Schema per lo studio delle funzioni utilizzando le aree. Schema per costruire un grafico di una funzione; studio delle funzioni fino all'estremo utilizzando derivate di ordine superiore; calcolo delle radici delle equazioni utilizzando i metodi degli accordi e delle tangenti

Uno dei possibili schemi per studiare una funzione e costruire un grafico è scomposto nelle seguenti fasi di risoluzione del problema: 1. Dominio di definizione della funzione (O.O.F.). 2. Punti di interruzione delle funzioni, loro natura. Asintoti verticali. 3. Periodicità pari, dispari della funzione. 4. Punti di intersezione del grafico con gli assi delle coordinate. 5. Comportamento della funzione all'infinito. Asintoti orizzontali ed obliqui. 6. Intervalli di monotonia di una funzione, punti di massimo e minimo. 7. Direzioni di convessità della curva. Punti di flesso. 8. Grafico della funzione. Esempio 1. Costruisci un grafico della funzione y = 1. (vereiora o ricciolo di Maria Anyei). - l'intero asse numerico. 2. Non ci sono punti di interruzione; non ci sono asintoti verticali. 3. La funzione è pari: , quindi il suo grafico è simmetrico rispetto all'asse Oy\non periodico. Dalla parità della funzione segue che basta costruire il suo grafico sulla semiretta x^O, e poi specchiarlo sull'asse Oy. 4. A x = 0 abbiamo Yx, per cui il grafico della funzione giace nel semipiano superiore y > 0. Schema per costruire il grafico della funzione Studio delle funzioni all'estremo mediante derivate di ordine superiore Calcolo delle radici delle equazioni utilizzando il metodo delle corde e delle tangenti che il grafico ha un asintoto orizzontale y = O, non esistono asintoti obliqui. Quindi la funzione aumenta quando e diminuisce quando. Il punto x = 0 è critico. Quando x passa per il punto x = 0, la derivata y"(x) cambia segno da meno a più. Pertanto il punto x = 0 è il punto massimo, y(Q) = I. Questo risultato è abbastanza ovvio: / (x) = T^ IV*. La derivata seconda si annulla nei punti x = . Esaminiamo il punto x = 4- (di seguito considerazioni sulla simmetria). Quando abbiamo, la curva è convessa verso il basso; quando otteniamo (la curva è convesso verso l'alto). Di conseguenza il punto x = = - è il punto di flesso grafico della funzione. Riassumiamo i risultati dello studio nella tabella: Punto di flesso max Punto di flesso Nella tabella la freccia "Y" indica un aumento di della funzione, la freccia "\" ne indica la diminuzione. Il grafico della funzione è mostrato in Fig. 33. Esempio 2. Costruire un grafico della funzione (tridente di Newton). - l'intero asse dei numeri, escluso il punto 2. La discontinuità punto della funzione. Abbiamo quindi che la retta x = 0 è un asintoto verticale. 3. La funzione non è né pari né dispari [funzione di posizione generale], non periodica. Supponendo di ottenere il grafico della funzione interseca l'asse Bue nel punto (-1,0). Non ci sono asintoti obliqui e orizzontali. Da qui il punto critico. La derivata seconda della funzione in un punto, quindi x = è il punto minimo. La derivata seconda diventa uul in un punto e cambia segno quando passa per questo punto. Pertanto, il punto è il punto di flesso della curva. Infatti) abbiamo E. la convessità della curva è diretta verso il basso; per -I abbiamo. la convessità della curva è diretta verso l'alto. I risultati dello studio sono riassunti in una tabella: Non esiste Non esiste Punto di flesso Non esiste. L'asintoto verticale della derivata svanisce in x = e,/2. e quando x passa per questo punto, y" cambia segno. Di conseguenza, è l'ascissa del punto di flesso della curva. Riassumiamo i risultati dello studio nella tabella: Punto di flesso. Il grafico della funzione è mostrato in Fig. 37. Esempio 4. Costruire un grafico della funzione lungo l'intero asse numerico, escluso il punto Punto punto discontinuità del 2° tipo di funzione. Da Km. quindi l'asintoto verticale diretto del grafico della funzione. Una funzione di posizione generale, non -periodica. Impostando y = 0, abbiamo, da dove il grafico della funzione interseca l'asse Ox nel punto Pertanto, il grafico della funzione ha un asintoto obliquo Dalla condizione che otteniamo - il punto critico. della funzione y" = D > 0 ovunque nel dominio di definizione, in particolare nel punto - il punto minimo della funzione. 