مشتق ریشه تابع مرکب. مشتق را بیابید: الگوریتم و مثال هایی از راه حل ها

19.11.2021

که بر روی آن ساده ترین مشتقات را تجزیه و تحلیل کردیم و همچنین با قوانین تمایز و چند تکنیک برای یافتن مشتقات آشنا شدیم. بنابراین، اگر با مشتقات توابع خیلی خوب نیستید یا برخی از نکات این مقاله کاملاً واضح نیست، ابتدا درس بالا را بخوانید. لطفاً با حال و هوای جدی هماهنگ شوید - مطالب آسان نیست، اما من همچنان سعی خواهم کرد آن را ساده و واضح ارائه دهم.

در عمل، شما باید اغلب با مشتق یک تابع پیچیده سر و کار داشته باشید، حتی می توانم بگویم تقریباً همیشه، زمانی که به شما وظایفی برای یافتن مشتقات داده می شود.

ما در جدول به قانون (شماره 5) برای تمایز یک تابع پیچیده نگاه می کنیم:

متوجه هستیم. اول از همه، بیایید نگاهی به نماد بیاندازیم. در اینجا ما دو تابع داریم - و، و تابع، به طور مجازی، در تابع تودرتو است. تابعی از این نوع (زمانی که یک تابع درون دیگری تودرتو باشد) تابع پیچیده نامیده می شود.

من تابع را فراخوانی خواهم کرد عملکرد خارجی، و عملکرد - عملکرد داخلی (یا تو در تو)..

! این تعاریف نظری نیستند و نباید در طراحی نهایی تکالیف ظاهر شوند. من از عبارات غیررسمی "عملکرد خارجی"، "عملکرد داخلی" استفاده می کنم تا درک مطلب را برای شما آسانتر کنم.

برای روشن شدن وضعیت، در نظر بگیرید:

مثال 1

مشتق تابع را بیابید

در زیر سینوس، ما نه فقط حرف "x"، بلکه کل عبارت را داریم، بنابراین یافتن مشتق بلافاصله از جدول کار نخواهد کرد. ما همچنین متوجه می شویم که اعمال چهار قانون اول در اینجا غیرممکن است، به نظر می رسد تفاوت وجود دارد، اما واقعیت این است که "پاره کردن" سینوس غیرممکن است:

در این مثال، قبلاً از توضیحات من، به طور شهودی مشخص است که تابع یک تابع پیچیده است و چند جمله ای یک تابع داخلی (جاسازی) و یک تابع خارجی است.

گام اول، که باید هنگام یافتن مشتق یک تابع مختلط انجام شود درک کنید که کدام تابع داخلی و کدام خارجی است.

در مورد مثال‌های ساده، واضح است که یک چند جمله‌ای زیر سینوس تودرتو شده است. اما اگر واضح نباشد چه؟ چگونه مشخص کنیم که دقیقا کدام تابع خارجی و کدام داخلی است؟ برای انجام این کار، من پیشنهاد می کنم از تکنیک زیر استفاده کنید، که می تواند به صورت ذهنی یا پیش نویس انجام شود.

بیایید تصور کنیم که باید مقدار عبارت را با یک ماشین حساب محاسبه کنیم (به جای یک، هر عددی می تواند وجود داشته باشد).

اول چی حساب کنیم؟ در درجه اولشما باید عمل زیر را انجام دهید: بنابراین چند جمله ای یک تابع داخلی خواهد بود:

دوماشما باید پیدا کنید، بنابراین سینوس - یک تابع خارجی خواهد بود:

بعد از ما فهمیدنبا توابع درونی و بیرونی، زمان اعمال قانون تمایز تابع مرکب فرا رسیده است .

ما شروع به تصمیم گیری می کنیم. از درس چگونه مشتق را پیدا کنیم؟ما به یاد می آوریم که طراحی راه حل هر مشتقی همیشه به این صورت شروع می شود - عبارت را در پرانتز قرار می دهیم و یک سکته مغزی در بالا سمت راست قرار می دهیم:

در ابتدامشتق تابع خارجی (سینوس) را پیدا می کنیم، به جدول مشتقات توابع ابتدایی نگاه می کنیم و متوجه می شویم که . همه فرمول های جدولی قابل اجرا هستند حتی اگر "x" با یک عبارت پیچیده جایگزین شود، در این مورد:

توجه داشته باشید که عملکرد درونی تغییر نکرده است، ما آن را لمس نمی کنیم.

