Lineāro vienādojumu sistēmu piemēri: risinājuma metode. Lineāru vienādojumu risināšana ar piemēriem Kā atrisināt vienādojumu sistēmu 3 mainīgos
2.3.1. Definīcija.
Ļaujiet dot lineāros vienādojumus:
a 1 x + b 1 y + c 1 z = d 1 , (2.3.1)
a 2 x + b 2 y + c 2 z = d 2 , (2.3.2)
a 3 x + b 3 y + c 3 z = d 3 . (2.3.3)
Ja ir jāatrod vispārīgs vienādojumu (2.3.1) ¾ (2.3.3) risinājums, tad viņi saka, ka tie veido sistēma . Sistēmu, kas sastāv no vienādojumiem (2.3.1.) ¾ (2.3.3.), apzīmē šādi:
Sistēmu veidojošo vienādojumu vispārīgo risinājumu sauc sistēmas risinājums . Atrisiniet sistēmu (2.3.4) ¾ tas nozīmē vai nu atrast visu tās risinājumu kopu, vai pierādīt, ka tādu nav.
Tāpat kā iepriekšējos gadījumos, tālāk mēs atradīsim nosacījumus, saskaņā ar kuriem sistēmai (2.3.4) ir unikāls risinājums, ir vairāk nekā viens risinājums un tai nav risinājuma.
2.3.2. Definīcija. Dota lineāro vienādojumu sistēma (2.3.4.). matricas
tiek saukti attiecīgi ( pamata )matrica un paplašināta matrica sistēmas.
2.3.3. Formas (2.3.4.) ekvivalento sistēmu definīcijas, kā arī 1. un 2. tipa elementārās transformācijas tiek ieviestas tāpat kā divu vienādojumu sistēmām ar diviem un trīs nezināmajiem.
Elementāra transformācija 3. sistēmas veids (2.3.4.) ir dažu divu šīs sistēmas vienādojumu apmaiņa. Līdzīgi kā iepriekšējos 2 vienādojumu sistēmu gadījumos sistēmas elementārpārveidojumos tiek iegūta sistēma,līdzvērtīgs šim.
2.3.4. Vingrinājums. Atrisiniet vienādojumu sistēmas:
Risinājums. a)
(1) Samainīts pirmais un otrais sistēmas vienādojums (3. tipa transformācija).
(2) pirmo vienādojumu, kas reizināts ar 4, atņem no otrā, un pirmo vienādojumu, kas reizināts ar 6, atņem no trešā (2. tipa transformācija); tādējādi nezināmais tika izslēgts no otrā un trešā vienādojuma x .
(3) Otrais vienādojums, kas reizināts ar 14, tiek atņemts no trešā; nezināmais tika izslēgts no trešā y .
(4) No pēdējā vienādojuma mēs atrodam z = 1, aizstājot kuru ar otro, mēs atrodam y = 0. Visbeidzot, aizvietošana y = 0 un z = 1 pirmajā vienādojumā, mēs atrodam x = -2.с
(1) Apmainīts pirmais un otrais sistēmas vienādojums.
(2) Pirmā vienādojuma reizumi 4 tiek atņemti no otrā, un pirmā vienādojuma reizumi 6 tiek atņemti no trešā.
(3) Otrais un trešais vienādojums sakrita. Mēs vienu no tiem izslēdzam no sistēmas (jeb, citiem vārdiem sakot, ja no trešā vienādojuma atņemam otro vienādojumu, tad trešais vienādojums pārvēršas par identitāti 0 = 0; tas tiek izslēgts no sistēmas. Mēs pieņemam z = a .
(4) Aizstājējs z = a otrajā un pirmajā vienādojumā.
(5) Aizstāšana y = 12 - 12a pirmajā vienādojumā, mēs atrodam x .
c) Ja pirmo vienādojumu dala ar 4 un trešo ¾ ar 6, tad mēs nonākam pie līdzvērtīgas sistēmas
kas ir līdzvērtīgs vienādojumam x - 2y - z = -3. Ir zināmi šī vienādojuma risinājumi (sk. 2.2.3. b) piemēru)
Pēdējā vienlīdzība iegūtajā sistēmā ir pretrunīga. Tāpēc sistēmai nav risinājumu.
Transformācijas (1) un (2) ¾ ir tieši tādas pašas kā atbilstošās sistēmas b))
(3) Atņemiet otro vienādojumu no pēdējā vienādojuma.
