Las derivadas parciales de funciones de varias variables son funciones de las mismas variables. Estas funciones, a su vez, pueden tener derivadas parciales, a las que llamaremos segundas derivadas parciales (o derivadas parciales de segundo orden) de la función original.

Entonces, por ejemplo, una función de dos variables tiene cuatro derivadas parciales de segundo orden, que se definen y denotan de la siguiente manera:

Una función de tres variables tiene nueve derivadas parciales de segundo orden:

De manera similar, las derivadas parciales de tercer y mayor orden de una función de varias variables se definen y denotan: la derivada parcial de orden de una función de varias variables es la derivada parcial de primer orden de la derivada parcial de orden de la misma función.

Por ejemplo, la derivada parcial de tercer orden de una función es la derivada parcial de primer orden con respecto a y de la derivada parcial de segundo orden

Una segunda derivada parcial o superior tomada con respecto a varias variables diferentes se denomina derivada parcial mixta.

Por ejemplo, derivadas parciales

son derivadas parciales mixtas de una función de dos variables.

Ejemplo. Encontrar derivadas parciales mixtas de segundo orden de una función

Solución. Hallar derivadas parciales de primer orden

Luego encontramos las derivadas parciales mixtas de segundo orden

Vemos que las derivadas parciales mixtas y que difieren solo en el orden de diferenciación, es decir, en la secuencia en que se realiza la diferenciación con respecto a varias variables, resultaron ser idénticamente iguales. Este resultado no es casual. En cuanto a las derivadas parciales mixtas, se cumple el siguiente teorema, que aceptamos sin demostración.

Continuamos con el tema favorito del análisis matemático: las derivadas. En este artículo, aprenderemos cómo encontrar derivadas parciales de una función de tres variables: primeras derivadas y segundas derivadas. ¿Qué necesitas saber y poder dominar el material? No lo crea, pero, en primer lugar, debe poder encontrar las derivadas "ordinarias" de una función de una variable, en un nivel alto o al menos promedio. Si es muy difícil con ellos, entonces comience con una lección ¿Cómo encontrar la derivada? En segundo lugar, es muy importante leer el artículo y comprender y resolver, si no todos, la mayoría de los ejemplos. Si esto ya se ha hecho, entonces camine conmigo con paso seguro, será interesante, ¡incluso obtendrá placer!

Métodos y principios de búsqueda. derivadas parciales de una función de tres variables son en realidad muy similares a las funciones derivadas parciales de dos variables. La función de dos variables, les recuerdo, tiene la forma , donde "x" e "y" son variables independientes. Geométricamente, una función de dos variables es una cierta superficie en nuestro espacio tridimensional.

La función de tres variables tiene la forma , mientras que las variables se llaman independienteVariables o argumentos, la variable se llama variable dependiente o función. Por ejemplo: - una función de tres variables

Y ahora un poco sobre películas de ciencia ficción y extraterrestres. A menudo escuchas sobre 4D, 5D, 10D, etc. espacios. ¿Tonterías o no?
Después de todo, la función de tres variables implica el hecho de que todas las cosas tienen lugar en un espacio de cuatro dimensiones (de hecho, hay cuatro variables). La gráfica de una función de tres variables es la llamada hipersuperficie. Es imposible imaginarlo, ya que vivimos en un espacio tridimensional (largo/ancho/alto). Para que no te aburras conmigo, te ofrezco un cuestionario. Haré unas cuantas preguntas, y quienes lo deseen pueden intentar responderlas:

- ¿Hay un cuarto, quinto, etc. en el mundo? medidas en el sentido de la comprensión filistea del espacio (largo/ancho/alto)?

- ¿Es posible construir un edificio de cuatro dimensiones, cinco dimensiones, etc. espacio en el sentido amplio de la palabra? Es decir, dar un ejemplo de tal espacio en nuestra vida.

¿Es posible viajar al pasado?

¿Es posible viajar al futuro?

- ¿Existen los extraterrestres?

Para cualquier pregunta, puede elegir una de las cuatro respuestas:
Sí / No (la ciencia lo prohíbe) / La ciencia no lo prohíbe / No sé

Quien responda todas las preguntas correctamente, lo más probable es que posea algo ;-)

Poco a poco daré respuestas a las preguntas durante la lección, ¡no te saltes los ejemplos!

En realidad, volaron. Y ahora las buenas noticias: para una función de tres variables son válidas las reglas de derivación y la tabla de derivadas. Es por eso que debe ser bueno en la gestión de lo "ordinario" derivadas de funciones una variable ¡Hay muy pocas diferencias!

Ejemplo 1

Solución: Es fácil adivinar que para una función de tres variables hay Tres derivadas parciales de primer orden, que se denotan como sigue:

O - derivada parcial de "x";
o - derivada parcial con respecto a "y";
o - derivada parcial con respecto a "z".

La notación con un trazo está más en uso, pero a los compiladores de colecciones, manuales en las condiciones de las tareas les gusta mucho usar notaciones engorrosas, ¡así que no se pierda! Quizás no todo el mundo sepa leer en voz alta estas "terribles fracciones" correctamente. Ejemplo: debe leerse así: “de u po de x”.

Comencemos con la derivada de x: . Cuando encontramos la derivada parcial con respecto a , entonces las variables y se consideran constantes (números constantes). Y la derivada de cualquier constante, oh, gracia, es igual a cero:

Inmediatamente preste atención al subíndice: nadie le prohíbe marcar que son constantes. Es aún más conveniente, recomiendo que los principiantes usen ese registro, hay menos riesgo de confusión.

(1) Usamos las propiedades de la linealidad de la derivada, en particular, sacamos todas las constantes del signo de la derivada. Tenga en cuenta que en el segundo término, no es necesario quitar la constante: dado que "y" es una constante, entonces también es una constante. En el término, la constante "habitual" 8 y la constante "zet" se eliminan del signo de la derivada.

(2) Encontramos las derivadas más simples, sin olvidar que son constantes. Luego, peina la respuesta.

Derivada parcial . Cuando encontramos la derivada parcial con respecto a "y", entonces las variables y se consideran constantes:

(1) Usamos las propiedades de linealidad. Y nuevamente, tenga en cuenta que los términos son constantes, lo que significa que no es necesario quitar nada para el signo de la derivada.

(2) Hallamos las derivadas, sin olvidar las constantes. Simplifiquemos la respuesta.

Y finalmente, la derivada parcial. Cuando encontramos la derivada parcial con respecto a "z", entonces las variables y se consideran constantes:

Regla general obvio y sin pretensiones: Cuando encontramos la derivada parcialpara cualquier variable independiente, entoncesotros dos las variables independientes se consideran constantes.

