Derivat korijena složene funkcije. Nađi derivaciju: algoritam i primjeri rješenja

Na kojoj smo analizirali najjednostavnije derivacije, a također se upoznali s pravilima diferencijacije i nekim tehnikama pronalaženja derivacija. Stoga, ako niste baš dobri s izvedenicama funkcija ili neke točke ovog članka nisu sasvim jasne, onda prvo pročitajte gornju lekciju. Uključite se u ozbiljno raspoloženje – gradivo nije lako, ali ću ga ipak pokušati predstaviti jednostavno i jasno.

U praksi se s derivacijom složene funkcije morate vrlo često, čak bih rekao, gotovo uvijek, kad dobijete zadaće pronaći derivacije.

U tablici gledamo pravilo (br. 5) za razlikovanje složene funkcije:

Razumijemo. Prije svega, pogledajmo notaciju. Ovdje imamo dvije funkcije - i , a funkcija je, slikovito rečeno, ugniježđena u funkciju . Funkcija ove vrste (kada je jedna funkcija ugniježđena unutar druge) naziva se složena funkcija.

Pozvat ću funkciju vanjska funkcija, i funkcija – unutarnja (ili ugniježđena) funkcija.

! Ove definicije nisu teorijske i ne bi se trebale pojaviti u konačnom dizajnu zadataka. Neformalne izraze "vanjska funkcija", "unutarnja" funkcija koristim samo kako bih vam olakšao razumijevanje gradiva.

Da biste razjasnili situaciju, razmotrite sljedeće:

Primjer 1

Pronađite derivaciju funkcije

Pod sinusom nemamo samo slovo "x", već cijeli izraz, tako da pronalaženje izvedenice odmah iz tablice neće raditi. Primjećujemo i da je ovdje nemoguće primijeniti prva četiri pravila, čini se da postoji razlika, ali činjenica je da je nemoguće “rastrgnuti” sinus:

U ovom primjeru, već iz mojih objašnjenja, intuitivno je jasno da je funkcija složena funkcija, a polinom je unutarnja funkcija (embedding) i vanjska funkcija.

Prvi korak, koji se mora izvesti pri pronalaženju derivacije složene funkcije je to razumjeti koja je funkcija unutarnja, a koja vanjska.

U slučaju jednostavnih primjera, čini se jasnim da je polinom ugniježđen ispod sinusa. Ali što ako nije očito? Kako točno odrediti koja je funkcija vanjska, a koja unutarnja? Da biste to učinili, predlažem korištenje sljedeće tehnike, koja se može provesti mentalno ili na nacrtu.

Zamislimo da kalkulatorom trebamo izračunati vrijednost izraza (umjesto jedan može biti bilo koji broj).

Što prvo izračunamo? Kao prvo morat ćete izvesti sljedeću radnju: , tako da će polinom biti interna funkcija:

Drugo morat ćete pronaći, pa će sinus - biti vanjska funkcija:

Nakon što smo RAZUMIJETI s unutarnjim i vanjskim funkcijama, vrijeme je za primjenu pravila diferencijacije složenih funkcija .

Počinjemo odlučivati. Iz lekcije Kako pronaći izvedenicu? sjećamo se da dizajn rješenja bilo koje izvedenice uvijek počinje ovako - stavljamo izraz u zagrade i stavljamo crtu u gornji desni:

Prvi nalazimo derivaciju vanjske funkcije (sinus), pogledamo tablicu derivacija elementarnih funkcija i uočimo da . Sve tablične formule su primjenjive čak i ako je "x" zamijenjen složenim izrazom, u ovom slučaju:

Imajte na umu da je unutarnja funkcija nije se promijenilo, ne diramo ga.

Pa, to je sasvim očito

Rezultat primjene formule čisto izgleda ovako:

Konstantni faktor se obično stavlja na početak izraza:

Ako dođe do nesporazuma, odluku zapišite na papir i ponovno pročitajte objašnjenja.