Atbilde: a) (-2; 0; 1);
b) (21.–23 a ; 12 - 12a ; a ), a Î R;
c) ((-3 + 2 a + b ; a ; b )|a , b Î R};
d) Sistēmai nav risinājumu.
2.3.5. No iepriekšējiem piemēriem izriet, ka sistēma ar trim nezināmajiem, kā arī sistēma ar diviem nezināmajiem, var būt tikai viens risinājums, bezgalīgs skaits risinājumu un nav viena risinājuma. Tālāk mēs analizēsim visus iespējamos gadījumus. Bet vispirms mēs ieviešam dažus apzīmējumus.
Ar D apzīmē sistēmas matricas determinantu:
Apzīmē ar D 1 determinantu, kas iegūts no D, aizstājot pirmo kolonnu ar brīvo locekļu kolonnu:
Līdzīgi liksim
D 2 = un D 3 = .
2.3.6. Teorēma. Ja D¹0, tad sistēma(2.3.4)ir vienīgais risinājums
, , . (2.3.5)
Tiek izsauktas formulas (2.3.5). formulas = = 0 visiem i ¹ j un vismaz viens no noteicošajiem faktoriem , , nav vienāds ar nulli, tad risinājumu sistēmai nav.
4) Ja = = = = = = 0 visiem i ¹ j , tad sistēmai ir bezgalīgi daudz risinājumu, atkarībā no diviem parametriem.
Sistēmai mēs veidojam galveno noteicošo faktoru
un aprēķiniet to.
Tad mēs izveidojam papildu determinantus
un aprēķināt tos.
Saskaņā ar Krāmera likumu sistēmas risinājums tiek atrasts pēc formulām
; 
;
, ja 
1)
Aprēķināsim:
Pēc Krāmera formulām mēs atrodam:
Atbilde: (1; 2; 3)
2)
Aprēķināsim:
Tā kā galvenais noteicējs 
, un vismaz viena papildu vērtība nav vienāda ar nulli (mūsu gadījumā 
), tad sistēmai nav risinājuma.
3)
Aprēķināsim:
Tā kā visi determinanti ir vienādi ar nulli, sistēmai ir bezgalīgs risinājumu kopums, ko var atrast šādi 
Atrisiniet savas sistēmas:
a) 
b) 
Atbilde: a) (1; 2; 5) b) 
;
;
Praktiskā nodarbība numur 3 par tēmu:
Divu vektoru skalārais reizinājums un tā pielietojums
1. Ja dota 
un 
, tad skalārais reizinājums tiek atrasts pēc formulas: 
∙
2. Ja, tad šo divu vektoru skalāro reizinājumu atrod pēc formulas
1. Doti divi vektori 
un 
Mēs atrodam viņu skalāro produktu šādi:
.
2. Doti divi vektori:
={2;3;–4}
={1;
–5; 6}
punktu produkts ir atrodams šādi:
3.
,
3.1. Pastāvīga spēka darba atrašana taisnā ceļa posmā
1) 15N spēka iedarbībā ķermenis ir pavirzījies taisnā līnijā par 2 metriem. Leņķis starp spēku un kustības virzienu =60 0 . Aprēķiniet darbu, ko veic spēks, lai pārvietotu ķermeni.
Ņemot vērā: 
Risinājums:
2) Ņemot vērā: 
Risinājums:
3) Ķermenis, kas pārvietots no punkta M(1; 2; 3) uz punktu N(5; 4; 6), iedarbojoties ar spēku 60N. Leņķis starp spēka virzienu un nobīdes vektoru =45 0 . Aprēķiniet šī spēka paveikto darbu.
Risinājums: atrodiet nobīdes vektoru 
Atrodiet nobīdes vektora moduli:
Pēc formulas 
atrast darbu:
3.2. Divu vektoru ortogonalitātes noteikšana
Divi vektori ir ortogonāli, ja 
, tas ir
jo 
1) 
- nav ortogonāls
2) 
- ortogonāls
3) Nosakiet, kuriem vektori 
un 
savstarpēji ortogonāli.
Jo 
, tad 
, nozīmē
Izlemiet paši:
a) 
. Atrodiet viņu skalāro reizinājumu.
b) Aprēķiniet, cik lielu darbu veic spēks 
, ja tā pielietojuma punkts, virzoties pa taisnu līniju, ir pārvietojies no punkta M (5; -6; 1) uz punktu N (1; -2; 3)
c) Nosakiet, vai vektori ir ortogonāli 
un
Atbildes: a) 1 b) 16 c) jā
3.3. Leņķa atrašana starp vektoriem
1)
. Atrast 
.
