Apgabalu izmantošanas funkciju izpētes shēma. Shēma funkcijas grafika konstruēšanai Ekstrēmuma funkciju izpēte, izmantojot augstākas kārtas atvasinājumus Vienādojumu sakņu aprēķināšana, izmantojot akordu un tangenšu metodes

Viena no iespējamām funkcijas izpētes un tās grafa konstruēšanas shēmām tiek sadalīta šādos uzdevuma risināšanas posmos: 1. Funkcijas domēns (O.O.F.). 2. Funkcijas lūzuma punkti, to būtība. Vertikālās asimptotes. 3. Pāra, nepāra, periodiska funkcija. 4. Grafika krustošanās punkti ar koordinātu asīm. 5. Funkcijas uzvedība bezgalībā. Horizontāli un slīpi asimptoti. 6. Funkcijas monotonitātes intervāli, maksimuma un minimuma punkti. 7. Līknes izliekuma virzieni. Līkuma punkti. 8. Funkcijas grafiks. 1. piemērs. Uzzīmējiet funkciju y \u003d 1. (vereiora vai Maria Anieei čokurošanās). - visa skaitliskā ass. 2. Nav pārtraukuma punktu; nav vertikālu asimptotu. 3. Funkcija ir pāra: tā, lai tās grafiks būtu simetrisks ap Oy asi \ neperiodisks. No funkcijas paritātes izriet, ka pietiek ar tās grafiku uzzīmēt uz puslīnijas x ^ 0 un pēc tam atspoguļot to y asī. 4. Pie x = 0 mums ir Yx, lai funkcijas grafiks atrodas augšējā pusplaknē y > 0. Shēma funkcijas grafika konstruēšanai Ekstrēma funkciju izpēte, izmantojot augstākas kārtas atvasinājumus. vienādojumu saknes, izmantojot akordu un pieskares metodes, ka grafam ir horizontāla asimptote y = O, slīpo asimptotu nav. Tātad funkcija palielinās un samazinās, kad. Punkts x = 0 ir kritisks. Kad x iet caur punktu x \u003d 0, atvasinājums y "(x) maina zīmi no mīnusa uz plusu. Tāpēc punkts x \u003d 0 ir maksimālais punkts, y (Q) \u003d I. Šis rezultāts ir diezgan acīmredzams: / (x) \u003d T ^ IV *. Otrais atvasinājums pazūd punktos x \u003d. Mēs pētām punktu x \u003d 4- (turpmāk simetrijas arguments). Pie mums ir. līkne ir izliekta uz leju; pie mēs iegūstam (līkne ir izliekta uz augšu). Tāpēc punkts x \u003d \u003d - ir funkcijas lēciena punkta grafiks. Pētījuma rezultāti ir apkopoti tabulā: Lēkmes punkts max Līkuma punkts - viss reālais ass, neskaitot punktu 2.Funkcijas pārtraukuma punkts Tātad mums ir taisne x = 0 - vertikālā asimptote 3.Funkcija nav ne pāra, ne nepāra [funkcija vispārējā stāvoklī), neperiodiska. Pieņemot iegūstam grafu, kurā funkcija krusto asi Ox punktā (-1,0), nav slīpu un horizontālu asimptotu. kur ir kritiskais punkts. Funkcijas otrais atvasinājums atrodas punktā, tāpēc x = ir minimālais punkts. Otrais atvasinājums kādā punktā pārvēršas par uul un, ejot cauri šim punktam, maina savu zīmi. Tāpēc punkts ir līknes lēciena punkts. For) mums ir e) līknes izliekums ir vērsts uz leju; jo - Man ir. līknes izliekums ir vērsts uz augšu. Pētījuma rezultātus apkopojam tabulā: Neeksistē Neeksistē Līkuma punkts Neeksistē. Torusa atvasinājuma vertikālā asimptote izzūd pie x = e,/2. un kad x iet caur šo punktu, y "maina zīmi Tāpēc ir līknes lēciena punkta abscisa. Pētījuma rezultātus apkopojam tabulā: Lēkmes punkts. Funkcijas grafiks parādīts 37. att. Piemērs 4. Grafiksējiet visas skaitliskās ass funkciju, izslēdzot punktu Punkta punkta pārtraukums 2. veida funkcijai.Tā kā Km , tad funkcijas grafika tiešā vertikālā asimptote.Funkcija ir vispārējā stāvoklī, nav periodisks.Iestatījums y = 0, mums ir, no kurienes tā, ka funkcijas grafiks krustojas ar x asi punktā Tāpēc funkcijas grafikam ir slīpa asimptote No nosacījuma, ko iegūstam - kritiskais punkts.Otrais atvasinājums funkcijas y" \u003d D\u003e 0 visur definīcijas jomā, jo īpaši punktā - funkcijas minimālajā punktā. 