Smo multicanale con guasti. QS con guasti e completa assistenza reciproca per flussi arbitrari

UDC 519.248:656.71

MODELLO DI SISTEMA A CODE CON FLUSSI NON STAZIONARI E PARZIALE MUTUA ASSISTENZA TRA CANALI

© 2011 V. A. Romanenko

Samara State Aerospace University intitolata all'accademico S.P. Korolev (nazionale università di ricerca)

Viene descritto un modello dinamico di un sistema multicanale fare la fila con flussi non stazionari, attesa in coda di durata limitata e parziale mutua assistenza dei canali, espressa nella possibilità di evasione contemporanea di una richiesta da parte di due canali. Vengono fornite le espressioni per le principali caratteristiche probabilistiche-temporali del sistema. Vengono descritti i risultati della modellizzazione del funzionamento di un aeroporto hub come esempio del sistema in esame.

Sistema di code, flusso non stazionario, mutua assistenza tra canali, hub aeroportuale.

introduzione

Consideriamo un sistema di code multicanale (QS) con attesa in una coda di lunghezza limitata. Una caratteristica del QS in esame è la parziale assistenza reciproca tra i canali, espressa nella possibilità di utilizzo simultaneo di due canali per soddisfare una richiesta. La combinazione degli sforzi dei canali porta generalmente ad una riduzione del tempo medio di servizio. Si presuppone che il QS riceva un flusso di Poisson di domande non stazionario. La durata della manutenzione di un'applicazione dipende dal tempo.

Un tipico esempio di QS che presenta le caratteristiche elencate è il sistema di servizi di trasporto aeroportuale. L'uso simultaneo di più (di solito due) strutture (banchi check-in, cisterne per carburante per aviazione, veicoli speciali, ecc.) Per servire un volo è previsto dai programmi tecnologici di manutenzione aeroportuale di aeromobili di grandi dimensioni (AC). Allo stesso tempo, la necessità di migliorare la qualità e ridurre la durata dei servizi di trasporto terrestre, particolarmente rilevante per i grandi aeroporti, porta al fatto che la quota di operazioni eseguite non da uno, ma da più (due) mezzi è crescente.

Ciò aumenta all’aumentare della scala aeroportuale. Il modello descritto nell'articolo è stato sviluppato per risolvere problemi di analisi e ottimizzazione del funzionamento dei complessi produttivi degli aeroporti hub (hub), caratterizzati dalla saturazione delle strutture di trasporto terrestre con un pronunciato flusso non stazionario di passeggeri, aeromobili e merci e fluttuazioni nell’intensità del loro servizio.

descrizione generale Modelli

Il modello ha lo scopo di determinare le dipendenze temporali delle caratteristiche probabilistiche di un sistema QS contenente N canali di servizio. Il numero di richieste nel QS non deve superare K, il che potrebbe essere dovuto a limitazioni tecniche sul numero di parcheggi per aeromobili disponibili nell'aeroporto, sulla capacità del terminal o del complesso merci, ecc. Il numero di canali assegnati per soddisfare una richiesta può essere 1 o 2. Se ci sono almeno due canali liberi, la richiesta ricevuta con una determinata probabilità viene presa in prestito per la manutenzione

uno di essi e - con probabilità y2 = 1 - y1 - entrambi i canali. Se al momento della richiesta di assistenza il QS ha un solo canale libero, tale applicazione occupa comunque quello disponibile

l'unico canale. Se non ci sono canali non occupati, una richiesta appena arrivata “viene messa in coda” e attende il servizio. Se il numero di domande in coda è K-N, la domanda appena arrivata lascia il QS non servito. La probabilità di un simile evento dovrebbe essere bassa.

L'ingresso QS riceve un flusso di applicazioni Poisson (non necessariamente stazionario).

con intensità l(t). Si presuppone che la durata della gestione di una richiesta sia da parte di un canale Tobsl1 (t) che di due -

Tobsl 2 (t) sono funzioni casuali del tempo distribuite esponenzialmente (processi casuali).

Intensità del servizio dell'applicazione

un canale ^ (t) e contemporaneamente due canali m 2 (t) sono definiti come

mi (t) = [Tobsl1 (t)]-1, m2 (t) = [Tobsl2 (t)]-1,

dove Tobsl1 (t) = M [Tobsl1 (t)], Tobsl 2 (t)= M[Tobsl 2 (t)]

Tempo medio per soddisfare una richiesta rispettivamente da un canale e da due canali.

Il rapporto tra le quantità m1 (t) e m 2 (t) è dato dalla relazione

m2 (t) = ^m1 (t) ,

dove 9 è un coefficiente che tiene conto del relativo aumento dell'intensità del servizio quando si utilizzano due canali.

In pratica, il rapporto tra il numero dei fondi raccolti e l'intensità del servizio è piuttosto complesso, determinato dalle caratteristiche dell'operazione di servizio in questione. Per le operazioni la cui durata è correlata al volume di lavoro svolto (ad esempio, rifornimento di carburante per aerei con carburante per aerei utilizzando navi cisterna, imbarco o sbarco di passeggeri da un aereo, ecc.), la dipendenza dell'intensità del servizio da il numero di canali è quasi direttamente proporzionale, ma non lo è strettamente a causa del tempo richiesto per la preparazione

ma operazioni finali che non sono influenzate dal numero di fondi. Per tali operazioni, £ 2. Per una serie di operazioni, la dipendenza della durata di esecuzione dal numero di mezzi o esecutori è meno pronunciata (ad esempio, check-in o pre-volo

screening dei passeggeri). In questo caso in »1.

In un momento arbitrario di tempo I, il QS considerato può trovarsi in uno degli stati discreti L+1 - B0, ...,

FANCULO. Il passaggio da Stato a Stato può avvenire in qualsiasi momento. La probabilità che al tempo I il QS sia nello stato

condizione di normalizzazione 2 р () =1 Know-

L'analisi delle probabilità P0 (/), PX (t),..., Pb (t) consente di determinare importanti caratteristiche virtuali (istantanee) del QS come la lunghezza media della coda, il numero medio di canali occupati, il numero medio di richieste situate nel QS, ecc.

Le probabilità degli stati p(t) si trovano risolvendo il sistema equazioni differenziali Kolmogorov, in vista generale scritto come

=Ё jp(t)P /(t)-P,(t)Z (t).,

r = 0,1,...,b,

Dove<р^ ^) - плотности (интенсивности) вероятностей перехода из состояния с порядковым номером г в состояние с порядковым номером ]. Величины фу (t) определяются по формуле

dove P(/; At) è la probabilità che il QS, che era nello stato B al momento t, per

il tempo a suo piacimento passerà da esso allo Stato

Per compilare le equazioni di Kolmogorov, viene utilizzato un grafico di stato etichettato del QS. In esso, le intensità corrispondenti della f. sono poste sopra le frecce che vanno da B. a B. La derivata della probabilità di ciascuno stato è definita come la somma di tutti i flussi di probabilità provenienti da altri stati verso un dato stato, meno il somma di tutti i flussi di probabilità che vanno da un dato stato ad altri.

Per creare un grafico, viene introdotto un sistema di notazione a tre indici, in cui lo stato del QS in esame in un momento arbitrario è caratterizzato da tre parametri: il numero di canali occupati n (n = 0,1,.. .,^), il numero di richieste servite k (k = 0,1,...,^) e in attesa del servizio t (t = 0,1,...,^ - N).