7. Poiché, ovunque nel dominio di definizione della funzione, la convessità del suo grafico è diretta verso il basso. I risultati dello studio sono riassunti in una tabella: Non esiste Non esiste Non esiste. x = 0 - asintoto verticale Il grafico della funzione è mostrato in Fig. Esempio 5. Costruisci un grafico della funzione dell'intero asse dei numeri. 2. Continuo ovunque. Non esistono asintoti verticali. 3. Disposizioni generali, non periodico. 4. La funzione svanisce in 5. Pertanto il grafico della funzione ha un asintoto obliquo, la derivata svanisce in quel punto e non esiste. Quando x passa per il punto) la derivata non cambia segno, quindi non c'è estremo nel punto x = 0. Quando un punto x passa per un punto, la derivata) cambia segno da “+” a Quindi la funzione ha un massimo. Quando x passa per il punto x = 3 (x > I), la derivata y"(x) cambia segno, cioè nel punto x = 3 la funzione ha minimo. 7. Trovare la derivata seconda Schema per costruire un grafico di una funzione Studio di funzioni agli estremi utilizzando derivate di ordine superiore Calcolo delle radici delle equazioni con il metodo della corda e della tangente La derivata seconda y"(x) non esiste nel punto x = 0 e quando x passa per il punto x = 0 y" cambia segno da + a in modo che il punto (0,0) della curva sia un punto di flesso con tangente verticale. Nel punto x = 3 non c'è flesso nel grafico. Ovunque nel semipiano x > 0 la convessità della curva è diretta verso l'alto I risultati dello studio sono riassunti nella tabella: Non esiste Non esiste Non esiste Non esiste Punto di flesso (0.0) con tangente verticale Il grafico della funzione è presentato in Fig. 39. §7 Studio delle funzioni ad un estremo utilizzando le derivate di ordine superiore Per trovare i punti di massimo e minimo delle funzioni si può utilizzare la formula di Taylor Teorema It. Sia la funzione /(x) in qualche intorno del punto xq hanno una derivata di ordine ennesimo, continua nel punto x0. Sia 0. Allora se il numero n è dispari, allora la funzione f(x) nel punto x0 non ha estremi; quando n è pari, allora nel punto x0 la funzione f(x) ha massimo se /(n)(x0)< 0, и минимум, если /. В силу определения точек максимума и минимума вопрос о том, имеет ли функция f(x) в точке х0 экстремум, сводится к тому, существует ли такое <5 > 0, che si trova nell'intervallo, la differenza - /(x0) mantiene il segno. Usando la formula di Taylor come condizione, quindi dalla (1) otteniamo 1 condizione f(n*(r) è continua in un punto e Φ Pertanto, a causa della stabilità del nome di una funzione continua, esiste tale che nella intervallo() non cambia e coincide con il segno di f(n)( xo). Consideriamo i casi possibili: 1) n è un numero pari e / Allora I quindi in virtù della (2). Secondo la definizione, ciò significa che il punto r è il punto minimo della funzione /(r). 2) n - pari e. Allora avremo i insieme a questo e quindi il punto i sarà in questo caso il punto massimo della funzione /(r). 3) n è un numero dispari, / - Allora per x > x0 il segno > coinciderà con il segno di /(n)(th), e per r th sarà il contrario. Pertanto, non importa quanto piccolo sia 0, il segno della differenza f(r) - f(r) non sarà lo stesso per tutti gli x e (r - 6, r + £). Di conseguenza in questo caso la funzione f(r) nel punto no non ha estremi. Esempio. Consideriamo le funzioni A. È facile vedere che il punto x = 0 è il punto critico di entrambe le funzioni. Per la funzione y = x4, la prima delle derivate diverse da zero nel punto x = 0 è la derivata del 4° ordine: quindi, qui n = 4 è pari e. Pertanto nel punto x = 0 la funzione y = x4 ha minimo. Per la funzione y = x), la prima delle derivate diverse da zero nel punto x = 0 è la derivata di 3° ordine. Quindi in questo caso n = 3 è dispari, e nel punto x = 0 la funzione y = x3 non ha estremi. Commento. Utilizzando la formula di Taylor possiamo dimostrare il seguente teorema, che esprime le condizioni sufficienti per il punto di flesso. "Teorema 12. Sia la funzione /(r) in qualche intorno del punto r0 una derivata del th ordine, continua nel punto xq. Sia, ma /(n)(*o) Φ 0. Allora, se n è un numero dispari, allora il punto Mo(x0, f(x®)) è il punto di flesso del grafico della funzione y = f(x). L'esempio più semplice è fornito dalla funzione. §8. Calcolo delle radici di equazioni con il metodo degli accordi e delle tangenti Il problema è trovare la radice reale dell'equazione, supponiamo che siano soddisfatte le seguenti condizioni: 1) la funzione f(x) è continua sull'intervallo [a, 6]; 2 ) i numeri f(a) ef(b) sono opposti di segno: 3) sull'intervallo [a, 6] esistono le derivate f"(x) e f "(x), conservando su questo segmento un segno costante. Dalle condizioni 1) e 2) in virtù del teorema di Bolzano-Cauchy (p. 220) segue che la funzione /(x) si annulla almeno in un punto £ € ( a, b), cioè l'equazione (1) ha almeno una radice reale £ nell'intervallo (a, 6). Poiché, in virtù della condizione 3), la derivata /"(x) su [a, b\ rimane segno costante, allora f(x) è monotona su [a, b] e quindi nell'intervallo (a, b) l'equazione (1) ha una sola radice reale. Consideriamo un metodo per calcolare il valore approssimativo di questa unica radice reale £ € (a, 6) dell'equazione ( I ) con qualsiasi grado di precisione. Sono possibili quattro casi (Fig. 40): 1) Fig. 40 Per chiarezza, prendiamo il caso in cui f\x) > 0, f"(x) > 0 sul segmento [a, 6) (Fig. 41). Colleghiamo i punti A(a, /(a )) e B(b, f(b)) corda A B. Questo è un segmento di una linea retta passante per i punti A e B, la cui equazione è il punto aj, in cui la corda AB interseca l'asse del bue, è situato tra ai (ed è una migliore approssimazione ad a. Assumendo in (2) y = 0, troviamo Dalla Fig. 41 è facile notare che il punto a\ sarà sempre situato dalla parte da cui partono i segni f( x) e f"(x) sono opposte. Disegniamo ora una tangente alla curva y = f(x) nel punto B(b, f(b)), cioè in quell'estremità dell'arco ^AB in cui f (x) e /"(i) hanno lo stesso segno. Questa è una condizione essenziale: senza di essa, il punto di intersezione tangente all'asse Ox potrebbe non fornire affatto un'approssimazione alla radice desiderata. Il punto b\, in la cui tangente interseca l'asse Ox, si trova tra £ e b dalla stessa parte di 6, ed è un'approssimazione migliore di b. Questa tangente è determinata dall'equazione Assumendo y = 0 nella (3), troviamo b\ : Schema per costruire un grafico di una funzione Studio di funzioni agli estremi utilizzando derivate di ordine superiore Calcolo delle radici delle equazioni utilizzando i metodi delle corde e delle tangenti Quindi, abbiamo Sia dato l'errore assoluto dell'approssimazione C della radice £ in anticipo. Per l'errore assoluto dei valori approssimati di aj e 6, la radice £, possiamo prendere il valore |6i - ai|. Se questo errore è maggiore di quello consentito, allora, prendendo il segmento come quello originale, troveremo le seguenti approssimazioni della radice dove. Proseguendo questo processo otteniamo due successioni di valori approssimati: le successioni (an) e (bn) sono monotone e limitate e, quindi, hanno limiti. Si può dimostrare che se le condizioni di cui sopra sono soddisfatte, 1 è l'unica radice dell'equazione / Esempio. Trova la radice (equazione r2 - 1 = 0 sul segmento . Pertanto, tutte le condizioni sono soddisfatte per garantire l'esistenza di un'unica radice (equazione x2 - 1 = 0 sul segmento . . e il metodo dovrebbe funzionare. 8 nel nostro caso a = 0, b = 2. Quando n = I da (4) e (5) troviamo Quando n = 2 otteniamo che dà un'approssimazione al valore esatto della radice (con errore assoluto) Esercizi Costruire grafici di funzioni: Trovare i valori più grandi e più piccoli delle funzioni su determinati segmenti: studiare il comportamento delle funzioni in prossimità di determinati punti utilizzando le derivate di ordine superiore: risposte