7. Tā kā tad visur funkcijas definīcijas jomā tās grafa izliekums ir vērsts uz leju. Pētījuma rezultātus apkopojam tabulā: Neeksistē Neeksistē Neeksistē. x \u003d 0 - vertikāla asimptote Funkcijas grafiks ir parādīts att. Piemērs 5. Grafiksējiet visas skaitļa ass funkciju. 2. Nepārtraukts visur. Nav vertikālu asimptotu. 3. Vispārējā pozīcija, neperiodiska. 4. Funkcija pazūd pie 5. Tādējādi funkcijas grafikā ir slīpa asimptote Atvasinājums pazūd punktā un neeksistē. Kad x iet caur punktu), atvasinājums nemaina zīmi, tāpēc punktā x = 0 nav ekstrēma. Kad punkts x iet caur punktu, atvasinājums) maina zīmi no “+” uz Tātad, funkcijai ir maksimums. Kad x iet caur punktu x \u003d 3 (x\u003e I), atvasinājums y "(x) maina zīmi, t.i., punktā x \u003d 3 funkcijai ir minimums. 7. Atrodiet otro atvasinājumu no augstākās kārtas vienādojumu sakņu aprēķināšana ar akordu un pieskares metodēm Otrais atvasinājums y "(x) neeksistē punktā x = 0 un kad x iet caur punktu x = 0 y" maina zīmi no + uz tā, ka līknes punkts (0,0) ir punkts, kurā nav lēciena punkta ar vertikālu pieskari Punktā x = 3 nav lēciena. Visur pusplaknē x > 0 līknes izliekums ir vērsts uz augšu attēlā. 39. §7. Ekstrēmuma funkciju izpēte, izmantojot augstākas kārtas atvasinājumus Lai atrastu funkciju maksimālo un minimālo punktu, var izmantot Teilora formulu. Teorēma Tā. Lai funkcijai f(x) kādā punkta xq apkārtnē ir n-tās kārtas atvasinājums, kas ir nepārtraukts punktā xo. Ļaujiet 0. Ja skaitlis n ir nepāra, tad funkcijai f(x) punktā x0 ir nav ekstremitāšu; ja n ir pāra, tad punktā x0 funkcijai f(x) ir maksimums, ja f(n)(x0)< 0, и минимум, если /. В силу определения точек максимума и минимума вопрос о том, имеет ли функция f(x) в точке х0 экстремум, сводится к тому, существует ли такое <5 > 0, kas atrodas intervālā, starpība - /(x0) saglabā savu zīmi. Saskaņā ar Teilora formulu kā pēc nosacījuma, tad no (1) iegūstam 1-nosacījumu / (n * (r) ir nepārtraukts punktā un Ф Tāpēc nepārtrauktas funkcijas stabilitātes dēļ pastāv tāds, ka intervāls () nemainās un sakrīt ar zīmi / (n) ( Apskatīsim iespējamos gadījumus: 1) n ir pāra skaitlis un / Tad es, tātad sakarā ar (2) . Saskaņā ar definīciju tas nozīmē, ka punkts o ir funkcijas f(r) minimuma punkts. 2) n ir pāra un. Tad mums būs i kopā ar šo un Tāpēc punkts i šajā gadījumā būs funkcijas f(r) maksimuma punkts. 3) n ir nepāra skaitlis, /- Tad, ja x > x0, zīme > sakritīs ar /(n)(ro) zīmi, un r, tā būs pretēja. Tāpēc patvaļīgi mazam 0 starpības f(r) - f(r0) zīme nebūs vienāda visiem x e (r0 - 6, r0 + t). Līdz ar to šajā gadījumā funkcijai f(r) nav strēmuma punktā th. Piemērs. Apskatīsim funkcijas A. Ir viegli redzēt, ka punkts x = 0 ir abu funkciju kritiskais punkts. Funkcijai y = x4 pirmais no nulles atvasinājumiem punktā x = 0 ir 4. kārtas atvasinājums: Tādējādi šeit n = 4 ir pāra un. Tāpēc punktā x = 0 funkcijai y = x4 ir minimums. Funkcijas y = x gadījumā pirmais no nulles