Smo con fallas y asistencia mutua entre canales. Clasificación de los sistemas de colas
Informática, cibernética y programación
Un sistema de colas con n canales de colas recibe un flujo de Poisson de solicitudes con intensidad λ. La intensidad del servicio de la aplicación por cada canal. Después del final del servicio, todos los canales se liberan. El comportamiento de un sistema de colas de este tipo se puede describir mediante un proceso aleatorio de Markov t, que es el número de clientes en el sistema.
2. QS con fallas y asistencia mutua completa para flujos masivos. Gráfico, sistema de ecuaciones, razones calculadas.
Formulación del problema.Un sistema de colas con n canales de colas recibe un flujo de Poisson de solicitudes con intensidad λ. La intensidad de atención de la solicitud por cada canal es µ. La solicitud es atendida por todos los canales simultáneamente. Después del final del servicio, todos los canales se liberan. Si una solicitud recién llegada encuentra una solicitud, también se acepta para el servicio. Algunos canales continúan atendiendo la primera solicitud, mientras que el resto, una nueva. Si el sistema ya está atendiendo n solicitudes, se rechaza la solicitud recién llegada. El comportamiento de un sistema de colas de este tipo se puede describir mediante un proceso aleatorio de Markov ξ(t), que es el número de clientes en el sistema.
Los posibles estados de este proceso son E = (0, 1, . . . , n). Encontremos las características del QS considerado en el modo estacionario.
El gráfico correspondiente al proceso considerado se muestra en la Figura 1.
Arroz. 1. QS con fallas y asistencia mutua completa para flujos de Poisson
Componemos un sistema de ecuaciones algebraicas:
La solución de este sistema tiene la forma:
Aquí χ =λ/nµ es el número promedio de solicitudes que ingresan al sistema durante el tiempo de servicio promedio de una solicitud por todos los canales.
Características de un sistema de colas multicanal con fallos y asistencia mutua total entre canales.
1. Probabilidad de denegación de servicio (probabilidad de que todos los canales estén ocupados):
2. Probabilidad de dar servicio a una aplicación (rendimiento relativo del sistema):
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| Características de clasificación | Variedades de sistemas de colas. | |||||||||||
| Flujo de demanda entrante | Requisitos limitados | Cerrado | abierto | |||||||||
| ley de distribucion | Sistemas con una ley específica de distribución del flujo entrante: exponencial, Erlang k orden, palma, normal, etc. | |||||||||||
| Cola | Disciplina en la cola | Con cola ordenada | Con una cola desordenada | Prioridad de servicio | ||||||||
| Límites del servicio de espera | con rechazos | Con espera ilimitada | Restringido (mixto) | |||||||||
| Por longitud de cola | Tiempo de espera en cola | Por tiempo de permanencia en SMO | Conjunto | |||||||||
| Disciplina de servicio | Etapas del servicio | fase única | Polifásico | |||||||||
| Número de canales de atención | un canal solo | multicanal | ||||||||||
| Con canales iguales | Con canales desiguales | |||||||||||
| Fiabilidad de los canales de atención | Con canales absolutamente confiables | Con canales poco confiables | ||||||||||
| Sin recuperación | Con recuperación | |||||||||||
| Canales de Ayuda Mutua | sin ayuda mutua | Con ayuda mutua | ||||||||||
| Fiabilidad del servicio | Con errores | Sin errores | ||||||||||
| Distribución del tiempo de servicio | Sistemas con una determinada ley de distribución del tiempo de servicio: determinista, exponencial, normal, etc. | |||||||||||
Si el servicio se realiza en etapas por alguna secuencia de canales, tal QS se llama multifásico.
EN CMO con "asistencia mutua" entre canales, la misma solicitud puede ser atendida simultáneamente por dos o más canales. Por ejemplo, la misma máquina averiada puede servir a dos trabajadores a la vez. Tal "asistencia mutua" entre canales puede tener lugar tanto en QS abierto como cerrado.
EN CMO con errores una solicitud aceptada para el servicio en el sistema no se atiende con plena probabilidad, pero sí con cierta probabilidad; en otras palabras, pueden ocurrir errores de servicio, cuyo resultado es que algunas aplicaciones que fueron al QS y supuestamente "servidas" en realidad permanecen sin atender debido al "matrimonio" en el trabajo del QS.