Uno dei compiti più importanti del calcolo differenziale è lo sviluppo esempi comuni studi sul comportamento funzionale.

Se la funzione y=f(x) è continua sull'intervallo e la sua derivata è positiva o uguale a 0 sull'intervallo (a,b), allora y=f(x) aumenta di (f"(x)0) Se la funzione y=f (x) è continua sul segmento , e la sua derivata è negativa o uguale a 0 sull'intervallo (a,b), allora y=f(x) diminuisce di (f"(x)0 )

Gli intervalli in cui la funzione non diminuisce né aumenta si chiamano intervalli di monotonicità della funzione. La monotonia di una funzione può cambiare solo in quei punti del suo dominio di definizione in cui cambia il segno della derivata prima. I punti in cui la derivata prima di una funzione si annulla o presenta una discontinuità sono detti critici.

Teorema 1 (1a condizione sufficiente per l'esistenza di un estremo).

Sia definita la funzione y=f(x) nel punto x 0 e sia un intorno δ>0 tale che la funzione sia continua sull'intervallo e differenziabile sull'intervallo (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) e la sua derivata mantiene un segno costante su ciascuno di questi intervalli. Allora se su x 0 -δ,x 0) e (x 0 , x 0 +δ) i segni della derivata sono diversi, allora x 0 è un punto estremo, e se coincidono, allora x 0 non è un punto estremo . Inoltre, se, passando per il punto x0, la derivata cambia segno da più a meno (a sinistra di x 0 f"(x)>0 è soddisfatta, allora x 0 è il punto massimo; se la derivata cambia segno da da meno a più (a destra di x 0 eseguito f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

I punti massimo e minimo sono chiamati punti estremi della funzione, mentre il massimo e minimo sono chiamati valori estremi.

Teorema 2 (segno necessario di un estremo locale).

Se la funzione y=f(x) ha un estremo nell’attuale x=x 0, allora o f’(x 0)=0 oppure f’(x 0) non esiste.
Nei punti estremi della funzione differenziabile, la tangente al suo grafico è parallela all'asse Ox.

Algoritmo per studiare una funzione per un estremo:

1) Trova la derivata della funzione.
2) Trovare i punti critici, ad es. punti in cui la funzione è continua e la derivata è zero o non esiste.
3) Considera l'intorno di ciascun punto ed esamina il segno della derivata a sinistra e a destra di questo punto.
4) Determinare le coordinate dei punti estremi; per questo, sostituire i valori dei punti critici in questa funzione. Utilizzando condizioni sufficienti per l'estremo, trarre le conclusioni appropriate.

Esempio 18. Esamina la funzione y=x 3 -9x 2 +24x per un estremo

Soluzione.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Uguagliando la derivata a zero, troviamo x 1 =2, x 2 =4. In questo caso la derivata è definita ovunque; Ciò significa che a parte i due punti riscontrati non vi sono altri punti critici.
3) Il segno della derivata y"=3(x-2)(x-4) cambia a seconda dell'intervallo come mostrato in Figura 1. Passando per il punto x=2, la derivata cambia segno da più a meno, e quando passa per il punto x=4 - da meno a più.
4) Nel punto x=2 la funzione ha un massimo y max =20, e nel punto x=4 - un minimo y min =16.

Teorema 3. (2a condizione sufficiente per l'esistenza di un estremo).

Sia f"(x 0) e nel punto x 0 esiste f""(x 0). Allora se f""(x 0)>0, allora x 0 è il punto di minimo, e se f""(x 0)<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

Su un segmento, la funzione y=f(x) può raggiungere il valore più piccolo (y il minimo) o il massimo (y il massimo) sia nei punti critici della funzione che si trovano nell'intervallo (a;b), sia in le estremità del segmento.

Algoritmo per trovare i valori più grandi e più piccoli di una funzione continua y=f(x) sul segmento:

1) Trova f"(x).
2) Trovare i punti in cui f"(x)=0 oppure f"(x) non esiste e selezionare tra questi quelli che si trovano all'interno del segmento.
3) Calcolare il valore della funzione y=f(x) nei punti ottenuti al punto 2), nonché agli estremi del segmento e selezionare tra essi il più grande e il più piccolo: sono, rispettivamente, il più grande (y il valore più grande) e quello più piccolo (y il minimo) della funzione sull'intervallo.

Esempio 19. Trova il valore più grande della funzione continua y=x 3 -3x 2 -45+225 sul segmento.

1) Abbiamo y"=3x 2 -6x-45 sul segmento
2) La derivata y" esiste per ogni x. Troviamo i punti in cui y"=0; noi abbiamo:
3x2 -6x-45=0
x2-2x-15=0
x1 =-3; x2 =5
3) Calcolare il valore della funzione nei punti x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Il segmento contiene solo il punto x=5. Il più grande dei valori trovati della funzione è 225 e il più piccolo è il numero 50. Quindi, y max = 225, y min = 50.