atvasinājumiem punktā x = 0 ir trešās kārtas atvasinājums. Tātad šajā gadījumā n = 3 ir nepāra, un punktā x = 0 funkcijai y = x3 nav galējības. komentēt. Izmantojot Teilora formulu, varam pierādīt šādu teorēmu, kas izsaka pietiekamus nosacījumus lēciena punktam. "12. teorēma. Lai funkcijai /(r) kādā punkta r0 tuvumā ir n-tās kārtas atvasinājums, nepārtraukts punktā xq. Mo(x0, f(xo)) ir grafika lēciena punkts. funkcijas y = f(x).Vienkāršāko piemēru sniedz funkcija §8. Vienādojumu sakņu aprēķināšana ar akordu un pieskares metodēm Problēma ir atrast vienādojuma reālo sakni Pieņemsim, ka šādi nosacījumi ir izpildīti: 1) funkcija f(x) ir nepārtraukta segmentā [a, 6]; 2) skaitļi /(a) un f(b) ir pretēji zīmē: 3) segmentā [a, 6] ir atvasinājumi f "(x) un f "(x), kas saglabā nemainīgu zīmi šajā intervālā. No 1) un 2. nosacījuma, pamatojoties uz Bolcāno-Košī teorēmu (220. lpp.), izriet, ka funkcija f(x) pazūd vismaz vienā punktā £ € ( a, b), t.i., vienādojumam (1) ir vismaz viena reāla sakne £ intervālā (a, b). zīme, tad f(x) ir monotons uz [a, b] un tāpēc int rvale (a, b) vienādojumam (1) ir tikai viena reālā sakne. Apskatīsim metodi šīs vienādojuma (I) unikālās reālās saknes £ € (a, 6) aptuvenās vērtības aprēķināšanai ar jebkuru precizitātes pakāpi. Iespējami četri gadījumi (40. att.): 1) Zīm. 40 Noteiktības labad ņemsim gadījumu, kad f \ x) > 0, f "(x) > 0 uz nogriežņa [a, 6) (41. att.). Savienosim punktus A (a, / (a)). ) un B (b, f(b)) ar hordu A B. Šis ir taisnes posms, kas iet caur punktiem A un B, kura vienādojums y \u003d 0, mēs atrodam No 41. att. lai redzētu, ka punkts a \ vienmēr atradīsies tajā pusē, no kuras pretējās ir zīmes f (x) un f "(x). Tagad punktā B uzzīmēsim līknes y \u003d f (x) tangensu (b, f(b)), t.i., tajā loka ^AB galā, kurā f(x) un /"(x) ir viena un tā pati zīme. Tas ir būtisks nosacījums: bez tā krustojuma punkts pieskaras x ass var vispār nedot tuvinājumu vajadzīgajai saknei. Punkts b\, kurā pieskares krusto x asi, atrodas starp t un b tajā pašā pusē kā 6, un tas ir labāks tuvinājums nekā b. Šo tangensu nosaka ar vienādojumu. Pieņemot, ka (3) y = 0, mēs atrodam Funkcijas Ekstrēmu funkciju izpēte ar augstākas kārtas atvasinājumu palīdzību Vienādojumu sakņu aprēķins ar akordu un pieskares metodēm Tādējādi ir Ļaujiet iepriekš norādīt saknes £ absolūtās aproksimācijas kļūdu C. Aj un 6 aptuveno vērtību absolūtajai kļūdai, saknei £, varam ņemt vērtību |6i - ai|. Ja šī kļūda ir lielāka par pieļaujamo, tad, ņemot segmentu par sākotnējo, mēs atrodam šādus saknes kur tuvinājumus. Turpinot šo procesu, mēs iegūstam divas aptuvenu vērtību secības.Sekvences (an) un (bn) ir monotoniskas un ierobežotas, un tāpēc tām ir robežas. Ļaujiet Var parādīt, ka, ja ir izpildīti iepriekš formulētie nosacījumi, 1 ir vienīgā vienādojuma sakne / Piemērs. Atrodiet sakni (vienādojumi r2 - 1 = 0 segmentā. Tādējādi ir izpildīti visi nosacījumi, kas nodrošina vienas saknes esamību (vienādojumi x2 - 1 = 0 segmentā . un metodei vajadzētu darboties. 8 mūsu gadījumā a = 0, b = 2. Kad n \u003d I no (4) un (5), mēs atrodam Kad n \u003d 2, mēs iegūstam to, kas dod tuvinājumu precīzai saknes vērtībai (ar absolūtu kļūdu), izmantojot augstākas kārtas atvasinājumus : Atbildes

