Fuente de la misión: Tarea 10_20. USE 2018 Estudios sociales. Solución

Tarea 20. Lea el texto a continuación, en el que faltan varias palabras (frases). Elija de la lista propuesta de palabras (frases) que desea insertar en lugar de los espacios en blanco.

“La calidad de vida depende de muchos factores, que van desde el lugar donde vive una persona hasta la situación socioeconómica y (A) general, así como el estado de los asuntos políticos en el país. La calidad de vida en un grado u otro puede verse influenciada por la situación demográfica, las condiciones de vida y trabajo, el volumen y calidad de _____ (B), etc. Según el grado de satisfacción de las necesidades en la economía, se acostumbra a destacar niveles diferentes vida de la población: prosperidad - uso (B), asegurando el desarrollo integral del hombre; un nivel normal de _____ (G) de acuerdo con estándares con base científica, proporcionando a una persona la restauración de su fuerza física e intelectual; pobreza: el consumo de bienes al nivel de mantener la capacidad de trabajo como el límite inferior de reproducción _____ (D); la pobreza es el consumo de un conjunto de bienes y servicios mínimamente aceptable según criterios biológicos, que sólo permiten mantener la viabilidad humana.

La población, adaptándose a las condiciones del mercado, utiliza varias fuentes adicionales de ingresos, incluidos los ingresos de parcelas subsidiarias personales, ganancias de _____ (E)”.

Las palabras (frases) en la lista se dan en el caso nominativo. Cada palabra (frase) solo se puede usar una vez.

Elija secuencialmente una palabra (frase) tras otra, completando mentalmente cada espacio en blanco. Tenga en cuenta que hay más palabras (frases) en la lista de las que necesita para llenar los espacios en blanco.

Lista de términos:

1) capital

2) ecológico

3) consumo racional

4) bienes de consumo

5) medios de producción

7) mano de obra

8) actividad empresarial

9) movilidad social

Solución.

Insertemos los términos en el texto.

“La calidad de vida depende de muchos factores, que van desde el lugar donde vive una persona hasta la situación general socioeconómica y ambiental (2) (A), así como el estado de los asuntos políticos en el país. La calidad de vida puede verse afectada en mayor o menor grado por la situación demográfica, las condiciones de vida y de trabajo, el volumen y la calidad de los bienes de consumo (4) (B), etc. Según el grado de satisfacción de las necesidades en la economía, se acostumbra distinguir diferentes niveles de vida de la población: prosperidad - el uso de beneficios (6) (C) que aseguran el desarrollo integral de una persona; nivel normal de consumo racional (3) (D) de acuerdo con estándares con base científica, proporcionando a una persona la restauración de su fuerza física e intelectual; pobreza - el consumo de bienes al nivel de mantener la capacidad de trabajo como el límite inferior de la reproducción de la fuerza de trabajo (7) (E); la pobreza es el consumo de un conjunto de bienes y servicios mínimamente aceptable según criterios biológicos, que sólo permiten mantener la viabilidad humana.

Sea R una relación binaria sobre un conjunto X. La relación R se llama reflexivo , si (x, x) О R para todo x О X; simétrico – si (x, y) О R implica (y, x) О R; el número transitivo 23 corresponde a la variante 24 si (x, y) Î R e (y, z) Î R implican (x, z) Î R.

Ejemplo 1

Diremos que x í X tiene en común con elemento y í X si el conjunto
x Ç y no está vacío. La relación de tener en común será reflexiva y simétrica, pero no transitiva.

Relación de equivalencia en X se llama relación reflexiva, transitiva y simétrica. Es fácil ver que R Í X ´ X será una relación de equivalencia si y sólo si se dan las inclusiones:

Id X Í R (reflexividad),

R -1 Í R (simetría),

R° R Í R (transitividad).

De hecho, estas tres condiciones son equivalentes a las siguientes:

Id X Í R, R -1 = R, R ° R = R.

terrible el conjunto X es el conjunto A de subconjuntos disjuntos a pares a í X tales que UA = X. Con cada partición de A, podemos asociar una relación de equivalencia ~ en X estableciendo x ~ y si x e y son elementos de algún a í A.