Ejemplos de tales sistemas son: mostradores de información, que a veces dan información e instrucciones incorrectas; un corrector que puede pasar por alto un error o corregirlo incorrectamente; central telefónica, a veces conectando al suscriptor al número equivocado; empresas comercializadoras e intermediarias que no siempre cumplen con sus obligaciones con calidad y puntualidad, etc.
Para analizar el proceso que ocurre en un QS, es fundamental conocer parámetros básicos del sistema: el número de canales, la intensidad del flujo de aplicaciones, el rendimiento de cada canal (el número medio de aplicaciones atendidas por unidad de tiempo por el canal), las condiciones para la formación de la cola, la intensidad de la salida de aplicaciones de la cola o del sistema.
La relación se llama factor de carga del sistema. A menudo, solo se consideran tales sistemas en los que .
El tiempo de servicio en QS puede ser tanto aleatorio como no aleatorio. En la práctica, este tiempo suele tomarse como distribuido de acuerdo con la ley exponencial, .
Las principales características del QS dependen relativamente poco del tipo de ley de distribución del tiempo de servicio, pero dependen principalmente del valor medio. Por lo tanto, a menudo se supone que el tiempo de servicio se distribuye de acuerdo con una ley exponencial.
Las suposiciones sobre la naturaleza de Poisson del flujo de solicitudes y la distribución exponencial del tiempo de servicio (que asumiremos a partir de ahora) son valiosas porque nos permiten aplicar el aparato de los llamados procesos aleatorios de Markov en la teoría de las colas.
La efectividad de los sistemas de servicio, dependiendo de las condiciones de las tareas y objetivos del estudio, puede caracterizarse por una gran cantidad de indicadores cuantitativos diferentes.
Los más utilizados son los siguientes indicadores:
1. La probabilidad de que los canales estén ocupados con el servicio es .
Un caso especial es la probabilidad de que todos los canales estén libres.
2. La probabilidad de rechazo de la solicitud en servicio.
3. El número promedio de canales ocupados caracteriza el grado de carga del sistema.
4. Promedio de canales libres de servicio:
5. Coeficiente (probabilidad) de canales inactivos.
6. Factor de carga del equipo (probabilidad de canales ocupados)
7. Rendimiento relativo: la proporción promedio de solicitudes entrantes atendidas por el sistema, es decir, la relación entre el número promedio de solicitudes atendidas por el sistema por unidad de tiempo y el número promedio de solicitudes recibidas durante este tiempo.
8. Rendimiento absoluto, es decir el número de aplicaciones (requisitos) que el sistema puede atender por unidad de tiempo:
9. Tiempo promedio de inactividad del canal
para sistemas con expectativa Se utilizan características adicionales:
10. Tiempo medio de espera de solicitudes en cola.
11. Tiempo medio de residencia de una aplicación en el CMO.
12. Longitud promedio de la cola.
13. Número medio de solicitudes en el sector servicios (en CMO)
14. Probabilidad de que el tiempo de permanencia de la solicitud en la cola no supere un tiempo determinado.
15. La probabilidad de que el número de solicitudes en la cola esperando para iniciar el servicio sea mayor que algún número.
Además de los criterios enumerados, al evaluar la eficacia de los sistemas, indicadores de costos:
– el costo de dar servicio a cada requisito en el sistema;
– el costo de las pérdidas asociadas con la espera por unidad de tiempo;
– el costo de las pérdidas asociadas con la salida de los requisitos del sistema;
es el costo de operación del canal del sistema por unidad de tiempo;
es el costo por unidad de tiempo de inactividad del canal.
Al elegir los parámetros óptimos del sistema para los indicadores económicos, puede usar lo siguiente función de costo de pérdida:
a) para sistemas con espera ilimitada
¿Dónde está el intervalo de tiempo;
b) para sistemas con fallas;
c) para sistemas mixtos.
Las opciones que contemplan la construcción (puesta en marcha) de nuevos elementos del sistema (por ejemplo, canales de servicio) generalmente se comparan a costos reducidos.