Al diseñar estas tareas, debe tener mucho cuidado, en particular, no puedo perder subíndices(que indican sobre qué variable se realiza la diferenciación). La pérdida del índice será una GRAN FALLA. Mmm…. es gracioso si, después de tal intimidación, yo mismo los extrañaré en alguna parte)

Ejemplo 2

Hallar derivadas parciales de primer orden de una función de tres variables

Este es un ejemplo de bricolaje. Solución completa y respuesta al final de la lección.

Los dos ejemplos considerados son bastante simples y, habiendo resuelto varios problemas similares, incluso una tetera se adaptará para reprimirlos verbalmente.

Para descargar, volvamos a la primera pregunta del quiz: ¿Hay un cuarto, quinto, etc. en el mundo? medidas en el sentido de la comprensión filistea del espacio (largo/ancho/alto)?

Respuesta correcta: La ciencia no lo prohíbe.. Todas las axiomáticas matemáticas fundamentales, los teoremas, los aparatos matemáticos son hermosos y coherente trabajo en el espacio de cualquier dimensión. Es posible que en algún lugar del Universo existan hipersuperficies que no estén sujetas a nuestra mente, por ejemplo, una hipersuperficie tetradimensional, que viene dada por una función de tres variables. O tal vez hay hipersuperficies a nuestro lado o incluso estamos justo en ellas, solo nuestra visión, otros órganos de los sentidos, la conciencia son capaces de percibir y comprender solo tres dimensiones.

Volvamos a los ejemplos. Sí, si alguien está muy cargado con una prueba, es mejor leer las respuestas a las siguientes preguntas después de aprender a encontrar las derivadas parciales de una función de tres variables, de lo contrario, le sacaré todo el cerebro en el curso del artículo =)

Además de los Ejemplos 1,2 más simples, en la práctica hay tareas que pueden llamarse un pequeño rompecabezas. Dichos ejemplos, para mi molestia, se perdieron de vista cuando creé la lección. Derivadas parciales de funciones de dos variables. Recuperar el tiempo perdido:

Ejemplo 3

Solución: Parece ser que “todo es simple”, pero la primera impresión es engañosa. Al encontrar derivadas parciales, muchos adivinarán sobre el café molido y cometerán errores.

Analicemos el ejemplo de manera consistente, clara y clara.

Comencemos con la derivada parcial con respecto a x. Cuando encontramos la derivada parcial con respecto a "x", entonces las variables se consideran constantes. Por lo tanto, el índice de nuestra función también es una constante. Para tontos, recomiendo la siguiente solución: en el borrador, cambie la constante a un número entero positivo específico, por ejemplo, a "cinco". El resultado es una función de una variable:
o también puedes escribirlo así:

eso energía función con base compleja (seno). Por :

Ahora recuerda que, por lo tanto:

En una copia limpia, por supuesto, la solución debe redactarse así:

Encontramos la derivada parcial con respecto a "y", se consideran constantes. Si "x" es una constante, entonces también es una constante. En el borrador, hacemos el mismo truco: reemplazamos, por ejemplo, con 3, "Z"; lo reemplazaremos con el mismo "cinco". El resultado es nuevamente una función de una variable:

eso demostración Función con exponente complejo. Por la regla de diferenciación de una función compleja:

Ahora recuerda nuestro reemplazo:

De este modo:

En una copia limpia, por supuesto, el diseño debería verse bien:

Y un caso espejo con una derivada parcial con respecto a "z" (- constantes):

Con algo de experiencia, el análisis puede llevarse a cabo mentalmente.

Realizamos la segunda parte de la tarea: componemos un diferencial de primer orden. Es muy simple, por analogía con una función de dos variables, el diferencial de primer orden se escribe mediante la fórmula:

En este caso:

Y negocios entonces. Observo que en problemas prácticos, se requiere compilar la diferencial completa de primer orden de una función de tres variables con mucha menos frecuencia que para una función de dos variables.

Un ejemplo divertido para una solución de bricolaje:

Ejemplo 4

Encuentre derivadas parciales de primer orden de una función de tres variables y haga un diferencial total de primer orden

Solución completa y respuesta al final de la lección. Si tiene alguna dificultad, use el algoritmo "chainikov" considerado, está garantizado que ayudará. Y otro consejo útil: no te apures. Tales ejemplos no son resueltos rápidamente ni siquiera por mí.

Hacemos una digresión y analizamos la segunda pregunta: ¿Es posible construir un edificio de cuatro dimensiones, de cinco dimensiones, etc. espacio en el sentido amplio de la palabra? Es decir, dar un ejemplo de tal espacio en nuestra vida.

Respuesta correcta: Sí. Y es muy fácil. Por ejemplo, agregamos una cuarta dimensión a la longitud/anchura/altura - tiempo. El popular espacio-tiempo tetradimensional y la conocida teoría de la relatividad sustraídas cuidadosamente por Einstein a Lobachevsky, Poincaré, Lorentz y Minkowski. No todo el mundo lo sabe tampoco. ¿Por qué recibió Einstein el premio Nobel? Hubo un terrible escándalo en el mundo científico, y el Comité Nobel formuló el mérito del plagiario de la siguiente manera: "Por la contribución general al desarrollo de la física". Eso es todo. La marca de grado C de Einstein es pura promoción y relaciones públicas.

Es fácil agregar una quinta dimensión al espacio tetradimensional considerado, por ejemplo: la presión atmosférica. Y así sucesivamente, así sucesivamente, tantas dimensiones establezca en su modelo, habrá tantas. En el sentido amplio de la palabra, vivimos en un espacio multidimensional.

Veamos un par de tareas típicas más:

Ejemplo 5

Hallar derivadas parciales de primer orden en un punto

Solución: Una tarea en esta formulación se encuentra a menudo en la práctica e implica las siguientes dos acciones:
– necesitas encontrar derivadas parciales de primer orden;
– necesitas calcular los valores de las derivadas parciales de primer orden en el punto .

Nosotros decidimos:

(1) Tenemos una función compleja, y el primer paso es tomar la derivada del arco tangente. Al hacerlo, de hecho, usamos tranquilamente la fórmula tabular para la derivada del arco tangente. Por la regla de diferenciación de una función compleja el resultado debe multiplicarse por la derivada de la función interna (incrustación): .

(2) Usamos las propiedades de linealidad.

(3) Y sacamos las restantes derivadas, sin olvidar que son constantes.

De acuerdo con la condición de asignación, es necesario encontrar el valor de la derivada parcial encontrada en el punto . Sustituye las coordenadas del punto en la derivada encontrada:

La ventaja de esta tarea es el hecho de que otras derivadas parciales se encuentran de manera muy similar:

Como puede ver, la plantilla de solución es casi la misma.

