مشتقات جزئی توابع چند متغیر توابعی از همان متغیرها هستند. این توابع به نوبه خود ممکن است مشتقات جزئی داشته باشند که ما آنها را مشتقات جزئی دوم (یا مشتقات جزئی مرتبه دوم) تابع اصلی می نامیم.

برای مثال، یک تابع از دو متغیر دارای چهار مشتق جزئی مرتبه دوم است که به صورت زیر تعریف و نشان داده می شوند:

تابعی از سه متغیر دارای 9 مشتق جزئی مرتبه دوم است:

مشتقات جزئی مرتبه سوم و بالاتر تابعی از چندین متغیر به روشی مشابه تعریف و نشان داده می شوند: مشتق جزئی مرتبه تابعی از چندین متغیر، مشتق جزئی مرتبه اول مشتق جزئی مرتبه است. از همان عملکرد

به عنوان مثال، مشتق جزئی مرتبه سوم یک تابع، مشتق جزئی مرتبه اول نسبت به y از مشتق جزئی مرتبه دوم است.

مشتق جزئی دوم یا بالاتر گرفته شده با توجه به چندین متغیر مختلف، مشتق جزئی مختلط نامیده می شود.

به عنوان مثال، مشتقات جزئی

مشتقات جزئی مخلوط یک تابع از دو متغیر هستند.

مثال. مشتقات جزئی مخلوط مرتبه دوم یک تابع را پیدا کنید

راه حل. یافتن مشتقات جزئی مرتبه اول

سپس مشتقات جزئی مخلوط مرتبه دوم را پیدا می کنیم

می بینیم که مشتقات جزئی مخلوط شده و فقط در ترتیب تمایز متفاوت هستند، یعنی در ترتیبی که در آن تمایز با توجه به متغیرهای مختلف انجام می شود، به طور یکسان برابر است. این نتیجه تصادفی نیست. در مورد مشتقات جزئی مختلط، قضیه زیر صادق است که بدون اثبات آن را می پذیریم.

ما موضوع مورد علاقه تجزیه و تحلیل ریاضی - مشتقات را ادامه می دهیم. در این مقاله نحوه پیدا کردن را یاد خواهیم گرفت مشتقات جزئی تابعی از سه متغیر: مشتقات اول و مشتقات دوم. چه چیزی را باید بدانید و بتوانید بر مطالب تسلط داشته باشید؟ باور نکنید، اما، اولاً، باید بتوانید مشتقات "معمولی" یک تابع یک متغیر - در سطح بالا یا حداقل متوسط ​​را پیدا کنید. اگر واقعاً با آنها تنگ است، پس با یک درس شروع کنید چگونه مشتق را پیدا کنیم؟ثانیاً خواندن مقاله و درک و حل کردن، اگر نه همه، بیشتر مثال ها بسیار مهم است. اگر این کار قبلا انجام شده است، با یک راه رفتن مطمئن با من راه بروید، جالب خواهد بود، حتی لذت خواهید برد!

روش ها و اصول یافتن مشتقات جزئی تابعی از سه متغیردر واقع بسیار شبیه توابع مشتق جزئی دو متغیر هستند. به شما یادآوری می کنم که تابع دو متغیر دارای شکل است که "x" و "y" متغیرهای مستقل هستند. از نظر هندسی، تابعی از دو متغیر یک سطح معین در فضای سه بعدی ما است.

تابع سه متغیر به شکل است، در حالی که متغیرها فراخوانی می شوند مستقلمتغیرهایا استدلال ها، متغیر نامیده می شود متغیر وابستهیا عملکرد. به عنوان مثال: - تابعی از سه متغیر

و اکنون کمی در مورد فیلم های علمی تخیلی و بیگانگان. شما اغلب در مورد 4D، 5D، 10D و غیره می شنوید. فضاها مزخرف است یا نه؟
از این گذشته، عملکرد سه متغیر بر این واقعیت دلالت دارد که همه چیز در یک فضای چهار بعدی اتفاق می افتد (در واقع، چهار متغیر وجود دارد). نمودار یک تابع از سه متغیر به اصطلاح فوق سطحی. تصور آن غیرممکن است، زیرا ما در یک فضای سه بعدی (طول/عرض/ارتفاع) زندگی می کنیم. برای اینکه حوصله من سر نرود، یک مسابقه پیشنهاد می کنم. من چند سوال می پرسم و کسانی که مایلند می توانند سعی کنند به آنها پاسخ دهند:

- آیا در دنیا چهارمی، پنجمی و... وجود دارد؟ اندازه‌گیری‌ها به معنای درک فلسطایی از فضا (طول/عرض/ارتفاع)؟

- آیا امکان ساخت چهاربعدی، پنج بعدی و ... وجود دارد. فضا به معنای وسیع کلمه؟ یعنی مثالی از چنین فضایی در زندگی خود بزنیم.

آیا می توان به گذشته سفر کرد؟

آیا امکان سفر به آینده وجود دارد؟

- آیا موجودات فضایی وجود دارند؟

برای هر سوالی، می توانید یکی از چهار پاسخ را انتخاب کنید:
بله / خیر (علم این را منع می کند) / علم منع نمی کند / نمی دانم

هر کس به همه سؤالات درست پاسخ دهد، به احتمال زیاد چیزهایی دارد ;-)

من به تدریج در طول درس به سوالات پاسخ خواهم داد، از مثال ها نگذرید!

در واقع آنها پرواز کردند. و حالا خبر خوب: برای تابعی از سه متغیر، قوانین تمایز و جدول مشتقات معتبر است. به همین دلیل است که باید در مدیریت "معمولی" خوب باشید مشتقات توابعیک متغیر تفاوت های بسیار کمی وجود دارد!

مثال 1

راه حل:به راحتی می توان حدس زد که برای یک تابع از سه متغیر وجود دارد سهمشتقات جزئی مرتبه اول که به صورت زیر نشان داده می شوند:

یا - مشتق جزئی "x"؛
یا - مشتق جزئی با توجه به "y"؛
یا - مشتق جزئی با توجه به "z".

علامت گذاری با سکته مغزی بیشتر مورد استفاده قرار می گیرد، اما کامپایلرهای مجموعه ها، کتابچه های راهنما در شرایط وظایف بسیار علاقه مند به استفاده از نمادهای دست و پا گیر هستند - بنابراین گم نشوید! شاید همه نمی دانند چگونه این "کسری های وحشتناک" را با صدای بلند بخوانند. مثال: باید به صورت زیر خوانده شود: “de u po de x”.

بیایید با مشتق x شروع کنیم: . وقتی مشتق جزئی را با توجه به ، سپس متغیرها و ثابت در نظر گرفته می شوند (اعداد ثابت).و مشتق هر ثابت، اوه، لطف، برابر با صفر است:

فوراً به زیرنویس توجه کنید - هیچ کس شما را از علامت گذاری ثابت بودن آنها منع نمی کند. این حتی راحت تر است، توصیه می کنم مبتدیان از چنین رکوردی استفاده کنند، خطر سردرگمی کمتری وجود دارد.

(1) ما از خواص خطی بودن مشتق استفاده می کنیم، به ویژه، ما تمام ثابت ها را از علامت مشتق خارج می کنیم. لطفاً توجه داشته باشید که در جمله دوم، ثابت نیازی به خارج کردن ندارد: از آنجایی که "y" یک ثابت است، پس ثابت است. در اصطلاح، ثابت «معمول» 8 و ثابت «zet» از علامت مشتق خارج می شوند.

(2) ما ساده ترین مشتق ها را می یابیم، بدون اینکه فراموش کنیم که ثابت هستند. بعد، پاسخ را شانه کنید.

مشتق جزئی . وقتی مشتق جزئی را با توجه به "y" پیدا می کنیم، سپس متغیرها را پیدا می کنیم و ثابت در نظر گرفته می شوند:

(1) ما از ویژگی های خطی بودن استفاده می کنیم. و مجدداً توجه داشته باشید که عبارت‌ها ثابت هستند، به این معنی که برای علامت مشتق نیازی به برداشتن چیزی نیست.

(2) ما مشتقات را می یابیم، بدون اینکه ثابت ها را فراموش کنیم. بیایید پاسخ را ساده کنیم.

و در نهایت مشتق جزئی. وقتی مشتق جزئی را با توجه به "z" پیدا می کنیم، سپس متغیرها را پیدا می کنیم و ثابت در نظر گرفته می شوند:

قانون کلیواضح و بی تکلف: وقتی مشتق جزئی را پیدا می کنیمبرای هرچی پس متغیر مستقلدو نفر دیگر متغیرهای مستقل ثابت در نظر گرفته می شوند.

