Тодорхойлолт

Скаляр хэмжигдэхүүн- тоогоор тодорхойлж болох хэмжигдэхүүн. Жишээлбэл, урт, талбай, масс, температур гэх мэт.

Векторчиглэсэн сегментийг $\overline(A B)$ гэж нэрлэдэг; $A$ цэг нь эхлэл, $B$ цэг нь векторын төгсгөл юм (Зураг 1).

Векторыг хоёр том үсгээр тэмдэглэнэ - түүний эхлэл ба төгсгөл: $\overline(A B)$ эсвэл нэг жижиг үсгээр: $\overline(a)$.

Тодорхойлолт

Хэрэв векторын эхлэл ба төгсгөл давхцаж байвал ийм векторыг нэрлэдэг тэг. Ихэнхдээ тэг векторыг $\overline(0)$ гэж тэмдэглэдэг.

Векторуудыг дууддаг collinear, хэрэв тэдгээр нь нэг шулуун дээр эсвэл зэрэгцээ шугам дээр хэвтэж байвал (Зураг 2).

Тодорхойлолт

$\overline(a)$ ба $\overline(b)$ хоёр коллинеар векторыг дуудна хамтран найруулсан, хэрэв тэдгээрийн чиглэл давхцаж байвал: $\overline(a) \uparrow \uparrow \overline(b)$ (Зураг 3, а). $\overline(a)$ ба $\overline(b)$ хоёр коллинеар векторыг дуудна эсрэгээр чиглэсэн, хэрэв тэдгээрийн чиглэл эсрэг байвал: $\overline(a) \uparrow \downarrow \overline(b)$ (Зураг 3, b).

Тодорхойлолт

Векторуудыг дууддаг хавтгай, хэрэв тэдгээр нь нэг хавтгайд параллель эсвэл нэг хавтгайд хэвтэж байвал (Зураг 4).

Хоёр вектор нь үргэлж ижил төстэй байдаг.

Тодорхойлолт

Урт (модуль)$\overline(A B)$ вектор нь түүний эхлэл ба төгсгөлийн хоорондох зай: $|\overline(A B)|$

Векторын уртын тухай нарийвчилсан онолыг холбоос дээр үзнэ үү.

Тэг векторын урт нь тэг байна.

Тодорхойлолт

Урт нь нэгтэй тэнцүү векторыг нэрлэдэг нэгж векторэсвэл ортом.

Векторуудыг дууддаг тэнцүү, хэрэв тэдгээр нь нэг буюу зэрэгцээ шугам дээр хэвтэж байвал; Тэдний чиглэл давхцаж, урт нь тэнцүү байна.

Өөрөөр хэлбэл, хоёр вектор тэнцүү, хэрэв тэдгээр нь хоорондоо уялдаатай, кодиректортой ба ижил урттай бол:

$\overline(a)=\overline(b)$ бол $\overline(a) \uparrow \uparrow \overline(b),|\overline(a)|=|\overline(b)|$

$M$ зайны дурын цэг дээр өгөгдсөн $\overline(A B)$ вектортой тэнцүү $\overline(M N)$ нэг векторыг байгуулж болно.

2018 Ольшевский Андрей Георгиевич

Вэб сайт номоор дүүрсэн бол та ном татаж авах боломжтой

Хавтгай ба орон зай дахь векторууд, асуудлыг шийдвэрлэх арга, жишээ, томъёо

Сансар дахь 1 векторууд

Сансар дахь векторуудад 10-р ангийн геометр, 11-р ангийн геометр, аналитик геометр орно. Векторууд нь Улсын нэгдсэн шалгалтын хоёрдугаар хэсгийн геометрийн асуудлууд, сансарт аналитик геометрийн асуудлыг үр дүнтэй шийдвэрлэх боломжийг танд олгоно. Орон зай дахь векторууд нь хавтгай дээрх векторуудын нэгэн адил өгөгдсөн боловч гурав дахь координат z-ийг харгалзан үздэг. Гурав дахь хэмжээст орон зай дахь векторуудаас хасах нь хавтгай дээрх векторуудыг өгдөг бөгөөд үүнийг геометрийн 8, 9-р ангид тайлбарладаг.

1.1 Онгоц болон сансар дахь вектор

Вектор гэдэг нь зураг дээр сумаар дүрслэгдсэн эхлэл ба төгсгөлтэй чиглэсэн сегмент юм. Сансар огторгуйн дурын цэгийг тэг вектор гэж үзэж болно. Тэг вектор нь тодорхой чиглэлгүй, учир нь эхлэл ба төгсгөл нь ижил тул ямар ч чиглэл өгч болно.

Англи хэлнээс орчуулсан вектор гэдэг нь вектор, чиглэл, курс, удирдамж, чиглэлийн тохиргоо, онгоцны чиглэл гэсэн утгатай.

Тэг биш векторын урт (модуль) нь AB сегментийн урт бөгөөд үүнийг тэмдэглэнэ.
. Вектор урт гэж тэмдэглэсэн . Тэг вектор нь тэгтэй тэнцүү урттай байна = 0.

Нэг шулуун дээр эсвэл параллель шулуун дээр байрлах тэгээс өөр векторуудыг коллинеар гэнэ.

Тэг вектор нь ямар ч вектортой коллинеар байна.

Ижил чиглэлтэй коллинеар тэг биш векторуудыг кодиректор гэнэ. Хамтран чиглүүлэх векторуудыг . Жишээлбэл, вектор нь вектортой кодиректортой байвал , дараа нь тэмдэглэгээг ашиглана.

Тэг вектор нь дурын вектортой кодиректортой байна.

Эсрэг чиглэлтэй нь эсрэг чиглэлтэй хоёр коллинеар тэг биш векторууд юм. Эсрэг чиглэлтэй векторуудыг ↓ тэмдгээр тэмдэглэнэ. Жишээлбэл, вектор нь векторын эсрэг чиглэсэн байвал ↓ тэмдэглэгээг ашиглана.

Ижил урттай хамтран чиглэсэн векторуудыг тэнцүү гэж нэрлэдэг.

Олон тооны физик хэмжигдэхүүнүүд нь вектор хэмжигдэхүүнүүд юм: хүч, хурд, цахилгаан орон.

Хэрэв векторын хэрэглээний (эхлэх) цэгийг заагаагүй бол түүнийг дур зоргоороо сонгоно.

Хэрэв векторын эхлэлийг О цэг дээр байрлуулсан бол векторыг О цэгээс хойшлогдсон гэж үзнэ. Аль ч цэгээс та өгөгдсөн вектортой тэнцүү нэг векторыг зурж болно.

1.2 Вектор нийлбэр

Гурвалжны дүрмийн дагуу векторуудыг нэмэхдээ 1-р векторыг зурж, түүний төгсгөлөөс 2-р векторыг зурж, эдгээр хоёр векторын нийлбэр нь 1-р векторын эхнээс 2-р векторын төгсгөл хүртэл зурсан вектор 3 байна.

Дурын A, B, C цэгүүдийн хувьд та векторуудын нийлбэрийг бичиж болно.

+
=

Хэрэв хоёр вектор нэг цэгээс үүссэн бол

Дараа нь тэдгээрийг параллелограммын дүрмийн дагуу нэмэх нь дээр.

Параллелограммын дүрмийн дагуу хоёр векторыг нэмэхдээ нэмсэн векторуудыг нэг цэгээс байрлуулж, эдгээр векторуудын төгсгөлөөс нөгөө векторын эхлэлийг нэг векторын төгсгөлд оруулснаар параллелограммыг дуусгана. Нэмэгдэж буй векторуудын гарал үүслийн цэгээс үүссэн параллелограммын диагональаас үүссэн вектор нь векторуудын нийлбэр болно.

Параллелограммын дүрэм нь гурвалжны дүрмийн дагуу вектор нэмэх өөр дарааллыг агуулдаг.

Вектор нэмэх хуулиуд:

1. Шилжилтийн хууль + = +.

2. Хослолын хууль ( + ) + = + ( + ).

Хэрэв хэд хэдэн вектор нэмэх шаардлагатай бол векторуудыг хосоор нь эсвэл олон өнцөгт дүрмийн дагуу нэмнэ: вектор 2-ыг 1-р векторын төгсгөлөөс, 3-р векторыг 2-ын векторын төгсгөлөөс, 4-ийг векторын төгсгөлөөс зурна. 3-р векторын төгсгөл, 5-р векторыг 4-р векторын төгсгөлөөс зурах гэх мэт хэд хэдэн векторын нийлбэр болох векторыг 1-р векторын эхнээс сүүлчийн векторын төгсгөл хүртэл зурна.

Вектор нэмэх хуулиудын дагуу вектор нэмэх дараалал нь хэд хэдэн векторын нийлбэр болох векторын үр дүнд нөлөөлөхгүй.

Тэг биш эсрэг чиглэлтэй ижил урттай хоёр векторыг эсрэг гэж нэрлэдэг. Вектор - векторын эсрэг байна

Эдгээр векторууд нь эсрэг чиглэлтэй ба тэнцүү хэмжээтэй байна.

1.3 Векторын ялгаа

Векторын зөрүүг векторуудын нийлбэр хэлбэрээр бичиж болно

- = + (-),

Энд "-" нь векторын эсрэг талын вектор юм.

Гурвалжин эсвэл параллелограммын дүрмийн дагуу вектор ба --г нэмж болно.

векторууд ба

Векторуудын ялгааг олохын тулд бид векторыг бүтээдэг -

Бид векторуудыг нэмээд - гурвалжингийн дүрмийн дагуу векторын эхлэлийг векторын төгсгөлд ашигласнаар бид вектор + (-) = - -ийг авна.

Бид векторуудыг нэмж, - параллелограммын дүрмийн дагуу векторуудын эхлэлийг хойш тавьж, - нэг цэгээс.