Mēs atradām 
pievienojiet formulā:
.
viens). Dotas trijstūra A(3; 2; -3), B(5; 1; -1), C(1; -2; 1) virsotnes. Atrodiet leņķi virsotnē A.
Aizstāt formulā: 
Izlemiet paši:
Dotas trijstūra A(3; 5; -2), B(5; 7; -1), C(4; 3; 0) virsotnes. Nosakiet iekšējo leņķi virsotnē A.
Atbilde: 90 o
Praktiskā nodarbība numur 4 par tēmu:
DIVU VEKTORU VEKTORPRODUKTS UN TĀ PIELIETOJUMS.
Formula divu vektoru krustojuma atrašanai:
|
|
|
|
|
ir forma |
||
1) Atrodiet vektorprodukta moduli:
Mēs sastādām determinantu un aprēķinām to (saskaņā ar Sarrus likumu vai teorēmu par determinanta paplašināšanu pirmās rindas elementu izteiksmē).
1. metode: saskaņā ar Sarrus likumu
2. veids: izvērsiet determinantu par pirmās rindas elementiem.
2) Atrodiet šķērsprodukta moduli:
4.1. UZ DIVIEM VEKTORIEM UZBŪVĒTAS PARALELOGRAMMAS LAIKA APRĒĶINS.
1) Aprēķiniet uz vektoriem veidota paralelograma laukumu
2). Atrodiet šķērsreizinājumu un tā moduli
4.2. Trijstūra laukuma APRĒĶINS
Piemērs: dotas trijstūra A(1; 0; -1), B(1; 2; 0), C(3; -1; 1) virsotnes. Aprēķiniet trīsstūra laukumu.
Vispirms noskaidrosim koordinātas diviem vektoriem, kas nāk no vienas virsotnes.
Atradīsim viņu vektorproduktu
4.3. DIVU VEKTORU KOLINEARITĀTES NOTEIKŠANA
Ja vektors 
un 
tad ir kolineāri
, t.i., vektoru koordinātām jābūt proporcionālām.
a) Vektoru dati:: 
,
.
Tie ir kolineāri, jo 
un
pēc katras frakcijas samazināšanas iegūst attiecību 
b) vektordati: 
.
Tie nav kolineāri, jo 
vai 
Izlemiet paši:
a) kādām vektora m un n vērtībām 
kolineārs?
Atbilde: 
;
b) Atrodi šķērsreizinājumu un tā moduli 
,
.
Atbilde: 
,
.
Praktiskā nodarbība numur 5 par tēmu:
TAISNIJA LIDMAJĀ
Uzdevuma numurs 1. Atrodiet vienādojumu taisnei, kas iet caur punktu A (-2; 3) paralēli taisnei 
1. Atrodiet taisnes slīpumu 
.
ir taisnas līnijas vienādojums ar slīpumu un sākotnējo ordinātu ( 
). Tāpēc 
.
2. Tā kā taisnes MN un AC ir paralēlas, to slīpumi ir vienādi, t.i. 
.
3. Lai atrastu taisnes AC vienādojumu, mēs izmantojam taisnes vienādojumu, kas iet caur punktu ar noteiktu slīpumu:
. Šajā formulā vietā 
un 
vietā aizvietojam punkta A koordinātas (-2; 3). 
aizstāsim - 3. Aizstāšanas rezultātā iegūstam:
Atbilde: 
Uzdevums numurs 2. Atrodiet vienādojumu taisnei, kas iet caur punktu K (1; -2) paralēli taisnei.
1. Atrodiet taisnes slīpumu.
Šis ir taisnas līnijas vispārīgais vienādojums, ko parasti sniedz formula. Salīdzinot vienādojumus, mēs atklājam, ka A \u003d 2, B \u003d -3. Vienādojuma dotās taisnes slīpums tiek atrasts pēc formulas 
. Šajā formulā aizstājot A = 2 un B = –3, iegūstam taisnes MN slīpumu. Tātad, 
.
2. Tā kā taisnes MN un KS ir paralēlas, to slīpumi ir vienādi: 
.
