Rappresentare graficamente la funzione x 2 2x. Grafici in linea

Scegliamo un sistema di coordinate rettangolari sul piano e tracciamo i valori dell'argomento sull'asse delle ascisse X e in ordinata i valori della funzione y = f(x).

Grafico della funzione y = f(x)è l'insieme di tutti i punti le cui ascisse appartengono al dominio di definizione della funzione, e le ordinate sono uguali ai corrispondenti valori della funzione.

In altre parole, il grafico della funzione y = f (x) è l'insieme di tutti i punti del piano, coordinate X, A che soddisfano la relazione y = f(x).

Nella fig. 45 e 46 mostrano i grafici delle funzioni y = 2x + 1 E y = x2 - 2x.

A rigor di termini, si dovrebbe distinguere tra un grafico di una funzione (la cui esatta definizione matematica è stata data sopra) e una curva disegnata, che fornisce sempre solo uno schizzo più o meno accurato del grafico (e anche allora, di regola, non l'intero grafico, ma solo la sua parte situata nelle parti finali del piano). In quanto segue, tuttavia, diremo generalmente “grafico” piuttosto che “schizzo grafico”.

Usando un grafico, puoi trovare il valore di una funzione in un punto. Vale a dire, se il punto x = a appartiene al dominio di definizione della funzione y = f(x), quindi per trovare il numero fa)(ovvero i valori della funzione al punto x = a) dovresti farlo. È necessario attraverso il punto dell'ascissa x = a tracciare una linea retta parallela all'asse delle ordinate; questa linea intersecherà il grafico della funzione y = f(x) a un certo punto; l'ordinata di tale punto sarà, in virtù della definizione del grafico, pari a fa)(Fig. 47).

Ad esempio, per la funzione f(x) = x2 - 2x utilizzando il grafico (Fig. 46) troviamo f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0, ecc.

Un grafico di funzione illustra chiaramente il comportamento e le proprietà di una funzione. Ad esempio, dalla considerazione della Fig. 46 è evidente che la funzione y = x2 - 2x assume valori positivi quando X< 0 e a x > 2, negativo - a 0< x < 2; наименьшее значение функция y = x2 - 2x accetta a x = 1.

Rappresentare graficamente una funzione f(x) devi trovare tutti i punti del piano, le coordinate X,A che soddisfano l'equazione y = f(x). Nella maggior parte dei casi ciò è impossibile poiché esiste un numero infinito di tali punti. Pertanto, il grafico della funzione è rappresentato in modo approssimativo, con maggiore o minore precisione. Il più semplice è il metodo di tracciare un grafico utilizzando diversi punti. Consiste nel fatto che l'argomento X fornire un numero finito di valori, ad esempio x 1, x 2, x 3,..., x k e creare una tabella che includa i valori della funzione selezionata.

La tabella è simile a questa:

Dopo aver compilato una tabella del genere, possiamo delineare diversi punti sul grafico della funzione y = f(x). Quindi, collegando questi punti con una linea morbida, otteniamo una visione approssimativa del grafico della funzione y = f(x).

Va notato, tuttavia, che il metodo di tracciamento multipunto è molto inaffidabile. Resta infatti sconosciuto il comportamento del grafico tra i punti previsti ed il suo comportamento al di fuori del segmento compreso tra i punti estremi presi.

Esempio 1. Rappresentare graficamente una funzione y = f(x) qualcuno ha compilato una tabella di argomenti e valori di funzione:

I cinque punti corrispondenti sono mostrati in Fig. 48.

Sulla base della posizione di questi punti, concluse che il grafico della funzione è una linea retta (mostrata in Fig. 48 con una linea tratteggiata). Questa conclusione può essere considerata attendibile? A meno che non vi siano ulteriori considerazioni a sostegno di questa conclusione, difficilmente può essere considerata affidabile. affidabile.

Per comprovare la nostra affermazione, consideriamo la funzione

.

I calcoli mostrano che i valori di questa funzione nei punti -2, -1, 0, 1, 2 sono esattamente descritti dalla tabella sopra. Tuttavia, il grafico di questa funzione non è affatto una linea retta (è mostrato in Fig. 49). Un altro esempio potrebbe essere la funzione y = x + l + sinπx; i suoi significati sono descritti anche nella tabella sopra.