خب این کاملا واضحه

نتیجه اعمال فرمول تمیز شبیه این است:

عامل ثابت معمولاً در ابتدای عبارت قرار می گیرد:

در صورت وجود هرگونه سوء تفاهم، تصمیم را روی کاغذ بنویسید و توضیحات را دوباره بخوانید.

مثال 2

مشتق تابع را بیابید

مثال 3

مشتق تابع را بیابید

مثل همیشه می نویسیم:

ما متوجه می شویم که کجا یک عملکرد خارجی داریم و کجا یک عملکرد داخلی. برای این کار، سعی می کنیم (به صورت ذهنی یا پیش نویس) مقدار عبارت را برای . ابتدا چه کاری باید انجام شود؟ اول از همه، شما باید محاسبه کنید که پایه برابر است با:، به این معنی که چند جمله ای تابع داخلی است:

و تنها پس از آن توان انجام می شود، بنابراین، تابع توان یک تابع خارجی است:

طبق فرمول ، ابتدا باید مشتق تابع خارجی، در این مورد، درجه را پیدا کنید. ما به دنبال فرمول مورد نظر در جدول هستیم:. باز هم تکرار می کنیم: هر فرمول جدولی نه تنها برای "x"، بلکه برای یک عبارت پیچیده نیز معتبر است. بنابراین، نتیجه اعمال قانون تمایز یک تابع پیچیده است بعد:

باز هم تاکید می کنم که وقتی مشتق تابع بیرونی را می گیریم، تابع درونی تغییر نمی کند:

اکنون باقی مانده است که یک مشتق بسیار ساده از تابع داخلی پیدا کنیم و نتیجه را کمی "شانه" کنیم:

مثال 4

مشتق تابع را بیابید

این یک مثال برای حل خود است (پاسخ آخر درس).

برای تثبیت درک مشتق یک تابع پیچیده، بدون نظر مثالی می زنم، سعی کنید خودتان آن را بفهمید، دلیل، تابع خارجی کجا و تابع داخلی کجاست، چرا کارها به این ترتیب حل می شوند؟

مثال 5

الف) مشتق تابع را بیابید

ب) مشتق تابع را بیابید

مثال 6

مشتق تابع را بیابید

در اینجا ما یک ریشه داریم و برای اینکه ریشه را متمایز کنیم باید به صورت درجه نشان داده شود. بنابراین، ابتدا تابع را به شکل مناسب برای تمایز می آوریم:

با تجزیه و تحلیل تابع به این نتیجه می رسیم که مجموع سه جمله یک تابع درونی و توان یک تابع خارجی است. ما قانون تمایز یک تابع پیچیده را اعمال می کنیم :

درجه دوباره به عنوان یک رادیکال (ریشه) نشان داده می شود، و برای مشتق تابع داخلی، یک قانون ساده را برای متمایز کردن مجموع اعمال می کنیم:

آماده. همچنین می توانید عبارت را به یک مخرج مشترک در پرانتز بیاورید و همه چیز را به صورت یک کسری بنویسید. البته زیبا است، اما وقتی مشتقات طولانی دست و پا گیر به دست می آید، بهتر است این کار را انجام ندهید (گیج شدن، اشتباه غیر ضروری آسان است و بررسی آن برای معلم ناخوشایند خواهد بود).

مثال 7

مشتق تابع را بیابید

این یک مثال برای حل خود است (پاسخ آخر درس).