هنگام طراحی این وظایف، باید بسیار مراقب باشید، به ویژه، نمی توان اشتراک ها را از دست داد(که نشان می دهد بر روی کدام متغیر تمایز ایجاد شده است). از دست دادن شاخص یک خطای بزرگ خواهد بود. هوم…. خنده دار است اگر پس از چنین ارعابی، من خودم جایی برای آنها دلتنگ شوم)

مثال 2

مشتقات جزئی مرتبه اول تابع سه متغیر را بیابید

این یک مثال برای خودتان است. حل کامل و پاسخ در پایان درس.

دو مثال در نظر گرفته شده بسیار ساده هستند و با حل چندین مشکل مشابه، حتی یک قوری با سرکوب کلامی آنها سازگار می شود.

برای تخلیه بار برگردیم به سوال اول مسابقه: آیا در دنیا چهارمی، پنجمی و... وجود دارد؟ اندازه‌گیری‌ها به معنای درک فلسطایی از فضا (طول/عرض/ارتفاع)؟

پاسخ صحیح: علم آن را منع نمی کند.. همه بدیهیات اساسی ریاضی، قضایا، دستگاه های ریاضی زیبا و استوارکار در فضایی با هر ابعادی ممکن است در جایی از کیهان ابرسطحی هایی وجود داشته باشند که تابع ذهن ما نیستند، مثلاً یک ابر سطح چهار بعدی که با تابعی از سه متغیر به دست می آید. یا ممکن است در کنار ما ابرسطوح هایی وجود داشته باشد یا حتی ما در آنها حق داریم، فقط بینایی ما، سایر اندام های حسی، آگاهی قادر به درک و درک فقط سه بعد هستند.

بیایید به مثال ها برگردیم. بله، اگر کسی به شدت با یک مسابقه بارگذاری شده است، بهتر است پس از یادگیری نحوه یافتن مشتقات جزئی یک تابع از سه متغیر، پاسخ سوالات زیر را بخوانید، در غیر این صورت من تمام مغز را برای شما در این قسمت بیرون می‌آورم. دوره مقاله =)

علاوه بر ساده ترین مثال های 1،2، در عمل وظایفی وجود دارد که می توان آنها را یک پازل کوچک نامید. چنین نمونه‌هایی، با آزار من، وقتی درس را ایجاد کردم، از دید من خارج شد. مشتقات جزئی توابع دو متغیر. جبران زمان از دست رفته:

مثال 3

راه حل:به نظر می رسد "همه چیز ساده است"، اما اولین برداشت فریبنده است. هنگام یافتن مشتقات جزئی، بسیاری از قهوه را حدس می زنند و اشتباه می کنند.

بیایید مثال را به طور مداوم، واضح و روشن تحلیل کنیم.

بیایید با مشتق جزئی نسبت به x شروع کنیم. وقتی مشتق جزئی را با توجه به "x" پیدا می کنیم، آنگاه متغیرها ثابت در نظر گرفته می شوند. بنابراین، شاخص تابع ما نیز ثابت است. برای ساختگی ها، من راه حل زیر را توصیه می کنم: در پیش نویس، ثابت را به یک عدد صحیح مثبت خاص، به عنوان مثال، به "پنج" تغییر دهید. نتیجه تابعی از یک متغیر است:
یا می توانید آن را به صورت زیر بنویسید:

آی تی قدرتتابع با پایه پیچیده (سینوس). توسط :

حالا به یاد داشته باشید که به این ترتیب:

در یک کپی تمیز، البته، راه حل باید به این صورت ترسیم شود:

مشتق جزئی را با توجه به "y" پیدا می کنیم، آنها ثابت در نظر گرفته می شوند. اگر "x" یک ثابت است، پس ثابت است. در پیش نویس، ما همان ترفند را انجام می دهیم: به عنوان مثال، با 3، "Z" جایگزین می کنیم - آن را با همان "پنج" جایگزین می کنیم. نتیجه دوباره تابعی از یک متغیر است:

آی تی تظاهراتتابع با توان مختلط توسط قانون تمایز یک تابع پیچیده:

حالا جایگزین ما را به خاطر بسپارید:

به این ترتیب:

در یک کپی تمیز، البته، طرح باید زیبا به نظر برسد:

و یک جعبه آینه با مشتق جزئی با توجه به "z" (- ثابت):

با کمی تجربه، تجزیه و تحلیل را می توان به صورت ذهنی انجام داد.

ما قسمت دوم کار را انجام می دهیم - ما یک دیفرانسیل از مرتبه اول را می سازیم. بسیار ساده است، بر اساس قیاس با تابعی از دو متغیر، دیفرانسیل مرتبه اول با فرمول نوشته می شود:

در این مورد:

و سپس تجارت. متذکر می شوم که در مسائل عملی، دیفرانسیل کامل مرتبه 1 تابعی از سه متغیر باید بسیار کمتر از تابعی از دو متغیر کامپایل شود.

یک مثال جالب برای راه حلی که خودتان انجام دهید:

مثال 4

مشتقات جزئی مرتبه اول تابعی از سه متغیر را پیدا کنید و دیفرانسیل کل مرتبه اول بسازید.

حل کامل و پاسخ در پایان درس. اگر مشکلی دارید، از الگوریتم "chainikov" در نظر گرفته شده استفاده کنید، تضمین شده است که کمک می کند. و یک نکته مفید دیگر - عجله نکن. چنین مثال هایی حتی توسط من هم به سرعت حل نمی شود.

سوال دوم را پرت می کنیم و تحلیل می کنیم: آیا می توان چهار بعدی، پنج بعدی و غیره ساخت؟ فضا به معنای وسیع کلمه؟ یعنی مثالی از چنین فضایی در زندگی خود بزنیم.

پاسخ صحیح: آره. و، بسیار آسان است. به عنوان مثال، ما یک بعد چهارم را به طول / عرض / ارتفاع - زمان اضافه می کنیم. فضا-زمان چهار بعدی محبوب و نظریه معروف نسبیت که انیشتین با دقت از لوباچفسکی، پوانکاره، لورنتس و مینکوفسکی دزدیده است. همه هم نمی دانند. چرا انیشتین جایزه نوبل را گرفت؟ رسوایی وحشتناکی در دنیای علمی رخ داد و کمیته نوبل شایستگی سرقت ادبی را اینگونه بیان کرد: "برای کمک کلی به توسعه فیزیک." پس همین است. برند درجه C انیشتین تبلیغات و روابط عمومی خالص است.

به راحتی می توان یک بعد پنجم را به فضای چهار بعدی در نظر گرفته اضافه کرد، به عنوان مثال: فشار اتمسفر. و به همین ترتیب، به همین ترتیب، و به همین ترتیب، به تعداد ابعادی که در مدل خود تعیین می کنید - تعداد زیادی خواهد بود. به معنای وسیع کلمه، ما در فضایی چند بعدی زندگی می کنیم.

بیایید به چند کار معمولی دیگر نگاه کنیم:

مثال 5

مشتقات جزئی مرتبه اول را در یک نقطه پیدا کنید

راه حل:یک کار در این فرمول اغلب در عمل با آن مواجه می شود و شامل دو عمل زیر است:
- شما باید مشتقات جزئی مرتبه اول را پیدا کنید.
- شما باید مقادیر مشتقات جزئی مرتبه 1 را در نقطه محاسبه کنید.

ما تصمیم گرفتیم:

(1) ما یک تابع پیچیده داریم و اولین قدم این است که مشتق مماس قوس را بگیریم. در انجام این کار، ما در واقع با آرامش از فرمول جدولی برای مشتق مماس قوس استفاده می کنیم. توسط قانون تمایز یک تابع پیچیدهحاصل باید در مشتق تابع درونی ضرب شود (Embedding): .

(2) ما از ویژگی های خطی بودن استفاده می کنیم.

(3) و مشتقات باقیمانده را می گیریم و فراموش نمی کنیم که آنها ثابت هستند.

با توجه به شرط انتساب، لازم است مقدار مشتق جزئی یافت شده در نقطه پیدا شود. مختصات نقطه را در مشتق یافت شده جایگزین کنید:

مزیت این کار این واقعیت است که سایر مشتقات جزئی به روشی بسیار مشابه یافت می شوند:

همانطور که می بینید، الگوی راه حل تقریباً یکسان است.