3. Lai atrastu taisnes KS vienādojumu, mēs izmantojam taisnes vienādojuma formulu, kas iet caur punktu ar noteiktu slīpumu 
. Šajā formulā vietā 
un 
vietā aizvietojam punkta K(–2; 3) koordinātas 
Uzdevums numurs 3. Atrodi vienādojumu taisnei, kas iet caur punktu K (–1; –3), kas ir perpendikulāra taisnei.
1. ir taisnas līnijas vispārīgais vienādojums, ko parasti sniedz formula.
un mēs atklājam, ka A = 3, B = 4.
Vienādojuma dotās taisnes slīpums tiek atrasts pēc formulas: 
. Šajā formulā aizstājot A = 3 un B = 4, iegūstam taisnes MN slīpumu: 
.
2. Tā kā līnijas MN un KD ir perpendikulāras, to slīpumi ir apgriezti proporcionāli un pretējā zīmē:
.
3. Lai atrastu taisnes KD vienādojumu, mēs izmantojam taisnes vienādojuma formulu, kas iet caur punktu ar noteiktu slīpumu
. Šajā formulā vietā 
un 
vietā aizvietojam punkta K(–1; –3) koordinātas 
aizstāsim. Aizstāšanas rezultātā mēs iegūstam:
Izlemiet paši:
1. Atrodiet vienādojumu taisnei, kas iet caur punktu K (–4; 1) paralēli taisnei 
.
Atbilde: 
.
2. Atrodiet vienādojumu taisnei, kas iet caur punktu K (5; -2) paralēli taisnei 
.
3. Atrodiet vienādojumu taisnei, kas iet caur punktu K (–2; –6), kas ir perpendikulāra taisnei 
.
4. Atrodiet vienādojumu taisnei, kas iet caur punktu K (7; -2), kas ir perpendikulāra taisnei 
.
Atbilde: 
.
5. Atrodiet vienādojumu perpendikulam, kas nomests no punkta K (–6; 7) uz taisni. 
.
Apsveriet trīs lineāru vienādojumu sistēmu ar trim nezināmajiem
11, 12, …, 33 ir nezināmo koeficienti,
b 1 , b 2 , b 3- bezmaksas dalībnieki.
Atrisināt sistēmu (2.4) nozīmē atrast šādu sakārtotu skaitļu trīskāršu x 1 = c 1, x 2 = c 2, x 3 \u003d c 3, aizvietojot tos sistēmas vienādojumos, pēdējie pārvēršas par identitātēm.
Tiek saukta vienādojumu sistēma, kurai ir atrisinājumi (viena vai bezgalīga kopa). locītavu, vienādojumu sistēma, kurai nav atrisinājumu, nesaderīgi.
Iesniegsim trīs metodes (2.4) sistēmas risināšanai.
Krāmera noteikums
Sastādiet sistēmas determinantu no nezināmo koeficientiem
(2.5)
Ja , tad sistēmai (2.4) ir unikāls risinājums, kas atrodams ar Krāmera formulām:
kur , , iegūst no determinanta, attiecīgi aizstājot pirmo, otro un trešo kolonnu ar sistēmas (2.4.) brīvo nosacījumu kolonnu.
(2.7)
7. piemērs Atrisiniet sistēmu 
Aprēķinām sistēmas (2.5) determinantu un determinantus , , (2.6).
tāpēc sistēmai ir unikāls risinājums.
Pēc Krāmera formulām (2.6) mēs atrodam:
Jūs varat veikt pārbaudi, aizstājot nezināmo vērtības sistēmas vienādojumos.
Tātad, x 1 \u003d x 2 \u003d x 3 \u003d 1 ir sistēmas risinājums.
Gausa metode
Apsveriet sistēmu (2.4):
Gausa metode, citādi nezināmo secīgas likvidēšanas metode, ir šāda. Izslēgt no sistēmas 2. un 3. vienādojuma x 1. Mēs iegūstam sistēmu:
Mēs iegūstam trīsstūrveida sistēmu. No 3. vienādojuma mēs atrodam x 3, aizstājot to ar 2. vienādojumu, mēs atrodam x2, tad no 1. vienādojuma atrodam x 1, aizstājot to x2 un x 3.
8. piemērs Atrisiniet sistēmu 
Pārkārtojam 3. un 1. vienādojumu tā, lai 1. vienādojumā koeficients pie x 1 bija vienāds ar 1.
Izslēgt x 1 no 2. un 3. vienādojuma. Lai to izdarītu, reiziniet 1. vienādojumu ar (-4) un pievienojiet to 2. vienādojumam; pēc tam reiziniet 1. vienādojumu ar (-6) un pievienojiet to 3. vienādojumam. Mēs iegūstam sistēmu:
Izslēgt x2 no 3. vienādojuma. Lai to izdarītu, reiziniet 2. vienādojumu ar (-13/10) un pievienojiet to 3. vienādojumam. Mēs iegūstam sistēmu:
No pēdējā vienādojuma mēs atrodam x 3= -1, mēs aizstājam ar 2. vienādojumu:
10x2 - 13(-1) = -7, -10x2 = - 20, x2 = 2.
Aizstāšana x2 un x 3 1. vienādojumā, mēs iegūstam
Tātad sistēmas risinājums ir: x 1 = 1, x2 = 2, x 3 = -1.
Sistēmas risinājums, izmantojot apgriezto matricu
Dotā sistēma: (2.8)
Izveidosim matricu BET no nezināmo koeficientu kolonnas matricas X– no nezināmajiem, matrica-kolonna AT- no brīvajiem dalībniekiem.
,
Sistēmu (2.8) matricas formā var ierakstīt šādi:
Lēmumu matrica X tiek atrasts pēc formulas:
A -1 ir matricas apgrieztā vērtība BET, tas sastāv no matricas elementu algebriskiem papildinājumiem BET pēc formulas (2.3):
– determinants vai matricas determinants BET, .
9. piemērs Atrisināt sistēmu:
Iepazīstinām ar matricām: 
,
Apgrieztā matrica tika aprēķināta 6. piemērā. Izmantojot formulu (2.9), mēs atrodam sistēmas risinājumu
Tātad, x 1=1, x2=1, x 3=1.
Vektoru algebras elementi
Vektors- virzīts segments; apzīmē ar vai . BET ir vektora sākums, AT- beigas.
Garums vai modulis vektoru apzīmē ar .
Rīsi. 21.
0xyz koordinātu telpā vektoru var attēlot kā
(3.1)
Šī formula dod vektora izvēršana bāzes izteiksmē vektori , , ; , , - vektora taisnstūrveida Dekarta koordinātas (pretējā gadījumā vektora projekcijas uz koordinātu asīm).
Formulu (3.1) var uzrakstīt šādi:
– vektoram ir koordinātes , , .
Garums vektora (modulis) tiek atrasts pēc formulas:
. (3.2)
Ja vektoru dod sākuma koordinātas A(x1,y1,z1) un beigas B(x2,y2,z2), tad koordinātas tiek atrastas pēc formulām:
Ja ir zināmi vektoru izvērsumi un pa koordinātu asīm, tad, saskaitot (atņemot) vektorus, tiek pievienotas (atņemtas) to vienāda nosaukuma koordinātas, vektoru reizinot ar skaitli, vektora koordinātas reizina ar šis numurs, t.i.
(3.4)
Punktu produkts vektori un , apzīmēts ar , ir skaitlis, kas vienāds ar šo vektoru garumu un starp tiem esošā leņķa kosinusa reizinājumu
. (3.5)
Ja tad
. (3.6)
Ja vektori un kolineārs(paralēli), tad
. (3.7)
Ja vektori un ortogonāls(perpendikulāri), tad
Or 
(3.8)
10. piemērs Doti punkti A 1(1,0,-1), A2(2,-1,1), A 3(0,1,-2). Izmantojot vektoru algebru, ņemot vērā, ko atrast:
1) vektoru koordinātas un .
Mēs izmantojam formulu (3.3):
2) Vektoru koordinātas
Izmantojot formulas (3.4) un (3.5), iegūstam
Or 
1.2. Saskaņā ar trijstūra likumu: , un vektora garums . Atbilde: 
3. Doti punkti A(0,-2,3), B(2,1,4), C(3,4,5). Atrast:
a) vektoru koordinātas (projekcijas) un
b) vektora koordinātas
c) vektora garums
4. Ir doti vektori. Atrodiet vektoru skalāro reizinājumu.
5. Pierādīt, ka vektori un ir kolineāri.
6. Pierādīt, ka vektori ir ortogonāli.
Lineāri vienādojumi (pirmās pakāpes vienādojumi) ar diviem nezināmajiem
1. definīcija. Lineārs vienādojums (pirmās pakāpes vienādojums) ar diviem nezināmajiem x un y nosauc vienādojumu, kas izskatās šādi
Risinājums. Izteiksim no vienādības (2) mainīgo y ar mainīgo x :
No formulas (3) izriet, ka visi formas skaitļu pāri
kur x ir jebkurš skaitlis.
