Derivada de la raíz de una función compleja. Encuentra la derivada: algoritmo y ejemplos de soluciones.

En el que analizamos los derivados más simples, y también nos familiarizamos con las reglas de diferenciación y algunas técnicas para encontrar derivados. Por lo tanto, si no eres muy bueno con las derivadas de funciones o algunos puntos de este artículo no están del todo claros, entonces primero lee la lección anterior. Sintonice un estado de ánimo serio: el material no es fácil, pero intentaré presentarlo de manera simple y clara.

En la práctica, tienes que lidiar con la derivada de una función compleja muy a menudo, incluso diría que casi siempre, cuando te dan tareas para encontrar derivadas.

Miramos en la tabla la regla (No. 5) para diferenciar una función compleja:

Entendemos. En primer lugar, echemos un vistazo a la notación. Aquí tenemos dos funciones - y , y la función, en sentido figurado, está anidada en la función . Una función de este tipo (cuando una función está anidada dentro de otra) se denomina función compleja.

llamaré a la función función externa, y la función – función interna (o anidada).

! Estas definiciones no son teóricas y no deben aparecer en el diseño final de las asignaciones. Utilizo las expresiones informales "función externa", función "interna" solo para facilitarle la comprensión del material.

Para aclarar la situación, considere:

Ejemplo 1

Encontrar la derivada de una función

Debajo del seno, no solo tenemos la letra "x", sino la expresión completa, por lo que encontrar la derivada inmediatamente de la tabla no funcionará. También notamos que es imposible aplicar las primeras cuatro reglas aquí, parece haber una diferencia, pero el hecho es que es imposible "desgarrar" el seno:

En este ejemplo, ya de mis explicaciones, es intuitivamente claro que la función es una función compleja y el polinomio es una función interna (incrustación) y una función externa.

Primer paso, que debe realizarse cuando encontrar la derivada de una función compleja es entender qué función es interna y cuál es externa.

En el caso de ejemplos simples, parece claro que un polinomio está anidado debajo del seno. Pero, ¿y si no es obvio? ¿Cómo determinar exactamente qué función es externa y cuál es interna? Para ello, propongo utilizar la siguiente técnica, que puede llevarse a cabo mentalmente o sobre un borrador.

Imaginemos que necesitamos calcular el valor de la expresión con una calculadora (en lugar de una, puede ser cualquier número).

¿Qué calculamos primero? Ante todo deberá realizar la siguiente acción: , por lo que el polinomio será una función interna:

en segundo lugar necesitará encontrar, por lo que el seno - será una función externa:

Después de que nosotros COMPRENDER con funciones internas y externas, es hora de aplicar la regla de diferenciación de funciones compuestas .

Empezamos a decidir. de la lección ¿Cómo encontrar la derivada? recordamos que el diseño de la solución de cualquier derivada siempre comienza así - encerramos la expresión entre paréntesis y ponemos un trazo en la parte superior derecha:

En primer lugar encontramos la derivada de la función externa (seno), miramos la tabla de derivadas de funciones elementales y observamos que . Todas las fórmulas tabulares son aplicables incluso si "x" se reemplaza por una expresión compleja, en este caso:

Tenga en cuenta que la función interna no ha cambiado, no lo tocamos.

Bueno, es bastante obvio que

El resultado de aplicar la fórmula limpio se ve así:

El factor constante generalmente se coloca al comienzo de la expresión:

Si hay algún malentendido, anote la decisión en un papel y lea las explicaciones nuevamente.

Ejemplo 2

Encontrar la derivada de una función

Ejemplo 3

Encontrar la derivada de una función

Como siempre, escribimos:

Averiguamos dónde tenemos una función externa y dónde una interna. Para ello, intentamos (mentalmente o en un borrador) calcular el valor de la expresión para . ¿Qué hay que hacer primero? En primer lugar, debe calcular a qué es igual la base:, lo que significa que el polinomio es la función interna:

Y, solo entonces se realiza la exponenciación, por lo tanto, la función potencia es una función externa:

Según la fórmula , primero necesitas encontrar la derivada de la función externa, en este caso, el grado. Estamos buscando la fórmula deseada en la tabla:. Repetimos de nuevo: cualquier fórmula tabular es válida no solo para "x", sino también para una expresión compleja. Así, el resultado de aplicar la regla de diferenciación de una función compleja próximo:

Vuelvo a recalcar que cuando tomamos la derivada de la función exterior, la función interior no cambia:

Ahora queda encontrar una derivada muy simple de la función interna y “peinar” un poco el resultado:

Ejemplo 4

Encontrar la derivada de una función

Este es un ejemplo de auto-resolución (respuesta al final de la lección).