Primjer 2

Pronađite derivaciju funkcije

Primjer 3

Pronađite derivaciju funkcije

Kao i uvijek, pišemo:

Shvatimo gdje imamo vanjsku funkciju, a gdje unutarnju. Da bismo to učinili, pokušavamo (mentalno ili na nacrtu) izračunati vrijednost izraza za . Što prvo treba učiniti? Prije svega, morate izračunati koliko je baza jednaka:, što znači da je polinom interna funkcija:

I tek tada se izvodi eksponencijalizacija, dakle, funkcija snage je vanjska funkcija:

Prema formuli , prvo morate pronaći derivaciju vanjske funkcije, u ovom slučaju stupanj. Tražimo željenu formulu u tablici:. Ponavljamo opet: bilo koja tablična formula vrijedi ne samo za "x", već i za složeni izraz. Dakle, rezultat primjene pravila diferencijacije složene funkcije Sljedeći:

Ponovno naglašavam da kada uzmemo derivaciju vanjske funkcije, unutarnja funkcija se ne mijenja:

Sada ostaje pronaći vrlo jednostavnu derivaciju unutarnje funkcije i malo "pročešljati" rezultat:

Primjer 4

Pronađite derivaciju funkcije

Ovo je primjer za samostalno rješavanje (odgovor na kraju lekcije).

Za konsolidaciju razumijevanja derivacije složene funkcije dat ću primjer bez komentara, pokušajte sami shvatiti, razlog, gdje je vanjska, a gdje unutarnja funkcija, zašto se zadaci rješavaju na taj način?

Primjer 5

a) Pronađite derivaciju funkcije

b) Pronađite derivaciju funkcije

Primjer 6

Pronađite derivaciju funkcije

Ovdje imamo korijen, a da bismo ga razlikovali, on mora biti predstavljen kao stupanj. Stoga prvo dovodimo funkciju u odgovarajući oblik za diferencijaciju:

Analizirajući funkciju dolazimo do zaključka da je zbroj tri člana unutarnja funkcija, a eksponencijacija vanjska funkcija. Primjenjujemo pravilo diferencijacije složene funkcije :

Stupanj je opet predstavljen kao radikal (korijen), a za derivaciju interne funkcije primjenjujemo jednostavno pravilo za diferenciranje zbroja:

Spreman. Također možete dovesti izraz do zajedničkog nazivnika u zagradama i sve napisati kao jedan razlomak. Lijepo je, naravno, ali kada se dobiju glomazne duge izvedenice, bolje je to ne činiti (lako se zbuniti, napraviti nepotrebnu grešku, a učitelju će biti nezgodno provjeravati).

Primjer 7

Pronađite derivaciju funkcije

Ovo je primjer za samostalno rješavanje (odgovor na kraju lekcije).

Zanimljivo je primijetiti da se ponekad umjesto pravila za diferenciranje složene funkcije može koristiti pravilo za razlikovanje kvocijenta , ali takvo rješenje će izgledati kao izopačenje neobično. Evo tipičnog primjera:

Primjer 8

Pronađite derivaciju funkcije

Ovdje možete koristiti pravilo diferencijacije kvocijenta , ali je mnogo isplativije pronaći derivaciju kroz pravilo diferencijacije složene funkcije:

Pripremamo funkciju za diferencijaciju - vadimo znak minus iz derivacije i dižemo kosinus na brojnik:

Kosinus je unutarnja funkcija, eksponencijacija je vanjska funkcija.
Koristimo se našim pravilom :

Pronalazimo derivaciju unutarnje funkcije, vraćamo kosinus na dolje:

Spreman. U razmatranom primjeru važno je ne zabuniti se u znakovima. Usput, pokušaj to riješiti pravilom , odgovori se moraju podudarati.

Primjer 9

Pronađite derivaciju funkcije

Ovo je primjer za samostalno rješavanje (odgovor na kraju lekcije).

Do sada smo razmatrali slučajeve kada smo imali samo jedno ugniježđenje u složenoj funkciji. U praktičnim zadacima često možete pronaći izvedenice, gdje se, poput lutki za gniježđenje, jedna u drugoj, ugniježđeno 3 ili čak 4-5 funkcija odjednom.

Primjer 10

Pronađite derivaciju funkcije

Razumijemo priloge ove funkcije. Pokušavamo procijeniti izraz pomoću eksperimentalne vrijednosti. Kako bismo računali na kalkulator?

Prvo morate pronaći, što znači da je arcsin najdublje gniježđenje:

Ovaj arcsin jedinstva tada treba kvadrirati:

I na kraju, dižemo sedam na potenciju:

To jest, u ovom primjeru imamo tri različite funkcije i dva ugniježđenja, dok je najnutarnja funkcija arcsinus, a najudaljenija funkcija eksponencijalna funkcija.