Viens no svarīgākajiem diferenciālrēķina uzdevumiem ir vispārīgu piemēru izstrāde funkciju uzvedības izpētei.

Ja funkcija y \u003d f (x) ir nepārtraukta intervālā un tās atvasinājums ir pozitīvs vai vienāds ar 0 intervālā (a, b), tad y \u003d f (x) palielinās par (f "(x) 0). Ja funkcija y \u003d f (x) ir nepārtraukta segmentā un tās atvasinājums ir negatīvs vai vienāds ar 0 intervālā (a,b), tad y=f(x) samazinās par (f"( x)0)

Intervālus, kuros funkcija nesamazinās vai nepalielinās, sauc par funkcijas monotonitātes intervāliem. Funkcijas monotonitātes raksturs var mainīties tikai tajos tās definīcijas apgabala punktos, kuros mainās pirmā atvasinājuma zīme. Punktus, kuros funkcijas pirmais atvasinājums pazūd vai pārtrauc, sauc par kritiskajiem punktiem.

1. teorēma (1.pietiekams nosacījums ekstrēma pastāvēšanai).

Lai funkcija y=f(x) ir definēta punktā x 0 un ir tāda apkārtne δ>0, ka funkcija ir nepārtraukta segmentā, diferencējama intervālā (x 0 -δ, x 0)u( x 0 , x 0 + δ) , un tā atvasinājums saglabā nemainīgu zīmi katrā no šiem intervāliem. Tad, ja uz x 0 -δ, x 0) un (x 0, x 0 + δ) atvasinājuma zīmes ir atšķirīgas, tad x 0 ir galējības punkts, un, ja tie sakrīt, tad x 0 nav galējības punkts. . Turklāt, ja, ejot caur punktu x0, atvasinājums maina zīmi no plus uz mīnusu (pa kreisi no x 0 tiek izpildīts f "(x)> 0, tad x 0 ir maksimālais punkts; ja atvasinājums maina zīmi no mīnusa uz plusu (pa labi no x 0 izpilda f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Maksimālos un minimālos punktus sauc par funkcijas galējiem punktiem, bet funkcijas maksimumus un minimumus sauc par tās galējām vērtībām.

2. teorēma (nepieciešams kritērijs lokālajam ekstrēmam).

Ja funkcijai y=f(x) ir ekstrēmums pie strāvas x=x 0, tad vai nu f'(x 0)=0 vai f'(x 0) neeksistē.
Diferencējamas funkcijas galējos punktos tās grafika pieskare ir paralēla Ox asij.

Algoritms ekstrēma funkcijas izpētei:

1) Atrodiet funkcijas atvasinājumu.
2) Atrast kritiskos punktus, t.i. punkti, kur funkcija ir nepārtraukta un atvasinājums ir nulle vai neeksistē.
3) Apsveriet katra punkta apkārtni un pārbaudiet atvasinājuma zīmi pa kreisi un pa labi no šī punkta.
4) Nosakiet galējo punktu koordinātas, šai kritisko punktu vērtībai aizstājiet šo funkciju. Izmantojot pietiekami ekstrēmus nosacījumus, izdariet atbilstošus secinājumus.

18. piemērs. Izpētiet funkciju y=x 3 -9x 2 +24x

Risinājums.
1) y"=3x2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Pielīdzinot atvasinājumu nullei, atrodam x 1 =2, x 2 =4. Šajā gadījumā atvasinājums ir definēts visur; tātad, izņemot divus atrastos punktus, citu kritisko punktu nav.
3) Atvasinājuma y zīme "=3(x-2)(x-4) mainās atkarībā no intervāla, kā parādīts 1. attēlā. Izejot caur punktu x=2, atvasinājums maina zīmi no plus uz mīnusu, un ejot caur punktu x=4 - no mīnusa uz plusu.
4) Punktā x=2 funkcijai ir maksimālais y max =20, bet punktā x=4 - minimālais y min =16.

Teorēma 3. (2.pietiekams nosacījums ekstrēma pastāvēšanai).

Ļaujiet f "(x 0) un f "" (x 0) eksistēt punktā x 0. Ja f "" (x 0)> 0, tad x 0 ir minimālais punkts, un ja f "" (x 0) )<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

Segmentā funkcija y \u003d f (x) var sasniegt mazāko (vismaz) vai lielāko (maksimums) vērtību vai nu funkcijas kritiskajos punktos, kas atrodas intervālā (a; b), vai galos. no segmenta.

Algoritms nepārtrauktas funkcijas y=f(x) lielāko un mazāko vērtību atrašanai segmentā:

1) Atrodiet f "(x).
2) Atrodiet punktus, kuros f "(x) = 0 vai f" (x) - nepastāv, un atlasiet no tiem tos, kas atrodas segmentā.
3) Aprēķiniet funkcijas y \u003d f (x) vērtību 2. punktā iegūtajos punktos, kā arī segmenta galos un izvēlieties lielāko un mazāko no tiem: tie ir attiecīgi lielākie ( lielākām) un mazākajām (mazākajām) funkciju vērtībām intervālā .

19. piemērs. Atrodiet nepārtrauktas funkcijas y=x 3 -3x 2 -45+225 lielāko vērtību segmentā .

1) Segmentā ir y "=3x2 -6x-45
2) Atvasinājums y" pastāv visiem x. Atradīsim punktus, kur y"=0; mēs iegūstam:
3x2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 \u003d -3; x2=5
3) Aprēķiniet funkcijas vērtību punktos x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Nozarei pieder tikai punkts x=5. Lielākā no atrastajām funkcijas vērtībām ir 225, bet mazākā ir skaitlis 50. Tātad pie max = 225, pie max = 50.

Izliekuma funkcijas izpēte

Attēlā parādīti divu funkciju grafiki. Pirmais no tiem ir pagriezts ar izspiedumu uz augšu, otrais - ar izliekumu uz leju.