Para consolidar la comprensión de la derivada de una función compleja, daré un ejemplo sin comentarios, trate de resolverlo por su cuenta, razón, ¿dónde está la función externa y dónde está la función interna, por qué las tareas se resuelven de esa manera?

Ejemplo 5

a) Hallar la derivada de una función

b) Hallar la derivada de la función

Ejemplo 6

Encontrar la derivada de una función

Aquí tenemos una raíz, y para poder diferenciar la raíz, se debe representar como un grado. Por lo tanto, primero llevamos la función a la forma adecuada para la diferenciación:

Al analizar la función, llegamos a la conclusión de que la suma de tres términos es una función interna y la exponenciación es una función externa. Aplicamos la regla de diferenciación de una función compleja :

El grado se representa nuevamente como un radical (raíz), y para la derivada de la función interna, aplicamos una regla simple para diferenciar la suma:

Listo. También puedes llevar la expresión a un denominador común entre paréntesis y escribir todo como una fracción. Es hermoso, por supuesto, pero cuando se obtienen derivadas largas engorrosas, es mejor no hacer esto (es fácil confundirse, cometer un error innecesario y será un inconveniente para el maestro verificar).

Ejemplo 7

Encontrar la derivada de una función

Este es un ejemplo de auto-resolución (respuesta al final de la lección).

Es interesante notar que a veces, en lugar de la regla para derivar una función compleja, se puede usar la regla para derivar un cociente , pero tal solución parecerá una perversión inusual. Aquí está un ejemplo típico:

Ejemplo 8

Encontrar la derivada de una función

Aquí puedes usar la regla de derivación del cociente , pero es mucho más rentable encontrar la derivada mediante la regla de diferenciación de una función compleja:

Preparamos la función para la diferenciación: quitamos el signo menos de la derivada y elevamos el coseno al numerador:

El coseno es una función interna, la exponenciación es una función externa.
Usemos nuestra regla :

Encontramos la derivada de la función interna, restablecemos el coseno hacia abajo:

Listo. En el ejemplo considerado, es importante no confundirse en los signos. Por cierto, intenta resolverlo con la regla , las respuestas deben coincidir.

Ejemplo 9

Encontrar la derivada de una función

Este es un ejemplo de auto-resolución (respuesta al final de la lección).

Hasta ahora, hemos considerado casos en los que solo teníamos un anidamiento en una función compleja. En las tareas prácticas, a menudo puede encontrar derivados, donde, como muñecos anidados, uno dentro del otro, se anidan 3 o incluso 4-5 funciones a la vez.

Ejemplo 10

Encontrar la derivada de una función

Entendemos los archivos adjuntos de esta función. Tratamos de evaluar la expresión usando el valor experimental. ¿Cómo contaríamos con una calculadora?

Primero necesitas encontrar, lo que significa que el arcoseno es el anidamiento más profundo:

Este arcoseno de la unidad debe elevarse al cuadrado:

Y finalmente, elevamos el siete a la potencia:

Es decir, en este ejemplo tenemos tres funciones diferentes y dos anidamientos, mientras que la función más interna es el arcoseno y la función más externa es la función exponencial.

empezamos a decidir

En concordancia con reglas primero necesitas tomar la derivada de la función exterior. Miramos la tabla de derivadas y encontramos la derivada de la función exponencial: La única diferencia es que en lugar de "x" tenemos una expresión compleja, que no niega la validez de esta fórmula. Entonces, el resultado de aplicar la regla de diferenciación de una función compleja próximo.

Se dan ejemplos de cómo calcular derivadas usando la fórmula para la derivada de una función compleja.