Хэрэв векторууд ба ижил цэгээс эхтэй бол

,

дараа нь векторуудын ялгаа нь тэдгээрийн төгсгөлүүдийг холбосон векторыг өгөх ба үүссэн векторын төгсгөлд байгаа сумыг хоёр дахь векторыг хасах векторын чиглэлд байрлуулна.

Доорх зураг нь нэмэх ба векторын ялгааг харуулж байна

Доорх зураг нь вектор нэмэх ба ялгааг янз бүрийн аргаар харуулж байна

Даалгавар.ба векторууд өгөгдсөн.

Векторуудын нийлбэр ба ялгаварыг бүх боломжит векторуудын бүх боломжит хослолоор зур.

1.4 Коллинеар векторууд дээрх лемма

= к

1.5 Вектор ба тооны үржвэр

Тэг биш векторыг k тоогоор үржүүлснээр вектортой коллинеар = k векторыг өгнө. Вектор урт:

| | = |k |·| |

Хэрэв k > 0, дараа нь ба векторууд кодиректортой байна.

Хэрэв k = 0, тэгвэл вектор тэг болно.

Хэрэв к< 0, то векторы и противоположно направленные.

Хэрэв | к | = 1, дараа нь векторууд ба тэнцүү урттай байна.

Хэрэв k = 1, тэгвэл векторууд тэнцүү байна.

Хэрэв k = -1, дараа нь эсрэг векторууд.

Хэрэв | к | > 1 бол векторын урт нь векторын уртаас их байна.

Хэрэв k > 1, тэгвэл векторууд хоёулаа ижил чиглэлтэй байх ба урт нь векторын уртаас их байна.

Хэрэв к< -1, то векторы и противоположно направленные и длина больше длины вектора .

Хэрэв | к |< 1, то длина вектора меньше длины вектора .

Хэрэв 0< к< 1, то векторы и сонаправленные и длина меньше длины вектора .

Хэрэв -1< к< 0, то векторы и противоположно направленные и длина меньше длины вектора .

Тэг вектор ба тооны үржвэр нь тэг векторыг өгдөг.

Даалгавар.Вектор өгөгдсөн.

2, -3, 0.5, -1.5 векторуудыг байгуул.

Даалгавар.ба векторууд өгөгдсөн.

3 + 2, 2 - 2, -2 - векторуудыг байгуул.

Векторыг тоогоор үржүүлэхийг тодорхойлсон хуулиуд

1. Хослолын хууль (kn) = k (n)

2. Тархалтын анхны хууль k ( + ) = k + k .

3. Хоёр дахь тархалтын хууль (k + n) = k + n.

Коллинеар векторуудын хувьд, хэрэв ≠ 0 бол векторыг дараах байдлаар илэрхийлэх боломжийг олгодог нэг k тоо байна.

= к

1.6 Хавсарсан векторууд

Нэг хавтгайд эсвэл параллель хавтгайд байрлах векторуудыг coplanar гэж нэрлэдэг. Хэрэв бид эдгээр хавтгай векторуудтай тэнцүү векторуудыг нэг цэгээс зурах юм бол тэдгээр нь нэг хавтгайд хэвтэнэ. Иймд нэг хавтгайд тэнцүү векторууд байвал векторуудыг coplanar гэж нэрлэж болно.

Дурын хоёр вектор нь үргэлж хосолсон байдаг. Гурван вектор нь хоорондоо уялдаатай эсвэл хосгүй байж болно. Гурван вектор, тэдгээрийн хоёроос доошгүй нь коллинеар байна. Коллинеар векторууд нь үргэлж ижил төстэй байдаг.

1.7 Векторыг коллинеар бус хоёр вектор болгон задлах

Аливаа вектор Хавтгай дээр хоёр конлинеар биш тэг векторт өвөрмөц задардаг Тэгээд x ба y тэлэлтийн нэг коэффициенттэй:

= x+y

Ямар ч вектор нь тэгээс ялгаатай векторуудтай ижил төстэй бөгөөд хоёр колайнеар бус вектор болон өвөрмөц тэлэлтийн x ба y коэффициентүүдээр өвөрмөц байдлаар өргөжүүлж болно:

= x+y

Хавтгай дээрх өгөгдсөн векторыг өгөгдсөн коллинеар бус векторуудын дагуу тэлэх ба:

Өгөгдсөн компланар векторуудыг нэг цэгээс зуръя

Векторын төгсгөлөөс бид векторуудтай параллель шугамуудыг зурж, тэдгээр нь векторууд болон . Бид параллелограммыг авдаг

Параллелограммын талуудын уртыг векторуудын уртыг үржүүлж, параллелограммын талуудын уртыг харгалзах векторуудын уртад хуваах замаар тодорхойлогддог x ба y тоогоор олно. Бид өгөгдсөн коллинеар бус векторуудын дагуу векторын задралыг олж авдаг ба:

= x+y

Шийдвэрлэж буй асуудалд x ≈ 1.3, y ≈ 1.9 байх тул өгөгдсөн коллинеар бус вектор дахь векторын тэлэлтийг хэлбэрээр бичиж болно.

1,3 + 1,9 .

Шийдвэрлэж буй асуудалд x ≈ 1.3, y ≈ -1.9 тул өгөгдсөн коллинеар бус вектор дахь векторын тэлэлтийг хэлбэрээр бичиж болно.

1,3 - 1,9 .

1.8 Параллелепипедийн дүрэм

Параллелепипед нь гурван хэмжээст дүрс бөгөөд эсрэг тал нь зэрэгцээ хавтгайд байрлах хоёр тэнцүү параллелограммаас бүрддэг.

Параллелепипедийн дүрэм нь нэг цэгээс зурсан гурван хосгүй векторыг нэмэх боломжийг олгодог бөгөөд нийлбэр векторууд нь түүний ирмэгийг бүрдүүлж, параллелепипедийн үлдсэн ирмэгүүд нь параллелепипедийн урттай тэнцүү байхаар параллелепипед байгуулдаг. нийлбэр векторуудаас үүссэн ирмэгүүд. Параллелепипедийн диагональ нь өгөгдсөн гурван векторын нийлбэр болох векторыг үүсгэдэг бөгөөд энэ нь нэмэгдэж байгаа векторуудын гарал үүслийн цэгээс эхэлдэг.

1.9 Векторыг хуваалтгүй гурван вектор болгон задлах

Аливаа вектор өгөгдсөн хуваарьгүй гурван вектор болж тэлдэг , x, y, z тэлэлтийн нэг коэффициенттэй:

= x + y + z .

1.10 Сансар огторгуй дахь тэгш өнцөгт координатын систем

Гурван хэмжээст орон зайд тэгш өнцөгт координатын систем Oxyz нь O эх ба огтлолцох харилцан перпендикуляр координатын Ox, Oy, Oz тэнхлэгүүдийн сонгосон эерэг чиглэлийг сумаар зааж, сегментийн хэмжилтийн нэгжээр тодорхойлогддог. Гурван тэнхлэгт хэрчмүүдийн масштаб ижил байвал ийм системийг декартын координатын систем гэнэ.

Координат х-г абсцисса, y-ийг ординат, z-ийг хэрэглүүр гэж нэрлэдэг. М цэгийн координатыг M (x; y; z) хаалтанд бичнэ.

1.11 Орон зай дахь вектор координатууд

Сансарт бид тэгш өнцөгт координатын Oxyz системийг тодорхойлох болно. Ox, Oy, Oz тэнхлэгүүдийн эерэг чиглэлд координатын гарал үүслээс харгалзах нэгж векторуудыг зурна. , , , тэдгээрийг координатын векторууд гэж нэрлэдэг ба нэгдмэл бус байдаг. Иймд дурын векторыг гурван координатын координат векторт хуваадаг бөгөөд өвөрмөц тэлэлтийн коэффициент x, y, z:

= x + y + z .

Өргөтгөх коэффициентууд x, y, z нь өгөгдсөн тэгш өнцөгт координатын систем дэх векторын координатууд бөгөөд тэдгээрийг хаалтанд (x; y; z) бичнэ. Тэг вектор нь тэгтэй тэнцүү координаттай байна (0; 0; 0). Тэнцүү векторууд ижил харгалзах координаттай байна.

Үүссэн векторын координатыг олох дүрэм:

1. Хоёр ба түүнээс дээш векторыг нийлбэрлэхдээ үүссэн векторын координат бүр нь өгөгдсөн векторуудын харгалзах координатуудын нийлбэртэй тэнцүү байна. Хэрэв (x 1 ; y 1 ; z 1) ба (x 1 ; y 1 ; z 1) хоёр вектор өгөгдсөн бол векторуудын нийлбэр + координаттай векторыг (x 1 + x 1 ; y 1 + y) өгнө. 1 ; z 1 + z 1)

+ = (x 1 + x 1; y 1 + y 1 ; z 1 + z 1)

2. Ялгаа нь нийлбэрийн нэг төрөл тул харгалзах координатын зөрүү нь өгөгдсөн хоёр векторыг хасч гаргаж авсан векторын координат бүрийг өгнө. Хэрэв (x a; y a; z a) ба (x b; y b; z b) гэсэн хоёр вектор өгөгдсөн бол векторуудын ялгаа нь координаттай векторыг (x a - x b; y a - y b; z a - z b) өгнө.

- = (x a - x b; y a - y b; z a - z b)

3. Векторыг тоогоор үржүүлэхэд үүссэн векторын координат бүр нь энэ тооны үржвэр ба өгөгдсөн векторын харгалзах координаттай тэнцүү байна. Хэрэв k тоо ба вектор (x; y; z) өгөгдсөн бол векторыг k тоогоор үржүүлэхэд координаттай k вектор гарч ирнэ.

k = (kx; ky; kz).