A cada relación de equivalencia ~ sobre X le corresponde una partición A, cuyos elementos son subconjuntos, cada uno de los cuales consta de los de la relación ~. Estos subconjuntos se denominan clases de equivalencia . Esta partición A se denomina conjunto factorial del conjunto X con respecto a ~ y se denota: X/~.

Definamos la relación ~ sobre el conjunto w de números naturales haciendo x ~ y si los residuos de dividir x e y entre 3 son iguales. Entonces w/~ consta de tres clases de equivalencia correspondientes a los residuos 0, 1 y 2.

relación de orden

Una relación binaria R en un conjunto X se llama antisimétrico , si de x R y y y R x se sigue: x = y. Una relación binaria R en un conjunto X se llama relación de orden , si es reflexiva, antisimétrica y transitiva. Es fácil ver que esto es equivalente a las siguientes condiciones:

1) Id X Í R (reflexividad),

2) R Ç R -1 (antisimetría),

3) R° R Í R (transitividad).

Un par ordenado (X, R) que consta de un conjunto X y una relación de orden R en X se llama conjunto parcialmente ordenado .

Ejemplo 1

Sea X = (0, 1, 2, 3), R = ((0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (3, 3)).

Dado que R satisface las condiciones 1–3, entonces (X, R) es un conjunto parcialmente ordenado. Para los elementos x = 2, y = 3, ni x R y ni y R x son verdaderas. Tales elementos se denominan incomparable . Por lo general, la relación de orden se denota por £. En el ejemplo anterior, 0 £ 1 y 2 £ 2, pero no es cierto que 2 £ 3.

Ejemplo 2

Dejar< – бинарное отношение строгого неравенства на множестве w натуральных чисел, рассмотренное в разд. 1.2. Тогда объединение отношений = и < является отношением порядка £ на w и превращает w в частично упорядоченное множество.

Los elementos x, y О X de un conjunto parcialmente ordenado (X, £) se denominan comparable , si x £ y o y £ x.

El conjunto parcialmente ordenado (X, £) se llama ordenado linealmente o cadena si dos de sus elementos son comparables. El conjunto del Ejemplo 2 se ordenará linealmente, pero el conjunto del Ejemplo 1 no.

Un subconjunto A Í X de un conjunto parcialmente ordenado (X, £) se llama delimitado desde arriba , si existe un elemento x í X tal que a £ x para todo a í A. Un elemento x í X se llama mayor en X si y £ x para todo y О X. Un elemento x О X se llama maximal si no hay elementos y О X diferentes de x para los cuales x £ y. En el ejemplo 1, los elementos 2 y 3 serán los máximos, pero no los mayores. El restricción inferior subconjuntos, elementos mínimos y mínimos. En el ejemplo 1, el elemento 0 sería tanto el menor como el mínimo. En el ejemplo 2, 0 también tiene estas propiedades, pero (w, t) no tiene ni el elemento mayor ni el máximo.

Sea (X, £) un conjunto parcialmente ordenado, A Í X un subconjunto. Una relación sobre A que consta de pares (a, b) de elementos a, b Î A, para los cuales a £ b, será una relación de orden sobre A. Esta relación se denota con el mismo símbolo: £. Así, (A, £) es un conjunto parcialmente ordenado. Si está linealmente ordenado, entonces decimos que A es cadena en (X, £).

Principio máximo

Algunas proposiciones matemáticas no se pueden demostrar sin el axioma de elección. Se dice que estas declaraciones son Depende del axioma de elección. o válido en la teoría ZFC , en la práctica, en lugar del axioma de elección, se suele utilizar como prueba el axioma de Zermelo, o el lema de Kuratovsky-Zorn, o cualquier otro enunciado equivalente al axioma de elección.

Lema de Kuratowski-Zorn. Si cada cadena en un conjunto parcialmente ordenado(X, £) acotado desde arriba, entonces X hay al menos un elemento máximo.

Este lema es equivalente al axioma de elección y, por lo tanto, puede tomarse como un axioma.

