Ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales: método de solución. Resolviendo Ecuaciones Lineales con Ejemplos Cómo Resolver un Sistema de Ecuaciones en 3 Variables
2.3.1. Definición.
Sean dadas las ecuaciones lineales:
a 1 X + b 1 y + C 1 z = d 1 , (2.3.1)
a 2 X + b 2 y + C 2 z = d 2 , (2.3.2)
a 3 X + b 3 y + C 3 z = d 3 . (2.3.3)
Si se requiere encontrar una solución general de las ecuaciones (2.3.1) ¾ (2.3.3), entonces dicen que forman sistema . El sistema que consta de las ecuaciones (2.3.1) ¾ (2.3.3) se denota de la siguiente manera:
La solución general de las ecuaciones que componen el sistema se llama solución del sistema . Resuelve el sistema (2.3.4) ¾ esto significa encontrar el conjunto de todas sus soluciones o probar que no hay ninguna.
Como en los casos anteriores, a continuación encontraremos condiciones bajo las cuales el sistema (2.3.4) tiene única decisión, tiene más de una solución y no tiene solución.
2.3.2. Definición. Sea dado el sistema (2.3.4) de ecuaciones lineales. matrices
se llaman respectivamente ( básico )matriz Y matriz expandida sistemas
2.3.3. Las definiciones de los sistemas equivalentes de la forma (2.3.4), así como las transformaciones elementales de los tipos 1 y 2, se introducen de la misma manera que para los sistemas de dos ecuaciones con dos y tres incógnitas.
Transformación elemental El tercer tipo de sistema (2.3.4) es el intercambio de unas dos ecuaciones de este sistema. Similar a los casos anteriores de sistemas de 2 ecuaciones bajo transformaciones elementales del sistema, se obtiene un sistema,equivalente a esto.
2.3.4. Ejercicio. Resolver sistemas de ecuaciones:
Solución. A)
(1) Intercambió la primera y la segunda ecuación del sistema (transformación del tercer tipo).
(2) La primera ecuación multiplicada por 4 se resta de la segunda, y la primera ecuación multiplicada por 6 se resta de la tercera (transformación tipo 2); por lo tanto, la incógnita fue excluida de la segunda y tercera ecuaciones X .
(3) La segunda ecuación multiplicada por 14 se resta de la tercera; desconocido fue excluido de la tercera y .
(4) De la última ecuación encontramos z = 1, sustituyendo cuál en el segundo, encontramos y = 0. Finalmente, sustituyendo y = 0 y z = 1 en la primera ecuación, encontramos X = -2.ñ
(1) Intercambió la primera y la segunda ecuación del sistema.
(2) La primera ecuación multiplicada por 4 se resta de la segunda, y la primera ecuación multiplicada por 6 se resta de la tercera.
(3) La segunda y tercera ecuaciones coincidieron. Excluimos uno de ellos del sistema (o, en otras palabras, si restamos la segunda ecuación de la tercera ecuación, entonces la tercera ecuación se convierte en la identidad 0 = 0; se excluye del sistema. Suponemos z = a .
(4) Sustituto z = a en la segunda y primera ecuaciones.
(5) Sustituyendo y = 12 - 12a en la primera ecuación, encontramos X .
c) Si la primera ecuación se divide por 4, y la tercera ¾ por 6, entonces llegamos a un sistema equivalente
que es equivalente a la ecuación X - 2y - z = -3. Las soluciones a esta ecuación son conocidas (ver Ejemplo 2.2.3 b))
La última igualdad en el sistema resultante es contradictoria. Por lo tanto, el sistema no tiene soluciones.
Las transformaciones (1) y (2) ¾ son exactamente iguales a las transformaciones correspondientes del sistema b))
(3) Reste la segunda ecuación de la última ecuación.
Respuesta: a) (-2; 0; 1);
segundo) (21 - 23 a ; 12 - 12a ; a ), a Î R;
c) ((-3 + 2 a + b ; a ; b )|a , b Î R};
d) El sistema no tiene soluciones.
2.3.5. De los ejemplos anteriores se deduce que Sistema con tres incógnitas, así como un sistema con dos incógnitas, puede tener una sola solución, un número infinito de soluciones y no tener una sola solución. A continuación analizaremos todos los casos posibles. Pero primero introducimos algo de notación.