Contenido

Ver también: Prueba de la fórmula de la derivada de una función compleja

fórmulas básicas

Aquí damos ejemplos de cálculo de derivadas de las siguientes funciones:
; ; ; ; .

Si una función se puede representar como una función compleja de la siguiente forma:
,
entonces su derivada está determinada por la fórmula:
.
En los ejemplos a continuación, escribiremos esta fórmula de la siguiente forma:
.
donde .
Aquí, los subíndices o , ubicados bajo el signo de la derivada, denotan la variable con respecto a la cual se realiza la diferenciación.

Por lo general, en las tablas de derivadas, se dan las derivadas de funciones de la variable x. Sin embargo, x es un parámetro formal. La variable x puede ser reemplazada por cualquier otra variable. Por tanto, al diferenciar una función de una variable, simplemente cambiamos, en la tabla de derivadas, la variable x por la variable u.

Ejemplos simples

Ejemplo 1

Encuentra la derivada de una función compleja
.

Escribimos la función dada en una forma equivalente:
.
En la tabla de derivadas encontramos:
;
.

De acuerdo con la fórmula para la derivada de una función compleja, tenemos:
.
Aquí .

Ejemplo 2

Encontrar derivada
.

Sacamos la constante 5 más allá del signo de la derivada y de la tabla de derivadas encontramos:
.

.
Aquí .

Ejemplo 3

Encuentra la derivada
.

Sacamos la constante -1 para el signo de la derivada y de la tabla de derivadas encontramos:
;
De la tabla de derivadas encontramos:
.

Aplicamos la fórmula para la derivada de una función compleja:
.
Aquí .

Ejemplos más complejos

En ejemplos más complejos, aplicamos la regla de diferenciación de funciones compuestas varias veces. Al hacerlo, calculamos la derivada desde el final. Es decir, descomponemos la función en sus partes componentes y encontramos las derivadas de las partes más simples usando tabla de derivadas. también aplicamos reglas de diferenciación de suma, productos y fracciones . Luego hacemos sustituciones y aplicamos la fórmula para la derivada de una función compleja.

Ejemplo 4

Encuentra la derivada
.

Seleccionamos la parte más simple de la fórmula y encontramos su derivada. .

.
Aquí hemos usado la notación
.

Encontramos la derivada de la siguiente parte de la función original, aplicando los resultados obtenidos. Aplicamos la regla de diferenciación de la suma:
.

Una vez más, aplicamos la regla de diferenciación de una función compleja.

.
Aquí .

Ejemplo 5

Encontrar la derivada de una función
.

Seleccionamos la parte más simple de la fórmula y encontramos su derivada de la tabla de derivadas. .

Aplicamos la regla de diferenciación de una función compleja.
.
Aquí
.

Diferenciamos la siguiente parte, aplicando los resultados obtenidos.
.
Aquí
.

Vamos a diferenciar la siguiente parte.

.
Aquí
.

Ahora encontramos la derivada de la función deseada.

.
Aquí
.

Ver también:

Y el teorema de la derivada de una función compleja, cuya formulación es la siguiente:

Sea 1) la función $u=\varphi (x)$ tiene una derivada $u_(x)"=\varphi"(x_0)$ en algún punto $x_0$, 2) la función $y=f(u)$ tiene en el punto correspondiente $u_0=\varphi (x_0)$ la derivada $y_(u)"=f"(u)$. Entonces la función compleja $y=f\left(\varphi (x) \right)$ en el punto mencionado también tendrá una derivada igual al producto de las derivadas de las funciones $f(u)$ y $\varphi ( x)$:

$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \right)\cdot \varphi"(x_0) $$

o, en notación más corta: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$.

En los ejemplos de esta sección, todas las funciones tienen la forma $y=f(x)$ (es decir, consideramos solo funciones de una variable $x$). En consecuencia, en todos los ejemplos, la derivada $y"$ se toma con respecto a la variable $x$. Para enfatizar que la derivada se toma con respecto a la variable $x$, a menudo se escribe $y"_x$ en lugar de $ y"$.

