منبع شغل: وظیفه 10_20. آزمون دولتی واحد 2018 مطالعات اجتماعی. راه حل

وظیفه 20.متن زیر را بخوانید که تعدادی کلمه (عبارات) در آن وجود ندارد. از لیست کلمات (عباراتی) که باید به جای شکاف ها درج شوند، انتخاب کنید.

«کیفیت زندگی به عوامل زیادی بستگی دارد، از محل زندگی یک فرد گرفته تا وضعیت عمومی اجتماعی-اقتصادی و (الف) و همچنین وضعیت امور سیاسی کشور. کیفیت زندگی تا حدی می تواند تحت تأثیر وضعیت جمعیتی، شرایط مسکن و تولید، حجم و کیفیت _____(B) و غیره باشد. بسته به میزان ارضای نیازها در اقتصاد، آن مرسوم تشخیص دادن سطوح مختلفزندگی جمعیت: ثروت - استفاده (B)، تضمین توسعه انسانی همه جانبه؛ سطح نرمال _____(G) طبق استانداردهای مبتنی بر علمی، به فرد کمک می کند تا قدرت فیزیکی و فکری خود را بازیابی کند. فقر - ​​مصرف کالا در سطح حفظ ظرفیت کاری به عنوان کمترین حد تولید مثل _____(D)؛ فقر مصرف حداقل مجموعه کالاها و خدمات قابل قبول بر اساس معیارهای بیولوژیکی است که تنها امکان حفظ بقای انسان را فراهم می کند.

جمعیت، با تطبیق با شرایط بازار، از منابع مختلف درآمد اضافی، از جمله درآمد حاصل از زمین های شخصی، سود از _____(E) استفاده می کند.

کلمات (عبارات) در فهرست به صورت اسمی آورده شده است. هر کلمه (عبارت) فقط یک بار قابل استفاده است.

یک کلمه (عبارت) را پس از دیگری انتخاب کنید و هر شکاف را به طور ذهنی پر کنید. لطفاً توجه داشته باشید که تعداد کلمات (عبارات) در لیست بیشتر از آن چیزی است که برای پر کردن شکاف ها نیاز دارید.

فهرست اصطلاحات:

1) سرمایه

2) محیطی

3) مصرف منطقی

4) کالاهای مصرفی

5) وسایل تولید

7) کار

8) فعالیت کارآفرینی

9) تحرک اجتماعی

راه حل.

بیایید اصطلاحات را در متن وارد کنیم.

«کیفیت زندگی به عوامل زیادی بستگی دارد، از محل زندگی یک فرد گرفته تا وضعیت عمومی اجتماعی-اقتصادی و محیطی (2) (الف) و همچنین وضعیت امور سیاسی در کشور. کیفیت زندگی تا حدی می تواند تحت تأثیر وضعیت جمعیتی، شرایط مسکن و تولید، حجم و کیفیت کالاهای مصرفی (4) (ب) و غیره باشد. بسته به میزان ارضای نیازها در اقتصاد، مرسوم است که سطوح مختلف زندگی جمعیت را تشخیص دهیم: ثروت - استفاده از مزایای (6) (B) که توسعه همه جانبه یک فرد را تضمین می کند. سطح نرمال مصرف منطقی (3) (د) مطابق با استانداردهای مبتنی بر علمی، به فرد امکان بازیابی قوای جسمی و فکری را می دهد. فقر - ​​مصرف کالا در سطح حفظ ظرفیت کاری به عنوان کمترین حد بازتولید نیروی کار (7) (د)؛ فقر مصرف حداقل مجموعه کالاها و خدمات قابل قبول بر اساس معیارهای بیولوژیکی است که تنها امکان حفظ بقای انسان را فراهم می کند.

فرض کنید R یک رابطه باینری در مجموعه X باشد. رابطه R نامیده می شود منعکس کننده , اگر (x, x) О R برای همه x О X; متقارن – اگر از (x, y) О R به دنبال (y, x) О R باشد. عدد متعدی 23 با گزینه 24 مطابقت دارد اگر (x, y) О R و (y, z) О R دلالت بر (x, z) О R داشته باشد.

مثال 1

خواهیم گفت که x О X مشترک دارد با عنصر y О X، اگر مجموعه
x Ç y خالی نیست. رابطه مشترک داشتن، بازتابی و متقارن خواهد بود، اما متعدی نیست.

رابطه هم ارزیروی X یک رابطه بازتابی، متعدی و متقارن است. به راحتی می توان فهمید که R Í X ´ X یک رابطه هم ارزی خواهد بود اگر و تنها در صورتی که شمول ها برقرار باشند:

شناسه X Í R (انعکاس پذیری)،

R -1 Í R (تقارن)،

R ° R Í R (گذرا).

در واقع، این سه شرط معادل موارد زیر است:

شناسه X Í R، R -1 = R، R ° R = R.

با تقسیم کردناز یک مجموعه X مجموعه A از زیرمجموعه های متفرقه جفتی a Í X است به طوری که UA = X. با هر پارتیشن A می توانیم یک رابطه هم ارزی ~ را روی X مرتبط کنیم، اگر x و y عناصر برخی از a Î A هستند، x ~ y قرار می دهیم. .

هر رابطه هم ارزی ~ روی X مربوط به یک پارتیشن A است که عناصر آن زیرمجموعه هایی هستند که هر کدام از آنهایی که در رابطه ~ هستند تشکیل شده است. این زیر مجموعه ها نامیده می شوند کلاس های هم ارزی . این پارتیشن A مجموعه عاملی از مجموعه X نسبت به ~ نامیده می شود و به آن نشان داده می شود: X/~.

اجازه دهید رابطه ~ را در مجموعه w از اعداد طبیعی تعریف کنیم، اگر باقیمانده های حاصل از تقسیم x و y بر 3 برابر باشند، x ~ y را قرار می دهیم. سپس w/~ شامل سه کلاس هم ارزی مربوط به باقیمانده های 0، 1 و 2 است.

رابطه سفارش

یک رابطه باینری R در مجموعه X نامیده می شود پاد متقارن ، اگر از x R y و y R x به دست می آید: x = y. یک رابطه باینری R در مجموعه X نامیده می شود رابطه سفارش ، اگر بازتابی، ضد متقارن و متعدی باشد. به راحتی می توان فهمید که این معادل شرایط زیر است:

1) شناسه X Í R (انعکاس پذیری)،

2) R Ç R -1 (ضد تقارن)،

3) R ° R Í R (گذرا).

یک جفت مرتب (X, R) متشکل از یک مجموعه X و یک رابطه مرتبه R روی X نامیده می شود مجموعه نیمه سفارش داده شده .

مثال 1

اجازه دهید X = (0، 1، 2، 3)، R = ((0، 0)، (0، 1)، (0، 2)، (0، 3)، (1، 1)، (1، 2) )، (1، 3)، (2، 2)، (3، 3)).

از آنجایی که R شرایط 1-3 را برآورده می کند، پس (X, R) یک مجموعه تا حدی منظم است. برای عناصر x = 2، y = 3، نه x R y و نه y R x درست نیست. چنین عناصری نامیده می شوند غیر قابل مقایسه . معمولاً رابطه سفارش با £ نشان داده می شود. در مثال ارائه شده، 0 £ 1 و 2 £ 2، اما این درست نیست که 2 £ 3.

مثال 2

اجازه دهید< – бинарное отношение строгого неравенства на множестве w натуральных чисел, рассмотренное в разд. 1.2. Тогда объединение отношений = и < является отношением порядка £ на w и превращает w в частично упорядоченное множество.

عناصر x, y О X از یک مجموعه جزئی مرتب شده (X, £) نامیده می شوند قابل مقایسه ، اگر x £ y یا y £ x.

یک مجموعه جزئی مرتب شده (X، £) نامیده می شود به صورت خطی مرتب شده است یا زنجیر ، اگر هر دو عنصر آن قابل مقایسه باشند. مجموعه از مثال 2 به صورت خطی مرتب می شود، اما مجموعه از مثال 1 نه.

یک زیر مجموعه A Í X از یک مجموعه جزئی مرتب شده (X, £) فراخوانی می شود در بالا محدود شده است ، اگر یک عنصر x О X وجود داشته باشد به طوری که یک £ x برای همه a О A وجود داشته باشد. عنصر x О X نامیده می شود. بزرگترین در X اگر y £ x برای همه y О X. عنصر x О X حداکثر نامیده می شود اگر هیچ عنصر y О X متفاوت از x که برای آن x £ y وجود نداشته باشد. در مثال 1، عناصر 2 و 3 حداکثر خواهند بود، اما نه بزرگترین. به طور مشابه تعریف شده است حد پایین زیر مجموعه ها، کوچکترین و حداقل عناصر. در مثال 1، عنصر 0 هم کوچکترین و هم حداقل خواهد بود. در مثال 2، 0 نیز این ویژگی ها را دارد، اما (w, £) نه بزرگترین و نه حداکثر عنصر را دارد.

فرض کنید (X، £) یک مجموعه جزئی مرتب شده، A Í X یک زیر مجموعه باشد. یک رابطه در A، متشکل از جفت (a، b) از عناصر a، b О A، که a £ b، یک رابطه مرتبه در A خواهد بود. این رابطه با همان نماد نشان داده می شود: £. بنابراین، (A, £) یک مجموعه جزئی مرتب شده است. اگر به صورت خطی مرتب شده باشد، خواهیم گفت که A است زنجیر در (X, £).

اصل حداکثر

برخی از گزاره های ریاضی را نمی توان بدون اصل انتخاب اثبات کرد. این اظهارات گفته می شود به بدیهیات انتخابی بستگی دارد یا در نظریه ZFC معتبر است ، در عمل، به جای اصل انتخاب، معمولاً از اصل زرملو یا لم کوراتوفسکی-زورن یا هر عبارت دیگر معادل اصل انتخاب برای اثبات استفاده می شود.

لمای کوراتوفسکی-زورن. اگر هر زنجیره در یک مجموعه تا حدی دستور داد(X, £) از بالا محدود شده است، سپس درایکس حداقل یک عنصر حداکثر وجود دارد.

این لم معادل اصل انتخاب است و بنابراین می توان آن را به عنوان بدیهیات پذیرفت.

قضیه.برای هر مجموعه ای که جزئی سفارش داده شده است(X, £) یک رابطه حاوی رابطه وجود دارد£ و تبدیل کردنایکس به یک مجموعه منظم خطی

اثبات. مجموعه همه روابط ترتیبی که حاوی رابطه £ هستند توسط رابطه شامل U مرتب می شوند. از آنجایی که اتحاد زنجیره ای از روابط نظم یک رابطه ترتیبی خواهد بود، پس با لم کوراتوفسکی-زورن یک رابطه حداکثری R وجود دارد به طوری که x £ y دلالت بر x R y دارد. اجازه دهید ثابت کنیم که R رابطه ای است که به صورت خطی X را مرتب می کند. اجازه دهید برعکس فرض کنیم: بگذارید a، b О X وجود داشته باشد به گونه ای که نه (a، b) و نه (b، a) متعلق به R باشند. رابطه را در نظر بگیرید:

R¢ = R È ((x, y): x R a و b R y).

با افزودن جفت (a, b) به R و جفت‌های (x, y) به دست می‌آید که باید از شرطی که R¢ یک رابطه مرتبه است به R¢ اضافه شود. به راحتی می توان فهمید که R¢ بازتابی، ضد متقارن و متعدی است. ما R Ì R¢ را به دست می آوریم که با حداکثر R در تضاد است، بنابراین، R رابطه مرتبه خطی مورد نظر است.

اگر هر زیرمجموعه غیر خالی A Í X از آن حاوی کوچکترین عنصر a Î A باشد، یک مجموعه X مرتب شده به صورت خطی، مرتب نامیده می شود. لم Kuratowski-Zorn و اصل انتخاب نیز معادل عبارت زیر هستند:

بدیهیات زرملو. برای هر مجموعه یک رابطه نظم وجود دارد که آن را به یک مجموعه کاملا مرتب تبدیل می کند.

به عنوان مثال، مجموعه w از اعداد طبیعی کاملاً مرتب است. اصل اندوکتانس به صورت زیر خلاصه می شود:

القای ترانس. اگر(X, £) یک مجموعه کاملاً مرتب است و F(x) ویژگی عناصر آن است،درست برای کوچکترین عنصر x 0 О X و به گونه ای که از صدق F(y) برای همه y < z следует истинность F(z), то F(x) برای همه صادق است x О X .

اینجا y< z означает, что у £ z, но y ¹ z. Действительно, в противном случае среди x Î X, не обладающих свойством F(x), можно выбрать наименьший элемент x 1 , и выполнение F(y) для всех y < x 1 приводит к выполнению F(x 1), противоречащему предположению.

مفهوم قدرت

فرض کنید f: X à Y و g: Y à Z نقشه مجموعه ها باشد. از آنجایی که f و g روابط هستند، ترکیب آنها g ° f(x) = g(f(x)) تعریف می شود. اگر h: Z à T نقشه مجموعه ها باشد، h ° (g ° f) = (h ° g) ° f. روابط Id X و Id Y تابع هستند، بنابراین، ترکیبات Id Y ° f = f ° Id x = f تعریف می شوند. برای X = Y، f 2 = f ° f، f 3 = f 2 ° f، ...، f n+1 = f n ° f را تعریف می کنیم.

نگاشت f: X àY نامیده می شود با تزریق ، اگر برای هر عنصر x 1 ¹ x 2 از مجموعه X، f(x 1) ¹ f(x 2) درست است. نگاشت f نامیده می شود سرکشی ، اگر برای هر y OY یک x O X وجود داشته باشد به طوری که f(x) = y. اگر f هم تزریقی و هم تزریقی باشد، f نامیده می شود دوجکشن . به راحتی می توان فهمید که f یک انحراف است اگر و فقط اگر رابطه معکوس f -1 Í Y ´ X یک تابع باشد.

خواهیم گفت که برابری |X| = |Y|، اگر بین X و Y تقسیمی وجود داشته باشد. اجازه دهید |X| £ |Y|، در صورت تزریق f: X à Y.

قضیه کانتور- شرودر-برنشتاین. اگر|X| £ |Y| و|Y| £ |X| ، آن|X| = |Y|.

اثبات. با شرط، تزریق‌های f: X à Y و g: Y à X وجود دارد. اجازه دهید A = g¢¢Y = Img تصویر مجموعه Y با توجه به نگاشت g باشد. سپس

(X \ A) Ç (gf)¢¢ (X \ A) = Æ،

(gf)¢¢(X \ A) Ç (gf) 2 ¢¢ (X \ A) = Æ، …،

(gf) n ¢¢ (X \ A) Ç (gf) n+1 ¢¢ (X \ A) = Æ، …

نگاشت j را در نظر بگیرید: X à A، به صورت j(x) = gf(x)، با

x Î (X \ A) È (gf)¢¢ (X \ A) È (gf) 2 ¢¢ (X \ A) È … و j(x) = x در موارد دیگر. به راحتی می توان فهمید که j یک bijection است. بیجکشن مورد نیاز بین X و Y برابر با g -1 درجه j خواهد بود.

ضدیت کانتور

اجازه دهید |X|< |Y|, если |X| £ |Y| и не существует биекции между X и Y.

قضیه کانتور. برای هر مجموعه X، |X|< |P(X)|, где P(X) – множество всех подмножеств множества X.

قضایای زیر قابل اثبات است.

قضیه 1.4. تابع f تابع معکوس f -1 دارد اگر و فقط اگر f دوجکتیو باشد.

قضیه 1.5. ترکیب توابع دوگانه یک تابع دوگانه است.

برنج. 1.12 روابط مختلفی را نشان می دهد که همه آنها به جز اولی توابع هستند.

نگرش، اما

تزریق، اما

سرکشی، اما

یک تابع نیست

نه یک سوژه

تزریق نیست

فرض کنید f : A→B یک تابع باشد، و مجموعه های A و B مجموعه های متناهی باشند، اجازه دهید A = n، B = m را قرار دهیم. اصل دیریکله بیان می کند که اگر n > m، حداقل یک مقدار f بیش از یک بار اتفاق می افتد. به عبارت دیگر، یک جفت عنصر a i ≠ a j , a i , a j A وجود دارد که f(a i )= f(a j ).

اصل دیریکله به راحتی قابل اثبات است، بنابراین آن را به عنوان یک تمرین بی اهمیت به خواننده واگذار می کنیم. بیایید به یک مثال نگاه کنیم. اجازه دهید بیش از 12 دانش آموز در یک گروه وجود داشته باشد. سپس مشخص است که حداقل دو نفر از آنها در یک ماه تولد دارند.

§ 7. رابطه هم ارزی. فاکتور - مجموعه

یک رابطه باینری R در مجموعه A را رابطه هم ارزی می نامند اگر R بازتابی، متقارن و متعدی باشد.

یک رابطه تساوی روی مجموعه ای از اعداد دارای ویژگی های مشخص شده است و بنابراین یک رابطه هم ارزی است.

رابطه تشابه مثلث آشکارا یک رابطه هم ارزی است.

رابطه نابرابری غیر دقیق (≤ ) در مجموعه اعداد حقیقی، یک رابطه هم ارزی نخواهد بود، زیرا متقارن نیست: از 3≤ 5 از آن 5≤ 3 پیروی نمی کند.

یک کلاس هم ارزی (coset) که توسط یک عنصر a برای یک رابطه هم ارزی داده شده R ایجاد می شود، زیرمجموعه آن x A است که در رابطه R با a هستند. کلاس هم ارزی نشان داده شده با [a]R نشان داده می شود، بنابراین، داریم:

[a] R = (x A: a, x R).

بیایید به یک مثال نگاه کنیم. یک رابطه تشابه در مجموعه مثلث ها معرفی می شود. واضح است که همه مثلث های متساوی الاضلاع در یک مجموعه قرار می گیرند، زیرا هر یک از آنها مانند مثلثی است که طول همه اضلاع آن واحد است.

قضیه 1.6. فرض کنید R یک رابطه هم ارزی در مجموعه A باشد و [a] R یک مجموعه، یعنی. [a] R = (x A: a, x R)، سپس:

1) برای هر A: [a] R ≠، به ویژه، a [a] R.

2) مجموعه های مختلف تلاقی نمی کنند.

3) اتحاد همه coset ها با کل مجموعه A منطبق است.

4) مجموعه ای از coset های مختلف پارتیشنی از مجموعه A را تشکیل می دهند.

اثبات 1) با توجه به بازتابی R، به دست می آوریم که برای هر a، a A، a،a R، بنابراین a [a] R و [a] R ≠ داریم.

2) فرض کنیم که [a] R ∩ [b] R ≠، یعنی. یک عنصر c از A و c [a]R ∩ [b]R وجود دارد. سپس از (cRa)&(cRb) به دلیل تقارن R آن (aR c)&(cRb) را به دست می آوریم و از گذرا بودن R aRb داریم.

برای هر x [a] R داریم: (xRa)&(aRb)، سپس به دلیل گذر بودن R، xRb را به دست می آوریم، یعنی. x [b] R، بنابراین [a] R [b] R. به طور مشابه، برای هر y، y [b] R، داریم: (yRb)&(aRb)، و به دلیل تقارن R به دست می آوریم که (yRb)&(bR a)، سپس، به دلیل گذر بودن R ، به دست می آوریم که yR a، i.e. y [a]R و

بنابراین [b] R [a] R . از [a]R [b] R و [b] R [a] R به دست می‌آییم [a] R = [b] R، یعنی اگر coset ها متقاطع شوند، بر هم می‌شوند.

3) برای هر a، a A، همانطور که ثابت شد، یک [a] R داریم، پس بدیهی است که اتحاد همه مجموعه‌ها با مجموعه A منطبق است.

بیانیه 4) قضیه 1.6 از 1)-3 پیروی می کند. قضیه ثابت شده است. قضیه زیر قابل اثبات است.

قضیه 1.7. روابط هم ارزی مختلف در مجموعه A پارتیشن های مختلف A را ایجاد می کند.

قضیه 1.8. هر پارتیشن از مجموعه A یک رابطه هم ارزی در مجموعه A ایجاد می کند و پارتیشن های مختلف روابط هم ارزی متفاوتی را ایجاد می کنند.

اثبات اجازه دهید یک پارتیشن B = (B i ) از مجموعه A داده شود. اجازه دهید رابطه R را تعریف کنیم: a,b R اگر و فقط اگر یک B i وجود داشته باشد به طوری که a و b هر دو متعلق به این B ​​i باشند. بدیهی است که رابطه معرفی شده بازتابی، متقارن و متعدی است، بنابراین، R یک رابطه هم ارزی است. می توان نشان داد که اگر پارتیشن ها متفاوت باشند، روابط هم ارزی ایجاد شده توسط آنها نیز متفاوت است.

مجموعه همه زوج‌های مجموعه A با توجه به یک رابطه هم‌ارزی معین R را مجموعه عاملی می‌گویند و با A/R نشان داده می‌شود. عناصر یک مجموعه فاکتور کوست ها هستند. کلاس coset [a]R، همانطور که مشخص است، از عناصر A تشکیل شده است که در رابطه با یکدیگر R هستند.

بیایید مثالی از یک رابطه هم ارزی در مجموعه اعداد صحیح Z = (...، -3، -2، -1، 0، 1، 2، 3، ...) را در نظر بگیریم.

اگر m مقسوم علیه باشد، دو عدد صحیح a و b را مدول m قابل مقایسه (همگرا) می نامند. اعداد a-b، یعنی اگر داشته باشیم:

a=b+km، k=…، -3، -2، -1، 0، 1، 2، 3، ….

در این مورد، a≡ b(mod m) را بنویسید.

قضیه 1.9. برای هر عدد a، b، c و m>0 داریم:

1) a ≡ a(mod m) ;

2) اگر a ≡ b (mod m)، سپس b ≡ a (mod m);

3) اگر a ≡ b (mod m) و b ≡ c (mod m)، سپس a ≡ c (mod m).

اثبات عبارات 1) و 2) واضح است. بیایید 3 را ثابت کنیم). بگذارید a=b+k 1 m، b=c+k 2 m، سپس a=c+(k 1 +k 2)m، یعنی. a ≡ c(mod m) . قضیه ثابت شده است.

بنابراین، رابطه مقایسه‌پذیری مدول m یک رابطه هم‌ارزی است و مجموعه اعداد صحیح را به کلاس‌های متمایز از اعداد تقسیم می‌کند.

بیایید یک مارپیچ بی پایان بسازیم که در شکل نشان داده شده است. 1.13 به عنوان یک خط ثابت نشان داده شده است، و یک مارپیچ بی پایان به عنوان یک خط چین نشان داده شده است. اجازه دهید یک عدد صحیح غیر منفی m داده شود. همانطور که در شکل نشان داده شده است، تمام اعداد صحیح (عناصر از مجموعه Z) را در نقاط تقاطع این مارپیچ ها با پرتوهای m قرار می دهیم. 1.13.

برای یک رابطه مقایسه پذیری مدول m (به ویژه برای m = 8)، کلاس هم ارزی اعدادی است که روی پرتو قرار دارند. بدیهی است که هر عدد در یک و تنها یک کلاس قرار می گیرد. می توان دریافت که برای m=8 داریم:

[ 0] ={…, -8, 0, 8, 16, …};
[ 1] ={…, -7, 1, 9, 17, …};
[ 2] ={…, -6, 2, 10, 18, …};
[ 7] ={…, -9, -1, 7, 15, …}.

مجموعه عاملی مجموعه Z با توجه به مدول رابطه مقایسه m به صورت Z/m یا Z m نشان داده می شود. برای مورد مورد بررسی m = 8

بدست می آوریم که Z/8 = Z8 = ( , , , …, ) .

قضیه 1.10. برای هر اعداد صحیح a، b، a*، b*، k و m:

1) اگر a ≡ b (mod m)، سپس ka ≡ kb (mod m);

2) اگر a ≡ b(mod m) و a* ≡ b* (mod m)، آنگاه:

الف) a+a * ≡ b+b* (mod m); ب) aa * ≡ bb* (mod m).

ما مدرک مورد 2b را ارائه می کنیم. بگذارید a ≡ b(mod m) و a * ≡ b * (mod m)، سپس a=b+sm و a * =b * +tm برای برخی از اعداد صحیح s و t. در حال ضرب کردن

دریافت می کنیم: aa* =bb* + btm+ b* sm+ stm2 =bb* +(bt+ b* s+ stm)m. از این رو،

aa* ≡ bb* (mod m).

بنابراین، مقایسه های مدول را می توان اضافه و ضرب در ترم کرد، یعنی. دقیقاً به همان روشی که با برابری ها عمل می کند. مثلا،

فرض کنید R یک رابطه باینری در مجموعه X باشد. رابطه R نامیده می شود منعکس کننده , اگر (x, x) О R برای همه x О X; متقارن – اگر از (x, y) О R به دنبال (y, x) О R باشد. عدد متعدی 23 با گزینه 24 مطابقت دارد اگر (x, y) О R و (y, z) О R دلالت بر (x, z) О R داشته باشد.

مثال 1

خواهیم گفت که x О X مشترک دارد با عنصر y О X، اگر مجموعه
x Ç y خالی نیست. رابطه مشترک داشتن، بازتابی و متقارن خواهد بود، اما متعدی نیست.

رابطه هم ارزیروی X یک رابطه بازتابی، متعدی و متقارن است. به راحتی می توان فهمید که R Í X ´ X یک رابطه هم ارزی خواهد بود اگر و تنها در صورتی که شمول ها برقرار باشند:

شناسه X Í R (انعکاس پذیری)،

R -1 Í R (تقارن)،

R ° R Í R (گذرا).

در واقع، این سه شرط معادل موارد زیر است:

شناسه X Í R، R -1 = R، R ° R = R.

با تقسیم کردناز یک مجموعه X مجموعه A از زیرمجموعه های متفرقه جفتی a Í X است به طوری که UA = X. با هر پارتیشن A می توانیم یک رابطه هم ارزی ~ را روی X مرتبط کنیم، اگر x و y عناصر برخی از a Î A هستند، x ~ y قرار می دهیم. .

هر رابطه هم ارزی ~ روی X مربوط به یک پارتیشن A است که عناصر آن زیرمجموعه هایی هستند که هر کدام از آنهایی که در رابطه ~ هستند تشکیل شده است. این زیر مجموعه ها نامیده می شوند کلاس های هم ارزی . این پارتیشن A مجموعه عاملی از مجموعه X نسبت به ~ نامیده می شود و به آن نشان داده می شود: X/~.

اجازه دهید رابطه ~ را در مجموعه w از اعداد طبیعی تعریف کنیم، اگر باقیمانده های حاصل از تقسیم x و y بر 3 برابر باشند، x ~ y را قرار می دهیم. سپس w/~ شامل سه کلاس هم ارزی مربوط به باقیمانده های 0، 1 و 2 است.

رابطه سفارش

یک رابطه باینری R در مجموعه X نامیده می شود پاد متقارن ، اگر از x R y و y R x به دست می آید: x = y. یک رابطه باینری R در مجموعه X نامیده می شود رابطه سفارش ، اگر بازتابی، ضد متقارن و متعدی باشد. به راحتی می توان فهمید که این معادل شرایط زیر است:

1) شناسه X Í R (انعکاس پذیری)،

2) R Ç R -1 (ضد تقارن)،

3) R ° R Í R (گذرا).

یک جفت مرتب (X, R) متشکل از یک مجموعه X و یک رابطه مرتبه R روی X نامیده می شود مجموعه نیمه سفارش داده شده .

مثال 1

اجازه دهید X = (0، 1، 2، 3)، R = ((0، 0)، (0، 1)، (0، 2)، (0، 3)، (1، 1)، (1، 2) )، (1، 3)، (2، 2)، (3، 3)).

از آنجایی که R شرایط 1-3 را برآورده می کند، پس (X, R) یک مجموعه تا حدی منظم است. برای عناصر x = 2، y = 3، نه x R y و نه y R x درست نیست. چنین عناصری نامیده می شوند غیر قابل مقایسه . معمولاً رابطه سفارش با £ نشان داده می شود. در مثال ارائه شده، 0 £ 1 و 2 £ 2، اما این درست نیست که 2 £ 3.

مثال 2

اجازه دهید< – бинарное отношение строгого неравенства на множестве w натуральных чисел, рассмотренное в разд. 1.2. Тогда объединение отношений = и < является отношением порядка £ на w и превращает w в частично упорядоченное множество.

عناصر x, y О X از یک مجموعه جزئی مرتب شده (X, £) نامیده می شوند قابل مقایسه ، اگر x £ y یا y £ x.

یک مجموعه جزئی مرتب شده (X، £) نامیده می شود به صورت خطی مرتب شده است یا زنجیر ، اگر هر دو عنصر آن قابل مقایسه باشند. مجموعه از مثال 2 به صورت خطی مرتب می شود، اما مجموعه از مثال 1 نه.

یک زیر مجموعه A Í X از یک مجموعه جزئی مرتب شده (X, £) فراخوانی می شود در بالا محدود شده است ، اگر یک عنصر x О X وجود داشته باشد به طوری که یک £ x برای همه a О A وجود داشته باشد. عنصر x О X نامیده می شود. بزرگترین در X اگر y £ x برای همه y О X. عنصر x О X حداکثر نامیده می شود اگر هیچ عنصر y О X متفاوت از x که برای آن x £ y وجود نداشته باشد. در مثال 1، عناصر 2 و 3 حداکثر خواهند بود، اما نه بزرگترین. به طور مشابه تعریف شده است حد پایین زیر مجموعه ها، کوچکترین و حداقل عناصر. در مثال 1، عنصر 0 هم کوچکترین و هم حداقل خواهد بود. در مثال 2، 0 نیز این ویژگی ها را دارد، اما (w, £) نه بزرگترین و نه حداکثر عنصر را دارد.