Počinjemo odlučivati

Prema pravilu prvo trebate uzeti derivaciju vanjske funkcije. Gledamo tablicu derivacija i nalazimo derivaciju eksponencijalne funkcije: Jedina razlika je u tome što umjesto "x" imamo složen izraz, što ne negira valjanost ove formule. Dakle, rezultat primjene pravila diferencijacije složene funkcije Sljedeći.

Navedeni su primjeri izračunavanja derivacija pomoću formule za derivaciju kompleksne funkcije.

Sadržaj

Vidi također: Dokaz formule za derivaciju kompleksne funkcije

Osnovne formule

Ovdje dajemo primjere izračunavanja derivacija sljedećih funkcija:
; ; ; ; .

Ako se funkcija može predstaviti kao složena funkcija u sljedećem obliku:
,
tada je njegova derivacija određena formulom:
.
U primjerima u nastavku zapisat ćemo ovu formulu u sljedećem obliku:
.
gdje .
Ovdje indeksi ili , koji se nalaze pod znakom derivacije, označavaju varijablu u odnosu na koju se vrši diferencijacija.

Obično se u tablicama derivacija daju derivacije funkcija iz varijable x. Međutim, x je formalni parametar. Varijabla x može se zamijeniti bilo kojom drugom varijablom. Stoga, kada razlikujemo funkciju od varijable, jednostavno mijenjamo, u tablici derivacija, varijablu x u varijablu u.

Jednostavni primjeri

Primjer 1

Pronađite derivaciju složene funkcije
.

Danu funkciju zapisujemo u ekvivalentnom obliku:
.
U tablici izvedenica nalazimo:
;
.

Prema formuli za derivaciju složene funkcije imamo:
.
ovdje .

Primjer 2

Pronađite izvedenicu
.

Izvadimo konstantu 5 izvan predznaka derivacije i iz tablice derivacija nalazimo:
.

.
ovdje .

Primjer 3

Pronađite derivaciju
.

Izvadimo konstantu -1 za predznak derivacije i iz tablice derivacija nalazimo:
;
Iz tablice izvedenica nalazimo:
.

Primjenjujemo formulu za derivaciju složene funkcije:
.
ovdje .

Složeniji primjeri

U složenijim primjerima pravilo diferencijacije složene funkcije primjenjujemo nekoliko puta. Pritom izračunavamo derivaciju od kraja. Odnosno, funkciju razbijamo na sastavne dijelove i pomoću njih pronalazimo derivacije najjednostavnijih dijelova tablica izvedenica. Također se prijavljujemo pravila diferencijacije zbroja, proizvodi i frakcije . Zatim vršimo zamjene i primjenjujemo formulu za derivaciju kompleksne funkcije.

Primjer 4

Pronađite derivaciju
.

Odaberemo najjednostavniji dio formule i pronađemo njenu derivaciju. .

.
Ovdje smo koristili notaciju
.

Pronalazimo derivaciju sljedećeg dijela izvorne funkcije primjenom dobivenih rezultata. Primjenjujemo pravilo diferencijacije zbroja:
.

Još jednom primjenjujemo pravilo diferencijacije složene funkcije.

.
ovdje .

Primjer 5

Pronađite derivaciju funkcije
.

Odaberemo najjednostavniji dio formule i iz tablice izvodnica pronađemo njenu derivaciju. .

Primjenjujemo pravilo diferencijacije složene funkcije.
.
Ovdje
.

Razlikujemo sljedeći dio, primjenjujući dobivene rezultate.
.
Ovdje
.

Razlikujemo sljedeći dio.

.
Ovdje
.

Sada nalazimo derivaciju željene funkcije.

.
Ovdje
.

Vidi također:

I teorem o derivaciji složene funkcije, čija je formulacija sljedeća:

Neka 1) funkcija $u=\varphi (x)$ ima derivaciju $u_(x)"=\varphi"(x_0)$ u nekoj točki $x_0$, 2) funkcija $y=f(u)$ ima u odgovarajućoj točki $u_0=\varphi (x_0)$ derivaciju $y_(u)"=f"(u)$. Tada će kompleksna funkcija $y=f\left(\varphi (x) \right)$ u spomenutoj točki također imati derivaciju jednaku umnošku derivacija funkcija $f(u)$ i $\varphi ( x)$:

$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \desno)\cdot \varphi"(x_0) $$

ili, kraće rečeno: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$.

U primjerima ovog odjeljka sve funkcije imaju oblik $y=f(x)$ (tj. razmatramo samo funkcije jedne varijable $x$). Sukladno tome, u svim primjerima, derivacija $y"$ uzima se u odnosu na varijablu $x$. Da bi se naglasilo da se derivacija uzima u odnosu na varijablu $x$, često se piše $y"_x$ umjesto $ y"$.

