Тэгшитгэл ба түүний үндэс: тодорхойлолт, жишээ. Аль тэгшитгэлд үндэс байхгүй вэ? Тэгшитгэлийн жишээ Квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг тодорхойлох жишээ

Математикийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь онцгой байр суурь эзэлдэг. Энэ үйл явцын өмнө олон цаг онолыг судлах шаардлагатай бөгөөд энэ хугацаанд оюутан тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэх, тэдгээрийн төрлийг тодорхойлох, бүрэн автоматжуулалт хийх чадварыг эзэмшдэг. Гэсэн хэдий ч үндсийг хайх нь үргэлж утга учиртай байдаггүй, учир нь тэд зүгээр л байхгүй байж магадгүй юм. Үндэс олох тусгай арга техник байдаг. Энэ нийтлэлд бид үндсэн функцүүд, тэдгээрийн тодорхойлолтын хүрээ, мөн тэдгээрийн үндэс байхгүй тохиолдолд дүн шинжилгээ хийх болно.

Аль тэгшитгэлд үндэс байхгүй вэ?

Тэгшитгэл нь яг адилхан үнэн бодит х аргумент байхгүй бол тэгшитгэл нь үндэсгүй болно. Мэргэжилтэн бус хүний ​​хувьд энэ томъёолол нь ихэнх математикийн теорем, томьёоны нэгэн адил маш тодорхой бус, хийсвэр мэт харагддаг боловч онолын хувьд энэ юм. Практикт бүх зүйл маш энгийн болдог. Жишээ нь: 0 * x = -53 тэгшитгэлд шийдэл байхгүй, учир нь тэгтэй үржвэр нь тэгээс өөр зүйлийг өгөх x тоо байхгүй.

Одоо бид тэгшитгэлийн хамгийн үндсэн төрлүүдийг авч үзэх болно.

1. Шугаман тэгшитгэл

Тэгшитгэлийн баруун ба зүүн талыг шугаман функцээр дүрсэлсэн бол шугаман гэж нэрлэнэ: ax + b = cx + d эсвэл ерөнхий хэлбэрээр kx + b = 0. Энд a, b, c, d нь мэдэгдэж байгаа тоонууд, x нь үл мэдэгдэх тоо хэмжээ. Аль тэгшитгэлд үндэс байхгүй вэ? Шугаман тэгшитгэлийн жишээг доорх зурагт үзүүлэв.

Үндсэндээ шугаман тэгшитгэлийг зүгээр л тооны хэсгийг нэг хэсэг рүү, х-ийн агуулгыг нөгөө рүү шилжүүлэх замаар шийддэг. Үр дүн нь mx = n хэлбэрийн тэгшитгэл бөгөөд m ба n нь тоонууд, x нь үл мэдэгдэх юм. X-ийг олохын тулд хоёр талыг м-ээр хуваахад л хангалттай. Дараа нь x = n/m. Ихэнх шугаман тэгшитгэлүүд нь зөвхөн нэг язгууртай боловч хязгааргүй олон үндэстэй эсвэл огт үндэсгүй байх тохиолдол байдаг. m = 0 ба n = 0 үед тэгшитгэл нь 0 * x = 0 хэлбэрийг авна. Ийм тэгшитгэлийн шийдэл нь туйлын дурын тоо байх болно.

Гэсэн хэдий ч ямар тэгшитгэл үндэсгүй вэ?

m = 0 ба n = 0-ийн хувьд тэгшитгэл нь бодит тооны олонлогт үндэсгүй болно. 0 * x = -1; 0 * x = 200 - эдгээр тэгшитгэлд үндэс байхгүй.

2. Квадрат тэгшитгэл

Квадрат тэгшитгэл нь a = 0-ийн хувьд ax 2 + bx + c = 0 хэлбэрийн тэгшитгэл юм. Хамгийн түгээмэл шийдэл нь дискриминантаар дамждаг. Квадрат тэгшитгэлийн дискриминантыг олох томьёо нь: D = b 2 - 4 * a * c. Дараа нь хоёр үндэс байна x 1.2 = (-b ± √D) / 2 * a.

D > 0 бол тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй, D = 0 бол нэг үндэстэй. Гэхдээ ямар квадрат тэгшитгэл үндэсгүй вэ? Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын тоог ажиглах хамгийн хялбар арга бол парабол болох функцийн графикийг зурах явдал юм. a > 0-ийн хувьд мөчрүүд дээшээ чиглэсэн, a хувьд< 0 ветви опущены вниз. Если дискриминант отрицателен, такое квадратное уравнение не имеет корней на множестве действительных чисел.

Та мөн ялгаварлагчийг тооцоолохгүйгээр язгуурын тоог нүдээр тодорхойлж болно. Үүнийг хийхийн тулд та параболын оройг олж, мөчрүүд аль чиглэлд чиглэж байгааг тодорхойлох хэрэгтэй. Оройн х координатыг дараах томъёогоор тодорхойлж болно: x 0 = -b / 2a. Энэ тохиолдолд оройн y координатыг энгийн тэгшитгэлд x 0 утгыг орлуулах замаар олно.

x 2 - 8x + 72 = 0 квадрат тэгшитгэл нь сөрөг ялгах D = (-8) 2 - 4 * 1 * 72 = -224 тул үндэсгүй. Энэ нь парабол нь х тэнхлэгт хүрэхгүй бөгөөд функц хэзээ ч 0 утгыг авдаггүй тул тэгшитгэл нь бодит үндэсгүй болно гэсэн үг юм.