Даалгавар.Векторуудын координатууд (1; -2; -1), (-2; 3; -4), (-1; -3; 2) байвал = 2 - 3 + 4 векторын координатыг ол.

Шийдэл

2 + (-3) + 4

2 = (2·1; 2·(-2); 2·(-1)) = (2; -4; -2);

3 = (-3·(-2); -3·3; -3·(-4)) = (6; -9; 12);

4 = (4·(-1); 4·(-3); 4·2) = (-4; -12; 8).

= (2 + 6 - 4; -4 - 9 -12; -2 + 12 + 8) = (4; -25; 18).

1.12 Вектор, радиус вектор, цэгийн координат

Хэрэв векторын эхлэлийг эх дээр байрлуулсан бол векторын төгсгөлийн координатыг векторын координат гэнэ.

Радиус вектор гэдэг нь радиус вектор ба цэгийн координатууд нь ижил цэгээс эхлэн зурсан вектор юм.

Хэрэв вектор
нь M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) ба M 2 (x 2 ; y 2; z 2) цэгүүдээр өгөгдсөн бол түүний координат бүр нь төгсгөлийн харгалзах координатын зөрүүтэй тэнцүү байна. векторын эхлэл

Коллинеар векторуудын хувьд = (x 1 ; y 1 ; z 1) ба = (x 2 ; y 2; z 2), хэрэв ≠ 0 бол векторыг дараах байдлаар илэрхийлэх боломжийг олгодог ганц k тоо байна:

= к

Дараа нь векторын координатыг векторын координатаар илэрхийлнэ

= (kx 1; ky 1; kz 1)

Коллинеар векторуудын харгалзах координатуудын харьцаа нь k ганц тоотой тэнцүү байна

1.13 Векторын урт ба хоёр цэгийн хоорондох зай

Векторын урт (x; y; z) нь координатын квадратуудын нийлбэрийн квадрат язгууртай тэнцүү байна.

M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) ба төгсгөлийн M 2 (x 2 ; y 2; z 2) эхлэлийн цэгүүдээр тодорхойлсон векторын урт нь квадратуудын нийлбэрийн квадрат язгууртай тэнцүү байна. векторын төгсгөл ба эхлэлийн харгалзах координатуудын зөрүү

Зай M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) ба M 2 (x 2 ; y 2; z 2) хоёр цэгийн хоорондох d нь векторын урттай тэнцүү байна.

Хавтгай дээр z координат байхгүй

M 1 (x 1 ; y 1) ба M 2 (x 2 ; y 2) цэгүүдийн хоорондох зай

1.14 Сегментийн дунд хэсгийн координатууд

Хэрэв цэг бол C нь AB сегментийн дунд хэсэг, тэгвэл эх нь О цэг дээр байгаа дурын координатын систем дэх С цэгийн радиус вектор нь А ба В цэгүүдийн радиус векторуудын нийлбэрийн хагастай тэнцүү байна.

Хэрэв векторуудын координатууд
(x; y; z),
(x 1 ; y 1 ; z 1),
(x 2 ; y 2; z 2), тэгвэл вектор координат бүр нь харгалзах вектор координат ба нийлбэрийн хагастай тэнцүү байна.

,
,

= (x, y, z) =

Сегментийн дунд хэсгийн координат бүр нь сегментийн төгсгөлүүдийн харгалзах координатын нийлбэрийн хагастай тэнцүү байна.

1.15 Векторуудын хоорондох өнцөг

Векторуудын хоорондох өнцөг нь нэг цэгээс зурсан, эдгээр векторуудтай координатлагдсан туяа хоорондын өнцөгтэй тэнцүү байна. Векторуудын хоорондох өнцөг нь 0 0-ээс 180 0 хүртэл байж болно. Код чиглэлийн векторуудын хоорондох өнцөг нь 0 0 байна. Хэрэв нэг вектор эсвэл хоёулаа тэг байвал дор хаяж нэг нь тэг байх векторуудын хоорондох өнцөг нь 0 0-тэй тэнцүү байна. Перпендикуляр векторуудын хоорондох өнцөг нь 90 0 байна. Эсрэг чиглэлтэй векторуудын хоорондох өнцөг нь 180 0 байна.

1.16 Вектор проекц

1.17 Векторуудын цэгэн үржвэр

Хоёр векторын скаляр үржвэр нь векторуудын урт ба векторуудын хоорондох өнцгийн косинусын үржвэртэй тэнцүү тоо (скаляр) юм.

Хэрэв = 0 0, тэгвэл векторууд кодиректортой байна
Тэгээд
= cos 0 0 = 1, тиймээс кодиректорын векторуудын скаляр үржвэр нь тэдгээрийн уртын (модуль) үржвэртэй тэнцүү байна.

.

Хэрэв векторуудын хоорондох өнцөг 0 бол< < 90 0 , то косинус угла между такими векторами больше нуля
, тиймээс скаляр үржвэр нь тэгээс их байна
.

Хэрэв тэг биш векторууд перпендикуляр байвал тэдгээрийн скаляр үржвэр нь тэгтэй тэнцүү байна
, cos 90 0 = 0 тул перпендикуляр векторуудын скаляр үржвэр нь тэгтэй тэнцүү байна.

Хэрэв
, тэгвэл ийм векторуудын хоорондох өнцгийн косинус тэгээс бага байна
, тиймээс скаляр үржвэр нь тэгээс бага байна
.

Векторуудын хоорондох өнцөг нэмэгдэхийн хэрээр тэдгээрийн хоорондох өнцгийн косинус нэмэгдэнэ
буурч, хамгийн бага утгад хүрнэ = 180 0 векторууд эсрэг чиглэлтэй байх үед
. cos 180 0 = -1 учраас
. Эсрэг чиглэлтэй векторуудын скаляр үржвэр нь тэдгээрийн уртын (модуль) сөрөг үржвэртэй тэнцүү байна.

Векторын скаляр квадрат нь векторын квадрат модультай тэнцүү байна

Наад зах нь нэг нь тэг байх векторуудын цэгийн үржвэр нь тэгтэй тэнцүү байна.

1.18 Векторуудын скаляр үржвэрийн физик утга

Физикийн хичээлээс А хүчний ажил хийдэг гэдгийг мэддэг биеийг хөдөлгөх үед хүч ба шилжилтийн векторуудын урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн косинусын үржвэртэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл хүч ба шилжилтийн векторуудын скаляр үржвэртэй тэнцүү байна.

Хэрэв хүчний вектор нь биеийн хөдөлгөөнтэй ижил чиглэлтэй байвал векторуудын хоорондох өнцөг болно
= 0 0, тиймээс шилжилтийн хүчний хийсэн ажил хамгийн их бөгөөд A =-тэй тэнцүү байна
.

Хэрэв 0< < 90 0 , то работа силы на перемещении положительна A > 0.

Хэрэв = 90 0 бол шилжилтийн хүчний хийсэн ажил тэг A = 0 байна.

Хэрэв 90 0< < 180 0 , то работа силы на перемещении отрицательна A < 0.

Хэрэв хүчний вектор нь биеийн хөдөлгөөний эсрэг чиглэсэн байвал векторуудын хоорондох өнцөг = 180 0 тул хөдөлгөөнд үзүүлэх хүчний ажил сөрөг бөгөөд A = -тэй тэнцүү байна.

Даалгавар. 1 км урт зам дагуу 1 тонн жинтэй суудлын автомашиныг тэнгэрийн хаяанд 30 0 налуу өнцгөөр өргөхөд хүндийн хүчний гүйцэтгэсэн ажлыг тодорхойл. Энэ энергийг ашиглан 20 0 хэмтэй хэдэн литр ус буцалгаж болох вэ?

Шийдэл

Ажил Таталцал биеийг хөдөлгөх үед энэ нь векторуудын урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн косинусын үржвэртэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл таталцал ба шилжилтийн векторуудын скаляр үржвэртэй тэнцүү байна.

Таталцал

G = мг = 1000 кг 10 м/с 2 = 10,000 Н.

= 1000 м.

Векторуудын хоорондох өнцөг = 120 0 . Дараа нь

cos 120 0 = cos (90 0 + 30 0) = - sin 30 0 = - 0.5.

Орлуулж үзье

A = 10,000 N · 1000 м · (-0.5) = - 5,000,000 J = - 5 MJ.

1.19 Координат дахь векторуудын цэгэн үржвэр

Хоёр векторын цэгэн үржвэр = (x 1 ; y 1 ; z 1) ба = (x 2 ; y 2; z 2) тэгш өнцөгт координатын системд ижил нэртэй координатын үржвэрийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

= x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 .

1.20 Векторуудын перпендикуляр байдлын нөхцөл

Хэрэв тэгээс бусад векторууд = (x 1 ; y 1 ; z 1) ба = (x 2 ; y 2; z 2) перпендикуляр бол тэдгээрийн скаляр үржвэр тэг болно.

Тэг биш нэг вектор = (x 1 ; y 1 ; z 1) өгөгдсөн бол түүнд перпендикуляр (нормаль) векторын координатууд = (x 2 ; y 2; z 2) тэгш байдлыг хангах ёстой.

x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 = 0.

Ийм векторууд хязгааргүй олон байдаг.

Хавтгай дээр тэгээс өөр нэг вектор = (x 1 ; y 1) өгөгдсөн бол түүнд перпендикуляр (нормаль) векторын координатууд = (x 2 ; y 2) тэгшитгэлийг хангах ёстой.

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0.

Хэрэв хавтгайд тэгээс өөр = (x 1 ; y 1) вектор өгөгдсөн бол түүнд перпендикуляр (нормаль) векторын координатуудын аль нэгийг дур мэдэн = (x 2 ; y 2) болон -аас тогтооход хангалттай. векторуудын перпендикуляр байдлын нөхцөл

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0

векторын хоёр дахь координатыг илэрхийл.