بیایید مقدار مشتق جزئی یافت شده را در نقطه محاسبه کنیم:

و در نهایت، مشتق با توجه به "z":

آماده. راه حل همچنین می تواند به روش دیگری فرموله شود: ابتدا هر سه مشتق جزئی را پیدا کنید و سپس مقادیر آنها را در نقطه محاسبه کنید. اما، به نظر من، روش فوق راحت تر است - آنها فقط مشتق جزئی را پیدا کردند، و بلافاصله، بدون خروج از صندوق، ارزش آن را در یک نقطه محاسبه کردند.

جالب است بدانید که از نظر هندسی، یک نقطه یک نقطه بسیار واقعی در فضای سه بعدی ما است. مقادیر تابع، مشتقات در حال حاضر بعد چهارم هستند و هیچ کس نمی داند که از نظر هندسی کجا قرار دارد. همانطور که می گویند ، هیچ کس با متر در اطراف کیهان خزید ، بررسی نکرد.

به محض اینکه مضمون فلسفی دوباره رفت، سؤال سوم را در نظر بگیریم: آیا می توان به گذشته سفر کرد؟

پاسخ صحیح: نه. سفر به گذشته با قانون دوم ترمودینامیک در مورد برگشت ناپذیری فرآیندهای فیزیکی (آنتروپی) در تضاد است. پس لطفاً در استخر بدون آب شیرجه نروید، این رویداد فقط در ویدیو قابل پخش است =) حکمت عامیانه به دلیلی قانون دنیوی مخالف را ارائه کرده است: "هفت بار اندازه گیری کنید، یک بار برش دهید." اگرچه، در واقع، چیز غم انگیزی است، اما زمان یک طرفه و برگشت ناپذیر است، هیچ یک از ما فردا جوان تر به نظر نخواهیم رسید. و فیلم های علمی تخیلی مختلف مثل "ترمیناتور" از نظر علمی کاملا مزخرف هستند. از دیدگاه فلسفه نیز پوچ است - زمانی که نتیجه، با بازگشت به گذشته، می تواند علت خود را از بین ببرد. .

در مورد مشتق با توجه به "z" جالب تر است، اگرچه، هنوز تقریباً یکسان است:

(1) ثابت ها را از علامت مشتق خارج می کنیم.

(2) در اینجا دوباره حاصل ضرب دو تابع، که هر کدام بستگی دارداز متغیر "زنده" "z". در اصل، شما می توانید از فرمول مشتق یک ضریب استفاده کنید، اما راحت تر است که از راه دیگر بروید - برای یافتن مشتق محصول.

(3) مشتق مشتق جدولی است. عبارت دوم مشتق از قبل آشنای یک تابع پیچیده است.

مثال 9

مشتقات جزئی مرتبه اول تابع سه متغیر را بیابید

این یک مثال برای خودتان است. به این فکر کنید که چگونه منطقی تر است که یک مشتق جزئی را پیدا کنید. حل کامل و پاسخ در پایان درس.

قبل از شروع به نمونه های پایانی درس و در نظر گرفتن مشتقات جزئی مرتبه دومتوابع سه متغیر، من یک بار دیگر با سوال چهارم همه را خوشحال خواهم کرد:

آیا امکان سفر به آینده وجود دارد؟

پاسخ صحیح: علم آن را منع نمی کند.. به طرز متناقضی، هیچ قانون ریاضی، فیزیکی، شیمیایی یا سایر علوم طبیعی وجود ندارد که سفر به آینده را ممنوع کند! به نظر مزخرف است؟ اما تقریباً همه در زندگی پیش‌بینی داشتند (و با هیچ استدلال منطقی پشتیبانی نمی‌شد) که این یا آن رویداد اتفاق می‌افتد. و این اتفاق افتاد! اطلاعات از کجا آمده است؟ از آینده؟ بنابراین، فیلم‌های خارق‌العاده درباره سفر به آینده، و اتفاقاً، پیش‌بینی‌های انواع فال‌گیران، روان‌شناسان را نمی‌توان چنین مزخرف نامید. حداقل علم این را رد نکرده است. همه چیز ممکن است! بنابراین، زمانی که در مدرسه بودم، سی‌دی‌ها و مانیتورهای صفحه تخت از فیلم‌ها برایم فانتزی باورنکردنی به نظر می‌رسیدند.

کمدی معروف "ایوان واسیلیویچ حرفه خود را تغییر می دهد" نیمه داستانی (حداکثر) است. هیچ قانون علمی ایوان مخوف را در آینده منع نمی کرد، اما غیر ممکن است که دو فلفل در گذشته باشند و وظایف یک پادشاه را انجام دهند.

مفهوم تابعی از متغیرهای متعدد

بگذارید n متغیر وجود داشته باشد و به هر x 1، x 2 ... x n از یک مجموعه خاص x یک تعریف اختصاص داده شود. عدد Z، سپس در مجموعه x تابع Z \u003d f (x 1, x 2 ... x n) از بسیاری از متغیرها آورده شده است.

X - منطقه توابع تعریف شده

x 1, x 2 ... x n - متغیر مستقل (آگومان ها)

Z - تابع مثال: Z \u003d P x 2 1 * x 2 (حجم سیلندر)

Z \u003d f (x; y) را در نظر بگیرید - f-tion از 2 متغیر x (x 1، x 2 با x، y جایگزین شده است). نتایج بر اساس قیاس به سایر توابع بسیاری از متغیرها منتقل می شوند. مساحت تعریف تابع 2 متغیر کل بند ناف مربع (اوه) یا بخشی از آن است. Mn - مقدار تابع 2 متغیر - سطح در یک فضای 3 بعدی.

تکنیک های ساخت نمودار: - مقطع Rassm-t بر روی سطح مربع || مربع های مختصات

مثال: x \u003d x 0، zn. مربع X || 0yz y \u003d y 0 0xz نوع تابع: Z \u003d f (x 0, y); Z=f(x, y 0)

به عنوان مثال: Z=x 2 +y 2 -2y

Z= x 2 +(y-1) 2 -1 x=0 Z=(y-1) 2 -1 y=1 Z= x 2 -1 Z=0 x 2 +(y-1) 2 -1

دایره سهمی(مرکز(0;1)

محدودیت ها و تداوم توابع دو متغیر

اجازه دهید Z = f (x; y) داده شود، سپس A حد f-tion در m است (x 0، y 0)، اگر برای هر مقدار دلخواه کوچک باشد. عدد E> 0 اسم-t عدد مثبت b>0، که برای همه x،y رضایت بخش |x-x 0 |<б; |y-y 0 |<б выполняется нерав-во |f(x,y)-A|

Z \u003d f (x; y) در t پیوسته است (x 0, y 0)، اگر: - در این t تعریف شده باشد. - متناهی دارد محدود در x، تمایل به x 0 و y به y 0. - این حد = مقدار

توابع در t (x 0، y 0)، یعنی. limf (x; y) \u003d f (x 0، y 0)

اگر تابع در هر کدام پیوسته باشد. t. mn-va X، سپس در این ناحیه پیوسته است

تابع دیفرانسیل، معنای جغرافیایی آن. استفاده از dif-la در مقادیر تقریبی.

dy=f’(x)∆x – تابع دیفرانسیل

dy=dx، یعنی. dy=f '(x)dx اگر y=x

از دیدگاه یک زمین شناس، دیفرانسیل تابع افزایشی در مختصات مماس رسم شده به نمودار تابع در نقطه ای با آبسیسا x 0 است.

Dif-l در محاسبه تقریباً استفاده می شود. مقادیر تابع طبق فرمول: f(x0 +∆x)~f(x0)+f'(x0)∆x

هر چه ∆x به x نزدیک‌تر باشد، نتیجه دقیق‌تر است.

مشتقات جزئی مرتبه اول و دوم

مشتق مرتبه اول (که خصوصی نامیده می شود)

الف. فرض کنید x، y افزایش متغیرهای مستقل x و y در نقطه ای از منطقه X باشد. سپس مقدار برابر z = f(x + x, y + y) = f(x, y) نامیده می شود. افزایش کل در نقطه x 0، y 0. اگر متغیر x ثابت باشد، و متغیر y با y افزایش یابد، آنگاه zу = f(x, y, + y) – f(x, y) بدست می آوریم.

مشتق جزئی متغیر y به طور مشابه تعریف می شود، یعنی.

مشتق جزئی یک تابع از 2 متغیر مطابق با قوانین مشابه برای توابع یک متغیر یافت می شود.

تفاوت در این است که هنگام تمایز یک تابع با توجه به متغیر x، y به عنوان const در نظر گرفته می شود و زمانی که با توجه به y متمایز می شود، x به عنوان const در نظر گرفته می شود.

Const های جدا شده با عملیات جمع/تفریق به تابع متصل می شوند.

Const های مرتبط با عملیات ضرب/تقسیم به تابع متصل می شوند.