جالب است بدانید که گاهی اوقات به جای قاعده افتراق یک تابع مختلط، می توان از قانون افتراق یک ضریب استفاده کرد. ، اما چنین راه حلی مانند یک انحراف غیر معمول به نظر می رسد. در اینجا یک مثال معمولی است:

مثال 8

مشتق تابع را بیابید

در اینجا می توانید از قانون تمایز ضریب استفاده کنید ، اما یافتن مشتق از طریق قانون تمایز یک تابع پیچیده بسیار سودآورتر است:

ما تابع را برای تمایز آماده می کنیم - علامت منهای مشتق را بیرون می آوریم و کسینوس را به صورت شمارش می کنیم:

کسینوس یک تابع درونی است، توان یک تابع خارجی است.
بیایید از قانون خود استفاده کنیم :

ما مشتق تابع داخلی را پیدا می کنیم، کسینوس را به عقب برگردانیم:

آماده. در مثال مورد بررسی، مهم است که در علائم سردرگم نشوید. به هر حال، سعی کنید آن را با قانون حل کنید ، پاسخ ها باید مطابقت داشته باشند.

مثال 9

مشتق تابع را بیابید

این یک مثال برای حل خود است (پاسخ آخر درس).

تا اینجا مواردی را در نظر گرفتیم که در یک تابع پیچیده فقط یک تودرتو داشتیم. در کارهای عملی، شما اغلب می توانید مشتقاتی را پیدا کنید، جایی که، مانند عروسک های تودرتو، یکی در داخل دیگری، 3 یا حتی 4-5 تابع به طور همزمان تو در تو قرار می گیرند.

مثال 10

مشتق تابع را بیابید

ما پیوست های این تابع را درک می کنیم. ما سعی می کنیم عبارت را با استفاده از مقدار تجربی ارزیابی کنیم. چگونه روی یک ماشین حساب حساب کنیم؟

ابتدا باید پیدا کنید، به این معنی که آرکسین عمیق ترین لانه است:

سپس این کمان وحدت باید مجذور شود:

و در نهایت، ما هفت را به قدرت بالا می بریم:

یعنی در این مثال ما سه تابع مختلف و دو تودرتو داریم، در حالی که درونی ترین تابع آرکسین و بیرونی ترین تابع تابع نمایی است.

ما شروع به تصمیم گیری می کنیم

طبق قاعده ابتدا باید مشتق تابع بیرونی را بگیرید. به جدول مشتقات نگاه می کنیم و مشتق تابع نمایی را می یابیم: تنها تفاوت این است که به جای "x" یک عبارت پیچیده داریم که اعتبار این فرمول را نفی نمی کند. بنابراین، نتیجه اعمال قانون تمایز یک تابع پیچیده است بعد.

نمونه هایی از محاسبه مشتقات با استفاده از فرمول مشتق یک تابع مختلط آورده شده است.

محتوا

همچنین ببینید: اثبات فرمول مشتق یک تابع مختلط

فرمول های پایه

در اینجا مثال هایی از محاسبه مشتقات توابع زیر ارائه می کنیم:
; ; ; ; .

اگر یک تابع را بتوان به صورت یک تابع پیچیده به شکل زیر نشان داد:
,
سپس مشتق آن با فرمول تعیین می شود:
.
در مثال های زیر این فرمول را به شکل زیر می نویسیم:
.
جایی که .
در اینجا، زیرمجموعه ها یا زیر علامت مشتق، متغیری را نشان می دهند که با توجه به آن تمایز انجام می شود.

معمولاً در جداول مشتقات مشتقات توابع از متغیر x آورده شده است. با این حال، x یک پارامتر رسمی است. متغیر x را می توان با هر متغیر دیگری جایگزین کرد. بنابراین، زمانی که یک تابع را از یک متغیر متمایز می کنیم، به سادگی، در جدول مشتقات، متغیر x را به متغیر u تغییر می دهیم.

مثال های ساده

مثال 1

مشتق تابع مختلط را بیابید
.

تابع داده شده را به شکلی معادل می نویسیم:
.
در جدول مشتقات می بینیم:
;
.

با توجه به فرمول مشتق یک تابع مختلط، داریم:
.
اینجا .

مثال 2

مشتق را پیدا کنید
.

ثابت 5 را از علامت مشتق خارج می کنیم و از جدول مشتقات می یابیم:
.

.
اینجا .

مثال 3

مشتق را بیابید
.

ثابت را خارج می کنیم -1 برای علامت مشتق و از جدول مشتقات می یابیم:
;
از جدول مشتقات در می یابیم:
.

ما فرمول مشتق یک تابع مختلط را اعمال می کنیم:
.
اینجا .

نمونه های پیچیده تر

در مثال های پیچیده تر، قانون تمایز تابع مرکب را چندین بار اعمال می کنیم. با انجام این کار، مشتق را از انتها محاسبه می کنیم. یعنی تابع را به اجزای آن تقسیم می کنیم و مشتقات ساده ترین قطعات را با استفاده از آن پیدا می کنیم جدول مشتق. ما هم درخواست می کنیم قوانین تمایز جمع, محصولات و کسری . سپس جایگزین هایی می کنیم و فرمول مشتق یک تابع مختلط را اعمال می کنیم.

مثال 4

مشتق را بیابید
.

ساده ترین قسمت فرمول را انتخاب می کنیم و مشتق آن را پیدا می کنیم. .

.
در اینجا ما از علامت گذاری استفاده کرده ایم
.

ما مشتق قسمت بعدی تابع اصلی را با استفاده از نتایج بدست آمده پیدا می کنیم. ما قانون تمایز جمع را اعمال می کنیم:
.

یک بار دیگر، قانون تمایز یک تابع پیچیده را اعمال می کنیم.

.
اینجا .

مثال 5

مشتق تابع را بیابید
.

ساده ترین قسمت فرمول را انتخاب می کنیم و مشتق آن را از جدول مشتقات پیدا می کنیم. .

ما قانون تمایز یک تابع پیچیده را اعمال می کنیم.
.
اینجا
.

با استفاده از نتایج به دست آمده، قسمت بعدی را متمایز می کنیم.
.
اینجا
.

بیایید قسمت بعدی را متمایز کنیم.

.
اینجا
.

حالا مشتق تابع مورد نظر را پیدا می کنیم.

.
اینجا
.

همچنین ببینید:

و قضیه مشتق تابع مختلط که فرمول آن به صورت زیر است:

فرض کنید 1) تابع $u=\varphi (x)$ دارای مشتق $u_(x)"=\varphi"(x_0)$ در نقطه ای $x_0$ باشد، 2) تابع $y=f(u)$ در نقطه مربوطه $u_0=\varphi (x_0)$ مشتق $y_(u)"=f"(u)$ دارد. سپس تابع مختلط $y=f\left(\varphi (x) \right)$ در نقطه ذکر شده نیز مشتقی برابر حاصلضرب مشتقات توابع $f(u)$ و $\varphi خواهد داشت. x)$:

$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \right)\cdot \varphi"(x_0) $$

یا به صورت کوتاه تر: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$.

در مثال های این بخش، همه توابع به شکل $y=f(x)$ هستند (یعنی فقط توابع یک متغیر $x$ را در نظر می گیریم). بر این اساس، در همه مثال‌ها، مشتق $y"$ با توجه به متغیر $x$ گرفته می‌شود. برای تاکید بر اینکه مشتق با توجه به متغیر $x$ گرفته می‌شود، اغلب به جای $ $y"_x$ می‌نویسیم. y"$.

مثال های #1، #2 و #3 یک فرآیند دقیق برای یافتن مشتق توابع پیچیده ارائه می دهند. مثال شماره 4 برای درک کاملتر جدول مشتقات در نظر گرفته شده است و منطقی است که با آن آشنا شوید.

توصیه می شود پس از مطالعه مطالب در مثال های شماره 1-3، به سراغ حل مستقل مثال های شماره 5، شماره 6 و شماره 7 بروید. مثال های 5، 6 و 7 حاوی یک راه حل کوتاه هستند تا خواننده بتواند صحت نتیجه خود را بررسی کند.

مثال شماره 1

مشتق تابع $y=e^(\cos x)$ را بیابید.