Funkcija y=f(x) ir nepārtraukta segmentā un diferencējama intervālā (a;b), tiek saukta par izliektu uz augšu (uz leju) šajā segmentā, ja axb gadījumā tās grafiks neatrodas augstāk (ne zemāk) par pieskare, kas novilkta jebkurā punktā M 0 (x 0 ;f(x 0)), kur axb.

4. teorēma. Lai funkcijai y=f(x) ir otrs atvasinājums jebkurā segmenta iekšējā punktā x un tā ir nepārtraukta šī segmenta galos. Tad, ja nevienādība f""(x)0 ir izpildīta intervālā (a;b), tad funkcija ir uz leju izliekta segmentā ; ja nevienādība f""(x)0 ir izpildīta intervālā (а;b), tad funkcija ir izliekta uz augšu uz .

5. teorēma. Ja funkcijai y \u003d f (x) ir otrs atvasinājums intervālā (a; b) un ja tā maina zīmi, ejot caur punktu x 0, tad M (x 0 ; f (x 0)) ir lēciena punkts.

Noteikums locījuma punktu atrašanai:

1) Atrodiet punktus, kur f""(x) nepastāv vai pazūd.
2) Pārbaudiet zīmi f""(x) pa kreisi un pa labi no katra punkta, kas atrasts pirmajā solī.
3) Pamatojoties uz 4. teorēmu, izdariet secinājumu.

20. piemērs. Atrodiet funkcijas grafika y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12 ekstrēmu punktus un lēciena punktus.

Mums ir f"(x)=12x3 -24x2 +12x=12x(x-1) 2. Acīmredzot f"(x)=0, ja x 1 =0, x 2 =1. Atvasinājums, ejot caur punktu x=0, maina zīmi no mīnusa uz plusu, un, ejot caur punktu x=1, zīmi nemaina. Tas nozīmē, ka x=0 ir minimālais punkts (y min =12), un punktā x=1 nav galējības. Tālāk mēs atrodam . Otrais atvasinājums pazūd punktos x 1 =1, x 2 =1/3. Otrā atvasinājuma zīmes mainās šādi: Uz stara (-∞;) mums ir f""(x)>0, uz intervāla (;1) mums ir f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Tāpēc x= ir funkcijas grafika lēciena punkts (pāreja no izliekuma uz leju uz izliekumu uz augšu), un x=1 ir arī lēciena punkts (pāreja no izliekuma uz augšu uz izliekumu uz leju). Ja x=, tad y= ; ja, tad x=1, y=13.

Algoritms grafa asimptota atrašanai

I. Ja y=f(x) kā x → a , tad x=a ir vertikālā asimptote.
II. Ja y=f(x) kā x → ∞ vai x → -∞, tad y=A ir horizontālā asimptote.
III. Lai atrastu slīpo asimptotu, mēs izmantojam šādu algoritmu:
1) Aprēķiniet. Ja robeža pastāv un ir vienāda ar b, tad y=b ir horizontālā asimptote; ja , tad pārejiet uz otro darbību.
2) Aprēķiniet. Ja šī robeža nepastāv, tad nav asimptota; ja tas pastāv un ir vienāds ar k, tad pārejiet uz trešo soli.
3) Aprēķiniet. Ja šī robeža nepastāv, tad nav asimptota; ja tas pastāv un ir vienāds ar b, tad pārejiet uz ceturto soli.
4) Pierakstiet slīpās asimptotes vienādojumu y=kx+b.

21. piemērs. Atrodiet funkcijas asimptotu

1)
2)
3)
4) Slīpam asimptota vienādojumam ir forma

Funkcijas izpētes shēma un tās grafika uzbūve

I. Atrodiet funkcijas domēnu.
II. Atrodiet funkcijas grafika krustošanās punktus ar koordinātu asīm.
III. Atrodiet asimptotus.
IV. Atrodiet iespējamās ekstremitātes punktus.
V. Atrodi kritiskos punktus.
VI. Izmantojot palīgzīmējumu, izpētiet pirmā un otrā atvasinājuma zīmi. Noteikt funkcijas pieauguma un samazināšanās apgabalus, atrast grafa izliekuma virzienu, ekstrēma punktus un lēciena punktus.
VII. Izveidojiet grafiku, ņemot vērā 1.–6. punktā veikto pētījumu.