Calculemos el valor de la derivada parcial encontrada en el punto:

Y finalmente, la derivada con respecto a "z":

Listo. La solución también podría formularse de otra manera: primero, encuentre las tres derivadas parciales y luego calcule sus valores en el punto. Pero, me parece, el método anterior es más conveniente: simplemente encontraron la derivada parcial e inmediatamente, sin salir de la caja registradora, calcularon su valor en un punto.

Es interesante notar que, geométricamente, un punto es un punto muy real en nuestro espacio tridimensional. Los valores de la función, las derivadas ya son la cuarta dimensión, y nadie sabe dónde se ubica geométricamente. Como dicen, nadie se arrastró por el Universo con una cinta métrica, no lo comprobó.

Una vez que el tema filosófico ha desaparecido, consideremos la tercera pregunta: ¿Es posible viajar al pasado?

Respuesta correcta: No. Viajar al pasado contradice la segunda ley de la termodinámica sobre la irreversibilidad de los procesos físicos (entropía). Por lo tanto, no se sumerja en una piscina sin agua, el evento solo se puede reproducir en el video =) La sabiduría popular ha ideado la ley mundana opuesta por una razón: "Mide siete veces, corta una". Aunque, de hecho, algo triste, el tiempo es unidireccional e irreversible, ninguno de nosotros parecerá más joven mañana. Y varias películas de ciencia ficción como "Terminator" desde un punto de vista científico son una completa tontería. También es absurdo desde el punto de vista de la filosofía, cuando la Consecuencia, volviendo al pasado, puede destruir su propia Causa. .

Más interesante con la derivada con respecto a "z", aunque sigue siendo casi lo mismo:

(1) Sacamos las constantes del signo de la derivada.

(2) Aquí nuevamente el producto de dos funciones, cada uno de los cuales depende de la variable "en vivo" "z". En principio, puedes usar la fórmula para la derivada de un cociente, pero es más fácil hacerlo al revés: encontrar la derivada del producto.

(3) Una derivada es una derivada tabular. El segundo término contiene la ya conocida derivada de una función compleja.

Ejemplo 9

Hallar derivadas parciales de primer orden de una función de tres variables

Este es un ejemplo de bricolaje. Piensa en cómo es más racional encontrar una u otra derivada parcial. Solución completa y respuesta al final de la lección.

Antes de pasar a los ejemplos finales de la lección y considerar derivadas parciales de segundo orden funciones de tres variables, una vez más animaré a todos con la cuarta pregunta:

¿Es posible viajar al futuro?

Respuesta correcta: La ciencia no lo prohíbe.. Paradójicamente, no existe ninguna ley matemática, física, química o de otras ciencias naturales que prohíba viajar al futuro. ¿Parece una tontería? Pero casi todos en la vida tuvieron una premonición (y no respaldada por ningún argumento lógico) de que sucedería tal o cual evento. ¡Y sucedió! ¿De dónde vino la información? ¿Desde el futuro? Por lo tanto, las películas fantásticas sobre viajes al futuro y, por cierto, las predicciones de todo tipo de adivinos, los psíquicos no pueden llamarse tonterías. Al menos, la ciencia no ha refutado esto. ¡Todo es posible! Entonces, cuando estaba en la escuela, los CD y los monitores de pantalla plana de las películas me parecían una fantasía increíble.

La conocida comedia "Ivan Vasilyevich Changes His Profession" es mitad ficción (como máximo). Ninguna ley científica prohibía que Iván el Terrible estuviera en el futuro, pero es imposible que dos pimientos estén en el pasado y desempeñen los deberes de un rey.

El concepto de una función de muchas variables.

Sean n-variables ya cada x 1, x 2 ... x n de un cierto conjunto x se le asigna una definición. el número Z, luego en el conjunto x se da la función Z \u003d f (x 1, x 2 ... x n) de muchas variables.

X - área de funciones definidas

x 1, x 2 ... x n - variable independiente (argumentos)

Z - función Ejemplo: Z \u003d P x 2 1 * x 2 (Volumen del cilindro)

Considere Z \u003d f (x; y) - f-ción de 2 variables x (x 1, x 2 reemplazadas por x, y). Los resultados se transfieren por analogía a otras funciones de muchas variables. El área de definición de la función de 2 variables es toda la cuerda del cuadrado (ooh) o parte de él. Mn-en el valor de la función th de 2 variables - la superficie en un espacio tridimensional.

Técnicas de construcción de grafos: - Sección Rassm-t sobre la superficie del cuadrado || cuadrados coordinados.

Ejemplo: x \u003d x 0, zn. cuadrado X || 0yz y \u003d y 0 0xz Tipo de función: Z \u003d f (x 0, y); Z=f(x, y 0)

Por ejemplo: Z=x 2 +y 2 -2y

Z= x 2 +(y-1) 2 -1 x=0 Z=(y-1) 2 -1 y=1 Z= x 2 -1 Z=0 x 2 +(y-1) 2 -1

Círculo de parábola (centro (0; 1)

Límites y continuidad de funciones de dos variables

Sea Z = f (x; y), entonces A es el límite de la f-ción en m (x 0, y 0), si para cualquier put arbitrariamente pequeño. número E>0 sustantivo-t número positivo b>0, que para todo x,y que satisface |x-x 0 |<б; |y-y 0 |<б выполняется нерав-во |f(x,y)-A|

Z \u003d f (x; y) es continuo en t (x 0, y 0), si: - está definido en este t .; - tiene un finito límite en x, tendiendo a x 0 yy a y 0; - este límite = valor

funciones en t (x 0, y 0), es decir límf (x; y) \u003d f (x 0, y 0)

Si la función es continua en cada uno. t.mn-va X, entonces es continuo en esta área

Función diferencial, su geosignificado. El uso de dif-la en valores aproximados.

dy=f’(x)∆x – función diferencial

dy=dx, es decir dy=f '(x)dx si y=x

Desde el punto de vista de un geólogo, una función diferencial es un incremento en la ordenada de la tangente trazada a la gráfica de la función en un punto con la abscisa x 0

Dif-l se utiliza en el cálculo de aprox. valores de función según la fórmula: f(x 0 +∆x)~f(x 0)+f’(x 0)∆x

Cuanto más cerca esté ∆x de x, más preciso será el resultado.

Derivadas parciales de primer y segundo orden

Derivada de primer orden (que se llama privada)

A. Sean x, y los incrementos de las variables independientes x e y en algún punto de la región X. Entonces el valor igual a z = f(x + x, y + y) = f(x, y) se llama incremento total en el punto x 0, y 0. Si la variable x es fija y la variable y se incrementa en y, entonces obtenemos zу = f(x, y, + y) – f(x, y)

La derivada parcial de la variable y se define de manera similar, es decir,

La derivada parcial de una función de 2 variables se calcula siguiendo las mismas reglas que para las funciones de una variable.

La diferencia es que al derivar una función con respecto a la variable x, y se considera const, y al derivar con respecto a y, x se considera const.