ما باید مشتق تابع مختلط $y"$ را پیدا کنیم. از $y=e^(\cos x)$، سپس $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$. به مشتق $ \left(e^(\cos x)\right)"$ را پیدا کنید از فرمول #6 از جدول مشتقات استفاده کنید. برای استفاده از فرمول شماره 6، باید این را در نظر بگیرید که در مورد ما $u=\cos x$. راه حل دیگر شامل جایگزینی پیش پا افتاده عبارت $\cos x$ به جای $u$ در فرمول شماره 6 است:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \برچسب (1.1)$$

اکنون باید مقدار عبارت $(\cos x)"$ را پیدا کنیم. دوباره به جدول مشتقات می رویم و فرمول شماره 10 را از آن انتخاب می کنیم. با جایگزینی $u=x$ به فرمول شماره 10، داریم : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$. اکنون برابری (1.1) را ادامه می دهیم و آن را با نتیجه یافت شده تکمیل می کنیم:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \برچسب (1.2) $$

از آنجایی که $x"=1$، برابری (1.2) را ادامه می دهیم:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \برچسب (1.3) $$

بنابراین، از برابری (1.3) داریم: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$، طبیعتاً معمولاً از توضیحات و برابری های میانی صرف نظر می شود و مشتق را در یک خط می نویسیم، مانند تساوی. (1.3) بنابراین، مشتق تابع مختلط پیدا شده است، فقط باید پاسخ را یادداشت کنیم.

پاسخ: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.

مثال شماره 2

مشتق تابع $y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$ را بیابید.

ما باید مشتق $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$ را محاسبه کنیم. برای شروع، توجه می کنیم که ثابت (یعنی عدد 9) را می توان از علامت مشتق خارج کرد:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)" \tag (2.1) $$

حال به عبارت $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$ می‌پردازیم. برای سهولت در انتخاب فرمول مورد نظر از جدول مشتقات، عبارت را ارائه می‌کنم. سوال به این شکل: $\left( \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. اکنون مشخص است که باید از فرمول شماره 2 استفاده کرد، یعنی. $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ و $\alpha=12$ را در این فرمول جایگزین کنید:

با تکمیل برابری (2.1) با نتیجه به دست آمده، داریم:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \برچسب (2.2) $$

در این شرایط، زمانی که حل کننده در مرحله اول، فرمول $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ را به جای فرمول انتخاب می کند، اغلب اشتباه می شود. $\left(u^\ alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. نکته این است که ابتدا باید مشتق تابع خارجی را پیدا کرد. برای درک اینکه کدام تابع خارج از عبارت $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$ خواهد بود، تصور کنید که مقدار عبارت $\arctg^(12) (4\cdot 5^) را می شمارید. x)$ برای مقداری $x$. ابتدا مقدار $5^x$ را محاسبه می کنید، سپس نتیجه را در 4 ضرب می کنید تا $4\cdot 5^x$ بدست آورید. حالا مماس قطبی را از این نتیجه می گیریم و $\arctg(4\cdot 5^x)$ را می گیریم. سپس عدد حاصل را به توان دوازدهم می‌رسانیم و $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$ را می‌گیریم. آخرین اقدام، یعنی. افزایش به توان 12، - و یک تابع خارجی خواهد بود. و از آن است که باید مشتق یافتن را آغاز کرد که در برابری انجام شد (2.2).

اکنون باید $(\arctg(4\cdot \ln x))"$ را پیدا کنیم. از فرمول شماره 19 جدول مشتقات استفاده می کنیم و $u=4\cdot \ln x$ را جایگزین آن می کنیم:

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

بیایید با در نظر گرفتن $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$، عبارت حاصل را کمی ساده کنیم.

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

برابری (2.2) اکنون تبدیل خواهد شد:

باقی مانده است که $(4\cdot \ln x)"$ را پیدا کنیم. ثابت (یعنی 4) را از علامت مشتق خارج می کنیم: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x )"$. برای پیدا کردن $(\ln x)"$، از فرمول شماره 8 استفاده می کنیم و $u=x$ را جایگزین آن می کنیم: $(\ln x)"=\frac(1)(x) \cdot x"$. از آنجایی که $x"=1$، پس $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x) $ با جایگزینی نتیجه به دست آمده به فرمول (2.3)، به دست می آوریم:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \راست)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)).$ $

اجازه دهید به شما یادآوری کنم که مشتق یک تابع مختلط اغلب در یک خط است، همانطور که در آخرین برابری نوشته شده است. بنابراین، هنگام انجام محاسبات یا آزمایشات استاندارد، اصلاً لازم نیست محلول را با همان جزئیات رنگ کنید.

پاسخ: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$.

مثال شماره 3

$y"$ تابع $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$ را پیدا کنید.