22. piemērs. Uzzīmējiet funkciju grafiku saskaņā ar iepriekš minēto shēmu

Risinājums.
I. Funkcijas domēns ir visu reālo skaitļu kopa, izņemot x=1.
II. Tā kā vienādojumam x 2 +1=0 nav reālu sakņu, tad funkcijas grafikā nav krustošanās punktu ar Ox asi, bet tas krusto Oy asi punktā (0; -1).
III. Noskaidrosim jautājumu par asimptotu esamību. Mēs pētām funkcijas uzvedību pie pārtraukuma punkta x=1. Tā kā y → ∞ pie x → -∞, y → +∞ pie x → 1+, tad līnija x=1 ir funkcijas grafika vertikāla asimptote.
Ja x → +∞(x → -∞), tad y → +∞(y → -∞); tāpēc grafikā nav horizontālas asimptotes. Tālāk no robežu esamības

Atrisinot vienādojumu x 2 -2x-1=0, iegūstam divus iespējamās galējības punktus:
x 1 =1-√2 un x 2 =1+√2

V. Lai atrastu kritiskos punktus, mēs aprēķinām otro atvasinājumu:

Tā kā f""(x) nepazūd, nav kritisko punktu.
VI. Mēs pētām pirmā un otrā atvasinājuma zīmi. Iespējamie galējības punkti, kas jāņem vērā: x 1 =1-√2 un x 2 =1+√2, sadaliet funkcijas eksistences apgabalu intervālos (-∞;1-√2),(1-√2) ;1+√2) un (1+√2;+∞).

Katrā no šiem intervāliem atvasinājums saglabā savu zīmi: pirmajā - plus, otrajā - mīnuss, trešajā - plus. Pirmā atvasinājuma zīmju secība tiks rakstīta šādi: +, -, +.
Iegūstam, ka funkcija uz (-∞;1-√2) palielinās, uz (1-√2;1+√2) samazinās, un uz (1+√2;+∞) atkal palielinās. Ekstrēmuma punkti: maksimums pie x=1-√2, turklāt f(1-√2)=2-2√2 minimums pie x=1+√2, turklāt f(1+√2)=2+2√2. Uz (-∞;1) grafiks ir izliekts uz augšu, bet uz (1;+∞) - uz leju.
VII Veidosim iegūto vērtību tabulu

VIII Pamatojoties uz iegūtajiem datiem, veidojam funkcijas grafika skici

Funkcijas izpētes process sastāv no vairākiem posmiem. Lai iegūtu vispilnīgāko priekšstatu par funkcijas darbību un tās grafika raksturu, ir jāatrod:

Funkcijas apjoms.

Šis jēdziens ietver gan vērtību jomu, gan funkcijas darbības jomu.

Pārtraukuma punkti. (Ja tie ir pieejami).

Palielinājuma un samazinājuma intervāli.

Augstākie un zemākie punkti.

Funkcijas maksimālā un minimālā vērtība tās domēnā.

Izliekuma un ieliekuma zonas.

Līkuma punkti (ja tādi ir).

Asimptotes (ja tādas ir).

Grafika veidošana.

Izmantosim šo shēmu ar piemēru.

Piemērs. Izpētiet funkciju un izveidojiet tās grafiku.

Atrodiet funkcijas eksistences apgabalu. Ir skaidrs, ka definīcijas joma funkcija ir laukums (-; -1)  (-1; 1)  (1; ).

Savukārt redzams, ka taisnes x = 1, x = -1 ir vertikālās asimptotes greizs.

Vērtību apgabalsšīs funkcijas intervāls (-; ).

pārtraukuma punkti funkcijas ir punkti x=1, x=-1.

Mēs atradām kritiskie punkti.

Atradīsim funkcijas atvasinājumu

Kritiskie punkti: x = 0; x = -;x = ;x = -1; x = 1.

Atradīsim funkcijas otro atvasinājumu

Noteiksim līknes izliekumu un ieliekumu pa intervāliem.

- < x < -,y < 0, кривая выпуклая

-

1 < x < 0, y >0, līkne ieliekta

0 < x < 1, y < 0, кривая выпуклая

1 < x < ,y >0, līkne ieliekta

< x < , y >0, līkne ieliekta

Atšķirību atrašana pieaug un lejupejoša funkcijas. Lai to izdarītu, mēs nosakām funkcijas atvasinājuma zīmes uz intervāliem.

- < x < -,y >0, funkcija palielinās

-

1 < x < 0, y < 0, функция убывает

0 < x < 1, y < 0, функция убывает

1 < x < ,y < 0, функция убывает

< x < , y >0, funkcija palielinās

Var redzēt, ka punkts x = - ir punkts maksimums, un punkts x = ir punkts minimums. Funkciju vērtības šajos punktos ir attiecīgi 3/2 un -3/2.

Par vertikāli asimptoti jau teikts augstāk. Tagad atradīsim slīpi asimptoti.

Tātad, slīpā asimptota vienādojums ir y = x.

Celsim grafiks Iespējas:

Zemāk mēs aplūkojam vairākus pētījumu piemērus ar dažāda veida funkciju diferenciālrēķinu metodēm.

Piemērs: Diferenciālrēķinu metodes

1. Šīs funkcijas domēns ir visi reālie skaitļi (-; ).

3. Krustošanās punkti ar koordinātu asīm: ar Oy asi: x = 0; y=1;

ar Vērša asi: y = 0; x = 1;

4. Pārtraukuma punkti un asimptoti: vertikālu asimptotu nav.

Slīpi asimptoti: vispārējais vienādojums y = kx + b;

Kopā: y \u003d -x - slīpa asimptote.