Los ejemplos n.º 1, n.º 2 y n.º 3 proporcionan un proceso detallado para encontrar la derivada de funciones complejas. El ejemplo No. 4 está destinado a una comprensión más completa de la tabla de derivadas y tiene sentido que se familiarice con ella.

Es recomendable, después de estudiar el material en los ejemplos No. 1-3, pasar a resolver de forma independiente los ejemplos No. 5, No. 6 y No. 7. Los ejemplos n.º 5, n.º 6 y n.º 7 contienen una solución corta para que el lector pueda comprobar la exactitud de su resultado.

Ejemplo 1

Encuentra la derivada de la función $y=e^(\cos x)$.

Necesitamos encontrar la derivada de la función compleja $y"$. Como $y=e^(\cos x)$, entonces $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$. Para encuentra la derivada $ \left(e^(\cos x)\right)"$ usa la fórmula #6 de la tabla de derivadas. Para usar la fórmula No. 6, debes tener en cuenta que en nuestro caso $u=\cos x$. La solución adicional consiste en una sustitución banal de la expresión $\cos x$ en lugar de $u$ en la fórmula No. 6:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \tag (1.1)$$

Ahora necesitamos encontrar el valor de la expresión $(\cos x)"$. Nuevamente volvemos a la tabla de derivadas, eligiendo la fórmula No. 10 de ella. Sustituyendo $u=x$ en la fórmula No. 10, tenemos : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$. Ahora continuamos con la igualdad (1.1), complementándola con el resultado encontrado:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \tag (1.2) $$

Como $x"=1$, continuamos con la igualdad (1.2):

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \tag (1.3) $$

Entonces, de la igualdad (1.3) tenemos: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$. Naturalmente, se suelen saltar explicaciones e igualdades intermedias, escribiendo la derivada en una sola línea, como en la igualdad ( 1.3) Entonces, se ha encontrado la derivada de la función compleja, solo queda escribir la respuesta.

Responder: $y"=-\sen x\cdot e^(\cos x)$.

Ejemplo #2

Encuentra la derivada de la función $y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$.

Necesitamos calcular la derivada $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Para empezar, notamos que la constante (es decir, el número 9) se puede sacar del signo de la derivada:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)" \tag (2.1) $$

Ahora pasemos a la expresión $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Para facilitar la selección de la fórmula deseada de la tabla de derivadas, presentaré la expresión en cuestión de esta forma: $\left( \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. Ahora está claro que es necesario usar la fórmula No. 2, es decir $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Sustituye $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ y $\alpha=12$ en esta fórmula:

Complementando la igualdad (2.1) con el resultado obtenido, tenemos:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \tag (2.2) $$

En esta situación, a menudo se comete un error cuando el solucionador en el primer paso elige la fórmula $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ en lugar de la fórmula $\left(u^\ alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. El punto es que primero se debe encontrar la derivada de la función externa. Para entender qué función será externa a la expresión $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$, imagina que estás contando el valor de la expresión $\arctg^(12)(4\cdot 5^ x)$ por algún valor de $x$. Primero calcula el valor de $5^x$, luego multiplica el resultado por 4 para obtener $4\cdot 5^x$. Ahora tomamos la arcotangente de este resultado, obteniendo $\arctg(4\cdot 5^x)$. Luego elevamos el número resultante a la duodécima potencia, obteniendo $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$. La última acción, es decir. elevando a la potencia de 12, - y será una función externa. Y es a partir de ahí que se debe empezar a encontrar la derivada, lo cual se hizo en la igualdad (2.2).

Ahora necesitamos encontrar $(\arctg(4\cdot \ln x))"$. Usamos la fórmula No. 19 de la tabla de derivadas, sustituyendo $u=4\cdot \ln x$ en ella:

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Simplifiquemos ligeramente la expresión resultante, teniendo en cuenta $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$.

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

La igualdad (2.2) ahora se convertirá en:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" \etiqueta (2.3) $$

Queda por encontrar $(4\cdot \ln x)"$. Sacamos la constante (es decir, 4) del signo de la derivada: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x )"$. Para Para encontrar $(\ln x)"$, usamos la fórmula No. 8, sustituyendo $u=x$ en ella: $(\ln x)"=\frac(1)(x) \cdot x"$. Como $x"=1$, entonces $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x ) $ Sustituyendo el resultado obtenido en la fórmula (2.3), obtenemos:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)).$ PS

Permíteme recordarte que la derivada de una función compleja suele estar en una línea, como está escrito en la última igualdad. Por lo tanto, al realizar cálculos o pruebas estándar, no es necesario pintar la solución con el mismo detalle.