Studio di una funzione sulla convessità

La figura mostra i grafici di due funzioni. Il primo è convesso verso l'alto, il secondo è convesso verso il basso.

La funzione y=f(x) è continua sul segmento e differenziabile nell'intervallo (a;b), si dice convessa verso l'alto (verso il basso) su tale segmento se, per axb, il suo grafico non giace più in alto (non più in basso) di quello tangente tracciata in un punto qualsiasi M 0 (x 0 ;f(x 0)), dove axb.

Teorema 4. Sia la funzione y=f(x) una derivata seconda in ogni punto interno x del segmento e continua agli estremi di questo segmento. Allora se sull'intervallo (a;b) vale la disuguaglianza f""(x)0, allora la funzione è convessa verso il basso sull'intervallo ; se sull'intervallo (a;b) vale la disuguaglianza f""(x)0, allora la funzione è convessa verso l'alto su .

Teorema 5. Se la funzione y=f(x) ha una derivata seconda sull'intervallo (a;b) e se cambia segno passando per il punto x 0, allora M(x 0 ;f(x 0)) è un punto di flesso.

Regola per trovare i punti di flesso:

1) Trovare i punti in cui f""(x) non esiste o svanisce.
2) Esaminare il segno f""(x) a sinistra e a destra di ciascun punto trovato nel primo passaggio.
3) Basandosi sul Teorema 4, trarre una conclusione.

Esempio 20. Trova i punti estremi e i punti di flesso del grafico della funzione y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.

Abbiamo f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Ovviamente, f"(x)=0 quando x 1 =0, x 2 =1. Passando per il punto x=0 la derivata cambia segno da meno a più, ma passando per il punto x=1 non cambia segno. Ciò significa che x=0 è il punto minimo (y min =12) e non c'è alcun estremo nel punto x=1. Successivamente, troviamo . La derivata seconda si annulla nei punti x 1 =1, x 2 =1/3. I segni della derivata seconda cambiano come segue: Sul raggio (-∞;) abbiamo f""(x)>0, sull'intervallo (;1) abbiamo f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Pertanto, x= è il punto di flesso del grafico della funzione (transizione dalla convessità verso il basso alla convessità verso l'alto) e x=1 è anche il punto di flesso (transizione dalla convessità verso l'alto alla convessità verso il basso). Se x=, allora y= ; se, allora x=1, y=13.

Algoritmo per trovare l'asintoto di un grafico

I. Se y=f(x) come x → a, allora x=a è un asintoto verticale.
II. Se y=f(x) come x → ∞ o x → -∞, allora y=A è un asintoto orizzontale.
III. Per trovare l'asintoto obliquo utilizziamo il seguente algoritmo:
1) Calcola. Se il limite esiste ed è uguale a b, allora y=b è un asintoto orizzontale; se , vai al secondo passaggio.
2) Calcola. Se questo limite non esiste, allora non esiste l'asintoto; se esiste ed è uguale a k, vai al terzo passaggio.
3) Calcola. Se questo limite non esiste, allora non esiste l'asintoto; se esiste ed è uguale a b, vai al quarto passaggio.
4) Scrivi l'equazione dell'asintoto obliquo y=kx+b.

Esempio 21: Trova l'asintoto di una funzione

1)
2)
3)
4) L'equazione dell'asintoto obliquo ha la forma

Schema per studiare una funzione e costruire il suo grafico

I. Trova il dominio di definizione della funzione.
II. Trova i punti di intersezione del grafico della funzione con gli assi delle coordinate.
III. Trova gli asintoti.
IV. Trova possibili punti estremi.
V. Trova i punti critici.
VI. Utilizzando la figura ausiliaria, esplora il segno della derivata prima e della seconda. Determina le aree di funzione crescente e decrescente, trova la direzione della convessità del grafico, i punti estremi e i punti di flesso.
VII. Costruisci un grafico, tenendo conto della ricerca effettuata nei paragrafi 1-6.