Жишээлбэл, хэрэв та дурын координат х 2-г орлуулах юм бол

y 1 y 2 = - x 1 x 2.

Хоёр дахь вектор координат

Хэрэв бид x 2 = y 1 гэж өгвөл векторын хоёр дахь координат болно

Хавтгай дээр тэг биш = (x 1 ; y 1) вектор өгөгдсөн бол түүнд перпендикуляр (нормаль) вектор = (y 1 ; -x 1) байна.

Хэрэв тэгээс өөр векторын координатуудын нэг нь тэгтэй тэнцүү бол вектор нь тэгтэй тэнцүү биш ижил координаттай, хоёр дахь координат нь тэгтэй тэнцүү байна. Ийм векторууд координатын тэнхлэгүүд дээр байрладаг тул перпендикуляр байдаг.

= (x 1 ; y 1) векторт перпендикуляр, харин векторын эсрэг хоёр дахь векторыг тодорхойлъё. , өөрөөр хэлбэл вектор - . Дараа нь векторын координатын тэмдгүүдийг өөрчлөхөд хангалттай

- = (-y 1 ; x 1)

1 = (y 1 ; -x 1),

2 = (-y 1 ; x 1).

Даалгавар.

Шийдэл

Хавтгай дээрх вектор = (x 1 ; y 1) перпендикуляр хоёр векторын координатууд

1 = (y 1 ; -x 1),

2 = (-y 1 ; x 1).

Орлуулах вектор координат = (3; -5)

1 = (-5; -3),

2 = (-(-5); 3) = (5; 3).

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0

3·(-5) + (-5)·(-3) = -15 + 15 = 0

зөв!

3·5 + (-5)·3 = 15 - 15 = 0

зөв!

Хариулт: 1 = (-5; -3), 2 = (5; 3).

Хэрэв бид x 2 = 1 гэж оноовол орлуул

x 1 + y 1 y 2 = 0.

y 1 y 2 = -x 1

= (x 1 ; y 1) векторт перпендикуляр векторын y 2 координатыг олж авна.

= (x 1 ; y 1) векторт перпендикуляр, гэхдээ векторын эсрэг хоёр дахь векторыг авахын тулд . Болъё

Дараа нь векторын координатын тэмдгүүдийг өөрчлөхөд хангалттай.

Хавтгай дээрх вектор = (x 1 ; y 1) перпендикуляр хоёр векторын координатууд

Даалгавар.Өгөгдсөн вектор = (3; -5). Өөр өөр чиглэлтэй хоёр хэвийн векторыг ол.

Шийдэл

Хавтгай дээрх вектор = (x 1 ; y 1) перпендикуляр хоёр векторын координатууд

Нэг векторын координатууд

Хоёр дахь векторын координатууд

Векторуудын перпендикуляр байдлыг шалгахын тулд тэдгээрийн координатыг векторуудын перпендикуляр байдлын нөхцөлд орлуулна.

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0

3 1 + (-5) 0.6 = 3 - 3 = 0

зөв!

3·(-1) + (-5)·(-0.6) = -3 + 3 = 0

зөв!

Хариулт: ба.

Хэрэв та x 2 = - x 1 гэж оноовол орлуулна уу

x 1 (-x 1) + y 1 y 2 = 0.

-x 1 2 + y 1 y 2 = 0.

y 1 y 2 = x 1 2

Бид векторт перпендикуляр векторын координатыг авна

Хэрэв та x 2 = x 1 гэж оноовол орлуулна уу

x 1 x 1 + y 1 y 2 = 0.

x 1 2 + y 1 y 2 = 0.

y 1 y 2 = -x 1 2

Бид векторт перпендикуляр байгаа хоёр дахь векторын у координатыг олж авна

Хавтгай дээрх векторт перпендикуляр нэг векторын координат = (x 1 ; y 1)

Хавтгай дээрх вектортой перпендикуляр хоёр дахь векторын координат = (x 1 ; y 1)

Хавтгай дээрх вектор = (x 1 ; y 1) перпендикуляр хоёр векторын координатууд

1.21 Вектор хоорондын өнцгийн косинус

= (x 1 ; y 1 ; z 1) ба = (x 2 ; y 2; z 2) хоёр тэгээс бусад векторуудын хоорондох өнцгийн косинус нь векторуудын скаляр үржвэрийг үржвэрт хуваасантай тэнцүү байна. Эдгээр векторуудын урт

Хэрэв
= 1, тэгвэл векторуудын хоорондох өнцөг 0 0, векторууд нь хамтарсан чиглэлтэй байна.

Хэрэв 0< < 1, то 0 0 < < 90 0 .

Хэрэв = 0 бол векторуудын хоорондох өнцөг 90 0 бол векторууд перпендикуляр байна.

Хэрэв -1< < 0, то 90 0 < < 180 0 .

Хэрэв = -1 бол векторуудын хоорондох өнцөг 180 0 бол векторууд эсрэг чиглэлд байна.

Хэрэв векторыг эхлэл ба төгсгөлийн координатаар өгвөл векторын төгсгөлийн харгалзах координатаас эхлэлийн координатыг хасвал энэ векторын координатыг олж авна.

Даалгавар.(0; -2; 0), (-2; 0; -4) векторуудын хоорондох өнцгийг ол.

Шийдэл

Векторуудын цэгийн үржвэр

= 0·(-2) + (-2)·0 + 0·(-4) = 0,

тиймээс векторуудын хоорондох өнцөг нь тэнцүү байна = 90 0 .

1.22 Векторуудын скаляр үржвэрийн шинж чанарууд

Скаляр бүтээгдэхүүний шинж чанарууд нь аль ч тохиолдолд хүчинтэй байна , , , k :

1.
, Хэрэв
, Тэр
, Хэрэв =, Тэр
= 0.

2. Аялал жуулчлалын хууль

3. Хуваарилалтын хууль

4. Хослолын тухай хууль
.

1.23 Шууд вектор

Шугамын чиглэлийн вектор гэдэг нь өгөгдсөн шулуунтай параллель шулуун эсвэл шулуун дээр байрлах тэг биш вектор юм.

Хэрэв шулуун шугамыг M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) ба M 2 (x 2 ; y 2; z 2) гэсэн хоёр цэгээр тодорхойлсон бол чиглүүлэгч нь вектор болно.
эсвэл түүний эсрэг вектор
= - , координатууд нь

Координатын системийг шугам нь координатын гарал үүслээр дамжихаар тохируулахыг зөвлөж байна, тэгвэл шугам дээрх цорын ганц цэгийн координат нь чиглэлийн векторын координат болно.

Даалгавар. M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын чиглэлийн векторын координатыг тодорхойл.

Шийдэл

M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын чиглэлийн векторыг тэмдэглэнэ.
. Түүний координат бүр нь векторын төгсгөл ба эхлэлийн харгалзах координатуудын зөрүүтэй тэнцүү байна

= (0 - 1; 1 - 0; 0 - 0) = (-1; 1; 0)

Координатын систем дэх шулуун шугамын чиглүүлэгч векторыг эхлэл нь M 1 цэг дээр, төгсгөл нь M 2 цэг дээр, тэнцүү вектортойгоор дүрсэлцгээе.
эхлэлээс төгсгөл нь M цэгт (-1; 1; 0)

1.24 Хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцөг

Хавтгай дээрх 2 шулуун шугамын харьцангуй байрлал ба ийм шулуунуудын хоорондох өнцгийн боломжит хувилбарууд:

1. Шулуун шугамууд нэг цэгт огтлолцон 4 өнцөг үүсгэх ба 2 хос босоо өнцөг хосоороо тэнцүү байна. Хоёр огтлолцсон шугамын хоорондох φ өнцөг нь эдгээр шугамын хоорондох бусад гурван өнцгөөс хэтрэхгүй өнцөг юм. Тиймээс шугамын хоорондох өнцөг нь φ ≤ 90 0 байна.

Осолдох шугамууд нь ялангуяа перпендикуляр φ = 90 0 байж болно.

Орон зай дахь 2 шулуун шугамын харьцангуй байрлал ба ийм шулуун шугамын хоорондох өнцгийн боломжит хувилбарууд:

1. Шулуун шугамууд нэг цэгт огтлолцон 4 өнцөг үүсгэх ба 2 хос босоо өнцөг хосоороо тэнцүү байна. Хоёр огтлолцсон шугамын хоорондох φ өнцөг нь эдгээр шугамын хоорондох бусад гурван өнцгөөс хэтрэхгүй өнцөг юм.

2. Шулуунууд параллель, өөрөөр хэлбэл давхцахгүй, огтлолцохгүй, φ=0 0 .

3. Шугамууд давхцаж байна, φ = 0 0 .

4. Шугам огтлолцдог, өөрөөр хэлбэл орон зайд огтлолцдоггүй, параллель биш байдаг. Огтлолцсон шугамуудын хоорондох өнцөг φ нь эдгээр шугамуудтай параллель татсан шугамуудын хоорондох өнцөг бөгөөд тэдгээр нь огтлолцох болно. Тиймээс шугамын хоорондох өнцөг нь φ ≤ 90 0 байна.

2 шулуун шугамын хоорондох өнцөг нь ижил хавтгайд эдгээр шулуун шугамуудтай параллель зурсан шулуунуудын хоорондох өнцөгтэй тэнцүү байна. Тиймээс шугамын хоорондох өнцөг нь 0 0 ≤ φ ≤ 90 0 байна.

0 0 ≤ θ ≤ 180 0 векторуудын хоорондох өнцөг θ (тета).

Хэрэв α ба β шулуунуудын хоорондох φ өнцөг нь эдгээр шулуунуудын чиглэлийн векторуудын хоорондох θ өнцөгтэй φ = θ тэнцүү бол

cos φ = cos θ.

Шулуун шугамын хоорондох өнцөг φ = 180 0 - θ байвал

cos φ = cos (180 0 - θ) = - cos θ.

cos φ = - cos θ.

Тиймээс шулуун шугамын хоорондох өнцгийн косинус нь векторуудын хоорондох өнцгийн косинусын модультай тэнцүү байна.

cos φ = |cos θ|.

= (x 1 ; y 1 ; z 1) ба = (x 2 ; y 2; z 2) тэгээс өөр векторуудын координатыг өгвөл тэдгээрийн хоорондох θ өнцгийн косинус байна.

Шугаман хоорондын өнцгийн косинус нь эдгээр шугамын чиглэлийн векторуудын хоорондох өнцгийн косинусын модультай тэнцүү байна.

cos φ = |cos θ| =

Шугамууд нь ижил геометрийн объектууд тул томъёонд ижил тригонометрийн cos функцууд байдаг.

Хэрэв хоёр шулуун тус бүрийг хоёр цэгээр өгвөл эдгээр шулуунуудын чиглэлийн векторууд болон шугамын хоорондох өнцгийн косинусыг тодорхойлох боломжтой.

Хэрэв cos φ = 1, дараа нь шугамын хоорондох φ өнцөг нь 0 0-тэй тэнцүү байна, бид эдгээр шугамын хувьд эдгээр шугамын чиглэлийн векторуудын аль нэгийг авч болно, шугамууд параллель эсвэл давхцаж байна. Хэрэв шугамууд давхцахгүй бол тэдгээр нь зэрэгцээ байна. Хэрэв шугамууд давхцаж байвал нэг шулуун дээрх дурын цэг нөгөө шулуунд хамаарна.

Хэрэв 0< cos φ ≤ 1 бол шугам хоорондын өнцөг 0 0 байна< φ ≤ 90 0 , прямые пересекаются или скрещиваются. Если прямые не пересекаются, то они скрещиваются. Если прямые пересекаются, то они имеют общую точку.

Хэрэв cos φ = 0, дараа нь шугамуудын хоорондох өнцөг φ нь 90 0 (шугамууд перпендикуляр), шугамууд огтлолцох буюу огтлолцоно.

Даалгавар. M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) ба M 3 (0; 0; 1) цэгүүдийн координатаар M 1 M 3 ба M 2 M 3 шулуун шугамуудын хоорондох өнцгийг тодорхойлно.

Шийдэл

Өгөгдсөн цэг ба шулуунуудыг Oxyz координатын системд байгуулъя.

Бид шулуунуудын чиглэлийн векторуудыг чиглүүлж, векторуудын хоорондох θ өнцөг нь өгөгдсөн шулуунуудын хоорондох φ өнцөгтэй давхцдаг. = векторуудыг төлөөлүүлье
ба =
, түүнчлэн θ ба φ өнцөг:

ба векторуудын координатыг тодорхойлъё

= = (1 - 0; 0 - 0; 0 - 1) = (1; 0; -1);

= = (0 - 0; 1 - 0; 0 - 1) = (0; 1; -1). d = 0 ба ax + by + cz = 0;

Хавтгай нь координатын тэнхлэгтэй параллель бөгөөд түүний тэмдэглэгээ нь хавтгайн тэгшитгэлд байхгүй тул харгалзах коэффициент нь тэг байна, жишээлбэл, c = 0 үед онгоц нь Оз тэнхлэгтэй параллель бөгөөд тийм биш юм. ax + by + d = 0 тэгшитгэлд z-г агуулна;

Хавтгай нь тухайн координатын тэнхлэгийг агуулж байгаа бөгөөд тэмдэглэгээ нь байхгүй тул харгалзах коэффициент нь тэг ба d = 0 байна, жишээлбэл, c = d = 0 бол онгоц нь Оз тэнхлэгтэй параллель бөгөөд z-г агуулаагүй болно. тэгшитгэл ax + by = 0;

Хавтгай нь координатын хавтгайтай параллель байх ба тэдгээрийн тэмдэглэгээ нь хавтгайн тэгшитгэлд байхгүй тул харгалзах коэффициентүүд нь тэг байна, жишээлбэл, b = c = 0-ийн хувьд хавтгай нь Oyz координатын хавтгайтай параллель байна. ax + d = 0 тэгшитгэлд y, z агуулаагүй болно.

Хэрэв хавтгай нь координатын хавтгайтай давхцаж байвал ийм хавтгайн тэгшитгэл нь өгөгдсөн координатын хавтгайд перпендикуляр координатын тэнхлэгийн тэмдэглэгээний тэгтэй тэнцүү байх болно, жишээлбэл, x = 0 үед өгөгдсөн хавтгай нь координатын хавтгай юм. Ойз.

Даалгавар.Хэвийн векторыг тэгшитгэлээр өгөгдсөн

Хавтгайн тэгшитгэлийг хэвийн хэлбэрээр үзүүл.

Шийдэл

Хэвийн вектор координатууд

A ; b ; в), тэгвэл та M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0) цэгийн координат ба хэвийн векторын a, b, c координатуудыг хавтгайн ерөнхий тэгшитгэлд орлуулж болно.

ax + by + cz + d = 0 (1)

Бид нэг үл мэдэгдэх тэгшитгэлийг олж авна d

ax 0 + by 0 + cz 0 + d = 0

Эндээс

d = -(сүх 0 + 0-ээр + cz 0)

Орлуулсны дараа хавтгай тэгшитгэл (1) d

ax + by + cz - (ax 0 + by 0 + cz 0) = 0

Тэг биш векторт перпендикуляр M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0) цэгээр дамжин өнгөрөх хавтгайн тэгшитгэлийг олж авна. (а; б; в)

a (x - x 0) + b (y - y 0) + c (z - z 0) = 0

Хаалтуудыг нээцгээе

сүх - сүх 0 + by - by 0 + cz - cz 0 = 0

ax + by + cz - ax 0 - by 0 - cz 0 = 0

гэж тэмдэглэе

d = - сүх 0 - 0-ээр - cz 0

Бид онгоцны ерөнхий тэгшитгэлийг олж авдаг

ax + by + cz + d = 0.

1.29 Хоёр цэг ба эхийг дайран өнгөрөх хавтгайн тэгшитгэл

ax + by + cz + d = 0.

Онгоц нь энэхүү координатын системийн гарал үүслээр дамжин өнгөрөхийн тулд координатын системийг тохируулахыг зөвлөж байна. Энэ хавтгайд байрлах M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) ба M 2 (x 2 ; y 2; z 2) цэгүүд нь эдгээр цэгүүдийг холбосон шулуун шугам эхийг дайран өнгөрөхгүй байхаар тодорхойлогдсон байх ёстой.

Хавтгай эхийг дайран өнгөрөх тул d = 0. Дараа нь хавтгайн ерөнхий тэгшитгэл хэлбэрийг авна.

ax + by + cz = 0.

a, b, c үл мэдэгдэх 3 коэффициент байна. Хавтгайн ерөнхий тэгшитгэлд хоёр цэгийн координатыг орлуулбал 2 тэгшитгэлийн систем гарна. Хэрэв бид хавтгайн ерөнхий тэгшитгэлд ямар нэг коэффициентийг нэгтэй тэнцүү авбал 2 тэгшитгэлийн систем нь үл мэдэгдэх 2 коэффициентийг тодорхойлох боломжийг олгоно.

Хэрэв цэгийн координатуудын аль нэг нь тэг байвал энэ координатад тохирох коэффициентийг нэг гэж авна.

Хэрэв зарим цэг нь хоёр тэг координаттай бол эдгээр тэг координатуудын аль нэгэнд тохирох коэффициентийг нэг гэж авна.

Хэрэв a = 1 гэж хүлээн зөвшөөрвөл 2 тэгшитгэлийн систем нь үл мэдэгдэх b ба c коэффициентийг тодорхойлох боломжийг бидэнд олгоно.

Зарим тэгшитгэлийг тодорхойгүй тооны коэффициентүүд тэнцүү болохын тулд ийм тоогоор үржүүлснээр эдгээр тэгшитгэлийн системийг шийдэх нь илүү хялбар байдаг. Дараа нь тэгшитгэлийн зөрүү нь энэ үл мэдэгдэх зүйлийг арилгаж, өөр нэг үл мэдэгдэх зүйлийг тодорхойлох боломжийг бидэнд олгоно. Олдсон үл мэдэгдэхийг дурын тэгшитгэлд орлуулснаар хоёр дахь үл мэдэгдэхийг тодорхойлох боломжтой болно.

1.30 Гурван цэгээр дамжин өнгөрөх онгоцны тэгшитгэл

Хавтгайн ерөнхий тэгшитгэлийн коэффициентүүдийг тодорхойлъё

ax + by + cz + d = 0,

M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1), M 2 (x 2 ; y 2; z 2) ба M 3 (x 3 ; y 3 ; z 3) цэгүүдээр дамжин өнгөрөх. Цэгүүд нь хоёр ижил координаттай байх ёсгүй.

a, b, c, d үл мэдэгдэх 4 коэффициент байна. Хавтгайн ерөнхий тэгшитгэлд гурван цэгийн координатыг орлуулахад 3 тэгшитгэлийн систем гарч ирнэ. Хавтгайн ерөнхий тэгшитгэлд нэгдмэл утгатай тэнцүү коэффициентийг авбал 3 тэгшитгэлийн систем нь үл мэдэгдэх 3 коэффициентийг тодорхойлох боломжийг танд олгоно. Ихэвчлэн a = 1-ийг хүлээн зөвшөөрдөг бол 3 тэгшитгэлийн систем нь үл мэдэгдэх 3 b, c, d коэффициентийг тодорхойлох боломжийг бидэнд олгоно.

