مورب متوازی الاضلاع چقدر است؟ تعاریف موازی شکل

متوازی الاضلاع یک شکل هندسی است که هر 6 وجه آن متوازی الاضلاع هستند.

بسته به نوع این متوازی الاضلاع، انواع متوازی الاضلاع زیر متمایز می شوند:

• سر راست؛
• شیب دار؛
• مستطیل شکل.

متوازی الاضلاع راست یک منشور چهار گوش است که لبه های آن با صفحه قاعده زاویه 90 درجه ایجاد می کند.

متوازی الاضلاع مستطیل شکل یک منشور چهار گوش است که تمام وجوه آن مستطیل هستند. مکعب نوعی منشور چهار گوش است که در آن تمام وجوه و لبه‌ها با یکدیگر برابر هستند.

ویژگی های یک شکل، ویژگی های آن را از پیش تعیین می کند. اینها شامل 4 عبارت زیر است:

به خاطر سپردن تمام خصوصیات فوق ساده است، درک آنها آسان است و به طور منطقی بر اساس نوع و ویژگی های جسم هندسی مشتق می شوند. با این حال، عبارات ساده می توانند در هنگام حل وظایف معمولی USE بسیار مفید باشند و در زمان مورد نیاز برای قبولی در آزمون صرفه جویی کنند.

فرمول های موازی شکل

برای یافتن پاسخ مسئله، دانستن تنها ویژگی های شکل کافی نیست. همچنین ممکن است به فرمول هایی برای یافتن مساحت و حجم یک جسم هندسی نیاز داشته باشید.

مساحت پایه ها به همان شکلی که نشانگر متناظر متوازی الاضلاع یا مستطیل یافت می شود. شما می توانید پایه متوازی الاضلاع را خودتان انتخاب کنید. به عنوان یک قاعده، هنگام حل مسائل، کار با منشوری که پایه آن یک مستطیل است، آسان تر است.

فرمول برای یافتن سطح جانبی موازی نیز ممکن است در کارهای آزمایشی مورد نیاز باشد.

نمونه هایی از حل تکالیف معمولی آزمون دولتی واحد

تمرین 1.

داده شده: یک متوازی الاضلاع مستطیل شکل به ابعاد 3، 4 و 12 سانتی متر.
ضروری استطول یکی از مورب های اصلی شکل را پیدا کنید.
راه حل: هر راه حلی برای یک مسئله هندسی باید با ساختن یک نقشه درست و واضح شروع شود که روی آن "داده" و مقدار مورد نظر نشان داده شود. شکل زیر نمونه ای از اجرای صحیح شرایط وظیفه را نشان می دهد.

پس از بررسی نقشه انجام شده و به خاطر سپردن تمام ویژگی های جسم هندسی، به تنها روش صحیح حل می رسیم. با اعمال ویژگی چهارم یک متوازی الاضلاع، عبارت زیر را به دست می آوریم:

پس از محاسبات ساده عبارت b2=169 را دریافت می کنیم، بنابراین b=13. پاسخ تکلیف پیدا شده است.

وظیفه 2.

داده شده: یک متوازی الاضلاع مایل با لبه جانبی 10 سانتی متر، یک مستطیل KLNM به ابعاد 5 و 7 سانتی متر که مقطعی از شکل موازی با لبه مشخص شده است.
ضروری استمساحت سطح جانبی منشور چهار گوش را پیدا کنید.
راه حل: ابتدا باید موارد داده شده را ترسیم کنید.

برای حل این کار باید از نبوغ استفاده کنید. شکل نشان می دهد که اضلاع KL و AD و جفت ML و DC نابرابر هستند. با این حال، محیط این متوازی الاضلاع به وضوح برابر است.

در نتیجه، مساحت جانبی شکل برابر با سطح مقطع ضرب در لبه AA1 خواهد بود، زیرا طبق شرایط، لبه عمود بر مقطع است. جواب: 240 سانتی متر مربع.

حفظ حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک سیاست حفظ حریم خصوصی ایجاد کرده ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را شرح می دهد. لطفاً رویه‌های حفظ حریم خصوصی ما را مرور کنید و اگر سؤالی دارید به ما اطلاع دهید.

جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی

اطلاعات شخصی به داده هایی اشاره دارد که می توان از آنها برای شناسایی یا تماس با یک فرد خاص استفاده کرد.

ممکن است در هر زمانی که با ما تماس می گیرید از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.

در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.

چه اطلاعات شخصی جمع آوری می کنیم:

• هنگامی که درخواستی را در سایت ارسال می کنید، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام، شماره تلفن، آدرس ایمیل و غیره شما را جمع آوری کنیم.

نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:

• اطلاعات شخصی که جمع آوری می کنیم به ما امکان می دهد با پیشنهادات منحصر به فرد، تبلیغات و سایر رویدادها و رویدادهای آینده با شما تماس بگیریم.
• هر از گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اعلان‌ها و ارتباطات مهم استفاده کنیم.
• ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای مقاصد داخلی مانند انجام ممیزی، تجزیه و تحلیل داده ها و تحقیقات مختلف به منظور بهبود خدمات ارائه شده و ارائه توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما استفاده کنیم.
• اگر در قرعه کشی جوایز، مسابقه یا تبلیغات مشابه شرکت می کنید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می دهید برای اجرای چنین برنامه هایی استفاده کنیم.

افشای اطلاعات به اشخاص ثالث

ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.

استثناها:

• در صورت لزوم - مطابق با قانون، رویه قضایی، در مراحل قانونی، و/یا بر اساس درخواست های عمومی یا درخواست های مقامات دولتی در قلمرو فدراسیون روسیه - برای افشای اطلاعات شخصی شما. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی برای اهداف امنیتی، اجرای قانون یا سایر اهداف مهم عمومی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعاتی درباره شما فاش کنیم.
• در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به شخص ثالث جانشین مربوطه منتقل کنیم.

حفاظت از اطلاعات شخصی

ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - را برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت، و سوء استفاده، و همچنین دسترسی غیرمجاز، افشا، تغییر و تخریب انجام می دهیم.

احترام به حریم خصوصی شما در سطح شرکت

برای اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، استانداردهای حریم خصوصی و امنیتی را به کارمندان خود ابلاغ می کنیم و شیوه های حفظ حریم خصوصی را به شدت اجرا می کنیم.

دانش آموزان اغلب با عصبانیت می پرسند: "این چگونه برای من در زندگی مفید خواهد بود؟" در مورد هر موضوعی از هر موضوع. موضوع مربوط به حجم موازی نیز از این قاعده مستثنی نیست. و اینجاست که شما فقط می توانید بگویید: "به کار خواهد آمد."

به عنوان مثال، چگونه می توانید بفهمید که یک بسته در یک صندوق پستی جا می شود یا خیر؟ البته می توانید با آزمون و خطا گزینه مناسب را انتخاب کنید. اگر این امکان پذیر نباشد چه؟ سپس محاسبات به کمک خواهد آمد. با دانستن ظرفیت جعبه می توانید حجم بسته را (حداقل تقریباً) محاسبه کرده و به سوال مطرح شده پاسخ دهید.

موازی و انواع آن

اگر نام آن را به معنای واقعی کلمه از یونانی باستان ترجمه کنیم، معلوم می شود که این شکلی است که از صفحات موازی تشکیل شده است. تعاریف معادل زیر برای متوازی الاضلاع وجود دارد:

• یک منشور با پایه به شکل متوازی الاضلاع؛
• چند وجهی که هر وجه آن متوازی الاضلاع است.

انواع آن بسته به اینکه چه شکلی در پایه آن قرار دارد و نحوه هدایت دنده های جانبی متمایز می شود. به طور کلی، ما در مورد متوازی الاضلاع مایل، که قاعده و تمام وجوه آن متوازی الاضلاع هستند. اگر وجه های جانبی نمای قبلی مستطیل شوند، باید آن را فراخوانی کرد مستقیم. و مستطیل شکلو پایه نیز دارای زوایای 90 درجه است.

علاوه بر این، در هندسه سعی می شود دومی را به گونه ای به تصویر بکشند که قابل توجه باشد که تمام لبه ها موازی هستند. به هر حال، تفاوت اصلی بین ریاضیدانان و هنرمندان در اینجاست. برای دومی مهم است که بدن را مطابق با قانون چشم انداز منتقل کند. و در این حالت موازی بودن دنده ها کاملاً نامرئی است.