Primjeri #1, #2 i #3 pružaju detaljan proces za pronalaženje derivacije složenih funkcija. Primjer br. 4 namijenjen je potpunijem razumijevanju tablice izvedenica i ima smisla upoznati se s njom.

Preporučljivo je, nakon proučavanja gradiva u primjerima br. 1-3, prijeći na samostalno rješavanje primjera br. 5, br. 6 i br. Primjeri #5, #6 i #7 sadrže kratko rješenje kako bi čitatelj mogao provjeriti točnost svog rezultata.

Primjer #1

Pronađite derivaciju funkcije $y=e^(\cos x)$.

Moramo pronaći derivaciju kompleksne funkcije $y"$. Budući da je $y=e^(\cos x)$, onda je $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$. pronađite derivaciju $ \left(e^(\cos x)\right)"$ koristite formulu #6 iz tablice derivacija. Da biste koristili formulu br. 6, morate uzeti u obzir da je u našem slučaju $u=\cos x$. Daljnje rješenje sastoji se u banalnoj zamjeni izraza $\cos x$ umjesto $u$ u formulu br. 6:

$$ y"=\lijevo(e^(\cos x) \desno)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \tag (1.1)$$

Sada trebamo pronaći vrijednost izraza $(\cos x)"$. Opet se okrećemo tablici derivacija, birajući iz nje formulu br. 10. Zamijenivši $u=x$ u formulu br. 10, imamo : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$. Sada nastavljamo jednakost (1.1), nadopunjujući je pronađenim rezultatom:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \oznaka (1.2) $$

Budući da je $x"=1$, nastavljamo jednakost (1.2):

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \tag (1.3) $$

Dakle, iz jednakosti (1.3) imamo: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$. Naravno, objašnjenja i međujednakosti se obično preskaču, pišu derivaciju u jednom retku, kao u jednakosti (1.3) Dakle, derivacija kompleksne funkcije je pronađena, ostaje samo zapisati odgovor.

Odgovor: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.

Primjer #2

Pronađite derivaciju funkcije $y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$.

Moramo izračunati derivaciju $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Za početak, napominjemo da se konstanta (tj. broj 9) može izvaditi iz predznaka derivacije:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \desno)" \oznaka (2.1) $$

Sada se okrenimo izrazu $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Da bismo lakše odabrali željenu formulu iz tablice derivacija, predstavit ću izraz u pitanju u ovom obliku: $\left( \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. Sada je jasno da je potrebno koristiti formulu broj 2, t.j. $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Zamijenite $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ i $\alpha=12$ u ovu formulu:

Dopunjujući jednakost (2.1) s dobivenim rezultatom, imamo:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \tag (2.2) $$

U ovoj situaciji često se napravi pogreška kada rješavač u prvom koraku odabere formulu $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ umjesto formule $\left(u^\ alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Poanta je da se prvo mora pronaći derivacija vanjske funkcije. Da biste razumjeli koja će funkcija biti vanjska prema izrazu $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$, zamislite da brojite vrijednost izraza $\arctg^(12)(4\cdot 5^ x)$ za neku vrijednost od $x$. Prvo izračunate vrijednost $5^x$, a zatim rezultat pomnožite s 4 da dobijete $4\cdot 5^x$. Sada uzimamo arktangent iz ovog rezultata i dobivamo $\arctg(4\cdot 5^x)$. Zatim podižemo rezultirajući broj na dvanaesti stepen, dobivajući $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$. Posljednja radnja, t.j. podizanje na stepen 12, - i bit će vanjska funkcija. I od nje treba krenuti s pronalaženjem derivacije, što je učinjeno u jednakosti (2.2).

Sada moramo pronaći $(\arctg(4\cdot \ln x))"$. Koristimo formulu br. 19 tablice derivacija, zamjenjujući u nju $u=4\cdot \ln x$:

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Pojednostavimo malo rezultirajući izraz, uzimajući u obzir $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$.