Las constantes aisladas están conectadas a la función con operaciones de suma/resta.

Las constantes asociadas están conectadas a la función con operaciones de multiplicación/división.

Derivada de constante aislada = 0

1.4.Diferencial total de una función de 2 variables y sus aplicaciones

Sea z = f(x,y), entonces

tz = - se llama un incremento completo

Derivada parcial de segundo orden

Para funciones continuas de 2 variables, las derivadas parciales mixtas de 2º orden y coinciden.

El uso de derivadas parciales para determinar las derivadas parciales de funciones máximas y mínimas se denomina extremos.

A. Los puntos se denominan max o min z = f(x,y) si hay algunos segmentos tales que para todo x e y de esta vecindad f(x,y)

T. Si se da un punto extremo de una función de 2 variables, entonces el valor de las derivadas parciales en este punto es igual a 0, es decir ,

Los puntos en los que las derivadas parciales de primer orden se denominan estacionarias o críticas.

Por lo tanto, para encontrar los puntos extremos de una función de 2 variables, se utilizan condiciones extremas suficientes.

Sea la función z = f(x,y) dos veces diferenciable, y sea el punto estacionario,

1), y maxA<0, minA>0.

1.4.(*)diferencial completo. El significado geométrico del diferencial. Aplicación del diferencial en cálculos aproximados

O. Sea definida la función y = f(x) en alguna vecindad en los puntos . Una función f(x) se llama diferenciable en un punto si su incremento en este punto , donde se representa en la forma (1)

Donde A es un valor constante independiente de , en un punto fijo x, - infinitamente pequeño en . Una función A relativamente lineal se denomina diferencial de la función f(x) en un punto y se denota por df() o dy.

Por lo tanto, la expresión (1) se puede escribir como ().

La función diferencial en la expresión (1) tiene la forma dy = A . Como cualquier función lineal, se define para cualquier valor mientras que el incremento de la función debe ser considerado solo para aquellos para los cuales + pertenece al dominio de la función f(x).

Para facilitar la notación de la diferencial, el incremento se denota por dx y se denomina diferencial de la variable independiente x. Por lo tanto, el diferencial se escribe como dy = Adx.

Si la función f(x) es diferenciable en cada punto de algún intervalo, entonces su diferencial es una función de dos variables: el punto x y la variable dx:

T. Para que la función y = g(x) sea diferenciable en algún punto, es necesario y suficiente que tenga derivada en ese punto, mientras que

(*)Prueba. Necesitar.

Sea la función f(x) diferenciable en el punto , es decir, . Después

Por lo tanto, la derivada f'() existe y es igual a A. Por lo tanto, dy = f'()dx

Adecuación.

Sea una derivada f'(), es decir = f'(). Entonces la curva y = f(x) es un segmento tangente. Para calcular el valor de una función en un punto x, tome un punto en alguna de sus vecindades, tal que no sea difícil encontrar f() y f'()/

Derivadas parciales de funciones de dos variables.
Concepto y ejemplos de soluciones.

En esta lección, continuaremos familiarizándonos con la función de dos variables y consideraremos, quizás, la tarea temática más común: encontrar derivadas parciales de primer y segundo orden, así como la diferencial total de la función. Los estudiantes a tiempo parcial, por regla general, se enfrentan a derivados parciales en el 1er año en el 2º semestre. Además, según mis observaciones, la tarea de encontrar derivadas parciales casi siempre se encuentra en el examen.

Para estudiar efectivamente el siguiente material, usted necesario ser capaz de encontrar con más o menos confianza las derivadas "habituales" de una función de una variable. Puedes aprender a manejar derivados correctamente en las lecciones ¿Cómo encontrar la derivada? y Derivada de una función compleja. También necesitamos una tabla de derivadas de funciones elementales y reglas de diferenciación, es más conveniente si está a la mano en forma impresa. Puede encontrar material de referencia en la página Fórmulas y tablas matemáticas..

Repitamos rápidamente el concepto de función de dos variables, intentaré limitarme al mínimo. Una función de dos variables generalmente se escribe como , y las variables se llaman variables independientes o argumentos.

Ejemplo: - una función de dos variables.

A veces se utiliza la notación. También hay tareas en las que se usa la letra en lugar de una letra.

Desde un punto de vista geométrico, una función de dos variables suele ser una superficie de un espacio tridimensional (un plano, un cilindro, una bola, un paraboloide, un hiperboloide, etc.). Pero, en realidad, esto ya es más geometría analítica, y tenemos en agenda el análisis matemático, que mi profesor universitario nunca me dejó descartar es mi “caballo”.

Pasamos a la cuestión de encontrar derivadas parciales de primer y segundo orden. Tengo buenas noticias para aquellos de ustedes que han tomado algunas tazas de café y están de humor para material inimaginablemente difícil: las derivadas parciales son casi lo mismo que las derivadas "ordinarias" de una función de una variable.

Para las derivadas parciales son válidas todas las reglas de derivación y la tabla de derivadas de funciones elementales. Solo hay un par de pequeñas diferencias que conoceremos ahora mismo:

... sí, por cierto, para este tema sí creé pequeño libro pdf, que te permitirá "llenarte la mano" en tan solo un par de horas. Pero, al usar el sitio, por supuesto, también obtendrá el resultado, solo que quizás un poco más lento:

Ejemplo 1

Hallar derivadas parciales de primer y segundo orden de una función

Primero, encontramos las derivadas parciales de primer orden. Hay dos de ellos.

Notación:
o - derivada parcial con respecto a "x"
o - derivada parcial con respecto a "y"

Empecemos con . Cuando encontramos la derivada parcial con respecto a "x", entonces la variable se considera una constante (número constante).

Comentarios sobre las acciones tomadas:

(1) Lo primero que hacemos al encontrar la derivada parcial es concluir todos función entre paréntesis debajo del guión con subíndice.

¡Atención importante! Los subíndices NO SE PIERDEN en el transcurso de la solución. En este caso, si dibuja un "trazo" en algún lugar, entonces el maestro, al menos, puede colocarlo al lado de la tarea (inmediatamente muerda parte de la partitura por falta de atención).

(2) Usar las reglas de diferenciación , . Para un ejemplo simple como este, ambas reglas se pueden aplicar en el mismo paso. Fíjate en el primer término: ya que se considera una constante, y cualquier constante se puede sacar del signo de la derivada, luego lo quitamos de los corchetes. Es decir, en esta situación, no es mejor que un número regular. Ahora veamos el tercer término: aquí, por el contrario, no hay nada que sacar. Dado que es una constante, también es una constante, y en este sentido no es mejor que el último término: los "siete".

(3) Usamos derivadas tabulares y .

(4) Simplificamos o, como me gusta decir, "combinamos" la respuesta.