Responder: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$.

Ejemplo #3

Encuentra $y"$ de la función $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$.

Primero, transformemos ligeramente la función $y$ expresando el radical (raíz) como una potencia: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9 ^x) \right)^(\frac(3)(7))$. Ahora vamos a empezar a encontrar la derivada. Como $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$, entonces:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)" \tag (3.1) $$

Usamos la fórmula No. 2 de la tabla de derivadas, reemplazando $u=\sin(5\cdot 9^x)$ y $\alpha=\frac(3)(7)$ en ella:

$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$

Continuamos la igualdad (3.1) utilizando el resultado obtenido:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \tag (3.2) $$

Ahora necesitamos encontrar $(\sin(5\cdot 9^x))"$. Para esto, usamos la fórmula No. 9 de la tabla de derivadas, sustituyendo $u=5\cdot 9^x$ en ella:

$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$

Complementando la igualdad (3.2) con el resultado obtenido, tenemos:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)" \etiqueta (3.3) $$

Queda por encontrar $(5\cdot 9^x)"$. Primero, sacamos la constante (el número $5$) del signo de la derivada, es decir $(5\cdot 9^x)"=5\ cdot (9^x) "$. Para encontrar la derivada $(9^x)"$, aplicamos la fórmula No. 5 de la tabla de derivadas, reemplazando $a=9$ y $u=x$ en ella: $ (9^x)"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$. Como $x"=1$, entonces $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. Ahora podemos continuar con la igualdad (3.3):

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$

Puede volver de potencias a radicales (es decir, raíces) nuevamente escribiendo $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ como $\ frac(1 )(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^ x)))$. Entonces la derivada se escribirá de la siguiente forma:

$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))). $$

Responder: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^x)))$.

Ejemplo #4

Demuestre que las fórmulas No. 3 y No. 4 de la tabla de derivadas son un caso especial de la fórmula No. 2 de esta tabla.

En la fórmula No. 2 de la tabla de derivadas se escribe la derivada de la función $u^\alpha$. Sustituyendo $\alpha=-1$ en la fórmula #2, obtenemos:

$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\tag (4.1)$$

Dado que $u^(-1)=\frac(1)(u)$ y $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$, la igualdad (4.1) se puede reescribir de la siguiente manera: $ \left(\frac(1)(u) \right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. Esta es la fórmula número 3 de la tabla de derivadas.

Volvamos de nuevo a la fórmula No. 2 de la tabla de derivadas. Sustituye $\alpha=\frac(1)(2)$ en él:

$$\left(u^(\frac(1)(2))\right)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\tag (4.2) $$

Dado que $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ y $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac( 1 )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$, entonces la igualdad (4.2) se puede reescribir de la siguiente manera:

$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$

La igualdad resultante $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ es la fórmula No. 4 de la tabla de derivadas. Como puede ver, las fórmulas No. 3 y No. 4 de la tabla de derivadas se obtienen a partir de la fórmula No. 2 sustituyendo el valor correspondiente de $\alpha$.

Las funciones de forma compleja no son del todo correctas para llamar al término "función compleja". Por ejemplo, se ve muy impresionante, pero esta función no es complicada, a diferencia.

En este artículo, trataremos el concepto de función compleja, aprenderemos a identificarla como parte de funciones elementales, daremos una fórmula para encontrar su derivada y consideraremos en detalle la solución de ejemplos típicos.

Al resolver ejemplos, usaremos constantemente la tabla de derivadas y las reglas de diferenciación, así que manténgalas frente a sus ojos.

función compleja es una función cuyo argumento también es una función.

Desde nuestro punto de vista, esta definición es la más comprensible. Convencionalmente, se puede denotar como f(g(x)) . Es decir, g(x) es, por así decirlo, un argumento de la función f(g(x)) .