Nella fig. La Figura 1 mostra un grafo di stato etichettato, compilato utilizzando le regole sopra descritte e le notazioni introdotte, per un QS scelto come semplice esempio.

Per risparmiare spazio, nel grafico e nel corrispondente sistema di equazioni di Kolmogorov riportato di seguito, vengono omesse le designazioni della dipendenza funzionale dal tempo delle intensità 1, m1, m2 e le probabilità degli stati.

^000 /L = -(^1^ + ^2^) P000 + tr10 + t2P210,

= - (t + U-11 + U21) рш + ^Рр000 +

2t1R220 + t2R320,

LR210 IL = - (t2 + ^11 + ^21) P210 + V2YP000 +

Т1Р320 + 2 ^2Р420,

LR220/L = -(2^1 + ^1^ + ^21) Р220 + ^1Rio +

3 t1Р330 + ^2Р430,

LR32<:)1Л = - (т2 + т1 + ^11 + ^21)р320 +

+^11Р210 + V2ЯP110 + 2t 1Р430 +

LR4yu1L (1 + 2 ^2) Р420 + ^21Р210 + t р30, ЛР330 /Л = -(3т1 + ^1^+ ^21) Р330 + ^11Р220 + +4^1Р440 + Т2р40,

^430 /L = - (2^1 + ^2 + 1) Р430 + ^11Р320 +

+^2^ Р220 + 3т 1р40 + 2^2р31,

LR530/l =-(t + 2t2 + i) p^30+1P420 +

+^2YaP320 + t1P531,

LR440IL(4t1+I)R40+R330+

5^1р50 + t2р41,

LR540/ l =-(t2 + 3t + i) r540 + yar430 +

+"^2YaR330 + 3 t1P541 + 2 t2P532,

LR531/L = - (^1 + 2^2 + R) R^31 + R530 +

LR550 IL = -(5t1 + Y) R550 + YR440 +

5t1R551 + t2R542,

LR541/ l =-(t2 + 3t + i) p^41 + ya^40 +

LR532/l = -(t1 + 2t2) Р532 + i р531,

LR5511L = - (5t1 + Y)r51 + YR550 + 5t1R552,

lr542 / l = - (3 t + t2) r542 + i r541 ,

Lp5^^ = 5 t1P552 + ip51.

Se al momento t = 0 non ci sono richieste nel QS, allora condizioni iniziali verrà scritto nel modulo

P10 (0) = P210 (0) = P220 (0) =... = P552 (0) = 0.

La soluzione di sistemi di grandi dimensioni come (1), (2), con valori variabili 1(^, mDO, m2(0) è possibile solo con metodi numerici utilizzando un computer.

Riso. 1. Grafico di stato del QS

Costruire un modello QS

In accordo con l'approccio algoritmico, considereremo una tecnica per trasformare un sistema di equazioni di Kolmogorov di dimensione arbitraria in una forma adatta per i calcoli al computer. Per semplificare la registrazione utilizziamo al posto del sistema triplo un doppio sistema di notazione degli stati QS, in cui r è il numero di canali occupati dalla manutenzione più la lunghezza della coda,] è il numero di applicazioni nel QS . La relazione tra i sistemi di notazione è espressa dalle dipendenze:

r = n + m, r = 0,1,...,K;

] = k + m, ] = 0.1,...,K.

Non è possibile realizzare alcuno stato dell'insieme formale

B. (r = 0,1,...,K; ] = 0,1,...,K). In particolare,

nell'ambito del modello descritto non sono possibili stati in cui due o più richieste vengono soddisfatte contemporaneamente da una sola

canale, cioè R. (t) = 0 se ] > r. Indichiamo con il simbolo 8 l'insieme degli stati ammissibili del QS. Lo Stato B. esiste, e

la sua corrispondente probabilità P. ^)

può essere diverso da zero se è soddisfatta una delle seguenti condizioni:

1)] <г< 2], если 2] < N,

2)] <г< ] + Ч - 1 если \ .

y] + H - 1< К,

3)] < г < К, если ] + ч - 1 ^ К,

r = 0,1,...,K; ] = 0.1,...,K,

dove Х è il numero massimo di stati con diversi numeri di canali serviti per un dato numero di richieste, determinato dalla formula

Qui le parentesi indicano l'operazione di scarto della parte frazionaria. Per esempio,

a giudicare dal grafico di stato mostrato in Fig. 1, due richieste possono essere servite da due, tre o quattro canali. Pertanto, nell'esempio discusso sopra

H = 5 - = 5 - 2 = 3.

Per implementare i calcoli al computer utilizzando un sistema di equazioni di Kolmogorov di dimensione arbitraria, le sue equazioni devono essere ridotte a una forma universale che consenta di scrivere qualsiasi equazione. Per sviluppare una tale forma, consideriamo un frammento del grafico di stato che mostra uno stato arbitrario B] con i principali da esso

frecce di intensità. Indichiamo con numeri romani gli stati vicini direttamente correlati a B., come mostrato in Fig. 2.

Per ogni stato di B. (g = 0.1,...,K; ] = 0.1,...,K), tale che B. e 8, al tempo t i valori

p^), p(t), p.^), p(t) accetta

vari valori (compresi quelli pari a zero). Tuttavia, la struttura dell'equazione

(3) rimane invariato, il che ne consente l'utilizzo per l'implementazione al computer di un sistema di equazioni di Kolmogorov di dimensione arbitraria.

Le intensità fr (t), (р. (t), che tendono a trasferire il QS a stati con grandi valori di r e ], se la presenza di tali stati è possibile, sono determinate in base ad una serie di condizioni come segue :

o.. ї a o

°(,-+1)0"+1) ї 8 ’

0(,-+2)(.+1) - 8 i £ N - 2,

o(i+1)(.+1)- 8 o

°(.+2)à+1)ї 8

O(.+1)(V+1) - 8’

Riso. 2. Frammento del grafico di stato QS

Tenendo conto della presenza di stati confinanti rispetto al B., l'equazione per B. sarà scritta come segue:

-£ = -[P () + P () + P. ()+

Рр (tИ Рг, (t) + Рр+1)(.+1) (t) Р(г+1)(.+1) () +

Р(Í(1-1)^)Ð(-1)(1 -1)^) +

à 2)()+1)() à(Å+2)()-+1)() +

ÖÖ2)(.-1) (t)P(г-2)(.-Г) ().

О(.+1)(.+1)ї 8 o î > N - 2

Y2X(i), se

I(i+1)(.+1) - 8>

O(i+2)(.+1) - 8 ’ i £ N - 2,

О(і+1)(.+1)ї 8’

О(î+2)(.+1) - 8’

r = 0,1,...,k, . = 0,1,...,k.

Intensità del fiume (), p..11 (), trasferimento del QS dallo stato B-. negli stati

con valori più piccoli di g e. (se è possibile la presenza di tali stati), sono direttamente proporzionali al numero di canali coinvolti, che servono richieste di vario tipo localizzate nel QS (occupando uno o due canali per la manutenzione). Un gruppo di due canali impegnati a soddisfare una richiesta del tipo corrispondente può essere considerato come un canale. Pertanto, nel caso generale

p () = kdM1 () , R. () = ky2^2 () ,

dove k.1 è il numero di richieste che occupano un canale, servito dal QS nello stato B; k è il numero di richieste che occupano due canali ciascuna, servite dal QS nello stato B.