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Jednakost (2.2) će sada postati:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \desno)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \desno)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" \oznaka (2.3) $$

Ostaje pronaći $(4\cdot \ln x)"$. Konstantu (tj. 4) uzimamo iz predznaka derivacije: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x )"$. Da bismo pronašli $(\ln x)"$, koristimo formulu br. 8, zamjenjujući u nju $u=x$: $(\ln x)"=\frac(1)(x) \cdot x"$. Budući da je $x"=1$, onda je $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x) $ Zamjenom dobivenog rezultata u formulu (2.3) dobivamo:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \desno)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \desno)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)).$ $

Podsjetim da je derivacija kompleksne funkcije najčešće u jednom retku, kako je napisano u posljednjoj jednakosti. Stoga, prilikom standardnih proračuna ili testova, uopće nije potrebno otopiti oslikavati jednako detaljno.

Odgovor: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$.

Primjer #3

Pronađite $y"$ funkcije $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$.

Prvo, malo transformirajmo funkciju $y$ izražavajući radikal (korijen) kao potenciju: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9) ^x) \desno)^(\frac(3)(7))$. Sada krenimo s traženjem izvedenice. Budući da je $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$, tada:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)" \tag (3.1) $$

Koristimo formulu br. 2 iz tablice derivacija, zamjenjujući u nju $u=\sin(5\cdot 9^x)$ i $\alpha=\frac(3)(7)$:

$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\desno)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \lijevo(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$

Jednakost (3.1) nastavljamo koristeći dobiveni rezultat:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \tag (3.2) $$

Sada trebamo pronaći $(\sin(5\cdot 9^x))"$. Za to koristimo formulu br. 9 iz tablice derivacija, zamjenjujući u nju $u=5\cdot 9^x$:

$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$

Dopunjujući jednakost (3.2) s dobivenim rezultatom, imamo:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \lijevo(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)" \oznaka (3.3) $$

Ostaje pronaći $(5\cdot 9^x)"$. Prvo uzimamo konstantu (broj $5$) iz predznaka derivacije, tj. $(5\cdot 9^x)"=5\ cdot (9^x) "$. Da bismo pronašli derivaciju $(9^x)"$, primjenjujemo formulu br. 5 iz tablice derivacija, zamjenjujući u nju $a=9$ i $u=x$: $ (9^x)"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$. Budući da je $x"=1$, onda je $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. Sada možemo nastaviti jednakost (3.3):

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \lijevo(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\desno) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$

Možete se ponovno vratiti s moći na radikale (tj. korijene) tako što ćete napisati $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ kao $\ frac(1 )(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^) x)))$. Tada će se derivacija napisati u sljedećem obliku:

$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))). $$

Odgovor: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\) cdot 9^x)))$.

Primjer #4

Pokažite da su formule br. 3 i br. 4 tablice derivacija poseban slučaj formule br. 2 ove tablice.

U formuli br. 2 tablice derivacija upisana je derivacija funkcije $u^\alpha$. Zamjenom $\alpha=-1$ u formulu #2, dobivamo:

$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\tag (4.1)$$

Budući da je $u^(-1)=\frac(1)(u)$ i $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$, jednakost (4.1) se može prepisati na sljedeći način: $ \left(\frac(1)(u) \right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. Ovo je formula broj 3 tablice izvedenica.

Vratimo se opet formuli br. 2 tablice derivacija. Zamijenite $\alpha=\frac(1)(2)$ u to:

$$\left(u^(\frac(1)(2))\right)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\tag (4.2) $$

Budući da je $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ i $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac( 1) )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$, tada se jednakost (4.2) može prepisati na sljedeći način:

$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$

Rezultirajuća jednakost $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ je formula br. 4 tablice izvedenica. Kao što možete vidjeti, formule br. 3 i br. 4 tablice izvedenica dobivaju se iz formule br. 2 zamjenom odgovarajuće vrijednosti $\alpha$.

Funkcije složenog oblika nije sasvim ispravno nazivati ​​pojmom "složena funkcija". Na primjer, izgleda vrlo impresivno, ali ova funkcija nije komplicirana, za razliku od.

U ovom članku ćemo se pozabaviti pojmom složene funkcije, naučiti kako je identificirati kao dio elementarnih funkcija, dati formulu za pronalaženje njezine derivacije i detaljno razmotriti rješenje tipičnih primjera.

Prilikom rješavanja primjera stalno ćemo se služiti tablicom derivacija i pravilima diferencijacije, pa ih imajte pred očima.

Složena funkcija je funkcija čiji je argument također funkcija.

S naše točke gledišta, ova je definicija najrazumljivija. Konvencionalno se može označiti kao f(g(x)) . To jest, g(x) je, takoreći, argument funkcije f(g(x)) .