مشتق const جدا شده = 0

1.4.دیفرانسیل کل یک تابع از 2 متغیر و کاربردهای آن

بگذارید z = f(x,y)، سپس

tz = - افزایش کامل نامیده می شود

مشتق جزئی از مرتبه 2

برای توابع پیوسته 2 متغیر، مشتقات جزئی مخلوط مرتبه 2 و بر هم منطبق هستند.

استفاده از مشتقات جزئی برای تعیین مشتقات جزئی توابع max و min را Extrema می نامند.

الف. نقاط حداکثر یا حداقل z = f(x,y) نامیده می شوند اگر پاره هایی وجود داشته باشند که برای تمام x و y از این همسایگی f(x,y)

T. اگر یک نقطه انتهایی تابعی از 2 متغیر داده شود، آنگاه مقدار مشتقات جزئی در این نقطه برابر با 0 است، یعنی. ،

نقاطی که مشتقات جزئی مرتبه اول را ثابت یا بحرانی می نامند.

بنابراین برای یافتن نقاط انتهایی تابعی از 2 متغیر، از شرایط حدی کافی استفاده می شود.

اجازه دهید تابع z = f(x,y) دو بار متمایز شود، و اجازه دهید نقطه ثابت،

1) و maxA<0, minA>0.

1.4.(*)دیفرانسیل کامل معنای هندسی دیفرانسیل. کاربرد دیفرانسیل در محاسبات تقریبی

O. اجازه دهید تابع y = f(x) در یک محله در نقاط تعریف شود. تابع f(x) در نقطه ای قابل تفکیک نامیده می شود که افزایش آن در این نقطه باشد ، جایی که به شکل (1) نشان داده شده است

جایی که A یک مقدار ثابت مستقل از , در نقطه ثابت x است - بی نهایت کوچک در . تابع نسبتا خطی A دیفرانسیل تابع f(x) در یک نقطه نامیده می شود و با df() یا dy نشان داده می شود.

بنابراین، عبارت (1) را می توان به صورت نوشتاری نوشت ().

دیفرانسیل تابع در عبارت (1) به شکل dy = A است. مانند هر تابع خطی، برای هر مقداری تعریف می شود در حالی که افزایش تابع باید فقط برای مواردی در نظر گرفته شود که + به دامنه تابع f(x) تعلق دارد.

برای سهولت در نمادگذاری دیفرانسیل، افزایش با dx نشان داده می شود و دیفرانسیل متغیر مستقل x نامیده می شود. بنابراین، دیفرانسیل به صورت dy = Adx نوشته می شود.

اگر تابع f(x) در هر نقطه از یک بازه متمایز باشد، دیفرانسیل آن تابعی از دو متغیر است - نقطه x و متغیر dx:

T. برای اینکه تابع y = g(x) در نقطه ای قابل تفکیک باشد، لازم و کافی است که در این نقطه مشتق داشته باشد، در حالی که

(*) اثبات نیاز داشتن.

اجازه دهید تابع f(x) در نقطه متفاوت باشد، یعنی، . سپس

بنابراین، مشتق f'() وجود دارد و برابر با A است. بنابراین dy = f'()dx

کفایت.

یک مشتق f'() وجود داشته باشد، i.e. = f'(). سپس منحنی y = f(x) یک قطعه مماس است. برای محاسبه مقدار یک تابع در نقطه x، یک نقطه از همسایگی آن را بگیرید، به طوری که پیدا کردن f() و f’()/ دشوار نباشد.

مشتقات جزئی توابع دو متغیر.
مفهوم و مثال هایی از راه حل ها

در این درس، آشنایی خود را با عملکرد دو متغیر ادامه می دهیم و شاید رایج ترین کار موضوعی - یافتن را در نظر بگیریم. مشتقات جزئی مرتبه اول و دوم و همچنین دیفرانسیل کل تابع. دانشجویان پاره وقت معمولاً در ترم دوم در سال اول با مشتقات جزئی روبرو می شوند. علاوه بر این، طبق مشاهدات من، وظیفه یافتن مشتقات جزئی تقریباً همیشه در امتحان یافت می شود.

به منظور مطالعه موثر مطالب زیر، شما لازم استبتواند مشتقات "معمول" یک تابع از یک متغیر را کم و بیش با اطمینان پیدا کند. شما می توانید در درس ها یاد بگیرید که چگونه مشتقات را به درستی مدیریت کنید چگونه مشتق را پیدا کنیم؟و مشتق تابع مختلط. ما همچنین به جدولی از مشتقات توابع ابتدایی و قوانین تمایز نیاز داریم ، اگر به صورت چاپی در دسترس باشد راحت تر است. می توانید مواد مرجع را در صفحه پیدا کنید فرمول ها و جداول ریاضی.

بیایید به سرعت مفهوم یک تابع از دو متغیر را تکرار کنیم، سعی می کنم خودم را به حداقل حداقل محدود کنم. تابعی از دو متغیر معمولاً به صورت نوشته می‌شود و متغیرها فراخوانی می‌شوند متغیرهای مستقلیا استدلال ها.

مثال: - تابعی از دو متغیر.

گاهی اوقات از نماد استفاده می شود. همچنین وظایفی وجود دارد که به جای حرف از حرف استفاده می شود.

از نقطه نظر هندسی، تابعی از دو متغیر اغلب سطحی از فضای سه بعدی (صفحه، استوانه، توپ، پارابولوئید، هایپربولوئید و غیره) است. اما، در واقع، این هندسه تحلیلی تر است، و ما تجزیه و تحلیل ریاضی را در دستور کار داریم، که معلم دانشگاه من هرگز اجازه نداد آن را حذف کنم، «اسب» من است.

ما به مسئله یافتن مشتقات جزئی مرتبه اول و دوم می پردازیم. برای کسانی از شما که چند فنجان قهوه نوشیده اید و در حال و هوای مطالب غیرقابل تصور دشوار هستید، یک خبر خوب دارم: مشتقات جزئی تقریباً مشابه مشتقات "معمولی" یک تابع از یک متغیر هستند..

برای مشتقات جزئی، تمام قوانین تمایز و جدول مشتقات توابع ابتدایی معتبر است. تنها چند تفاوت کوچک وجود دارد که در حال حاضر با آنها آشنا خواهیم شد:

... بله، اتفاقاً برای این موضوع ایجاد کردم کتاب پی دی اف کوچک، که به شما امکان می دهد فقط در چند ساعت "دست خود را پر کنید". اما، با استفاده از سایت، مطمئناً نتیجه را نیز خواهید گرفت - فقط شاید کمی کندتر:

مثال 1

مشتقات جزئی مرتبه اول و دوم یک تابع را بیابید

ابتدا مشتقات جزئی مرتبه اول را پیدا می کنیم. دو تا از آنها موجود است.

نشانه گذاری:
یا - مشتق جزئی با توجه به "x"
یا - مشتق جزئی با توجه به "y"

بیا شروع کنیم با . وقتی مشتق جزئی را با توجه به "x" پیدا می کنیم، متغیر یک ثابت در نظر گرفته می شود (عدد ثابت).

نظرات در مورد اقدامات انجام شده:

(1) اولین کاری که هنگام یافتن مشتق جزئی انجام می دهیم نتیجه گیری است همهعملکرد در پرانتز زیر خط تیره با زیرنویس.

توجه مهم!اشتراک ها در طول راه حل از دست نمی روند. در این حالت ، اگر در جایی بدون "سکته مغزی" بکشید ، حداقل معلم می تواند آن را در کنار کار قرار دهد (فوراً بخشی از نمره را به دلیل بی توجهی گاز بگیرید).

(2) از قواعد تمایز استفاده کنید ، . برای مثال ساده ای مانند این، هر دو قانون را می توان در یک مرحله اعمال کرد. به عبارت اول توجه کنید: از آنجا که ثابت در نظر گرفته می شود و هر ثابتی را می توان از علامت مشتق خارج کرد، سپس آن را از داخل پرانتز خارج می کنیم. یعنی در این شرایط بهتر از یک عدد معمولی نیست. حالا بیایید به اصطلاح سوم نگاه کنیم: در اینجا، برعکس، چیزی برای خارج کردن وجود ندارد. از آنجایی که ثابت است، ثابت است، و از این نظر بهتر از جمله آخر - «هفت» نیست.

(3) از مشتقات جدولی و .

(4) پاسخ را ساده می کنیم یا همانطور که دوست دارم بگویم "ترکیب" می کنیم.

اکنون . وقتی مشتق جزئی را با توجه به "y" پیدا می کنیم، آنگاه متغیرثابت در نظر گرفته می شود (عدد ثابت).