Teorema.Para cualquier conjunto pedido parcialmente(X, £) hay una relación que contiene la relación£ y transformando X en un conjunto linealmente ordenado.

Prueba. El conjunto de todas las relaciones de orden que contienen la relación £ está ordenado por la relación de inclusión U. Dado que la unión de una cadena de relaciones de orden es una relación de orden, entonces por el lema de Kuratowski-Zorn existe una relación máxima R tal que x £ y implica x R y. Probemos que R es una relación que ordena linealmente a X. Supongamos lo contrario: sean a, b í X tales que ni (a, b) ni (b, a) pertenecen a R. Consideremos la relación:

R¢ = R È ((x, y): x R a y b R y).

Se obtiene sumando el par (a, b) a R y los pares (x, y), que deben sumarse a R¢ a partir de la condición de que R¢ sea una relación de orden. Es fácil ver que R¢ es reflexivo, antisimétrico y transitivo. Obtenemos R Ì R¢, que contradice la maximalidad de R, por lo tanto, R es la relación de orden lineal deseada.

Un conjunto X ordenado linealmente se llama bien ordenado si cualquiera de sus subconjuntos no vacíos A í X contiene el elemento mínimo a í A. El lema de Kuratowski-Zorn y el axioma de elección también son equivalentes a la siguiente declaración:

axioma de zermelo. Para todo conjunto existe una relación de orden que lo convierte en un conjunto bien ordenado.

Por ejemplo, el conjunto w de números naturales está bien ordenado. El principio de inductancia se resume de la siguiente manera:

inducción transfinita. Si(X, £) es un conjunto bien ordenado y F(x) es una propiedad de sus elementos, verdadero para el elemento más pequeño x 0 í X y tal que de la verdad de F(y) para todo y < z следует истинность F(z), то F(x) cierto para todos x Î X .

aqui tu< z означает, что у £ z, но y ¹ z. Действительно, в противном случае среди x Î X, не обладающих свойством F(x), можно выбрать наименьший элемент x 1 , и выполнение F(y) для всех y < x 1 приводит к выполнению F(x 1), противоречащему предположению.

El concepto de poder

Sean f: X à Y yg: Y à Z asignaciones de conjuntos. Como f y g son relaciones, su composición se define como g ° f(x) = g(f(x)). Si h: Z à T es una aplicación de conjunto, entonces h ° (g ° f) = (h ° g) ° f. Las relaciones Id X e Id Y son funciones, por lo que las composiciones Id Y ° f = f ° Id x = f están definidas. Para X = Y, definimos f 2 = f ° f, f 3 = f 2 ° f, ..., f n+1 = f n ° f.

La aplicación f: X àY se llama inyección , si f(x 1) ¹ f(x 2) es cierto para cualquier elemento x 1 ¹ x 2 del conjunto X. El mapeo f se llama sobreyección , si para cada y íY existe x í X tal que f(x) = y. Si f es tanto una sobreyección como una inyección, entonces f se llama biyección . Es fácil ver que f es una biyección si y sólo si la relación inversa f -1 í Y ´ X es una función.

Diremos que la igualdad |X| = |Y| si existe una biyección entre X e Y. Poner |X| £ |Y| si hay una inyección f: X à Y.

Teorema de Cantor-Schroeder-Bernstein. Si|X| £ |A| Y|S| £ |X| , Eso|X| = |S|.

Prueba. Por supuesto, hay inyecciones f: X à Y y g: Y à X. Sea A = g¢¢Y = Img la imagen de Y con respecto a g. Entonces

(X \ A) Ç (gf)¢¢(X \ A) = Æ,

(gf)¢¢(X \ A) Ç (gf) 2 ¢¢(X \ A) = Æ, …,

(gf) n ¢¢(X \ A) Ç (gf) n+1 ¢¢(X \ A) = Æ, …

Considere un mapeo j: X à A definido como j(x) = gf(x) con

x í (X \ A) È (gf)¢¢(X \ A) È (gf) 2 ¢¢(X \ A) È …, y j(x) = x en caso contrario. Es fácil ver que j es una biyección. La biyección buscada entre X e Y será igual a g -1° j.

Antinomia de Cantor

Pongamos |X|< |Y|, если |X| £ |Y| и не существует биекции между X и Y.

teorema de cantor. Para cualquier conjunto X, |X|< |P(X)|, где P(X) – множество всех подмножеств множества X.

Se pueden demostrar los siguientes teoremas.

Teorema 1.4. Una función f tiene una función inversa f -1 si y sólo si f es biyectiva.

Teorema 1.5. La composición de funciones biyectivas es una función biyectiva.

Arroz. 1.12 muestran diferentes relaciones, todas menos la primera son funciones.

actitud, pero

inyección, pero

sobreyección, pero

no es una función

no es una sobreyección

no una inyección

Sea f : A→ B una función, y los conjuntos A y B sean conjuntos finitos, sea A = n , B = m . El principio de Dirichlet establece que si n > m, entonces al menos un valor de f ocurre más de una vez. En otras palabras, hay un par de elementos a i ≠ a j , a i , a j A para los cuales f(a i )= f(a j ).

El principio de Dirichlet es fácil de probar, así que lo dejamos al lector como un ejercicio trivial. Considere un ejemplo. Que haya más de 12 estudiantes en el grupo. Entonces es obvio que al menos dos de ellos cumplen años en el mismo mes.

§ 7. Relación de equivalencia. Conjunto de factores

Una relación binaria R sobre un conjunto A se llama relación de equivalencia si R es reflexiva, simétrica y transitiva.

La relación de igualdad sobre el conjunto de los números tiene las propiedades indicadas, por tanto es una relación de equivalencia.

La relación de semejanza de triángulos es obviamente una relación de equivalencia.

La relación de desigualdad no estricta (≤ ) sobre el conjunto de los números reales no será una relación de equivalencia, porque no es simétrica: de 3 ≤ 5 no se sigue que 5 ≤ 3.

Una clase de equivalencia (coset) generada por un elemento a para una relación de equivalencia dada R es el subconjunto de aquellos x A que están en relación R con a. La clase de equivalencia especificada se denota por [a] R, por lo tanto, tenemos:

[a] R = (x A: a, x R).

Considere un ejemplo. Se introduce una relación de semejanza en el conjunto de triángulos. Está claro que todos los triángulos equiláteros caen en una clase lateral, ya que cada uno de ellos es similar, por ejemplo, a un triángulo, cuyos lados tienen la unidad de longitud.

Teorema 1.6. Sea R una relación de equivalencia sobre un conjunto A y [a] R una clase lateral, es decir [a] R = (x A: a, x R), entonces:

1) para cualquier a A : [a] R ≠ , en particular, a [a] R ;

2) clases laterales diferentes no se cruzan;

3) la unión de todas las clases laterales coincide con todo el conjunto A;

4) el conjunto de diferentes clases laterales forman una partición del conjunto A.

Prueba. 1) Debido a la reflexividad de R, obtenemos que para cualquier a, a A, tenemos a, a R , por lo tanto a [ a] R y [ a] R ≠ ;

2) supongamos que [a] R ∩ [b] R ≠ , es decir hay un elemento c de A y c [a] R ∩ [b] R . Entonces de (cRa)&(cRb), debido a la simetría de R, obtenemos (aR c)&(cRb), y de la transitividad de R tenemos aRb.

Para cualquier х [а] R tenemos: (хRa)&(аRb) , luego debido a la transitividad de R obtenemos хRb, es decir x[b]R, entonces [a]R[b]R. De manera similar, para cualquier y, y [b] R , tenemos: (уRb)&(aRb) , y debido a la simetría de R obtenemos que (уRb)&(bR a), luego, debido a la transitividad de R, obtenemos que уR a, es decir año[a]r y

entonces [b] R [a] R . De [a] R [b] R y [b] R [a] R obtenemos [a] R = [b] R, es decir, si las clases laterales se cruzan, entonces coinciden;

3) para cualquier a, a A, como se demuestra, tenemos a [ a] R , entonces es obvio que la unión de todas las clases laterales coincide con el conjunto A.

La afirmación 4) del Teorema 1.6 se sigue de 1)–3). El teorema ha sido probado. Podemos demostrar el siguiente teorema.

Teorema 1.7. Diferentes relaciones de equivalencia sobre un conjunto A generan diferentes particiones de A.

Teorema 1.8. Cada partición del conjunto A genera una relación de equivalencia sobre el conjunto A, y diferentes particiones generan diferentes relaciones de equivalencia.

Prueba. Sea dada una partición В= (B i ) del conjunto A. Definamos la relación R : a,b R si y sólo si existe un B i tal que ayb pertenecen ambos a este B i . Es obvio que la relación introducida es reflexiva, simétrica y transitiva, por lo tanto, R es una relación de equivalencia. Se puede demostrar que si las particiones son diferentes, entonces las relaciones de equivalencia generadas por ellas también son diferentes.

El conjunto de todas las clases laterales de un conjunto A con respecto a una relación de equivalencia dada R se denomina conjunto cociente y se denota por A/R. Los elementos del conjunto factorial son clases laterales. La clase lateral [ a ] ​​R , como saben, consta de elementos A que están en relación entre sí R .

Considere un ejemplo de una relación de equivalencia en el conjunto de números enteros Z = (…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …).

Dos enteros a y b se denominan módulo m comparable (congruente) si m es un divisor numeros a-b, es decir, si tenemos:

a=b+km , k=…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ….

En este caso, escribe a≡ b(mod m) .

Teorema 1.9. Para cualquier número a , b , c y m>0 tenemos:

1) a ≡ a(mod m) ;

2) si a ≡ b(mod m), entonces b ≡ a(mod m);

3) si a ≡ b(mod m) y b ≡ c(mod m), entonces a ≡ c(mod m).

Prueba. Las afirmaciones 1) y 2) son obvias. Probemos 3). Sea a=b+k 1 m , b=c+k 2 m , entonces a=c+(k 1 +k 2 )m , es decir un ≡ c(mod m) . El teorema ha sido probado.

Por lo tanto, la relación de comparabilidad módulo m es una relación de equivalencia y divide el conjunto de números enteros en clases de números que no se superponen.

Construyamos una espiral que se desenrolla infinitamente, que en la Fig. 1.13 se representa con una línea continua, y una espiral infinitamente retorcida, representada con una línea discontinua. Sea dado un entero no negativo m. Colocamos todos los números enteros (elementos del conjunto Z) en los puntos de intersección de estas espirales con m rayos, como se muestra en la Fig. 1.13.

Para la relación de comparabilidad módulo m (en particular, para m = 8) la clase de equivalencia son los números que se encuentran en el rayo. Obviamente, cada número cae en una y sólo una clase. Se puede obtener que para m= 8 tenemos:

[ 0] ={…, -8, 0, 8, 16, …};
[ 1] ={…, -7, 1, 9, 17, …};
[ 2] ={…, -6, 2, 10, 18, …};
[ 7] ={…, -9, -1, 7, 15, …}.

El factor de conjunto de un conjunto Z con respecto al módulo de comparación m se denota como Z/mo como Zm. Para el caso en consideración, m = 8

obtenemos que Z/8 = Z8 = ( , , , …, ) .

Teorema 1.10. Para cualquier número entero a, b, a * , b * , k y m :

1) si a ≡ b(mod m), entonces ka ≡ kb(mod m);

2) si a ≡ b(mod m) y a* ≡ b* (mod m), entonces:

a) a + a * ≡ b + b * (mod m); b) aa * ≡ bb* (mod m).

Presentamos la prueba para el caso 2b). Sean a ≡ b(mod m) y a * ≡ b * (mod m) , luego a=b+sm y a * =b * +tm para algunos enteros s y t . multiplicando,

obtenemos: aa* =bb* + btm+ b* sm+ stm2 =bb* +(bt+ b* s+ stm)m. Por eso,

aa* ≡ bb* (mod m).

Por lo tanto, las comparaciones de módulo se pueden sumar y multiplicar término por término, es decir, operan exactamente de la misma manera que con las igualdades. Por ejemplo,

Sea R una relación binaria sobre un conjunto X. La relación R se llama reflexivo , si (x, x) О R para todo x О X; simétrico – si (x, y) О R implica (y, x) О R; el número transitivo 23 corresponde a la variante 24 si (x, y) Î R e (y, z) Î R implican (x, z) Î R.

Ejemplo 1

Diremos que x í X tiene en común con elemento y í X si el conjunto
x Ç y no está vacío. La relación de tener en común será reflexiva y simétrica, pero no transitiva.

Relación de equivalencia en X se llama relación reflexiva, transitiva y simétrica. Es fácil ver que R Í X ´ X será una relación de equivalencia si y sólo si se dan las inclusiones:

Id X Í R (reflexividad),

R -1 Í R (simetría),

R° R Í R (transitividad).

De hecho, estas tres condiciones son equivalentes a las siguientes:

Id X Í R, R -1 = R, R ° R = R.

terrible el conjunto X es el conjunto A de subconjuntos disjuntos a pares a í X tales que UA = X. Con cada partición de A, podemos asociar una relación de equivalencia ~ en X estableciendo x ~ y si x e y son elementos de algún a í A.

A cada relación de equivalencia ~ sobre X le corresponde una partición A, cuyos elementos son subconjuntos, cada uno de los cuales consta de los de la relación ~. Estos subconjuntos se denominan clases de equivalencia . Esta partición A se denomina conjunto factorial del conjunto X con respecto a ~ y se denota: X/~.

Definamos la relación ~ sobre el conjunto w de números naturales haciendo x ~ y si los residuos de dividir x e y entre 3 son iguales. Entonces w/~ consta de tres clases de equivalencia correspondientes a los residuos 0, 1 y 2.

relación de orden

Una relación binaria R en un conjunto X se llama antisimétrico , si de x R y y y R x se sigue: x = y. Una relación binaria R en un conjunto X se llama relación de orden , si es reflexiva, antisimétrica y transitiva. Es fácil ver que esto es equivalente a las siguientes condiciones:

1) Id X Í R (reflexividad),

2) R Ç R -1 (antisimetría),

3) R° R Í R (transitividad).

Un par ordenado (X, R) que consta de un conjunto X y una relación de orden R en X se llama conjunto parcialmente ordenado .

Ejemplo 1

Sea X = (0, 1, 2, 3), R = ((0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (3, 3)).

Dado que R satisface las condiciones 1–3, entonces (X, R) es un conjunto parcialmente ordenado. Para los elementos x = 2, y = 3, ni x R y ni y R x son verdaderas. Tales elementos se denominan incomparable . Por lo general, la relación de orden se denota por £. En el ejemplo anterior, 0 £ 1 y 2 £ 2, pero no es cierto que 2 £ 3.

Ejemplo 2

Dejar< – бинарное отношение строгого неравенства на множестве w натуральных чисел, рассмотренное в разд. 1.2. Тогда объединение отношений = и < является отношением порядка £ на w и превращает w в частично упорядоченное множество.

Los elementos x, y О X de un conjunto parcialmente ordenado (X, £) se denominan comparable , si x £ y o y £ x.

El conjunto parcialmente ordenado (X, £) se llama ordenado linealmente o cadena si dos de sus elementos son comparables. El conjunto del Ejemplo 2 se ordenará linealmente, pero el conjunto del Ejemplo 1 no.

Un subconjunto A Í X de un conjunto parcialmente ordenado (X, £) se llama delimitado desde arriba , si existe un elemento x í X tal que a £ x para todo a í A. Un elemento x í X se llama mayor en X si y £ x para todo y О X. Un elemento x О X se llama maximal si no hay elementos y О X diferentes de x para los cuales x £ y. En el ejemplo 1, los elementos 2 y 3 serán los máximos, pero no los mayores. El restricción inferior subconjuntos, elementos mínimos y mínimos. En el ejemplo 1, el elemento 0 sería tanto el menor como el mínimo. En el ejemplo 2, 0 también tiene estas propiedades, pero (w, t) no tiene ni el elemento mayor ni el máximo.