Esempio 22: Costruisci un grafico della funzione secondo il diagramma sopra

Soluzione.
I. Il dominio di una funzione è l'insieme di tutti i numeri reali tranne x=1.
II. Poiché l'equazione x 2 +1=0 non ha radici reali, il grafico della funzione non ha punti di intersezione con l'asse Ox, ma interseca l'asse Oy nel punto (0;-1).
III. Chiariamo la questione dell'esistenza degli asintoti. Studiamo il comportamento della funzione in prossimità del punto di discontinuità x=1. Poiché y → ∞ come x → -∞, y → +∞ come x → 1+, allora la retta x=1 è l'asintoto verticale del grafico della funzione.
Se x → +∞(x → -∞), allora y → +∞(y → -∞); pertanto, il grafico non ha un asintoto orizzontale. Inoltre, dall'esistenza di limiti

Risolvendo l'equazione x 2 -2x-1=0 otteniamo due possibili punti estremi:
x1 =1-√2 e x2 =1+√2

V. Per trovare i punti critici, calcoliamo la derivata seconda:

Poiché f""(x) non si annulla, non esistono punti critici.
VI. Esaminiamo il segno della derivata prima e della seconda. Possibili punti estremi da considerare: x 1 =1-√2 e x 2 =1+√2, dividere il dominio di esistenza della funzione in intervalli (-∞;1-√2),(1-√2;1 +√2) e (1+√2;+∞).

In ciascuno di questi intervalli, la derivata mantiene il suo segno: nel primo - più, nel secondo - meno, nel terzo - più. La sequenza dei segni della derivata prima verrà scritta come segue: +,-,+.
Troviamo che la funzione aumenta in (-∞;1-√2), diminuisce in (1-√2;1+√2) e aumenta di nuovo in (1+√2;+∞). Punti estremi: massimo in x=1-√2, e f(1-√2)=2-2√2 minimo in x=1+√2, e f(1+√2)=2+2√2. In (-∞;1) il grafico è convesso verso l'alto, mentre in (1;+∞) è convesso verso il basso.
VII Facciamo una tabella dei valori ottenuti

VIII Sulla base dei dati ottenuti, costruiamo uno schizzo del grafico della funzione

Il processo di ricerca funzionale si compone di diverse fasi. Per la più completa comprensione del comportamento della funzione e della natura del suo grafico è necessario trovare:

Il dominio di esistenza di una funzione.

Questo concetto comprende sia il dominio dei valori che il dominio di definizione di una funzione.

Punti di rottura. (Se disponibile).

Intervalli crescenti e decrescenti.

Punti massimi e minimi.

Il valore massimo e minimo di una funzione nel suo dominio di definizione.

Aree di convessità e concavità.

Punti di flesso (se presenti).

Asintoti (se presenti).

Costruire un grafico.

Diamo un'occhiata all'applicazione di questo schema utilizzando un esempio.

Esempio. Esplora la funzione e costruisci il suo grafico.

Troviamo il dominio di esistenza della funzione. E' ovvio dominio di definizione la funzione è l'area (-; -1)  (-1; 1)  (1; ).

A sua volta è chiaro che le rette x = 1, x = -1 lo sono asintoti verticali storto.

Intervallo di valori di questa funzione è l'intervallo (-; ).

Punti di interruzione le funzioni sono punti x = 1, x = -1.

Noi troviamo punti critici.

Troviamo la derivata della funzione

Punti critici: x = 0; x = -;x = ;x = -1; x = 1.

Troviamo la derivata seconda della funzione

Determiniamo ad intervalli la convessità e la concavità della curva.

- < x < -,y < 0, кривая выпуклая

-

1 < x < 0, y >0, curva concava

0 < x < 1, y < 0, кривая выпуклая

1 < x < ,y >0, curva concava

< x < , y >0, curva concava

Trovare le lacune crescente E discendente funzioni. Per fare ciò, determiniamo i segni della derivata della funzione sugli intervalli.

- < x < -,y >0, la funzione è crescente

-

1 < x < 0, y < 0, функция убывает

0 < x < 1, y < 0, функция убывает

1 < x < ,y < 0, функция убывает

< x < , y >0, la funzione è crescente

Si vede che il punto x = - è un punto massimo, e il punto x = è un punto minimo. I valori della funzione in questi punti sono rispettivamente pari a 3/2 e -3/2.

A proposito di verticale asintotiè già stato detto sopra. Ora troviamo asintoti obliqui.

In totale, l'equazione dell'asintoto obliquo è y = x.

Costruiamo programma Caratteristiche:

Di seguito considereremo diversi esempi di studio di vari tipi di funzioni utilizzando metodi di calcolo differenziale.