ابتدا، اجازه دهید کمی تابع $y$ را با بیان رادیکال (ریشه) به عنوان یک توان تبدیل کنیم: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9 ^x) \راست)^(\frac(3)(7))$. حالا بیایید شروع به یافتن مشتق کنیم. از آنجایی که $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$، پس:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)" \برچسب (3.1) $$

ما از فرمول شماره 2 از جدول مشتقات استفاده می کنیم و $u=\sin(5\cdot 9^x)$ و $\alpha=\frac(3)(7)$ را جایگزین آن می کنیم:

$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$

برابری (3.1) را با استفاده از نتیجه به دست آمده ادامه می دهیم:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \برچسب (3.2) $$

اکنون باید $(\sin(5\cdot 9^x))"$ را پیدا کنیم. برای این کار از فرمول شماره 9 از جدول مشتقات استفاده می کنیم و $u=5\cdot 9^x$ را جایگزین آن می کنیم:

$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$

با تکمیل برابری (3.2) با نتیجه به دست آمده، داریم:

باقی مانده است که $(5\cdot 9^x)"$ را پیدا کنیم. ابتدا ثابت (عدد $5$) را از علامت مشتق خارج می کنیم، یعنی $(5\cdot 9^x)"=5\ cdot (9^x) "$. برای یافتن مشتق $(9^x)"$، فرمول شماره 5 جدول مشتقات را اعمال می کنیم و $a=9$ و $u=x$ را جایگزین آن می کنیم: $ (9^x)"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$. از آنجایی که $x"=1$، سپس $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. اکنون می‌توانیم برابری (3.3) را ادامه دهیم:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$

با نوشتن $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ به عنوان $\ frac(1) می توانید دوباره از power ها به رادیکال ها (یعنی ریشه ها) برگردید. )(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^ x))) دلار. سپس مشتق به شکل زیر نوشته می شود:

$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))). $$

پاسخ: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^x)))$.

مثال شماره 4

نشان دهید که فرمول های شماره 3 و شماره 4 جدول مشتقات مورد خاصی از فرمول شماره 2 این جدول هستند.

در فرمول شماره 2 جدول مشتقات، مشتق تابع $u^\alpha$ نوشته شده است. با جایگزینی $\alpha=-1$ به فرمول #2، دریافت می کنیم:

$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\tag (4.1)$$

از آنجایی که $u^(-1)=\frac(1)(u)$ و $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$، برابری (4.1) را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد: $ \left(\frac(1)(u) \right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. این فرمول شماره 3 جدول مشتقات است.

اجازه دهید دوباره به فرمول شماره 2 جدول مشتقات بپردازیم. $\alpha=\frac(1)(2)$ را در آن جایگزین کنید:

$$\left(u^(\frac(1)(2))\right)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\tag (4.2) $$

از آنجایی که $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ و $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac( 1 )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$، سپس برابری (4.2) را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$

برابری حاصل $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ فرمول شماره 4 جدول مشتقات است. همانطور که مشاهده می کنید فرمول های شماره 3 و شماره 4 جدول مشتقات از فرمول شماره 2 با جایگزینی مقدار مربوط به $\alpha$ بدست می آیند.

توابع یک فرم پیچیده برای نامیدن اصطلاح "تابع پیچیده" کاملاً صحیح نیست. به عنوان مثال، به نظر می رسد بسیار چشمگیر است، اما این عملکرد، بر خلاف آن، پیچیده نیست.

در این مقاله به مفهوم تابع پیچیده می پردازیم، یاد می گیریم که چگونه آن را به عنوان بخشی از توابع ابتدایی شناسایی کنیم، فرمولی برای یافتن مشتق آن ارائه می دهیم و حل مثال های معمولی را با جزئیات در نظر می گیریم.

هنگام حل مثال ها، به طور مداوم از جدول مشتقات و قواعد تمایز استفاده خواهیم کرد، بنابراین آنها را جلوی چشم خود نگه دارید.

عملکرد پیچیدهتابعی است که آرگومان آن نیز تابع است.

از دیدگاه ما، این تعریف قابل درک ترین است. به طور معمول، می توان آن را با f(g(x)) نشان داد. به این معنا که g(x) آرگومان تابع f(g(x)) است.