Piezīme . Kā redzams no 1. piemēra risinājuma, vienādojumam (2) ir bezgala daudz risinājumu. Tomēr ir svarīgi to atzīmēt nevis kāds skaitļu pāris (x; y) ir šī vienādojuma risinājums. Lai iegūtu kādu (2) vienādojuma atrisinājumu, skaitli x var pieņemt kā jebkuru skaitli, un pēc tam skaitli y var aprēķināt, izmantojot formulu (3).
Divu lineāru vienādojumu sistēmas divos nezināmajos
3. definīcija. Divu lineāru vienādojumu sistēma ar diviem nezināmajiem x un y sauc par vienādojumu sistēmu ar formu
kur a 1 , b 1 , c 1 , a 2 , b 2 , c 2 tiek doti numuri.
4. definīcija. Vienādojumu sistēmā (4) skaitļi a 1 , b 1 , a 2 , b 2 tiek saukti un numuri c 1 , c 2 – bezmaksas dalībnieki.
5 . definīcija . Atrisinot vienādojumu sistēmu (4) nosauc skaitļu pāri x; y), kas ir atrisinājums gan vienam, gan otram sistēmas (4) vienādojumam.
6 . definīcija . Abas vienādojumu sistēmas sauc ekvivalents (ekvivalents), ja visi pirmās vienādojumu sistēmas risinājumi ir otrās sistēmas risinājumi, bet visi otrās sistēmas risinājumi ir pirmās sistēmas risinājumi.
Vienādojumu sistēmu līdzvērtība tiek apzīmēta ar simbolu ""
Tiek risinātas lineāro vienādojumu sistēmas, ar kuru palīdzību ilustrēsim ar piemēriem.
2. piemērs. Atrisiniet vienādojumu sistēmu
Risinājums. Lai atrisinātu sistēmu (5) mēs izslēdzam nezināmo no sistēmas otrā vienādojuma X .
Šim nolūkam mēs vispirms pārveidojam sistēmu (5) tādā formā, kurā koeficienti nezināmajam x sistēmas pirmajā un otrajā vienādojumā kļūst vienādi.
Ja sistēmas (5) pirmo vienādojumu reizina ar koeficientu pie x otrajā vienādojumā (skaitlis 7), bet otro vienādojumu reizina ar koeficientu pie x pirmajā vienādojumā (skaitlis 2), tad sistēma (5) pieņems formu
Tagad sistēmā (6) veiksim šādas transformācijas:
- atņemiet pirmo vienādojumu no otrā vienādojuma un aizstājiet sistēmas otro vienādojumu ar iegūto starpību.
Rezultātā sistēma (6) tiek pārveidota par līdzvērtīgu sistēmu
No otrā vienādojuma mēs atrodam y= 3 , un aizvietojot šo vērtību pirmajā vienādojumā, mēs iegūstam
Atbilde . (-2 ; 3) .
3. piemērs. Atrodiet visas parametra p vērtības, kurām vienādojumu sistēma
a) ir unikāls risinājums;
b) ir bezgalīgi daudz risinājumu;
iekšā) nav risinājumu.
Risinājums. Izsakot x ar y no sistēmas (7) otrā vienādojuma un aizstājot iegūto izteiksmi x vietā pirmajā sistēmas (7) vienādojumā, mēs iegūstam
Izpētīsim sistēmas (8) risinājumus atkarībā no parametra p vērtībām. Lai to izdarītu, vispirms apsveram sistēmas (8) pirmo vienādojumu:
| y (2 - lpp) (2 + lpp) = 2 + lpp | (9) |
Ja 
, tad vienādojumam (9) ir unikāls risinājums
Tādējādi gadījumā, kad , sistēma (7) ir vienīgais risinājums
Ja lpp= - 2 , tad vienādojums (9) iegūst formu
un tā risinājums ir jebkurš skaitlis 
. Tāpēc sistēmas (7) risinājums ir bezgalīgs komplekts visi skaitļu pāri
,
kur y ir jebkurš skaitlis.
Ja lpp= 2 , tad vienādojums (9) iegūst formu
un tai nav risinājumu, no kurienes izriet šī sistēma (7) nav risinājumu.
Trīs lineāro vienādojumu sistēmas trīs nezināmajos
7. definīcija. Trīs lineāru vienādojumu sistēma ar trim nezināmajiem x , y un z izsauc vienādojumu sistēmu ar formu
kur a 1 , b 1 , c 1 , d 1 , a 2 , b 2 , c 2 , d 2 , a 3 , b 3 , c 3 , d 3 tiek doti numuri.
8 . definīcija . Vienādojumu sistēmā (10) skaitļi a 1 , b 1 , c 1 , a 2 , b 2 , c 2 , a 3 , b 3 , c 3 sauca koeficienti pie nezināmiem, un skaitļi d 1 , d 2 , d 3 – bezmaksas dalībnieki.
9 . definīcija . Atrisinot vienādojumu sistēmu (10) nosauc skaitļu trio (x; y ; z) , aizvietojot tos katrā no trim sistēmas (10) vienādojumiem, tiek iegūta pareizā vienādība.
4. piemērs. Atrisiniet vienādojumu sistēmu
Risinājums. Mēs atrisināsim sistēmu (11), izmantojot secīgas nezināmo novēršanas metode.
Šim nolūkam, pirmkārt mēs izslēdzam nezināmo no sistēmas otrā un trešā vienādojuma y, sistēmā (11) veicot šādas transformācijas:
- sistēmas pirmo vienādojumu atstājam nemainītu;
- pievieno pirmo vienādojumu otrajam vienādojumam un aizstāj otro sistēmas vienādojumu ar iegūto summu;
- atņemiet pirmo vienādojumu no trešā vienādojuma un aizstājiet sistēmas trešo vienādojumu ar iegūto starpību.
Rezultātā sistēma (11) tiek pārveidota par
Vienādojums ar vienu nezināmo, kas pēc iekavas atvēršanas un līdzīgu terminu samazināšanas iegūst formu
cirvis + b = 0, kur a un b ir patvaļīgi skaitļi, tiek izsaukts lineārais vienādojums ar vienu nezināmo. Šodien mēs izdomāsim, kā atrisināt šos lineāros vienādojumus.
Piemēram, visi vienādojumi:
2x + 3 \u003d 7 - 0,5x; 0,3x = 0; x / 2 + 3 \u003d 1/2 (x - 2) - lineārs.
Tiek saukta nezināmā vērtība, kas vienādojumu pārvērš patiesā vienādībā lēmumu vai vienādojuma sakne .
Piemēram, ja vienādojumā 3x + 7 \u003d 13 nezināmā x vietā aizvietojam skaitli 2, tad iegūstam pareizo vienādību 3 2 + 7 \u003d 13. Tas nozīmē, ka vērtība x \u003d 2 ir risinājums. vai vienādojuma sakne.
Un vērtība x \u003d 3 nepārvērš vienādojumu 3x + 7 \u003d 13 par patiesu vienādību, jo 3 2 + 7 ≠ 13. Tāpēc vērtība x \u003d 3 nav vienādojuma risinājums vai sakne.
Jebkuru lineāro vienādojumu atrisinājums tiek reducēts līdz formas vienādojumu atrisinājumam
cirvis + b = 0.
Pārnesam brīvo terminu no vienādojuma kreisās puses uz labo, mainot zīmi b priekšā uz pretējo, iegūstam
Ja a ≠ 0, tad x = – b/a .
1. piemērs Atrisiniet vienādojumu 3x + 2 =11.
Mēs pārnesam 2 no vienādojuma kreisās puses uz labo, mainot zīmi 2 priekšā uz pretējo, mēs iegūstam
3x \u003d 11 - 2.
Tad veiksim atņemšanu
3x = 9.
Lai atrastu x, reizinājums ir jāsadala ar zināmu koeficientu, tas ir,
x = 9:3.
Tātad vērtība x = 3 ir vienādojuma risinājums vai sakne.
Atbilde: x = 3.
Ja a = 0 un b = 0, tad iegūstam vienādojumu 0x \u003d 0. Šim vienādojumam ir bezgala daudz atrisinājumu, jo, reizinot jebkuru skaitli ar 0, mēs iegūstam 0, bet arī b ir 0. Šī vienādojuma risinājums ir jebkurš skaitlis.
2. piemērs Atrisiniet vienādojumu 5(x - 3) + 2 = 3 (x - 4) + 2x - 1.
Izvērsīsim iekavas:
5x - 15 + 2 \u003d 3x - 12 + 2x - 1.
5x - 3x - 2x \u003d - 12 - 1 + 15 - 2.
Šeit ir līdzīgi dalībnieki:
0x = 0.
Atbilde: x ir jebkurš skaitlis.
Ja a = 0 un b ≠ 0, tad iegūstam vienādojumu 0x = - b. Šim vienādojumam nav atrisinājumu, jo, reizinot jebkuru skaitli ar 0, mēs iegūstam 0, bet b ≠ 0.
3. piemērs Atrisiniet vienādojumu x + 8 = x + 5.
Sagrupēsim terminus, kas satur nezināmus kreisajā pusē, un brīvos terminus labajā pusē:
x - x \u003d 5 - 8.
Šeit ir līdzīgi dalībnieki:
0x = - 3.
Atbilde: nav risinājumu.
Uz 1. attēls parādīta lineārā vienādojuma risināšanas shēma
Sastādām vispārīgu shēmu vienādojumu atrisināšanai ar vienu mainīgo. Apsveriet 4. piemēra risinājumu.
4. piemērs Atrisināsim vienādojumu
1) Reiziniet visus vienādojuma nosacījumus ar saucēju mazāko kopīgo daudzkārtni, kas vienāds ar 12.
2) Pēc samazināšanas mēs iegūstam
4 (x - 4) + 3 2 (x + 1) - 12 = 6 5 (x - 3) + 24x - 2 (11x + 43)
3) Lai atdalītu dalībniekus, kas satur nezināmus un brīvus dalībniekus, atveriet iekavas:
4x - 16 + 6x + 6 - 12 \u003d 30x - 90 + 24x - 22x - 86.
4) Mēs sagrupējam vienā daļā terminus, kas satur nezināmos, bet otrā - brīvos terminus:
4x + 6x - 30x - 24x + 22x \u003d - 90 - 86 + 16 - 6 + 12.
5) Šeit ir līdzīgi dalībnieki:
- 22x = - 154.
6) Sadaliet ar - 22, mēs iegūstam
x = 7.
Kā redzat, vienādojuma sakne ir septiņi.
Vispār tādi vienādojumus var atrisināt šādi:
a) izveido vienādojumu vesela skaitļa formā;
b) atvērtas iekavas;
c) grupē vienādojuma daļā vārdus, kas satur nezināmo, bet otrā – brīvos terminus;
d) atvest līdzīgus biedrus;
e) atrisiniet vienādojumu formā aх = b, kas iegūts pēc līdzīgu terminu ienesšanas.
Tomēr šī shēma nav nepieciešama katram vienādojumam. Risinot daudzus vienkāršākus vienādojumus, jāsāk nevis no pirmā, bet gan no otrā ( Piemērs. 2), trešais ( Piemērs. 13) un pat no piektā posma, kā 5. piemērā.
5. piemērs Atrisiniet vienādojumu 2x = 1/4.
Mēs atrodam nezināmo x \u003d 1/4: 2,
x = 1/8 .
Apsveriet dažu lineāro vienādojumu risinājumu, kas radās galvenajā valsts eksāmenā.
6. piemērs Atrisiniet vienādojumu 2 (x + 3) = 5 - 6x.
2x + 6 = 5 - 6x
2x + 6x = 5 - 6
Atbilde: - 0,125
7. piemērs Atrisiniet vienādojumu - 6 (5 - 3x) \u003d 8x - 7.
– 30 + 18x = 8x – 7
18x - 8x = - 7 +30
Atbilde: 2.3
8. piemērs Atrisiniet vienādojumu
3 (3x - 4) = 4 7x + 24
9x - 12 = 28x + 24
9x - 28x = 24 + 12
9. piemērs Atrodiet f(6), ja f (x + 2) = 3 7
Risinājums
Tā kā mums ir jāatrod f (6), un mēs zinām f (x + 2),
tad x + 2 = 6.
Mēs atrisinām lineāro vienādojumu x + 2 = 6,
mēs iegūstam x \u003d 6 - 2, x \u003d 4.
Ja x = 4, tad
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27
Atbilde: 27.
Ja vēl ir jautājumi, ir vēlme izprast vienādojumu atrisinājumu pamatīgāk, pieraksties uz manām nodarbībām GRAFIKSĀ. Es ar prieku jums palīdzēšu!
TutorOnline arī iesaka noskatīties jaunu mūsu pasniedzējas Olgas Aleksandrovnas video pamācību, kas palīdzēs izprast gan lineāros vienādojumus, gan citus.
vietne, pilnībā vai daļēji kopējot materiālu, ir nepieciešama saite uz avotu.