Denotemos por D el determinante de la matriz del sistema:
Denotemos por D 1 el determinante obtenido de D reemplazando la primera columna con la columna de miembros libres:
Del mismo modo, pongamos
re 2 = y re 3 = .
2.3.6. Teorema. Si D¹0, entonces el sistema(2.3.4)tiene la única solución
, , . (2.3.5)
Las fórmulas (2.3.5) se llaman fórmulas = = 0 para todos i ¹ j y al menos uno de los determinantes , , no es igual a cero, entonces el sistema de solución no tiene.
4) Si = = = = = = 0 para todos i ¹ j , entonces el sistema tiene infinitas soluciones, dependiendo de dos parámetros.
Para el sistema componemos el determinante principal
y calcularlo.
Luego hacemos determinantes adicionales
y calcularlos.
De acuerdo con la regla de Cramer, la solución del sistema se encuentra mediante las fórmulas
; 
;
,Si 
1)
Calculemos:
Por las fórmulas de Cramer encontramos:
Respuesta: (1; 2; 3)
2)
Calculemos:
Dado que el principal determinante 
, y al menos un adicional no es igual a cero (en nuestro caso 
), entonces el sistema no tiene solución.
3)
Calculemos:
Dado que todos los determinantes son iguales a cero, el sistema tiene un conjunto infinito de soluciones, que se pueden encontrar como 
Resuelve tus propios sistemas:
A) 
b) 
Respuesta: a) (1; 2; 5) b) 
;
;
Lección práctica número 3 sobre el tema:
El producto escalar de dos vectores y su aplicación
1. Si se da 
Y 
, entonces el producto escalar se encuentra por la fórmula: 
∙
2. Si, entonces el producto escalar de estos dos vectores se encuentra mediante la fórmula
1. Se dan dos vectores 
Y 
Encontramos su producto escalar de la siguiente manera:
.
2. Se dan dos vectores:
={2;3;–4}
={1;
–5; 6}
El producto escalar se encuentra así:
3.
,
3.1 Hallar el trabajo de una fuerza constante en una sección recta del camino
1) Bajo la acción de una fuerza de 15N, el cuerpo se ha movido en línea recta 2 metros. El ángulo entre la fuerza y la dirección del movimiento =60 0 . Calcular el trabajo realizado por la fuerza para mover el cuerpo.
Dado: 
Solución:
2) Dado: 
Solución:
3) Un cuerpo se movió del punto M(1; 2; 3) al punto N(5; 4; 6) bajo la acción de una fuerza de 60N. Ángulo entre la dirección de la fuerza y el vector de desplazamiento =45 0 . Calcular el trabajo realizado por esta fuerza.
Solución: encuentre el vector de desplazamiento 
Encuentre el módulo del vector de desplazamiento:
Según la fórmula 
encontrar un trabajo:
3.2 Determinación de la ortogonalidad de dos vectores
Dos vectores son ortogonales si 
, eso es
porque 
1) 
– no ortogonal
2) 
-ortogonal
3) Determinar para qué los vectores 
Y 
mutuamente ortogonales.
Porque 
, Eso 
, Medio
Decide por ti mismo:
A) 
. Encuentre su producto escalar.
b) Calcular cuanto trabajo hace la fuerza 
, si el punto de su aplicación, moviéndose en línea recta, se ha movido del punto M (5; -6; 1) al punto N (1; -2; 3)
c) Determinar si los vectores son ortogonales 
Y
Respuestas: a) 1 b) 16 c) sí
3.3 Encontrar el ángulo entre vectores
1)
. Encontrar 
.
Encontramos 
inserte en la fórmula:
.
1). Se dan los vértices del triángulo A(3; 2; -3), B(5; 1; -1), C(1; -2; 1). Encuentra el ángulo en el vértice A.
Sustituir en la fórmula: 
Decide por ti mismo:
Se dan los vértices del triángulo A(3; 5; -2), B(5; 7; -1), C(4; 3; 0). Determine el ángulo interior en el vértice A.
Respuesta: 90 o
Lección práctica número 4 sobre el tema:
PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES Y SU APLICACIÓN.
La fórmula para encontrar el producto vectorial de dos vectores:
|
|
|
|
|
tiene la forma |
||
1) Encuentra el módulo de producto vectorial:
Componemos el determinante y lo calculamos (según la regla de Sarrus o el teorema de la expansión del determinante en función de los elementos de la primera fila).