(1) ما از قوانین تمایز یکسانی استفاده می کنیم ، . در جمله اول ما ثابت را فراتر از علامت مشتق خارج می کنیم، در جمله دوم هیچ چیز را نمی توان خارج کرد زیرا از قبل ثابت است.

(2) از جدول مشتقات توابع ابتدایی استفاده می کنیم. به طور ذهنی در جدول تمام "X" را به "Y" تغییر دهید. یعنی این جدول برای (و در واقع تقریباً برای هر حرفی) به یک اندازه معتبر است. به طور خاص، فرمول هایی که ما استفاده می کنیم به این شکل هستند: و.

منظور از مشتقات جزئی چیست؟

در هسته آنها، مشتقات جزئی مرتبه 1 شبیه هستند مشتق "معمولی".:

- این هست کارکرد، که مشخصه نرخ تغییرعملکرد در جهت محورها و به ترتیب. بنابراین، برای مثال، تابع شیب "صعود" و "شیب" را مشخص می کند سطوحدر جهت محور آبسیسا، و تابع به ما در مورد "تسکین" همان سطح در جهت محور ارتین می گوید.

! توجه داشته باشید : در اینجا به جهت هایی اشاره دارد که موازی هستندمحورهای مختصات.

برای درک بهتر، اجازه دهید نقطه خاصی از صفحه را در نظر بگیریم و مقدار تابع ("ارتفاع") را در آن محاسبه کنیم:
- و حالا تصور کنید که اینجا هستید (در سطح بسیار).

ما مشتق جزئی را با توجه به "x" در یک نقطه مشخص محاسبه می کنیم:

علامت منفی مشتق "X" به ما می گوید نزولیدر نقطه ای در جهت محور x عمل می کند. به عبارت دیگر، اگر یک کوچک-کوچک درست کنیم (بی نهایت کوچک)به سمت نوک محور قدم بردارید (موازی با این محور)، سپس از شیب سطح پایین بروید.

اکنون ماهیت "زمین" در جهت محور y را می یابیم:

مشتق با توجه به "y" مثبت است، بنابراین، در یک نقطه در امتداد محور، تابع افزایش. اگر خیلی ساده است، پس در اینجا ما منتظر یک صعود سربالایی هستیم.

علاوه بر این، مشتق جزئی در یک نقطه مشخص می کند نرخ تغییردر جهت مربوطه عمل می کند. هر چه مقدار حاصل بیشتر باشد مدول- هر چه سطح شیب دارتر باشد و بالعکس هرچه به صفر نزدیکتر باشد سطح صاف تر است. بنابراین، در مثال ما، "شیب" در جهت محور آبسیسا تندتر از "کوه" در جهت محور منتخب است.

اما این دو مسیر خصوصی بود. کاملاً واضح است که از نقطه ای که در آن هستیم، (و به طور کلی از هر نقطه از سطح داده شده)می توانیم در جهت دیگری حرکت کنیم. بنابراین، علاقه به تدوین یک "نمودار ناوبری" کلی وجود دارد که به ما درباره "چشم انداز" سطح بگوید. در صورت امکاندر هر نقطه محدوده این تابعدر تمام راه های موجود در یکی از درس های بعدی در مورد این موضوع و چیزهای جالب دیگر صحبت خواهم کرد، اما در حال حاضر، اجازه دهید به جنبه فنی موضوع برگردیم.

ما قوانین کاربردی اولیه را سیستماتیک می کنیم:

1) هنگامی که با را متمایز می کنیم، متغیر یک ثابت در نظر گرفته می شود.

2) هنگامی که تمایز بر اساس انجام می شود، سپس یک ثابت در نظر گرفته می شود.

3) قوانین و جدول مشتقات توابع ابتدایی برای هر متغیر (یا هر متغیر دیگری) که با توجه به آن تمایز انجام می شود معتبر و قابل اجرا است.

گام دوم. مشتقات جزئی مرتبه دوم را پیدا می کنیم. چهار عدد از آن وجود دارد.

نشانه گذاری:
یا - مشتق دوم با توجه به "x"
یا - مشتق دوم با توجه به "y"
یا - مختلطمشتق "x توسط y"
یا - مختلطمشتق "Y با X"

در مورد مشتق دوم هیچ مشکلی وجود ندارد. به زبان ساده، مشتق دوم مشتق مشتق اول است.

برای راحتی، مشتقات جزئی مرتبه اول را که قبلاً پیدا شده اند بازنویسی می کنم:

ابتدا مشتقات مختلط را پیدا می کنیم:

همانطور که می بینید، همه چیز ساده است: مشتق جزئی را می گیریم و دوباره آن را متمایز می کنیم، اما در این مورد، قبلاً با "y".

به همین ترتیب:

در مثال های عملی، می توانید بر برابری زیر تمرکز کنید:

بنابراین، از طریق مشتقات مرکب مرتبه دوم، بسیار راحت است که بررسی کنیم آیا مشتقات جزئی مرتبه اول را به درستی یافته‌ایم یا خیر.

مشتق دوم را با توجه به "x" می یابیم.
بدون اختراع، ما می گیریم و دوباره آن را با "X" متمایز کنید:

به همین ترتیب:

لازم به ذکر است که هنگام یافتن، باید نشان دهید افزایش توجه، زیرا هیچ برابری معجزه آسایی برای آزمایش آنها وجود ندارد.

مشتقات دوم نیز کاربرد عملی گسترده ای پیدا می کنند، به ویژه، آنها در مسئله یافتن استفاده می شوند حداکثر یک تابع از دو متغیر. اما هر چیزی زمان خودش را دارد:

مثال 2

مشتقات جزئی مرتبه اول تابع را در نقطه محاسبه کنید. مشتقات مرتبه دوم را بیابید.

این یک مثال برای حل خود است (پاسخ در پایان درس). اگر در تشخیص ریشه ها مشکل دارید، به درس برگردید چگونه مشتق را پیدا کنیم؟به طور کلی، خیلی زود یاد خواهید گرفت که چگونه مشتقات مشابه را در پرواز پیدا کنید.

ما دست خود را با مثال های پیچیده تر پر می کنیم:

مثال 3

آن را بررسی کنید. دیفرانسیل کل مرتبه اول را بنویسید.

راه حل: مشتقات جزئی مرتبه اول را پیدا می کنیم:

به زیرنویس توجه کنید: در کنار "x" ممنوع نیست که در پرانتز بنویسید که ثابت است. این علامت می تواند برای مبتدیان بسیار مفید باشد تا راه حل را آسان تر کند.

نظرات بیشتر:

(1) تمام ثابت های خارج از علامت مشتق را خارج می کنیم. در این مورد، و، و، از این رو، حاصلضرب آنها یک عدد ثابت در نظر گرفته می شود.

(2) فراموش نکنید که چگونه ریشه ها را به درستی متمایز کنید.

(1) همه ثابت ها را از علامت مشتق خارج می کنیم، در این حالت ثابت است.

(2) در حالت اول، ما حاصل ضرب دو تابع را داریم، بنابراین، باید از قانون تمایز محصول استفاده کنیم. .

(3) فراموش نکنید که یک تابع پیچیده است (اگرچه ساده ترین تابع پیچیده است). ما از قانون مربوطه استفاده می کنیم: .

اکنون مشتقات مخلوط مرتبه دوم را می یابیم:

این بدان معنی است که تمام محاسبات صحیح است.

بیایید دیفرانسیل کل را بنویسیم. در زمینه تکلیف مورد بررسی، معنی ندارد که بگوییم تفاضل کل یک تابع از دو متغیر چقدر است. مهم است که این تفاوت بسیار اغلب در مسائل عملی نوشته شود.

مجموع دیفرانسیل مرتبه اولتوابع دو متغیر به شکل زیر است:

در این مورد:

یعنی در فرمول شما فقط باید احمقانه مشتقات جزئی از قبل پیدا شده مرتبه اول را جایگزین کنید. آیکون های دیفرانسیل و در این و موقعیت های مشابه در صورت امکان بهتر است به صورت اعداد بنویسید:

و بنا به درخواست مکرر خوانندگان، دیفرانسیل کامل مرتبه دوم.

به نظر می رسد این است:

مشتقات "تک حرفی" مرتبه دوم را با دقت بیابید:

و "هیولا" را یادداشت کنید، مربع ها، محصول را با دقت "چسبانده" کنید و فراموش نکنید که مشتق مخلوط را دو برابر کنید:

اشکالی ندارد اگر چیزی دشوار به نظر می رسید، همیشه می توانید بعداً، بعد از اینکه تکنیک تمایز را انتخاب کردید، به مشتقات بازگردید:

مثال 4

مشتقات جزئی مرتبه اول یک تابع را پیدا کنید . آن را بررسی کنید. دیفرانسیل کل مرتبه اول را بنویسید.

یک سری مثال با توابع پیچیده را در نظر بگیرید:

مثال 5

مشتقات جزئی مرتبه اول تابع را بیابید.

راه حل:

مثال 6

مشتقات جزئی مرتبه اول یک تابع را پیدا کنید .
دیفرانسیل کل را بنویسید.

این یک مثال برای حل خود است (پاسخ در انتهای درس). من راه حل کامل را پست نمی کنم زیرا بسیار ساده است.

اغلب، همه قوانین فوق به صورت ترکیبی اعمال می شوند.

مثال 7

مشتقات جزئی مرتبه اول یک تابع را پیدا کنید .

(1) از قاعده افتراق جمع استفاده می کنیم

(2) جمله اول در این مورد ثابت در نظر گرفته می شود، زیرا چیزی در عبارت وجود ندارد که به "x" وابسته باشد - فقط "y". می دانید، وقتی کسر را می توان به صفر تبدیل کرد، همیشه خوب است). برای ترم دوم، قانون تمایز محصول را اعمال می کنیم. به هر حال، از این نظر، اگر یک تابع به جای آن داده شود، هیچ چیز تغییر نمی کند - مهم است که در اینجا حاصلضرب دو تابع که هر کدام به این بستگی دارد "ایکس"و بنابراین، باید از قانون تمایز محصول استفاده کنید. برای عبارت سوم، قانون تمایز یک تابع پیچیده را اعمال می کنیم.

(1) اولین جمله در صورت و مخرج حاوی "y" است، بنابراین، باید از قانون برای افتراق ضریب استفاده کنید: . جمله دوم فقط به "x" بستگی دارد، به این معنی که ثابت در نظر گرفته می شود و به صفر تبدیل می شود. برای عبارت سوم، از قانون تمایز یک تابع پیچیده استفاده می کنیم.

برای آن دسته از خوانندگانی که با شجاعت تقریباً به پایان درس رسیدند، یک حکایت قدیمی مخماتوف را برای تنش زدایی به شما می گویم:

زمانی یک مشتق شیطانی در فضای توابع ظاهر شد و چگونه همه را متمایز کرد. همه توابع در همه جهات پراکنده می شوند، هیچ کس نمی خواهد بچرخد! و تنها یک تابع به هیچ جا فرار نمی کند. مشتق به آن نزدیک می شود و می پرسد:

"چرا از من فرار نمی کنی؟"

- ها. اما من اهمیتی نمی دهم، زیرا من "e به توان x" هستم و شما نمی توانید با من کاری انجام دهید!

که مشتق شیطانی با لبخندی موذیانه پاسخ می دهد:

- این جایی است که شما اشتباه می کنید، من شما را با "y" متمایز می کنم، پس برای شما صفر باشد.

کسی که این شوخی را فهمید، حداقل برای "ترویکا" بر مشتقات تسلط داشت).

مثال 8

مشتقات جزئی مرتبه اول یک تابع را پیدا کنید .

این یک مثال برای خودتان است. حل کامل و نمونه طرح مسئله در انتهای درس قرار دارد.

خوب، این تقریباً تمام است. در نهایت، من نمی توانم از ریاضیدانان با یک مثال دیگر لذت نبرم. این حتی در مورد آماتورها نیست، همه افراد سطح متفاوتی از آموزش ریاضی دارند - افرادی هستند (و نه چندان نادر) که دوست دارند با کارهای دشوارتر رقابت کنند. اگرچه آخرین مثال در این درس از نظر محاسبات چندان پیچیده نیست و دست و پا گیر است.

اصل کلی یافتن مشتقات جزئی مرتبه دوم تابعی از سه متغیر مشابه اصل یافتن مشتقات جزئی مرتبه دوم تابعی از دو متغیر است.

برای یافتن مشتقات جزئی مرتبه دوم، ابتدا باید مشتقات جزئی مرتبه اول را بیابید یا در نماد دیگری:

نه مشتق جزئی از مرتبه دوم وجود دارد.

گروه اول مشتقات دوم با توجه به متغیرهای مشابه هستند:

یا - مشتق دوم با توجه به "x"؛

یا - مشتق دوم نسبت به "y";

یا - مشتق دوم نسبت به «ز».

گروه دوم هستند مختلطمشتقات جزئی مرتبه دوم، شش مورد از آنها وجود دارد:

یا - مختلطمشتق "با x y"؛

یا - مختلطمشتق "توسط y x"؛

یا - مختلطمشتق "با x z"؛

یا - مختلطمشتق "po zet x"؛

یا - مختلطمشتق "با بازی z"؛

یا - مختلطمشتق "po z y".

همانطور که در مورد تابعی از دو متغیر، هنگام حل مسائل، می توان بر روی برابری های زیر مشتقات مرتبه دوم مخلوط تمرکز کرد:

توجه: به طور دقیق، همیشه اینطور نیست. برای برابری مشتقات مختلط، لازم است شرط تداوم آنها برآورده شود.

در هر صورت، چند نمونه از نحوه خواندن این رسوایی با صدای بلند:

- "دو ضربه دو بار در سال"؛

- "de two y po de zet مربع"؛

- "دو ضربه روی x روی z"؛

- ” د دو ی پو د ز پو د ی ” .

مثال 10

تمام مشتقات جزئی مرتبه اول و دوم را برای تابعی از سه متغیر بیابید:

.

راه حل:ابتدا مشتقات جزئی مرتبه اول را پیدا می کنیم:

مشتق یافت شده را می گیریم

و آن را با "y" متمایز کنید:

مشتق یافت شده را می گیریم

و آن را با "x" متمایز کنید:

برابری انجام می شود. خوب

ما با جفت دوم مشتقات مختلط سروکار داریم.

مشتق یافت شده را می گیریم

و آن را با "z" متمایز کنید:

مشتق یافت شده را می گیریم

و آن را با "x" متمایز کنید:

برابری انجام می شود. خوب

به همین ترتیب، ما با جفت سوم مشتقات مختلط سروکار داریم:

برابری انجام می شود. خوب

پس از انجام کار، تضمین می شود که اولاً تمام مشتقات جزئی مرتبه 1 را به درستی پیدا کرده ایم و ثانیاً مشتقات جزئی مرکب مرتبه 2 را نیز به درستی پیدا کرده ایم.

باقی مانده است که سه مشتق جزئی دیگر از مرتبه دوم پیدا کنید، در اینجا، برای جلوگیری از خطا، باید تا حد امکان تمرکز کنید:

آماده. باز هم، کار آنقدر سخت نیست که حجیم است. راه حل را می توان کوتاه کرد و به تساوی مشتقات جزئی مختلط اشاره کرد، اما در این مورد هیچ تأییدی وجود نخواهد داشت. پس بهتر است وقت بگذارید و پیدا کنید همهمشتقات (علاوه بر این، ممکن است معلم مورد نیاز باشد)، یا در موارد شدید، پیش نویس را بررسی کنید.

مثال 11

تمام مشتقات جزئی مرتبه اول و دوم را برای تابعی از سه متغیر بیابید

.

این یک مثال برای خودتان است.

راه حل ها و پاسخ ها:

مثال 2:راه حل:

مثال 4:راه حل: اجازه دهید مشتقات جزئی مرتبه اول را پیدا کنیم.

ما دیفرانسیل کل مرتبه اول را تشکیل می دهیم:

مثال 6:راه حل: م(1, -1, 0):

مثال 7:راه حل: اجازه دهید مشتقات جزئی مرتبه اول را در نقطه محاسبه کنیمم(1, 1, 1):

مثال 9:راه حل:

مثال 11:راه حل: بیایید مشتقات جزئی مرتبه اول را پیدا کنیم:

بیایید مشتقات جزئی مرتبه دوم را پیدا کنیم:

.

انتگرال ها

8.1. انتگرال نامعین. نمونه های راه حل تفصیلی

بیایید مطالعه موضوع را شروع کنیم انتگرال نامعین"، و همچنین نمونه هایی از راه حل های ساده ترین (و نه کاملاً) انتگرال ها را با جزئیات تجزیه و تحلیل کنید. طبق معمول، ما خود را به حداقل نظریه ای که در کتاب های درسی متعدد وجود دارد محدود می کنیم، وظیفه ما این است که یاد بگیریم چگونه انتگرال ها را حل کنیم.