5. Palielinošās un samazinošās funkcijas, ekstremālie punkti.

Var redzēt, ka у 0 jebkuram x  0, tāpēc funkcija samazinās visā definīcijas apgabalā un tai nav ekstrēmu. Punktā x = 0 funkcijas pirmais atvasinājums ir vienāds ar nulli, bet šajā brīdī samazinājums nemainās uz pieaugumu, tāpēc punktā x = 0 funkcijai, visticamāk, ir locījums. Lai atrastu lēciena punktus, mēs atrodam funkcijas otro atvasinājumu.

y = 0, ja x = 0, un y = , ja x = 1.

Punkti (0,1) un (1,0) ir lēciena punkti, jo y(1-h)< 0; y(1+h) >0; y(-h) > 0; y(h)< 0 для любого h > 0.

6. Izveidosim funkcijas grafiku.

Piemērs: Izpētiet funkciju un izveidojiet tās grafiku.

1. Funkcijas darbības joma ir visas x vērtības, izņemot x = 0.

2. Funkcija ir vispārīgas formas funkcija pāra un nepāra nozīmē.

3. Krustošanās punkti ar koordinātu asīm: ar Ox asi: y = 0; x=

ar Oy asi: x = 0; y neeksistē.

4. Punkts x \u003d 0 ir pārtraukuma punkts, tāpēc līnija x \u003d 0 ir vertikāla asimptote.

Slīpi asimptoti tiek meklēti formā: y = kx + b.

Slīpa asimptote y = x.

5. Atrodiet funkcijas galējos punktus.

; y = 0 pie x = 2, y =  pie x = 0.

y > 0 pie x  (-, 0) - funkcija palielinās,

y< 0 при х  (0, 2) – функция убывает,

y > 0 pie x  (2, ) – funkcija palielinās.

Tādējādi punkts (2, 3) ir minimālais punkts.

Lai noteiktu funkcijas izliekuma / ieliekuma raksturu, mēs atrodam otro atvasinājumu.

> 0 jebkuram x  0, tāpēc funkcija ir ieliekta visā definīcijas jomā.

6. Izveidosim funkcijas grafiku.

Piemērs: Izpētiet funkciju un izveidojiet tās grafiku.

Šīs funkcijas domēns ir intervāls x  (-, ).

Pāra un nepāra nozīmē funkcija ir vispārīgas formas funkcija.

Krustošanās punkti ar koordinātu asīm: ar Oy asi: x = 0, y = 0;

ar Vērša asi: y = 0, x = 0, x = 1.

Līknes asimptotes.

Nav vertikālu asimptotu.

Mēģināsim atrast slīpās asimptotes formā y = kx + b.

- nav slīpu asimptotu.

Ekstrēmu punktu atrašana.

Lai atrastu kritiskos punktus, jums jāatrisina vienādojums 4x 3 - 9x 2 + 6x -1 \u003d 0.

Lai to izdarītu, mēs sadalām šo trešās pakāpes polinomu faktoros.

Atlase var noteikt, ka viena no šī vienādojuma saknēm ir skaitlis

x = 1. Pēc tam:

4x 3 - 9x 2 + 6x - 1 x - 1

 4x 3 - 4x 2 4x 2 - 5x + 1

Tad mēs varam ierakstīt (x - 1) (4x 2 - 5x + 1) = 0. Visbeidzot, mēs iegūstam divus kritiskos punktus: x = 1 un x = ¼.

Piezīme. No dalīšanas polinomu darbības varētu izvairīties, ja, atrodot atvasinājumu, izmantotu reizinājuma atvasinājuma formulu:

Atradīsim funkcijas otro atvasinājumu: 12x 2 - 18x + 6. Pielīdzinot nullei, mēs atrodam:

Saņemto informāciju sistematizējam tabulā:

Izveidosim funkcijas grafiku.

Diemžēl ne visi studenti un skolēni zina un mīl algebru, bet katram ir jāgatavo mājas darbi, jārisina kontroldarbi un jākārto eksāmeni. Daudziem ir īpaši grūti atrast uzdevumus funkciju grafiku zīmēšanai: ja kaut kur kaut ko nesaproti, nepabeidz, palaid garām, kļūdas ir neizbēgamas. Bet kurš gan vēlas iegūt sliktas atzīmes?

Vai vēlaties pievienoties slāņu un neveiksminieku grupai? Lai to izdarītu, jums ir 2 veidi: apsēsties pie mācību grāmatām un aizpildīt nepilnības zināšanās vai izmantot virtuālo palīgu - pakalpojumu funkciju grafiku automātiskai uzzīmēšanai atbilstoši noteiktiem nosacījumiem. Ar lēmumu vai bez tā. Šodien mēs jūs iepazīstināsim ar dažiem no tiem.