Questi esempi mostrano che nella sua forma “pura” il metodo di tracciare un grafico utilizzando più punti non è affidabile. Pertanto, per tracciare il grafico di una data funzione, si procede solitamente come segue. Innanzitutto studiamo le proprietà di questa funzione, con l'aiuto della quale possiamo costruire uno schizzo del grafico. Quindi, calcolando i valori della funzione in più punti (la cui scelta dipende dalle proprietà stabilite della funzione), si trovano i punti corrispondenti del grafico. Infine, viene tracciata una curva attraverso i punti costruiti utilizzando le proprietà di questa funzione.

In seguito esamineremo alcune proprietà (quelle più semplici e usate più frequentemente) delle funzioni utilizzate per trovare uno schizzo di grafico, ma ora esamineremo alcuni metodi comunemente usati per costruire grafici.

Grafico della funzione y = |f(x)|.

Spesso è necessario tracciare una funzione y = |f(x)|, dove f(x) - data funzione. Lascia che ti ricordiamo come è fatto. Definendo il valore assoluto di un numero, possiamo scrivere

Ciò significa che il grafico della funzione y =|f(x)| può essere ottenuto dal grafico, funzione y = f(x) come segue: tutti i punti sul grafico della funzione y = f(x), le cui ordinate non sono negative, dovrebbero essere lasciate invariate; inoltre, invece dei punti del grafico della funzione y = f(x) avendo coordinate negative, dovresti costruire i punti corrispondenti sul grafico della funzione y = -f(x)(cioè parte del grafico della funzione
y = f(x), che si trova sotto l'asse X, dovrebbe riflettersi simmetricamente rispetto all'asse X).

Esempio 2. Rappresentare graficamente la funzione y = |x|.

Prendiamo il grafico della funzione y = x(Fig. 50, a) e parte di questo grafico a X< 0 (che giace sotto l'asse X) riflesso simmetricamente rispetto all'asse X. Di conseguenza, otteniamo un grafico della funzione y = |x|(Fig. 50, b).

Esempio 3. Rappresentare graficamente la funzione y = |x2 - 2x|.

Innanzitutto, tracciamo la funzione y = x2 - 2x. Il grafico di questa funzione è una parabola, i cui rami sono diretti verso l'alto, il vertice della parabola ha coordinate (1; -1), il suo grafico interseca l'asse x nei punti 0 e 2. Nell'intervallo (0; 2) la funzione assume valori negativi, quindi questa parte del grafico si riflette simmetricamente rispetto all'asse delle ascisse. La Figura 51 mostra il grafico della funzione y = |x2 -2x|, in base al grafico della funzione y = x2 - 2x

Grafico della funzione y = f(x) + g(x)

Consideriamo il problema della costruzione del grafico di una funzione y = f(x) + g(x). se vengono forniti i grafici delle funzioni y = f(x) E y = g(x).

Si noti che il dominio di definizione della funzione y = |f(x) + g(x)| è l'insieme di tutti quei valori di x per i quali sono definite entrambe le funzioni y = f(x) e y = g(x), cioè questo dominio di definizione è l'intersezione dei domini di definizione, funzioni f(x) eg(x).

Lasciamo i punti (x0,y1) E (x0,y2) appartengono rispettivamente ai grafici delle funzioni y = f(x) E y = g(x), cioè s 1 = f(x 0), y 2 = g(x 0). Allora il punto (x0;.y1 + y2) appartiene al grafico della funzione y = f(x) + g(x)(per f(x0) + g(x0) = sì 1+y2),. e qualsiasi punto del grafico della funzione y = f(x) + g(x) può essere ottenuto in questo modo. Pertanto, il grafico della funzione y = f(x) + g(x) possono essere ottenuti dai grafici delle funzioni y = f(x). E y = g(x) sostituendo ogni punto ( xn, y 1) grafica delle funzioni y = f(x) punto (x n, y 1 + y 2), Dove y2 = g(x n), ovvero spostando ciascun punto ( x n, y 1) grafico della funzione y = f(x) lungo l'asse A per l'importo y1 = g(x n). In questo caso, vengono considerati solo tali punti X n per il quale sono definite entrambe le funzioni y = f(x) E y = g(x).