3. Тригонометрийн тэгшитгэл

Тригонометрийн функцийг тригонометрийн тойрог дээр авч үзэх боловч декартын координатын системд мөн төлөөлж болно. Энэ нийтлэлд бид хоёр үндсэн тригонометрийн функц ба тэдгээрийн тэгшитгэлийг авч үзэх болно: sinx болон cosx. Эдгээр функцууд нь 1 радиустай тригонометрийн тойрог үүсгэдэг тул |sinx| болон |cosx| 1-ээс их байж болохгүй. Тэгэхээр аль синкс тэгшитгэл үндэсгүй вэ? Доорх зурагт үзүүлсэн sinx функцийн графикийг авч үзье.

Функц нь тэгш хэмтэй бөгөөд 2pi давтагдах хугацаатай болохыг бид харж байна. Үүний үндсэн дээр бид энэ функцийн хамгийн их утга нь 1, хамгийн бага нь -1 байж болно гэж хэлж болно. Жишээлбэл, cosx = 5 илэрхийлэл нь язгуургүй болно, учир нь түүний үнэмлэхүй утга нэгээс их байна.

Энэ бол тригонометрийн тэгшитгэлийн хамгийн энгийн жишээ юм. Үнэн хэрэгтээ тэдгээрийг шийдвэрлэхэд олон хуудас шаардагдах бөгөөд эцэст нь та буруу томьёо ашигласан гэдгээ ойлгож, бүгдийг дахин эхлүүлэх хэрэгтэй болно. Заримдаа та үндсийг зөв олсон ч гэсэн OD-ийн хязгаарлалтыг анхаарч үзэхээ мартаж магадгүй тул хариултанд нэмэлт үндэс эсвэл интервал гарч ирдэг бөгөөд хариулт бүхэлдээ алдаа болж хувирдаг. Тиймээс, бүх үндэс нь даалгаврын хүрээнд тохирохгүй тул бүх хязгаарлалтыг чанд дагаж мөрдөөрэй.

4. Тэгшитгэлийн системүүд

Тэгшитгэлийн систем нь буржгар эсвэл дөрвөлжин хаалтанд холбогдсон тэгшитгэлийн багц юм. Буржгар хаалт нь бүх тэгшитгэлийг хамт ажиллуулж байгааг харуулж байна. Өөрөөр хэлбэл, тэгшитгэлийн дор хаяж нэг нь үндэсгүй эсвэл нөгөөтэй нь зөрчилддөг бол бүхэл бүтэн систем шийдэлгүй болно. Дөрвөлжин хаалт нь "эсвэл" гэсэн үгийг заана. Энэ нь системийн тэгшитгэлүүдийн ядаж нэг нь шийдэлтэй байвал бүхэл систем нь шийдэлтэй гэсэн үг юм.

c системийн хариулт нь бие даасан тэгшитгэлийн бүх язгууруудын нийлбэр юм. Мөн буржгар хаалт бүхий систем нь зөвхөн нийтлэг үндэстэй байдаг. Тэгшитгэлийн системүүд нь огт өөр функцийг агуулж болох тул ийм нарийн төвөгтэй байдал нь ямар тэгшитгэл үндэсгүй болохыг шууд хэлэх боломжийг бидэнд олгодоггүй.

Асуудлын ном, сурах бичигт янз бүрийн төрлийн тэгшитгэлүүд байдаг: үндэстэй ба үндэсгүй тэгшитгэлүүд. Юуны өмнө, хэрэв та үндсийг нь олж чадахгүй бол тэд огт байхгүй гэж бүү бодоорой. Магадгүй та хаа нэгтээ алдаа гаргасан байж магадгүй, та шийдвэрээ сайтар нягталж үзэх хэрэгтэй.

Бид хамгийн энгийн тэгшитгэлүүд болон тэдгээрийн төрлүүдийг авч үзсэн. Одоо та аль тэгшитгэлд үндэсгүй болохыг хэлж чадна. Ихэнх тохиолдолд үүнийг хийхэд хэцүү биш юм. Тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд амжилтанд хүрэх нь зөвхөн анхаарал, төвлөрлийг шаарддаг. Илүү их дасгал хий, энэ нь танд материалыг илүү сайн, хурдан удирдахад тусална.

Тэгэхээр тэгшитгэлд үндэс байхгүй бол:

• шугаман тэгшитгэлд mx = n утга нь m = 0 ба n = 0;
• квадрат тэгшитгэлд, хэрэв ялгаварлагч нь тэгээс бага бол;
• cosx = m / sinx = n хэлбэрийн тригонометрийн тэгшитгэлд, хэрэв |m| > 0, |n| > 0;
• буржгар хаалттай тэгшитгэлийн системд ядаж нэг тэгшитгэл үндэсгүй бол дөрвөлжин хаалттай бол бүх тэгшитгэлүүд үндэсгүй бол.