1er método: según la regla de Sarrus
2da vía: expandir el determinante por los elementos de la primera fila.
2) Encuentra el módulo del producto cruz:
4.1. CÁLCULO DEL ÁREA DE UN PARALELOGRAMO CONSTRUIDO SOBRE DOS VECTORES.
1) Calcular el área de un paralelogramo construido sobre vectores
2). Encuentre el producto cruz y su módulo.
4.2. CÁLCULO DEL ÁREA DE UN TRIÁNGULO
Ejemplo: dados los vértices del triángulo A(1; 0; -1), B(1; 2; 0), C(3; -1; 1). Calcular el área del triángulo.
Primero, encontremos las coordenadas de dos vectores que salen del mismo vértice.
Encontremos su producto vectorial
4.3. DETERMINACIÓN DE LA COLLINEARIDAD DE DOS VECTORES
Si el vector 
Y 
son colineales, entonces
, es decir, las coordenadas de los vectores deben ser proporcionales.
a) Datos vectoriales:: 
,
.
son colineales porque 
Y
después de reducir cada fracción, se obtiene la relación 
b) Datos vectoriales: 
.
No son colineales porque 
o 
Decide por ti mismo:
a) ¿Para qué valores de m y n del vector 
colineal?
Respuesta: 
;
b) Encuentra el producto cruz y su módulo 
,
.
Respuesta: 
,
.
Lección práctica número 5 sobre el tema:
LÍNEA RECTA EN EL PLANO
Tarea número 1. Encuentra la ecuación de una línea recta que pasa por el punto A (-2; 3) paralela a la línea recta 
1. Halla la pendiente de la recta 
.
es la ecuación de una recta con pendiente y ordenada inicial ( 
). Es por eso 
.
2. Dado que las líneas MN y AC son paralelas, sus pendientes son iguales, es decir 
.
3. Para encontrar la ecuación de la recta AC, usamos la ecuación de una recta que pasa por un punto con una pendiente dada:
. En esta fórmula, en lugar de 
Y 
sustituimos las coordenadas del punto A (-2; 3), en lugar de 
sustituyamos - 3. Como resultado de la sustitución, obtenemos:
Respuesta: 
Tarea número 2. Hallar la ecuación de una recta que pasa por el punto K (1; -2) paralela a la recta.
1. Encuentra la pendiente de la línea recta.
Este ecuación general línea recta, que vista general dada por la fórmula. Comparando las ecuaciones y encontramos que A \u003d 2, B \u003d -3. La pendiente de la recta dada por la ecuación se encuentra mediante la fórmula 
. Sustituyendo A = 2 y B = –3 en esta fórmula, obtenemos la pendiente de la recta MN. Entonces, 
.
2. Dado que las líneas MN y KS son paralelas, sus pendientes son iguales: 
.
3. Para encontrar la ecuación de la recta KS, usamos la fórmula de la ecuación de una recta que pasa por un punto con una pendiente dada 
. En esta fórmula, en lugar de 
Y 
sustituimos las coordenadas del punto K(–2; 3), en lugar de 
Tarea número 3. Encuentra la ecuación de una línea recta que pasa por el punto K (–1; –3) perpendicular a la línea recta.
1. es la ecuación general de una línea recta, que generalmente viene dada por la fórmula.
y encontramos que A = 3, B = 4.
La pendiente de la recta dada por la ecuación se encuentra mediante la fórmula: 
. Sustituyendo A = 3 y B = 4 en esta fórmula, obtenemos la pendiente de la recta MN: 
.
2. Dado que las líneas MN y KD son perpendiculares, sus pendientes son inversamente proporcionales y de signo opuesto:
.
3. Para encontrar la ecuación de la recta KD, usamos la fórmula de la ecuación de una recta que pasa por un punto con una pendiente dada
. En esta fórmula, en lugar de 
Y 
sustituimos las coordenadas del punto K(–1; –3), en lugar de 
sustituyamos. Como resultado de la sustitución, obtenemos:
Decide por ti mismo:
1. Hallar la ecuación de una recta que pasa por el punto K (–4; 1) paralela a la recta 
.
Respuesta: 
.
2. Hallar la ecuación de una recta que pasa por el punto K (5; -2) paralela a la recta 
.
3. Hallar la ecuación de una recta que pasa por el punto K (–2; –6) perpendicular a la recta 
.