درباره نمادهای معرفی شده

در فرمول های زیر، نمادهای نشان داده شده در جدول معتبر هستند.

فرمول های متوازی الاضلاع مایل

اول و دوم برای مناطق:

سومین مورد محاسبه حجم یک متوازی الاضلاع است:

از آنجایی که پایه متوازی الاضلاع است، برای محاسبه مساحت آن باید از عبارات مناسب استفاده کنید.

فرمول های متوازی الاضلاع مستطیلی

مشابه نقطه اول - دو فرمول برای مناطق:

و یکی دیگر برای حجم:

اولین کار

وضعیت. با توجه به یک متوازی الاضلاع مستطیل شکل که حجم آن باید پیدا شود. قطر آن مشخص است - 18 سانتی متر - و این واقعیت است که به ترتیب با صفحه وجه جانبی و لبه جانبی زوایای 30 و 45 درجه تشکیل می دهد.

راه حل.برای پاسخ به سوال، باید تمام اضلاع را در سه مثلث قائم الزاویه بدانید. آنها مقادیر لازم لبه هایی را می دهند که باید حجم را محاسبه کنید.

ابتدا باید بفهمید که زاویه 30 درجه کجاست. برای انجام این کار، باید از همان راس که مورب اصلی متوازی الاضلاع کشیده شده، یک مورب از وجه جانبی بکشید. زاویه بین آنها همان چیزی خواهد بود که مورد نیاز است.

اولین مثلثی که یکی از مقادیر اضلاع پایه را می دهد به صورت زیر خواهد بود. این شامل ضلع مورد نیاز و دو مورب کشیده شده است. مستطیل شکل است. اکنون باید از نسبت پای مقابل (سمت قاعده) و هیپوتنوس (مورب) استفاده کنید. برابر با سینوس 30 درجه است. یعنی ضلع مجهول پایه به صورت قطر ضرب در سینوس 30 درجه یا ½ تعیین می شود. بگذارید با حرف "الف" مشخص شود.

دومی مثلثی خواهد بود که دارای یک مورب شناخته شده و یک لبه است که با آن 45 درجه تشکیل می دهد. همچنین مستطیل شکل است و می توانید دوباره از نسبت ساق به هیپوتنوز استفاده کنید. به عبارت دیگر، لبه جانبی به مورب. برابر است با کسینوس 45 درجه. یعنی "c" به عنوان حاصل ضرب قطر و کسینوس 45 درجه محاسبه می شود.

c = 18 * 1/√2 = 9 √2 (سانتی متر).

در همان مثلث باید یک پای دیگر پیدا کنید. این برای محاسبه سومین مجهول - "in" ضروری است. بگذارید با حرف "x" مشخص شود. با استفاده از قضیه فیثاغورث به راحتی می توان آن را محاسبه کرد:

x = √(18 2 - (9√2) 2) = 9√2 (سانتی متر).

حالا باید مثلث قائم الزاویه دیگری را در نظر بگیریم. این شامل اضلاع شناخته شده "c"، "x" و موردی است که باید شمارش شود، "b":

in = √((9√2) 2 - 9 2 = 9 (cm).

هر سه مقدار مشخص است. می توانید از فرمول حجم استفاده کنید و آن را محاسبه کنید:

V = 9 * 9 * 9√2 = 729√2 (cm 3).

پاسخ:حجم متوازی الاضلاع 729√2 cm3 است.

وظیفه دوم

وضعیت. شما باید حجم یک متوازی الاضلاع را پیدا کنید. در آن، اضلاع متوازی الاضلاع، که در پایه قرار دارد، 3 و 6 سانتی متر و همچنین زاویه تند آن - 45 درجه شناخته شده است. دنده کناری دارای شیب به قاعده 30 درجه و برابر با 4 سانتی متر است.

راه حل.برای پاسخ به سوال، باید فرمولی را که برای حجم یک متوازی الاضلاع مایل نوشته شده است، بگیرید. اما هر دو مقدار در آن ناشناخته است.

مساحت پایه، یعنی متوازی الاضلاع، با فرمولی تعیین می شود که در آن باید اضلاع شناخته شده و سینوس زاویه حاد بین آنها را ضرب کنید.

S o = 3 * 6 sin 45º = 18 * (√2)/2 = 9 √2 (cm 2).

دومین کمیت مجهول ارتفاع است. می توان آن را از هر یک از چهار راس بالای پایه ترسیم کرد. می توان آن را از یک مثلث قائم الزاویه پیدا کرد که ارتفاع آن ساق و لبه کناری آن هیپوتونوس است. در این حالت، زاویه 30 درجه در مقابل ارتفاع مجهول قرار می گیرد. به این معنی که می توانیم از نسبت ساق به هیپوتنوز استفاده کنیم.

n = 4 * sin 30º = 4 * 1/2 = 2.

اکنون تمام مقادیر مشخص شده است و می توان حجم را محاسبه کرد:

V = 9 √2 * 2 = 18 √2 (cm 3).

پاسخ:حجم 18 √2 سانتی متر 3 است.

وظیفه سوم

وضعیت. اگر مشخص شود که متوازی الاضلاع مستقیم است، حجم آن را بیابید. اضلاع قاعده آن متوازی الاضلاع است و برابر با 2 و 3 سانتی متر است و زاویه تند بین آنها 60 درجه است. قطر کوچکتر متوازی الاضلاع برابر است با قطر بزرگتر قاعده.

راه حل.برای اینکه حجم یک متوازی الاضلاع را بفهمیم، از فرمول با مساحت پایه و ارتفاع استفاده می کنیم. هر دو مقدار ناشناخته هستند، اما محاسبه آنها آسان است. اولین مورد قد است.

از آنجایی که قطر کوچکتر موازی شکل از نظر اندازه با پایه بزرگتر منطبق است، می توان آنها را با همان حرف d تعیین کرد. بزرگترین زاویه متوازی الاضلاع 120 درجه است، زیرا با زاویه تند 180 درجه تشکیل می شود. بگذارید مورب دوم پایه با حرف "x" مشخص شود. حال برای دو قطر پایه می توانیم قضایای کسینوس را بنویسیم:

d 2 = a 2 + b 2 - 2av cos 120º،

x 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos 60º.

یافتن مقادیر بدون مربع معنی ندارد، زیرا بعداً آنها دوباره به قدرت دوم ارتقا می یابند. پس از جایگزینی داده ها، دریافت می کنیم:

d 2 = 2 2 + 3 2 - 2 * 2 * 3 cos 120º = 4 + 9 + 12 * ½ = 19،

x 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos 60º = 4 + 9 - 12 * ½ = 7.

اکنون ارتفاع، که لبه جانبی متوازی الاضلاع نیز می باشد، به یک پایه در مثلث تبدیل می شود. هیپوتنوس قطر شناخته شده بدنه و پای دوم "x" خواهد بود. می توانیم قضیه فیثاغورث را بنویسیم:

n 2 = d 2 - x 2 = 19 - 7 = 12.

از این رو: n = √12 = 2√3 (سانتی متر).

اکنون دومین کمیت مجهول مساحت پایه است. با استفاده از فرمول ذکر شده در مسئله دوم قابل محاسبه است.

S o = 2 * 3 sin 60º = 6 * √3/2 = 3√3 (cm 2).

با ترکیب همه چیز در فرمول حجم، دریافت می کنیم:

V = 3√3 * 2√3 = 18 (cm 3).

پاسخ: V = 18 سانتی متر 3.

تکلیف چهارم

وضعیت. لازم است حجم موازی را که شرایط زیر را برآورده می کند، دریابید: پایه یک مربع با ضلع 5 سانتی متر است. صورت های جانبی لوزی هستند. یکی از رئوس واقع در بالای قاعده از تمام رئوس های واقع در قاعده مساوی فاصله دارد.

راه حل.ابتدا باید شرایط را درک کنید. هیچ سوالی با نکته اول در مورد مربع وجود ندارد. مورد دوم، در مورد لوزی ها، روشن می کند که متوازی الاضلاع مایل است. علاوه بر این، تمام لبه های آن برابر با 5 سانتی متر است، زیرا دو طرف لوزی یکسان است. و از سومی معلوم می شود که سه قطری که از آن کشیده شده با هم برابرند. اینها دو نفر هستند که روی وجه های کناری قرار دارند و آخرین مورد در داخل متوازی الاضلاع است. و این مورب ها برابر لبه هستند یعنی 5 سانتی متر هم طول دارند.

