Kolika je dijagonala paralelopipeda? Definicije paralelepipeda

Paralelepiped je geometrijski lik čiji su svih 6 stranica paralelogrami.

Ovisno o vrsti ovih paralelograma, razlikuju se sljedeće vrste paralelopipeda:

• ravno;
• nagnut;
• pravokutan.

Pravi paralelopiped je četverokutna prizma čiji rubovi s ravninom baze zatvaraju kut od 90°.

Pravokutni paralelopiped je četverokutna prizma čije su sve plohe pravokutnici. Kocka je vrsta četverokutne prizme u kojoj su sve plohe i bridovi međusobno jednaki.

Značajke figure unaprijed određuju njezina svojstva. To uključuje sljedeće 4 izjave:

Sva navedena svojstva je jednostavno zapamtiti, lako su razumljiva i logično se izvode na osnovu vrste i karakteristika geometrijskog tijela. Međutim, jednostavne izjave mogu biti nevjerojatno korisne pri rješavanju tipičnih USE zadataka i uštedjet će vrijeme potrebno za prolazak testa.

Formule paralelopipeda

Za pronalaženje odgovora na problem nije dovoljno poznavati samo svojstva figure. Možda će vam trebati i neke formule za pronalaženje površine i volumena geometrijskog tijela.

Područje baza nalazi se na isti način kao i odgovarajući indikator paralelograma ili pravokutnika. Osnovicu paralelograma možete odabrati sami. U pravilu je pri rješavanju problema lakše raditi s prizmom čija je baza pravokutnik.

Formula za pronalaženje bočne površine paralelopipeda također može biti potrebna u testnim zadacima.

Primjeri rješavanja tipičnih zadataka Jedinstvenog državnog ispita

Vježba 1.

S obzirom: pravokutni paralelopiped dimenzija 3, 4 i 12 cm.
Neophodno nađi duljinu jedne od glavnih dijagonala figure.
Riješenje: Svako rješenje geometrijskog problema mora započeti izradom ispravnog i jasnog crteža, na kojem će biti naznačena “zadana” i željena vrijednost. Donja slika prikazuje primjer ispravnog izvršavanja uvjeta zadatka.

Nakon što smo pregledali napravljeni crtež i zapamtili sva svojstva geometrijskog tijela, dolazimo do jedinog ispravnog načina rješenja. Primjenom 4. svojstva paralelopipeda dobivamo sljedeći izraz:

Nakon jednostavnih izračuna dobivamo izraz b2=169, dakle b=13. Odgovor na zadatak je pronađen, ne trebate potrošiti više od 5 minuta na njegovo traženje i crtanje.

Zadatak 2.

S obzirom: nagnuti paralelopiped s bočnim rubom 10 cm, pravokutnik KLNM dimenzija 5 i 7 cm, koji je presjek lika paralelan s navedenim rubom.
Neophodno pronađite bočnu površinu četverokutne prizme.
Riješenje: Prvo treba skicirati zadano.

Za rješavanje ovog zadatka potrebno je upotrijebiti domišljatost. Slika pokazuje da su stranice KL i AD nejednake, kao i par ML i DC. Međutim, opseg tih paralelograma očito je jednak.

Posljedično, bočna površina figure bit će jednaka presječnoj površini pomnoženoj s rubom AA1, budući da je rub pod uvjetom okomit na presjek. Odgovor: 240 cm2.

Održavanje vaše privatnosti važno nam je. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte naše prakse privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i kako možemo koristiti takve podatke.

Koje osobne podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti razne podatke, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

• Osobni podaci koje prikupljamo omogućuju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
• Osobne podatke također možemo koristiti u interne svrhe, kao što je provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim stranama

Podatke koje smo dobili od vas ne otkrivamo trećim stranama.

Iznimke:

• Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, u sudskom postupku i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih tijela na području Ruske Federacije - za otkrivanje Vaših osobnih podataka. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno za sigurnosne svrhe, provedbu zakona ili druge javne svrhe.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo primjenjivoj trećoj strani nasljedniku.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo standarde privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo prakse privatnosti.