Los costos reducidos para cada opción son la suma de los costos actuales (costo) y las inversiones de capital, reducidos a la misma dimensión de acuerdo con el estándar de eficiencia, por ejemplo:
(costos dados por año);
(costos dados para el período de recuperación),
donde - costos actuales (costo) para cada opción, p.;
- coeficiente normativo de la industria de la eficiencia económica de las inversiones de capital (normalmente = 0,15 - 0,25);
– inversiones de capital para cada opción, pág.;
es el período estándar de recuperación de las inversiones de capital, años.
La expresión es la suma de los costos corrientes y de capital durante un período determinado. Se les llama dado, ya que se refieren a un período de tiempo fijo (en este caso, al período de recuperación estándar).
Los indicadores y pueden usarse tanto en forma de la suma de las inversiones de capital y el costo de los productos terminados, como en la forma inversiones de capital específicas por unidad de producción y costo unitario de producción.
Para describir un proceso aleatorio que ocurre en un sistema con estados discretos, a menudo se usan las probabilidades de estado, donde es la probabilidad de que en ese momento el sistema esté en el estado.
Es obvio que .
Si un proceso que ocurre en un sistema con estados discretos y tiempo continuo es markoviano, entonces para las probabilidades de los estados es posible componer un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de Kolmogorov.
Si hay un gráfico de estados etiquetado (Fig. 4.3) (aquí, encima de cada flecha que va de estado a estado, se indica la intensidad del flujo de eventos, transfiriendo el sistema de estado a estado a lo largo de esta flecha), entonces el sistema de ecuaciones diferenciales para probabilidades se puede escribir inmediatamente usando el siguiente simple regla.
En el lado izquierdo de cada ecuación hay una derivada, y en el lado derecho hay tantos términos como las flechas están directamente relacionadas con este estado; si la flecha apunta en
Si todos los flujos de eventos que transfieren el sistema de un estado a otro son estacionarios, el número total de estados es finito y no hay estados sin salida, entonces el modo límite existe y se caracteriza por probabilidades marginales .
Formulación del problema. En la entrada norte-channel QS recibe el flujo más simple de solicitudes con densidad λ. La densidad del flujo de servicio más simple de cada canal es igual a μ. Si la solicitud de servicio recibida encuentra todos los canales libres, entonces se acepta para el servicio y se atiende simultáneamente yo canales ( yo < norte). En este caso, el flujo de servicio de una solicitud tendrá una intensidad yo.
Si una solicitud de servicio recibida encuentra una solicitud en el sistema, entonces norte ≥ 2yo la solicitud recién llegada será aceptada para el servicio y será atendida simultáneamente yo canales
Si una solicitud recibida para el servicio encuentra en el sistema i aplicaciones ( i= 0,1, ...), mientras que ( i+ 1)yo≤ norte, entonces la solicitud recibida será atendida yo canales con una capacidad total yo. Si una solicitud recién recibida encuentra en el sistema j solicitudes, y dos desigualdades se satisfacen simultáneamente: ( j + 1)yo > norte y j < norte, entonces la solicitud será aceptada para el servicio. En este caso, algunas aplicaciones pueden ser servidas yo canales, la otra parte más pequeña que yo, número de canales, pero todos norte canales que se distribuyen aleatoriamente entre las aplicaciones. Si se encuentra una solicitud recién recibida en el sistema norte solicitudes, es rechazada y no será notificada. Una aplicación que ha sido atendida se atiende hasta el final (las aplicaciones son "paciente").
El gráfico de estado de dicho sistema se muestra en la Fig. 3.8.
Arroz. 3.8. Gráfico de estado QS con fallas y parcial
asistencia mutua entre canales
Tenga en cuenta que el gráfico de estado del sistema hasta el estado X h coincide con el gráfico de estado del sistema clásico de colas con fallas, mostrado en la Fig. 2, hasta la notación de los parámetros de flujo. 3.6.
Por lo tanto,
(i
= 0, 1, ..., h).
Gráfico de estados del sistema, a partir del estado X h y terminando con el estado X norte, coincide hasta la notación con el gráfico de estado de QS con asistencia mutua completa, que se muestra en la Fig. 3.7. Por lo tanto,
.
Introducimos la notación λ / yoμ = ρ yo ; λ / norteμ = χ, entonces
Teniendo en cuenta la condición normalizada, obtenemos
Para acortar aún más la notación, introducimos la notación
Encuentre las características del sistema.
Probabilidad de servicio de aplicación
El número promedio de solicitudes en el sistema,
Canales promedio ocupados
.
Probabilidad de que un canal en particular esté ocupado
.
La probabilidad de ocupación de todos los canales del sistema.
3.4.4. Sistemas de colas con fallas y flujos no homogéneos
Formulación del problema. En la entrada norte-el canal QS recibe un flujo elemental no homogéneo con una intensidad total λ Σ , y
λ Σ
=
,
donde λ i- la intensidad de las aplicaciones en i-m fuente.
Dado que el flujo de solicitudes se considera como una superposición de requisitos de varias fuentes, el flujo combinado con suficiente precisión para la práctica puede considerarse Poisson para norte = 5...20 y λ i ≈ λ i +1 (i1,norte). La intensidad de servicio de un dispositivo se distribuye según la ley exponencial y es igual a μ = 1/ t. Los dispositivos de servicio para el servicio de una aplicación se conectan en serie, lo que equivale a aumentar el tiempo de servicio tantas veces como dispositivos se combinen para el servicio:
t obs = kt, μ obs = 1 / kt = μ/ k,
donde t obs – tiempo de solicitud de servicio; k- el número de dispositivos de servicio; μ obs: la intensidad del servicio de la aplicación.
Dentro del marco de las suposiciones hechas en el Capítulo 2, representamos el estado QS como un vector, donde k metro es el número de solicitudes en el sistema, cada una de las cuales es atendida metro accesorios; L = q max- q min +1 es el número de flujos de entrada.
Luego el número de dispositivos ocupados y libres ( norte zan ( 
),norte sv ( 
)) en condicion 
se define de la siguiente manera:
Fuera del estado 
el sistema puede ir a cualquier otro estado 
. Dado que el sistema tiene L flujos de entrada, entonces desde cada estado es potencialmente posible L transiciones directas. Sin embargo, debido a los recursos limitados del sistema, no todas estas transiciones son factibles. Deje que el QS esté en el estado 
y llega una solicitud que requiere metro accesorios. si un metro≤ norte sv ( 
), luego se acepta la solicitud de servicio y el sistema pasa a un estado con intensidad λ metro. Si la aplicación requiere más dispositivos que los gratuitos, recibirá una denegación de servicio y el QS permanecerá en el estado 
. si puedo 
hay aplicaciones que requieren metro dispositivos, entonces cada uno de ellos es atendido con intensidad metro, y la intensidad total del servicio de dichas solicitudes (μ metro) se define como μ metro
= k metro μ
/ metro. Cuando se completa el servicio de una de las solicitudes, el sistema pasará a un estado en el que la coordenada correspondiente tiene un valor uno menos que en el estado 
,
=, es decir se producirá una transición inversa. En la fig. 3.9 muestra un ejemplo de un modelo vectorial QS para norte
= 3, L
= 3, q mín = 1, q máx=3, PAG(metro) = 1/3, λ Σ = λ, la intensidad de mantenimiento del instrumento es μ.
Arroz. 3.9. Un ejemplo de un gráfico de modelo vectorial QS con denegación de servicio
Entonces cada estado 
caracterizado por el número de solicitudes atendidas de un determinado tipo. Por ejemplo, en un estado 
un reclamo es atendido por un dispositivo y un reclamo por dos dispositivos. En este estado, todos los dispositivos están ocupados, por lo tanto, solo son posibles las transiciones inversas (la llegada de cualquier cliente en este estado provoca una denegación de servicio). Si el servicio de la solicitud del primer tipo terminó antes, el sistema cambiará al estado 
(0,1,0) con intensidad μ, pero si el servicio del segundo tipo de solicitud terminó antes, entonces el sistema pasará al estado 
(0,1,0) con intensidad μ/2.
Se compila un sistema de ecuaciones algebraicas lineales a partir del gráfico de estados con intensidades de transición aplicadas. A partir de la solución de estas ecuaciones, se encuentran las probabilidades R(
), mediante el cual se determina la característica QS.
Considere encontrar R otk (probabilidad de denegación de servicio).
,
donde S es el número de estados del gráfico del modelo vectorial QS; R(
) es la probabilidad de que el sistema se encuentre en el estado 
.
El número de estados según se define de la siguiente manera:
,
(3.22)
;
Determinemos el número de estados del modelo vectorial QS según (3.22) para el ejemplo que se muestra en la Fig. 3.9.
.
Por lo tanto, S = 1 + 5 + 1 = 7.
Para implementar los requisitos reales para los dispositivos de servicio, un número suficientemente grande de norte
(40, ..., 50), y las solicitudes de la cantidad de dispositivos de servicio de la aplicación en la práctica se encuentran en el rango de 8 a 16. Con tal proporción de instrumentos y solicitudes, la forma propuesta de encontrar las probabilidades se vuelve extremadamente engorrosa, ya que El modelo vectorial QS tiene una gran cantidad de estados S(50)
= 1790, S(60)
= 4676, S(70) = 11075, y el tamaño de la matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones algebraicas es proporcional al cuadrado S, que requiere una gran cantidad de memoria de computadora y una cantidad significativa de tiempo de computadora. El deseo de reducir la cantidad de cómputo estimuló la búsqueda de posibilidades computacionales recurrentes. R(
) basado en formas multiplicativas de representación de probabilidades de estado. El artículo presenta una aproximación al cálculo R(
):
(3.23)
El uso del criterio de equivalencia de los balances global y detallado de las cadenas de Markov propuesto en el trabajo permite reducir la dimensión del problema y realizar cálculos en una computadora de mediana potencia utilizando la recurrencia de cálculos. Además, existe la posibilidad:
– calcular para cualquier valor norte;
– acelerar el cálculo y reducir el coste del tiempo de máquina.
Otras características del sistema se pueden definir de manera similar.
sistema de ecuaciones
QS con fallas para un número aleatorio de flujos de servicio es un modelo vectorial para flujos de Poisson. Gráfico, sistema de ecuaciones.
Representemos QS como un vector, donde km es el número de solicitudes en el sistema, cada una de las cuales es atendida metro accesorios; L= q max- q min +1 es el número de flujos de entrada.
Si se acepta la solicitud de servicio y el sistema pasa a un estado con intensidad λ metro.
Cuando se completa el servicio de una de las solicitudes, el sistema pasará a un estado en el que la coordenada correspondiente tiene un valor uno menos que en el estado , = , es decir se producirá una transición inversa.
Un ejemplo de un modelo vectorial QS para norte = 3, L = 3, q mín = 1, q máx=3, PAG(metro) = 1/3, λ Σ = λ, la intensidad de mantenimiento del instrumento es μ.
Se compila un sistema de ecuaciones algebraicas lineales a partir del gráfico de estados con intensidades de transición aplicadas. A partir de la solución de estas ecuaciones, se encuentran las probabilidades R(), mediante el cual se determinan las características QS.
QS con una cola infinita para flujos de Poisson. Gráfico, sistema de ecuaciones, razones calculadas.
Gráfico del sistema
sistema de ecuaciones
Donde norte– número de canales de servicio, yo– número de canales de asistencia mutua
QS con cola infinita y asistencia mutua parcial para flujos arbitrarios. Gráfico, sistema de ecuaciones, razones calculadas.
Gráfico del sistema
sistema de ecuaciones
–λ R 0 + norteμ R 1 =0,
.………………
–(λ + norteμ) Paquete+ λ Paquete –1 + norteμ Paquete +1 =0 (k = 1,2, ... , norte–1),
……………....
-(λ+ norteμ) Pn+ λ Pn –1 + norteμ Pn+1=0,
……………….
-(λ+ norteμ) Pn+j+ λ n+j –1 + norteμ n+j+1=0, j=(1,2,….,∞)
QS con cola infinita y asistencia mutua completa para flujos arbitrarios. Gráfico, sistema de ecuaciones, razones calculadas.
Gráfico del sistema
|
sistema de ecuaciones
QS con una cola finita para flujos de Poisson. Gráfico, sistema de ecuaciones, razones calculadas.
Gráfico del sistema
sistema de ecuaciones
Relaciones de diseño:
,