برای تعیین حجم، به فرمولی که برای یک متوازی الاضلاع مایل نوشته شده است نیاز دارید. باز هم مقادیر مشخصی در آن وجود ندارد. با این حال، محاسبه مساحت پایه آسان است، زیرا مربع است.

S o = 5 2 = 25 (cm 2).

وضعیت قد کمی پیچیده تر است. در سه شکل به این صورت خواهد بود: یک متوازی الاضلاع، یک هرم چهار گوش و یک مثلث متساوی الساقین. از این آخرین شرایط باید استفاده کرد.

از آنجایی که ارتفاع است، یک ساق در یک مثلث قائم الزاویه است. هیپوتانوس در آن یک لبه شناخته شده خواهد بود و پایه دوم برابر با نصف مورب مربع است (ارتفاع نیز میانه است). و مورب پایه به راحتی پیدا می شود:

d = √(2 * 5 2) = 5√2 (سانتی متر).

ارتفاع باید به عنوان تفاوت بین توان دوم لبه و مربع نصف قطر محاسبه شود و سپس به یاد داشته باشید که جذر را بگیرید:

n = √ (5 2 - (5/2 * √2) 2) = √(25 - 25/2) = √(25/2) = 2.5 √2 (سانتی متر).

V = 25 * 2.5 √2 = 62.5 √2 (cm 3).

پاسخ: 62.5 √2 (cm 3).

قضیه. در هر متوازی الاضلاع، وجوه متضاد برابر و موازی هستند.

بنابراین، وجوه (شکل) BB 1 C 1 C و AA 1 D 1 D موازی هستند، زیرا دو خط متقاطع BB 1 و B 1 C 1 از یک وجه موازی با دو خط متقاطع AA 1 و A 1 D 1 هستند. دیگری. این وجوه برابرند، زیرا B 1 C 1 = A 1 D 1، B 1 B = A 1 A (به عنوان اضلاع متوازی الاضلاع متوازی الاضلاع) و ∠BB 1 C 1 = ∠AA 1 D 1.

قضیه. در هر متوازی الاضلاع، هر چهار مورب در یک نقطه قطع می شوند و در آن به دو نیم می شوند.

بیایید (شکل) دو مورب را در موازی شکل، به عنوان مثال AC 1 و DB 1 در نظر بگیریم و خطوط مستقیم AB 1 و DC 1 را رسم کنیم.

از آنجایی که یال های AD و B 1 C 1 به ترتیب برابر و موازی با لبه BC هستند، پس آنها با یکدیگر مساوی و موازی هستند.

در نتیجه، شکل ADC 1 B 1 متوازی الاضلاع است که در آن C 1 A و DB 1 مورب هستند و در متوازی الاضلاع قطرها به نصف یکدیگر را قطع می کنند.

این اثبات را می توان برای هر دو قطر تکرار کرد.

بنابراین، مورب AC 1 BD 1 را به نصف قطع می کند، مورب BD 1 A 1 C را به نصف قطع می کند.

بنابراین، تمام مورب ها به نصف و در نتیجه در یک نقطه قطع می شوند.

قضیه. در یک متوازی الاضلاع مستطیلی، مربع هر قطری برابر است با مجموع مربع های سه بعدی آن.

فرض کنید (شکل) AC 1 قطری از یک متوازی الاضلاع مستطیلی باشد.

با رسم AC، دو مثلث داریم: AC 1 C و ACB. هر دوی آنها مستطیل شکل هستند:

اولی چون متوازی الاضلاع مستقیم است و بنابراین لبه CC 1 عمود بر قاعده است،

دوم به این دلیل که متوازی الاضلاع مستطیل شکل است، به این معنی که یک مستطیل در قاعده آن وجود دارد.

از این مثلث ها می یابیم:

AC 2 1 = AC 2 + CC 2 1 و AC 2 = AB 2 + BC 2

بنابراین، AC 2 1 = AB 2 + BC 2 + CC 2 1 = AB 2 + AD 2 + AA 2 1

نتیجه. در یک متوازی الاضلاع مستطیلی همه قطرها با هم برابرند.