Questo metodo per tracciare una funzione y = f(x) + g(x) si chiama addizione di grafici di funzioni y = f(x) E y = g(x)

Esempio 4. Nella figura, un grafico della funzione è stato costruito utilizzando il metodo dell'aggiunta di grafici
y = x + sinx.

Quando si traccia una funzione y = x + sinx lo abbiamo pensato f(x) = x, UN g(x) = sinx. Per tracciare il grafico della funzione, selezioniamo i punti con ascisse -1.5π, -, -0.5, 0, 0.5,, 1.5, 2. Valori f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx Calcoliamo nei punti selezionati e inseriamo i risultati nella tabella.

Un grafico di funzione è una rappresentazione visiva del comportamento di una funzione su un piano di coordinate. I grafici aiutano a comprendere vari aspetti di una funzione che non possono essere determinati dalla funzione stessa. Puoi costruire grafici di molte funzioni e a ciascuna di esse verrà assegnata una formula specifica. Il grafico di qualsiasi funzione viene costruito utilizzando un algoritmo specifico (se hai dimenticato l'esatto processo di rappresentazione grafica di una funzione specifica).

Passi

Rappresentazione grafica di una funzione lineare

Determina se la funzione è lineare. La funzione lineare è data da una formula della forma F (x) = k x + b (\displaystyle F(x)=kx+b) O y = k x + b (\displaystyle y=kx+b)(ad esempio, ) e il suo grafico è una linea retta. Pertanto, la formula include una variabile e una costante (costante) senza esponenti, segni di radice o simili. Se viene data una funzione di tipo simile, è abbastanza semplice tracciare un grafico di tale funzione. Ecco altri esempi di funzioni lineari:

Utilizzare una costante per contrassegnare un punto sull'asse Y. La costante (b) è la coordinata “y” del punto in cui il grafico interseca l'asse Y. Cioè è un punto la cui coordinata “x” è uguale a 0. Pertanto, se nella formula si sostituisce x = 0 , allora y = b (costante). Nel nostro esempio y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5) la costante è pari a 5, cioè il punto di intersezione con l'asse Y ha coordinate (0,5). Traccia questo punto sul piano delle coordinate.

Trovare la pendenza della linea.È uguale al moltiplicatore della variabile. Nel nostro esempio y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5) con la variabile “x” c'è un fattore 2; quindi, il coefficiente di pendenza è uguale a 2. Il coefficiente di pendenza determina l'angolo di inclinazione della retta rispetto all'asse X, cioè maggiore è il coefficiente di pendenza, più velocemente la funzione aumenta o diminuisce.

Scrivi la pendenza come frazione. Il coefficiente angolare è uguale alla tangente dell'angolo di inclinazione, cioè al rapporto tra la distanza verticale (tra due punti su una linea retta) e la distanza orizzontale (tra gli stessi punti). Nel nostro esempio, la pendenza è 2, quindi possiamo affermare che la distanza verticale è 2 e la distanza orizzontale è 1. Scrivilo come una frazione: 2 1 (\displaystyle (\frac (2)(1))).

• Se la pendenza è negativa la funzione è decrescente.

1. Dal punto in cui la linea retta interseca l'asse Y, traccia un secondo punto utilizzando le distanze verticale e orizzontale. Una funzione lineare può essere rappresentata graficamente utilizzando due punti. Nel nostro esempio il punto di intersezione con l'asse Y ha coordinate (0,5); Da questo punto, spostati di 2 spazi verso l'alto e poi di 1 spazio a destra. Segna un punto; avrà coordinate (1,7). Ora puoi disegnare una linea retta.

   Usando un righello, traccia una linea retta che passa attraverso due punti. Per evitare errori, trova il terzo punto, ma nella maggior parte dei casi il grafico può essere tracciato utilizzando due punti. Quindi, hai tracciato una funzione lineare.

   Tracciare punti sul piano delle coordinate

   1. Definire una funzione. La funzione è indicata come f(x). Tutti i possibili valori della variabile "y" sono chiamati dominio della funzione e tutti i possibili valori della variabile "x" sono chiamati dominio della funzione. Consideriamo ad esempio la funzione y = x+2, ovvero f(x) = x+2.

      Disegna due linee perpendicolari che si intersecano. La linea orizzontale è l'asse X. La linea verticale è l'asse Y.

      Etichetta gli assi delle coordinate. Dividi ciascun asse in segmenti uguali e numerali. Il punto di intersezione degli assi è 0. Per l'asse X: i numeri positivi vengono tracciati a destra (da 0) e i numeri negativi a sinistra. Per l'asse Y: i numeri positivi vengono tracciati in alto (da 0) e i numeri negativi in ​​basso.

      Trova i valori di "y" dai valori di "x". Nel nostro esempio, f(x) = x+2. Sostituisci valori x specifici in questa formula per calcolare i valori y corrispondenti. Se viene data una funzione complessa, semplificala isolando la "y" su un lato dell'equazione.

      • -1: -1 + 2 = 1
      • 0: 0 +2 = 2
      • 1: 1 + 2 = 3

   2. Traccia i punti sul piano delle coordinate. Per ogni coppia di coordinate procedere come segue: individuare il valore corrispondente sull'asse X e tracciare una linea verticale (punteggiata); trova il valore corrispondente sull'asse Y e traccia una linea orizzontale (linea tratteggiata). Segna il punto di intersezione delle due linee tratteggiate; quindi, hai tracciato un punto sul grafico.

      Cancella le linee tratteggiate. Fallo dopo aver tracciato tutti i punti del grafico sul piano delle coordinate. Nota: il grafico della funzione f(x) = x è una retta passante per il centro di coordinate [punto di coordinate (0,0)]; il grafico f(x) = x + 2 è una retta parallela alla retta f(x) = x, ma spostata verso l'alto di due unità e quindi passante per il punto di coordinate (0,2) (perché la costante è 2) .

   Rappresentazione grafica di una funzione complessa

   Trova gli zeri della funzione. Gli zeri di una funzione sono i valori della variabile x dove y = 0, cioè questi sono i punti in cui il grafico interseca l'asse X. Tieni presente che non tutte le funzioni hanno zeri, ma sono le prime passo nel processo di rappresentazione grafica di qualsiasi funzione. Per trovare gli zeri di una funzione, equiparatela a zero. Per esempio:

   Trova e segna gli asintoti orizzontali. Un asintoto è una linea alla quale il grafico di una funzione si avvicina ma non interseca mai (cioè in questa regione la funzione non è definita, ad esempio, quando si divide per 0). Segna l'asintoto con una linea tratteggiata. Se la variabile "x" è al denominatore di una frazione (ad esempio, y = 1 4 − x 2 (\displaystyle y=(\frac (1)(4-x^(2))))), imposta il denominatore su zero e trova "x". Nei valori ottenuti della variabile “x” la funzione non è definita (nel nostro esempio tracciamo linee tratteggiate attraverso x = 2 e x = -2), perché non è possibile dividere per 0. Ma gli asintoti esistono non solo nei casi in cui la funzione contiene un'espressione frazionaria. Si raccomanda pertanto di usare il buon senso:

“Trasformazione delle funzioni” - Altalena. Sposta l'asse y verso l'alto. Alza il volume al massimo: aumenterai l'a (ampiezza) delle vibrazioni dell'aria. Sposta l'asse x a sinistra. Obiettivi della lezione. 3 punti. Musica. Traccia la funzione e determina D(f), E(f) e T: compressione lungo l'asse x. Sposta l'asse y verso il basso. Aggiungi il rosso alla tavolozza e riduci k (frequenza) delle oscillazioni elettromagnetiche.

“Funzioni di più variabili” - Derivate di ordine superiore. Una funzione di due variabili può essere rappresentata graficamente. Calcolo differenziale e integrale. Punti interni e di confine. Determinazione del limite di una funzione di 2 variabili. Corso di analisi matematica. Berman. Limite di una funzione di 2 variabili. Grafico della funzione. Teorema. Area limitata.

"Il concetto di funzione" - Metodi per tracciare grafici di una funzione quadratica. Studiare diversi modi per specificare una funzione è un'importante tecnica metodologica. Caratteristiche dello studio delle funzioni quadratiche. Interpretazione genetica del concetto “funzione”. Funzioni e grafici in un corso di matematica scolastica. L'idea di una funzione lineare viene evidenziata quando si rappresenta graficamente una determinata funzione lineare.