Үл мэдэгдэхийг арилгах замаар тэгшитгэлийн системийг шийдэх нь дээр (Гауссын арга). Та систем дэх тэгшитгэлийг дахин зохион байгуулж болно. Аливаа тэгшитгэлийг тэгтэй тэнцүү биш дурын коэффициентээр үржүүлж эсвэл хувааж болно. Дурын хоёр тэгшитгэлийг нэмж, үүссэн тэгшитгэлийг нэмсэн хоёр тэгшитгэлийн аль нэгний оронд бичиж болно. Үл мэдэгдэх зүйлсийг тэгшитгэлээс хасч, тэдгээрийн өмнө тэг коэффициентийг авна. Нэг тэгшитгэлд ихэвчлэн хамгийн бага нь тодорхойлогдсон нэг хувьсагч үлддэг. Олдсон хувьсагчийг доороос хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулах бөгөөд энэ нь ихэвчлэн 2 үл мэдэгдэх үлдэгдлийг үлдээдэг. Тэгшитгэлийг доороос дээш шийдэж, үл мэдэгдэх бүх коэффициентийг тодорхойлно.

Коэффициентийг үл мэдэгдэхийн өмнө байрлуулж, үл мэдэгдэх нэр томъёог тэгшитгэлийн баруун талд шилжүүлнэ.

Дээд мөрөнд ихэвчлэн эхний эсвэл үл мэдэгдэхийн өмнөх 1-ийн коэффициенттэй тэгшитгэлийг агуулна, эсвэл эхний тэгшитгэлийг бүхэлд нь эхний үл мэдэгдэхийн өмнөх коэффициентэд хуваана. Энэ тэгшитгэлийн системд эхний тэгшитгэлийг y 1-д хуваа

Эхний үл мэдэгдэхээс өмнө бид 1-ийн коэффициентийг авсан:

Хоёр дахь тэгшитгэлийн эхний хувьсагчийн өмнөх коэффициентийг дахин тохируулахын тулд эхний тэгшитгэлийг -y 2-оор үржүүлж, хоёр дахь тэгшитгэлд нэмж, хоёр дахь тэгшитгэлийн оронд үүссэн тэгшитгэлийг бичнэ. Учир нь хоёр дахь тэгшитгэлийн эхний үл мэдэгдэх зүйлийг арилгах болно

y 2 b - y 2 b = 0.

Үүний нэгэн адил бид эхний тэгшитгэлийг -y 3-аар үржүүлж, гурав дахь тэгшитгэлд нэмж, гурав дахь тэгшитгэлийн оронд үүссэн тэгшитгэлийг бичих замаар гурав дахь тэгшитгэлийн эхний үл мэдэгдэхийг арилгана. Гурав дахь тэгшитгэлийн эхний үл мэдэгдэх нь мөн хасагдах болно, учир нь

y 3 b - y 3 b = 0.

Үүний нэгэн адил бид гурав дахь тэгшитгэлийн хоёр дахь үл мэдэгдэх зүйлийг арилгана. Бид системийг доороос дээш шийддэг.

Даалгавар.

ax + by + cz + d = 0,

M 1 (0; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) ба у цэгүүдээр дамжин өнгөрөх+ 0 z + 0 = 0

x = 0.

Заасан хавтгай нь координатын Oyz хавтгай юм.

Даалгавар.Хавтгайн ерөнхий тэгшитгэлийг тодорхойлно уу

ax + by + cz + d = 0,

M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) ба M 3 (0; 0; 1) цэгүүдээр дамжин өнгөрөх. Энэ хавтгайгаас M 0 (10; -3; -7) цэг хүртэлх зайг ол.

Шийдэл

Өгөгдсөн цэгүүдийг Oxyz координатын системд байгуулъя.

Хүлээн зөвшөөрье а= 1. Хавтгайн ерөнхий тэгшитгэлд гурван цэгийн координатыг орлуулахад 3 тэгшитгэлийн систем гарна.

ℓ =

Вэб хуудсууд: 1 2 Онгоц болон сансар дахь векторууд (үргэлжлэл)

Андрей Георгиевич Ольшевскийтэй зөвлөлдсөн Skype да.уурлах.ru

Математик, физик, компьютерийн шинжлэх ухааны чиглэлээр оюутан, сурагчид, их оноо авах хүсэлтэй сургуулийн сурагчид (С хэсэг) болон сул оюутнуудыг Улсын шалгалт (ТЕГ) болон Улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэх. Ой тогтоолт, сэтгэлгээг хөгжүүлэх, объектын цогц, харааны дүрслэлийг тодорхой тайлбарлах замаар одоогийн хичээлийн гүйцэтгэлийг нэгэн зэрэг сайжруулах. Оюутан бүрт тусгай арга барил. Элсэлтийн давуу талыг олгодог олимпиадын бэлтгэл. Оюутны амжилтыг дээшлүүлсэн 15 жилийн туршлагатай.

Дээд математик, алгебр, геометр, магадлалын онол, математик статистик, шугаман програмчлал.

Онолын тодорхой тайлбар, ойлголтын цоорхойг арилгах, асуудлыг шийдвэрлэх арга зүйг заах, курсын ажил, диплом бичихэд зөвлөгөө өгөх.

Нисэх, пуужин, автомашины хөдөлгүүр. Гиперсоник, ramjet, пуужин, импульсийн дэлбэрэлт, импульс, хийн турбин, поршений дотоод шаталтат хөдөлгүүрүүд - онол, дизайн, тооцоо, хүч чадал, дизайн, үйлдвэрлэлийн технологи. Термодинамик, дулааны инженерчлэл, хийн динамик, гидравлик.

Нисэх, аэромеханик, аэродинамик, нислэгийн динамик, онол, дизайн, аэрогидромеханик. Хэт хөнгөн нисэх онгоц, экраноплан, нисэх онгоц, нисдэг тэрэг, пуужин, далавчит пуужин, агаарын хөлөг, агаарын хөлөг, сэнс - онол, дизайн, тооцоо, хүч чадал, дизайн, үйлдвэрлэлийн технологи.

Санааг бий болгох, хэрэгжүүлэх. Шинжлэх ухааны судалгааны үндэс, шинжлэх ухаан, шинэ бүтээл, бизнесийн санааг бий болгох, хэрэгжүүлэх арга. Шинжлэх ухааны асуудал, шинэ бүтээлийн асуудлыг шийдвэрлэх арга техник. Шинжлэх ухаан, зохион бүтээх, бичих, инженерийн бүтээлч байдал. Шинжлэх ухааны хамгийн үнэ цэнэтэй, шинэ бүтээлийн асуудал, санааг илэрхийлэх, сонгох, шийдвэрлэх.

Бүтээлч үр дүнг нийтлэх. Шинжлэх ухааны нийтлэл хэрхэн бичих, хэвлэх, шинэ бүтээлд өргөдөл гаргах, бичих, ном гаргах. Бичгийн онол, диссертаци хамгаалах. Санаа, шинэ бүтээлээр мөнгө олох. Шинэ бүтээл бүтээх, шинэ бүтээлийн өргөдөл, шинжлэх ухааны нийтлэл, шинэ бүтээлийн өргөдөл, ном, монографи, диссертаци бичихэд зөвлөгөө өгөх. Шинэ бүтээл, шинжлэх ухааны өгүүлэл, монографийн хамтран зохиогч.

Онолын механик (теормех), материалын бат бэх (материалын бат бөх), машины эд анги, механизм ба машины онол (ТММ), механик инженерийн технологи, техникийн хичээлүүд.

Цахилгааны инженерийн онолын үндэс (TOE), электроник, дижитал болон аналог электроникийн үндэс.

Аналитик геометр, дүрслэх геометр, инженерийн график, зураг. Компьютер график, график програмчлал, AutoCAD, NanoCAD дээр зураг зурах, фотомонтаж.

Логик, график, мод, дискрет математик.

OpenOffice болон LibreOffice Basic, Visual Basic, VBA, NET, ASP.NET,макро, VBScript, BASIC, C, C++, Delphi, Pascal, Delphi, Pascal, C#, JavaScript, Fortran, html, Matkad. Компьютер, зөөврийн компьютер, хөдөлгөөнт төхөөрөмжүүдэд зориулсан програм, тоглоом бүтээх. Үнэгүй бэлэн програм, нээлттэй эхийн хөдөлгүүр ашиглах.

Вэбсайт үүсгэх, байршуулах, сурталчлах, програмчлах, онлайн дэлгүүр, вэбсайтаас мөнгө олох, вэб дизайн.

Компьютерийн шинжлэх ухаан, компьютерийн хэрэглэгч: текст, хүснэгт, танилцуулга, 2 цагийн дотор хурдан шивэх сургалт, мэдээллийн сан, 1С, Windows, Word, Excel, Access, Gimp, OpenOffice, AutoCAD, nanoCad, Интернет, сүлжээ, имэйл.

Суурин компьютер, зөөврийн компьютер суурилуулах, засварлах.

Видео блог хөтлөгч, видео үүсгэх, засварлах, нийтлэх, видео засварлах, видео блогоос мөнгө олох.

Сонголт, зорилгодоо хүрэх, төлөвлөх.

Интернет дээр мөнгө олох сургалт: блог хөтлөгч, видео блог хөтлөгч, хөтөлбөр, вэбсайт, онлайн дэлгүүр, нийтлэл, ном гэх мэт.

Та сайтыг хөгжүүлэхэд дэмжлэг үзүүлж, Андрей Георгиевич Олшевскийн зөвлөх үйлчилгээний төлбөрийг төлж болно

10.15.17 Ольшевский Андрей Георгиевичи-мэйл:[имэйлээр хамгаалагдсан]

Тиймээс үйлчилгээ:

Векторуудтай ажиллах үйлчилгээ нь танд гүйцэтгэх боломжийг олгодог векторууд дээрх үйлдлүүд.
Хэрэв танд илүү төвөгтэй өөрчлөлт хийх даалгавар байгаа бол энэ үйлчилгээг бүтээгч болгон ашиглах хэрэгтэй.
Жишээ. Вектор өгөгдөл аТэгээд б, бид векторыг олох хэрэгтэй -тай = а + 3*б,

Вектор үржүүлэх (Цэгтэй үржвэр)

Энэ бол онлайн үйлчилгээ юм гурван алхам:

• а
• б

Вектор нийлбэр

Энэ бол онлайн үйлчилгээ юм гурван алхам:

• Эхний гишүүн векторыг оруулна уу а
• Хоёр дахь гишүүн векторыг оруулна уу б
• Шийдвэрийг илгээх и-мэйл хаягаа зааж өгнө үү

Вектор урт

Энэ бол онлайн үйлчилгээ юм хоёр алхам:

• Вектор оруулна уу а, үүний тулд бид векторын уртыг олох хэрэгтэй
• Шийдвэрийг илгээх и-мэйл хаягаа зааж өгнө үү

Векторыг тоогоор үржүүлэх

Энэ бол онлайн үйлчилгээ юм гурван алхам:

• Эхний хүчин зүйлийн векторыг оруулна уу а
• Хоёрдахь хүчин зүйлийн тоог оруулна уу q
• Шийдвэрийг илгээх и-мэйл хаягаа зааж өгнө үү

Вектор хасах

Энэ бол онлайн үйлчилгээ юм гурван алхам:

• Эхний векторыг оруулна уу а, хасагдсан байна
• Хоёр дахь векторыг оруулна уу б, үүнээс тэд хасна
• Шийдвэрийг илгээх и-мэйл хаягаа зааж өгнө үү

Перпендикуляр вектор

Энэ бол онлайн үйлчилгээ юм хоёр алхам:

• Вектор оруулна уу а, үүний тулд та перпендикуляр нэгж векторыг олох хэрэгтэй
• Шийдвэрийг илгээх и-мэйл хаягаа зааж өгнө үү

Векторуудын вектор бүтээгдэхүүн

Энэ бол онлайн үйлчилгээ юм гурван алхам:

• Эхний хүчин зүйлийн векторыг оруулна уу а
• Хоёрдахь хүчин зүйлийн векторыг оруулна уу б
• Шийдвэрийг илгээх и-мэйл хаягаа зааж өгнө үү

Векторуудын холимог бүтээгдэхүүн

Энэ бол онлайн үйлчилгээ юм дөрвөн алхам:

• Эхний хүчин зүйлийн векторыг оруулна уу а
• Хоёрдахь хүчин зүйлийн векторыг оруулна уу б
• Гурав дахь хүчин зүйлийн векторыг оруулна уу -тай
• Шийдвэрийг илгээх и-мэйл хаягаа зааж өгнө үү

Стандарт тодорхойлолт: "Вектор нь чиглэсэн сегмент юм." Энэ нь ихэвчлэн векторуудын талаархи төгсөгчдийн мэдлэгийн цар хүрээ юм. Ямар нэгэн "чиглэл сегмент" хэнд хэрэгтэй вэ?

Гэхдээ үнэндээ вектор гэж юу вэ, тэд юунд зориулагдсан бэ?
Цаг агаарын урьдчилсан мэдээ. Салхи баруун хойноос секундэд 18 метр хүрч ширүүснэ. Салхины чиглэл (хаанаас үлээж байгаа), түүний хурдны хэмжээ (өөрөөр хэлбэл үнэмлэхүй утга) хоёулаа тохирно.

Чиглэлгүй хэмжигдэхүүнийг скаляр гэж нэрлэдэг. Масс, ажил, цахилгаан цэнэгийг хаашаа ч чиглүүлдэггүй. Тэдгээр нь зөвхөн "хэдэн килограмм" эсвэл "хэдэн жоуль" гэсэн тоон утгаараа тодорхойлогддог.

Зөвхөн үнэмлэхүй утгатай төдийгүй чиглэлтэй физик хэмжигдэхүүнийг вектор хэмжигдэхүүн гэнэ.

Хурд, хүч, хурдатгал - векторууд. Тэдний хувьд “хэчнээн” нь чухал, “хаана” гэдэг нь чухал. Жишээлбэл, таталцлын хурдатгал нь дэлхийн гадаргуу руу чиглэсэн бөгөөд түүний утга нь 9.8 м/с 2 байна. Импульс, цахилгаан орны хүч, соронзон орны индукц нь мөн вектор хэмжигдэхүүн юм.

Физик хэмжигдэхүүнийг Латин эсвэл Грек үсгээр тэмдэглэдэг гэдгийг та санаж байна. Үсгийн дээрх сум нь хэмжигдэхүүн нь вектор болохыг харуулж байна:

Өөр нэг жишээ энд байна.
Машин А-аас Б руу хөдөлдөг. Эцсийн үр дүн нь түүний А цэгээс В цэг хүртэлх хөдөлгөөн, өөрөөр хэлбэл векторын хөдөлгөөн юм .

Вектор яагаад чиглэгдсэн сегмент болох нь одоо тодорхой болсон. Векторын төгсгөл нь сум байгаа газар гэдгийг анхаарна уу. Вектор уртэнэ сегментийн урт гэж нэрлэдэг. Заасан: эсвэл

Өнөөг хүртэл бид арифметик, элементар алгебрийн дүрмийн дагуу скаляр хэмжигдэхүүнтэй ажиллаж ирсэн. Векторууд бол шинэ ойлголт юм. Энэ бол математикийн объектуудын өөр нэг анги юм. Тэд өөрсдийн гэсэн дүрэмтэй.

Нэгэн цагт бид тооны талаар юу ч мэддэггүй байсан. Тэдэнтэй танилцах үе маань бага ангиас эхэлсэн. Тоонуудыг өөр хоорондоо харьцуулж, нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах боломжтой болсон. Нэг тоо, тэг гэсэн тоо байдгийг бид мэдсэн.
Одоо бид векторуудтай танилцаж байна.

Векторуудын хувьд "илүү" ба "бага" гэсэн ойлголт байдаггүй - эцэст нь тэдний чиглэл өөр байж болно. Зөвхөн векторын уртыг харьцуулж болно.

Гэхдээ векторуудын тэгш байдлын тухай ойлголт байдаг.
Тэнцүүижил урттай, ижил чиглэлтэй векторуудыг гэнэ. Энэ нь векторыг хавтгайн аль ч цэг рүү өөртэйгээ зэрэгцээ шилжүүлж болно гэсэн үг юм.
Ганц биень 1 урттай вектор юм. Тэг бол урт нь тэг, өөрөөр хэлбэл эхлэл нь төгсгөлтэй давхцдаг вектор юм.

Тэгш өнцөгт координатын систем дэх векторуудтай ажиллах нь хамгийн тохиромжтой - функцүүдийн графикийг зурахтай адил юм. Координатын системийн цэг бүр нь хоёр тоотой тохирч байна - түүний x ба у координат, абсцисса ба ордината.
Векторыг мөн хоёр координатаар тодорхойлно:

Энд векторын координатыг хаалтанд бичнэ - x ба у.
Тэдгээрийг энгийнээр олдог: векторын төгсгөлийн координатаас түүний эхлэлийн координатыг хасна.

Хэрэв векторын координатыг өгсөн бол түүний уртыг томъёогоор олно

Вектор нэмэх

Вектор нэмэх хоёр арга бий.

1 . Параллелограммын дүрэм. ба векторуудыг нэмэхийн тулд хоёулангийнх нь эхийг нэг цэгт байрлуулна. Бид параллелограмм хүртэл барьж, ижил цэгээс параллелограммын диагональ зурдаг. Энэ нь векторуудын нийлбэр ба .

Хун, хавч, цурхайн тухай үлгэрийг санаж байна уу? Тэд маш их хичээсэн ч тэргээ хөдөлгөж байгаагүй. Эцсийн эцэст тэдний тэргэнцэрт хэрэглэсэн хүчний векторын нийлбэр тэгтэй тэнцүү байв.

2. Вектор нэмэх хоёр дахь арга бол гурвалжингийн дүрэм юм. Ижил векторуудыг авч үзье. Бид эхний векторын төгсгөлд хоёр дахь эхлэлийг нэмнэ. Одоо эхний эхлэл, хоёр дахь төгсгөлийг холбоно. Энэ нь векторуудын нийлбэр ба .

Үүнтэй ижил дүрмийг ашиглан хэд хэдэн вектор нэмж болно. Бид тэдгээрийг нэг нэгээр нь байрлуулж, эхнийх нь эхлэлийг сүүлчийн төгсгөлд холбоно.

Та А цэгээс В цэг рүү, В цэгээс С, С-ээс D, дараа нь Е, F руу явж байна гэж төсөөлөөд үз дээ. Эдгээр үйлдлүүдийн эцсийн үр дүн нь А-аас F хүртэлх хөдөлгөөн юм.

Векторуудыг нэмэхэд бид дараахь зүйлийг авна.

Вектор хасах

Вектор нь векторын эсрэг чиглэсэн байна. ба векторуудын урт нь тэнцүү байна.

Одоо вектор хасах гэж юу болох нь тодорхой боллоо. Векторын зөрүү ба нь вектор ба векторын нийлбэр юм.

Векторыг тоогоор үржүүлэх

Векторыг k тоогоор үржүүлэхэд урт нь уртаас k дахин өөр вектор гарна. Хэрэв k нь тэгээс их бол вектортой кодиректортой, хэрэв k нь тэгээс бага бол эсрэг чиглэлтэй байна.

Векторуудын цэгийн үржвэр

Векторуудыг зөвхөн тоогоор төдийгүй өөр хоорондоо үржүүлж болно.

Векторуудын скаляр үржвэр нь векторуудын урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн косинусын үржвэр юм.