Тэгш байдлын талаар ерөнхий ойлголттой болж, тэдгээрийн нэг төрөл болох тоон тэгшитгэлтэй танилцсаны дараа та практик талаас нь авч үзэхэд маш чухал ач холбогдолтой өөр төрлийн тэгшитгэлийн талаар ярьж эхлэх боломжтой. Энэ нийтлэлд бид авч үзэх болно тэгшитгэл гэж юу вэ, мөн тэгшитгэлийн язгуур гэж нэрлэгддэг зүйл. Энд бид холбогдох тодорхойлолтуудыг өгөхөөс гадна тэгшитгэл, тэдгээрийн үндэсийн янз бүрийн жишээг өгөх болно.

Хуудасны навигаци.

Тэгшитгэл гэж юу вэ?

Тэгшитгэлийн зорилтот танилцуулга нь ихэвчлэн 2-р ангийн математикийн хичээлээс эхэлдэг. Энэ үед дараахь зүйлийг өгсөн болно тэгшитгэлийн тодорхойлолт:

Тодорхойлолт.

Тэгшитгэлнь олох шаардлагатай үл мэдэгдэх тоог агуулсан тэгшитгэл юм.

Тэгшитгэл дэх үл мэдэгдэх тоог ихэвчлэн жижиг латин үсгээр тэмдэглэдэг, жишээлбэл, p, t, u гэх мэт, гэхдээ ихэвчлэн x, y, z үсгүүдийг ашигладаг.

Ийнхүү тэгшитгэл нь бичгийн хэлбэрийн үүднээс тодорхойлогддог. Өөрөөр хэлбэл, тэгшитгэл нь заасан бичих дүрмийг дагаж мөрдөх үед тэгшитгэл юм - энэ нь утгыг олох шаардлагатай үсгийг агуулдаг.

Хамгийн анхны бөгөөд хамгийн энгийн тэгшитгэлийн жишээг өгье. x=8, y=3 гэх мэт хэлбэрийн тэгшитгэлүүдээс эхэлье. Тоо, үсгийн хамт арифметик тэмдэг агуулсан тэгшитгэлүүд нь арай илүү төвөгтэй харагдаж байна, жишээлбэл, x+2=3, z−2=5, 3 t=9, 8:x=2.

- Хаалттай тэгшитгэлүүд гарч эхэлдэг, жишээлбэл, 2·(x−1)=18, x+3·(x+2·(x−2))=3 гэсэн ойлголттой болсны дараа тэгшитгэлийн олон янз байдал нэмэгддэг. Тэгшитгэлд үл мэдэгдэх үсэг хэд хэдэн удаа гарч ирж болно, жишээлбэл, x+3+3·x−2−x=9, мөн үсэг нь тэгшитгэлийн зүүн талд, баруун талд эсвэл хоёр талд байж болно. тэгшитгэл, жишээ нь, x· (3+1)−4=8, 7−3=z+1 эсвэл 3·x−4=2·(x+12) .

Цаашид натурал тоонуудыг судалсны дараа бүхэл тоо, рационал, бодит тоотой танилцаж, математикийн шинэ объектууд: хүч, үндэс, логарифм гэх мэтийг судалж, эдгээр зүйлийг агуулсан шинэ төрлийн тэгшитгэлүүд гарч ирдэг. Тэдгээрийн жишээг нийтлэлээс харж болно тэгшитгэлийн үндсэн төрлүүдсургуульд сурдаг.

7-р ангид зарим тодорхой тоонуудыг илэрхийлдэг үсгүүдийн хамт тэд өөр өөр утгыг авч болох үсгүүдийг авч үзэж эхэлдэг (өгүүллийг үзнэ үү). Үүний зэрэгцээ тэгшитгэлийн тодорхойлолтод "хувьсагч" гэсэн үгийг оруулсан бөгөөд энэ нь дараах байдалтай байна.

Тодорхойлолт.

Тэгшитгэлутгыг нь олох шаардлагатай хувьсагчийг агуулсан тэгшитгэл гэж нэрлэнэ.

Жишээ нь: x+3=6·x+7 тэгшитгэл нь x хувьсагчтай тэгшитгэл, 3·z−1+z=0 нь z хувьсагчтай тэгшитгэл юм.

Ижил 7-р ангийн алгебрийн хичээл дээр бид нэг биш, хоёр өөр үл мэдэгдэх хувьсагч агуулсан тэгшитгэлтэй тулгардаг. Тэдгээрийг хоёр хувьсагчтай тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Ирээдүйд тэгшитгэлд гурав ба түүнээс дээш хувьсагч байхыг зөвшөөрнө.

Тодорхойлолт.

Нэг, хоёр, гурав гэх мэт тэгшитгэлүүд. хувьсагч– эдгээр нь нэг, хоёр, гурав, ... үл мэдэгдэх хувьсагчдыг бичихдээ агуулсан тэгшитгэлүүд юм.

Жишээ нь: 3.2 x+0.5=1 тэгшитгэл нь нэг x хувьсагчтай тэгшитгэл бөгөөд эргээд x−y=3 хэлбэрийн тэгшитгэл нь x ба y хоёр хувьсагчтай тэгшитгэл юм. Бас нэг жишээ: x 2 +(y−1) 2 +(z+0.5) 2 =27. Ийм тэгшитгэл нь x, y, z гэсэн гурван үл мэдэгдэх хувьсагчтай тэгшитгэл болох нь ойлгомжтой.

Тэгшитгэлийн үндэс нь юу вэ?

Тэгшитгэлийн тодорхойлолт нь энэ тэгшитгэлийн язгуурын тодорхойлолттой шууд холбоотой. Тэгшитгэлийн үндэс нь юу болохыг ойлгоход туслах зарим нэг үндэслэлийг авч үзье.

