Proprietà dell'aspettativa matematica. Proprietà dell'aspettativa matematica Come trovare l'aspettativa matematica di una variabile casuale
– il numero di maschi su 10 neonati.
È assolutamente chiaro che questo numero non è noto in anticipo e che i prossimi dieci bambini nati potrebbero includere:
O ragazzi - uno ed uno solo dalle opzioni elencate.
E, per mantenersi in forma, un po' di educazione fisica:
– salto in lungo (in alcune unità).
Anche un maestro dello sport non può prevederlo :)
Tuttavia, le vostre ipotesi?
2) Variabile casuale continua – accetta Tutto valori numerici da un intervallo finito o infinito.
Nota :V letteratura educativa abbreviazioni popolari DSV e NSV
Innanzitutto, analizziamo la variabile casuale discreta, quindi: continuo.
Legge di distribuzione di una variabile casuale discreta
- Questo corrispondenza tra i possibili valori di questa quantità e le loro probabilità. Molto spesso, la legge è scritta in una tabella: 
Il termine appare abbastanza spesso riga
distribuzione, ma in alcune situazioni sembra ambiguo, quindi mi atterrò alla "legge".
E adesso punto molto importante: poiché la variabile casuale Necessariamente accetterà uno dei valori, quindi si formano gli eventi corrispondenti gruppo completo e la somma delle probabilità del loro verificarsi è pari a uno:
oppure, se scritto in forma condensata:
Quindi, ad esempio, la legge della distribuzione di probabilità dei punti lanciati su un dado ha la seguente forma: 
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Potresti avere l'impressione che una variabile casuale discreta possa assumere solo valori interi "buoni". Dissolviamo l'illusione: possono essere qualsiasi cosa:
Esempio 1
Alcuni giochi hanno la seguente legge di distribuzione vincente: 
...probabilmente sogni questo tipo di compiti da molto tempo :) Ti svelo un segreto, anch'io. Soprattutto dopo aver finito di lavorare teoria del campo.
Soluzione: poiché una variabile casuale può assumere solo uno dei tre valori, si formano gli eventi corrispondenti gruppo completo, il che significa che la somma delle loro probabilità è uguale a uno: 
Smascherare il “partigiano”: 
– quindi, la probabilità di vincere unità convenzionali è 0,4.
Controllo: questo è ciò di cui dovevamo essere sicuri.
Risposta:
Non è raro che tu stesso debba redigere una legge sulla distribuzione. Per questo usano definizione classica di probabilità, teoremi di moltiplicazione/addizione per la probabilità di eventi e altri chip tervera:
Esempio 2
La scatola contiene 50 biglietti della lotteria, di cui 12 vincenti, 2 di essi vincono 1000 rubli ciascuno e il resto 100 rubli ciascuno. Elabora una legge per la distribuzione di una variabile casuale: l'entità della vincita, se un biglietto viene estratto a caso dalla scatola.
Soluzione: come hai notato, i valori di una variabile casuale vengono solitamente inseriti in ordine crescente. Pertanto, iniziamo con la vincita più piccola, ovvero i rubli.
Ci sono 50 biglietti di questo tipo in totale - 12 = 38 e secondo definizione classica:
– la probabilità che un biglietto estratto a caso risulti perdente.
In altri casi tutto è semplice. La probabilità di vincere rubli è:
Controlla: – e questo è un momento particolarmente piacevole di tali compiti!
Risposta: la legge desiderata di distribuzione delle vincite: 
Il seguente compito spetta a te risolverlo da solo:
Esempio 3
La probabilità che il tiratore colpisca il bersaglio è . Elabora una legge di distribuzione per una variabile casuale: il numero di colpi dopo 2 colpi.
...sapevo che ti era mancato :) Ricordiamolo Teoremi di moltiplicazione e addizione. La soluzione e la risposta sono alla fine della lezione.
La legge della distribuzione descrive completamente una variabile casuale, ma in pratica può essere utile (e talvolta più utile) conoscerne solo alcune caratteristiche numeriche .
Aspettativa di una variabile casuale discreta
In termini semplici, questo è valore medio atteso quando il test viene ripetuto più volte. Lascia che la variabile casuale assuma valori con probabilità 
rispettivamente. Quindi l'aspettativa matematica di questa variabile casuale è uguale a somma di prodotti tutti i suoi valori alle probabilità corrispondenti:
o compresso: 
Calcoliamo, ad esempio, l'aspettativa matematica di una variabile casuale - il numero di punti lanciati su un dado:
Ora ricordiamo il nostro ipotetico gioco: 
La domanda sorge spontanea: è davvero redditizio giocare a questo gioco? ...chi ha qualche impressione? Quindi non puoi dirlo “disinvolto”! Ma a questa domanda si può facilmente rispondere calcolando l'aspettativa matematica, essenzialmente: media ponderata per probabilità di vincita:
Quindi, l'aspettativa matematica di questo gioco perdere.
Non fidarti delle tue impressioni: fidati dei numeri!
Sì, qui puoi vincere 10 o anche 20-30 volte di seguito, ma alla lunga ci aspetta un'inevitabile rovina. E non ti consiglierei di giocare a giochi del genere :) Beh, forse solo per divertimento.
Da tutto quanto sopra ne consegue che l'aspettativa matematica non è più un valore CASUALE.
Compito creativo per la ricerca indipendente:
Esempio 4
Il signor X gioca alla roulette europea sistema successivo: scommette costantemente 100 rubli sul “rosso”. Elabora una legge di distribuzione di una variabile casuale: le sue vincite. Calcola l'aspettativa matematica di vincita e arrotondala al centesimo più vicino. Quanti media Il giocatore perde per ogni cento che scommette?
Riferimento : La roulette europea contiene 18 settori rossi, 18 neri e 1 verde (“zero”). Se appare un “rosso”, il giocatore viene pagato il doppio della scommessa, altrimenti va alle entrate del casinò
Esistono molti altri sistemi di roulette per i quali puoi creare le tue tabelle di probabilità. Ma questo è il caso in cui non abbiamo bisogno di leggi o tabelle di distribuzione, perché è stabilito con certezza che l’aspettativa matematica del giocatore sarà esattamente la stessa. L'unica cosa che cambia da sistema a sistema è
Maggior parte descrizione completa una variabile casuale è la sua legge di distribuzione. Non sempre però si sa e in questi casi bisogna accontentarsi di meno informazioni. Tali informazioni possono includere: l'intervallo di variazione di una variabile casuale, il suo valore più grande (più piccolo), alcune altre caratteristiche che descrivono la variabile casuale in modo riassuntivo. Tutte queste quantità sono chiamate caratteristiche numeriche variabile casuale. Di solito questi sono alcuni Non casuale numeri che in qualche modo caratterizzano una variabile casuale. Lo scopo principale delle caratteristiche numeriche è esprimere in forma concisa le caratteristiche più significative di una particolare distribuzione.
La caratteristica numerica più semplice di una variabile casuale X l'ha chiamata valore atteso:
M(X)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +…+x n p n. (1.3.1)
Qui x1, x2, …, x n– possibili valori della variabile casuale X, UN pag 1, pag 2, …, р n– le loro probabilità.
Esempio 1. Trova l'aspettativa matematica di una variabile casuale se la sua legge di distribuzione è nota:
Soluzione. M(X)=2×0,3+3×0,1+5×0,6=3,9.
Esempio 2. Trova l'aspettativa matematica del numero di occorrenze di un evento UN in una prova, se la probabilità di questo evento è uguale R.
Soluzione. Se X– numero di occorrenze dell'evento UN in un test, quindi, ovviamente, la legge di distribuzione X ha la forma:
Poi M(X)=0×(1–р)+1×р=р.
Quindi: l'aspettativa matematica del numero di occorrenze di un evento in una prova è uguale alla sua probabilità.
Significato probabilistico dell'aspettativa matematica
Lascia che sia prodotto N test in cui la variabile casuale X accettato m1 valore volte x1, m2 valore volte x2, …, m k valore volte xk. Quindi la somma di tutti i valori in N test è uguale a:
x 1 m 1 +x 2 m 2 +…+x k m k.
Troviamo la media aritmetica di tutti i valori assunti dalla variabile casuale:
Valori – frequenze relative di occorrenza dei valori x io (i=1, …, k). Se N grande abbastanza (n®¥), allora queste frequenze sono approssimativamente uguali alle probabilità: . Ma allora
=x 1 p 1 +x 2 p 2 +…+x k p k =M(X).
Pertanto, l'aspettativa matematica è approssimativamente uguale (più accurato, più numero maggiore test) la media aritmetica dei valori osservati della variabile casuale. Questo è il significato probabilistico dell’aspettativa matematica.
Proprietà dell'aspettativa matematica
1. L'aspettativa matematica di una costante è uguale alla costante stessa.
M(C)=C×1=C.
2. Il fattore costante può essere tolto dal segno dell'aspettativa matematica
M(CX)=C×M(X).
Prova. Consideriamo la legge di distribuzione X dato dalla tabella:
Poi la variabile casuale CX assume valori Cx1, Cx2, …, Сх n con le stesse probabilità, cioè. legge sulla distribuzione CX ha la forma:
M(СХ)=Сх 1 ×р 1 +Сх 2 ×р 2 +…+Сх n ×p n =
=C(x 1 p 1 +x 2 p 2 +…+x n p n)=CM(X).
3. L'aspettativa matematica del prodotto di due variabili casuali indipendenti è uguale al prodotto delle loro aspettative matematiche:
M(XY)=M(X)×M(Y).
Questa affermazione è data senza dimostrazione (la dimostrazione si basa sulla definizione di aspettativa matematica).
Conseguenza. L'aspettativa matematica del prodotto di diverse variabili casuali reciprocamente indipendenti è uguale al prodotto delle loro aspettative matematiche.
In particolare, per tre variabili casuali indipendenti
M(XYZ)=M(X)×M(Y)×M(Z).
Esempio. Trova l'aspettativa matematica del prodotto del numero di punti che possono apparire lanciando due dadi.
Soluzione. Permettere X i– numero di punti per io ossa. Potrebbero essere numeri 1 , 2 , …, 6 con probabilità. Poi
M(X i)=1× +2× +…+6× = (1+2+…+6)= × ×6= .
Permettere X=X1×X2. Poi
M(X)=M(X1)×M(X2)= =12,25.
4. L'aspettativa matematica della somma di due variabili casuali (indipendenti o dipendenti) è uguale alla somma delle aspettative matematiche dei termini:
M(X+Y)=M(X)+M(Y).
Questa proprietà è generalizzata al caso di un numero arbitrario di termini.
Esempio. Vengono sparati 3 colpi con probabilità di colpire il bersaglio pari a p1 =0,4, p2 =0,3 E p3 =0,6. Trova l'aspettativa matematica del numero totale di risultati.
Soluzione. Permettere X i– numero di colpi a io-esimo colpo. Poi
Ì(Å i)=1×p i +0×(1–p i)=p i.
Così,
M(X1 +X2 +X3)= =0,4+0,3+0,6=1,3.
L'aspettativa matematica (valore medio) di una variabile casuale X data su uno spazio di probabilità discreto è il numero m =M[X]=∑x i p i se la serie converge assolutamente.
Scopo del servizio. Utilizzando il servizio online vengono calcolate l'aspettativa matematica, la varianza e la deviazione standard(vedi esempio). Inoltre, viene tracciato un grafico della funzione di distribuzione F(X).
Proprietà dell'aspettativa matematica di una variabile casuale
- L'aspettativa matematica di un valore costante è uguale a se stessa: M[C]=C, C – costante;
- M=C M[X]
- L'aspettativa matematica della somma delle variabili casuali è uguale alla somma delle loro aspettative matematiche: M=M[X]+M[Y]
- L'aspettativa matematica del prodotto di variabili casuali indipendenti è uguale al prodotto delle loro aspettative matematiche: M=M[X] M[Y] , se X e Y sono indipendenti.
Proprietà di dispersione
- La varianza di un valore costante è zero: D(c)=0.
- Il fattore costante può essere estratto da sotto il segno di dispersione elevandolo al quadrato: D(k*X)= k 2 D(X).
- Se le variabili casuali X e Y sono indipendenti, allora la varianza della somma è uguale alla somma delle varianze: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
- Se le variabili casuali X e Y sono dipendenti: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
- Per la dispersione vale la seguente formula di calcolo:
D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2
Esempio. Le aspettative matematiche e le varianze di due variabili casuali indipendenti X e Y sono note: M(x)=8, M(Y)=7, D(X)=9, D(Y)=6. Trova l'aspettativa matematica e la varianza della variabile casuale Z=9X-8Y+7.
Soluzione. Basato sulle proprietà dell'aspettativa matematica: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23.
In base alle proprietà di dispersione: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345
Algoritmo per il calcolo dell'aspettativa matematica
Proprietà delle variabili casuali discrete: tutti i loro valori possono essere rinumerati con numeri naturali; Assegna a ciascun valore una probabilità diversa da zero.- Moltiplichiamo le coppie una per una: x i per p i .
- Aggiungi il prodotto di ciascuna coppia x i p i .
Ad esempio, per n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4
Esempio n. 1.
| x io | 1 | 3 | 4 | 7 | 9 |
| p i | 0.1 | 0.2 | 0.1 | 0.3 | 0.3 |
Troviamo l'aspettativa matematica utilizzando la formula m = ∑x i p i .
Aspettativa M[X].
M[x] = 1*0,1 + 3*0,2 + 4*0,1 + 7*0,3 + 9*0,3 = 5,9
Troviamo la varianza utilizzando la formula d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 .
Varianza D[X].
D[X] = 1 2 *0,1 + 3 2 *0,2 + 4 2 *0,1 + 7 2 *0,3 + 9 2 *0,3 - 5,9 2 = 7,69
Deviazione standard σ(x).
σ = quadrato(D[X]) = quadrato(7,69) = 2,78
Esempio n.2. Una variabile casuale discreta ha la seguente serie di distribuzione:
| X | -10 | -5 | 0 | 5 | 10 |
| R | UN | 0,32 | 2UN | 0,41 | 0,03 |
Soluzione. Il valore di a si trova dalla relazione: Σp i = 1
Σp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0,76 + 3 a = 1 oppure 0,24=3 a , da cui a = 0,08
Esempio n.3. Determina la legge di distribuzione di una variabile casuale discreta se la sua varianza è nota e x 1
p1 =0,3; p2 =0,3; p3 =0,1; p4 =0,3
d(x)=12,96
Soluzione.
Qui è necessario creare una formula per trovare la varianza d(x):
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
dove l'aspettativa m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Per i nostri dati
m(x)=6*0,3+9*0,3+x3 *0,1+15*0,3=9+0,1x3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0,1x 3) 2
o -9/100 (x 2 -20x+96)=0
Di conseguenza, dobbiamo trovare le radici dell'equazione e ce ne saranno due.
x3 =8, x3 =12
Scegli quello che soddisfa la condizione x 1
Legge di distribuzione di una variabile casuale discreta
x1=6; x2=9; x3=12; x4 =15
p1 =0,3; p2 =0,3; p3 =0,1; p4 =0,3
Ci saranno anche problemi che dovrai risolvere da solo, di cui potrai vedere le risposte.
Aspettativa e varianza sono le caratteristiche numeriche più comunemente utilizzate di una variabile casuale. Caratterizzano le caratteristiche più importanti della distribuzione: la sua posizione e il grado di dispersione. Il valore atteso è spesso chiamato semplicemente media. variabile casuale. Dispersione di una variabile casuale - caratteristica della dispersione, diffusione di una variabile casuale sulla sua aspettativa matematica.
In molti problemi pratici, una caratteristica completa ed esaustiva di una variabile casuale - la legge di distribuzione - non può essere ottenuta o non è affatto necessaria. In questi casi ci si limita ad una descrizione approssimativa di una variabile casuale utilizzando caratteristiche numeriche.
Aspettativa di una variabile casuale discreta
Veniamo al concetto di aspettativa matematica. Lascia che la massa di una sostanza sia distribuita tra i punti dell'asse x X1 , X 2 , ..., X N. Inoltre, ogni punto materiale ha una massa corrispondente con una probabilità di P1 , P 2 , ..., P N. È necessario selezionare un punto sull'asse delle ascisse, che caratterizza la posizione dell'intero sistema di punti materiali, tenendo conto delle loro masse. È naturale considerare come tale il centro di massa del sistema di punti materiali. Questa è la media ponderata della variabile casuale X, a cui l'ascissa di ciascun punto Xio entra con un “peso” pari alla probabilità corrispondente. Il valore medio della variabile casuale ottenuto in questo modo Xè detta aspettativa matematica.
L'aspettativa matematica di una variabile casuale discreta è la somma dei prodotti di tutti i suoi possibili valori e delle probabilità di questi valori:
Esempio 1.È stata organizzata una lotteria vantaggiosa per tutti. Ci sono 1000 vincite, di cui 400 sono 10 rubli. 300 - 20 rubli ciascuno. 200 - 100 rubli ciascuno. e 100-200 rubli ciascuno. Qual è la vincita media per chi acquista un biglietto?
Soluzione. Troveremo la vincita media se dividiamo l'importo totale delle vincite, ovvero 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50.000 rubli, per 1000 (importo totale delle vincite). Quindi otteniamo 50000/1000 = 50 rubli. Ma l'espressione per calcolare la vincita media può essere presentata nella forma seguente:
D'altra parte, in queste condizioni, l'importo della vincita è una variabile casuale, che può assumere valori di 10, 20, 100 e 200 rubli. con probabilità pari rispettivamente a 0,4; 0,3; 0,2; 0,1. Pertanto, la vincita media attesa è pari alla somma dei prodotti dell'entità delle vincite e della probabilità di riceverle.
Esempio 2. L'editore ha deciso di pubblicare un nuovo libro. Ha intenzione di vendere il libro per 280 rubli, di cui lui stesso ne riceverà 200, 50 dalla libreria e 30 dall'autore. La tabella fornisce informazioni sui costi di pubblicazione di un libro e sulla probabilità di vendere un certo numero di copie del libro.
Trova il profitto atteso dell'editore.
Soluzione. La variabile casuale “profitto” è pari alla differenza tra il ricavo delle vendite e il costo delle spese. Ad esempio, se vengono vendute 500 copie di un libro, il reddito derivante dalla vendita sarà 200 * 500 = 100.000 e il costo di pubblicazione sarà di 225.000 rubli. Pertanto, l'editore subisce una perdita di 125.000 rubli. La tabella seguente riassume i valori attesi della variabile casuale - profitto:
| Numero | Profitto Xio | Probabilità Pio | Xio P io |
| 500 | -125000 | 0,20 | -25000 |
| 1000 | -50000 | 0,40 | -20000 |
| 2000 | 100000 | 0,25 | 25000 |
| 3000 | 250000 | 0,10 | 25000 |
| 4000 | 400000 | 0,05 | 20000 |
| Totale: | 1,00 | 25000 |
Pertanto, otteniamo l’aspettativa matematica del profitto dell’editore:
.
Esempio 3. Probabilità di colpire con un colpo P= 0,2. Determinare il consumo di proiettili che forniscono un'aspettativa matematica del numero di colpi pari a 5.
Soluzione. Dalla stessa formula matematica dell'aspettativa che abbiamo usato finora, esprimiamo X- consumo del guscio:
.
Esempio 4. Determinare l'aspettativa matematica di una variabile casuale X numero di colpi con tre colpi, se la probabilità di un colpo con ogni colpo P = 0,4 .
Suggerimento: trova la probabilità di valori di variabili casuali in base a La formula di Bernoulli .
Proprietà dell'aspettativa matematica
Consideriamo le proprietà dell'aspettativa matematica.
Proprietà 1. L'aspettativa matematica di un valore costante è uguale a questa costante:
Proprietà 2. Il fattore costante può essere estratto dal segno dell'aspettativa matematica:
Proprietà 3. L'aspettativa matematica della somma (differenza) delle variabili casuali è uguale alla somma (differenza) delle loro aspettative matematiche:
Proprietà 4. L'aspettativa matematica di un prodotto di variabili casuali è uguale al prodotto delle loro aspettative matematiche:
Proprietà 5. Se tutti i valori di una variabile casuale X diminuire (aumentare) dello stesso numero CON, allora la sua aspettativa matematica diminuirà (aumenterà) dello stesso numero:
Quando non puoi limitarti solo alle aspettative matematiche
Nella maggior parte dei casi, solo l'aspettativa matematica non può caratterizzare sufficientemente una variabile casuale.
Consideriamo le variabili casuali X E Y sono dati dalle seguenti leggi di distribuzione:
| Senso X | Probabilità |
| -0,1 | 0,1 |
| -0,01 | 0,2 |
| 0 | 0,4 |
| 0,01 | 0,2 |
| 0,1 | 0,1 |
| Senso Y | Probabilità |
| -20 | 0,3 |
| -10 | 0,1 |
| 0 | 0,2 |
| 10 | 0,1 |
| 20 | 0,3 |
Le aspettative matematiche di queste quantità sono le stesse - pari a zero:
Tuttavia, i loro modelli di distribuzione sono diversi. Valore casuale X può assumere solo valori che differiscono poco dall'aspettativa matematica e dalla variabile casuale Y può assumere valori che si discostano significativamente dall'aspettativa matematica. Un esempio simile: il salario medio non consente di giudicare la quota di lavoratori alto e basso retribuiti. In altre parole, non si può giudicare dalle aspettative matematiche quali deviazioni da esse, almeno in media, siano possibili. Per fare ciò, devi trovare la varianza della variabile casuale.
Varianza di una variabile casuale discreta
Varianza variabile casuale discreta Xè chiamata aspettativa matematica del quadrato della sua deviazione dall'aspettativa matematica:
La deviazione standard di una variabile casuale X il valore aritmetico della radice quadrata della sua varianza si chiama:
.
Esempio 5. Calcolare varianze e deviazioni standard di variabili casuali X E Y, le cui leggi di distribuzione sono riportate nelle tabelle sopra.
Soluzione. Aspettative matematiche delle variabili casuali X E Y, come sopra riscontrato, sono pari a zero. Secondo la formula di dispersione a E(X)=E(sì)=0 otteniamo:
Quindi le deviazioni standard delle variabili casuali X E Y trucco
.
Quindi, con le stesse aspettative matematiche, la varianza della variabile casuale X molto piccola, ma una variabile casuale Y- significativo. Questa è una conseguenza delle differenze nella loro distribuzione.
Esempio 6. L'investitore ha 4 progetti di investimento alternativi. La tabella riassume il profitto atteso in questi progetti con la corrispondente probabilità.
| Progetto 1 | Progetto 2 | Progetto 3 | Progetto 4 |
| 500, P=1 | 1000, P=0,5 | 500, P=0,5 | 500, P=0,5 |
| 0, P=0,5 | 1000, P=0,25 | 10500, P=0,25 | |
| 0, P=0,25 | 9500, P=0,25 |
Trova l'aspettativa matematica, la varianza e la deviazione standard per ciascuna alternativa.
Soluzione. Mostriamo come vengono calcolati questi valori per la 3a alternativa:
La tabella riassume i valori trovati per tutte le alternative.
Tutte le alternative hanno le stesse aspettative matematiche. Ciò significa che nel lungo periodo tutti hanno lo stesso reddito. La deviazione standard può essere interpretata come una misura del rischio: più è alta, maggiore è il rischio dell'investimento. Un investitore che non vuole rischiare molto sceglierà il progetto 1 poiché ha la deviazione standard più piccola (0). Se l'investitore preferisce il rischio e rendimenti elevati in un breve periodo, sceglierà il progetto con la deviazione standard maggiore: progetto 4.
Proprietà di dispersione
Presentiamo le proprietà della dispersione.
Proprietà 1. La varianza di un valore costante è zero:
Proprietà 2. Il fattore costante può essere eliminato dal segno di dispersione elevandolo al quadrato:
.
Proprietà 3. La varianza di una variabile casuale è pari all'aspettativa matematica del quadrato di tale valore, da cui viene sottratto il quadrato dell'aspettativa matematica del valore stesso:
,
Dove 
.
Proprietà 4. La varianza della somma (differenza) delle variabili casuali è uguale alla somma (differenza) delle loro varianze:
Esempio 7.È noto che una variabile casuale discreta X assume solo due valori: −3 e 7. Inoltre, l'aspettativa matematica è nota: E(X) = 4 . Trova la varianza di una variabile casuale discreta.
Soluzione. Indichiamo con P la probabilità con cui una variabile casuale assume un valore X1 = −3 . Quindi la probabilità del valore X2 = 7 sarà 1 − P. Deriviamo l'equazione per l'aspettativa matematica:
E(X) = X 1 P + X 2 (1 − P) = −3P + 7(1 − P) = 4 ,
dove otteniamo le probabilità: P= 0,3 e 1 − P = 0,7 .
Legge di distribuzione di una variabile casuale:
| X | −3 | 7 |
| P | 0,3 | 0,7 |
Calcoliamo la varianza di questa variabile casuale utilizzando la formula della proprietà 3 della dispersione:
D(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .
Trova tu stesso l'aspettativa matematica di una variabile casuale e poi guarda la soluzione
Esempio 8. Variabile casuale discreta X assume solo due valori. Accetta il maggiore dei valori 3 con probabilità 0,4. Inoltre, è nota la varianza della variabile casuale D(X) = 6 . Trova l'aspettativa matematica di una variabile casuale.
Esempio 9. In un'urna ci sono 6 palline bianche e 4 nere. Dall'urna si estraggono 3 palline. Il numero di palline bianche tra quelle estratte è una variabile casuale discreta X. Trova l'aspettativa matematica e la varianza di questa variabile casuale.
Soluzione. Valore casuale X può assumere valori 0, 1, 2, 3. Le probabilità corrispondenti possono essere calcolate da regola della moltiplicazione delle probabilità. Legge di distribuzione di una variabile casuale:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
Da qui l'aspettativa matematica di questa variabile casuale:
M(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .
La varianza di una determinata variabile casuale è:
D(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .
Aspettativa e varianza di una variabile casuale continua
Per una variabile casuale continua, l'interpretazione meccanica dell'aspettativa matematica manterrà lo stesso significato: il centro di massa per un'unità di massa distribuita continuamente sull'asse x con densità F(X). A differenza di una variabile casuale discreta, il cui argomento della funzione Xio cambia bruscamente; per una variabile casuale continua, l’argomento cambia continuamente. Ma l’aspettativa matematica di una variabile casuale continua è legata anche al suo valore medio.
Per trovare l'aspettativa matematica e la varianza di una variabile casuale continua, è necessario trovare integrali definiti . Se viene data la funzione di densità di una variabile casuale continua, allora entra direttamente nell'integrando. Se viene fornita una funzione di distribuzione della probabilità, differenziandola è necessario trovare la funzione di densità.
La media aritmetica di tutti i possibili valori di una variabile casuale continua è chiamata sua aspettativa matematica, indicato con o .
Come è già noto, la legge di distribuzione caratterizza completamente una variabile casuale. Spesso però la legge di distribuzione è sconosciuta e ci si deve limitare a meno informazioni. A volte è ancora più vantaggioso utilizzare numeri che descrivono la variabile casuale in totale; vengono chiamati tali numeri Caratteristiche numeriche di una variabile casuale.
Una delle caratteristiche numeriche importanti è l'aspettativa matematica.
L'aspettativa matematica è approssimativamente uguale al valore medio della variabile casuale.
Aspettativa matematica di una variabile casuale discretaè la somma dei prodotti di tutti i suoi possibili valori e delle loro probabilità.
Se una variabile casuale è caratterizzata da una serie di distribuzione finita:
| X | x1 | x2 | x3 | … | x n |
| R | pag 1 | pag 2 | pag 3 | … | r p |
poi l'aspettativa matematica M(X) determinato dalla formula:
L'aspettativa matematica di una variabile casuale continua è determinata dall'uguaglianza:
dove è la densità di probabilità della variabile casuale X.
Esempio 4.7. Trova l'aspettativa matematica del numero di punti che appaiono quando si lancia un dado.
Soluzione:
Valore casuale X assume i valori 1, 2, 3, 4, 5, 6. Creiamo la legge della sua distribuzione:
| X | ||||||
| R |
Quindi l'aspettativa matematica è:
Proprietà dell'aspettativa matematica:
1. L'aspettativa matematica di un valore costante è uguale alla costante stessa:
M(S) = S.
2. Il fattore costante può essere estratto dal segno dell'aspettativa matematica:
M(CX) = CM(X).
3. L'aspettativa matematica del prodotto di due variabili casuali indipendenti è uguale al prodotto delle loro aspettative matematiche:
M(XY) = M(X)M(Y).
Esempio 4.8. Variabili casuali indipendenti X E Y sono dati dalle seguenti leggi di distribuzione:
| X | Y | ||||||
| R | 0,6 | 0,1 | 0,3 | R | 0,8 | 0,2 |
Trova l'aspettativa matematica della variabile casuale XY.
Soluzione.
Troviamo le aspettative matematiche di ciascuna di queste quantità:
Variabili casuali X E Y indipendente, quindi l’aspettativa matematica richiesta è:
M(XY) = M(X)M(Y)=
Conseguenza. L'aspettativa matematica del prodotto di diverse variabili casuali reciprocamente indipendenti è uguale al prodotto delle loro aspettative matematiche.
4. L'aspettativa matematica della somma di due variabili casuali è uguale alla somma delle aspettative matematiche dei termini:
M(X + Y) = M(X) + M(Y).
Conseguenza. L'aspettativa matematica della somma di più variabili casuali è uguale alla somma delle aspettative matematiche dei termini.
Esempio 4.9. Vengono sparati 3 colpi con probabilità di colpire il bersaglio pari a pag 1 = 0,4; p2= 0,3 e pag 3= 0,6. Trova l'aspettativa matematica del numero totale di risultati.
Soluzione.
Il numero di colpi al primo colpo è una variabile casuale X1, che può assumere solo due valori: 1 (hit) con probabilità pag 1= 0,4 e 0 (mancato) con probabilità q1 = 1 – 0,4 = 0,6.
L'aspettativa matematica del numero di colpi al primo colpo è uguale alla probabilità di un colpo:
Allo stesso modo, troviamo le aspettative matematiche del numero di colpi per il secondo e il terzo colpo:
M(X2)= 0,3 e M(X3)= 0,6.
Anche il numero totale di colpi a segno è una variabile casuale costituita dalla somma dei colpi a segno in ciascuno dei tre colpi:
X = X1 + X2 + X3.
L'aspettativa matematica richiesta X Lo troviamo utilizzando il teorema sull'aspettativa matematica della somma.