Ahora . Cuando encontramos la derivada parcial con respecto a "y", entonces la variableconsiderado una constante (número constante).

(1) Usamos las mismas reglas de diferenciación , . En el primer término sacamos la constante más allá del signo de la derivada, en el segundo término no se puede sacar nada porque ya es una constante.

(2) Usamos la tabla de derivadas de funciones elementales. Cambia mentalmente en la tabla todo "X" a "Y". Es decir, esta tabla es igualmente válida para (y de hecho para casi cualquier letra). En particular, las fórmulas que usamos se ven así: y .

¿Cuál es el significado de las derivadas parciales?

En esencia, las derivadas parciales de primer orden se parecen a derivada "ordinaria":

- esto es funciones, que caracterizan tasa de cambio funciones en la dirección de los ejes y respectivamente. Así, por ejemplo, la función caracteriza la inclinación de las "subidas" y las "pendientes" superficies en la dirección del eje de abscisas, y la función nos habla del "relieve" de la misma superficie en la dirección del eje de ordenadas.

! Nota : aquí se refiere a direcciones que son paralelos ejes de coordenadas.

Para una mejor comprensión, consideremos un punto específico del plano y calculemos el valor de la función ("altura") en él:
- y ahora imagina que estás aquí (EN LA MISMA superficie).

Calculamos la derivada parcial con respecto a "x" en un punto dado:

El signo negativo de la derivada "X" nos dice acerca de descendiendo funciones en un punto en la dirección del eje x. En otras palabras, si hacemos un pequeño-pequeño (infinitesimal) paso hacia la punta del eje (paralelo a este eje), luego baje la pendiente de la superficie.

Ahora descubrimos la naturaleza del "terreno" en la dirección del eje y:

La derivada con respecto a "y" es positiva, por lo tanto, en un punto del eje, la función aumenta. Si es bastante simple, aquí estamos esperando una subida cuesta arriba.

Además, la derivada parcial en un punto caracteriza tasa de cambio funciones en la dirección correspondiente. Cuanto mayor sea el valor resultante módulo- cuanto más empinada es la superficie, y viceversa, cuanto más cerca está de cero, más plana es la superficie. Entonces, en nuestro ejemplo, la "pendiente" en la dirección del eje de abscisas es más empinada que la "montaña" en la dirección del eje de ordenadas.

Pero esos eran dos caminos privados. Está bastante claro que desde el punto en el que estamos, (y en general desde cualquier punto de la superficie dada) podemos movernos en alguna otra dirección. Por lo tanto, existe un interés en compilar una "carta de navegación" general que nos informe sobre el "paisaje" de la superficie. si es posible en cada punto alcance de esta función en todas las formas disponibles. Hablaré sobre esto y otras cosas interesantes en una de las próximas lecciones, pero por ahora, volvamos al aspecto técnico del problema.

Sistematizamos las reglas elementales aplicadas:

1) Cuando derivamos por , entonces la variable se considera una constante.

2) Cuando la diferenciación se realiza según, entonces se considera una constante.

3) Las reglas y la tabla de derivadas de funciones elementales son válidas y aplicables para cualquier variable (o cualquier otra) respecto de la cual se realice la diferenciación.

Segundo paso. Encontramos derivadas parciales de segundo orden. Hay cuatro de ellos.

Notación:
o - la segunda derivada con respecto a "x"
o - la segunda derivada con respecto a "y"
o - mezclado derivada "x por y"
o - mezclado derivada "Y con X"

No hay problemas con la segunda derivada. En lenguaje sencillo, la segunda derivada es la derivada de la primera derivada.

Por conveniencia, reescribiré las derivadas parciales de primer orden ya encontradas:

Primero encontramos las derivadas mixtas:

Como ves, todo es sencillo: sacamos la derivada parcial y la volvemos a derivar, pero en este caso ya por “y”.

Similarmente:

En ejemplos prácticos, puede centrarse en la siguiente igualdad:

Así, mediante derivadas mixtas de segundo orden, es muy conveniente comprobar si hemos hallado correctamente las derivadas parciales de primer orden.

Encontramos la segunda derivada con respecto a "x".
Sin inventos, tomamos y diferenciarlo por "X" de nuevo:

Similarmente:

Cabe señalar que al encontrar , debe mostrar mayor atención, ya que no hay igualdades milagrosas que las prueben.

Las segundas derivadas también encuentran una amplia aplicación práctica, en particular, se utilizan en el problema de encontrar extremos de una función de dos variables. Pero todo tiene su tiempo:

Ejemplo 2

Calcular las derivadas parciales de primer orden de la función en el punto . Hallar derivadas de segundo orden.

Este es un ejemplo de auto-resolución (respuestas al final de la lección). Si tiene dificultad para diferenciar las raíces, vuelva a la lección ¿Cómo encontrar la derivada? En general, muy pronto aprenderá cómo encontrar derivados similares sobre la marcha.

Llenamos nuestra mano con ejemplos más complejos:

Ejemplo 3

Mira esto . Escriba la diferencial total de primer orden.

Solución: Encontramos derivadas parciales de primer orden:

Preste atención al subíndice: al lado de la "x" no está prohibido escribir entre paréntesis que es una constante. Esta marca puede ser muy útil para los principiantes para facilitar la navegación por la solución.

Más comentarios:

(1) Sacamos todas las constantes fuera del signo de la derivada. En este caso, y , y, por lo tanto, su producto se considera un número constante.

(2) No olvides cómo diferenciar adecuadamente las raíces.

(1) Sacamos todas las constantes del signo de la derivada, en este caso la constante es .

(2) Bajo el primo, tenemos el producto de dos funciones, por lo tanto, necesitamos usar la regla de diferenciación del producto .

(3) No olvides que es una función compleja (aunque la más simple de las complejas). Usamos la regla correspondiente: .

Ahora encontramos derivadas mixtas de segundo orden:

Esto significa que todos los cálculos son correctos.

Escribamos el diferencial total. En el contexto de la tarea bajo consideración, no tiene sentido decir cuál es el diferencial total de una función de dos variables. Es importante que este diferencial muy a menudo necesite ser escrito en problemas prácticos.

Diferencial total de primer orden funciones de dos variables tiene la forma:

En este caso:

Es decir, en la fórmula solo necesita sustituir estúpidamente las derivadas parciales de primer orden ya encontradas. Iconos diferenciales y en esta y otras situaciones similares, si es posible, es mejor escribir en numeradores:

Y a petición reiterada de los lectores, diferencial completo de segundo orden.