Na primjer, ako je f funkcija arktangenta, a g(x) = lnx funkcija prirodnog logaritma, tada je kompleksna funkcija f(g(x)) arctg(lnx) . Drugi primjer: f je funkcija povećanja na četvrti stepen, i je cijela racionalna funkcija (vidi ), onda .

Zauzvrat, g(x) također može biti složena funkcija. Na primjer, . Konvencionalno se takav izraz može označiti kao . Ovdje je f funkcija sinusa, funkcija kvadratnog korijena, je razlomka racionalna funkcija. Logično je pretpostaviti da stupanj ugniježđenja funkcija može biti bilo koji konačni prirodni broj.

Često možete čuti da se poziva složena funkcija sastav funkcije.

Formula za pronalaženje derivacije kompleksne funkcije.

Primjer.

Pronađite derivaciju složene funkcije.

Riješenje.

U ovom primjeru, f je funkcija kvadriranja, a g(x) = 2x+1 je linearna funkcija.

Ovdje je detaljno rješenje koje koristi formulu za derivaciju složene funkcije:

Nađimo ovu derivaciju, nakon što smo pojednostavili oblik izvorne funkcije.

Stoga,

Kao što vidite, rezultati se poklapaju.

Pokušajte ne zbuniti koja je funkcija f, a koja g(x) .

Objasnimo to primjerom za pažnju.

Primjer.

Pronađite derivacije složenih funkcija i .

Riješenje.

U prvom slučaju, f je funkcija kvadriranja, a g(x) je sinusna funkcija, dakle
.

U drugom slučaju, f je sinusna funkcija i funkcija potencije. Dakle, po formuli za umnožak kompleksne funkcije imamo

Formula derivacije za funkciju ima oblik

Primjer.

Funkcija diferenciranja .

Riješenje.

U ovom primjeru, složena funkcija može se uvjetno napisati kao , gdje je sinusna funkcija, funkcija podizanja na treći stepen, logaritamska funkcija na bazu e, funkcija uzimanja tangente luka i linearna funkcija.

Prema formuli za derivaciju složene funkcije

Sada nalazimo

Objedinjavajući dobivene međurezultate:

Nema ništa strašno, rastavite složene funkcije poput lutki za gniježđenje.

Ovo bi moglo završiti članak, da nije bilo jednog, ali...

Poželjno je jasno razumjeti kada primijeniti pravila diferencijacije i tablicu derivacija, a kada formula za derivaciju složene funkcije.

BUDITE SADA VRLO OPREZNI. Govorit ćemo o razlici između složenih funkcija i složenih funkcija. Od toga koliko vidite tu razliku, ovisit će uspjeh u pronalaženju izvedenica.

Počnimo s jednostavnim primjerima. Funkcija može se smatrati kompleksnim: g(x) = tgx , . Stoga možete odmah primijeniti formulu za derivaciju složene funkcije

I ovdje je funkcija više se ne može nazvati složenim.

Ova funkcija je zbroj triju funkcija, 3tgx i 1. Iako je - složena funkcija: - je funkcija stepena (kvadratna parabola), a f je tangentna funkcija. Stoga prvo primjenjujemo formulu za razlikovanje zbroja:

Ostaje pronaći derivaciju složene funkcije:

dakle .

Nadamo se da ste shvatili suštinu.

Ako pogledate šire, može se tvrditi da funkcije složenog tipa mogu biti dio složenih funkcija, a složene funkcije mogu biti komponente funkcija složenog tipa.

Kao primjer, analizirajmo sastavne dijelove funkcije .

Prvo, je složena funkcija koja se može predstaviti kao , gdje je f logaritamska funkcija baze 3, a g(x) je zbroj dviju funkcija i . To je, .

Drugo, pozabavimo se funkcijom h(x) . Vezano je za .

Ovo je zbroj dviju funkcija i , gdje - složena funkcija s brojčanim koeficijentom 3 . - funkcija kocke, - kosinusna funkcija, - linearna funkcija.

Ovo je zbroj dviju funkcija i , Gdje - složena funkcija, - eksponencijalna funkcija, - eksponencijalna funkcija.

Na ovaj način, .

Treće, idite na , što je proizvod složene funkcije i cijela racionalna funkcija

Funkcija kvadriranja je funkcija logaritma prema bazi e.

Stoga, .

Sažeti:

Sada je struktura funkcije jasna i postalo je jasno koje formule i kojim redoslijedom primijeniti pri njenom razlikovanju.

U odjeljku diferencijacija funkcije (pronalaženje derivacije) možete pronaći rješenje takvih problema.