4. Hallar la ecuación de una recta que pasa por el punto K (7; -2) perpendicular a la recta 
.
Respuesta: 
.
5. Encuentra la ecuación de la perpendicular que se deja caer desde el punto K (–6; 7) a la línea recta 
.
Considere un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas
un 11, un 12, …, un 33 son los coeficientes para las incógnitas,
segundo 1 , segundo 2 , segundo 3- miembros libres.
Resolver el sistema (2.4) significa encontrar tal terna ordenada de números x 1 \u003d c 1, x 2 \u003d c 2, x 3 \u003d c 3, al sustituirlas en las ecuaciones del sistema, estas últimas se convierten en identidades.
Un sistema de ecuaciones que tiene soluciones (conjunto simple o infinito) se llama articulación, un sistema de ecuaciones que no tiene soluciones, incompatible.
Presentemos tres métodos para resolver el sistema (2.4).
regla de Cramer
Componer el determinante del sistema a partir de los coeficientes de las incógnitas
(2.5)
Si , entonces el sistema (2.4) tiene una solución única, que se encuentra mediante las fórmulas de Cramer:
donde , , se obtienen del determinante reemplazando la primera, segunda y tercera columna, respectivamente, por una columna de términos libres del sistema (2.4).
(2.7)
Ejemplo 7 Resuelve el sistema 
Calculamos el determinante del sistema (2.5) y los determinantes , , (2.6).
por lo tanto, el sistema tiene una solución única.
Por las fórmulas de Cramer (2.6) encontramos:
Puedes hacer una comprobación sustituyendo los valores de las incógnitas en las ecuaciones del sistema.
Entonces, x 1 \u003d x 2 \u003d x 3 \u003d 1 es la solución del sistema.
método de Gauss
Considere el sistema (2.4):
El método de Gauss, de lo contrario, el método de eliminación secuencial de incógnitas, es el siguiente. Deje Excluir de la 2da y 3ra ecuaciones del sistema x1. Obtenemos el sistema:
Obtenemos un sistema triangular. De la 3ra ecuación encontramos x3, sustituyéndolo en la 2ª ecuación, encontramos x2, entonces de la primera ecuación encontramos x1, sustituyendo en ella x2 Y x3.
Ejemplo 8 Resuelve el sistema 
Reordenamos las ecuaciones 3 y 1 para que en la ecuación 1 el coeficiente en x1 era igual a 1.
Excluir x1 de las ecuaciones 2 y 3. Para hacer esto, multiplique la 1ra ecuación por (-4) y súmela a la 2da ecuación; luego multiplique la primera ecuación por (-6) y súmela a la tercera ecuación. Obtenemos el sistema:
Excluir x2 de la 3ra ecuación. Para hacer esto, multiplique la segunda ecuación por (-13/10) y súmela a la tercera ecuación. Obtenemos el sistema:
De la última ecuación encontramos x3= -1, sustituimos en la 2da ecuación:
10x2 - 13(-1) = -7, -10x2 = - 20, x2 = 2.
Sustituyendo x2 Y x3 en la primera ecuación, obtenemos
Entonces la solución del sistema es: x1 = 1, x2 = 2, x3 = -1.
Solución del sistema usando la matriz inversa
sistema dado: (2.8)
Hagamos una matriz A de los coeficientes de las incógnitas, la matriz columna X– de incógnitas, matriz-columna EN- de miembros libres.
,
El sistema (2.8) se puede escribir en forma matricial como sigue:
Matriz de decisión X se encuentra de acuerdo con la fórmula:
A-1 es la inversa de la matriz A, se compone de complementos algebraicos de elementos matriciales A por la fórmula (2.3):
– determinante o matriz determinante A, .
Ejemplo 9 Sistema de resolución:
Introducimos matrices: 
,
La matriz inversa se calculó en el Ejemplo 6. Usando la fórmula (2.9), encontramos una solución para el sistema
Entonces, x1=1, x2=1, x3=1.
Elementos de álgebra vectorial
Vector- segmento dirigido; denotado por o . A es el comienzo del vector, EN- fin.
Longitud o módulo vector se denota por .
Arroz. 21
En el espacio de coordenadas 0xyz, el vector se puede representar como
(3.1)
Esta fórmula da expansión de un vector en términos de una base vectores , , ; , , - coordenadas cartesianas rectangulares del vector (en caso contrario, proyecciones del vector sobre los ejes de coordenadas).