Se parece a esto:

CUIDADOSAMENTE encuentre las derivadas de "una sola letra" de segundo orden:

y anote el "monstruo", cuidadosamente "pegando" los cuadrados, el producto y sin olvidar duplicar la derivada mixta:

Está bien si algo parecía difícil, siempre puede volver a las derivadas más tarde, después de aprender la técnica de diferenciación:

Ejemplo 4

Encontrar derivadas parciales de primer orden de una función . Mira esto . Escriba la diferencial total de primer orden.

Considere una serie de ejemplos con funciones complejas:

Ejemplo 5

Hallar derivadas parciales de primer orden de la función.

Solución:

Ejemplo 6

Encontrar derivadas parciales de primer orden de una función .
Anote el diferencial total.

Este es un ejemplo de auto-resolución (respuesta al final de la lección). No publicaré la solución completa porque es bastante simple.

Muy a menudo, todas las reglas anteriores se aplican en combinación.

Ejemplo 7

Encontrar derivadas parciales de primer orden de una función .

(1) Usamos la regla de diferenciar la suma

(2) El primer término en este caso se considera una constante, ya que no hay nada en la expresión que dependa de "x", solo "y". Ya sabes, siempre es bueno cuando una fracción se puede convertir en cero). Para el segundo término, aplicamos la regla de diferenciación de productos. Por cierto, en este sentido, nada cambiaría si se diera una función en su lugar; es importante que aquí el producto de dos funciones, CADA UNO de los cuales depende de "X", y por lo tanto, necesita usar la regla de diferenciación del producto. Para el tercer término, aplicamos la regla de diferenciación de una función compleja.

(1) El primer término tanto en el numerador como en el denominador contiene una "y", por lo tanto, debe usar la regla para diferenciar el cociente: . El segundo término depende SOLO de "x", lo que significa que se considera una constante y se convierte en cero. Para el tercer término, usamos la regla de diferenciación de una función compleja.

Para aquellos lectores que valientemente llegaron casi al final de la lección, les contaré una vieja anécdota de Mekhmatov para la distensión:

Una vez apareció una derivada malvada en el espacio de las funciones y cómo fue a diferenciar a todos. Todas las funciones se dispersan en todas las direcciones, ¡nadie quiere girar! Y solo una función no se escapa por ningún lado. La derivada se acerca y le pregunta:

"¿Por qué no estás huyendo de mí?"

- Ja. Pero no me importa, porque soy "e elevado a x", ¡y no puedes hacerme nada!

A lo que el malvado derivado con una sonrisa insidiosa responde:

- Aquí es donde te equivocas, te diferenciaré por “y”, así que será cero para ti.

Quien entendió el chiste, dominó los derivados, al menos para la "troika").

Ejemplo 8

Encontrar derivadas parciales de primer orden de una función .

Este es un ejemplo de bricolaje. Una solución completa y un ejemplo de diseño del problema se encuentran al final de la lección.

Bueno, eso es casi todo. Finalmente, no puedo evitar complacer a los matemáticos con un ejemplo más. Ni siquiera se trata de aficionados, todos tienen un nivel diferente de formación matemática: hay personas (y no tan raras) a las que les gusta competir con tareas más difíciles. Aunque, el último ejemplo en esta lección no es tan complicado como engorroso en términos de cálculos.

El principio general de encontrar derivadas parciales de segundo orden de una función de tres variables es similar al principio de encontrar derivadas parciales de segundo orden de una función de dos variables.

Para encontrar las derivadas parciales de segundo orden, primero debes encontrar las derivadas parciales de primer orden o, en otra notación:

Hay nueve derivadas parciales de segundo orden.

El primer grupo son las segundas derivadas con respecto a las mismas variables:

O - la segunda derivada con respecto a "x";

O - la segunda derivada con respecto a "y";

O - la segunda derivada con respecto a "z".

El segundo grupo es mezclado derivadas parciales de segundo orden, hay seis de ellas:

O - mezclado derivada "por x y";

O - mezclado derivada "por y x";

O - mezclado derivada "por x z";

O - mezclado derivado "po zet x";

O - mezclado derivada "por juego z";

O - mezclado derivada "po z y".

Como en el caso de una función de dos variables, al resolver problemas, uno puede enfocarse en las siguientes igualdades de derivadas mixtas de segundo orden:

Nota: Estrictamente hablando, este no es siempre el caso. Para la igualdad de las derivadas mixtas, es necesario cumplir el requisito de su continuidad.

Por si acaso, algunos ejemplos de cómo leer esta desgracia en voz alta:

- "dos golpes dos veces al año";

- “cuadrado de dos y po de zet”;

- "dos trazos en x en z";

- “de dos y po de z po de y”.

Ejemplo 10

Encuentre todas las derivadas parciales de primer y segundo orden para una función de tres variables:

.

Solución: Primero, encontramos las derivadas parciales de primer orden:

Tomamos la derivada encontrada

y diferenciarlo por "y":

Tomamos la derivada encontrada

y diferenciarlo por "x":

La igualdad está hecha. Bien.

Nos ocupamos del segundo par de derivadas mixtas.

Tomamos la derivada encontrada

y diferenciarlo por "z":

Tomamos la derivada encontrada

y diferenciarlo por "x":

La igualdad está hecha. Bien.

De manera similar, tratamos con el tercer par de derivadas mixtas:

La igualdad está hecha. Bien.

Después del trabajo realizado, se puede garantizar que, en primer lugar, encontramos correctamente todas las derivadas parciales de primer orden y, en segundo lugar, también encontramos correctamente las derivadas parciales mixtas de segundo orden.

Queda por encontrar tres derivadas parciales más de segundo orden, aquí, para evitar errores, debes concentrarte lo más posible:

Listo. Una vez más, la tarea no es tan difícil como voluminosa. La solución se puede acortar y denominar igualdades de derivadas parciales mixtas, pero en este caso no habrá verificación. Así que es mejor tomarse el tiempo y encontrar todos derivados (además, esto puede ser requerido por el profesor), o, en casos extremos, revisar un borrador.

Ejemplo 11

Encuentre todas las derivadas parciales de primer y segundo orden para una función de tres variables

.

Este es un ejemplo de bricolaje.

Soluciones y respuestas:

Ejemplo 2:Solución:

Ejemplo 4:Solución: Encontremos las derivadas parciales de primer orden.

Componemos el diferencial total de primer orden:

Ejemplo 6:Solución: METRO(1, -1, 0):

Ejemplo 7:Solución: Calculemos las derivadas parciales de primer orden en el puntoMETRO(1, 1, 1):

Ejemplo 9:Solución:

Ejemplo 11:Solución: Encontremos las derivadas parciales de primer orden:

Encontremos las derivadas parciales de segundo orden:

.

Integrales

8.1. Integral indefinida. Ejemplos de soluciones detallados

empecemos a estudiar el tema Integral indefinida", y también analice en detalle ejemplos de soluciones a las integrales más simples (y no del todo). Como de costumbre, nos limitaremos a la teoría mínima que se encuentra en numerosos libros de texto, nuestra tarea es aprender a resolver integrales.