Esempio: Metodi di calcolo differenziale

1. Il dominio di definizione di questa funzione è costituito da tutti i numeri reali (-; ).

3. Punti di intersezione con gli assi coordinati: con l'asse Oy: x = 0; y = 1;

con l'asse del Bue: y = 0; x = 1;

4. Breakpoint e asintoti: non ci sono asintoti verticali.

Asintoti inclinati: equazione generale y = kx + b;

Totale: y = -x – asintoto obliquo.

5. Funzione crescente e decrescente, punti estremi.

Si può vedere che y 0 per ogni x  0, quindi, la funzione decresce nell'intero dominio di definizione e non ha estremi. Nel punto x = 0 la derivata prima della funzione è uguale a zero, ma in questo punto la diminuzione non si trasforma in aumento, quindi nel punto x = 0 la funzione molto probabilmente ha un'inflessione. Per trovare i punti di flesso, troviamo la derivata seconda della funzione.

y = 0 per x =0 e y =  per x = 1.

I punti (0,1) e (1,0) sono punti di flesso, perché y(1-h)< 0; y(1+h) >0; y(-h) > 0; y(h)< 0 для любого h > 0.

6. Costruiamo un grafico della funzione.

Esempio: Esplora la funzione e costruisci il suo grafico.

1. Il dominio di definizione della funzione è costituito da tutti i valori di x tranne x = 0.

2. La funzione è una funzione di forma generale nel senso di pari e dispari.

3. Punti di intersezione con gli assi coordinati: con l'asse Ox: y = 0; x =

con asse Oy: x = 0; y – non esiste.

4. Il punto x = 0 è un punto di discontinuità, quindi la retta x = 0 è un asintoto verticale.

Cerchiamo asintoti obliqui nella forma: y = kx + b.

Asintoto obliquo y = x.

5. Trova i punti estremi della funzione.

; y = 0 per x = 2, y =  per x = 0.

y > 0 per x  (-, 0) – la funzione aumenta,

y< 0 при х  (0, 2) – функция убывает,

y > 0 per x  (2, ) – la funzione aumenta.

Pertanto il punto (2, 3) è un punto di minimo.

Per determinare la natura della convessità/concavità di una funzione, troviamo la derivata seconda.

> 0 per ogni x  0, quindi la funzione è concava in tutto il dominio di definizione.

6. Costruiamo un grafico della funzione.

Esempio: Esplora la funzione e costruisci il suo grafico.

Il dominio di definizione di questa funzione è l'intervallo x  (-, ).

Nel senso di pari e dispari, la funzione è una funzione di forma generale.

Punti di intersezione con gli assi coordinati: con l'asse Oy: x = 0, y = 0;

con l'asse del Bue: y = 0, x = 0, x = 1.

Asintoti della curva.

Non esistono asintoti verticali.

Proviamo a trovare gli asintoti obliqui nella forma y = kx + b.

- Non esistono asintoti obliqui.

Trovare i punti estremi.

Per trovare i punti critici, dovresti risolvere l’equazione 4x 3 – 9x 2 + 6x –1 = 0.

Per fare ciò, fattorizziamo questo polinomio di terzo grado.

Selezionando possiamo determinare che una delle radici di questa equazione è il numero

x = 1. Quindi:

4x 3 – 9x 2 + 6x – 1 x - 1

 4x 3 – 4x 2 4x 2 – 5x + 1

Allora possiamo scrivere (x – 1)(4x 2 – 5x + 1) = 0. Infine, otteniamo due punti critici: x = 1 e x = ¼.

Nota. L'operazione di divisione dei polinomi potrebbe essere evitata se, per trovare la derivata, utilizzassimo la formula per la derivata di un prodotto:

Troviamo la derivata seconda della funzione: 12x 2 – 18x + 6. Uguagliando a zero, troviamo:

Sistemiamo le informazioni ricevute nella tabella:

Costruiamo un grafico della funzione.

Sfortunatamente, non tutti gli studenti e gli scolari conoscono e amano l'algebra, ma tutti devono preparare i compiti, risolvere test e sostenere esami. Molte persone trovano particolarmente difficile costruire grafici di funzioni: se da qualche parte non capisci qualcosa, non finisci di impararlo o lo perdi, gli errori sono inevitabili. Ma chi vuole prendere brutti voti?

Ti piacerebbe unirti alla coorte di cercatori di code e perdenti? Per fare ciò, hai 2 modi: sederti con i libri di testo e colmare le lacune di conoscenza, oppure utilizzare un assistente virtuale, un servizio per tracciare automaticamente grafici di funzioni in base a determinate condizioni. Con o senza soluzione. Oggi ve ne presenteremo alcuni.

