ функцийн уламжлалыг ол.

Бид $y"$ цогц функцийн уламжлалыг олох хэрэгтэй. $y=e^(\cos x)$ тул $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$ байна. $ \left(e^(\cos x)\right)"$ деривативыг ол. Деривативын хүснэгтээс №6 томьёог ашиглана. 6-р томьёог ашиглахын тулд та манай тохиолдолд $u=\cos x$ гэдгийг анхаарч үзэх хэрэгтэй. Цаашдын шийдэл нь 6-р томьёонд $u$-ийн оронд $\cos x$ илэрхийлэлийг орлуулах явдал юм.

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \tag (1.1)$$

Одоо бид $(\cos x)"$ илэрхийллийн утгыг олох хэрэгтэй. Дахин бид үүсмэлийн хүснэгт рүү шилжиж, үүнээс 10-р томьёог сонгон авна. $u=x$-г 10-р томьёогоор орлуулбал бид үүснэ. : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$. Одоо бид тэгш байдлыг (1.1) үргэлжлүүлж, олсон үр дүнгээр нэмж оруулав:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \tag (1.2) $$

$x"=1$ тул бид тэгш байдлыг үргэлжлүүлнэ (1.2):

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \tag (1.3) $$

Тэгэхлээр (1.3) тэгш байдлаас бид дараах байдалтай байна: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$. Мэдээжийн хэрэг, тайлбар болон завсрын тэгшитгэлийг алгасаж, тэгш байдлын нэгэн адил деривативыг нэг мөрөнд бичдэг. ( 1.3) Ингээд нийлмэл функцийн дериватив олдсон тул хариултыг бичихэд л үлдлээ.

Хариулт: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.

Жишээ №2

$y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$ функцийн уламжлалыг ол.

Бид $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$ деривативыг тооцоолох хэрэгтэй. Эхлэхийн тулд тогтмолыг (жишээ нь 9-ийн тоог) деривативын тэмдгээс хасаж болно гэдгийг анхаарна уу.

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \баруун)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)" \tag (2.1) $$

Одоо $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$ илэрхийлэл рүү шилжье. Деривативын хүснэгтээс хүссэн томьёо сонгоход хялбар болгохын тулд би илэрхийллийг танилцуулъя. Энэ хэлбэрээр асуултанд: $\left( \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. Одоо 2-р томъёог ашиглах шаардлагатай байгаа нь тодорхой байна, i.e. $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Энэ томьёонд $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ болон $\alpha=12$-г орлуулна:

Хүлээн авсан үр дүнд тэгш байдлыг (2.1) нөхөж үзвэл бид:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \баруун)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \баруун)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \баруун)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \tag (2.2) $$

Энэ тохиолдолд эхний алхамд шийдвэрлэгч томьёоны оронд $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ томьёог сонгоход алдаа гарах нь элбэг. $\left(u^\ alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Гол нь эхлээд гадаад функцийн деривативыг олох ёстой. $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$ илэрхийллийн гаднах функцийг ойлгохын тулд $\arctg^(12)(4\cdot 5^) илэрхийллийн утгыг тоолж байна гэж төсөөлөөд үз дээ. $x$-ийн зарим утгын хувьд x)$. Эхлээд $5^x$-ийн утгыг тооцоод, дараа нь үр дүнг 4-р үржүүлж $4\cdot 5^x$ гарна. Одоо бид энэ үр дүнгээс арктангенсыг авч $\arctg(4\cdot 5^x)$ авна. Дараа нь бид гарсан тоог арван хоёр дахь зэрэглэлд хүргэж, $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$ авна. Сүүлийн үйлдэл, өөрөөр хэлбэл. 12-ын хүчийг нэмэгдүүлэх, - мөн гадаад функц байх болно. Эндээс тэгшитгэлээр хийгдсэн деривативыг олж эхлэх хэрэгтэй (2.2).

Одоо бид $(\arctg(4\cdot \ln x))"$-г олох хэрэгтэй. Бид деривативын хүснэгтийн 19-р томьёог ашиглаж, $u=4\cdot \ln x$-г орлуулна:

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

$(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$-г харгалзан үр дүнгийн илэрхийлэлийг бага зэрэг хялбарчилж үзье.

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Тэгш байдал (2.2) одоо болно:

$(4\cdot \ln x)"$ олоход л үлдлээ. Бид деривативын тэмдгээс тогтмолыг (өөрөөр хэлбэл 4) авна: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x) )"$. $(\ln x)"$-г олохын тулд бид 8-р томьёог ашиглан $u=x$ гэж орлуулна: $(\ln x)"=\frac(1)(x) \cdot x"$. $x"=1$ тул $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x ) $ Хүлээн авсан үр дүнг (2.3) томъёонд орлуулснаар бид дараахь зүйлийг олж авна.

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \баруун)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \баруун)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \баруун)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)).$ доллар

Сүүлчийн тэгшитгэлд бичсэн шиг нийлмэл функцийн дериватив нь ихэвчлэн нэг мөрөнд байдгийг сануулъя. Тиймээс стандарт тооцоо, туршилт хийхдээ уусмалыг ижил нарийвчлалтайгаар будах шаардлагагүй болно.

Хариулт: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$.

Жишээ №3

$y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$ функцийн $y"$-г ол.

Эхлээд радикал (үндэс)-ийг хүч болгон илэрхийлэх замаар $y$ функцийг бага зэрэг өөрчилье: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9) ^x) \right)^(\frac(3)(7))$. Одоо деривативыг хайж эхэлцгээе. $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$ тул:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\баруун)" \tag (3.1) $$

Бид деривативын хүснэгтээс 2-р томьёог ашиглаж, түүнд $u=\sin(5\cdot 9^x)$ болон $\alpha=\frac(3)(7)$-г орлуулна.

$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$

Бид олж авсан үр дүнг ашиглан тэгш байдлыг (3.1) үргэлжлүүлнэ.

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\баруун)^(\frac(3)(7))\баруун)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \tag (3.2) $$

Одоо бид $(\sin(5\cdot 9^x))"$-г олох хэрэгтэй. Үүний тулд бид деривативын хүснэгтээс 9-р томьёог ашиглан $u=5\cdot 9^x$-г орлуулна.

$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$

Хүлээн авсан үр дүнд тэгш байдлыг (3.2) нөхөж үзвэл бид:

$(5\cdot 9^x)"$ олох л үлдлээ. Эхлээд бид деривативын тэмдгээс тогтмолыг ($5$ тоо) авна, өөрөөр хэлбэл $(5\cdot 9^x)"=5\ cdot (9^x) "$. $(9^x)"$ деривативыг олохын тулд бид деривативын хүснэгтийн 5-р томьёог ашиглан $a=9$, $u=x$-г орлуулна: $ (9^x)"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$. $x"=1$ тул $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. Одоо бид тэгш байдлыг (3.3) үргэлжлүүлж болно:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\баруун)^(\frac(3)(7))\баруун)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9) ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\баруун) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$

Та $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$-г $\ frac(1) гэж бичснээр хүчнээс радикалууд (жишээ нь үндэс) рүү буцаж болно. )(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^) x)))$. Дараа нь деривативыг дараах хэлбэрээр бичнэ.

$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))). $$

Хариулт: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\) cdot 9^x)))$.

Жишээ №4

Деривативын хүснэгтийн 3, 4-р томьёо нь энэ хүснэгтийн 2-р томьёоны онцгой тохиолдол болохыг харуул.

Деривативын хүснэгтийн 2-р томьёонд $u^\alpha$ функцийн деривативыг бичнэ. №2 томьёонд $\alpha=-1$-г орлуулснаар бид дараахыг авна.

$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\tag (4.1)$$

$u^(-1)=\frac(1)(u)$ ба $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$ тул тэгш байдлыг (4.1) дараах байдлаар дахин бичиж болно: $ \left(\frac(1)(u) \right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. Энэ бол деривативын хүснэгтийн 3-р томьёо юм.

Деривативын хүснэгтийн 2-р томьёог дахин авч үзье. Үүнд $\alpha=\frac(1)(2)$ орлуулна:

$$\left(u^(\frac(1)(2))\баруун)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\tag (4.2) $$

Учир нь $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ ба $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac( 1) )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$, тэгш байдлыг (4.2) дараах байдлаар дахин бичиж болно.

$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$

Үүссэн $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ нь деривативын хүснэгтийн 4-р томьёо юм. Таны харж байгаагаар деривативын хүснэгтийн 3, 4-р томьёог $\alpha$-ийн харгалзах утгыг орлуулах замаар 2-р томъёоноос гаргаж авсан болно.

Нарийн төвөгтэй хэлбэрийн функцуудыг "цогц функц" гэж нэрлэх нь бүрэн зөв биш юм. Жишээлбэл, энэ нь маш гайхалтай харагдаж байна, гэхдээ энэ функц нь ялгаатай нь төвөгтэй биш юм.

Энэ нийтлэлд бид нийлмэл функцийн тухай ойлголтыг авч үзэх, үүнийг энгийн функцүүдийн нэг хэсэг болгон тодорхойлох, түүний уламжлалыг олох томъёог өгөх, ердийн жишээнүүдийн шийдлийг нарийвчлан авч үзэх болно.

Жишээнүүдийг шийдвэрлэхдээ бид деривативын хүснэгт, ялгах дүрмийг байнга ашиглах тул таны нүдний өмнө байлгаарай.

Нарийн төвөгтэй функцнь аргумент нь мөн функц болох функц юм.