¿Qué necesitas saber para dominar con éxito el material? Para hacer frente al cálculo integral, debe poder encontrar derivadas, al menos a un nivel promedio. No será una experiencia superflua si tiene varias docenas, o mejor, cien derivados encontrados de forma independiente detrás de usted. Como mínimo, no debe confundirse con la tarea de diferenciar las funciones más simples y más comunes.

Parecería, ¿dónde están las derivadas, si estamos hablando de integrales en el artículo? Y aquí está la cosa. El hecho es que encontrar derivadas y encontrar integrales indefinidas (derivación e integración) son dos acciones mutuamente inversas, como la suma / resta o la multiplicación / división. Por lo tanto, sin una habilidad y algún tipo de experiencia en la búsqueda de derivados, desafortunadamente, uno no puede avanzar más.

En este sentido, necesitaremos los siguientes materiales metodológicos: tabla de derivadas y tabla de integrales.

¿Cuál es la dificultad de estudiar integrales indefinidas? Si en las derivadas hay estrictamente 5 reglas de diferenciación, una tabla de derivadas y un algoritmo de acciones bastante claro, entonces en las integrales todo es diferente. Hay docenas de métodos y técnicas de integración. Y, si el método de integración se eligió inicialmente incorrectamente (es decir, no sabe cómo resolverlo), entonces la integral puede literalmente "pincharse" literalmente durante días, como un acertijo real, tratando de notar varios trucos y trucos. . A algunos incluso les gusta.

Por cierto, con bastante frecuencia escuchamos de estudiantes (no de humanidades) una opinión como: "Nunca me ha interesado resolver el límite o la derivada, pero las integrales son un asunto completamente diferente, es emocionante, siempre hay un deseo de " romper "una integral compleja". Deténgase. Basta de humor negro, pasemos a estas integrales muy indefinidas.

Dado que hay muchas formas de resolver, ¿dónde comienza una tetera a estudiar integrales indefinidas? En cálculo integral, en nuestra opinión, hay tres pilares o una especie de "eje" alrededor del cual gira todo lo demás. En primer lugar, debe comprender bien las integrales más simples (este artículo).

Entonces necesitas resolver la lección en detalle. ¡ESTA ES LA RECEPCIÓN MÁS IMPORTANTE! Quizás incluso el artículo más importante de todos los artículos dedicados a las integrales. Y en tercer lugar, asegúrese de leer integración por partes, porque integra una amplia clase de funciones. Si domina al menos estas tres lecciones, entonces ya hay "no dos". Puedes ser perdonado por no saber integrales de funciones trigonométricas, integrales de fracciones, integrales de funciones racionales fraccionarias, integrales de funciones irracionales (raíces), pero si "se mete en un charco" con el método de reemplazo o el método de integración por partes, entonces será muy, muy malo.

Entonces, comencemos de manera simple. Veamos la tabla de integrales. Como en las derivadas, notamos varias reglas de integración y una tabla de integrales de algunas funciones elementales. Cualquier integral tabular (y de hecho cualquier integral indefinida) tiene la forma:

Vayamos directamente a la notación y los términos:

- icono integral.

- función integrando (escrita con la letra "s").

– icono de diferencial. Lo que es, lo consideraremos muy pronto. Lo principal es que al escribir la integral y durante la solución, es importante no perder este icono. Habrá un defecto notable.

es el integrando o "relleno" de la integral.

– antiderivada función.

– . No hay necesidad de estar muy cargado de términos, lo más importante aquí es que en cualquier integral indefinida, se agrega una constante a la respuesta.

Resolver una integral indefinida significa encontrarconjunto de funciones antiderivadas del integrando dado

Echemos un vistazo a la entrada de nuevo:

Veamos la tabla de integrales.

¿Qué esta pasando? Nuestras partes izquierdas Están girando a otras funciones: .

Simplifiquemos nuestra definición:

Resolver la integral indefinida - significa CONVERTIRLO en una función indefinida (hasta una constante) , utilizando unas reglas, técnicas y una tabla.

Tomemos, por ejemplo, la integral de tabla . ¿Qué sucedió? El registro simbólico se ha convertido en un conjunto de funciones antiderivadas.

Como en el caso de las derivadas, para aprender a encontrar integrales no es necesario saber qué es una integral, o una función antiderivada desde un punto de vista teórico. Basta con realizar transformaciones de acuerdo con algunas reglas formales. Entonces, en caso no es necesario en absoluto entender por qué la integral se convierte en exactamente. Puedes dar por sentada esta y otras fórmulas. Todo el mundo usa electricidad, pero pocas personas piensan en cómo los electrones corren por los cables.

Dado que la derivación y la integración son operaciones opuestas, para cualquier antiderivada que se encuentre correctamente, se cumple lo siguiente:

En otras palabras, si se deriva la respuesta correcta, entonces se debe obtener el integrando original.

Volvamos a la misma integral de tabla .

Verifiquemos la validez de esta fórmula. Tomamos la derivada del lado derecho:

es el integrando original.

Por cierto, quedó más claro por qué siempre se asigna una constante a una función. Al diferenciar, una constante siempre se convierte en cero.

Resolver la integral indefinida significa encontrar un montón de todos antiderivadas, y no una sola función. En el ejemplo tabular considerado, , , , etc. - todas estas funciones son la solución de la integral . Hay infinitas soluciones, por lo que escriben brevemente:

Por lo tanto, cualquier integral indefinida es bastante fácil de comprobar. Esta es una compensación para una gran cantidad de integrales de diferentes tipos.

Pasemos a ejemplos específicos. Comencemos, como en el estudio de la derivada, con dos reglas de integración:

- constante C puede (y debe) ser sacado del signo integral.

– la integral de la suma (diferencia) de dos funciones es igual a la suma (diferencia) de dos integrales. Esta regla es válida para cualquier número de términos.

Como puede ver, las reglas son básicamente las mismas que para los derivados. A veces se les llama propiedades de linealidad integral.

Ejemplo 1

Encuentra la integral indefinida.

Ejecute una verificación.

Solución: Es más conveniente convertirlo como.

(1) Aplicación de la regla . No olvides anotar el icono del diferencial dx debajo de cada integral. ¿Por qué debajo de cada uno? dxes un multiplicador completo. Si pinta en detalle, entonces el primer paso debe escribirse de la siguiente manera:

.

(2) Según la regla sacamos todas las constantes de los signos de las integrales. Nótese que en el último término tg 5 es una constante, también lo sacamos.

Además, en este paso preparamos las raíces y los grados para la integración. De la misma manera que en la diferenciación, las raíces deben representarse en la forma . Raíces y grados que se encuentran en el denominador: suban.