Labākais vietnē Desmos.com ir ļoti pielāgojams interfeiss, interaktivitāte, iespēja sadalīt rezultātus tabulās un bez maksas bez laika ierobežojumiem saglabāt savu darbu resursu datubāzē. Un trūkums ir tas, ka pakalpojums nav pilnībā tulkots krievu valodā.

Grafikus.ru

Grafikus.ru ir vēl viens ievērības cienīgs krievu valodas diagrammu kalkulators. Turklāt viņš tās būvē ne tikai divdimensiju, bet arī trīsdimensiju telpā.

Šeit ir nepilnīgs to uzdevumu saraksts, ar kuriem šis pakalpojums veiksmīgi tiek galā:

• Vienkāršu funkciju 2D grafiku zīmēšana: līnijas, parabolas, hiperbolas, trigonometriskās, logaritmiskās u.c.
• Parametru funkciju 2D grafiku zīmēšana: apļi, spirāles, Lissajous figūras un citas.
• 2D grafiku zīmēšana polārajās koordinātēs.
• Vienkāršu funkciju 3D virsmu konstruēšana.
• Parametrisko funkciju 3D virsmu konstruēšana.

Gatavais rezultāts tiek atvērts atsevišķā logā. Lietotājam ir iespēja lejupielādēt, izdrukāt un kopēt saiti uz to. Attiecībā uz pēdējo jums būs jāpiesakās pakalpojumā, izmantojot sociālo tīklu pogas.

Grafikus.ru koordinātu plakne atbalsta asu robežu, to etiķešu, režģa atstarpju, kā arī pašas plaknes platuma un augstuma un fonta lieluma maiņu.

Grafikus.ru lielākā stiprā puse ir spēja izveidot 3D grafikus. Pretējā gadījumā tas darbojas ne sliktāk, ne labāk nekā analogie resursi.

Onlinecharts.ru

Onlinecharts.ru tiešsaistes palīgs neveido diagrammas, bet gan gandrīz visu esošo veidu diagrammas. Tostarp:

• Lineārs.
• Kolonnveida.
• Apļveida.
• ar reģioniem.
• Radiāls.
• XY diagrammas.
• Burbulis.
• Punkts.
• Polārie buļļi.
• Piramīdas.
• Spidometri.
• Kolonna-lineāra.

Resurss ir ļoti viegli lietojams. Diagrammas izskats (fona krāsa, režģis, līnijas, rādītāji, stūra forma, fonti, caurspīdīgums, speciālie efekti utt.) ir pilnībā lietotāja definēts. Ēkas datus var ievadīt vai nu manuāli, vai importēt no tabulas CSV failā, kas saglabāts datorā. Gatavais rezultāts ir pieejams lejupielādei datorā kā attēla, PDF, CSV vai SVG fails, kā arī saglabāšanai tiešsaistē ImageShack.Us fotoattēlu mitināšanā vai savā Onlinecharts.ru personīgajā kontā. Pirmo iespēju var izmantot visi, otro - tikai reģistrētie.

Atskaites punkti funkciju izpētē un to grafiku konstruēšanā ir raksturīgie punkti - pārtraukuma punkti, ekstrēma, lēciena, krustošanās ar koordinātu asīm. Ar diferenciālrēķina palīdzību ir iespējams noteikt funkciju izmaiņu raksturīgās pazīmes: pieaugumu un samazinājumu, maksimumus un minimumus, grafa izliekuma un ieliekuma virzienu, asimptotu klātbūtni.

Funkcijas grafa skici var (un vajag) ieskicēt pēc asimptotu un ekstrēmu punktu atrašanas, un ir ērti aizpildīt funkcijas izpētes kopsavilkuma tabulu pētījuma gaitā.

Parasti tiek izmantota šāda funkciju izpētes shēma.

1.Atrodiet funkcijas domēnu, nepārtrauktības intervālus un pārtraukuma punktus.

2.Pārbaudiet funkciju pāra vai nepāra (grafa aksiālā vai centrālā simetrija).

3.Atrodiet asimptotus (vertikāli, horizontāli vai slīpi).

4.Atrast un izpētīt funkcijas pieauguma un samazināšanās intervālus, tās galējības punktus.

5.Atrodiet līknes izliekuma un ieliekuma intervālus, tās lēciena punktus.

6.Atrodiet līknes krustošanās punktus ar koordinātu asīm, ja tādi ir.

7.Sastādiet pētījuma kopsavilkuma tabulu.

8.Izveidojiet grafiku, ņemot vērā funkcijas izpēti, kas veikta saskaņā ar iepriekš minētajiem punktiem.

Piemērs. Izpētiet funkciju

un uzzīmējiet to.

7. Izveidosim funkcijas izpētes kopsavilkuma tabulu, kurā ievadīsim visus raksturīgos punktus un intervālus starp tiem. Ņemot vērā funkcijas paritāti, mēs iegūstam šādu tabulu: