عملیات ریاضی با مختصات برداری. بردارها: تعاریف و مفاهیم اساسی

21.11.2023

تعریف

کمیت اسکالر- کمیتی که می تواند با یک عدد مشخص شود. به عنوان مثال، طول، مساحت، جرم، دما و غیره.

برداربخش هدایت شده $\overline(A B)$ نامیده می شود. نقطه $A$ آغاز، نقطه $B$ پایان بردار است (شکل 1).

یک بردار یا با دو حرف بزرگ - ابتدا و انتهای آن: $\overline(A B)$ یا با یک حرف کوچک: $\overline(a)$ نشان داده می شود.

تعریف

اگر ابتدا و انتهای یک بردار منطبق باشد، چنین بردار نامیده می شود صفر. اغلب، بردار صفر با $\overline(0)$ نشان داده می شود.

بردارها نامیده می شوند خطی، اگر روی یک خط یا روی خطوط موازی قرار بگیرند (شکل 2).

تعریف

دو بردار خطی $\overline(a)$ و $\overline(b)$ فراخوانی می شوند کارگردانی مشترک، اگر جهت آنها منطبق باشد: $\overline(a) \uparrow \uparrow \overline(b)$ (شکل 3، a). دو بردار خطی $\overline(a)$ و $\overline(b)$ فراخوانی می شوند خلاف جهت گیری شده است، اگر جهت آنها مخالف باشد: $\overline(a) \uparrow \downarrow \overline(b)$ (شکل 3، b).

تعریف

بردارها نامیده می شوند هم صفحه، اگر موازی با یک صفحه باشند یا در همان صفحه قرار بگیرند (شکل 4).

دو بردار همیشه همسطح هستند.

تعریف

طول (ماژول)بردار $\overline(A B)$ فاصله بین شروع و پایان آن است: $|\overline(A B)|$

تئوری مفصل در مورد طول برداری در لینک.

طول بردار صفر صفر است.

تعریف

برداری که طول آن برابر با یک باشد نامیده می شود بردار واحدیا ortom.

بردارها نامیده می شوند برابر، اگر روی یک خط یا موازی قرار بگیرند. جهت آنها منطبق است و طول آنها برابر است.

به عبارت دیگر دو بردار برابر، اگر آنها خطی، هم جهت و دارای طول مساوی باشند:

$\overline(a)=\overline(b)$ if $\overline(a) \uparrow \uparrow \overline(b)،|\overline(a)|=|\overline(b)|$

در یک نقطه دلخواه $M$ از فضا، می توان یک بردار منفرد $\overline(M N)$ برابر با بردار داده شده $\overline(A B)$ ساخت.

2018 اولشفسکی آندری جورجیویچ

سایت اینترنتی پر از کتاب، می توانید کتاب ها را دانلود کنید

بردارها در صفحه و در فضا، روش های حل مسائل، مثال ها، فرمول ها

1 بردارها در فضا

بردارهای موجود در فضا عبارتند از هندسه پایه دهم، هندسه پایه یازدهم و هندسه تحلیلی. بردارها به شما این امکان را می دهند که به طور مؤثر مسائل هندسی بخش دوم آزمون دولتی واحد و هندسه تحلیلی را در فضا حل کنید. بردارها در فضا مانند بردارهای صفحه داده می شوند، اما مختصات سوم z در نظر گرفته می شود. حذف از بردارها در فضای بعد سوم بردارهایی را در صفحه به دست می دهد که با هندسه کلاس 8 و 9 توضیح داده می شوند.

1.1 بردار در هواپیما و در فضا

بردار قطعه جهت دار با آغاز و پایان است که در شکل با فلش نشان داده شده است. یک نقطه دلخواه در فضا را می توان یک بردار صفر در نظر گرفت. بردار صفر جهت خاصی ندارد، زیرا ابتدا و انتهای آن یکسان است، بنابراین می توان هر جهتی به آن داد.

وکتور ترجمه شده از انگلیسی به معنای بردار، جهت، دوره، راهنمایی، تنظیم جهت، دوره هواپیما است.

طول (مدول) یک بردار غیر صفر طول قطعه AB است که نشان داده می شود.
. طول برداری نشان داده شده با . طول بردار تهی برابر با صفر است = 0.

بردارهای غیر صفر که روی یک خط یا روی خطوط موازی قرار می گیرند، خطی نامیده می شوند.

بردار تهی با هر بردار هم خط است.

بردارهای خطی غیر صفر که جهت یکسانی دارند، هم جهتی نامیده می شوند. بردارهای هم جهت با نشان داده می شوند. برای مثال، اگر بردار با بردار هم جهت باشد ، سپس از نماد استفاده می شود.

بردار صفر با هر بردار هم جهت است.

جهت مخالف دو بردار غیرصفر خطی هستند که جهت مخالف دارند. بردارهای جهت مخالف با علامت ↓ نشان داده می شوند. به عنوان مثال، اگر بردار در جهت مخالف بردار باشد، از علامت ↓ استفاده می شود.

بردارهای هم جهت با طول مساوی برابر نامیده می شوند.

بسیاری از کمیت های فیزیکی کمیت های برداری هستند: نیرو، سرعت، میدان الکتریکی.

اگر نقطه کاربرد (شروع) بردار مشخص نشده باشد، به طور دلخواه انتخاب می شود.

اگر ابتدای بردار در نقطه O قرار گیرد، آنگاه بردار از نقطه O با تاخیر در نظر گرفته می شود. از هر نقطه می توانید یک بردار منفرد برابر با یک بردار معین رسم کنید.

1.2 جمع برداری

هنگام جمع بردارها طبق قانون مثلث، بردار 1 رسم می شود که از انتهای آن بردار 2 رسم می شود و مجموع این دو بردار بردار 3 است که از ابتدای بردار 1 تا انتهای بردار 2 رسم می شود:

برای نقاط دلخواه A، B و C، می توانید مجموع بردارها را بنویسید:

+
=

اگر دو بردار از یک نقطه سرچشمه بگیرند

پس بهتر است آنها را طبق قانون متوازی الاضلاع اضافه کنید.

هنگام جمع کردن دو بردار طبق قانون متوازی الاضلاع، بردارهای اضافه شده از یک نقطه قرار می گیرند، از انتهای این بردارها یک متوازی الاضلاع با اعمال ابتدای بردار دیگر به انتهای یک بردار تکمیل می شود. بردار تشکیل شده از مورب متوازی الاضلاع که از نقطه مبدا بردارهای اضافه شده منشأ می گیرد، مجموع بردارها خواهد بود.