La cosa migliore di Desmos.com è la sua interfaccia altamente personalizzabile, l'interattività, la possibilità di organizzare i risultati in tabelle e archiviare il tuo lavoro nel database delle risorse gratuitamente e senza limiti di tempo. Lo svantaggio è che il servizio non è completamente tradotto in russo.

Grafikus.ru

Grafikus.ru è un altro calcolatore in lingua russa degno di nota per la creazione di grafici. Inoltre, li costruisce non solo nello spazio bidimensionale, ma anche tridimensionale.

Ecco un elenco incompleto di attività che questo servizio gestisce con successo:

• Disegnare grafici 2D di funzioni semplici: linee rette, parabole, iperboli, trigonometriche, logaritmiche, ecc.
• Disegno di grafici 2D di funzioni parametriche: cerchi, spirali, figure di Lissajous e altre.
• Disegnare grafici 2D in coordinate polari.
• Costruzione di superfici 3D di funzioni semplici.
• Costruzione di superfici 3D di funzioni parametriche.

Il risultato finale si apre in una finestra separata. L'utente ha la possibilità di scaricare, stampare e copiare un collegamento ad esso. Per quest'ultimo, dovrai accedere al servizio tramite i pulsanti del social network.

Il piano delle coordinate Grafikus.ru supporta la modifica dei confini degli assi, delle loro etichette, della spaziatura della griglia, nonché della larghezza e dell'altezza del piano stesso e della dimensione del carattere.

Il più grande punto di forza di Grafikus.ru è la capacità di creare grafica 3D. Altrimenti, non funziona né peggio né meglio delle risorse analogiche.

Onlinecharts.ru

L'assistente in linea Onlinecharts.ru non costruisce grafici, ma diagrammi di quasi tutti i tipi esistenti. Compreso:

• Lineare.
• Colonnare.
• Circolare.
• Con le regioni.
• Radiale.
• Grafici XY.
• Bolla.
• Macchiare.
• Bolle polari.
• Piramidi.
• Tachimetri.
• Colonnare-lineare.

Utilizzare la risorsa è molto semplice. L'aspetto del diagramma (colore di sfondo, griglia, linee, puntatori, forme degli angoli, caratteri, trasparenza, effetti speciali, ecc.) è completamente determinato dall'utente. I dati per la costruzione possono essere inseriti manualmente o importati da una tabella in un file CSV memorizzato su un computer. Il risultato finale è disponibile per il download su un PC sotto forma di file immagine, PDF, CSV o SVG, nonché per il salvataggio online sul sito di hosting di foto ImageShack.Us o nel tuo account personale Onlinecharts.ru. La prima opzione può essere utilizzata da tutti, la seconda solo da quelli registrati.

I punti di riferimento quando si studiano le funzioni e si costruiscono i loro grafici sono punti caratteristici: punti di discontinuità, estremo, flesso, intersezione con gli assi delle coordinate. Utilizzando il calcolo differenziale, è possibile stabilire le caratteristiche caratteristiche dei cambiamenti nelle funzioni: aumento e diminuzione, massimi e minimi, direzione della convessità e concavità del grafico, presenza di asintoti.

Uno schizzo del grafico della funzione può (e deve) essere disegnato dopo aver trovato gli asintoti e i punti estremi, ed è conveniente compilare la tabella riassuntiva dello studio della funzione man mano che lo studio procede.

Di solito viene utilizzato il seguente schema di studio delle funzioni.

1.Trova il dominio di definizione, gli intervalli di continuità e i punti di interruzione della funzione.

2.Esaminare la funzione per la parità o la disparità (simmetria assiale o centrale del grafico.

3.Trova gli asintoti (verticali, orizzontali o obliqui).

4.Trova e studia gli intervalli di aumento e diminuzione della funzione, i suoi punti estremi.

5.Trova gli intervalli di convessità e concavità della curva, i suoi punti di flesso.

6.Trova i punti di intersezione della curva con gli assi delle coordinate, se esistono.

7.Compilare una tabella riassuntiva dello studio.

8.Viene costruito un grafico tenendo conto dello studio della funzione effettuato secondo i punti sopra descritti.

Esempio. Esplora la funzione

e costruire il suo grafico.

7. Compiliamo una tabella riassuntiva per lo studio della funzione, dove inseriremo tutti i punti caratteristici e gli intervalli tra loro. Tenendo conto della parità della funzione, otteniamo la seguente tabella: