Derivado. Diferenciación de funciones Diferenciales de varios órdenes.

Derivado funciones en un punto se llama límite de la relación entre el incremento de la función y el incremento del argumento, siempre que tienda a cero.

Reglas básicas para encontrar la derivada.

Si - y - son funciones diferenciables en el punto (es decir, funciones que tienen derivadas en el punto), entonces:

4) .

Tabla de derivadas de funciones básicas.

1. 8.

2. 9.

3. 10.

5. 12.

6. 13.

7.

La regla para derivar una función compleja. Si y , es decir , donde y tienen derivadas, entonces

Diferenciación de una función especificada paramétricamente. Dejemos que la dependencia de una variable de una variable se especifique paramétricamente mediante el parámetro:

Tarea 3. Encuentra derivadas de estas funciones.

1)

Solución. Aplicando la regla 2 para encontrar derivadas y las fórmulas 1 y 2 de la tabla de derivadas, obtenemos:

Solución. Aplicando la regla 4 para encontrar derivadas y las fórmulas 1 y 13 de la tabla de derivadas, obtenemos:

.

Solución. Aplicando la regla 3 para encontrar derivadas y las fórmulas 5 y 11 de la tabla de derivadas, obtenemos:

Solución. Suponiendo , donde , según la fórmula para encontrar la derivada de una función compleja, obtenemos:

Solución. Tenemos: Luego, según la fórmula para encontrar la derivada de una función especificada paramétricamente, obtenemos:

4. Derivados de orden superior. La regla de L'Hopital.

Derivada de segundo orden de la función se llama derivada de su derivada, es decir . Para la segunda derivada se utilizan las siguientes notaciones: o , o .

Derivada de 1er orden de la función se llama derivada de su derivada de orden th. Para la derivada de décimo orden, se utilizan las siguientes notaciones: o , o .

La regla de L'Hopital. Dejemos que las funciones y sean diferenciables en una vecindad del punto y la derivada no desaparece. Si las funciones y son simultáneamente infinitamente pequeñas o infinitamente grandes en , y hay un límite de la razón en , entonces también hay un límite para la razón en . Además

.

La regla también se aplica cuando.

Tenga en cuenta que en algunos casos, la divulgación de incertidumbres del tipo o puede requerir la aplicación repetida de la regla de L'Hopital.

Escriba incertidumbres, etc. con la ayuda de transformaciones elementales se pueden reducir fácilmente a incertidumbres de la forma o .

Tarea 4. Encuentra el límite usando la regla de L'Hopital.

Solución Aquí tenemos incertidumbre de la forma, porque en . Apliquemos la regla de L'Hopital:

.

Después de aplicar la regla de L'Hopital, obtuvimos nuevamente la incertidumbre de la forma, porque en . Aplicando nuevamente la regla de L'Hopital se tiene:

.

5. Estudio de funciones

a) Funciones crecientes y decrecientes

La función se llama creciente en el segmento , si es para cualquier punto y del segmento , donde , se cumple la desigualdad. Si una función es continua en un intervalo y para , entonces aumenta en el intervalo.

La función se llama decreciente en el segmento , si es para cualquier punto y del segmento , donde , se cumple la desigualdad. Si una función es continua en un intervalo y para , entonces decrece en el intervalo.

Si una función solo es creciente o solo decreciente en un intervalo dado, entonces se llama monótono en el intervalo.

b) Extremos de la función

punto mínimo funciones .

Si hay una vecindad del punto tal que para todos los puntos de esta vecindad se cumple la desigualdad, entonces el punto se llama punto máximo funciones .

Los puntos máximo y mínimo de una función se llaman puntos puntos extremos.

El punto se llama punto estacionario, si o no existe.

Si hay una vecindad de un punto estacionario tal que for y for , entonces es el punto máximo de la función.

Si hay una vecindad de un punto estacionario tal que for y for , entonces el punto mínimo de la función .

a) Dirección convexa. Puntos de inflexión

convexo hacia arriba en el intervalo , si se encuentra debajo de la tangente trazada a la gráfica de la función en cualquier punto de este intervalo.

Una condición suficiente para la convexidad hacia arriba de la gráfica de una función en un intervalo es el cumplimiento de la desigualdad para cualquiera de los intervalos considerados.

La gráfica de una función derivable se llama convexo hacia abajo en el intervalo , si se encuentra encima de la tangente trazada a la gráfica de la función en cualquier punto de este intervalo.

Una condición suficiente para la convexidad descendente de la gráfica de una función en un intervalo es el cumplimiento de la desigualdad para cualquiera de los intervalos considerados.