La fórmula (3.1) se puede escribir de la siguiente manera:
– el vector tiene las coordenadas , , .
Longitud(módulo) del vector se encuentra mediante la fórmula:
. (3.2)
Si el vector viene dado por las coordenadas del origen A(x1,y1,z1) y punto B(x2,y2,z2), entonces las coordenadas se encuentran mediante las fórmulas:
Si se conocen las expansiones de los vectores y a lo largo de los ejes de coordenadas, al sumar (restar) vectores, sus coordenadas del mismo nombre se suman (restan), cuando un vector se multiplica por un número, las coordenadas del vector se multiplican por este número, es decir
(3.4)
producto punto vectores y , denotada por , se llama el número, igual al producto las longitudes de estos vectores por el coseno del ángulo entre ellos
. (3.5)
si, entonces
. (3.6)
Si los vectores y colineal(paralelo), entonces
. (3.7)
Si los vectores y ortogonal(perpendicular), entonces
O 
(3.8)
Ejemplo 10 puntos dados un 1(1,0,-1), A2(2,-1,1), un 3(0,1,-2). Por medio del álgebra vectorial, dado qué encontrar:
1) coordenadas de vectores y .
Usamos la fórmula (3.3):
2) Coordenadas vectoriales
Usando las fórmulas (3.4) y (3.5), obtenemos
O 
1.2. Según la regla de los triángulos: , y la longitud del vector . Respuesta: 
3. Se dan los puntos A(0,-2,3), B(2,1,4), C(3,4,5). Encontrar:
a) coordenadas (proyecciones) de vectores y
b) coordenadas vectoriales
c) longitud del vector
4. Los vectores están dados Encuentra el producto escalar de los vectores .
5. Demuestre que los vectores y son colineales.
6. Demostrar que los vectores son ortogonales.
Ecuaciones lineales (ecuaciones de primer grado) con dos incógnitas
Definición 1 . Ecuación lineal (ecuación de primer grado) con dos incógnitas xey nombra una ecuación que se parezca a
Solución . Expresemos a partir de la igualdad (2) la variable y en términos de la variable x :
De la fórmula (3) se deduce que todos los pares de números de la forma
donde x es cualquier número.
comentario Como se puede ver en la solución del ejemplo 1, la ecuación (2) tiene infinitas soluciones. Sin embargo, es importante señalar que no cualquier par de números (X; y) es una solución a esta ecuación. Para obtener alguna solución a la ecuación (2), el número x se puede tomar como cualquier número, y luego se puede calcular el número y usando la fórmula (3).
Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas
Definición 3 . Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas x e y se denominan sistemas de ecuaciones que tienen la forma
Dónde a 1 , b 1 , C 1 , a 2 , b 2 , C 2 se dan números.
Definición 4 . En el sistema de ecuaciones (4), los números a 1 , b 1 , a 2 , b 2 se llaman y los números C 1 , C 2 – miembros gratis.
Definición 5 . Resolviendo el sistema de ecuaciones (4) nombrar un par de números X; y), que es solución tanto de una como de la otra ecuación del sistema (4).
Definición 6 . Los dos sistemas de ecuaciones se llaman equivalente (equivalente), si todas las soluciones del primer sistema de ecuaciones son soluciones del segundo sistema, y todas las soluciones del segundo sistema son soluciones del primer sistema.
La equivalencia de los sistemas de ecuaciones se denota con el símbolo ""
Los sistemas de ecuaciones lineales se resuelven con la ayuda de los cuales ilustraremos con ejemplos.
Ejemplo 2 . Resolver un sistema de ecuaciones
Solución . Resolver sistema (5) eliminamos la incógnita de la segunda ecuación del sistema X .
Con este fin, primero transformamos el sistema (5) en una forma en la que los coeficientes para la x desconocida en la primera y segunda ecuaciones del sistema sean iguales.
Si la primera ecuación del sistema (5) se multiplica por el coeficiente en x en la segunda ecuación (número 7), y la segunda ecuación se multiplica por el coeficiente en x en la primera ecuación (número 2), entonces el sistema (5) tomará la forma
Realicemos ahora las siguientes transformaciones en el sistema (6):
- resta la primera ecuación de la segunda ecuación y reemplaza la segunda ecuación del sistema con la diferencia resultante.
Como resultado, el sistema (6) se transforma en un sistema equivalente
De la segunda ecuación encontramos y= 3 , y sustituyendo este valor en la primera ecuación, obtenemos
Respuesta . (-2; 3) .
Ejemplo 3 . Encuentre todos los valores del parámetro p para los cuales el sistema de ecuaciones
A) tiene solución única;
b) tiene infinitas soluciones;
V) no tiene soluciones.
Solución . Expresando x en términos de y de la segunda ecuación del sistema (7) y sustituyendo la expresión resultante en lugar de x en la primera ecuación del sistema (7), obtenemos
Estudiemos las soluciones del sistema (8) en función de los valores del parámetro p. Para ello, primero consideramos la primera ecuación del sistema (8):
| y (2 - pag) (2 + pag) = 2 + pag | (9) |
Si 
, entonces la ecuación (9) tiene solución única
Así, en el caso de que , sistema (7) tiene la única solución
Si pag= - 2 , entonces la ecuación (9) toma la forma
y su solucion es cualquier numero 
. Por lo tanto, la solución del sistema (7) es conjunto infinito todo pares de numeros
,
donde y es cualquier número.
Si pag= 2 , entonces la ecuación (9) toma la forma
y no tiene soluciones, de donde se sigue que el sistema (7) no tiene soluciones.
Sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas
Definición 7 . Un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas x , y y z llaman al sistema de ecuaciones que tiene la forma
Dónde a 1 , b 1 , C 1 , d 1 , a 2 , b 2 , C 2 , d 2 , a 3 , b 3 , C 3 , d 3 se dan números.
Definición 8 . En el sistema de ecuaciones (10), los números a 1 , b 1 , C 1 , a 2 , b 2 , C 2 , a 3 , b 3 , C 3 llamado coeficientes en desconocido, y los números d 1 , d 2 , d 3 – miembros gratis.
Definición 9 . Resolviendo el sistema de ecuaciones (10) nombrar un trío de números (X; y ; z) , al sustituirlos en cada una de las tres ecuaciones del sistema (10), se obtiene la igualdad correcta.
Ejemplo 4 . Resolver un sistema de ecuaciones
Solución . Resolveremos el sistema (11) usando método de eliminación sucesiva de incógnitas.
Para esto, primero eliminamos la incógnita de la segunda y tercera ecuaciones del sistema y realizando las siguientes transformaciones en el sistema (11):
- dejamos la primera ecuación del sistema sin cambios;
- agregue la primera ecuación a la segunda ecuación y reemplace la segunda ecuación del sistema con la suma resultante;
- resta la primera ecuación de la tercera ecuación y reemplaza la tercera ecuación del sistema con la diferencia resultante.
Como resultado, el sistema (11) se transforma en
Una ecuación con una incógnita que, después de abrir los paréntesis y reducir los términos semejantes, toma la forma
hacha + b = 0, donde a y b son números arbitrarios, se llama ecuación lineal con una desconocida. Hoy descubriremos cómo resolver estas ecuaciones lineales.
Por ejemplo, todas las ecuaciones:
2x + 3 \u003d 7 - 0.5x; 0,3x = 0; x / 2 + 3 \u003d 1/2 (x - 2) - lineal.
El valor de la incógnita que convierte la ecuación en una verdadera igualdad se llama decisión o la raíz de la ecuación .
Por ejemplo, si en la ecuación 3x + 7 \u003d 13 sustituimos el número 2 en lugar de la incógnita x, entonces obtenemos la igualdad correcta 3 2 + 7 \u003d 13. Por lo tanto, el valor x \u003d 2 es la solución o la raíz de la ecuación.
Y el valor x \u003d 3 no convierte la ecuación 3x + 7 \u003d 13 en una verdadera igualdad, ya que 3 2 + 7 ≠ 13. Por lo tanto, el valor x \u003d 3 no es una solución o una raíz de la ecuación.
La solución de cualquier ecuación lineal se reduce a la solución de ecuaciones de la forma
hacha + b = 0.
Transferimos el término libre del lado izquierdo de la ecuación al lado derecho, mientras cambiamos el signo frente a b al opuesto, obtenemos
Si a ≠ 0, entonces x = – b/a .
Ejemplo 1 Resuelve la ecuación 3x + 2 =11.
Pasamos 2 del lado izquierdo de la ecuación a la derecha, mientras cambiamos el signo frente a 2 al opuesto, obtenemos
3x \u003d 11 - 2.
Hagamos la resta, entonces
3x = 9.
Para encontrar x, necesitas dividir el producto por un factor conocido, es decir,
x = 9:3.
Entonces el valor x = 3 es la solución o la raíz de la ecuación.
Respuesta: x = 3.
Si a = 0 y b = 0, luego obtenemos la ecuación 0x \u003d 0. Esta ecuación tiene infinitas soluciones, ya que al multiplicar cualquier número por 0, obtenemos 0, pero b también es 0. La solución a esta ecuación es cualquier número.
Ejemplo 2 Resuelve la ecuación 5(x - 3) + 2 = 3 (x - 4) + 2x - 1.
Expandamos los paréntesis:
5x - 15 + 2 \u003d 3x - 12 + 2x - 1.
5x - 3x - 2x \u003d - 12 - 1 + 15 - 2.
Aquí hay miembros similares:
0x = 0.
respuesta: x es cualquier numero.
Si a = 0 y b ≠ 0, entonces obtenemos la ecuación 0x = - b. Esta ecuación no tiene solución, ya que al multiplicar cualquier número por 0, obtenemos 0, pero b ≠ 0.
Ejemplo 3 Resuelve la ecuación x + 8 = x + 5.
Agrupemos en el lado izquierdo los términos que contienen incógnitas y en el lado derecho los términos libres:
x - x \u003d 5 - 8.
Aquí hay miembros similares:
0x = - 3.
Respuesta: no hay soluciones.
En Figura 1 se muestra el esquema para resolver la ecuación lineal
vamos a componer esquema general soluciones de ecuaciones con una variable. Considere la solución del ejemplo 4.
Ejemplo 4 Resolvamos la ecuación
1) Multiplica todos los términos de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores, igual a 12.
2) Después de la reducción obtenemos
4 (x - 4) + 3 2 (x + 1) - 12 = 6 5 (x - 3) + 24x - 2 (11x + 43)
3) Para separar los miembros que contienen miembros desconocidos y libres, abra los corchetes:
4x - 16 + 6x + 6 - 12 \u003d 30x - 90 + 24x - 22x - 86.
4) Agrupamos en una parte los términos que contienen incógnitas y en la otra los términos libres:
4x + 6x - 30x - 24x + 22x \u003d - 90 - 86 + 16 - 6 + 12.
5) Aquí hay miembros similares:
- 22x = - 154.
6) Dividir por - 22, Obtenemos
x = 7.
Como puedes ver, la raíz de la ecuación es siete.
En general, tal Las ecuaciones se pueden resolver de la siguiente manera.:
a) llevar la ecuación a una forma entera;
b) corchetes abiertos;
c) agrupar los términos que contienen la incógnita en una parte de la ecuación y los términos libres en la otra;
d) traer miembros similares;
e) resolver una ecuación de la forma aх = b, que se obtuvo después de traer términos semejantes.
Sin embargo, este esquema no es necesario para todas las ecuaciones. Al resolver muchas ecuaciones más simples, uno tiene que empezar no desde la primera, sino desde la segunda ( Ejemplo. 2), tercero ( Ejemplo. 13) e incluso desde la quinta etapa, como en el ejemplo 5.
Ejemplo 5 Resuelve la ecuación 2x = 1/4.
Encontramos la incógnita x \u003d 1/4: 2,
X = 1/8 .
Considere la solución de algunas ecuaciones lineales encontradas en el examen de estado principal.
Ejemplo 6 Resuelve la ecuación 2 (x + 3) = 5 - 6x.
2x + 6 = 5 - 6x
2x + 6x = 5 - 6
Respuesta: - 0.125
Ejemplo 7 Resuelva la ecuación - 6 (5 - 3x) \u003d 8x - 7.
– 30 + 18x = 8x – 7
18x - 8x = - 7 +30
Respuesta: 2.3
Ejemplo 8 Resuelve la ecuación
3(3x - 4) = 4 7x + 24
9x - 12 = 28x + 24
9x - 28x = 24 + 12
Ejemplo 9 Encuentre f(6) si f (x + 2) = 3 7
Solución
Como necesitamos encontrar f(6), y sabemos f (x + 2),
entonces x + 2 = 6.
Resolvemos la ecuación lineal x + 2 = 6,
obtenemos x \u003d 6 - 2, x \u003d 4.
Si x = 4 entonces
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27
Respuesta: 27.
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