Attraverso g e. tali valori sono determinati come segue:

G2. - g se g< N,

y1 [ N - 2 (r - .), se r > N, (4)

A! 2 = g - . .

Tenendo conto delle restrizioni sulla possibilità di esistenza di stati di espressione per

p(), R.() hanno la forma

^B(g-1)(L) e 8,

Indicatori dell'efficacia del funzionamento del QS

Il modello descritto ci consente di determinare le dipendenze temporali dei seguenti indicatori dell'efficienza operativa del QS considerato.

Lunghezza media della coda:

can ()=22(g-p) R ().

Numero medio di canali occupati:

Numero medio di candidature all'OCM:

m, ()=22.R. ().

Probabilità di rifiuto del servizio:

Ä, ()= 2 Ä- ().

È possibile ottenere la distribuzione del tempo di attesa virtuale da parte dell'applicazione

servizio Æ (x,t) = Ð ^ож ()< х) , позволяющее характеризовать качество обслуживания рассматриваемой СМО. Поступившая в систему заявка вынуждена ожидать обслуживания в случае, если все каналы заняты обслуживанием заявок, поступивших

in precedenza. Esiste una probabilità Рк=0 (t) di assistenza immediata di una richiesta in arrivo in presenza di un canale libero (o più canali liberi)

B(g-1)(.-1) £ 8,

r = 0.1,...,K, . = 0,1, ..., K.

R. () ° 0, se B. £ 8.

Tenendo conto della possibilità di fallimento, il valore desiderato della funzione di distribuzione Æ (х^) verrà determinato come

F (x-‘)=(--o(t)

EEZH M (,)) ()

Ru()° 0 se °y. ї 8.

Qui Ж (х,т| (і,./)) è una funzione condizionale

distribuzione del tempo di attesa per una determinata richiesta, a patto che al momento del suo arrivo T trovi il QS nello stato y.

Nel QS in esame, il tempo di attesa per l'evasione di una richiesta in arrivo dipende non solo dal numero di richieste già presenti nel QS, ma anche dalla distribuzione dei canali tra il servizio di gruppo e quello individuale delle richieste esistenti. Se non esistesse la mutua assistenza tra canali, allora il QS in esame sarebbe un QS tradizionale con attesa in coda di durata limitata, per cui il tempo totale di attesa per l'inizio del servizio da parte di un sinistro che supera m altri sinistri in coda al momento dell'arrivo avrebbe una distribuzione Erlang E,^) (X) .

Qui l'apice contiene l'intensità delle richieste di servizio da parte di tutti gli N canali operanti in presenza di coda; il pedice è l'ordine di distribuzione secondo la legge di Erlang. Nel QS qui considerato, la legge descritta è valida solo per le richieste che sono entrate nel QS negli stati in cui tutti i canali sono occupati e tutti servono una richiesta. Per questi stati possiamo scrivere

F (x,t| ^ + m,N + t)) = ^+1() (x).

Indichiamo con E^”^1 (x) la funzione di distribuzione della legge di Erlan generalizzata

ha, dell'ordine di 2"r - 1, dove ag è il numero

Lo variabili casuali distribuite

legge esponenziale con parametro y. CON

Usando la notazione introdotta, scriviamo espressioni per la funzione di distribuzione del tempo di attesa in altri stati. Rispetto alla (5), queste espressioni hanno una forma più complessa, che non interferisce con la loro implementazione software. Inoltre, a titolo di esempio, vengono forniti solo per i primi tre stati di piena occupazione dei canali utilizzando l'indicizzazione a tre caratteri precedentemente introdotta:

F (x,t| (n,k,t)) = F (x,t| (N,N - g,0)) =

= (x), 0£g£d,

dove e. = kLt(t)+ku2M2(t);

Æ (х,т| (п,к,т)) = Ö (х,т| (N,N - g,l)) =

N ^ ^ - g) Km(T)

Ж (х,т| - sol, 2))

N ^).(N - g) Km(t)

E/^(t),(t-g) ■я(t),(t-g+l)

(N),(N - g) ktM(T)

EI-)(tg)(x) +

^).(N - g) eH^) (x)

Il tempo medio di attesa virtuale per un'applicazione Toz () è determinato numericamente come

Identità (T) = | ^Х (x,T) .

È inoltre possibile determinare la distribuzione del tempo di servizio virtuale per una richiesta scelta arbitrariamente Tobsl ^).

Poiché la variazione di Tobsl (t) nel QS considerato è un processo casuale, che è una miscela di due processi casuali distribuiti esponenzialmente TobsL1 ^) e TobsL2 ^), quindi la distribuzione

V (x^) = P (Tobsl (t)< х) не будет показательным. С учётом возможности отказа выражение для функции распределения V (х^) запишется в виде

EEU M k,.YR(t)

R.. ^) ° 0, se 8. £ 8.

Qui V (x^| (r,.)) è la funzione di distribuzione condizionale del tempo di servizio di una determinata richiesta, a condizione che al momento del suo arrivo trovi il QS nello stato.

Se al momento dell'inizio della manutenzione di un'applicazione il QS si trova in uno stato in cui è possibile sia la manutenzione di gruppo che quella individuale, il tempo di manutenzione è una combinazione di due programmi

passaggio al servizio di gruppo - se la condizione è possibile (Fig. 2). Quindi abbiamo:

U(M(i--/")) =

y (1 - e-t(t)x) + +y (1 - e^2(t)x),

I О(і+2)(]+1) ї 8, О(і+1)(.+1) - 8,

"2\* ^ І’ I ^ +2)(.+1)

io = 0,1,...,N -1, io = 0,1,...,N -1.

Poiché, in assenza di due canali liberi, ogni richiesta viene servita da un canale, allora la probabilità effettiva ^) dell'assegnazione di un canale è

det è maggiore di una determinata funzione V uv ^) è definita come

EEU O","r(t)

R. (t) ° 0, se R. ї 8.

Qui y1(r,.) è la probabilità di allocare un dispositivo per soddisfare una richiesta ricevuta dal QS nello stato:

O(i+1)(.+1) - 8, O(i

2)(}+1) -2)(!+1)

durate: Tobsl1 (t) e Tobsl2 (t), dis- i = 0.1...,K -1, . = 0,1...,K -1.

limitato esponenzialmente con i parametri ^1 (t) e ^2 (t), rispettivamente. Se dentro

A questo punto non è possibile allocare due canali, quindi il tempo per l'evasione della richiesta viene distribuito esponenzialmente con il parametro

t(t). Quando una richiesta si avvicina ai canali di servizio nello stato B., il passaggio al servizio individuale è consentito quando

la presenza della possibilità dello stato I(

La durata media della gestione di una richiesta inclusa nel QS in quel momento

T, può essere definito tramite uv (T) come

Tbl (t)=uf (t) Tm (t)+ Tbs 2 (t).

Distribuzione del tempo virtuale trascorso da un'applicazione nel QS

e (x,t)= P (Tpreb (t)< х)

viene determinato utilizzando le espressioni precedentemente ottenute per le funzioni di distribuzione del tempo di attesa e del tempo di servizio - =

Vaniya come me,

2^2 (t) Et^^(t)^^) (x) +

EEi M))рї(t)

e (x,t| (^ .)) =

1 - e-M1(t)x

y (1 - e-t(t)x)-+y2(1 - e

(1 - e ^t(t)x),

О(î+1)(.+1) - 8, О(î+ 2)(.+1) ї 8’

О(^+1)(.+1) - 8’ О(^+2)(.+1) - 8,

r = 0,1,...^-1, . = 0’l’...’N-1.