Učenici često ogorčeno pitaju: "Kako će mi ovo koristiti u životu?" Na bilo koju temu svakog predmeta. Tema o volumenu paralelopipeda nije iznimka. I tu jednostavno možete reći: "Dobro će vam doći."

Kako, na primjer, saznati hoće li paket stati u poštanski sandučić? Naravno, metodom pokušaja i pogreške možete odabrati onaj pravi. Što ako to nije moguće? Tada će izračuni doći u pomoć. Znajući kapacitet kutije, možete izračunati volumen parcele (bar približno) i odgovoriti na postavljeno pitanje.

Paralelepiped i njegove vrste

Ako doslovno prevedemo njegovo ime sa starogrčkog, ispada da je to lik koji se sastoji od paralelnih ravnina. Postoje sljedeće ekvivalentne definicije paralelopipeda:

• prizma s bazom u obliku paralelograma;
• poliedar, čija je svaka strana paralelogram.

Njegove se vrste razlikuju ovisno o tome koja figura leži u njegovoj osnovi i kako su usmjerena bočna rebra. Općenito, govorimo o nagnuti paralelopiped, čija su baza i sve strane paralelogrami. Ako bočne strane prethodnog prikaza postanu pravokutnici, tada će se morati pozvati direktno. I pravokutan a baza također ima kutove od 90º.

Štoviše, u geometriji pokušavaju prikazati potonje na takav način da je vidljivo da su svi rubovi paralelni. Ovdje je, usput, glavna razlika između matematičara i umjetnika. Za potonje je važno prenijeti tijelo u skladu sa zakonom perspektive. I u ovom slučaju, paralelnost rebara je potpuno nevidljiva.

O uvedenim oznakama

U formulama u nastavku vrijede oznake navedene u tablici.

Formule za nagnuti paralelopiped

Prvi i drugi za područja:

Treći je izračunati volumen paralelopipeda:

Budući da je baza paralelogram, za izračunavanje njegove površine morat ćete koristiti odgovarajuće izraze.

Formule za pravokutni paralelopiped

Slično prvoj točki - dvije formule za površine:

I još jedan za volumen:

Prvi zadatak

Stanje. Dat je pravokutni paralelopiped čiji volumen treba pronaći. Poznata je dijagonala - 18 cm - i činjenica da s ravninom bočne plohe i bočnog ruba čini kut od 30, odnosno 45 stupnjeva.

Riješenje. Da biste odgovorili na problemsko pitanje, morat ćete znati sve stranice u tri pravokutna trokuta. Oni će dati potrebne vrijednosti rubova prema kojima trebate izračunati volumen.

Prvo morate odrediti gdje je kut od 30º. Da biste to učinili, morate nacrtati dijagonalu bočne strane iz istog vrha odakle je nacrtana glavna dijagonala paralelograma. Kut između njih bit će ono što je potrebno.

Prvi trokut koji će dati jednu od vrijednosti stranica baze bit će sljedeći. Sadrži traženu stranicu i dvije nacrtane dijagonale. Pravokutan je. Sada morate koristiti omjer suprotne noge (strana baze) i hipotenuze (dijagonala). Jednak je sinusu od 30º. To jest, nepoznata strana baze bit će određena kao dijagonala pomnožena sa sinusom od 30º ili ½. Neka bude označeno slovom "a".

Drugi će biti trokut koji sadrži poznatu dijagonalu i rub s kojim čini 45º. Također je pravokutan, a opet možete koristiti omjer katete i hipotenuze. Drugim riječima, bočni rub prema dijagonali. Jednak je kosinusu od 45º. To jest, "c" se izračunava kao umnožak dijagonale i kosinusa od 45º.

c = 18 * 1/√2 = 9 √2 (cm).

U istom trokutu morate pronaći drugu nogu. Ovo je neophodno kako bi se zatim izračunala treća nepoznata - "in". Neka bude označeno slovom "x". Može se lako izračunati pomoću Pitagorine teoreme:

x = √(18 2 - (9√2) 2) = 9√2 (cm).

Sada trebamo razmotriti još jedan pravokutni trokut. Sadrži već poznate strane “c”, “x” i onu koju treba prebrojati, “b”:

in = √((9√2) 2 - 9 2 = 9 (cm).

Sve tri količine su poznate. Možete koristiti formulu za volumen i izračunati ga:

V = 9 * 9 * 9√2 = 729√2 (cm 3).

Odgovor: obujam paralelopipeda je 729√2 cm3.

Drugi zadatak

Stanje. Trebate pronaći obujam paralelopipeda. U njemu se zna da su strane paralelograma koji leži na bazi 3 i 6 cm, kao i njegov akutni kut - 45º. Bočno rebro ima nagib prema bazi od 30º i jednako je 4 cm.

Riješenje. Da biste odgovorili na pitanje problema, morate uzeti formulu koja je napisana za volumen nagnutog paralelopipeda. Ali obje su količine u njemu nepoznate.

Područje baze, odnosno paralelograma, odredit će se formulom u kojoj morate pomnožiti poznate strane i sinus oštrog kuta između njih.

S o = 3 * 6 sin 45º = 18 * (√2)/2 = 9 √2 (cm 2).

Druga nepoznata veličina je visina. Može se povući iz bilo kojeg od četiri vrha iznad baze. Može se pronaći iz pravokutnog trokuta u kojem je visina kateta, a bočni brid hipotenuza. U ovom slučaju, kut od 30º leži nasuprot nepoznate visine. To znači da možemo koristiti omjer katete i hipotenuze.

n = 4 * sin 30º = 4 * 1/2 = 2.

Sada su sve vrijednosti poznate i volumen se može izračunati:

V = 9 √2 * 2 = 18 √2 (cm 3).

Odgovor: obujam je 18 √2 cm 3.

Treći zadatak

Stanje. Odredi obujam paralelepipeda ako se zna da je ravan. Stranice njegove baze čine paralelogram i jednake su 2 i 3 cm. Oštri kut između njih je 60º. Manja dijagonala paralelopipeda jednaka je većoj dijagonali baze.

Riješenje. Da bismo saznali volumen paralelopipeda, koristimo se formulom s osnovicom i visinom. Obje su veličine nepoznate, ali ih je lako izračunati. Prvi je visina.

Budući da se manja dijagonala paralelopipeda po veličini podudara s većom bazom, mogu se označiti istim slovom d. Najveći kut paralelograma je 120º, jer s šiljastim kutom čini 180º. Neka druga dijagonala baze bude označena slovom "x". Sada za dvije dijagonale baze možemo napisati kosinusne teoreme:

d 2 = a 2 + b 2 - 2av cos 120º,

x 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos 60º.

Nema smisla pronaći vrijednosti bez kvadrata, jer će kasnije ponovno biti podignute na drugu snagu. Nakon zamjene podataka dobivamo:

d 2 = 2 2 + 3 2 - 2 * 2 * 3 cos 120º = 4 + 9 + 12 * ½ = 19,

x 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos 60º = 4 + 9 - 12 * ½ = 7.

Sada će se visina, koja je ujedno i bočni rub paralelopipeda, pokazati kao krak u trokutu. Hipotenuza će biti poznata dijagonala tijela, a druga kateta bit će "x". Možemo napisati Pitagorin teorem:

n 2 = d 2 - x 2 = 19 - 7 = 12.

Dakle: n = √12 = 2√3 (cm).

Sada je druga nepoznata veličina površina baze. Može se izračunati pomoću formule spomenute u drugom problemu.

S o = 2 * 3 sin 60º = 6 * √3/2 = 3√3 (cm 2).

Kombinirajući sve u formulu volumena, dobivamo:

V = 3√3 * 2√3 = 18 (cm 3).

Odgovor: V = 18 cm 3.

Četvrti zadatak

Stanje. Potrebno je saznati obujam paralelopipeda koji ispunjava sljedeće uvjete: baza je kvadrat sa stranicom 5 cm; bočna lica su rombovi; jedan od vrhova koji se nalazi iznad baze jednako je udaljen od svih vrhova koji leže na bazi.

Riješenje. Prvo se morate pozabaviti stanjem. Uz prvu točku o trgu nema pitanja. Drugi, o rombovima, jasno pokazuje da je paralelopiped nagnut. Štoviše, svi njegovi rubovi jednaki su 5 cm, budući da su strane romba iste. A iz trećeg postaje jasno da su tri dijagonale izvučene iz njega jednake. To su dva koja leže na bočnim stranama, a posljednji je unutar paralelopipeda. I te su dijagonale jednake rubu, odnosno također imaju duljinu od 5 cm.

Za određivanje volumena trebat će vam formula napisana za nagnuti paralelopiped. U njemu opet nema poznatih količina. Međutim, područje baze je lako izračunati jer je to kvadrat.

S o = 5 2 = 25 (cm 2).

Situacija s visinom je malo kompliciranija. Ovako će biti u tri figure: paralelopiped, četverokutna piramida i jednakokračni trokut. Ovu posljednju okolnost treba iskoristiti.

Budući da je to visina, to je krak u pravokutnom trokutu. Hipotenuza u njemu bit će poznati rub, a druga noga jednaka je polovici dijagonale kvadrata (visina je također medijan). A dijagonalu baze lako je pronaći:

d = √(2 * 5 2) = 5√2 (cm).

Visinu će trebati izračunati kao razliku između druge potencije ruba i kvadrata polovice dijagonale, a zatim ne zaboravite izvaditi kvadratni korijen:

n = √ (5 2 - (5/2 * √2) 2) = √(25 - 25/2) = √(25/2) = 2,5 √2 (cm).

V = 25 * 2,5 √2 = 62,5 √2 (cm 3).

Odgovor: 62,5 √2 (cm 3).

Teorema. U bilo kojem paralelepipedu, suprotna lica su jednaka i paralelna.

Dakle, plohe (sl.) BB 1 C 1 C i AA 1 D 1 D su paralelne, jer su dvije pravce BB 1 i B 1 C 1 jedne plohe koje se sijeku paralelne s dvije pravce AA 1 i A 1 D 1 koje se sijeku. drugi. Ove su plohe jednake jer su B 1 C 1 =A 1 D 1, B 1 B=A 1 A (kao suprotne stranice paralelograma) i ∠BB 1 C 1 = ∠AA 1 D 1.

Teorema. U bilo kojem paralelopipedu sve četiri dijagonale sijeku se u jednoj točki iu njoj se dijele na pola.

Uzmimo (sl.) neke dvije dijagonale u paralelopipedu, na primjer, AC 1 i DB 1, i nacrtajmo ravne linije AB 1 i DC 1.

Kako su bridovi AD i B 1 C 1 redom jednaki i paralelni s bridom BC, onda su i međusobno jednaki i paralelni.

Kao rezultat toga, lik ADC 1 B 1 je paralelogram u kojem su C 1 A i DB 1 dijagonale, au paralelogramu se dijagonale sijeku na pola.

Ovaj dokaz se može ponoviti za svake dvije dijagonale.

Dakle, dijagonala AC 1 siječe BD 1 popola, dijagonala BD 1 siječe A 1 C popola.

Dakle, sve dijagonale sijeku se na pola i, prema tome, u jednoj točki.

Teorema. U pravokutnom paralelopipedu kvadrat bilo koje dijagonale jednak je zbroju kvadrata njegove tri dimenzije.

Neka je (sl.) AC 1 neka dijagonala pravokutnog paralelopipeda.

Crtanjem AC dobivamo dva trokuta: AC 1 C i ACB. Oba su pravokutna:

prvi jer je paralelopiped ravan, pa je brid CC 1 okomit na osnovicu,

drugi jer je paralelopiped pravokutan, što znači da se u njegovoj osnovi nalazi pravokutnik.

Iz ovih trokuta nalazimo:

AC 2 1 = AC 2 + CC 2 1 i AC 2 = AB 2 + BC 2

Stoga je AC 2 1 = AB 2 + BC 2 + CC 2 1 = AB 2 + AD 2 + AA 2 1

Posljedica. U pravokutnom paralelopipedu sve su dijagonale jednake.