برای مثال، اگر f تابع مماس قوس باشد و g(x) = lnx تابع لگاریتم طبیعی باشد، تابع مختلط f(g(x)) arctg(lnx) است. مثال دیگر: f تابعی از افزایش به توان چهارم است و یک تابع عقلی کامل است (نگاه کنید به)، پس .

به نوبه خود، g(x) نیز می تواند یک تابع پیچیده باشد. مثلا، . به طور قراردادی، چنین عبارتی را می توان به عنوان نشان داد . در اینجا f تابع سینوس است، تابع جذر است، یک تابع گویا کسری است. منطقی است که فرض کنیم درجه تودرتوی توابع می تواند هر عدد طبیعی متناهی باشد.

اغلب می شنوید که یک تابع پیچیده فراخوانی می شود ترکیب تابع

فرمول یافتن مشتق تابع مختلط.

مثال.

مشتق تابع مختلط را بیابید.

تصمیم گیری

در این مثال، f یک تابع مربع و g(x) = 2x+1 یک تابع خطی است.

در اینجا یک راه حل دقیق با استفاده از فرمول مشتق یک تابع پیچیده آورده شده است:

اجازه دهید این مشتق را بعد از ساده کردن شکل تابع اصلی پیدا کنیم.

از این رو،

همانطور که می بینید، نتایج مطابقت دارند.

سعی کنید اشتباه نگیرید که کدام تابع f و کدام g(x) است.

اجازه دهید این را با یک مثال برای توجه توضیح دهیم.

مثال.

مشتقات توابع مختلط و .

تصمیم گیری

در حالت اول، f تابع مربع و g(x) تابع سینوسی است، بنابراین
.

در حالت دوم، f یک تابع سینوسی و یک تابع توان است. بنابراین، با فرمول حاصل ضرب یک تابع مختلط، داریم

فرمول مشتق برای یک تابع دارای شکل است

مثال.

تابع افتراق .

تصمیم گیری

در این مثال، تابع پیچیده را می توان به صورت شرطی نوشت ، تابع سینوس، تابع افزایش به توان سوم، تابع لگاریتم به پایه e، تابع گرفتن مماس قوس و تابع خطی به ترتیب کجاست.

طبق فرمول مشتق یک تابع مختلط

حالا پیدا می کنیم

کنار هم قرار دادن نتایج میانی به دست آمده:

هیچ چیز وحشتناکی وجود ندارد، عملکردهای پیچیده مانند عروسک های تودرتو را از هم جدا کنید.

این می توانست مقاله را به پایان برساند، اگر نه برای یکی اما ...

مطلوب است که به وضوح درک کنیم که چه زمانی باید قوانین تمایز و جدول مشتقات را اعمال کرد و چه زمانی فرمول مشتق یک تابع پیچیده.

اکنون بسیار مراقب باشید. ما در مورد تفاوت بین توابع پیچیده و توابع پیچیده صحبت خواهیم کرد. از اینکه چقدر این تفاوت را می بینید، موفقیت در یافتن مشتقات بستگی دارد.

بیایید با مثال های ساده شروع کنیم. عملکرد را می توان به صورت مختلط در نظر گرفت: g(x) = tgx، . بنابراین، می توانید بلافاصله فرمول مشتق یک تابع پیچیده را اعمال کنید

و در اینجا تابع است دیگر نمی توان سخت نامید.

این تابع مجموع سه تابع 3tgx و 1 است. اگرچه - یک تابع مختلط است: - یک تابع توان است (یک سهمی درجه دوم)، و f یک تابع مماس است. بنابراین، ابتدا از فرمول افتراق مجموع استفاده می کنیم:

باقی مانده است که مشتق یک تابع پیچیده را پیدا کنیم:

بنابراین .

امیدواریم به اصل مطلب پی ببرید.

اگر به طور گسترده تر نگاه کنید، می توان استدلال کرد که توابع یک نوع پیچیده می توانند بخشی از توابع پیچیده و توابع پیچیده می توانند اجزای توابع از نوع پیچیده باشند.

به عنوان مثال، اجازه دهید اجزای تابع را تجزیه و تحلیل کنیم .