برای تسلط موفقیت آمیز به مطالب چه چیزهایی باید بدانید؟ برای مقابله با حساب انتگرال، باید بتوانید مشتقات را حداقل در سطح متوسط ​​پیدا کنید. اگر چندین ده، یا بهتر، صد مشتق مستقل را پشت سر خود داشته باشید، تجربه اضافی نخواهد بود. حداقل، نباید با کار تمایز ساده ترین و رایج ترین توابع گیج شوید.

به نظر می رسد، اگر در مورد انتگرال در مقاله صحبت می کنیم، اصلاً مشتقات کجا هستند؟! و موضوع اینجاست. واقعیت این است که یافتن مشتقات و یافتن انتگرال های نامعین (تمایز و ادغام) دو عمل معکوس متقابل هستند، مانند جمع / تفریق یا ضرب / تقسیم. بنابراین، بدون مهارت و نوعی تجربه در یافتن مشتقات، متأسفانه نمی توان بیشتر از این پیش رفت.

در این راستا، ما به مواد روش شناختی زیر نیاز خواهیم داشت: جدول مشتقو جدول انتگرال ها.

دشواری مطالعه انتگرال های نامعین چیست؟ اگر در مشتقات به شدت 5 قانون تمایز، جدول مشتقات و الگوریتم اقدامات نسبتاً واضح وجود داشته باشد، در انتگرال ها همه چیز متفاوت است. ده ها روش و تکنیک ادغام وجود دارد. و اگر روش ادغام در ابتدا به اشتباه انتخاب شده باشد (یعنی شما نمی دانید چگونه آن را حل کنید) ، می توان انتگرال را به معنای واقعی کلمه برای روزها "خار کرد" ، مانند یک rebus واقعی ، سعی می کند متوجه ترفندها و ترفندهای مختلف شود. حتی برخی آن را دوست دارند.

به هر حال، ما اغلب از دانش آموزان (نه علوم انسانی) نظری مانند: "من هرگز علاقه ای به حل حد یا مشتق نداشته ام ، اما انتگرال ها یک موضوع کاملاً متفاوت هستند ، هیجان انگیز است ، همیشه میل به حل آن وجود دارد." شکستن "یک انتگرال پیچیده". متوقف کردن. طنز سیاه بس است، بیایید به سراغ این انتگرال های بسیار نامشخص برویم.

از آنجایی که راه های زیادی برای حل وجود دارد، پس قوری از کجا شروع به مطالعه انتگرال های نامعین می کند؟ در حساب انتگرال، به نظر ما، سه ستون یا نوعی «محور» وجود دارد که هر چیز دیگری حول آن می چرخد. اول از همه، شما باید درک خوبی از ساده ترین انتگرال ها داشته باشید (این مقاله).

سپس باید درس را با جزئیات کار کنید. این مهم ترین پذیرش است! شاید حتی مهم ترین مقاله از همه مقالات به انتگرال ها اختصاص داده شده باشد. و سوم اینکه حتما بخوانید یکپارچه سازی توسط قطعات، زیرا کلاس وسیعی از توابع را ادغام می کند. اگر حداقل به این سه درس تسلط داشته باشید، در حال حاضر "دو تا" وجود ندارد. شما را می توان به خاطر ندانستن بخشید انتگرال توابع مثلثاتی, انتگرال کسرها, انتگرال توابع گویا کسری, انتگرال توابع غیر منطقی (ریشه)، اما اگر در روش جایگزینی یا ادغام با روش قطعات "در گودال قرار بگیرید" بسیار بسیار بد خواهد بود.

بنابراین، بیایید ساده شروع کنیم. بیایید به جدول انتگرال ها نگاه کنیم. همانطور که در مشتقات، چندین قانون یکپارچه سازی و جدولی از انتگرال های برخی از توابع ابتدایی را مشاهده می کنیم. هر انتگرال جدولی (و در واقع هر انتگرال نامعین) شکل زیر را دارد:

بیایید مستقیماً به نماد و اصطلاحات بپردازیم:

- نماد یکپارچه

- تابع انتگرال (نوشته شده با حرف "s").

- نماد دیفرانسیل چه چیزی است، ما به زودی در نظر خواهیم گرفت. نکته اصلی این است که هنگام نوشتن انتگرال و در حین حل، مهم است که این نماد را از دست ندهید. یک نقص قابل توجه وجود خواهد داشت.

انتگرال یا "پر کردن" انتگرال است.

– ضد مشتقعملکرد.

– . نیازی به بارگذاری شدید عبارت نیست، مهمترین چیز در اینجا این است که در هر انتگرال نامعین، یک ثابت به پاسخ اضافه می شود.

حل کردن یک انتگرال نامعین به معنای یافتن استمجموعه ای از توابع ضد مشتقاز انتگرال داده شده

بیایید دوباره به ورودی نگاه کنیم:

بیایید به جدول انتگرال ها نگاه کنیم.

چه اتفاقی می افتد؟ قسمت های چپ ما در حال چرخش هستندبه توابع دیگر: .

بیایید تعریف خود را ساده کنیم:

انتگرال نامعین را حل کنید - به این معنی است که آن را به یک تابع نامعین (تا یک ثابت) تبدیل کنید ، با استفاده از برخی قوانین، تکنیک ها و جدول.

برای مثال انتگرال جدول را در نظر بگیرید . چی شد؟ رکورد نمادین به مجموعه ای از توابع ضد مشتق تبدیل شده است.

همانطور که در مورد مشتقات، برای یادگیری نحوه یافتن انتگرال، لازم نیست که از انتگرال یا تابع ضد مشتق از دیدگاه نظری آگاه باشیم. فقط کافی است تغییرات را طبق برخی قوانین رسمی انجام دهیم. بنابراین، در مورد درک اینکه چرا انتگرال دقیقاً به آن تبدیل می شود اصلاً ضروری نیست. شما می توانید این فرمول و سایر فرمول ها را مسلم فرض کنید. همه از الکتریسیته استفاده می کنند، اما تعداد کمی از مردم به این فکر می کنند که چگونه الکترون ها در طول سیم ها حرکت می کنند.

از آنجایی که تمایز و ادغام عملیات متضاد هستند، برای هر پاد مشتق که به درستی یافت شود، موارد زیر صادق است:

به عبارت دیگر، اگر پاسخ صحیح متمایز شد، باید انتگرال اصلی به دست آید.

بیایید به همان انتگرال جدول برگردیم .

بیایید اعتبار این فرمول را بررسی کنیم. مشتق سمت راست را می گیریم:

انتگرال اصلی است.

به هر حال، واضح تر شد که چرا یک ثابت همیشه به یک تابع اختصاص داده می شود. هنگام تمایز، یک ثابت همیشه به صفر تبدیل می شود.

انتگرال نامعین را حل کنیدیعنی پیدا کردن بسیاری از همهضد مشتقات، و نه یک تابع واحد. در مثال جدولی در نظر گرفته شده،،،، و غیره - همه این توابع راه حل انتگرال هستند. راه حل های بی نهایت زیادی وجود دارد، بنابراین به طور خلاصه می نویسند:

بنابراین، بررسی هر انتگرال نامعین به اندازه کافی آسان است. این مقداری جبران برای تعداد زیادی انتگرال از انواع مختلف است.

بیایید به مثال های خاص برویم. بیایید، مانند مطالعه مشتق، با دو قانون ادغام شروع کنیم:

- مقدار ثابت سیمی توان (و باید) از علامت انتگرال خارج شود.

– انتگرال مجموع (تفاوت) دو تابع برابر است با مجموع (تفاوت) دو انتگرال. این قانون برای هر تعداد اصطلاح معتبر است.

همانطور که می بینید، قوانین اساساً مانند مشتقات است. گاهی اوقات آنها را صدا می زنند ویژگی های خطیانتگرال

مثال 1

انتگرال نامعین را پیدا کنید.

یک چک اجرا کنید.

راه حل:این راحت تر است که آن را مانند تبدیل کنید.

(1) اعمال قانون . فراموش نکنید که نماد دیفرانسیل را یادداشت کنید dxزیر هر انتگرال چرا زیر هر کدام؟ dxیک ضریب کامل است.اگر با جزئیات نقاشی می کنید، مرحله اول باید به صورت زیر نوشته شود:

.

(2) طبق قاعده ما تمام ثوابت را از علائم انتگرال ها خارج می کنیم. توجه داشته باشید که در ترم گذشته tg 5 ثابت است، آن را نیز خارج می کنیم.

علاوه بر این، در این مرحله ریشه ها و درجات را برای ادغام آماده می کنیم. همانطور که در تمایز، ریشه ها باید در فرم نشان داده شوند . ریشه ها و درجاتی که در مخرج قرار دارند - به سمت بالا حرکت می کنند.

توجه داشته باشید:بر خلاف مشتقات، ریشه در انتگرال همیشه نیازی به کاهش به شکل ندارد ، و درجه ها را به سمت بالا حرکت دهید.

مثلا، - این یک انتگرال جدولی آماده است که قبلاً محاسبه شده است و انواع ترفندهای چینی مانند کاملا غیر ضروری به همین ترتیب: - این نیز یک انتگرال جدولی است، هیچ فایده ای برای نشان دادن کسری در شکل وجود ندارد . جدول را با دقت مطالعه کنید!

(3) همه انتگرال ها جدولی هستند. ما تبدیل را با استفاده از جدول و با استفاده از فرمول ها انجام می دهیم: ، و

برای یک تابع قدرت - .

لازم به ذکر است که انتگرال جدول یک مورد خاص از فرمول یک تابع توان است: .

مقدار ثابتسی فقط یک بار آن را در انتهای عبارت اضافه کنید

(به جای قرار دادن آنها بعد از هر انتگرال).

(4) ما نتیجه به دست آمده را در فرم فشرده تر، زمانی که تمام درجات فرم می نویسیم

دوباره به عنوان ریشه نشان داده می شود، و قدرت های با توان منفی به مخرج بازنشانی می شوند.

معاینه. برای انجام بررسی، باید پاسخ دریافتی را متمایز کنید:

اولیه یکپارچه، یعنی انتگرال به درستی پیدا شد. از آنچه رقصیدند، به آن بازگشتند. وقتی داستان با انتگرال همینطور تمام می شود خوب است.

هر از گاهی، رویکرد کمی متفاوت برای بررسی انتگرال نامعین وجود دارد، در حالی که مشتق نیست، بلکه دیفرانسیل از پاسخ گرفته می شود:

.

در نتیجه، ما نه یک انتگرال، بلکه یک انتگرال به دست می آوریم.

از مفهوم دیفرانسیل نترسید.

دیفرانسیل مشتق ضرب در است dx.

با این حال، این ظرافت های نظری نیست که برای ما مهم است، بلکه این است که با این تفاوت چه کنیم. دیفرانسیل به صورت زیر آشکار می شود: نماد د حذف کنید، یک ضربه در سمت راست بالای براکت قرار دهید، یک ضریب در انتهای عبارت اختصاص دهید dx :

اصل دریافت کرد یکپارچهیعنی انتگرال به درستی پیدا می شود.

همانطور که می بینید، دیفرانسیل به یافتن مشتق می رسد. من روش دوم را برای بررسی کمتر دوست دارم، زیرا باید علاوه بر این باید براکت های بزرگ بکشم و نماد دیفرانسیل را بکشم. dx تا پایان آزمون اگر چه صحیح تر، یا «محکم تر» یا چیزی دیگر است.

در واقع می شد در مورد روش دوم راستی آزمایی سکوت کرد. نکته در روش نیست، بلکه در این است که ما یاد گرفته ایم دیفرانسیل را باز کنیم. از نو.

دیفرانسیل به صورت زیر آشکار می شود:

1) نماد دبرداشتن؛

2) یک سکته مغزی در سمت راست بالای براکت قرار دهید (تعیین مشتق).

3) در پایان عبارت یک فاکتور اختصاص می دهیم dx .

مثلا:

این را به یاد داشته باش. ما خیلی زود به تکنیک در نظر گرفته شده نیاز خواهیم داشت.

مثال 2

.

وقتی یک انتگرال نامعین پیدا می کنیم، همیشه سعی می کنیم بررسی کنیمعلاوه بر این، یک فرصت عالی برای این وجود دارد. همه انواع مسائل در ریاضیات عالی از این نظر هدیه نیستند. مهم نیست که تأیید اغلب در کارهای کنترلی مورد نیاز نیست، هیچ کس، و هیچ چیز مانع از انجام آن در یک پیش نویس نمی شود. تنها زمانی می توان استثنا قائل شد که زمان کافی وجود نداشته باشد (مثلاً در آزمون، امتحان). من شخصاً همیشه انتگرال ها را بررسی می کنم و عدم تأیید را یک هک و یک کار ضعیف می دانم.

مثال 3

انتگرال نامعین را پیدا کنید:

. یک چک اجرا کنید.

راه حل: با تجزیه و تحلیل انتگرال می بینیم که در زیر انتگرال حاصل ضرب دو تابع و حتی توان کل عبارت را داریم. متاسفانه در میدان نبرد انتگرال خیرخوب و راحت فرمول های ادغام محصول و ضریبمانند: یا .

بنابراین، هنگامی که یک محصول یا یک ضریب داده می شود، همیشه منطقی است که ببینیم آیا امکان تبدیل انتگرال به مجموع وجود دارد؟ مثال در نظر گرفته موردی است که ممکن است.

ابتدا راه حل کامل را می دهیم، نظرات در زیر خواهد بود.

(1) ما از فرمول خوب قدیمی برای مجذور مجموع برای هر اعداد واقعی استفاده می کنیم و از درجه بالای براکت مشترک خلاص می شویم. خارج از پرانتز و اعمال فرمول ضرب اختصاری در جهت مخالف: .

مثال 4

انتگرال نامعین را پیدا کنید

یک چک اجرا کنید.

این یک مثال برای حل خود است. پاسخ و حل کامل در پایان درس.

مثال 5

انتگرال نامعین را پیدا کنید

. یک چک اجرا کنید.

در این مثال، انتگرال یک کسری است. وقتی کسری را در انتگرال می بینیم، اولین فکر باید این سوال باشد: "آیا می توان به نحوی از شر این کسری خلاص شد یا حداقل آن را ساده کرد؟"

متوجه می‌شویم که مخرج دارای یک ریشه تنها از "x" است. یکی در میدان جنگجو نیست، به این معنی که می توانید صورت را به صورت مخرج تقسیم کنید:

ما در مورد اقدامات با قدرت کسری اظهار نظر نمی کنیم، زیرا آنها به طور مکرر در مقالات مربوط به مشتق یک تابع مورد بحث قرار گرفته اند.

اگر هنوز با چنین مثالی سردرگم هستید

و هیچ کس جواب درستی نمی گیرد،

همچنین توجه داشته باشید که راه حل یک مرحله، یعنی اعمال قوانین را نادیده می گیرد , . معمولاً با تجربه معینی در حل انتگرال ها، این قواعد یک واقعیت بدیهی تلقی می شوند و به تفصیل توضیح داده نمی شوند.

مثال 6

انتگرال نامعین را پیدا کنید. یک چک اجرا کنید.

این یک مثال برای حل خود است. پاسخ و حل کامل در پایان درس.

در حالت کلی، با کسری در انتگرال، همه چیز چندان ساده نیست، مطالب اضافی در مورد ادغام کسری از برخی از انواع را می توان در مقاله یافت: ادغام برخی کسرها. اما، قبل از رفتن به مقاله بالا، باید این درس را بخوانید: روش جایگزینی در انتگرال نامعین. واقعیت این است که جمع کردن یک تابع تحت یک روش تغییر دیفرانسیل یا متغیر است نقطه کلیدیدر مطالعه موضوع، زیرا نه تنها "در تکالیف خالص برای روش جایگزینی"، بلکه در بسیاری از انواع دیگر انتگرال ها نیز یافت می شود.

راه حل ها و پاسخ ها:

مثال 2: راه حل:

مثال 4: راه حل:

در این مثال از فرمول ضرب کاهش یافته استفاده کردیم

مثال 6: راه حل:

روش تغییر متغیر در یک انتگرال نامعین. نمونه های راه حل

در این درس با یکی از مهم ترین و رایج ترین ترفندهایی که در درس حل انتگرال نامعین استفاده می شود – تغییر روش متغیر – آشنا می شویم. برای تسلط موفق بر مطالب، دانش اولیه و مهارت های یکپارچه سازی مورد نیاز است. اگر در حساب انتگرال احساس یک قوری پر خالی وجود دارد، ابتدا باید با مواد آشنا شوید. انتگرال نامعین. نمونه های راه حل، جایی که به شکلی در دسترس توضیح داده شده است که انتگرال چیست و نمونه های اساسی برای مبتدیان به طور مفصل تجزیه و تحلیل می شود.

از نظر فنی، روش تغییر یک متغیر در یک انتگرال نامعین به دو صورت اجرا می شود:

– قرار دادن تابع زیر علامت دیفرانسیل.

- تغییر واقعی متغیر.

در واقع، این یک چیز است، اما طراحی راه حل متفاوت به نظر می رسد. بیایید با یک مورد ساده تر شروع کنیم.