Nota: a diferencia de las derivadas, las raíces en las integrales no siempre necesitan reducirse a la forma y mueva los grados hacia arriba.

Por ejemplo, - esta es una integral tabular lista para usar, que ya se calculó antes que usted, y todo tipo de trucos chinos como completamente innecesario. Similarmente: - esta también es una integral tabular, no tiene sentido representar una fracción en la forma . ¡Estudie la tabla cuidadosamente!

(3) Todas las integrales son tabulares. Realizamos la transformación usando la tabla, usando las fórmulas: , y

para una función de potencia - .

Cabe señalar que la integral de tabla es un caso especial de la fórmula para una función de potencia: .

Constante C simplemente añádelo una vez al final de la expresión

(en lugar de ponerlos después de cada integral).

(4) Escribimos el resultado obtenido en una forma más compacta, cuando todos los grados de la forma

representar nuevamente como raíces, y las potencias con un exponente negativo se restablecen al denominador.

Examen. Para realizar la verificación, debe diferenciar la respuesta recibida:

Inicial integrando, es decir, la integral se encontró correctamente. De lo que bailaban, a eso volvían. Es bueno cuando la historia con la integral termina así.

De vez en cuando, hay un enfoque ligeramente diferente para verificar la integral indefinida, cuando no se toma la derivada, sino la diferencial de la respuesta:

.

Como resultado, no obtenemos un integrando, sino un integrando.

No tengas miedo del concepto de diferencial.

La diferencial es la derivada multiplicada por dx.

Sin embargo, no son las sutilezas teóricas las que son importantes para nosotros, sino qué hacer a continuación con este diferencial. El diferencial se revela de la siguiente manera: icono d eliminar, colocar un trazo a la derecha sobre el corchete, asignar un multiplicador al final de la expresión dx :

Recibido inicial integrando, es decir, la integral se encuentra correctamente.

Como puede ver, el diferencial se reduce a encontrar la derivada. Me gusta la segunda forma de comprobar menos, ya que además tengo que dibujar corchetes grandes y arrastrar el icono de diferencial dx hasta el final de la prueba. Aunque es más correcto, o "más sólido", o algo así.

De hecho, fue posible guardar silencio sobre el segundo método de verificación. El punto no está en el método, sino en el hecho de que hemos aprendido a abrir el diferencial. Otra vez.

El diferencial se revela de la siguiente manera:

1) icono d retirar;

2) coloque un trazo a la derecha sobre el corchete (la designación del derivado);

3) al final de la expresión asignamos un factor dx .

Por ejemplo:

Recuerda esto. Necesitaremos la técnica considerada muy pronto.

Ejemplo 2

.

Cuando encontramos una integral indefinida, SIEMPRE tratamos de verificar Además, hay una gran oportunidad para esto. No todos los tipos de problemas en matemáticas superiores son un regalo desde este punto de vista. No importa que muchas veces no se requiera verificación en tareas de control, nadie, y nada impide que se lleve a cabo sobre un borrador. Se puede hacer una excepción solo cuando no hay suficiente tiempo (por ejemplo, en la prueba, examen). Personalmente, siempre compruebo integrales, y considero que la falta de verificación es un truco y una tarea mal realizada.

Ejemplo 3

Encuentre la integral indefinida:

. Ejecute una verificación.

Solución: Analizando la integral, vemos que bajo la integral tenemos el producto de dos funciones, e incluso la exponenciación de toda la expresión. Desafortunadamente, en el campo de batalla integral No bueno y comodo fórmulas para integrar el producto y el cociente como: o .

Por lo tanto, cuando se da un producto o un cociente, siempre tiene sentido ver si es posible transformar el integrando en una suma. El ejemplo considerado es el caso cuando es posible.

Primero, damos la solución completa, los comentarios estarán a continuación.

(1) Usamos la buena fórmula antigua para el cuadrado de la suma de cualquier número real, eliminando el grado por encima del paréntesis común. fuera de los corchetes y aplicando la fórmula de multiplicación abreviada en sentido contrario: .

Ejemplo 4

Encuentra la integral indefinida

Ejecute una verificación.

Este es un ejemplo de auto-resolución. Respuesta y solución completa al final de la lección.

Ejemplo 5

Encuentra la integral indefinida

. Ejecute una verificación.

En este ejemplo, el integrando es una fracción. Cuando vemos una fracción en el integrando, el primer pensamiento debe ser la pregunta: "¿Es posible de alguna manera deshacerse de esta fracción, o al menos simplificarla?".

Notamos que el denominador contiene una raíz solitaria de "x". Uno en el campo no es un guerrero, lo que significa que puedes dividir el numerador en el denominador término por término:

No comentamos acciones con potencias fraccionarias, ya que han sido discutidas repetidamente en artículos sobre la derivada de una función.

Si todavía está confundido por un ejemplo como

y nadie obtiene la respuesta correcta,

También tenga en cuenta que la solución se salta un paso, es decir, aplicar las reglas , . Por lo general, con cierta experiencia en la resolución de integrales, estas reglas se consideran un hecho obvio y no se describen en detalle.

Ejemplo 6

Encuentra la integral indefinida. Ejecute una verificación.

Este es un ejemplo de auto-resolución. Respuesta y solución completa al final de la lección.

En el caso general, con fracciones en integrales, no todo es tan simple, se puede encontrar material adicional sobre la integración de fracciones de algunos tipos en el artículo: Integración de algunas fracciones. Pero, antes de pasar al artículo anterior, debe leer la lección: Método de reemplazo en integral indefinida. El hecho es que sumar una función bajo un método diferencial o de cambio de variable es punto clave en el estudio del tema, ya que se presenta no solo “en asignaciones puras por el método de reemplazo”, sino también en muchas otras variedades de integrales.

Soluciones y respuestas:

Ejemplo 2: Solución:

Ejemplo 4: Solución:

En este ejemplo, usamos la fórmula de multiplicación reducida

Ejemplo 6: Solución:

El método de cambiar una variable en una integral indefinida. Ejemplos de soluciones

En esta lección, nos familiarizaremos con uno de los trucos más importantes y más comunes que se utilizan en el curso de la resolución de integrales indefinidas: el método de cambio de variable. Para dominar con éxito el material, se requieren conocimientos iniciales y habilidades de integración. Si hay una sensación de una tetera llena vacía en cálculo integral, primero debe familiarizarse con el material. Integral indefinida. Ejemplos de soluciones, donde se explica de forma accesible qué es una integral y se analizan detalladamente ejemplos básicos para principiantes.

Técnicamente, el método de cambiar una variable en una integral indefinida se implementa de dos maneras:

– Llevando la función bajo el signo de la diferencial.

– El cambio real de variable.

De hecho, es lo mismo, pero el diseño de la solución se ve diferente. Comencemos con un caso más simple.