El punto en el que cambia la dirección de convexidad de la gráfica de una función se llama punto de inflexión.

Un punto donde existe o no es la abscisa de un punto de inflexión si los signos a la izquierda y a la derecha del mismo son diferentes.

d) Asíntotas

Si la distancia desde un punto en la gráfica de una función hasta cierta línea recta tiende a cero cuando el punto se aleja infinitamente del origen, entonces la línea recta se llama asíntota de la gráfica de la función.

Si hay un número tal que , entonces la línea es asíntota vertical.

si hay limites , entonces la línea es asíntota oblicua (horizontal en k=0).

e) Estudio general de función

1. Dominio de funciones

2. Puntos de intersección del gráfico con los ejes de coordenadas.

3. Estudio de una función de continuidad, par/impar y periodicidad

4. Intervalos de monotonía de una función.

5. Puntos extremos de la función.

6. Intervalos de convexidad y puntos de inflexión de una gráfica de función.

7. Asíntotas de la gráfica de una función.

8. Gráfico de funciones.

Tarea 5. Explora la función y construye su gráfica.

Solución. 1) La función está definida en toda la recta numérica excepto en el punto donde el denominador de la fracción llega a cero. . Tenemos: no pertenece al dominio de definición de esta función. En consecuencia, los puntos estacionarios de esta función son los puntos con el valor mínimo (como se muestra en la figura).

8) Usando los datos obtenidos, construyamos una gráfica de la función original:

El contenido del artículo.

DERIVADO– derivada de la función y = F(X), dado en un cierto intervalo ( a, b) en el punto X de este intervalo se llama el límite al que tiende la relación del incremento de la función F en este punto al incremento correspondiente del argumento cuando el incremento del argumento tiende a cero.

La derivada suele denotarse de la siguiente manera:

También se utilizan ampliamente otras designaciones:

Velocidad instantánea.

deja el punto METRO se mueve en línea recta. Distancia s punto en movimiento, contado desde alguna posición inicial METRO 0 , depende del tiempo t, es decir. s Hay función tiempo t: s= F(t). Deja que en algún momento t punto en movimiento METRO estaba a una distancia s desde la posición inicial METRO 0, y en algún momento siguiente t+D t se encontró en una posición METRO 1 - a distancia s+D s desde la posición inicial ( ver foto.).

Así, durante un período de tiempo D t distancia s cambiado por la cantidad D s. En este caso dicen que durante el intervalo de tiempo D t magnitud s incremento recibido D s.

La velocidad media no puede en todos los casos caracterizar con precisión la velocidad de movimiento de un punto. METRO en un momento dado t. Si, por ejemplo, el cuerpo al comienzo del intervalo D t se movió muy rápido y, al final, muy lentamente, entonces la velocidad promedio no podrá reflejar las características indicadas del movimiento del punto y dar una idea de la verdadera velocidad de su movimiento en este momento. t. Para expresar con mayor precisión la velocidad real utilizando la velocidad promedio, es necesario tomar un período de tiempo más corto D t. Caracteriza más completamente la velocidad de movimiento de un punto en este momento. t el límite al que tiende la velocidad media en D t® 0. Este límite se llama velocidad actual:

Por tanto, la velocidad de movimiento en un momento dado se denomina límite de la relación de incremento de trayectoria D s al incremento de tiempo D t, cuando el incremento de tiempo tiende a cero. Porque

Significado geométrico de la derivada. Tangente a la gráfica de una función.

La construcción de tangentes es uno de esos problemas que propiciaron el nacimiento del cálculo diferencial. El primer trabajo publicado relacionado con el cálculo diferencial, escrito por Leibniz, se tituló Un nuevo método de máximos y mínimos, así como de tangentes, para el que ni las cantidades fraccionarias ni las irracionales son un obstáculo, y un tipo especial de cálculo para ello.

Sea la curva la gráfica de la función. y =F(X) en un sistema de coordenadas rectangular ( cm. arroz.).

a algun valor X la función importa y =F(X). Estos valores X Y y el punto de la curva corresponde METRO 0(X, y). Si el argumento X dar incremento D X, entonces el nuevo valor del argumento X+D X corresponde al nuevo valor de la función y+ D y = F(X + D X). El punto correspondiente de la curva será el punto METRO 1(X+D X,y+D y). Si dibujas una secante METRO 0METRO 1 y denotado por j el ángulo formado por una transversal con la dirección positiva del eje Buey, de la figura queda inmediatamente claro que .

Si ahora D X tiende a cero, entonces el punto METRO 1 se mueve a lo largo de la curva, acercándose al punto METRO 0 y ángulo j cambia con D X. En dx® 0 el ángulo j tiende a un cierto límite a y la recta que pasa por el punto METRO 0 y la componente con la dirección positiva del eje x, ángulo a, será la tangente deseada. Su pendiente es:

Por eso, F´( X) = tga

aquellos. valor derivado F´( X) para un valor de argumento dado X es igual a la tangente del ángulo formado por la tangente a la gráfica de la función F(X) en el punto correspondiente METRO 0(X,y) con dirección de eje positiva Buey.

Diferenciabilidad de funciones.

Definición. Si la función y = F(X) tiene una derivada en el punto X = X 0, entonces la función es derivable en este punto.

Continuidad de una función que tiene una derivada. Teorema.

Si la función y = F(X) es diferenciable en algún momento X = X 0, entonces es continuo en este punto.

Por tanto, la función no puede tener derivada en los puntos de discontinuidad. La conclusión opuesta es incorrecta, es decir del hecho de que en algún momento X = X 0 función y = F(X) es continua no significa que sea diferenciable en este punto. Por ejemplo, la función y = |X| continuo para todos X(–Ґ x x = 0 no tiene derivada. En este punto no hay tangente a la gráfica. Hay una tangente derecha y otra izquierda, pero no coinciden.

Algunos teoremas sobre funciones diferenciables. Teorema de las raíces de la derivada (teorema de Rolle). Si la función F(X) es continua en el segmento [a,b], es diferenciable en todos los puntos internos de este segmento y en los extremos X = a Y X = b va a cero ( F(a) = F(b) = 0), luego dentro del segmento [ a,b] hay al menos un punto X= Con, a c b, en el que la derivada Fў( X) va a cero, es decir Fў( C) = 0.

Teorema del incremento finito (teorema de Lagrange). Si la función F(X) es continua en el intervalo [ a, b] y es diferenciable en todos los puntos interiores de este segmento, luego dentro del segmento [ a, b] hay al menos un punto Con, a c b eso

F(b) – F(a) = Fў( C)(b– a).

Teorema sobre la relación de los incrementos de dos funciones (teorema de Cauchy). Si F(X) Y gramo(X) – dos funciones continuas en el segmento [a, b] y diferenciable en todos los puntos interiores de este segmento, y gramoў( X) no desaparece en ningún lugar dentro de este segmento, luego dentro del segmento [ a, b] existe tal punto X = Con, a c b eso

Derivados de diversos órdenes.

Deja que la función y =F(X) es diferenciable en algún intervalo [ a, b]. Valores derivados F ў( X), en términos generales, dependen de X, es decir. derivado F ў( X) también es función de X. Al derivar esta función, obtenemos la llamada segunda derivada de la función. F(X), que se denota F ўў ( X).

Derivado norte-ésimo orden de función F(X) se llama derivada (de primer orden) de la derivada norte- 1- th y se denota con el símbolo y(norte) = (y(norte– 1))ў.

Diferenciales de varios órdenes.

Función diferencial y = F(X), Dónde X– variable independiente, sí dy = F ў( X)dx, alguna función de X, Pero de donde X sólo el primer factor puede depender F ў( X), el segundo factor ( dx) es el incremento de la variable independiente X y no depende del valor de esta variable. Porque dy hay una función de X, entonces podemos determinar el diferencial de esta función. El diferencial del diferencial de una función se llama segundo diferencial o diferencial de segundo orden de esta función y se denota d 2y:

d(dx) = d 2y = F ўў( X)(dx) 2 .

Diferencial norte- de primer orden se llama primer diferencial del diferencial norte- 1- ésimo orden:

dn y = d(dn–1y) = F(norte)(X)dx(norte).

Derivada parcial.

Si una función no depende de uno, sino de varios argumentos xyo(i varía de 1 a norte,i= 1, 2,… norte),F(X 1,X 2,… xn), luego en cálculo diferencial se introduce el concepto de derivada parcial, que caracteriza la tasa de cambio de una función de varias variables cuando solo cambia un argumento, por ejemplo, xyo. Derivada parcial de 1er orden con respecto a xyo se define como una derivada ordinaria y se supone que todos los argumentos excepto xyo, mantenga valores constantes. Para derivadas parciales, se introduce la notación.

Las derivadas parciales de primer orden definidas de esta manera (como funciones de los mismos argumentos) pueden, a su vez, también tener derivadas parciales, son derivadas parciales de segundo orden, etc. Estas derivadas extraídas de diferentes argumentos se denominan mixtas. Las derivadas mixtas continuas del mismo orden no dependen del orden de diferenciación y son iguales entre sí.

Anna Chugainova