قانون متوازی الاضلاع شامل ترتیب متفاوتی از جمع بردارها بر اساس قانون مثلث است.

قوانین جمع بردار:

1. قانون جابجایی + = +.

2. قانون ترکیبی ( + ) + = + ( + ).

اگر لازم باشد چندین بردار اضافه شود، بردارها به صورت جفت یا طبق قانون چندضلعی جمع می شوند: بردار 2 از انتهای بردار 1، بردار 3 از انتهای بردار 2، بردار 4 از انتهای بردار رسم می شود. انتهای بردار 3، بردار 5 از انتهای بردار 4 و غیره رسم شده است. برداری که مجموع چندین بردار است از ابتدای بردار 1 تا انتهای آخرین بردار رسم می شود.

طبق قوانین جمع بردار، ترتیب جمع بردار بر بردار حاصل که مجموع چند بردار است تأثیری ندارد.

دو بردار غیر صفر با جهت مخالف با طول مساوی مخالف نامیده می شوند. بردار - متضاد بردار است

این بردارها جهت مخالف و از نظر قدر برابر هستند.

1.3 تفاوت برداری

تفاوت بردار را می توان به صورت مجموع بردارها نوشت

- = + (-),

که در آن "-" بردار مقابل بردار است.

بردارها و - را می توان با توجه به قانون مثلث یا متوازی الاضلاع اضافه کرد.

اجازه دهید بردارها و

برای پیدا کردن تفاوت بین بردارها، یک بردار می سازیم -

بردارها را اضافه می کنیم و - طبق قانون مثلث، با اعمال ابتدای بردار - به انتهای بردار، بردار + (-) = - را به دست می آوریم.

بردارها را جمع می کنیم و - طبق قانون متوازی الاضلاع، ابتدای بردارها را کنار می گذاریم و - از یک نقطه

اگر بردارها و از یک نقطه سرچشمه می گیرند

سپس اختلاف بردارها برداری را به دست می دهد که انتهای آنها را به هم متصل می کند و فلش انتهای بردار حاصل در جهت بردار قرار می گیرد که بردار دوم از آن کم می شود.

شکل زیر تفاوت جمع و بردار را نشان می دهد

شکل زیر جمع و تفاوت بردار را به روش های مختلف نشان می دهد

وظیفه.بردارها و داده شده است.

مجموع و تفاضل بردارها را به تمام روش های ممکن در تمام ترکیبات ممکن از بردارها رسم کنید.

1.4 لم در بردارهای خطی

= ک

1.5 حاصلضرب یک بردار و یک عدد

حاصل ضرب یک بردار غیرصفر با عدد k بردار = k را به صورت هم خط به بردار می دهد. طول برداری:

| | = |k |·| |

اگر k > 0، سپس بردارها و هم جهت هستند.

اگر k = 0، سپس بردار صفر است.

اگر ک< 0, то векторы и противоположно направленные.

اگر | k | = 1، سپس بردارها و طول مساوی دارند.

اگر k = 1، سپس بردارها برابر هستند.

اگر k = -1، سپس بردارهای مخالف.

اگر | k | > 1، سپس طول بردار از طول بردار بزرگتر است.

اگر k > 1، پس بردارها هر دو هم جهت هستند و طول آن بزرگتر از طول بردار است.

اگر ک< -1, то векторы и противоположно направленные и длина больше длины вектора .

اگر | k |< 1, то длина вектора меньше длины вектора .

اگر 0< ک< 1, то векторы и сонаправленные и длина меньше длины вектора .

اگر -1< ک< 0, то векторы и противоположно направленные и длина меньше длины вектора .

حاصل ضرب یک بردار صفر و یک عدد بردار صفر می دهد.

وظیفه.بردار داده شده است.

بردارهای 2، -3، 0.5، -1.5 را بسازید.

وظیفه.بردارها و داده شده است.

بردارهای 3 + 2، 2 - 2، -2 - را بسازید.

قوانینی که ضرب یک بردار در یک عدد را توصیف می کنند

1. قانون ترکیبی (kn) = k (n)

2. اولین قانون توزیع k ( + ) = k + k .

3. قانون توزیع دوم (k + n) = k + n.

برای بردارهای خطی و اگر ≠ 0 باشد، یک عدد k وجود دارد که به شما امکان می دهد بردار را برحسب موارد زیر بیان کنید:

= ک

1.6 بردارهای همسطح

بردارهایی که در یک صفحه یا در صفحات موازی قرار دارند، همسطح نامیده می شوند. اگر بردارهایی برابر با این بردارهای همسطح را از یک نقطه رسم کنیم، آنها در همان صفحه قرار می گیرند. بنابراین، اگر بردارهای مساوی در یک صفحه قرار داشته باشند، می توان گفت که بردارها همسطح نامیده می شوند.

دو بردار دلخواه همیشه همسطح هستند. این سه بردار ممکن است همسطح یا غیرهمسطح باشند. سه بردار که حداقل دو تای آنها خطی هستند همسطح هستند. بردارهای خطی همیشه همسطح هستند.

1.7 تجزیه یک بردار به دو بردار غیر خطی

هر بردار به طور منحصر به فرد در صفحه در دو بردار غیرصفر غیر خطی تجزیه می شود و با ضرایب انبساط منفرد x و y:

= x+y

هر بردار همسطح با بردارهای غیر صفر است و می تواند به طور منحصر به فرد در دو بردار غیر خطی و با ضرایب بسط منحصر به فرد x و y گسترش یابد:

= x+y

اجازه دهید بردار داده شده را در صفحه با توجه به بردارهای غیر خطی داده شده گسترش دهیم و :

اجازه دهید بردارهای همسطح داده شده را از یک نقطه رسم کنیم

از انتهای بردار خطوطی موازی با بردارها رسم می کنیم و تا زمانی که با خطوط کشیده شده از بردارها و . متوازی الاضلاع می گیریم

طول اضلاع متوازی الاضلاع از ضرب طول بردارها و در اعداد x و y بدست می آید که از تقسیم طول اضلاع متوازی الاضلاع بر طول بردارهای متناظر آنها و. ما تجزیه بردار را با توجه به بردارهای غیر خطی داده شده بدست می آوریم و:

= x+y

در مسئله در حال حل، x ≈ 1.3، y ≈ 1.9، بنابراین بسط بردار در بردارهای غیر خطی داده شده را می توان به شکل نوشت

1,3 + 1,9 .