"Funzione tema" - Analisi. È necessario scoprire non ciò che lo studente non sa, ma ciò che sa. Gettare le basi per superare con successo l’Esame di Stato Unificato e accedere alle università. Sintesi. Se gli studenti lavorano in modo diverso, l’insegnante dovrebbe lavorare con loro in modo diverso. Analogia. Generalizzazione. Distribuzione dei compiti dell'Esame di Stato Unificato nei principali blocchi di contenuti del corso di matematica scolastica.

“Trasformazione dei grafici delle funzioni” - Ripete i tipi di trasformazioni dei grafici. Abbina ogni grafico ad una funzione. Simmetria. Obiettivo della lezione: Costruire grafici di funzioni complesse. Diamo un'occhiata ad esempi di trasformazioni e spieghiamo ogni tipo di trasformazione. Trasformazione di grafici di funzioni. Allungamento. Rafforzare la costruzione di grafici di funzioni utilizzando trasformazioni di grafici di funzioni elementari.

“Grafici di funzioni” - Tipo di funzione. L'intervallo di valori di una funzione è costituito da tutti i valori della variabile dipendente y. Il grafico di una funzione è una parabola. Il grafico della funzione è una parabola cubica. Il grafico di una funzione è un'iperbole. Il dominio di definizione e l'intervallo di valori di una funzione. Correla ogni linea con la sua equazione: il dominio di definizione della funzione sono tutti i valori della variabile indipendente x.

1. Funzione lineare frazionaria e suo grafico

Una funzione della forma y = P(x) / Q(x), dove P(x) e Q(x) sono polinomi, è chiamata funzione razionale frazionaria.

Probabilmente hai già familiarità con il concetto di numeri razionali. Allo stesso modo funzioni razionali sono funzioni che possono essere rappresentate come il quoziente di due polinomi.

Se una funzione razionale frazionaria è il quoziente di due funzioni lineari - polinomi di primo grado, ad es. funzione della forma

y = (ax + b) / (cx + d), allora è detta lineare frazionaria.

Si noti che nella funzione y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (altrimenti la funzione diventa lineare y = ax/d + b/d) e che a/c ≠ b/d (altrimenti la la funzione è costante). La funzione frazionaria lineare è definita per tutti i numeri reali tranne x = -d/c. I grafici delle funzioni lineari frazionarie non differiscono nella forma dal grafico y = 1/x che conosci. Viene chiamata una curva che è un grafico della funzione y = 1/x iperbole. Con un aumento illimitato di x in valore assoluto, la funzione y = 1/x diminuisce illimitatamente in valore assoluto ed entrambi i rami del grafico si avvicinano all'ascissa: quello di destra si avvicina dall'alto, quello di sinistra dal basso. Le rette a cui si avvicinano i rami di un'iperbole sono chiamate sue asintoti.

Esempio 1.

y = (2x + 1) / (x – 3).

Soluzione.

Selezioniamo l'intera parte: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).

Ora è facile vedere che il grafico di questa funzione si ottiene dal grafico della funzione y = 1/x mediante le seguenti trasformazioni: spostamento di 3 segmenti unitari verso destra, allungamento lungo l'asse Oy 7 volte e spostamento di 2 segmenti unitari verso l'alto.

Qualsiasi frazione y = (ax + b) / (cx + d) può essere scritta in modo simile, evidenziando la “parte intera”. Di conseguenza, i grafici di tutte le funzioni lineari frazionarie sono iperboli, spostate in vari modi lungo gli assi coordinati e allungate lungo l'asse Oy.

Per costruire un grafico di qualsiasi funzione lineare frazionaria arbitraria, non è affatto necessario trasformare la frazione che definisce questa funzione. Poiché sappiamo che il grafico è un'iperbole, basterà trovare le rette a cui si avvicinano i suoi rami, gli asintoti dell'iperbole x = -d/c e y = a/c.

Esempio 2.

Trova gli asintoti del grafico della funzione y = (3x + 5)/(2x + 2).

Soluzione.

La funzione non è definita, in x = -1. Ciò significa che la retta x = -1 funge da asintoto verticale. Per trovare l’asintoto orizzontale, scopriamo a cosa si avvicinano i valori della funzione y(x) quando l’argomento x aumenta in valore assoluto.

Per fare ciò, dividi il numeratore e il denominatore della frazione per x:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

Per x → ∞ la frazione tenderà a 3/2. Ciò significa che l'asintoto orizzontale è la retta y = 3/2.

Esempio 3.

Rappresentare graficamente la funzione y = (2x + 1)/(x + 1).

Soluzione.

Selezioniamo la “parte intera” della frazione:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Ora è facile vedere che il grafico di questa funzione si ottiene dal grafico della funzione y = 1/x mediante le seguenti trasformazioni: uno spostamento di 1 unità a sinistra, una visualizzazione simmetrica rispetto a Ox e uno spostamento di 2 segmenti unitari lungo l'asse Oy.

Dominio D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Intervallo di valori E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Punti di intersezione con gli assi: c Oy: (0; 1); c Bue: (-1/2; 0). La funzione aumenta ad ogni intervallo del dominio di definizione.

Risposta: Figura 1.

2. Funzione razionale frazionaria

Consideriamo una funzione razionale frazionaria della forma y = P(x) / Q(x), dove P(x) e Q(x) sono polinomi di grado superiore al primo.

Esempi di tali funzioni razionali:

y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) oppure y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Se la funzione y = P(x) / Q(x) rappresenta il quoziente di due polinomi di grado superiore al primo, il suo grafico sarà, di regola, più complesso e talvolta può essere difficile costruirlo accuratamente , con tutti i dettagli. Spesso però è sufficiente utilizzare tecniche simili a quelle che abbiamo già introdotto sopra.

Sia la frazione una frazione propria (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x)/Q(x) = LA 1 /(x – RE 1) m1 + LA 2 /(x – RE 1) m1-1 + … + LA m1 /(x – RE 1) + …+

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 +p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 +p t x + q t).

Ovviamente il grafico di una funzione razionale frazionaria può essere ottenuto come somma di grafici di frazioni elementari.

Tracciamento di grafici di funzioni razionali frazionarie

Consideriamo diversi modi per costruire grafici di una funzione razionale frazionaria.

Esempio 4.

Disegna un grafico della funzione y = 1/x 2 .

Soluzione.

Utilizziamo il grafico della funzione y = x 2 per costruire un grafico di y = 1/x 2 e utilizziamo la tecnica della “divisione” dei grafici.

Dominio D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Intervallo di valori E(y) = (0; +∞).

Non ci sono punti di intersezione con gli assi. La funzione è pari. Aumenta per tutti gli x dall'intervallo (-∞; 0), diminuisce per x da 0 a +∞.

Risposta: Figura 2.

Esempio 5.

Rappresentare graficamente la funzione y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x).

Soluzione.

Dominio D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3)(x – 1) / (-3(x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3+1/3.

Qui abbiamo utilizzato la tecnica della fattorizzazione, riduzione e riduzione a una funzione lineare.

Risposta: Figura 3.

Esempio 6.

Rappresentare graficamente la funzione y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1).

Soluzione.

Il dominio di definizione è D(y) = R. Poiché la funzione è pari, il grafico è simmetrico rispetto all'ordinata. Prima di costruire un grafico trasformiamo nuovamente l’espressione evidenziando l’intera parte:

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).

Si noti che isolare la parte intera nella formula di una funzione razionale frazionaria è uno dei principali quando si costruiscono grafici.

Se x → ±∞, allora y → 1, cioè la retta y = 1 è un asintoto orizzontale.

Risposta: Figura 4.

Esempio 7.

Consideriamo la funzione y = x/(x 2 + 1) e proviamo a trovare con precisione il suo valore più grande, ovvero il punto più alto nella metà destra del grafico. Per costruire accuratamente questo grafico, le conoscenze odierne non sono sufficienti. Ovviamente, la nostra curva non può “salire” molto in alto, perché il denominatore inizia rapidamente a “superare” il numeratore. Vediamo se il valore della funzione può essere uguale a 1. Per fare questo, dobbiamo risolvere l'equazione x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0. Questa equazione non ha radici reali. Ciò significa che la nostra ipotesi è errata. Per trovare il valore più grande della funzione, devi scoprire in quale A più grande l'equazione A = x/(x 2 + 1) avrà una soluzione. Sostituiamo l'equazione originale con una quadratica: Ax 2 – x + A = 0. Questa equazione ha una soluzione quando 1 – 4A 2 ≥ 0. Da qui troviamo il valore più grande A = 1/2.

Risposta: Figura 5, max y(x) = ½.

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