Fonte di lavoro: Compito 10_20. Esame di Stato Unificato 2018 Studi Sociali. Soluzione

Compito 20. Leggi il testo qui sotto, in cui mancano alcune parole (frasi). Selezionare dall'elenco le parole (frasi) che devono essere inserite al posto degli spazi vuoti.

“La qualità della vita dipende da molti fattori, che vanno dal luogo di residenza di una persona alla situazione socioeconomica generale e (A), nonché allo stato degli affari politici nel paese. La qualità della vita, in un modo o nell'altro, può essere influenzata dalla situazione demografica, dalle condizioni abitative e produttive, dal volume e dalla qualità di _____(B), ecc. A seconda del grado di soddisfazione dei bisogni nell'economia, è consuetudine distinguere diversi livelli vita della popolazione: ricchezza - utilizzo (B), garantire uno sviluppo umano globale; livello normale di _____(G) secondo standard scientificamente fondati, fornendo a una persona il ripristino della sua forza fisica e intellettuale; povertà - consumo di beni al livello di mantenimento della capacità lavorativa come limite minimo di riproduzione _____(D); La povertà è il consumo dell’insieme minimo accettabile di beni e servizi secondo criteri biologici, che consente solo il mantenimento della vitalità umana.

La popolazione, adattandosi alle condizioni del mercato, utilizza varie fonti di reddito aggiuntive, compreso il reddito derivante da appezzamenti personali, il profitto da _____(E).”

Le parole (frasi) nell'elenco si danno al caso nominativo. Ogni parola (frase) può essere utilizzata una sola volta.

Seleziona una parola (frase) dopo l'altra, riempiendo mentalmente ogni lacuna. Tieni presente che nell'elenco sono presenti più parole (frasi) di quelle necessarie per colmare gli spazi vuoti.

Elenco dei termini:

1) capitale

2) ambientale

3) consumo razionale

4) beni di consumo

5) mezzi di produzione

7) travaglio

8) attività imprenditoriale

9) mobilità sociale

Soluzione.

Inseriamo i termini nel testo.

“La qualità della vita dipende da molti fattori, che vanno dal luogo di residenza di una persona alla situazione socioeconomica e ambientale generale (2) (A), nonché allo stato degli affari politici nel paese. La qualità della vita, in un modo o nell'altro, può essere influenzata dalla situazione demografica, dalle condizioni abitative e produttive, dal volume e dalla qualità dei beni di consumo (4) (B), ecc. A seconda del grado di soddisfazione dei bisogni nel economia, è consuetudine distinguere diversi livelli di vita della popolazione: ricchezza - utilizzo dei benefici (6) (B) che garantiscono lo sviluppo integrale di una persona; livello normale di consumo razionale (3) (D) secondo standard scientificamente fondati, fornendo a una persona il ripristino della sua forza fisica e intellettuale; povertà - consumo di beni al livello di mantenimento della capacità lavorativa come limite inferiore della riproduzione della forza lavoro (7) (D); La povertà è il consumo dell’insieme minimo accettabile di beni e servizi secondo criteri biologici, che consente solo il mantenimento della vitalità umana.

Sia R una relazione binaria sull'insieme X. La relazione R si chiama riflettente , se (x, x) О R per ogni x О X; simmetrico – se da (x, y) О R segue (y, x) О R; il numero transitivo 23 corrisponde all'opzione 24 se (x, y) О R e (y, z) О R implica (x, z) О R.

Esempio 1

Diremo che x О X ha in comune con elemento y О X, se l'insieme
x Ç y non è vuoto. La relazione da avere in comune sarà riflessiva e simmetrica, ma non transitiva.

Relazione di equivalenza su X è una relazione riflessiva, transitiva e simmetrica. È facile vedere che R Í X ´ X sarà una relazione di equivalenza se e solo se valgono le inclusioni:

Id XÍ R (riflessività),

R -1 Í R (simmetria),

R°RÍR (transitività).

In realtà, queste tre condizioni equivalgono alle seguenti:

Id XÍ R, R -1 = R, R°R = R.

Dividendosi di un insieme X è l'insieme A di sottoinsiemi a Í X disgiunti a due a due tali che UA = X. Ad ogni partizione A possiamo associare una relazione di equivalenza ~ su X, ponendo x ~ y se xey sono elementi di qualche a Î A .

Ad ogni relazione di equivalenza ~ su X corrisponde una partizione A, i cui elementi sono sottoinsiemi, ciascuno dei quali è costituito da quelli della relazione ~. Questi sottoinsiemi vengono chiamati classi di equivalenza . Questa partizione A è detta insieme dei fattori dell'insieme X rispetto a ~ ed è denotata: X/~.

Definiamo la relazione ~ sull'insieme w dei numeri naturali, ponendo x ~ y se i resti della divisione xey per 3 sono uguali. Allora w/~ è costituito da tre classi di equivalenza corrispondenti ai resti 0, 1 e 2.

Relazione d'ordine

Si dice una relazione binaria R su un insieme X antisimmetrico , se da x R y e y R x segue: x = y. Si dice una relazione binaria R su un insieme X relazione d'ordine , se è riflessiva, antisimmetrica e transitiva. È facile vedere che ciò equivale alle seguenti condizioni:

1) Id XÍ R (riflessività),

2) RÇ R -1 (antisimmetria),

3) R°RÍR (transitività).

Viene detta una coppia ordinata (X, R) costituita da un insieme X e da una relazione d'ordine R su X insieme parzialmente ordinato .

Esempio 1

Sia X = (0, 1, 2, 3), R = ((0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 1), (1, 2 ), (1, 3), (2, 2), (3, 3)).

Poiché R soddisfa le condizioni 1 – 3, allora (X, R) è un insieme parzialmente ordinato. Per gli elementi x = 2, y = 3, né x R y né y R x sono veri. Tali elementi sono chiamati incomparabile . Di solito la relazione d'ordine è indicata con £. Nell’esempio riportato 0£1 e 2£2, ma non è vero che 2£3.

Esempio 2

Permettere< – бинарное отношение строгого неравенства на множестве w натуральных чисел, рассмотренное в разд. 1.2. Тогда объединение отношений = и < является отношением порядка £ на w и превращает w в частично упорядоченное множество.

Si chiamano elementi x, y О X di un insieme parzialmente ordinato (X, £). paragonabile , se x £ y oppure y £ x.

Viene chiamato un insieme parzialmente ordinato (X, £). ordinato linearmente O catena , se due qualsiasi dei suoi elementi sono comparabili. L'insieme dell'esempio 2 sarà ordinato linearmente, ma l'insieme dell'esempio 1 no.

Si dice un sottoinsieme A Í X di un insieme parzialmente ordinato (X, £). delimitato sopra , se esiste un elemento x О X tale che a £ x per ogni a О A. L'elemento x О X si chiama il più grande in X se y £ x per ogni y О X. Un elemento x О X si dice massimale se non esistono elementi y О X diversi da x per i quali x £ y. Nell'esempio 1, gli elementi 2 e 3 saranno il massimo, ma non il più grande. Allo stesso modo definito limite inferiore sottoinsiemi, elementi più piccoli e minimi. Nell'esempio 1, l'elemento 0 sarà sia il più piccolo che il minimo. Nell'Esempio 2, anche 0 ha queste proprietà, ma (w, £) non ha né l'elemento più grande né quello massimo.

Sia (X, £) un insieme parzialmente ordinato, A Í X un sottoinsieme. Una relazione su A, composta da coppie (a, b) di elementi a, b О A, per cui a £ b, sarà una relazione d'ordine su A. Questa relazione è denotata con lo stesso simbolo: £. Pertanto (A, £) è un insieme parzialmente ordinato. Se è ordinato linearmente, allora diremo che A lo è catena in (X, £).

Principio massimo

Alcune affermazioni matematiche non possono essere dimostrate senza l’assioma della scelta. Si dice che queste affermazioni siano dipendono dall'assioma della scelta O valido nella teoria ZFC , in pratica, al posto dell'assioma della scelta, viene solitamente utilizzato come dimostrazione l'assioma di Zermelo, oppure il lemma di Kuratowski-Zorn, o qualsiasi altra affermazione equivalente all'assioma della scelta.

Lemma di Kuratowski-Zorn. Se ciascuna catena in un insieme parzialmente ordinato(X,£) è limitato dall'alto, poi dentro X c'è almeno un elemento massimo.

Questo lemma equivale all'assioma della scelta e quindi può essere accettato come assioma.