در مسئله در حال حل، x ≈ 1.3، y ≈ -1.9، بنابراین بسط بردار در بردارهای غیر خطی داده شده را می توان به شکل نوشت.

1,3 - 1,9 .

1.8 قانون موازی شکل

متوازی الاضلاع شکلی سه بعدی است که وجوه مقابل آن از دو متوازی الاضلاع مساوی در صفحات موازی تشکیل شده است.

قانون متوازی الاضلاع به شما امکان می دهد سه بردار غیر همسطح را اضافه کنید که از یک نقطه رسم می شوند و یک متوازی الاضلاع ساخته می شود به طوری که بردارهای جمع شده لبه های آن را تشکیل می دهند و یال های باقی مانده از متوازی الاضلاع به ترتیب موازی و برابر با طول هستند. یال های تشکیل شده توسط بردارهای جمع شده مورب متوازی الاضلاع بردار را تشکیل می دهد که مجموع سه بردار داده شده است که از نقطه مبدا بردارهای اضافه شده شروع می شود.

1.9 تجزیه یک بردار به سه بردار غیرهمسطح

هر بردار به سه بردار غیرهمسطح داده شده گسترش می یابد , و با ضرایب انبساط تکی x، y، z:

= x + y + z .

1.10 سیستم مختصات مستطیلی در فضا

در فضای سه بعدی، سیستم مختصات مستطیلی Oxyz با مبدأ O و محورهای مختصات متقاطع عمود بر هم Ox، Oy و Oz با جهت های مثبت انتخاب شده با فلش ها و واحد اندازه گیری قطعات مشخص می شود. اگر مقیاس قطعات در هر سه محور یکسان باشد، چنین سیستمی را سیستم مختصات دکارتی می نامند.

هماهنگ كردن x ابسیسا نامیده می شود، y مصداق، z مصداق است. مختصات نقطه M در پرانتز M (x; y; z) نوشته شده است.

1.11 مختصات برداری در فضا

در فضا یک سیستم مختصات مستطیلی Oxyz را تعریف می کنیم. از مبدا مختصات در جهات مثبت محورهای Ox، Oy، Oz، بردارهای واحد مربوطه را رسم می کنیم. , , که بردار مختصات نامیده می شوند و غیرهمسطح هستند. بنابراین، هر بردار به سه بردار مختصات غیرهمسطح داده شده، و با ضرایب بسط منحصر به فرد x، y، z تجزیه می شود:

= x + y + z .

ضرایب بسط x، y، z مختصات بردار در یک سیستم مختصات مستطیلی مشخص هستند که در پرانتز نوشته می شوند (x; y; z). بردار صفر دارای مختصاتی برابر با صفر است (0; 0; 0). بردارهای مساوی دارای مختصات متناظر برابر هستند.

قوانین برای یافتن مختصات بردار حاصل:

1. هنگام جمع دو یا چند بردار، هر مختصات بردار حاصل برابر با مجموع مختصات متناظر بردارهای داده شده است. اگر دو بردار (x 1 ; y 1 ; z 1 ) و (x 1 ; y 1 ; z 1) داده شود، مجموع بردارها + بردار با مختصات (x 1 + x 1 ; y 1 + y) را به دست می دهد. 1 ; z 1 + z 1)

+ = (x 1 + x 1 ; y 1 + y 1 ; z 1 + z 1)

2. تفاوت یک نوع مجموع است، بنابراین تفاوت مختصات مربوطه هر مختصات بردار را می دهد که با تفریق دو بردار داده شده به دست می آید. اگر دو بردار داده شود (x a; y a; z a) و (x b; y b; z b)، آنگاه از اختلاف بردارها بردار با مختصات (x a - x b؛ y a - y b؛ z a - z b) به دست می‌آید.

- = (x a - x b؛ y a - y b؛ z a - z b)

3. هنگام ضرب یک بردار در یک عدد، هر مختصات بردار حاصل برابر است با حاصل ضرب این عدد و مختصات مربوط به بردار داده شده. اگر یک عدد k و یک بردار (x; y; z) داده شود، با ضرب بردار در عدد k، بردار k با مختصات به دست می‌آید.

k = (kx; ky; kz).

وظیفه.مختصات بردار = 2 - 3 + 4 را پیدا کنید، اگر مختصات بردارها (1; -2; -1)، (-2; 3; -4)، (-1; -3; 2) باشد.

راه حل

2 + (-3) + 4

2 = (2·1; 2·(-2)؛ 2·(-1)) = (2; -4; -2);

3 = (-3·(-2)؛ -3·3؛ -3·(-4)) = (6؛ -9؛ 12);

4 = (4·(-1)؛ 4·(-3)؛ 4·2) = (-4؛ -12؛ 8).

= (2 + 6 - 4; -4 - 9 -12; -2 + 12 + 8) = (4; -25; 18).

1.12 مختصات یک بردار، بردار شعاع و نقطه

مختصات یک بردار مختصات انتهای بردار است اگر ابتدای بردار در مبدا قرار گیرد.

بردار شعاع برداری است که از مبدأ به یک نقطه معین کشیده شده است.

اگر بردار
با نقاط M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) و M 2 (x 2 ; y 2 ; z 2) داده می شود، سپس هر یک از مختصات آن برابر است با اختلاف مختصات مربوطه انتهایی و ابتدای بردار

برای بردارهای خطی = (x 1 ; y 1 ; z 1) و = (x 2 ; y 2 ; z 2)، اگر ≠ 0 باشد، یک عدد k وجود دارد که به شما امکان می دهد بردار را از طریق:

= ک

سپس مختصات بردار از طریق مختصات بردار بیان می شود

= (kx 1 ; ky 1 ; kz 1)

نسبت مختصات متناظر بردارهای خطی برابر با عدد مفرد k است

1.13 طول برداری و فاصله بین دو نقطه

طول بردار (x; y; z) برابر است با جذر مجذور مجذورات مختصات آن

طول بردار مشخص شده توسط نقاط شروع M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) و انتهای M 2 (x 2 ; y 2 ; z 2) برابر است با جذر مجموع مربع ها تفاوت بین مختصات متناظر انتهای بردار و ابتدا

فاصله d بین دو نقطه M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) و M 2 (x 2 ; y 2 , z 2) برابر است با طول بردار

در هواپیما مختصات z وجود ندارد

فاصله بین نقاط M 1 (x 1 ; y 1) و M 2 (x 2 ; y 2)

1.14 مختصات وسط بخش

اگر نکته C وسط قطعه AB است، سپس بردار شعاع نقطه C در یک سیستم مختصات دلخواه با مبدأ در نقطه O برابر است با نصف مجموع بردارهای شعاع نقاط A و B.

اگر مختصات بردارها
(x; y; z)
(x 1 ; y 1 ; z 1)
(x 2 ; y 2 ; z 2)، سپس هر مختصات برداری برابر است با نصف مجموع مختصات بردار مربوطه و

,
,

= (x، y، z) =

هر یک از مختصات وسط پاره برابر با نصف مجموع مختصات مربوط به انتهای پاره است.

1.15 زاویه بین بردارها

زاویه بین بردارها برابر است با زاویه بین پرتوهایی که از یک نقطه کشیده شده و با این بردارها هدایت می شوند. زاویه بین بردارها می تواند از 0 0 تا 180 0 باشد. زاویه بین بردارهای هم جهت 0 0 است. اگر یک بردار یا هر دو صفر باشند، زاویه بین بردارها که حداقل یکی از آنها صفر است، برابر با 0 0 است. زاویه بین بردارهای عمود بر 90 0 است. زاویه بین بردارهای جهت مخالف 180 0 است.

1.16 طرح ریزی برداری

1.17 حاصل ضرب نقطه ای بردارها

حاصل ضرب اسکالر دو بردار عددی (اسکالر) برابر حاصلضرب طول بردارها و کسینوس زاویه بین بردارها است.

اگر = 0 0، سپس بردارها هم جهت هستند
و
= cos 0 0 = 1، بنابراین، حاصل ضرب اسکالر بردارهای هم جهت برابر است با حاصلضرب طول آنها (ماژول)

اگر زاویه بین بردارها 0 باشد< < 90 0 , то косинус угла между такими векторами больше нуля
بنابراین حاصل ضرب اسکالر بزرگتر از صفر است
.

اگر بردارهای غیر صفر عمود باشند، حاصل ضرب اسکالر آنها صفر است
، از آنجایی که cos 90 0 = 0. حاصل ضرب اسکالر بردارهای عمود بر هم برابر با صفر است.

اگر
، پس کسینوس زاویه بین این گونه بردارها کمتر از صفر است
بنابراین حاصل ضرب اسکالر کمتر از صفر است
.

با افزایش زاویه بین بردارها، کسینوس زاویه بین آنها افزایش می یابد
کاهش می یابد و به حداقل مقدار در می رسد = 180 0 وقتی بردارها جهت مخالف باشند
. از آنجایی که cos 180 0 = -1، پس
. حاصل ضرب اسکالر بردارهای جهت مخالف برابر است با حاصلضرب منفی طول آنها (ماژول).

مربع اسکالر یک بردار برابر با مدول بردار مربع است

حاصل ضرب نقطه ای بردارهایی که حداقل یکی از آنها صفر است برابر با صفر است.

1.18 معنای فیزیکی حاصل ضرب اسکالر بردارها

از یک درس فیزیک مشخص است که کار توسط یک نیرو انجام می شود هنگام حرکت دادن بدن برابر حاصل ضرب طول بردارهای نیرو و جابجایی و کسینوس زاویه بین آنها، یعنی برابر با حاصل ضرب اسکالر بردارهای نیرو و جابجایی

اگر بردار نیرو با حرکت جسم هم جهت باشد، زاویه بین بردارها
= 0 0، بنابراین کار انجام شده توسط نیروی جابجایی حداکثر و برابر با A = است
.

اگر 0< < 90 0 , то работа силы на перемещении положительна A > 0.

اگر = 90 0 باشد، کار انجام شده توسط نیروی جابجایی صفر A = 0 است.

اگر 90 0< < 180 0 , то работа силы на перемещении отрицательна A < 0.

اگر بردار نیرو مخالف حرکت جسم باشد، زاویه بین بردارها = 180 0 است، بنابراین کار نیروی روی حرکت منفی و برابر با A = - است.

وظیفه.کار انجام شده توسط گرانش را هنگام بلند کردن یک خودروی سواری به وزن 1 تن در امتداد جاده ای به طول 1 کیلومتر با زاویه شیب 30 0 نسبت به افق تعیین کنید. با استفاده از این انرژی چند لیتر آب در دمای 20 0 را می توان جوشاند؟

راه حل

کار یک جاذبه هنگام حرکت یک جسم، برابر است با حاصل ضرب طول بردارها و کسینوس زاویه بین آنها، یعنی برابر با حاصل ضرب اسکالر بردارهای گرانش و جابجایی.

جاذبه زمین

G = میلی گرم = 1000 کیلوگرم 10 متر بر ثانیه 2 = 10000 نیوتن.

= 1000 متر

زاویه بین بردارها = 120 0 . سپس

cos 120 0 = cos (90 0 + 30 0) = - sin 30 0 = - 0.5.

جایگزین کنیم

A = 10000 N · 1000 متر · (-0.5) = - 5,000,000 J = - 5 MJ.

1.19 حاصل ضرب نقطه ای بردارها در مختصات

حاصل ضرب نقطه ای دو بردار = (x 1 ; y 1 ; z 1) و = (x 2 ; y 2 ; z 2) در یک سیستم مختصات مستطیلی برابر است با مجموع حاصلضرب مختصات به همین نام

= x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 .

1.20 شرط عمود بردارها

اگر بردارهای غیر صفر = (x 1 ; y 1 ; z 1) و = (x 2 ; y 2 ; z 2) عمود باشند، حاصل ضرب اسکالر آنها صفر است.

اگر یک بردار غیر صفر = (x 1 ; y 1 ; z 1) داده شود، مختصات بردار عمود بر آن (عادی) = (x 2 ; y 2 ; z 2) باید برابری را برآورده کند.

x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 = 0.

تعداد نامتناهی از این بردارها وجود دارد.

اگر یک بردار غیر صفر = (x 1 ; y 1) روی صفحه داده شود، مختصات بردار عمود بر آن = (x 2 ; y 2) باید برابری را برآورده کند.

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0.

اگر بردار غیر صفر = (x 1 ; y 1) در صفحه داده شود، کافی است به طور دلخواه یکی از مختصات بردار را عمود بر آن = (x 2 ; y 2) و از شرط عمود بودن بردارها

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0

مختصات دوم بردار را بیان کند.

برای مثال، اگر یک مختصات دلخواه x 2 را جایگزین کنید، پس

y 1 y 2 = - x 1 x 2.

مختصات برداری دوم

اگر x 2 = y 1 بدهیم، مختصات دوم بردار است

اگر بردار غیر صفر = (x 1 ; y 1) در صفحه داده شود، آنگاه بردار عمود بر آن (عادی) = (y 1 ; -x 1).

اگر یکی از مختصات یک بردار غیر صفر برابر با صفر باشد، آن بردار همان مختصات را دارد که برابر با صفر نیست و مختصات دوم برابر با صفر است. چنین بردارهایی بر روی محورهای مختصات قرار دارند و بنابراین عمود هستند.

بیایید یک بردار دوم عمود بر بردار = (x 1 ; y 1) اما مخالف بردار تعریف کنیم. ، یعنی بردار - . سپس کافی است علائم مختصات برداری را تغییر دهید

- = (-y 1 ; x 1)

1 = (y 1 ; -x 1)

2 = (-y 1 ; x 1).

وظیفه.

راه حل

مختصات دو بردار عمود بر بردار = (x 1 ; y 1) در صفحه

1 = (y 1 ; -x 1)

2 = (-y 1 ; x 1).

مختصات برداری جایگزین = (3; -5)

1 = (-5; -3),

2 = (-(-5); 3) = (5; 3).

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0

3·(-5) + (-5)·(-3) = -15 + 15 = 0

درست!

3·5 + (-5)·3 = 15 - 15 = 0

درست!

پاسخ: 1 = (-5؛ -3)، 2 = (5؛ 3).

اگر x 2 = 1 را نسبت دهیم، جایگزین کنید

x 1 + y 1 y 2 = 0.

y 1 y 2 = -x 1

مختصات y 2 بردار عمود بر بردار = (x 1 ; y 1) را بدست می آوریم.

برای به دست آوردن بردار دوم عمود بر بردار = (x 1 ; y 1)، اما مخالف بردار . اجازه دهید

سپس کافی است علائم مختصات برداری را تغییر دهید.

مختصات دو بردار عمود بر بردار = (x 1 ; y 1) در صفحه

وظیفه.بردار داده شده = (3; -5). دو بردار معمولی با جهت های مختلف پیدا کنید.

راه حل

مختصات دو بردار عمود بر بردار = (x 1 ; y 1) در صفحه

مختصات یک بردار

مختصات بردار دوم

برای بررسی عمود بردارها، مختصات آنها را با شرط عمود بردارها جایگزین می کنیم.

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0

3 1 + (-5) 0.6 = 3 - 3 = 0

درست!

3·(-1) + (-5)·(-0.6) = -3 + 3 = 0

درست!

پاسخ: و.

اگر x 2 = - x 1 را اختصاص دهید، جایگزین کنید

x 1 (-x 1) + y 1 y 2 = 0.

-x 1 2 + y 1 y 2 = 0.

y 1 y 2 = x 1 2

مختصات بردار عمود بر بردار را بدست می آوریم

اگر x 2 = x 1 را اختصاص دهید، جایگزین کنید

x 1 x 1 + y 1 y 2 = 0.

x 1 2 + y 1 y 2 = 0.

y 1 y 2 = -x 1 2

مختصات y بردار دوم عمود بر بردار را به دست می آوریم

مختصات یک بردار عمود بر بردار در صفحه = (x 1 ; y 1)

مختصات بردار دوم عمود بر بردار در صفحه = (x 1 ; y 1)

مختصات دو بردار عمود بر بردار = (x 1 ; y 1) در صفحه

1.21 کسینوس زاویه بین بردارها

کسینوس زاویه بین دو بردار غیر صفر = (x 1 ; y 1 ; z 1) و = (x 2 ; y 2 ; z 2) برابر است با حاصل ضرب اسکالر بردارها تقسیم بر حاصل ضرب طول این بردارها

اگر
= 1، سپس زاویه بین بردارها 0 0 است، بردارها هم جهت هستند.

اگر 0< < 1, то 0 0 < < 90 0 .

اگر = 0، زاویه بین بردارها 90 0 باشد، بردارها عمود هستند.

اگر -1< < 0, то 90 0 < < 180 0 .

اگر = -1 باشد، زاویه بین بردارها 180 0 است، بردارها جهت مخالف هستند.

اگر یک بردار با مختصات ابتدا و انتها داده شود، سپس با کم کردن مختصات ابتدا از مختصات مربوط به انتهای بردار، مختصات این بردار را به دست می آوریم.

وظیفه.زاویه بین بردارها (0; -2; 0)، (-2; 0; -4) را پیدا کنید.

راه حل

حاصل ضرب نقطه ای بردارها

= 0·(-2) + (-2)·0 + 0·(-4) = 0،

بنابراین زاویه بین بردارها برابر است = 90 0 .

1.22 خواص حاصلضرب اسکالر بردارها

خواص محصول اسکالر برای هر یک معتبر است , , ، ک:

1.
، اگر
، آن
، اگر =، آن
= 0.

2. قانون سفر

3. قانون توزیعی

4. قانون ترکیب
.

1.23 بردار مستقیم

بردار جهت یک خط بردار غیر صفر است که روی یک خط یا روی خطی موازی با یک خط معین قرار دارد.

اگر یک خط مستقیم با دو نقطه M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1 ) و M 2 (x 2 ; y 2 ; z 2 ) تعریف شود، آنگاه راهنما بردار است.
یا بردار مخالف آن
= - ، که مختصات آن

توصیه می شود سیستم مختصات را طوری تنظیم کنید که خط از مبدا مختصات عبور کند، سپس مختصات تنها نقطه روی خط مختصات بردار جهت خواهد بود.

وظیفه.مختصات بردار جهت خط مستقیمی را که از نقاط M 1 (1; 0; 0)، M 2 (0; 1; 0) عبور می کند، تعیین کنید.

راه حل

بردار جهت خط مستقیمی که از نقاط M 1 (1; 0; 0)، M 2 (0; 1; 0) عبور می کند نشان داده می شود.
. هر یک از مختصات آن برابر است با تفاوت بین مختصات متناظر انتهای و ابتدای بردار

= (0 - 1; 1 - 0; 0 - 0) = (-1; 1; 0)

اجازه دهید بردار جهت یک خط مستقیم را در سیستم مختصات با شروع در نقطه M 1، با پایان در نقطه M 2 و یک بردار مساوی به تصویر بکشیم.
از مبدا با انتهای نقطه M (-1; 1; 0)

1.24 زاویه بین دو خط مستقیم

گزینه های ممکن برای موقعیت نسبی 2 خط مستقیم در یک صفحه و زاویه بین چنین خطوط مستقیم:

1. خطوط مستقیم در یک نقطه قطع می شوند، 4 زاویه تشکیل می دهند، 2 جفت زاویه عمودی به صورت جفت برابر هستند. زاویه φ بین دو خط متقاطع زاویه ای است که از سه زاویه دیگر بین این خطوط تجاوز نمی کند. بنابراین، زاویه بین خطوط φ ≤ 90 0 است.

خطوط متقاطع می توانند، به ویژه، عمود بر φ = 90 0 باشند.

گزینه های ممکن برای موقعیت نسبی 2 خط مستقیم در فضا و زاویه بین چنین خطوط مستقیم:

1. خطوط مستقیم در یک نقطه قطع می شوند، 4 زاویه تشکیل می دهند، 2 جفت زاویه عمودی به صورت جفت برابر هستند. زاویه φ بین دو خط متقاطع زاویه ای است که از سه زاویه دیگر بین این خطوط تجاوز نمی کند.

2. خطوط موازی هستند، یعنی منطبق نیستند و قطع نمی شوند φ=0 0 .

3. خطوط منطبق هستند، φ = 0 0 .

4. خطوط همدیگر را قطع می کنند، یعنی در فضا همدیگر را قطع نمی کنند و موازی نیستند. زاویه φ بین خطوط متقاطع، زاویه بین خطوطی است که به موازات این خطوط کشیده شده اند تا آنها را قطع کنند. بنابراین، زاویه بین خطوط φ ≤ 90 0 است.

زاویه بین 2 خط برابر با زاویه بین خطوطی است که به موازات این خطوط در همان صفحه کشیده شده اند. بنابراین، زاویه بین خطوط 0 0 ≤ φ ≤ 90 0 است.

زاویه θ (تتا) بین بردارها و 0 0 ≤ θ ≤ 180 0 .

اگر زاویه φ بین خطوط α و β برابر با زاویه θ بین بردارهای جهت این خطوط φ = θ باشد، آنگاه

cos φ = cos θ.

اگر زاویه بین خطوط مستقیم φ = 180 0 - θ باشد، پس

cos φ = cos (180 0 - θ) = - cos θ.

cos φ = - cos θ.

بنابراین، کسینوس زاویه بین خطوط مستقیم برابر است با مدول کسینوس زاویه بین بردارها.

cos φ = |cos θ|.

اگر مختصات بردارهای غیرصفر = (x 1 ; y 1 ; z 1) و = (x 2 ; y 2 ; z 2) داده شود، کسینوس زاویه θ بین آنها

کسینوس زاویه بین خطوط برابر با مدول کسینوس زاویه بین بردارهای جهت این خطوط است.

cos φ = |cos θ| =

خطوط همان اجسام هندسی هستند، بنابراین همان توابع cos مثلثاتی در فرمول وجود دارد.

اگر هر یک از دو خط با دو نقطه داده شود، می توان بردار جهت این خطوط و کسینوس زاویه بین خطوط را تعیین کرد.

اگر cos φ = 1، سپس زاویه φ بین خطوط برابر با 0 0 است، می توانیم برای این خطوط یکی از بردارهای جهت این خطوط را بگیریم، خطوط موازی یا منطبق هستند. اگر خطوط منطبق نباشند، موازی هستند. اگر خطوط بر هم منطبق باشند، هر نقطه از یک خط به خط دیگر تعلق دارد.

اگر 0< cos φ ≤ 1، سپس زاویه بین خطوط 0 0 است< φ ≤ 90 0 , прямые пересекаются или скрещиваются. Если прямые не пересекаются, то они скрещиваются. Если прямые пересекаются, то они имеют общую точку.

اگر cos φ = 0، سپس زاویه φ بین خطوط 90 0 است (خطوط عمود هستند)، خطوط متقاطع یا متقاطع هستند.

وظیفه.زاویه بین خطوط مستقیم M 1 M 3 و M 2 M 3 را با مختصات نقاط M 1 (1؛ 0؛ 0)، M 2 (0؛ 1؛ 0) و M 3 (0؛ 0؛ 1) تعیین کنید.

راه حل

بیایید نقاط و خطوط داده شده را در سیستم مختصات Oxyz بسازیم.

بردارهای جهت خطوط را طوری هدایت می کنیم که زاویه θ بین بردارها با زاویه φ بین خطوط داده شده منطبق باشد. اجازه دهید بردارها را نشان دهیم
و =
و همچنین زوایای θ و φ:

اجازه دهید مختصات بردارها و را تعیین کنیم

= = (1 - 0; 0 - 0; 0 - 1) = (1; 0; -1);

= = (0 - 0; 1 - 0; 0 - 1) = (0; 1; -1). d = 0 و ax + by + cz = 0;

صفحه موازی با محور مختصات است که تعیین آن در معادله صفحه وجود ندارد و بنابراین، ضریب مربوطه صفر است، به عنوان مثال، در c = 0، صفحه موازی با محور Oz است و اینطور نیست. حاوی z در معادله ax + by + d = 0;

صفحه شامل آن محور مختصاتی است که تعیین آن وجود ندارد، بنابراین، ضریب مربوطه صفر و d = 0 است، به عنوان مثال، با c = d = 0، صفحه موازی با محور Oz است و حاوی z نیست. معادله تبر + توسط = 0;

صفحه موازی با صفحه مختصات است که نمادهای آن در معادله صفحه وجود ندارد و بنابراین ضرایب مربوطه صفر است، به عنوان مثال برای b = c = 0، صفحه موازی با صفحه مختصات Oyz است. و حاوی y، z در معادله ax + d = 0 نیست.

اگر صفحه با صفحه مختصات منطبق باشد، معادله چنین صفحه ای برابری با صفر تعیین محور مختصات عمود بر صفحه مختصات داده شده است، برای مثال، وقتی x = 0، صفحه داده شده صفحه مختصات است. اویز.

وظیفه.بردار نرمال با معادله به دست می آید

معادله هواپیما را به صورت عادی ارائه دهید.

راه حل

مختصات بردار معمولی

آ؛ ب c)، سپس می توانید مختصات نقطه M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0) و مختصات a, b, c بردار نرمال را در معادله کلی صفحه جایگزین کنید.

ax + by + cz + d = 0 (1)

معادله ای با یک d مجهول به دست می آوریم

ax 0 + در 0 + cz 0 + d = 0

از اینجا

d = -(ax 0 + در 0 + cz 0 )

معادله صفحه (1) پس از جایگزینی d

ax + by + cz - (ax 0 + by 0 + cz 0) = 0

معادله صفحه ای را که از نقطه M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0) عمود بر بردار غیر صفر می گذرد به دست می آوریم. (الف؛ ب؛ ج)

a (x - x 0) + b (y - y 0) + c (z - z 0) = 0

بیایید پرانتزها را باز کنیم

ax - ax 0 + by - by 0 + cz - cz 0 = 0

تبر + توسط + cz - تبر 0 - در 0 - cz 0 = 0

بیایید نشان دهیم

d = - تبر 0 - در 0 - cz 0

معادله کلی هواپیما را بدست می آوریم

ax + by + cz + d = 0.

1.29 معادله صفحه ای که از دو نقطه و مبدا می گذرد

ax + by + cz + d = 0.

توصیه می شود سیستم مختصات را طوری تنظیم کنید که هواپیما از مبدا این سیستم مختصات عبور کند. نقاط M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) و M 2 (x 2 ; y 2 ; z 2) که در این صفحه قرار دارند باید مشخص شوند تا خط مستقیمی که این نقاط را به هم متصل می کند از مبدا عبور نکند.

صفحه از مبدأ عبور می کند، بنابراین d = 0. سپس معادله کلی هواپیما شکل می گیرد.

تبر + توسط + cz = 0.

3 ضریب مجهول a,b,c وجود دارد. با جایگزین کردن مختصات دو نقطه در معادله کلی صفحه، سیستمی از 2 معادله به دست می آید. اگر مقداری ضریب در معادله کلی هواپیما برابر با یک در نظر بگیریم، سیستمی متشکل از 2 معادله به ما امکان می دهد تا 2 ضریب مجهول را تعیین کنیم.

اگر یکی از مختصات یک نقطه صفر باشد، ضریب مربوط به این مختصات یک در نظر گرفته می شود.

اگر نقطه ای دارای دو مختصات صفر باشد، ضریب مربوط به یکی از این مختصات صفر به عنوان یک در نظر گرفته می شود.

اگر a = 1 پذیرفته شود، سیستمی متشکل از 2 معادله به ما امکان می دهد 2 ضریب مجهول b و c را تعیین کنیم:

حل سیستمی از این معادلات با ضرب معادله در عددی آسانتر است که ضرایب برخی مجهول برابر شود. سپس اختلاف معادلات به ما این امکان را می دهد که این مجهول را حذف کنیم و مجهول دیگری را تعیین کنیم. جایگزینی مجهول یافت شده به هر معادله ای به شما امکان می دهد مجهول دوم را تعیین کنید.

1.30 معادله صفحه ای که از سه نقطه عبور می کند

اجازه دهید ضرایب معادله کلی هواپیما را تعیین کنیم

ax + by + cz + d = 0،

عبور از نقاط M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1)، M 2 (x 2 ; y 2 , z 2) و M 3 (x 3 ; y 3 ; z 3). نقاط نباید دو مختصات یکسان داشته باشند.

4 ضریب مجهول a، b، c و d وجود دارد. با جایگزینی مختصات سه نقطه در معادله کلی هواپیما، سیستمی متشکل از 3 معادله به دست می آید. مقداری ضریب در معادله کلی هواپیما برابر با وحدت بگیرید، سپس سیستم 3 معادله به شما امکان می دهد 3 ضریب مجهول را تعیین کنید. معمولا a = 1 پذیرفته می شود، سپس یک سیستم از 3 معادله به ما اجازه می دهد تا 3 ضریب مجهول b، c و d را تعیین کنیم:

بهتر است سیستم معادلات را با حذف مجهولات حل کنیم (روش گاوس). می توانید معادلات موجود در سیستم را دوباره مرتب کنید. هر معادله ای را می توان در هر ضریبی که برابر با صفر نباشد ضرب یا تقسیم کرد. هر دو معادله را می توان اضافه کرد و معادله حاصل را می توان به جای هر یک از دو معادله اضافه شده نوشت. مجهولات با به دست آوردن ضریب صفر در مقابل آنها از معادلات حذف می شوند. در یک معادله، معمولاً پایین ترین آن، یک متغیر باقی مانده است که تعیین می شود. متغیر یافت شده از زیر به معادله دوم جایگزین می شود که معمولاً 2 مجهول باقی می گذارد. معادلات از پایین به بالا حل شده و تمام ضرایب مجهول تعیین می شود.

ضرایب در مقابل مجهولات قرار می گیرند و عبارت های عاری از مجهولات به سمت راست معادلات منتقل می شوند.

خط بالایی معمولاً شامل معادله ای است که ضریب آن 1 قبل از اولین یا هر مجهولی است یا کل معادله اول بر ضریب قبل از مجهول اول تقسیم می شود. در این سیستم معادلات، معادله اول را بر y 1 تقسیم کنید

قبل از اولین مجهول ما ضریب 1 را دریافت کردیم:

برای تنظیم مجدد ضریب مقابل متغیر اول معادله دوم، معادله اول را در -y 2 ضرب کرده و به معادله دوم اضافه کرده و به جای معادله دوم، معادله حاصل را بنویسید. مجهول اول در معادله دوم حذف خواهد شد زیرا

y 2 b - y 2 b = 0.

به همین ترتیب، مجهول اول در معادله سوم را با ضرب معادله اول در -y 3 حذف می کنیم و آن را به معادله سوم اضافه می کنیم و معادله حاصل را به جای معادله سوم می نویسیم. مجهول اول در معادله سوم نیز حذف خواهد شد زیرا

y 3 b - y 3 b = 0.

به همین ترتیب، مجهول دوم را در معادله سوم حذف می کنیم. ما سیستم را از پایین به بالا حل می کنیم.

وظیفه.

ax + by + cz + d = 0،

عبور از نقاط M 1 (0; 0; 0)، M 2 (0; 1; 0) و y+ 0 z + 0 = 0

x = 0.

هواپیمای مشخص شده صفحه مختصات Oyz است.

وظیفه.معادله کلی هواپیما را تعیین کنید

ax + by + cz + d = 0،

عبور از نقاط M 1 (1؛ 0؛ 0)، M 2 (0؛ 1؛ 0) و M 3 (0؛ 0؛ 1). فاصله این صفحه تا نقطه M 0 (10; -3; -7) را پیدا کنید.

راه حل

بیایید نقاط داده شده را در سیستم مختصات Oxyz بسازیم.

قبول کنیم آ= 1. با جایگزین کردن مختصات سه نقطه در معادله کلی صفحه، سیستمی از 3 معادله به دست می آید.

ℓ =

صفحات وب: 1 2 بردارها در هواپیما و در فضا (ادامه)

مشاوره با آندری جورجیویچ اولشفسکی در اسکایپ دا.irk.ru

آماده سازی دانش آموزان و دانش آموزان در رشته های ریاضی، فیزیک، علوم کامپیوتر، دانش آموزانی که می خواهند امتیاز زیادی کسب کنند (قسمت ج) و دانش آموزان ضعیف برای آزمون دولتی (GIA) و آزمون یکپارچه دولتی. بهبود همزمان عملکرد تحصیلی فعلی با توسعه حافظه، تفکر، و توضیح واضح ارائه پیچیده و بصری اشیاء. رویکرد ویژه به هر دانش آموز. آمادگی برای المپیادهایی که مزایای پذیرش را فراهم می کند. 15 سال تجربه در بهبود پیشرفت دانش آموزان.

ریاضیات عالی، جبر، هندسه، نظریه احتمالات، آمار ریاضی، برنامه ریزی خطی.

توضیح واضح تئوری، پر کردن شکاف ها در درک، روش های تدریس برای حل مشکلات، مشاوره هنگام نوشتن درس و دیپلم.

موتورهای هوانوردی، موشک و خودرو. موتورهای هایپرسونیک، رم جت، موشک، انفجار پالس، ضربان دار، توربین گاز، موتورهای احتراق داخلی پیستونی - تئوری، طراحی، محاسبه، قدرت، طراحی، فناوری ساخت. ترمودینامیک، مهندسی حرارت، دینامیک گاز، هیدرولیک.

هوانوردی، ایرومکانیک، آیرودینامیک، دینامیک پرواز، تئوری، طراحی، آیرودینامیک. هواپیماهای فوق سبک، اکرانوپلان ها، هواپیماها، هلیکوپترها، موشک ها، موشک های کروز، هاورکرافت، کشتی های هوایی، ملخ ها - تئوری، طراحی، محاسبه، قدرت، طراحی، فناوری ساخت.

تولید و اجرای ایده. مبانی تحقیق علمی، روش های تولید، اجرای ایده های علمی، اختراعی، تجاری. آموزش فنون حل مسائل علمی و مسائل اختراعی. خلاقیت علمی، اختراعی، نویسندگی، مهندسی. بیان، انتخاب، حل با ارزش ترین مسائل و ایده های علمی، ابداعی.

انتشار نتایج خلاقانه نحوه نوشتن و انتشار مقاله علمی، درخواست اختراع، نوشتن، انتشار کتاب. تئوری نگارش، دفاع از پایان نامه. کسب درآمد از ایده ها و اختراعات. مشاوره در ایجاد اختراعات، نوشتن درخواست اختراعات، مقالات علمی، درخواست اختراعات، کتاب، تک نگاری، پایان نامه. تالیف مشترک اختراعات، مقالات علمی، تک نگاری.

مکانیک نظری (teormekh)، مقاومت مصالح (مقاومت مواد)، قطعات ماشین آلات، تئوری مکانیزم ها و ماشین ها (TMM)، فناوری مهندسی مکانیک، رشته های فنی.

مبانی نظری مهندسی برق (TOE)، الکترونیک، مبانی الکترونیک دیجیتال و آنالوگ.

هندسه تحلیلی، هندسه توصیفی، گرافیک مهندسی، طراحی. گرافیک کامپیوتری، برنامه نویسی گرافیک، طراحی در اتوکد، نانوکد، فتومونتاژ.

منطق، نمودارها، درختان، ریاضیات گسسته.

OpenOffice و LibreOffice Basic، Visual Basic، VBA، NET، ASP.NET،ماکروها، VBScript، BASIC، C، C++، دلفی، پاسکال، دلفی، پاسکال، سی شارپ، جاوا اسکریپت، فرترن، html، متکد. ایجاد برنامه، بازی برای رایانه های شخصی، لپ تاپ، دستگاه های تلفن همراه. استفاده از برنامه های آماده رایگان، موتورهای متن باز.

ایجاد، قرار دادن، تبلیغ، برنامه نویسی وب سایت، فروشگاه های آنلاین، کسب درآمد در وب سایت، طراحی وب سایت.

علوم کامپیوتر، کاربر کامپیوتر: متون، جداول، ارائه ها، آموزش تایپ سریع در 2 ساعت، پایگاه داده، 1C، ویندوز، ورد، اکسل، اکسس، گیمپ، اپن آفیس، اتوکد، نانوکد، اینترنت، شبکه ها، ایمیل.

نصب و تعمیر کامپیوتر و لپ تاپ ثابت.

وبلاگ نویس ویدئو، ایجاد، ویرایش، ارسال ویدئو، ویرایش ویدئو، کسب درآمد از وبلاگ های ویدئویی.

انتخاب، دستیابی به اهداف، برنامه ریزی.

آموزش کسب درآمد از اینترنت: وبلاگ نویس، ویدئو بلاگر، برنامه ها، وب سایت ها، فروشگاه آنلاین، مقالات، کتاب ها و غیره.

شما می توانید از توسعه سایت حمایت کنید، هزینه خدمات مشاوره آندری جورجیویچ اولشفسکی را بپردازید

10.15.17 اولشفسکی آندری جورجیویچپست الکترونیک:[ایمیل محافظت شده]

بنابراین، خدمات:

سرویس کار با بردارها به شما امکان انجام کار را می دهد اقدامات روی بردارها.
اگر وظیفه ای برای انجام یک تبدیل پیچیده تر دارید، باید از این سرویس به عنوان سازنده استفاده کنید.
مثال. داده های برداری آو ب، باید بردار را پیدا کنیم با = آ + 3*ب,