Por ejemplo, si f es la función arcotangente y g(x) = lnx es la función de logaritmo natural, entonces la función compleja f(g(x)) es arctg(lnx) . Otro ejemplo: f es una función de elevar a la cuarta potencia, y es una función racional entera (ver ), entonces .

A su vez, g(x) también puede ser una función compleja. Por ejemplo, . Convencionalmente, tal expresión se puede denotar como . Aquí f es la función seno, es la función raíz cuadrada, es una función racional fraccionaria. Es lógico suponer que el grado de anidamiento de funciones puede ser cualquier número natural finito.

A menudo puedes escuchar que una función compleja se llama composición de funciones.

La fórmula para encontrar la derivada de una función compleja.

Ejemplo.

Encuentra la derivada de una función compleja.

Solución.

En este ejemplo, f es una función cuadrática y g(x) = 2x+1 es una función lineal.

Aquí hay una solución detallada usando la fórmula para la derivada de una función compleja:

Encontremos esta derivada, después de simplificar la forma de la función original.

Como consecuencia,

Como puede ver, los resultados coinciden.

Trate de no confundir qué función es f y cuál es g(x) .

Expliquemos esto con un ejemplo para llamar la atención.

Ejemplo.

Encuentra derivadas de funciones complejas y .

Solución.

En el primer caso, f es la función cuadrática y g(x) es la función seno, por lo que
.

En el segundo caso, f es una función seno y es una función potencia. Por lo tanto, por la fórmula del producto de una función compleja, tenemos

La fórmula de la derivada de una función tiene la forma

Ejemplo.

diferenciar función .

Solución.

En este ejemplo, la función compleja se puede escribir condicionalmente como , donde es la función seno, la función de elevar a la tercera potencia, la función logaritmo a la base e, la función de sacar el arco tangente y la función lineal, respectivamente.

Según la fórmula de la derivada de una función compleja

ahora encontramos

Juntando los resultados intermedios obtenidos:

No hay nada terrible, desmonte funciones complejas como muñecas anidadas.

Esto podría haber terminado el artículo, si no fuera por uno pero...

Es deseable entender claramente cuándo aplicar las reglas de derivación y la tabla de derivadas, y cuándo la fórmula para la derivada de una función compleja.

TEN MUCHO CUIDADO AHORA. Hablaremos de la diferencia entre funciones complejas y funciones complejas. De cuánto vea esta diferencia, dependerá el éxito en la búsqueda de derivados.

Comencemos con ejemplos simples. Función puede ser considerado como complejo: g(x) = tgx , . Por lo tanto, puede aplicar inmediatamente la fórmula para la derivada de una función compleja

Y aquí está la función. ya no se puede llamar difícil.

Esta función es la suma de tres funciones , 3tgx y 1 . Aunque - es una función compleja: - es una función de potencia (una parábola cuadrática), y f es una función tangente. Por lo tanto, primero aplicamos la fórmula para diferenciar la suma:

Queda por encontrar la derivada de una función compleja:

Es por eso .

Esperamos que entiendas la esencia.

Si observa de manera más amplia, se puede argumentar que las funciones de tipo complejo pueden ser parte de funciones complejas y las funciones complejas pueden ser componentes de funciones de tipo complejo.

Como ejemplo, analicemos las partes componentes de la función .

en primer lugar, es una función compleja que se puede representar como , donde f es la función logarítmica en base 3 y g(x) es la suma de las dos funciones Y . Es decir, .

en segundo lugar, tratemos con la función h(x) . esta relacionado con .

Esta es la suma de dos funciones y , donde - una función compleja con un coeficiente numérico de 3 . - función cúbica, - función coseno, - función lineal.

Esta es la suma de dos funciones y , donde - función compleja, - función exponencial, - función exponencial.

De este modo, .

En tercer lugar, ir a , que es el producto de una función compleja y toda una función racional

La función de elevar al cuadrado es la función logarítmica en base e.

Como consecuencia, .

Para resumir:

Ahora la estructura de la función es clara y quedó claro qué fórmulas y en qué secuencia aplicar al diferenciarla.

En la sección derivación de una función (encontrar una derivada) puedes encontrar la solución de tales problemas.