Бидэнд нэг үсэгтэй (хувьсагч) тэгшитгэл байна гэж бодъё. Хэрэв та энэ тэгшитгэлийн оруулгад орсон үсгийн оронд тоог орлуулах юм бол тэгшитгэл нь тоон тэгшитгэл болж хувирна. Түүгээр ч зогсохгүй, үүссэн тэгш байдал нь үнэн эсвэл худал байж болно. Жишээ нь: a+1=5 тэгшитгэлийн а үсгийн оронд 2-ын тоог орлуулбал 2+1=5 гэсэн буруу тоон тэгшитгэл гарч ирнэ. Хэрэв энэ тэгшитгэлд а-ын оронд 4-ийн тоог орлуулбал 4+1=5 гэсэн зөв тэгшитгэл гарч ирнэ.

Практикт дийлэнх тохиолдолд тэгшитгэлд орлуулах нь зөв тэгшитгэлийг өгдөг хувьсагчийн утгуудыг энэ тэгшитгэлийн үндэс эсвэл шийдэл гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт.

Тэгшитгэлийн үндэс- энэ бол үсгийн (хувьсагч) утга бөгөөд үүнийг орлуулснаар тэгшитгэл нь зөв тоон тэгшитгэл болж хувирдаг.

Нэг хувьсагч дахь тэгшитгэлийн язгуурыг мөн тэгшитгэлийн шийдэл гэж нэрлэдэг болохыг анхаарна уу. Өөрөөр хэлбэл, тэгшитгэлийн шийдэл ба тэгшитгэлийн үндэс нь ижил зүйл юм.

Энэ тодорхойлолтыг жишээгээр тайлбарлая. Үүний тулд a+1=5 дээр бичсэн тэгшитгэл рүү буцъя. Тэгшитгэлийн язгуурын тодорхойлсон тодорхойлолтын дагуу 4 тоо нь энэ тэгшитгэлийн язгуур юм, учир нь энэ тоог a үсгийн оронд орлуулснаар 4+1=5 зөв тэгшитгэл гарч ирдэг ба 2 тоо нь түүний биш юм. үндэс, учир нь 2+1= 5 хэлбэрийн буруу тэгшитгэлтэй тохирч байна.

Энэ үед “Аливаа тэгшитгэл язгууртай юу, өгөгдсөн тэгшитгэл хэдэн үндэстэй вэ?” гэсэн хэд хэдэн байгалийн асуулт гарч ирнэ. Бид тэдэнд хариулах болно.

Үндэстэй тэгшитгэл, үндэсгүй тэгшитгэл хоёулаа байдаг. Жишээ нь: x+1=5 тэгшитгэл нь 4 үндэстэй, харин 0 x=5 тэгшитгэл нь язгуургүй, учир нь энэ тэгшитгэлд х хувьсагчийн оронд ямар ч тоог орлуулахаас үл хамааран 0=5 гэсэн буруу тэгшитгэл гарах болно. .

Тэгшитгэлийн язгуурын тооны хувьд тодорхой хязгаарлагдмал тооны язгууртай (нэг, хоёр, гурав гэх мэт) тэгшитгэл, хязгааргүй тооны язгууртай тэгшитгэл хоёулаа байдаг. Жишээ нь: x−2=4 тэгшитгэл нь нэг язгуур 6, x 2 =9 тэгшитгэлийн үндэс нь −3 ба 3 хоёр тоо, тэгшитгэл x·(x−1)·(x−2)=0 байна. 0, 1, 2 гэсэн гурван язгууртай ба x=x тэгшитгэлийн шийдэл нь дурын тоо, өөрөөр хэлбэл хязгааргүй олон үндэстэй.

Тэгшитгэлийн үндэсийг хүлээн зөвшөөрсөн тэмдэглэгээний талаар хэдэн үг хэлэх хэрэгтэй. Хэрэв тэгшитгэлд үндэс байхгүй бол тэд ихэвчлэн "тэгшитгэлд үндэсгүй" гэж бичдэг, эсвэл хоосон олонлогын ∅ тэмдгийг ашигладаг. Хэрэв тэгшитгэл нь үндэстэй бол тэдгээрийг таслалаар тусгаарлаж бичнэ, эсвэл ингэж бичнэ багцын элементүүдбуржгар хаалтанд. Жишээлбэл, тэгшитгэлийн үндэс нь −1, 2, 4 тоонууд байвал −1, 2, 4 эсвэл (−1, 2, 4) гэж бичнэ. Мөн тэгшитгэлийн язгуурыг энгийн тэгшитгэлийн хэлбэрээр бичихийг зөвшөөрнө. Жишээлбэл, тэгшитгэлд x үсэг орсон бөгөөд энэ тэгшитгэлийн язгуур нь 3 ба 5 тоонууд байвал x=3, x=5 гэж бичиж болох ба x 1 =3, x 2 =5 гэсэн дэд тэмдэгтүүдийг ихэвчлэн нэмдэг. хувьсагч руу, тэгшитгэлийн тооны язгуурыг зааж байгаа мэт. Тэгшитгэлийн язгуурын хязгааргүй олонлогийг ихэвчлэн хэлбэрээр бичдэг, хэрэв боломжтой бол натурал N, бүхэл тоо, R бодит тоонуудын тэмдэглэгээг мөн ашигладаг. Жишээлбэл, х хувьсагчтай тэгшитгэлийн язгуур нь бүхэл тоо байвал y хувьсагчтай тэгшитгэлийн үндэс нь 1-ээс 9 хүртэлх бодит тоо байвал гэж бичнэ.