Бидний үзэж байгаагаар энэ тодорхойлолт нь хамгийн ойлгомжтой юм. Уламжлал ёсоор үүнийг f(g(x)) гэж тэмдэглэж болно. Өөрөөр хэлбэл, g(x) нь f(g(x)) функцийн аргумент юм.

Жишээлбэл, f нь арктангенс функц, g(x) = lnx нь натурал логарифмын функц бол f(g(x)) нийлмэл функц нь arctg(lnx) болно. Өөр нэг жишээ: f нь дөрөв дэх зэрэгт өргөх функц, ба нь бүхэл бүтэн рационал функц (харна уу), тэгвэл .

Хариуд нь g(x) нь нарийн төвөгтэй функц байж болно. Жишээлбэл, . Уламжлал ёсоор ийм илэрхийллийг дараах байдлаар тэмдэглэж болно . Энд f нь синус функц, квадрат язгуур функц, нь бутархай рационал функц юм. Функцуудын үүрлэх зэрэг нь ямар ч эцсийн натурал тоо байж болно гэж үзэх нь логик юм.

Нарийн төвөгтэй функцийг дууддаг гэж та олонтаа сонсож болно функциональ найрлага.

Нарийн төвөгтэй функцийн деривативыг олох томъёо.

Жишээ.

Нарийн төвөгтэй функцийн деривативыг ол.

Шийдэл.

Энэ жишээнд f нь квадрат функц, g(x) = 2x+1 нь шугаман функц юм.

Нарийвчилсан шийдлийг нийлмэл функцийн деривативын томъёог ашиглана уу.

Анхны функцийн хэлбэрийг хялбаршуулсаны дараа энэ деривативыг олъё.

Үүний үр дүнд,

Таны харж байгаагаар үр дүн нь таарч байна.

Аль функц f, аль нь g(x) болохыг андуурахгүй байхыг хичээгээрэй.

Үүнийг анхааралдаа авах үүднээс жишээгээр тайлбарлая.

Жишээ.

Нарийн төвөгтэй функцийн деривативыг олох ба .

Шийдэл.

Эхний тохиолдолд f нь квадратын функц, g(x) нь синусын функц юм
.

Хоёрдахь тохиолдолд f нь синусын функц бөгөөд чадлын функц юм. Тиймээс, нийлмэл функцийн үржвэрийн томъёогоор бид байна

Функцийн дериватив томъёо нь хэлбэртэй байна

Жишээ.

Функцийг ялгах .

Шийдэл.

Энэ жишээнд нийлмэл функцийг нөхцөлт байдлаар бичиж болно , энд синус функц, гуравдахь зэрэглэлд өсгөх функц, е суурь руу логарифмын функц, нумын шүргэгч авах функц, шугаман функц тус тус байна.

Нарийн төвөгтэй функцийн деривативын томъёоны дагуу

Одоо бид олдог

Хүлээн авсан завсрын үр дүнг нэгтгэх:

Аймшигтай зүйл байхгүй, үүрлэх хүүхэлдэй гэх мэт нарийн төвөгтэй функцуудыг задлах.

Энэ нийтлэлийг дуусгаж болох байсан, хэрэв нэг биш бол ...

Ялгаварлах дүрэм, деривативын хүснэгтийг хэзээ хэрэглэх, нарийн төвөгтэй функцийн деривативын томъёог хэзээ хэрэглэхийг тодорхой ойлгох нь зүйтэй..

ОДОО МАШ АНХААРУУЛГА. Бид нарийн төвөгтэй функц ба нарийн төвөгтэй функцүүдийн ялгааны талаар ярих болно. Энэ ялгааг хэр зэрэг харж байгаагаас дериватив олох амжилт хамаарна.

Энгийн жишээнүүдээс эхэлцгээе. Чиг үүрэг нийлмэл гэж үзэж болно: g(x) = tgx , . Тиймээс та нарийн төвөгтэй функцийн деривативын томъёог шууд хэрэглэж болно

Мөн энд функц байна хэцүү гэж нэрлэхээ больсон.

Энэ функц нь 3tgx ба 1 гэсэн гурван функцийн нийлбэр юм. Хэдийгээр - нь нийлмэл функц юм: - хүчний функц (квадрат парабол), f нь шүргэгч функц юм. Тиймээс бид эхлээд нийлбэрийг ялгах томъёог хэрэглэнэ.

Нарийн төвөгтэй функцийн деривативыг олоход л үлддэг.

Тийм ч учраас .

Та гол санааг ойлгосон гэж найдаж байна.

Хэрэв та илүү өргөн хүрээнд харвал нийлмэл төрлийн функцууд нь нарийн төвөгтэй функцүүдийн нэг хэсэг байж болно, нарийн төвөгтэй функцууд нь нарийн төвөгтэй төрлийн функцүүдийн бүрэлдэхүүн хэсэг байж болно гэж маргаж болно.

Жишээ болгон функцийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдэд дүн шинжилгээ хийцгээе .