Teorema.Per qualsiasi set parzialmente ordinato(X,£) esiste una relazione che contiene la relazione£ e trasformarsi X in un insieme ordinato linearmente.

Prova. L'insieme di tutte le relazioni d'ordine contenenti la relazione £ è ordinato dalla relazione di inclusione U. Poiché l'unione di una catena di relazioni d'ordine sarà una relazione d'ordine, allora per il lemma di Kuratowski-Zorn esiste una relazione massimale R tale che x £ y implica x R y. Dimostriamo che R è una relazione che ordina linearmente X. Supponiamo il contrario: esista a, b О X tale che né (a, b) né (b, a) appartengano a R. Consideriamo la relazione:

R¢ = R È ((x, y): x R aeb R y).

Si ottiene sommando la coppia (a, b) a R e le coppie (x, y), che devono essere sommate a R¢ dalla condizione che R¢ sia una relazione d'ordine. È facile vedere che R¢ è riflessiva, antisimmetrica e transitiva. Otteniamo R Ì R¢, che contraddice la massimalità di R, quindi R è la relazione d'ordine lineare desiderata.

Un insieme X ordinato linearmente si dice ben ordinato se ogni suo sottoinsieme non vuoto A Í X contiene il più piccolo elemento a Î A. Il lemma di Kuratowski-Zorn e l'assioma della scelta sono equivalenti anche alla seguente affermazione:

L'assioma di Zermelo. Per ogni insieme esiste una relazione d'ordine che lo rende un insieme completamente ordinato.

Ad esempio, l’insieme w dei numeri naturali è completamente ordinato. Il principio dell’induttanza è così riassunto:

Induzione transfinita. Se(X,£) è un insieme completamente ordinato e F(x) è una proprietà dei suoi elementi, vero per il più piccolo elemento x 0 О X e tale che dalla verità di F(y) per ogni y < z следует истинность F(z), то F(x) vero per tutti xÎX .

Ecco sì< z означает, что у £ z, но y ¹ z. Действительно, в противном случае среди x Î X, не обладающих свойством F(x), можно выбрать наименьший элемент x 1 , и выполнение F(y) для всех y < x 1 приводит к выполнению F(x 1), противоречащему предположению.

Concetto di potere

Siano f: X à Y e g: Y à Z mappe di insiemi. Poiché f e g sono relazioni, la loro composizione è definita g ° f(x) = g(f(x)). Se h: Z à T è una mappa di insiemi, allora h ° (g ° f) = (h ° g) ° f. Le relazioni Id X e Id Y sono funzioni, quindi si definiscono le composizioni Id Y ° f = f ° Id x = f. Per X = Y definiamo f 2 = f ° f, f 3 = f 2 ° f, ..., f n+1 = f n ° f.

Si chiama l'applicazione f:XàY per iniezione , se per qualsiasi elemento x 1 ¹ x 2 dell'insieme X, f(x 1) ¹ f(x 2) è vera. Viene chiamata la mappatura f suzione , se per ogni y ОY esiste un x О X tale che f(x) = y. Se f è sia una suriezione che un'iniezione, allora viene chiamata f biiezione . È facile vedere che f è una biiezione se e solo se la relazione inversa f -1 Í Y ´ X è una funzione.

Diremo che l'uguaglianza |X| = |Y|, se c'è una biiezione tra X e Y. Sia |X| £ |Y|, se c'è un'iniezione f: X à Y.

Teorema di Cantor-Schroeder-Bernstein. Se|X| £ |Y| E|Y| £ |X| , Quello|X| = |Y|.

Prova. Per condizione si hanno iniezioni f: X à Y eg: Y à X. Sia A = g¢¢Y = Img l'immagine dell'insieme Y rispetto alla mappatura g. Poi

(X \ A) Ç (gf)¢¢(X \ A) = Æ,

(gf)¢¢(X \ A) Ç (gf) 2 ¢¢(X \ A) = Æ, …,

(gf) n ¢¢(X \ A) Ç (gf) n+1 ¢¢(X \ A) = Æ, …

Consideriamo l'applicazione j: X à A, data come j(x) = gf(x), con

x Î (X \ A) È (gf)¢¢(X \ A) È (gf) 2 ¢¢(X \ A) È …, e j(x) = x negli altri casi. È facile vedere che j è una biiezione. La biiezione richiesta tra X e Y sarà pari a g -1°j.

L'antinomia di Cantor

Sia |X|< |Y|, если |X| £ |Y| и не существует биекции между X и Y.

Il teorema di Cantor. Per ogni insieme X, |X|< |P(X)|, где P(X) – множество всех подмножеств множества X.

Si possono dimostrare i seguenti teoremi.

Teorema 1.4. Una funzione f ha una funzione inversa f -1 se e solo se f è biiettiva.

Teorema 1.5. La composizione delle funzioni biettive è una funzione biiettiva.

Riso. 1.12 mostra varie relazioni, tutte, tranne la prima, sono funzioni.

atteggiamento, ma

iniezione, ma

suriezione, ma

non una funzione

non una suriezione

non un'iniezione

Sia f : A→B una funzione, e gli insiemi A e B siano insiemi finiti, poniamo A = n, B = m. Il principio di Dirichlet afferma che se n > m, allora almeno un valore di f ricorre più di una volta. In altre parole, esiste una coppia di elementi a i ≠ a j , a i , a j A per i quali f(a i )= f(a j ).

Il principio di Dirichlet è facile da dimostrare, quindi lo lasciamo al lettore come esercizio banale. Diamo un'occhiata a un esempio. Lascia che ci siano più di 12 studenti in un gruppo. Allora è ovvio che almeno due di loro compiono gli anni nello stesso mese.

§ 7. Relazione di equivalenza. Fattore: imposta

Una relazione binaria R su un insieme A è detta relazione di equivalenza se R è riflessiva, simmetrica e transitiva.

Una relazione di uguaglianza su un insieme di numeri ha le proprietà indicate, e quindi è una relazione di equivalenza.

La relazione di similarità del triangolo è ovviamente una relazione di equivalenza.

La relazione di disuguaglianza non stretta (≤ ) sull'insieme dei numeri reali non sarà una relazione di equivalenza, perché non è simmetrica: da 3≤ 5 non segue che 5≤ 3.

Una classe di equivalenza (coset) generata da un elemento a per una data relazione di equivalenza R è il sottoinsieme degli x A che sono nella relazione R con a. La classe di equivalenza indicata è denotata con [a]R, quindi abbiamo:

[a] R = (x A: a, x R).

Diamo un'occhiata a un esempio. Viene introdotta una relazione di similarità sull'insieme dei triangoli. È chiaro che tutti i triangoli equilateri rientrano in un coset, poiché ciascuno di essi è simile, ad esempio, a un triangolo, i cui lati hanno tutti una lunghezza unitaria.

Teorema 1.6. Sia R una relazione di equivalenza sull'insieme A e sia [a] R un coset, cioè [a] R = (x A: a, x R), quindi:

1) per qualsiasi a A: [a] R ≠, in particolare, a [a] R;

2) oggetti diversi non si intersecano;

3) l'unione di tutti i coset coincide con l'intero insieme A;

4) un insieme di oggetti diversi forma una partizione dell'insieme A.

Prova. 1) A causa della riflessività di R, otteniamo che per ogni a, a A, abbiamo a,a R, quindi a [ a] R e [ a] R ≠ ;

2) assumiamo che [ a] R ∩ [b] R ≠ , cioè esiste un elemento c di A e c [a]R ∩ [b]R. Allora da (cRa)&(cRb) per la simmetria di R otteniamo che (aR c)&(cRb), e dalla transitività di R abbiamo aRb.

Per ogni x [a] R abbiamo: (xRa)&(aRb), quindi per la transitività di R otteniamo xRb, cioè x [b] R, quindi [a] R [b] R. Allo stesso modo, per ogni y, y [b] R, abbiamo: (yRb)&(aRb), e per la simmetria di R otteniamo che (yRb)&(bR a), quindi, per la transitività di R , otteniamo che yR a , cioè y [a]R e

quindi [b] R [a] R . Da [ a ] ​​​​R [ b ] R e [ b ] R [ a ] ​​​​R otteniamo [ a ] ​​​​R = [ b ] R , cioè se i coset si intersecano, allora coincidono;

3) per ogni a, a A, come dimostrato, abbiamo a [a] R, quindi, ovviamente, l'unione di tutti i cosets coincide con l'insieme A.

L'affermazione 4) del Teorema 1.6 segue da 1)-3). Il teorema è stato dimostrato. Si può dimostrare il seguente teorema.

Teorema 1.7. Differenti relazioni di equivalenza sull’insieme A generano differenti partizioni di A.

Teorema 1.8. Ciascuna partizione dell'insieme A genera una relazione di equivalenza sull'insieme A, e diverse partizioni generano diverse relazioni di equivalenza.

Prova. Sia data una partizione B = (B i ) dell'insieme A. Definiamo la relazione R : a,b R se e solo se esiste un B i tale che a e b appartengono entrambi a questo B i . È ovvio che la relazione introdotta è riflessiva, simmetrica e transitiva, quindi R è una relazione di equivalenza. Si può dimostrare che se le partizioni sono diverse, allora sono diverse anche le relazioni di equivalenza da esse generate.

L'insieme di tutti i coset di un insieme A rispetto ad una data relazione di equivalenza R è chiamato insieme dei fattori ed è indicato con A/R. Gli elementi di un factor set sono cosets. La classe coset [a]R, come è noto, è costituita da elementi A che sono in relazione tra loro R.

Consideriamo un esempio di relazione di equivalenza sull'insieme degli interi Z = (..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...).

Due interi a e b si dicono comparabili (congruenti) modulo m se m è un divisore numeri a-b, cioè se abbiamo:

a=b+km , k=…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ….

In questo caso, scrivi a≡ b(mod m) .

Teorema 1.9. Per ogni numero a, b, c e m>0 abbiamo:

1) a ≡ a(mod m) ;

2) se a ≡ b(mod m), allora b ≡ a(mod m);

3) se a ≡ b(mod m) e b ≡ c(mod m), allora a ≡ c(mod m).

Prova. Le affermazioni 1) e 2) sono ovvie. Dimostriamo 3). Sia a=b+k 1 m, b=c+k 2 m, quindi a=c+(k 1 +k 2)m, cioè a ≡ c(mod m) . Il teorema è stato dimostrato.

Pertanto, la relazione di comparabilità modulo m è una relazione di equivalenza e divide l'insieme degli interi in classi di numeri disgiunte.

Costruiamo una spirale che si svolge all'infinito, come mostrato in Fig. 1.13 è mostrata come una linea continua, mentre una spirale che si avvolge all'infinito è mostrata come una linea tratteggiata. Sia dato un intero non negativo m. Posizioneremo tutti i numeri interi (elementi dell'insieme Z) nei punti di intersezione di queste spirali con raggi m, come mostrato in Fig. 1.13.

Per una relazione di comparabilità modulo m (in particolare, per m =8), la classe di equivalenza sono i numeri che giacciono sul raggio. Ovviamente ogni numero rientra in una ed una sola classe. Si ottiene che per m= 8 abbiamo:

[ 0] ={…, -8, 0, 8, 16, …};
[ 1] ={…, -7, 1, 9, 17, …};
[ 2] ={…, -6, 2, 10, 18, …};
[ 7] ={…, -9, -1, 7, 15, …}.

L'insieme dei fattori dell'insieme Z rispetto alla relazione di confronto modulo m è indicato come Z/m o come Z m. Per il caso in esame m =8

otteniamo che Z/8 = Z8 = ( , , , …, ) .

Teorema 1.10. Per qualsiasi numero intero a, b, a*, b*, k e m:

1) se a ≡ b(mod m), allora ka ≡ kb(mod m);

2) se a ≡ b(mod m) e a* ≡ b* (mod m), allora:

a) a+a* ≡ b+b* (mod m); b) aa * ≡ bb* (mod m).

Presentiamo la dimostrazione per il caso 2b). Siano a ≡ b(mod m) e a * ≡ b * (mod m), quindi a=b+sm e a * =b * +tm per alcuni interi s e t. Moltiplicazione

otteniamo: aa* =bb* + btm+ b* sm+ stm2 =bb* +(bt+ b* s+ stm)m. Quindi,

aa* ≡ bb* (mod m).

Pertanto, i confronti dei moduli possono essere aggiunti e moltiplicati termine per termine, vale a dire funzionano esattamente allo stesso modo delle uguaglianze. Per esempio,

Sia R una relazione binaria sull'insieme X. La relazione R si chiama riflettente , se (x, x) О R per ogni x О X; simmetrico – se da (x, y) О R segue (y, x) О R; il numero transitivo 23 corrisponde all'opzione 24 se (x, y) О R e (y, z) О R implica (x, z) О R.

Esempio 1

Diremo che x О X ha in comune con elemento y О X, se l'insieme
x Ç y non è vuoto. La relazione da avere in comune sarà riflessiva e simmetrica, ma non transitiva.

Relazione di equivalenza su X è una relazione riflessiva, transitiva e simmetrica. È facile vedere che R Í X ´ X sarà una relazione di equivalenza se e solo se valgono le inclusioni:

Id XÍ R (riflessività),

R -1 Í R (simmetria),

R°RÍR (transitività).

In realtà, queste tre condizioni equivalgono alle seguenti:

Id XÍ R, R -1 = R, R°R = R.

Dividendosi di un insieme X è l'insieme A di sottoinsiemi a Í X disgiunti a due a due tali che UA = X. Ad ogni partizione A possiamo associare una relazione di equivalenza ~ su X, ponendo x ~ y se xey sono elementi di qualche a Î A .

Ad ogni relazione di equivalenza ~ su X corrisponde una partizione A, i cui elementi sono sottoinsiemi, ciascuno dei quali è costituito da quelli della relazione ~. Questi sottoinsiemi vengono chiamati classi di equivalenza . Questa partizione A è detta insieme dei fattori dell'insieme X rispetto a ~ ed è denotata: X/~.

Definiamo la relazione ~ sull'insieme w dei numeri naturali, ponendo x ~ y se i resti della divisione xey per 3 sono uguali. Allora w/~ è costituito da tre classi di equivalenza corrispondenti ai resti 0, 1 e 2.

Relazione d'ordine

Si dice una relazione binaria R su un insieme X antisimmetrico , se da x R y e y R x segue: x = y. Si dice una relazione binaria R su un insieme X relazione d'ordine , se è riflessiva, antisimmetrica e transitiva. È facile vedere che ciò equivale alle seguenti condizioni:

1) Id XÍ R (riflessività),

2) RÇ R -1 (antisimmetria),

3) R°RÍR (transitività).

Viene detta una coppia ordinata (X, R) costituita da un insieme X e da una relazione d'ordine R su X insieme parzialmente ordinato .

Esempio 1

Sia X = (0, 1, 2, 3), R = ((0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 1), (1, 2 ), (1, 3), (2, 2), (3, 3)).

Poiché R soddisfa le condizioni 1 – 3, allora (X, R) è un insieme parzialmente ordinato. Per gli elementi x = 2, y = 3, né x R y né y R x sono veri. Tali elementi sono chiamati incomparabile . Di solito la relazione d'ordine è indicata con £. Nell’esempio riportato 0£1 e 2£2, ma non è vero che 2£3.

Esempio 2

Permettere< – бинарное отношение строгого неравенства на множестве w натуральных чисел, рассмотренное в разд. 1.2. Тогда объединение отношений = и < является отношением порядка £ на w и превращает w в частично упорядоченное множество.

Si chiamano elementi x, y О X di un insieme parzialmente ordinato (X, £). paragonabile , se x £ y oppure y £ x.

Viene chiamato un insieme parzialmente ordinato (X, £). ordinato linearmente O catena , se due qualsiasi dei suoi elementi sono comparabili. L'insieme dell'esempio 2 sarà ordinato linearmente, ma l'insieme dell'esempio 1 no.

Si dice un sottoinsieme A Í X di un insieme parzialmente ordinato (X, £). delimitato sopra , se esiste un elemento x О X tale che a £ x per ogni a О A. L'elemento x О X si chiama il più grande in X se y £ x per ogni y О X. Un elemento x О X si dice massimale se non esistono elementi y О X diversi da x per i quali x £ y. Nell'esempio 1, gli elementi 2 e 3 saranno il massimo, ma non il più grande. Allo stesso modo definito limite inferiore sottoinsiemi, elementi più piccoli e minimi. Nell'esempio 1, l'elemento 0 sarà sia il più piccolo che il minimo. Nell'Esempio 2, anche 0 ha queste proprietà, ma (w, £) non ha né l'elemento più grande né quello massimo.