Дериватив. Функцийн ялгаа Төрөл бүрийн дарааллын дифференциалууд

Дериватив функцуудцэг дээрх функцийн өсөлтийг аргументийн өсөлттэй харьцуулсан харьцааны хязгаар гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ нь тэг байх хандлагатай байна.

Деривативыг олох үндсэн дүрмүүд

Хэрэв - ба - цэгүүд нь дифференциалагдах функцууд, (жишээ нь, цэг дээр деривативтай функцууд) бол:

4) .

Үндсэн функцүүдийн деривативын хүснэгт

1. 8.

2. 9.

3. 10.

5. 12.

6. 13.

7.

Нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрэм.Хэрэв ба , i.e. , хаана ба дериватив байвал

Параметрээр тодорхойлсон функцийг ялгах. Хувьсагчийн хувьсагчийн хамаарлыг параметрийн тусламжтайгаар дараах параметрээр тодорхойл.

Даалгавар 3. Эдгээр функцүүдийн деривативуудыг ол.

1)

Шийдэл. Дериватив болон үүсмэл хүснэгтийн 1, 2-р томъёог олохдоо 2-р дүрмийг хэрэглэснээр бид дараахь зүйлийг олж авна.

Шийдэл.Деривативын хүснэгтийн 1, 13-р томъёо, дериватив олоход 4-р дүрмийг хэрэглэснээр бид дараахь зүйлийг олж авна.

.

Шийдэл.Деривативын хүснэгтийн 5, 11-р томъёо, дериватив олоход 3-р дүрмийг хэрэглэснээр бид дараахийг олж авна.

Шийдэл.-ийг нийлмэл функцийн деривативыг олох томьёоны дагуу эндээс олж авна.

Шийдэл. Бидэнд: Дараа нь параметрийн аргаар тодорхойлсон функцийн деривативыг олох томъёоны дагуу бид дараахь зүйлийг олж авна.

4. Дээд зэрэглэлийн дериватив. Л'Хопиталын дүрэм.

Функцийн хоёрдугаар эрэмбийн деривативтүүний деривативын дериватив гэж нэрлэдэг, i.e. . Хоёрдахь деривативын хувьд дараах тэмдэглэгээг ашиглана: эсвэл , эсвэл .

Функцийн 1-р эрэмбийн деривативтүүний 3-р эрэмбийн дериватив гэж нэрлэдэг. 3-р эрэмбийн деривативын хувьд дараах тэмдэглэгээг ашиглана: эсвэл , эсвэл .

L'Hopital-ийн дүрэм.Функцууд нь цэгийн хөршид ялгагддаг байх ба дериватив нь алга болохгүй. Хэрэв функцүүд нь хязгааргүй жижиг эсвэл хязгааргүй их байх ба -д харьцааны хязгаар байгаа бол -ийн харьцаанд бас хязгаар бий. Түүнээс гадна

.

Энэ дүрэм нь мөн үед хамаарна.

Зарим тохиолдолд тухайн төрлийн тодорхой бус байдлыг задруулах эсвэл L'Hopital-ийн дүрмийг давтан хэрэглэх шаардлагатайг анхаарна уу.

Тодорхойгүй байдлын төрлүүд гэх мэт. энгийн хувиргалтуудын тусламжтайгаар тэдгээрийг хэлбэрийн тодорхой бус байдал руу хялбархан бууруулж болно.

Даалгавар 4. L'Hopital-ийн дүрмийг ашиглан хязгаарыг ол.

ШийдэлЭнд бид хэлбэрийн тодорхойгүй байдал байна, учир нь цагт. L'Hopital-ийн дүрмийг хэрэгжүүлье:

.

L'Hopital-ийн дүрмийг хэрэглэсний дараа бид дахин маягтын тодорхойгүй байдлыг олж авлаа, учир нь цагт. L'Hopital-ийн дүрмийг дахин ашигласнаар бид дараахь зүйлийг авна.

.

5. Үйл ажиллагааны судалгаа

a) Өсөх, буурах функцууд

Функцийг дууддаг нэмэгдэхсегмент дээр , хэрчмээс аль нэг цэгийн хувьд тэгш бус байдал биелнэ. Хэрэв функц нь интервал дээр үргэлжилдэг ба -ийн хувьд энэ нь интервал дээр нэмэгддэг.

Функцийг дууддаг буурч байнасегмент дээр , хэрчмээс аль нэг цэгийн хувьд тэгш бус байдал биелнэ. Хэрэв функц нь интервал дээр үргэлжилдэг ба -ийн хувьд бол интервал дээр буурдаг.

Хэрэв функц өгөгдсөн интервалд зөвхөн нэмэгдэж эсвэл буурч байвал түүнийг дуудна нэг хэвийнинтервал дээр.

б) Функцийн экстремум

хамгийн бага цэгфункцууд .

Хэрэв тухайн цэгийн - хөрш байгаа бол Энэ хөршийн бүх цэгүүдэд тэгш бус байдал байгаа тул цэгийг дуудна хамгийн дээд цэгфункцууд .

Функцийн хамгийн их ба хамгийн бага цэгүүдийг түүний гэж нэрлэдэг экстремум цэгүүд.

цэг гэж нэрлэдэг хөдөлгөөнгүй цэг,хэрэв байхгүй бол.

Хэрэв for болон for гэсэн хөдөлгөөнгүй цэгийн хөрш байгаа бол функцийн хамгийн их цэг болно.

Хэрэв for болон for гэсэн хөдөлгөөнгүй цэгийн хөрш байгаа бол функцийн -минимум цэг болно.

а) Гүдгэр чиглэл. Гулзайлтын цэгүүд

дээш гүдгэринтервал дээр , хэрэв энэ интервалын аль ч цэгт функцийн графикт зурсан шүргэгчийн доор байрласан бол.

Интервал дээрх функцийн график дээшээ гүдгэр байх хангалттай нөхцөл бол авч үзсэн интервалуудын аль нэгнийх нь тэгш бус байдлын биелэлт юм.

Дифференциалагдах функцийн графикийг нэрлэнэ гүдгэр доошинтервал дээр , хэрэв энэ интервалын аль ч цэгт функцийн графикт зурсан шүргэгчээс дээш байрласан бол.

Интервал дээрх функцийн график доош гүдгэр байх хангалттай нөхцөл бол авч үзэж буй аль нэг интервалын тэгш бус байдлын биелэлт юм.

Функцийн графикийн гүдгэрийн чиглэл өөрчлөгдөх цэгийг гэнэ гулзайлтын цэг.

Баруун болон зүүн талын тэмдэг нь өөр өөр байвал гулзайлтын цэгийн абсцисса буюу байхгүй цэг болно.

г) Асимптотууд

Хэрэв функцийн график дээрх цэгээс тодорхой шулуун шугам хүртэлх зай нь цэг эх үүсвэрээс хязгааргүй холдох үед тэг болох хандлагатай байвал шулуун шугамыг гэнэ. функцийн графикийн асимптот.

Хэрэв ийм тоо байвал мөр нь байна босоо асимптот.

Хэрэв хязгаарлалт байгаа бол , дараа нь шугам байна ташуу (k=0 үед хэвтээ) асимптот.

e) Функцийн ерөнхий судалгаа

1. Функцийн домэйн

2. Графикийн координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүд

3. Тасралтгүй, тэгш/сондгой, үечилсэн байдлын функцийн судалгаа

4. Функцийн монотон байдлын интервалууд

5. Функцийн экстремум цэгүүд

6. Функцийн графикийн гүдгэрийн интервал ба гулзайлтын цэгүүд

7. Функцийн графикийн асимптотууд

8. Функцийн график.

Даалгавар 5. Функцийг судалж, графикийг нь байгуул.

Шийдэл. 1) Функц нь бутархайн хуваагч тэг болох цэгээс бусад бүхэл тооны шулуун дээр тодорхойлогддог. . Бидэнд: энэ функцийн тодорхойлолтод хамаарахгүй. Тиймээс энэ функцийн суурин цэгүүд нь хамгийн бага утгатай цэгүүд юм (зурагт үзүүлсэн шиг).

8) Хүлээн авсан өгөгдлийг ашиглан анхны функцийн графикийг байгуулъя:

Өгүүллийн агуулга

ҮҮСГЭЛ– функцийн дериватив y = е(x), тодорхой интервалаар өгсөн ( а, б) цэг дээр xэнэ интервалыг функцийн өсөлтийн харьцаа хандлагатай байгаа хязгаар гэнэ еэнэ үед аргументийн өсөлт тэг болох хандлагатай үед аргументийн харгалзах өсөлт рүү.

Деривативыг ихэвчлэн дараах байдлаар тэмдэглэдэг.

Бусад тэмдэглэгээг бас өргөн ашигладаг:

Шуурхай хурд.

Гол нь байя Мшулуун шугамаар хөдөлдөг. Зай схөдөлж буй цэг, анхны байрлалаас нь тоолно М 0 , цаг хугацаанаас хамаарна т, өөрөөр хэлбэл сБайна функццаг т: с= е(т). Хэзээ нэгэн цагт зөвшөөр тхөдлөх цэг Мзайтай байсан сэхлэх байрлалаас М 0, дараагийн мөчид т+Д тбайр сууриа олж мэдэв М 1 - зайнд с+Д санхны байрлалаас ( зургийг үзнэ үү.).

Ийнхүү тодорхой хугацааны дараа Д тзай схэмжээгээр өөрчилсөн D с. Энэ тохиолдолд тэд энэ хугацаанд Д тхэмжээ схүлээн авсан нэмэгдэл D с.

Дундаж хурд нь бүх тохиолдолд цэгийн хөдөлгөөний хурдыг нарийн тодорхойлж чадахгүй Мцаг хугацааны хувьд т. Хэрэв жишээлбэл, интервалын эхэнд байгаа бие D тмаш хурдан хөдөлж, эцэст нь маш удаан, дараа нь дундаж хурд нь цэгийн хөдөлгөөний заасан шинж чанарыг тусгаж чадахгүй бөгөөд одоогийн байдлаар түүний хөдөлгөөний жинхэнэ хурдны талаар ойлголт өгөх боломжгүй болно. т. Дундаж хурдыг ашиглан жинхэнэ хурдыг илүү нарийвчлалтай илэрхийлэхийн тулд та богино хугацаа авах хэрэгтэй D т. Ихэнх нь тухайн үеийн цэгийн хөдөлгөөний хурдыг бүрэн тодорхойлдог тдундаж хурд нь D-д чиглэдэг хязгаар т® 0. Энэ хязгаарыг одоогийн хурд гэж нэрлэдэг:

Тиймээс тухайн агшин дахь хөдөлгөөний хурдыг замын өсөлтийн харьцааны хязгаар D гэж нэрлэдэг сцаг хугацааны өсөлт D т, цаг хугацааны өсөлт тэг болох хандлагатай үед. Учир нь

Деривативын геометрийн утга. Функцийн графикт шүргэгч.

Шүргэдэг шугам барих нь дифференциал тооцоолол үүсэхэд хүргэсэн асуудлуудын нэг юм. Лейбницийн бичсэн дифференциал тооцоотой холбоотой анхны хэвлэгдсэн бүтээл нь нэртэй байв Бутархай болон иррационал хэмжигдэхүүнүүд нь саад болдоггүй максимум ба минимум, шүргэгчийн шинэ арга бөгөөд үүнд зориулсан тусгай төрлийн тооцоолол..

Муруйг функцийн график гэж үзье y =е(x) тэгш өнцөгт координатын системд ( см. будаа.).

Зарим үнээр xфункц чухал y =е(x). Эдгээр үнэт зүйлс xТэгээд yмуруй дээрх цэг нь тохирч байна М 0(x, y). Хэрэв маргаан бол xөгөх өсөлт D x, дараа нь аргументийн шинэ утга x+Д xшинэ функцийн утгатай тохирч байна y+Д y = е(x + Д x). Муруйн харгалзах цэг нь цэг болно М 1(x+Д x,y+Д y). Хэрэв та секант зурвал М 0М 1 ба j-ээр тэмдэглэнэ тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй хөндлөн огтлолцсон өнцөг Үхэр, зурагнаас шууд тодорхой харагдаж байна.

Хэрэв одоо Д xтэг рүү чиглэдэг, дараа нь цэг М 1 муруйн дагуу хөдөлж, цэг рүү ойртоно М 0 ба өнцөг j D-тэй хамт өөрчлөгддөг x. At Dx® 0 өнцөг j тодорхой хязгаарт чиглэдэг a ба цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугам М 0 ба х тэнхлэгийн эерэг чиглэл бүхий бүрэлдэхүүн хэсэг нь а өнцөг нь хүссэн шүргэгч байх болно. Түүний налуу нь:

Тиймээс, е´( x) = tga

тэдгээр. дериватив үнэ цэнэ е´( x) өгөгдсөн аргументын утгын хувьд xфункцийн графикт шүргэхэд үүссэн өнцгийн тангенстай тэнцүү байна е(x) харгалзах цэг дээр М 0(x,y) эерэг тэнхлэгийн чиглэлтэй Үхэр.

Функцийн ялгавартай байдал.

Тодорхойлолт. Хэрэв функц бол y = е(x) цэг дээр дериватив байна x = x 0 бол энэ үед функц дифференциал болно.

Деривативтай функцийн тасралтгүй байдал. Теорем.

Хэрэв функц бол y = е(x) хэзээ нэгэн цагт ялгагдах боломжтой x = x 0, тэгвэл энэ үед тасралтгүй байна.

Тиймээс функц нь тасалдалтай цэгүүдэд деривативтай байж болохгүй. Эсрэг дүгнэлт нь буруу, өөрөөр хэлбэл. хэзээ нэгэн цагт тэрнээс x = x 0 функц y = е(x) тасралтгүй байна гэдэг нь энэ үед ялгах боломжтой гэсэн үг биш юм. Жишээлбэл, функц y = |x| хүн бүрт тасралтгүй x(–Ґ x x = 0 нь деривативгүй. Энэ үед графикт шүргэгч байхгүй. Баруун болон зүүн тангенс байдаг боловч тэдгээр нь давхцдаггүй.

Дифференциалагдах функцүүдийн зарим теоремууд. Деривативын язгуурын тухай теорем (Роллегийн теорем).Хэрэв функц бол е(x) сегмент дээр тасралтгүй байна [а,б], энэ сегментийн бүх дотоод цэгүүд болон төгсгөлд ялгагдах боломжтой x = аТэгээд x = бтэг рүү очдог ( е(а) = е(б) = 0), дараа нь сегмент дотор [ а,б] дор хаяж нэг цэг байна x= -тай, а c b, үүнд дериватив еў( x) тэг рүү явдаг, өөрөөр хэлбэл. еў( в) = 0.

Хязгаарлагдмал өсөлтийн теорем (Лагранжийн теорем).Хэрэв функц бол е(x) [ интервал дээр тасралтгүй байна а, б] бөгөөд энэ сегментийн бүх дотоод цэгүүдэд, дараа нь сегментийн дотор [ ялгах боломжтой. а, б] дор хаяж нэг цэг байна -тай, ав б тэр

е(б) – е(а) = еў( в)(б– а).

Хоёр функцийн өсөлтийн харьцааны тухай теорем (Коши теорем).Хэрэв е(x) Мөн g(x) – сегмент дээр тасралтгүй хоёр функц [а, б] ба энэ сегментийн бүх дотоод цэгүүдэд ялгах боломжтой, мөн gў( x) энэ сегмент дотор хаана ч алга болохгүй, дараа нь сегмент дотор [ а, б] ийм цэг байдаг x = -тай, ав б тэр

Төрөл бүрийн захиалгын деривативууд.

Функцийг зөвшөөр y =е(x) зарим интервалаар ялгах боломжтой [ а, б]. Дериватив утгууд е ў( x), ерөнхийдөө хамааралтай x, өөрөөр хэлбэл дериватив е ў( x) нь мөн функц юм x. Энэ функцийг ялгахдаа функцийн хоёр дахь дериватив гэж нэрлэгддэг зүйлийг олж авдаг е(x) гэж тэмдэглэгдсэн байна е ўў ( x).

Дериватив n-функцийн дараалал е(x) нь деривативын (эхний эрэмбийн) дериватив гэж нэрлэгддэг n- 1- th ба тэмдгээр тэмдэглэгдсэн байна y(n) = (y(n– 1))ў.

Төрөл бүрийн захиалгын ялгаа.

Функцийн дифференциал y = е(x), Хаана x– бие даасан хувьсагч, тийм dy = е ў( x)dx, -аас зарим функц x, гэхдээ эхлэн xзөвхөн эхний хүчин зүйлээс хамаарч болно е ў( x), хоёр дахь хүчин зүйл ( dx) нь бие даасан хувьсагчийн өсөлт юм xмөн энэ хувьсагчийн утгаас хамаарахгүй. Учир нь dy-аас функц байдаг x, тэгвэл бид энэ функцийн дифференциалыг тодорхойлж болно. Функцийн дифференциалыг энэ функцийн хоёр дахь дифференциал эсвэл хоёрдугаар эрэмбийн дифференциал гэж нэрлэдэг бөгөөд үүнийг тэмдэглэнэ. г 2y:

г(dx) = г 2y = е ўў( x)(dx) 2 .

Дифференциал n-Нэгдүгээр эрэмбийн ялгааг дифференциалын эхний дифференциал гэнэ n- 1- р захиалга:

d n y = г(dn–1y) = е(n)(x)dx(n).

Хэсэгчилсэн дериватив.

Хэрэв функц нь нэгээс биш хэд хэдэн аргументаас хамаардаг бол x i(би 1-ээс хэлбэлздэг n,би= 1, 2,… n),е(x 1,x 2,… x n), дараа нь дифференциал тооцоонд хэсэгчилсэн дериватив гэсэн ойлголтыг нэвтрүүлсэн бөгөөд энэ нь зөвхөн нэг аргумент өөрчлөгдөх үед хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн өөрчлөлтийн хурдыг тодорхойлдог, жишээлбэл, x i. -д хамаарах 1-р эрэмбийн хэсэгчилсэн дериватив x iнь ердийн дериватив гэж тодорхойлогддог бөгөөд бусад бүх аргументууд гэж үздэг x i, тогтмол утгыг хадгалах. Хэсэгчилсэн деривативын хувьд тэмдэглэгээг оруулсан болно

Ийм байдлаар тодорхойлсон 1-р эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативууд (ижил аргументуудын функцууд) нь эргээд хэсэгчилсэн деривативуудтай байж болно, эдгээр нь хоёр дахь дарааллын хэсэгчилсэн дериватив гэх мэт. Өөр өөр аргументуудаас авсан ийм деривативуудыг холимог гэж нэрлэдэг. Нэг эрэмбийн тасралтгүй холимог деривативууд нь ялгах дарааллаас хамаарахгүй бөгөөд хоорондоо тэнцүү байна.

Анна Чугайнова