Бид хоёр векторыг үржүүлсэн бөгөөд үр дүн нь скаляр, өөрөөр хэлбэл тоо болохыг анхаарна уу. Жишээлбэл, физикийн хувьд механик ажил нь хүч ба шилжилт гэсэн хоёр векторын скаляр бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байна.

Хэрэв векторууд перпендикуляр байвал тэдгээрийн скаляр үржвэр нь тэг болно.
Скаляр үржвэрийг векторуудын координатаар ингэж илэрхийлдэг ба:

Скаляр үржвэрийн томъёоноос та векторуудын хоорондох өнцгийг олох боломжтой.

Энэ томъёо нь стереометрийн хувьд ялангуяа тохиромжтой байдаг. Жишээлбэл, Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын 14-р бодлогод та огтлолцсон шугамын хоорондох эсвэл шулуун ба хавтгай хоёрын хоорондох өнцгийг олох хэрэгтэй. Бодлого 14 нь сонгодог аргыг хэрэглэснээс вектор аргыг ашиглан хэд дахин хурдан шийдэгддэг.

Сургуулийн математикийн хичээлийн хөтөлбөрт зөвхөн векторын скаляр үржвэрийг заадаг.
Хоёр векторыг үржүүлсний үр дүн нь вектор болох үед скаляр үржвэрээс гадна векторын үржвэр байдаг нь харагдаж байна. Физикийн улсын нэгдсэн шалгалтыг өгсөн хэн бүхэн Лоренцын хүч, Амперын хүч гэж юу болохыг мэддэг. Эдгээр хүчийг олох томьёо нь вектор бүтээгдэхүүнүүдийг агуулдаг.

Вектор бол маш хэрэгтэй математик хэрэгсэл юм. Та үүнийг эхний жилдээ харах болно.

1. Вектор гэж юу вэ?

2. Вектор нэмэх.

3. Векторуудын тэгш байдал.

4. Хоёр векторын скаляр үржвэр ба түүний шинж чанарууд.

5. Вектор дээрх үйлдлүүдийн шинж чанарууд.

6. Нотолгоо, асуудлыг шийдвэрлэх.

Орчин үеийн математикийн үндсэн ойлголтуудын нэг бол вектор ба түүний ерөнхий ойлголт - тензор юм. Векторын тухай ойлголтын хувьсал нь энэхүү ойлголтыг математик, механик, түүнчлэн технологийн янз бүрийн салбарт өргөнөөр ашигласны ачаар хийгдсэн юм.

Өнгөрсөн зууны төгсгөл ба энэ зууны эхэн үе нь вектор тооцоолол, түүний хэрэглээ өргөн тархсанаар тэмдэглэгдсэн байв. Вектор алгебр ба вектор анализ, вектор орон зайн ерөнхий онолыг бий болгосон. Эдгээр онолыг орчин үеийн физикт онцгой чухал үүрэг гүйцэтгэдэг харьцангуйн тусгай болон ерөнхий онолыг бүтээхэд ашигласан.

Математикийн шинэ хөтөлбөрийн шаардлагын дагуу векторын тухай ойлголт нь сургуулийн математикийн хичээлийн тэргүүлэх ойлголтуудын нэг болсон.

Вектор гэж юу вэ? Хачирхалтай нь, энэ асуултын хариулт нь тодорхой бэрхшээлийг дагуулдаг. Векторын тухай ойлголтыг тодорхойлох янз бүрийн хандлага байдаг; Түүгээр ч барахгүй, бид энд бидний хувьд хамгийн сонирхолтой векторын тухай ойлголтын энгийн геометрийн хандлагаар хязгаарлавал ч гэсэн энэ үзэл баримтлалын талаар өөр өөр үзэл бодол байх болно. Мэдээжийн хэрэг, бид ямар ч тодорхойлолтыг авахаас үл хамааран вектор нь үндсэн геометрийн үүднээс авч үзвэл чиглэл (жишээ нь, параллелизм хүртэлх нарийвчлал бүхий өгөгдсөн шугам ба түүн дээрх чиглэл) ба уртаар тодорхойлогддог геометрийн объект юм. Ийм тодорхойлолт нь хэтэрхий ерөнхий бөгөөд тодорхой геометрийн санааг төрүүлдэггүй. Энэхүү ерөнхий тодорхойлолтын дагуу зэрэгцээ зөөвөрлөгчийг вектор гэж үзэж болно. Үнэн хэрэгтээ дараахь тодорхойлолтыг хүлээн зөвшөөрч болно: "Аливаа параллель дамжуулалтыг вектор гэж нэрлэдэг." Энэхүү тодорхойлолт нь логикийн хувьд төгс төгөлдөр бөгөөд үүний үндсэн дээр вектор дээрх үйл ажиллагааны онолыг бүхэлд нь боловсруулж, энэ онолын хэрэглээг боловсруулж болно. Гэсэн хэдий ч энэхүү тодорхойлолт нь бүрэн онцлогтой хэдий ч энд бас биднийг хангаж чадахгүй, учир нь векторыг геометрийн хувиргалт гэж үзэх нь бидэнд хангалттай тодорхой биш бөгөөд вектор хэмжигдэхүүний физик ойлголтоос хол юм шиг санагддаг.

Тэгэхээр, вектор нь хоорондоо параллель, ижил чиглэлтэй, ижил урттай бүх сегментүүдийн гэр бүл юм (Зураг 1).

Векторыг зураг дээр сумтай сегментээр дүрсэлсэн (өөрөөр хэлбэл векторыг төлөөлсөн сегментүүдийн бүхэл бүтэн бүлгийг дүрсэлсэнгүй, харин эдгээр сегментүүдийн зөвхөн нэгийг нь дүрсэлсэн болно). Тод латин үсгийг ном, нийтлэл дэх векторыг тэмдэглэхэд ашигладаг. a, b, cгэх мэт, мөн дэвтэр, самбар дээр - Латин үсэг дээр зураастай , Ижил үсэг, гэхдээ тод биш, гэхдээ цайвар (мөн дэвтэр, самбар дээр зураасгүй ижил үсэг) векторын уртыг илэрхийлнэ. Уртыг заримдаа босоо зураасаар зааж өгдөг - тооны модуль (үнэмлэхүй утга). Тиймээс векторын урт А гэж тэмдэглэсэн Аэсвэл би А Би, гар бичмэл дээр векторын уртыг бичнэ А гэж тэмдэглэсэн Аэсвэл би А I. Сегмент хэлбэрээр векторуудыг дүрсэлсэнтэй холбогдуулан (Зураг 2) векторыг дүрсэлсэн сегментийн төгсгөлүүд нь тэгш бус байдаг гэдгийг санах нь зүйтэй: сегментийн нэг төгсгөл нөгөө тал руу.

Векторын эхлэл ба төгсгөлийн хооронд ялгаа бий (илүү нарийвчлалтай, векторыг илэрхийлэх сегмент).

Ихэнхдээ векторын тухай ойлголтыг өөр өөр тодорхойлолтоор өгдөг. вектор нь чиглэсэн сегмент юм.Энэ тохиолдолд ижил урттай, ижил чиглэлтэй векторуудыг (жишээ нь чиглэсэн сегментүүд) (Зураг 3) тэнцүү гэж үзнэ.

Хагас шугамууд нь ижил чиглэлтэй байвал векторуудыг ижил чиглэлтэй гэж нэрлэдэг.

Вектор нэмэх.

Дээр дурдсан бүхэн векторын тухай ойлголтыг хангалттай утга учиртай, хэрэгцээтэй болгож чадахгүй байна. Векторын тухай ойлголт нь вектор нэмэх, хасах, бусад бүхэл бүтэн цуврал үйлдлүүдийг хийх боломжийг олгодог "геометрийн арифметик" - вектор арифметикийг нэвтрүүлэхэд илүү их утга учиртай болж, хэрэглээний өргөн боломжуудыг олж авдаг. Тооны тухай ойлголт нь өөрөө биш харин арифметик үйлдлүүд нэвтэрснээр л сонирхолтой болдог гэдгийг үүнтэй холбогдуулан тэмдэглэе.

Вектор нийлбэр А Тэгээд В координатуудтай 1, 2 ба 1, 2вектор гэж нэрлэдэг -тай координатуудтай 1-д 1 +, 2-д 2 +,тэдгээр. А(a 1; a 2) + В(1-д; 2-т) = -тай(1-д 1 +; 2-д 2 +).
Хавтгай дээр вектор нэмэх нь солигддог гэдгийг батлахын тулд жишээг авч үзэх шаардлагатай. А Тэгээд В – векторууд (Зураг 5).
Болъё

1. OASV параллелограммыг байгуул: AM II OV, VN II OA.

Ассоциацийг батлахын тулд дурын О цэгээс вектор зурна OA = a, А цэгээс вектор AB = in ба цэгээс - вектор BC = s. Дараа нь бидэнд байна: AB + BC = AC.
Эндээс тэгш байдал үүсдэг a + (+ в) = (a + b)+ с. Дээрх нотолгоо нь зураг огт ашигладаггүй гэдгийг анхаарна уу. Энэ нь вектор ашиглан асуудлыг шийдвэрлэхэд ердийн (зарим ур чадвартай) юм. Одоо векторууд байх тохиолдол дээр анхаарлаа хандуулцгаая А Тэгээд В эсрэг чиглэлд чиглэсэн, ижил урттай; ийм векторуудыг эсрэг гэж нэрлэдэг. Бидний вектор нэмэх дүрмийн үр дүнд эсрэг талын хоёр векторын нийлбэр нь тэг урттай, чиглэлгүй “вектор” болно; энэ "вектор" нь "тэг урттай сегмент" -ээр илэрхийлэгдэнэ. цэг. Гэхдээ энэ нь мөн тэг гэж нэрлэгддэг вектор бөгөөд 0 тэмдгээр тэмдэглэгдсэн байдаг.

Векторуудын тэгш байдал.