Хоёр, гурав ба түүнээс дээш хувьсагчтай тэгшитгэлийн хувьд "тэгшитгэлийн үндэс" гэсэн нэр томъёог эдгээр тохиолдолд "тэгшитгэлийн шийдэл" гэж хэлдэггүй; Хэд хэдэн хувьсагчтай тэгшитгэлийг шийдэхийг юу гэж нэрлэдэг вэ? Холбогдох тодорхойлолтыг өгье.

Тодорхойлолт.

Хоёр, гурав гэх мэт тэгшитгэлийг шийдвэрлэх. хувьсагчхос, гурав гэх мэт. хувьсагчийн утгууд нь энэ тэгшитгэлийг зөв тоон тэгшитгэл болгон хувиргадаг.

Тайлбарлах жишээг үзүүлье. x+y=7 гэсэн хоёр хувьсагчтай тэгшитгэлийг авч үзье. x-ийн оронд 1-ийн тоог, у-ын оронд 2-ын тоог оруулаад 1+2=7 тэгшитгэлтэй болно. Мэдээжийн хэрэг, энэ нь буруу, тиймээс x=1, y=2 хос утгууд нь бичсэн тэгшитгэлийн шийдэл биш юм. Хэрэв бид x=4, y=3 гэсэн хос утгыг авбал тэгшитгэлд орлуулсны дараа 4+3=7 зөв тэгшитгэлд хүрнэ, тиймээс энэ хос хувьсагчийн утгууд нь тодорхойлогдвол шийдэл болно. x+y=7 тэгшитгэлд.

Нэг хувьсагчтай тэгшитгэл зэрэг хэд хэдэн хувьсагчтай тэгшитгэл нь үндэсгүй, хязгаарлагдмал тооны үндэстэй эсвэл хязгааргүй тооны үндэстэй байж болно.

Хос, гурав, дөрөв гэх мэт. Хувьсагчдын утгыг ихэвчлэн товч бичдэг бөгөөд тэдгээрийн утгыг хаалтанд таслалаар заадаг. Энэ тохиолдолд хаалтанд бичсэн тоонууд нь цагаан толгойн үсгийн дарааллын хувьсагчтай тохирч байна. Өмнөх x+y=7 тэгшитгэл рүү буцах замаар энэ цэгийг тодруулъя. Энэ тэгшитгэлийн шийдийг x=4, y=3 гэж товчоор (4, 3) бичиж болно.

Сургуулийн математик, алгебр, анализын эхлэлийн хичээлд нэг хувьсагчтай тэгшитгэлийн үндсийг олоход хамгийн их анхаарал хандуулдаг. Энэ үйл явцын дүрмийг бид нийтлэлд нарийвчлан авч үзэх болно. тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.

Ном зүй.

• Математик. 2 анги Сурах бичиг ерөнхий боловсролын хувьд байгууллагууд нь adj. электрон тутамд тээвэрлэгч. 14 цагт 1-р хэсэг / [М. И.Моро, М.А.Бантова, Г.В.Бельтюкова гэх мэт] - 3-р хэвлэл. - М.: Боловсрол, 2012. - 96 х.: өвчтэй. - (Оросын сургууль). - ISBN 978-5-09-028297-0.
• Алгебр:сурах бичиг 7-р ангийн хувьд. Ерөнхий боловсрол байгууллагууд / [Ю. Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова]; засварласан С.А.Теляковский. - 17 дахь хэвлэл. - М.: Боловсрол, 2008. - 240 х. : өвчтэй. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Алгебр: 9-р анги: боловсролын. ерөнхий боловсролын хувьд байгууллагууд / [Ю. Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова]; засварласан С.А.Теляковский. - 16 дахь хэвлэл. - М.: Боловсрол, 2009. - 271 х. : өвчтэй. - ISBN 978-5-09-021134-5.

Бид тэгш байдлын тухай ойлголтыг, тухайлбал тэдгээрийн нэг төрөл болох тоон тэгшитгэлийг судалсны дараа бид өөр нэг чухал төрөл болох тэгшитгэл рүү шилжиж болно. Энэ материалын хүрээнд бид тэгшитгэл, түүний язгуур гэж юу болохыг тайлбарлаж, үндсэн тодорхойлолтуудыг томъёолж, тэгшитгэл, тэдгээрийн үндэсийг олох янз бүрийн жишээг өгөх болно.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Тэгшитгэлийн тухай ойлголт

Ер нь тэгшитгэлийн тухай ойлголтыг сургуулийн алгебрийн хичээлийн эхэнд заадаг. Дараа нь дараах байдлаар тодорхойлогдоно.

Тодорхойлолт 1

Тэгшитгэлолох шаардлагатай үл мэдэгдэх тоо бүхий тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.

Үл мэдэгдэх зүйлийг жижиг латин үсгээр, жишээлбэл, t, r, m гэх мэтээр тэмдэглэх нь заншилтай байдаг ч x, y, z ихэвчлэн ашиглагддаг. Өөрөөр хэлбэл, тэгшитгэл нь түүний бичлэгийн хэлбэрээр тодорхойлогддог, өөрөөр хэлбэл тэгшитгэл нь тодорхой хэлбэрт орсон тохиолдолд л тэгшитгэл болно - энэ нь үсэг, олох ёстой утгыг агуулсан байх ёстой.

Хамгийн энгийн тэгшитгэлийн зарим жишээг өгье. Эдгээр нь x = 5, y = 6 гэх мэт хэлбэрийн тэгшитгэлүүд байж болно, түүнчлэн арифметик үйлдлүүд, жишээлбэл, x + 7 = 38, z − 4 = 2, 8 t = 4, 6: x = 3.

Хаалтны тухай ойлголтыг сурсны дараа хаалттай тэгшитгэлийн тухай ойлголт гарч ирнэ. Үүнд 7 · (x − 1) = 19, x + 6 · (x + 6 · (x − 8)) = 3 гэх мэт. Олдох шаардлагатай үсэг нь нэгээс олон удаа гарч ирж болно, гэхдээ хэд хэдэн удаа, жишээ нь: жишээлбэл, x + 2 + 4 · x − 2 − x = 10 тэгшитгэлд. Мөн үл мэдэгдэх нь зөвхөн зүүн талд төдийгүй баруун талд эсвэл хоёр хэсэгт нэгэн зэрэг байрлаж болно, жишээлбэл, x (8 + 1) − 7 = 8, 3 - 3 = z + 3 эсвэл 8 x. − 9 = 2 (x + 17) .

Цаашилбал, оюутнууд бүхэл тоо, реал, рационал, натурал тоо, түүнчлэн логарифм, үндэс, зэрэглэлийн ойлголтуудтай танилцсаны дараа эдгээр бүх объектыг багтаасан шинэ тэгшитгэлүүд гарч ирдэг. Ийм илэрхийллийн жишээнүүдэд бид тусдаа өгүүллийг зориулав.

7-р ангийн сургалтын хөтөлбөрт хувьсагчийн тухай ойлголт анх удаа гарч байна. Эдгээр нь өөр өөр утгатай үсэг юм (дэлгэрэнгүй мэдээллийг тоон, үсэг, хувьсах илэрхийллийн тухай өгүүллээс үзнэ үү). Энэ үзэл баримтлалд үндэслэн бид тэгшитгэлийг дахин тодорхойлж болно:

Тодорхойлолт 2

Тэгшитгэлутгыг нь тооцох шаардлагатай хувьсагчийг хамарсан тэгшитгэл юм.

Жишээлбэл, x + 3 = 6 x + 7 илэрхийлэл нь x хувьсагчтай тэгшитгэл, 3 y − 1 + y = 0 нь у хувьсагчтай тэгшитгэл юм.

Нэг тэгшитгэл нь нэгээс олон хувьсагчтай байж болох ч хоёр ба түүнээс дээш хувьсагчтай байж болно. Тэдгээрийг хоёр, гурван хувьсагч гэх мэт тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Тодорхойлолтыг бичье.

Тодорхойлолт 3

Хоёр (гурав, дөрөв ба түүнээс дээш) хувьсагчтай тэгшитгэл нь харгалзах тооны үл мэдэгдэх тоог агуулсан тэгшитгэл юм.

Жишээ нь: 3, 7 · x + 0, 6 = 1 хэлбэрийн тэгшитгэл нь нэг x хувьсагчтай тэгшитгэл, x − z = 5 нь x ба z хоёр хувьсагчтай тэгшитгэл юм. Гурван хувьсагчтай тэгшитгэлийн жишээ нь x 2 + (y − 6) 2 + (z + 0, 6) 2 = 26 болно.

Тэгшитгэлийн үндэс

Тэгшитгэлийн тухай ярихад түүний язгуурын тухай ойлголтыг тодорхойлох хэрэгцээ нэн даруй гарч ирдэг. Энэ нь юу гэсэн үг болохыг тайлбарлахыг хичээцгээе.

Жишээ 1

Бидэнд нэг хувьсагчийг багтаасан тодорхой тэгшитгэл өгөгдсөн. Хэрэв бид үл мэдэгдэх үсгийн оронд тоог орлуулах юм бол тэгшитгэл нь тоон тэгшитгэл болно - үнэн эсвэл худал. Хэрэв тэгшитгэлд a + 1 = 5 байвал үсгийг 2 тоогоор сольвол тэгшитгэл худал болж, 4 бол зөв тэгшитгэл нь 4 + 1 = 5 болно.

Хувьсагч нь жинхэнэ тэгш байдал болж хувирах утгуудыг бид илүү их сонирхож байна. Тэдгээрийг үндэс буюу шийдэл гэж нэрлэдэг. Тодорхойлолтыг бичье.

Тодорхойлолт 4

Тэгшитгэлийн үндэсӨгөгдсөн тэгшитгэлийг жинхэнэ тэгшитгэл болгон хувиргах хувьсагчийн утгыг тэд гэж нэрлэдэг.

Үндэсийг шийдэл гэж нэрлэж болно, эсвэл эсрэгээр - эдгээр хоёр ойлголт нь ижил утгатай.