Per gli altri stati, le formule per la funzione di distribuzione condizionale sono scritte per analogia con le formule per

Æ (х^| (п,к,т)) utilizzando l'indicizzazione a tre caratteri. Di seguito sono riportati i primi tre stati di piena occupazione del canale:

Al momento dell'ingresso non c'è coda, ma tutti i canali sono occupati:

e (x^| (n,k,t)) = e (x^| (NN - g,0)) =

(x), 0£g£d;

Nel momento in cui entra un'applicazione, c'è un'applicazione in coda:

R. (t) ° 0, se R. ї 8.

Qui e (x^| (r,.)) è la funzione di distribuzione condizionale del tempo trascorso nel QS di qualche richiesta, a condizione che al momento del suo arrivo trovi il sistema nello stato ..

Per gli Stati con canali liberi il tempo di permanenza nel QS coincide con il tempo di servizio:

Quando entra un'applicazione, ci sono due applicazioni in coda:

e (x,t | (t,t - ^2))

(t)(t^)H (t)(t^+1)

(t)(t - g) ktsM (t)

(t)(t - g) KtsM (t)

Il tempo virtuale medio di permanenza di una domanda nel QS è definito come

Tpreb ^) = Tobsl (t) + Toz (t).

Un esempio di utilizzo del modello QS

Il funzionamento quotidiano del complesso produttivo di uno degli hub aeroportuali regionali dell'Europa orientale viene simulato durante l'esecuzione di un'operazione tecnologica separata per la manutenzione degli aeromobili in arrivo. Come dati iniziali per la modellazione, le dipendenze temporali dell'intensità media del flusso di aerei in arrivo

per il servizio, i(t) e l'intensità

servire l'aeromobile con un mezzo t1 (t) .

Come segue dai dati costruiti

grafico della dipendenza del sito dell’aeroporto i(t)

(Fig. 3a), l’offerta di BC è caratterizzata da notevoli disomogeneità: durante la giornata si osservano quattro massimi di intensità, corrispondenti a quattro “onde”

noi" arrivi e partenze dei voli. I valori di picco di 1(t) per le “onde” principali raggiungono i 25-30 VS/h.

Nella fig. 3 e visualizza anche un grafico della dipendenza t (t). Si presume di no

solo l'intensità del flusso degli aerei, ma anche l'intensità del loro servizio è funzione del tempo e dipende dalla fase dell'“onda”. Il fatto è che al fine di ridurre il tempo medio di trasferimento dei passeggeri, l'orario dell'aeroporto hub è strutturato in modo tale che l '"onda" sia avviata dagli arrivi di aerei passeggeri di grandi dimensioni, la cui manutenzione richiede molto di tempo, ed è completata dall'arrivo di piccoli aerei. Nell'esempio si presuppone che la durata media di un'operazione con un utensile, che è di 20 minuti per gran parte della giornata, nella fase iniziale dell'“onda” aumenti a 25 minuti. ed è ridotto di fase finale fino a 15 minuti Quindi, quattro intervalli con

livello ridotto t (t) in Fig. 3a corrispondono alle fasi iniziali delle “onde”, quando prevalgono gli arrivi di aerei di grandi dimensioni. A sua volta, quattro intervalli di aumento

livello t^) cadono sul finale

Fasi “ondulatorie” con predominanza di piccoli aerei.

Di seguito descriviamo i risultati della simulazione che ci permettono di valutare l'efficienza del sistema. Nella fig. 3b-3d mostrano le dipendenze temporali dei valori medi del numero di canali occupati Nз ^),

numero totale di domande nel sistema del Ministero della Sanità ^) e

lunghezze delle code Moz (7) ottenute per due valori di probabilità limite n1 = 0 e n1 = 1 con le seguenti caratteristiche di progetto: N = 10; K = 40; pollici = 1,75. A giudicare dal grafico della dipendenza Nз (t)

(Fig. 3b), durante la maggior parte dell’intervallo di tempo giornaliero l’occupazione dei canali di servizio del sistema rimane bassa, il che è una conseguenza dell’input non stazionario

flusso di aerei. Un carico elevato (60-80%) si ottiene solo durante la seconda "ondata" di arrivi e partenze e l'opzione n1 = 0 con valori elevati di 1(t) provoca un carico maggiore sul sistema e con valori piccoli ​​di 1(t) - meno

rispetto all'opzione n1 = 1. Inoltre, come

la modellizzazione ha dimostrato che la probabilità di guasto del sistema in esame per entrambe le opzioni è trascurabile.

Confronto dei grafici delle dipendenze

M3 ^) e Mozh ^) (Fig. 3c e 3d, rispettivamente) ci permettono di concludere che nel QS con n1 = 0 ci sono, in media, meno richieste e ci si aspetta che vengano servite più richieste che con n1 = 1 Questa contraddizione si spiega con il fatto che ogni domanda pervenuta al QS, che nel caso n1 = 0 prende due

canale, lascia meno canali liberi per le richieste che lo seguono, costringendole a creare una coda più grande rispetto al caso

n1 = 1. Allo stesso tempo, l'uso di gruppo dei canali, riducendo i tempi di servizio, provoca una diminuzione del numero totale di applicazioni servite e in attesa di servizio. Quindi, nell'esempio in esame, il tempo medio di servizio durante il giorno è

per l'opzione p1 = 1 è 20 minuti e per

opzione p1 = 0 - 11,7 min.

Il modello sopra discusso consente di risolvere problemi legati alla ricerca di una gestione ottimale della qualità dei servizi di trasporto. Nella fig. 3d, 3f mostrano alcuni risultati della risoluzione di questo tipo di problema, il cui significato viene ulteriormente spiegato utilizzando l'esempio dell'aeroporto in questione.

La lunghezza media della coda, piccola anche durante i picchi di carico, non superiore a 0,6 aerei nell'esempio in esame (Fig. 3d), non garantisce che per la stragrande maggioranza degli aerei il tempo di attesa in coda sarà accettabile. Tempo medio di attesa basso con tempo medio soddisfacente per il completamento di un'operazione di servizio

Ciò non esclude inoltre la possibilità di tempi di inattività inaccettabilmente lunghi durante la manutenzione dei singoli aeromobili. Consideriamo un esempio in cui la qualità del servizio aeroportuale è sottoposta a requisiti sia per garantire valori soddisfacenti per il tempo di attesa del servizio sia per il tempo di permanenza nel sistema. Assumeremo che più del 90% degli aeromobili debba rimanere inattivo per manutenzione per meno di 40 minuti e che il tempo di attesa per la manutenzione per la stessa percentuale di aeromobili dovrebbe essere inferiore a 5 minuti. Utilizzando la notazione sopra introdotta, questi requisiti di qualità del servizio aeroportuale saranno scritti sotto forma di disuguaglianze:

P (Tpreb (t)< 40мин)>09, P (Identità (t)< 5мин)> 09

Nella fig. 3d, 3f mostrano le dipendenze temporali delle probabilità P (Tpreb (/)< 40мин)

e P (Ident. (")< 5 мин) для интервала времени

460-640 minuti. dall'inizio del giorno modello corrispondente alla seconda “ondata” di arrivi.

Come si può vedere dalle figure, l'opzione n1 = 1 non lo è

fornisce affidabilità calcolata in termini di tempo di servizio: requisito per il tempo di servizio specificato dalla condizione

P (Tpreb (t)< 40мин)>09, si svolge solo durante un breve periodo di 530560 minuti, corrispondente agli arrivi di piccoli

Sole. A sua volta, l'opzione n1 = 0 non fornisce l'affidabilità calcolata in termini di tempo di attesa in coda: durante l'intervallo di arrivi di aeromobili di grandi dimensioni (500-510 min.)

Riso. 3. Risultati della simulazione 262

la condizione P è soddisfatta (Iz(t)< 5мин) > 0.9.

Come ha dimostrato la modellazione, la via d’uscita da questa situazione potrebbe essere quella di scegliere

opzione di compromesso y1 » 0,2. In pratica, questa opzione significa che ai servizi aeroportuali dovrebbero essere assegnati due fondi ciascuno per servire non tutti gli aeromobili, ma solo quelli selezionati in base a un determinato criterio, ad esempio,

capacità passeggeri. Qui y1 gioca un ruolo

un parametro che permette di controllare gli indicatori di performance del QS: il tempo di attesa di una domanda in coda e il tempo di permanenza della domanda nel QS o tempo di servizio.

Quindi, il sistema considerato, che utilizza uno o due canali contemporaneamente per soddisfare una richiesta, è un caso speciale, ma praticamente significativo, di un QS con

mutua assistenza dei canali. L'uso di un modello dinamico di tale QS consente di porre e risolvere vari problemi di ottimizzazione, compresi quelli multicriterio, relativi alla gestione non solo del numero totale di fondi, ma anche della loro mutua assistenza. Problemi di questo tipo sono particolarmente rilevanti per gli aeroporti hub, che sono saturi di strutture di servizio, con flussi di voli non stazionari e intensità di servizio fluttuante. Pertanto, il modello del QS considerato è uno strumento per analizzare e ottimizzare i parametri di una classe di aeroporti così promettente come gli hub.

Bibliografia

1. Bocharov, P.P. Teoria delle code [Testo] / P.P. Bocharov, A.V. Pechinkin. - M.: Casa editrice RUDN, 1995. - 529 p.

MODELLO DI SISTEMA DI CODE CON FLUSSI NON STAZIONARI E PARZIALE MUTUA ASSISTENZA TRA CANALI

© 2011 V. A. Romanenko

Samara State Aerospace University prende il nome dall'accademico S. P. Korolyov (Università nazionale di ricerca)

Viene descritto un modello dinamico di sistema di code multicanale con flussi non stazionari, attesa in una coda di lunghezza limitata e parziale assistenza reciproca dei canali espressa nella possibilità di servizio simultaneo di un cliente da parte di due canali. Vengono fornite le espressioni per le caratteristiche probabilità-tempo di base del sistema. Vengono discussi i risultati della modellizzazione del funzionamento di un aeroporto hub come esempio del sistema.

Sistema di code, flusso non stazionario, mutua assistenza tra canali, hub aeroportuale.

Informazioni sull'autore Vladimir Alekseevich Romanenko, candidato in scienze tecniche, professore associato, dottorando del dipartimento di organizzazione e gestione dei trasporti, Università aerospaziale statale di Samara, intitolato all'accademico S.P. Korolev (università nazionale di ricerca). E-mail: [e-mail protetta]. Area di interessi scientifici: ottimizzazione e modellizzazione del sistema dei servizi di trasporto di un aeroporto hub.

Romanenko Vladimir Alexeevitch, candidato in scienze tecniche, professore associato, dottorato presso il dipartimento di organizzazione e gestione dei trasporti, Università aerospaziale statale di Samara, intitolato all'accademico S. P Korolyov (Università nazionale di ricerca). E-mail: [email protected]. Area di ricerca: ottimizzazione e simulazione di un sistema di servizi di trasporto aeroportuale hub.

Finora abbiamo considerato solo i QS in cui ogni richiesta può essere servita da un solo canale; i canali non occupati non possono “aiutare” quelli occupati nella manutenzione.

In generale non è sempre così: esistono sistemi di code in cui la stessa richiesta può essere servita contemporaneamente da due o più canali. Ad esempio, la stessa macchina rotta può essere riparata da due lavoratori contemporaneamente. Tale “mutua assistenza” tra i canali può avvenire sia in QS aperti che chiusi.

Quando si considera un QS con assistenza reciproca multicanale, ci sono due fattori da considerare:

1. Quanto velocemente aumenta la manutenzione di un'applicazione quando non uno, ma diversi canali lavorano contemporaneamente su di essa?

2. Cos’è la “disciplina del mutuo soccorso”, ovvero quando e come più canali si fanno carico della stessa richiesta?

Consideriamo innanzitutto la prima domanda. È naturale supporre che se non un canale, ma diversi canali lavorano per servire un'applicazione, l'intensità del flusso di servizio non diminuirà con l'aumentare di k, cioè rappresenterà una funzione non decrescente del numero k di canali di lavoro. canali. Indichiamo questa funzione. Una possibile forma della funzione è mostrata in Fig. 5.11.

Ovviamente, un aumento illimitato del numero di canali operanti contemporaneamente non sempre porta ad un proporzionale aumento della velocità del servizio; È più naturale supporre che, ad un certo valore critico, un ulteriore aumento del numero di canali occupati non aumenti più l'intensità del servizio.

Per poter analizzare il funzionamento di un QS con mutua assistenza tra canali è necessario innanzitutto impostare il tipo di funzione

Il caso più semplice da studiare sarà quello in cui la funzione aumenta in proporzione a k mentre rimane costante e uguale (vedi Fig. 5.12). Se il numero totale di canali che possono aiutarsi a vicenda non supera

Soffermiamoci ora sulla seconda questione: la disciplina dell'assistenza giudiziaria. Chiameremo il caso più semplice di questa disciplina “tutto come uno”. Ciò significa che quando appare una richiesta, tutti i canali iniziano a servirla contemporaneamente e rimangono occupati fino al termine del servizio di questa richiesta; poi tutti i canali passano a servire un'altra richiesta (se ce n'è una) o attendono la sua comparsa se non lo fa, ecc. Ovviamente, in questo caso, tutti i canali funzionano come uno, il QS diventa monocanale, ma con un servizio più alto intensità.

Sorge la domanda: è vantaggioso o non redditizio introdurre tale assistenza reciproca tra i canali? La risposta a questa domanda dipende da quale è l'intensità del flusso di richieste, che tipo di funzione, che tipo di QS (con guasti, con coda), quale valore viene scelto come caratteristica di efficienza del servizio.

Esempio 1. Esiste un QS a tre canali con guasti: l'intensità del flusso di applicazioni (applicazioni al minuto), il tempo medio di assistenza di una richiesta per canale (min), la funzione La domanda è se è vantaggioso da dal punto di vista del throughput del QS per introdurre la mutua assistenza tra canali del tipo “all as one””? Ciò è vantaggioso in termini di riduzione del tempo medio di permanenza di un'applicazione nel sistema?

Soluzione a. Senza assistenza reciproca

Utilizzando le formule di Erlang (vedi § 4) abbiamo:

Capacità relativa del QS;

Produttività assoluta:

Il tempo medio di permanenza di una richiesta nel QS viene calcolato come la probabilità che la richiesta venga accettata per il servizio moltiplicata per il tempo medio di servizio:

Gsist (min).

Non dobbiamo dimenticare che questo tempo medio si applica a tutte le applicazioni, sia servite che non servite, e potremmo anche essere interessati al tempo medio in cui un'applicazione servita rimarrà nel sistema. Questa volta è uguale a:

6. Con mutua assistenza.

Tempo medio di permanenza di una domanda nel CMO:

Tempo medio trascorso da un'applicazione servita nel CMO:

Pertanto, in presenza di assistenza reciproca “tutto in uno”, la produttività del QS è notevolmente diminuita. Ciò si spiega con l'aumento della probabilità di rifiuto: mentre tutti i canali sono impegnati a soddisfare una richiesta, altre richieste possono arrivare e, naturalmente, essere respinte. Per quanto riguarda il tempo medio trascorso da una candidatura presso l'OCM, esso, come prevedibile, è diminuito. Se, per qualche motivo, ci sforziamo di ridurre completamente il tempo che un'applicazione trascorre nel QS (ad esempio, se rimanere nel QS è pericoloso per l'applicazione), potrebbe accadere che, nonostante la riduzione del throughput, lo farà sarebbe comunque utile combinare i tre canali in uno solo.

Consideriamo ora l'influenza dell'assistenza reciproca del tipo “tutti in uno” sul lavoro del QS con aspettativa. Per semplicità prendiamo solo il caso di una coda illimitata. Naturalmente in questo caso non ci sarà alcuna influenza dell'assistenza reciproca sul rendimento del QS, poiché tutte le richieste in arrivo verranno soddisfatte in qualsiasi condizione. Sorge la domanda sull'influenza dell'assistenza giudiziaria sulle caratteristiche dell'attesa: la lunghezza media della coda, il tempo medio di attesa, il tempo medio trascorso nel servizio.

In virtù delle formule (6.13), (6.14) § 6 per la prestazione senza mutua assistenza, il numero medio di richieste in coda sarà

tempo medio di attesa:

e il tempo medio di permanenza nel sistema:

Se viene utilizzata l'assistenza reciproca del tipo “all as one”, il sistema funzionerà come un canale singolo con i parametri

e le sue caratteristiche sono determinate dalle formule (5.14), (5.15) § 5:

Esempio 2. Esiste un QS a tre canali con una coda illimitata; intensità del flusso di applicazioni (applicazioni al minuto), tempo medio di servizio Funzione Significato utile:

Lunghezza media della coda,

Tempo medio di attesa per il servizio,

Tempo medio di permanenza di una domanda nel CMO

introdurre l’assistenza reciproca tra canali del tipo “all as one”?

Soluzione a. Nessuna assistenza reciproca.

Secondo le formule (9.1) - (9.4) abbiamo

(3-2)

B. Con mutua assistenza

Usando le formule (9.5) - (9.7) troviamo;

Pertanto, la lunghezza media della coda e il tempo medio di attesa in coda nel caso della mutua assistenza sono maggiori, ma il tempo medio di permanenza di una domanda nel sistema è minore.

Dagli esempi considerati, è chiaro che l'assistenza reciproca tra Il tipo di contante “tutto in uno”, di regola, non contribuisce ad aumentare l'efficienza del servizio: il tempo di permanenza della richiesta nel sistema del servizio si riduce, ma altre caratteristiche del servizio si deteriorano.

Pertanto è auspicabile modificare la disciplina del servizio in modo che l'assistenza reciproca tra i canali non interferisca con l'accettazione di nuove richieste di servizio qualora si presentino mentre tutti i canali sono occupati.

Chiameremo il seguente tipo di mutua assistenza “mutua assistenza uniforme”. Se una richiesta arriva in un momento in cui tutti i canali sono liberi, tutti i canali vengono accettati per la sua manutenzione; se, al momento di servire un'applicazione, ne arriva un'altra, alcuni canali passano a servirla; se, mentre si stanno soddisfacendo queste due richieste, ne arriva un'altra, alcuni canali passano a servirla, ecc., fino a quando tutti i canali sono occupati; in tal caso la domanda appena arrivata viene respinta (in un QS con rifiuti) oppure viene messa in coda (in un QS con attesa).

Con questa disciplina di mutua assistenza, una domanda viene respinta o messa in coda solo quando non è possibile notificarla. Per quanto riguarda il “tempo di inattività” dei canali, in queste condizioni è minimo: se c'è almeno una richiesta nel sistema, tutti i canali funzionano.

Abbiamo accennato in precedenza che quando appare una nuova richiesta, alcuni dei canali occupati vengono rilasciati e commutati al servizio della richiesta appena arrivata. Quale parte? Dipende dal tipo di funzione, se ha la forma di una relazione lineare, come mostrato in Fig. 5.12, e non importa quale parte dei canali è assegnata per servire una nuova richiesta ricevuta, purché tutti i canali siano occupati (allora l'intensità totale dei servizi per qualsiasi distribuzione dei canali tra le richieste sarà uguale a ). Si può dimostrare che se la curva è convessa verso l’alto, come mostrato in Fig. 5.11, è necessario distribuire i canali tra le richieste nel modo più uniforme possibile.

Consideriamo il funzionamento di un QS a canali con mutua assistenza “uniforme” tra i canali.

Formulazione del problema. All'entrata N-channel QS riceve il flusso più semplice di richieste con densità λ. La densità del flusso di servizio più semplice per ciascun canale è μ. Se una richiesta ricevuta per il servizio trova tutti i canali liberi, viene accettata per il servizio e servita contemporaneamente l canali ( l < N). In questo caso, il flusso di servizi per un'applicazione avrà un'intensità l.

Se una richiesta ricevuta per il servizio trova una richiesta nel sistema, allora quando N ≥ 2l una domanda appena arrivata verrà accettata per il servizio e verrà servita contemporaneamente l canali.

Se una richiesta ricevuta per il servizio viene catturata nel sistema io applicazioni ( io= 0,1, ...), mentre ( io+ 1)l≤ N, l'applicazione ricevuta verrà revisionata l canali con prestazioni complessive l. Se una domanda appena ricevuta viene catturata nel sistema J applicazioni e allo stesso tempo due disuguaglianze sono soddisfatte congiuntamente: ( J + 1)l > N E J < N, allora la domanda sarà accettata per la notificazione. In questo caso, alcune applicazioni possono essere servite l canali, l'altra parte è più piccola di l, numero di canali, ma tutti saranno impegnati nella manutenzione N canali distribuiti casualmente tra le applicazioni. Se una domanda appena ricevuta viene catturata nel sistema N applicazioni, verrà rifiutato e non verrà servito. Una richiesta ricevuta per la manutenzione viene completata fino al completamento (richieste "paziente").

Il grafico di stato di un tale sistema è mostrato in Fig. 3.8.

Riso. 3.8. Grafico degli stati QS con guasti e parziali

mutua assistenza tra i canali

Si noti che il grafico dello stato del sistema fino allo stato X H fino alla notazione dei parametri di flusso, esso coincide con il grafico di stato di un classico sistema di code con guasti, mostrato in Fig. 3.6.

Quindi,

(io = 0, 1, ..., H).

Grafico dello stato del sistema a partire dallo stato X H e finire con lo Stato X N, coincide, fino alla notazione, con il grafico di stato di un QS a mutua assistenza completa mostrato in Fig. 3.7. Così,

.

Introduciamo la notazione λ / lμ = ρ l ; λ / Nμ = χ, allora

Tenendo conto della condizione normalizzata, otteniamo

Per abbreviare ulteriormente la notazione, introduciamo la notazione

Troviamo le caratteristiche del sistema.

Probabilità di richiesta di assistenza

Il numero medio di applicazioni nel sistema è

Numero medio di canali occupati

.

Probabilità che un particolare canale sarà occupato

.

Probabilità di occupazione di tutti i canali del sistema

3.4.4. Sistemi di code con guasti e flussi eterogenei

Formulazione del problema. All'entrata N Il sistema QS a canali riceve un flusso semplice eterogeneo con un'intensità totale λ Σ e

λ Σ = ,

dove λ io– intensità delle applicazioni in io esima fonte.

Poiché il flusso di richieste è considerato come una sovrapposizione di requisiti provenienti da varie fonti, il flusso combinato con sufficiente precisione per la pratica può essere considerato Poisson per N = 5...20 e λ io ≈ λ io +1 (io1,N). L'intensità di servizio di un apparecchio è distribuita secondo una legge esponenziale ed è pari a μ = 1/ T. I dispositivi di servizio per soddisfare una richiesta sono collegati in serie, il che equivale ad aumentare il tempo di servizio tante volte quanti sono i dispositivi combinati per la manutenzione:

T obs = kt, μ obs = 1 / kt = μ/ K,

Dove T obs – richiedere il tempo di manutenzione; K– numero di dispositivi di servizio; μ obs – richiesta intensità di servizio.

Nell'ambito delle ipotesi adottate nel capitolo 2, rappresentiamo lo stato del QS come un vettore, dove K M– il numero di applicazioni nel sistema, ciascuna delle quali è servita M dispositivi; l = Q massimo – Q min +1 – numero di flussi di input.

Quindi il numero di dispositivi occupati e liberi ( N Zan ( ),N sv ( )) capace è definito come segue:

Dallo stato il sistema può andare in qualsiasi altro stato . Poiché il sistema funziona l flussi di input, quindi da ciascuno stato è potenzialmente possibile l transizioni dirette. Tuttavia, a causa delle risorse di sistema limitate, non tutte queste transizioni sono fattibili. Lascia che l'SMO sia in uno stato e arriva una richiesta impegnativa M dispositivi. Se M≤ N sv ( ), allora la richiesta di servizio viene accettata e il sistema si porta in uno stato con intensità λ M. Se l'applicazione richiede più dispositivi di quelli disponibili, il servizio verrà rifiutato e il QS rimarrà nello stato . Se potete ci sono applicazioni che richiedono M dispositivi, ciascuno di essi viene servito con intensità  M e l'intensità totale del servizio a tali richieste (μ M) è definito come μ M = K M μ / M. Quando la manutenzione di una delle richieste viene completata, il sistema entrerà in uno stato in cui la coordinata corrispondente ha un valore inferiore di uno rispetto allo stato ,=, cioè si verificherà la transizione inversa. Nella fig. 3.9 mostra un esempio di modello vettoriale di un QS per N = 3, l = 3, Q minimo = 1, Q massimo = 3, P(M) = 1/3, λ Σ = λ, intensità di manutenzione del dispositivo – μ.

Riso. 3.9. Un esempio di grafico di un modello vettoriale di un QS con guasti al servizio

Quindi ogni stato caratterizzato dal numero di applicazioni servite di un certo tipo. Ad esempio, in uno stato
una richiesta è servita da un dispositivo e una richiesta da due dispositivi. In questo stato tutti i dispositivi sono occupati, quindi sono possibili solo transizioni inverse (l'arrivo di qualsiasi richiesta in questo stato porta ad un rifiuto di servizio). Se la gestione di una richiesta del primo tipo è terminata prima, il sistema passerà allo stato (0,1,0) con intensità μ, ma se la gestione di una richiesta del secondo tipo è terminata prima, allora il sistema entrerà nello stato (0,1,0) con intensità μ/2.

Utilizzando il grafico di stato con le intensità di transizione tracciate, viene compilato un sistema di equazioni algebriche lineari. Dalla soluzione di queste equazioni si ricavano le probabilità R(), con cui vengono determinate le caratteristiche del QS.

Considera la possibilità di trovare R otk (probabilità di rifiuto del servizio).

,

Dove S– numero di stati del grafico del modello vettoriale QS; R() è la probabilità che il sistema si trovi nello stato .

Il numero di stati in base è determinato come segue:

, (3.22)

;

Determiniamo il numero di stati del modello vettoriale QS secondo (3.22) per l'esempio mostrato in Fig. 3.9.

.

Quindi, S = 1 + 5 + 1 = 7.

Per implementare i requisiti reali per i dispositivi di servizio, un numero sufficientemente elevato di N (40, ..., 50) e le richieste per il numero di dispositivi di servizio in un'applicazione in pratica sono comprese tra 8 e 16. Con un tale rapporto tra strumenti e richieste, il modo proposto per trovare le probabilità diventa estremamente macchinoso, perché il modello vettoriale del QS ha un gran numero di stati S(50) = 1790, S(60) = 4676, S(70) = = 11075, e la dimensione della matrice dei coefficienti del sistema di equazioni algebriche è proporzionale al quadrato S, che richiede una grande quantità di memoria del computer e una notevole quantità di tempo del computer. Il desiderio di ridurre la quantità di calcoli ha stimolato la ricerca di capacità di calcolo ricorrenti R() basato su forme moltiplicative di rappresentazione delle probabilità di stato. Il documento presenta un approccio al calcolo R():

(3.23)

L'utilizzo del criterio per l'equivalenza dei bilanci globali e dettagliati delle catene di Markov proposto nel lavoro consente di ridurre la dimensione del problema ed eseguire calcoli su un computer di media potenza utilizzando la ricorrenza dei calcoli. Inoltre è possibile:

– eseguire calcoli per qualsiasi valore N;

– velocizzare i calcoli e ridurre i costi del tempo macchina.

Altre caratteristiche del sistema possono essere determinate in modo simile.

Consideriamo un sistema di code multicanale (n canali in totale), che riceve richieste con intensità λ ed è servito con intensità μ. Una richiesta che arriva nel sistema viene soddisfatta se almeno un canale è libero. Se tutti i canali sono occupati, la richiesta successiva ricevuta nel sistema viene rifiutata e lascia il QS. Numeriamo gli stati del sistema in base al numero di canali occupati:

• S 0 – tutti i canali sono gratuiti;
• S 1 – un canale è occupato;
• S 2 – due canali sono occupati;
• SK- Occupato K canali;
• SN– tutti i canali sono occupati.

È ovvio che il sistema si sposta da uno stato all'altro sotto l'influenza del flusso di richieste in ingresso. Costruiamo un grafico di stato per questo sistema di code.

Riso. 7.24
La Figura 6.24 mostra un grafico di stato in cui Sio– numero del canale; λ – intensità delle richieste pervenute; μ – di conseguenza, l’intensità delle richieste di servizio. Le richieste entrano nel sistema delle code con intensità costante e occupano progressivamente i canali uno dopo l'altro; quando tutti i canali saranno occupati, la successiva richiesta che arriverà al QS verrà rifiutata e lascerà il sistema.
Determiniamo l'intensità dei flussi di eventi che trasferiscono il sistema da stato a stato quando ci si sposta sia da sinistra a destra che da destra a sinistra lungo il grafico degli stati.
Ad esempio, lasciamo che il sistema sia nello stato S 1, cioè un canale è occupato poiché al suo ingresso c'è una richiesta. Non appena la gestione della richiesta sarà completata, il sistema entrerà nello stato S 0 .
Ad esempio, se due canali sono occupati, il flusso di servizi trasferisce il sistema dallo stato S 2 nello stato S 1 sarà due volte più intenso: 2-μ; di conseguenza, se occupato K canali, l’intensità è k-μ.

Il processo di mantenimento è un processo di morte e riproduzione. Le equazioni di Kolmogorov per questo caso particolare avranno la seguente forma:

(7.25)
Vengono chiamate le equazioni (7.25). Equazioni di Erlang .
Per trovare i valori di probabilità degli stati R 0 , R 1 , …, RN, è necessario determinare le condizioni iniziali:
– R 0 (0) = 1, cioè c'è una richiesta in ingresso al sistema;
– R 1 (0) = R 2 (0) = … = RN(0) = 0, cioè nell'istante iniziale il sistema è libero.
Avendo integrato il sistema di equazioni differenziali (7.25), otteniamo i valori delle probabilità di stato R 0 (T), R 1 (T), … RN(T).
Ma siamo molto più interessati alle probabilità limitanti degli stati. Poiché t → ∞ e utilizzando la formula ottenuta considerando il processo di morte e riproduzione, otteniamo una soluzione al sistema di equazioni (7.25):

(7.26)
In queste formule, il rapporto di intensità λ / μ al flusso delle domande che conviene designare ρ .Questa quantità si chiama data l’intensità del flusso di domande, ovvero il numero medio di domande che arrivano al QS durante il tempo medio di gestione di un'applicazione.

Tenendo conto della notazione fatta, il sistema di equazioni (7.26) assumerà la forma seguente:

(7.27)
Queste formule per il calcolo delle probabilità marginali vengono chiamate Formule dell'Erlang .
Conoscendo tutte le probabilità degli stati QS, troveremo le caratteristiche dell'efficienza QS, ovvero il throughput assoluto UN, rendimento relativo Q e probabilità di fallimento R aprire
Una richiesta ricevuta dal sistema verrà respinta se troverà tutti i canali occupati:

.
Probabilità che la domanda venga accettata per la notificazione:

Q = 1 – R aprire,
Dove Q– la quota media di domande ricevute gestite dal sistema, ovvero il numero medio di domande servite dal QS per unità di tempo, diviso per il numero medio di domande ricevute durante questo periodo:

A=λ·Q=λ·(1-P aperto)
Inoltre, una delle caratteristiche più importanti di un QS con fallimenti è numero medio di canali occupati. IN N QS a canale con guasti, questo numero coincide con il numero medio di applicazioni nel QS.
Il numero medio di richieste k può essere calcolato direttamente attraverso le probabilità degli stati P 0, P 1, ..., P n:

,
cioè troviamo l'aspettativa matematica di una variabile casuale discreta che assume un valore da 0 a N con probabilità R 0 , R 1 , …, RN.
È ancora più semplice esprimere il valore di k attraverso la capacità assoluta del QS, cioè A. Il valore A è il numero medio di applicazioni servite dal sistema per unità di tempo. Un canale occupato serve μ richieste per unità di tempo, quindi il numero medio di canali occupati

Nella stragrande maggioranza dei casi, in pratica, il sistema delle code è multicanale, cioè si possono servire più richieste in parallelo, e quindi , modelli con canali di servizio(dove il numero di canali di servizio N>1) sono di indubbio interesse.
Il processo di coda descritto da questo modello è caratterizzato dall'intensità del flusso in ingresso λ, e non più di N client (applicazioni). La durata media della manutenzione di una richiesta è 1/μ. La modalità operativa di un particolare canale di manutenzione non influisce sulla modalità operativa di altri canali di manutenzione del sistema e la durata della procedura di manutenzione per ciascun canale è variabile casuale, soggetto alla legge di distribuzione esponenziale. L'obiettivo finale dell'utilizzo di canali di servizio connessi in parallelo è aumentare (rispetto a un sistema a canale singolo) la velocità di gestione delle richieste eseguendo la manutenzione simultaneamente N clienti.
La soluzione stazionaria del sistema ha la forma:
;
Dove, .
Vengono chiamate formule per il calcolo delle probabilità Formule dell'Erlang.
Determiniamo le caratteristiche probabilistiche del funzionamento di un QS multicanale con guasti in modalità stazionaria:
probabilità di fallimento:
.
poiché la domanda viene respinta se arriva in un momento in cui tutti i canali sono occupati. Grandezza R aperto caratterizza la completezza di servizio del flusso in entrata;
probabilità che la domanda venga accolta(noto anche come capacità relativa del sistema) è complementare R aperto a uno:
.
rendimento assoluto

numero medio di canali occupati dal servizio() il seguente:

Il valore caratterizza il grado di carico del QS.
Esempio. Permettere N-channel QS è un centro di calcolo (CC) con tre ( N=3) PC intercambiabili per la risoluzione dei problemi in arrivo. Il flusso di compiti che arrivano al centro di calcolo ha un'intensità di λ=1 compito all'ora. Durata media del servizio t=1,8 ore circa.
Devi calcolare i valori:
- probabilità del numero di canali CC occupati;
- probabilità di rifiuto di servire una richiesta;
- capacità relativa del centro di calcolo;
- capacità assoluta del centro di calcolo;
- il numero medio di PC occupati presso il centro di calcolo.
Determina quanti PC aggiuntivi è necessario acquistare per aumentare di 2 volte la produttività del centro di calcolo.
Soluzione.
Definiamo il parametro del flusso di servizio μ:
.
Intensità ridotta del flusso delle applicazioni
.
Troviamo le probabilità limite degli stati utilizzando le formule di Erlang:

Probabilità di rifiuto di notificare una richiesta
.
Capacità relativa del centro di calcolo
.
Capacità assoluta del CC:
.
Numero medio di canali occupati – PC

Pertanto, nella modalità operativa stazionaria del QS, in media, 1,5 computer su tre saranno occupati, il restante uno e mezzo sarà inattivo. Il lavoro del CC considerato difficilmente può essere considerato soddisfacente, poiché il centro non soddisfa le richieste in media nel 18% dei casi (P 3 = 0,180). È ovvio che la capacità del centro di calcolo per dati λ e μ può essere aumentata solo aumentando il numero di PC.
Determiniamo quanto è necessario utilizzare il PC per ridurre di 10 volte il numero di domande non servite ricevute al CC, vale a dire in modo che la probabilità di mancata risoluzione dei problemi non superi 0,0180. Per fare ciò, utilizziamo la formula della probabilità di fallimento:

Creiamo la seguente tabella:

N
P 0	0,357	0,226	0,186	0,172	0,167	0,166
P aperto	0,673	0,367	0,18	0,075	0,026	0,0078

Analizzando i dati della tabella, va notato che l'espansione del numero di canali del computer a determinati valori di λ e μ a 6 unità PC garantirà la soddisfazione delle richieste di risoluzione dei problemi del 99,22%, poiché con N= 6 probabilità di negazione del servizio ( R aperto) è 0,0078.