Жишээ 2

Энэ тодорхойлолтыг тодруулахын тулд жишээ татъя. Дээр бид a + 1 = 5 тэгшитгэлийг өгсөн. Тодорхойлолтын дагуу энэ тохиолдолд язгуур нь 4 байх болно, учир нь үсгийн оронд орлуулснаар энэ нь зөв тоон тэгшитгэлийг өгдөг бөгөөд 2 + 1 = 5 буруу тэгшитгэлтэй тохирч байгаа тул хоёр нь шийдэл болохгүй.

Нэг тэгшитгэл хэдэн үндэстэй байж болох вэ? Тэгшитгэл бүр үндэстэй юу? Эдгээр асуултад хариулъя.

Нэг үндэсгүй тэгшитгэлүүд бас байдаг. Жишээ нь 0 x = 5 байх болно. Түүнд бид хязгааргүй олон тооны өөр өөр тоог орлуулж болох боловч 0-ээр үржүүлэхэд үргэлж 0 гарч ирдэг тул тэдгээрийн аль нь ч үүнийг жинхэнэ тэгшитгэл болгож чадахгүй.

Мөн хэд хэдэн үндэстэй тэгшитгэлүүд байдаг. Тэд төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй тооны үндэстэй байж болно.

Жишээ 3

Тэгэхээр x − 2 = 4 тэгшитгэлд зөвхөн нэг язгуур байна - зургаа, x 2 = 9-д хоёр үндэс - гурав ба хасах гурав, x -д · (x - 1) · (x - 2) = 0 гурван үндэс - тэг, нэг, хоёр, x=x тэгшитгэлд хязгааргүй олон үндэс бий.

Одоо тэгшитгэлийн язгуурыг хэрхэн зөв бичихийг тайлбарлая. Хэрэв байхгүй бол "тэгшитгэлд үндэс байхгүй" гэж бичнэ. Энэ тохиолдолд та хоосон олонлогийн ∅ тэмдгийг бас зааж өгч болно. Хэрэв үндэс байгаа бол бид тэдгээрийг таслалаар тусгаарлаж бичнэ эсвэл буржгар хаалтанд оруулан багцын элемент болгон зааж өгнө. Тиймээс, хэрэв тэгшитгэл нь 2, 1, 5 гэсэн гурван үндэстэй бол бид 2, 1, 5 эсвэл (- 2, 1, 5) гэж бичнэ.

Үндэсийг энгийн тэгш байдлын хэлбэрээр бичихийг зөвшөөрнө. Тэгэхээр тэгшитгэл дэх үл мэдэгдэхийг у үсгээр тэмдэглэж, язгуур нь 2 ба 7 байвал у = 2 ба у = 7 гэж бичнэ. Заримдаа үсгүүдэд доод тэмдэгтүүдийг нэмдэг, жишээлбэл, x 1 = 3, x 2 = 5. Ийм байдлаар бид язгууруудын тоог зааж өгдөг. Хэрэв тэгшитгэл нь хязгааргүй тооны шийдэлтэй бол бид хариултыг тоон интервал хэлбэрээр бичих эсвэл нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн тэмдэглэгээг ашиглана: натурал тоонуудын багцыг N, бүхэл тоо - Z, бодит тоо - R гэж тэмдэглэнэ. Хэрэв тэгшитгэлийн шийд нь дурын бүхэл тоо байх шаардлагатай бол x ∈ Z, нэгээс ес хүртэлх бодит тоо байвал у ∈ 1, 9 гэж бичнэ гэж бодъё.

Хэрэв тэгшитгэл нь хоёр, гурав ба түүнээс дээш үндэстэй бол бид дүрмээр бол үндэс биш, харин тэгшитгэлийн шийдлийн талаар ярьдаг. Хэд хэдэн хувьсагчтай тэгшитгэлийн шийдийн тодорхойлолтыг томъёолъё.

Тодорхойлолт 5

Хоёр, гурав ба түүнээс дээш хувьсагчтай тэгшитгэлийн шийдэл нь өгөгдсөн тэгшитгэлийг зөв тоон тэгшитгэл болгон хувиргах хувьсагчийн хоёр, гурав ба түүнээс дээш утгууд юм.

Тодорхойлолтыг жишээгээр тайлбарлая.

Жишээ 4

Хоёр хувьсагчтай тэгшитгэл болох x + y = 7 илэрхийлэл байна гэж бодъё. Эхний оронд нэгийг, хоёр дахь оронд хоёрыг орлъё. Бид буруу тэгшитгэл авах бөгөөд энэ нь хос утгууд нь энэ тэгшитгэлийн шийдэл болохгүй гэсэн үг юм. Хэрэв бид 3 ба 4-р хосыг авбал тэгш байдал үнэн болох бөгөөд энэ нь бид шийдлийг олсон гэсэн үг юм.

Ийм тэгшитгэл нь үндэсгүй эсвэл хязгааргүй тоотой байж болно. Хэрэв бид хоёр, гурав, дөрөв ба түүнээс дээш утгыг бичих шаардлагатай бол тэдгээрийг таслалаар тусгаарлан хаалтанд бичнэ. Өөрөөр хэлбэл, дээрх жишээн дээр хариулт нь (3, 4) шиг харагдах болно.

Практикт та ихэвчлэн нэг хувьсагч агуулсан тэгшитгэлтэй харьцах хэрэгтэй болдог. Бид тэдгээрийг шийдвэрлэх алгоритмыг тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд зориулсан нийтлэлд нарийвчлан авч үзэх болно.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Квадрат тэгшитгэлийг авч үзье:
(1) .
Квадрат тэгшитгэлийн үндэс(1) томъёогоор тодорхойлно:
; .
Эдгээр томъёог дараах байдлаар нэгтгэж болно.
.
Квадрат тэгшитгэлийн язгуур нь мэдэгдэж байгаа тохиолдолд хоёрдугаар зэргийн олон гишүүнтийг хүчин зүйлийн үржвэр (фактор) хэлбэрээр илэрхийлж болно.
.

Дараа нь бид бодит тоо гэж таамаглаж байна.
Ингээд авч үзье квадрат тэгшитгэлийн дискриминант:
.
Хэрэв дискриминант эерэг бол квадрат тэгшитгэл (1) нь хоёр өөр бодит язгууртай байна.
; .
Дараа нь квадрат гурвалсан тоог үржүүлэх нь дараах хэлбэртэй байна.
.
Хэрэв дискриминант нь тэгтэй тэнцүү бол квадрат тэгшитгэл (1) нь хоёр олон (тэнцүү) бодит язгууртай байна.
.
Факторжуулалт:
.
Хэрэв дискриминант сөрөг байвал квадрат тэгшитгэл (1) нь хоёр нийлмэл нийлмэл үндэстэй байна.
;
.
Энд төсөөллийн нэгж байна, ;
ба язгуурын бодит ба төсөөллийн хэсгүүд нь:
; .
Дараа нь

.

График тайлбар

Хэрэв та функцийг зурвал
,
Энэ нь парабол бол графикийн тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд нь тэгшитгэлийн үндэс болно.
.
Үед график нь х тэнхлэгийг (тэнхлэг) хоёр цэгээр огтолж байна.
үед график нэг цэгт х тэнхлэгт хүрнэ.
үед график х тэнхлэгийг огтолдоггүй.

Ийм графикуудын жишээг доор харуулав.

Квадрат тэгшитгэлтэй холбоотой ашигтай томьёо

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёоны гарган авах

Бид хувиргалтыг хийж (f.1) ба (f.3) томъёог ашигладаг:




,
Хаана
; .

Тиймээс бид хоёрдугаар зэргийн олон гишүүнтийн томъёог дараах хэлбэрээр авсан.
.
Энэ нь тэгшитгэл байгааг харуулж байна

-д тоглосон
Мөн .
Энэ нь квадрат тэгшитгэлийн үндэс юм
.

Квадрат тэгшитгэлийн үндсийг тодорхойлох жишээ

Жишээ 1

(1.1) .

.
Бидний (1.1) тэгшитгэлтэй харьцуулбал коэффициентүүдийн утгыг олно.
.
Бид ялгагчийг олдог:
.
Дискриминант эерэг тул тэгшитгэл нь хоёр бодит үндэстэй байна.
;
;
.

Үүнээс бид квадрат гурвалжны үржвэрийг олж авна.

.

y = функцийн график 2 x 2 + 7 x + 3х тэнхлэгийг хоёр цэгээр огтолж байна.

Функцийн графикийг зурцгаая
.
Энэ функцийн график нь парабол юм. Энэ нь абсцисса тэнхлэгийг (тэнхлэг) хоёр цэгээр гатлана.
Мөн .
Эдгээр цэгүүд нь анхны тэгшитгэлийн үндэс юм (1.1).

;
;
.

Жишээ 2

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг ол:
(2.1) .

Квадрат тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэрээр бичье.
.
Анхны тэгшитгэл (2.1)-тэй харьцуулбал бид коэффициентүүдийн утгыг олно.
.
Бид ялгагчийг олдог:
.
Дискриминант нь тэг тул тэгшитгэл нь хоёр олон (тэнцүү) үндэстэй байна.
;
.

Дараа нь гурвалсан тоог үржүүлэх нь дараах хэлбэртэй байна.
.

y = x функцийн график 2 - 4 x + 4нэг цэгт х тэнхлэгт хүрнэ.

Функцийн графикийг зурцгаая
.
Энэ функцийн график нь парабол юм. Энэ нь x тэнхлэгт (тэнхлэг) нэг цэг дээр хүрнэ:
.
Энэ цэг нь анхны тэгшитгэлийн үндэс юм (2.1). Энэ үндсийг хоёр удаа хүчин зүйлээр ялгасан тул:
,
тэгвэл ийм язгуурыг ихэвчлэн олон тоо гэж нэрлэдэг. Өөрөөр хэлбэл, тэд хоёр ижил үндэстэй гэдэгт итгэдэг.
.

;
.

Жишээ 3

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг ол:
(3.1) .

Квадрат тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэрээр бичье.
(1) .
Анхны тэгшитгэлийг (3.1) дахин бичье:
.
(1) -тэй харьцуулбал бид коэффициентүүдийн утгыг олно.
.
Бид ялгагчийг олдог:
.
Ялгаварлагч нь сөрөг, . Тиймээс жинхэнэ үндэс байхгүй.

Та нарийн төвөгтэй үндэс олж болно:
;
;

Функцийн графикийг зурцгаая
.
Энэ функцийн график нь парабол юм. Энэ нь x тэнхлэгтэй огтлолцдоггүй. Тиймээс жинхэнэ үндэс байхгүй.

Жинхэнэ үндэс байхгүй. Нарийн төвөгтэй үндэс:
;
;
.