Atrodiet tiešsaistē otros daļējos atvasinājumus. Trīs mainīgo funkcijas otrās kārtas daļējie atvasinājumi
Vairāku mainīgo funkciju daļējie atvasinājumi ir vienu un to pašu mainīgo funkcijas. Šīm funkcijām savukārt var būt parciālie atvasinājumi, kurus sauksim par oriģinālās funkcijas otrajiem parciālajiem atvasinājumiem (vai otrās kārtas parciālajiem atvasinājumiem).
Tā, piemēram, divu mainīgo funkcijai ir četri otrās kārtas daļēji atvasinājumi, kas tiek definēti un apzīmēti šādi:
Trīs mainīgo funkcijai ir deviņi otrās kārtas daļēji atvasinājumi:
Līdzīgi tiek definēti un apzīmēti vairāku mainīgo funkcijas trešās un augstākās kārtas parciālie atvasinājumi: vairāku mainīgo funkcijas kārtas parciālais atvasinājums ir daļējas kārtas atvasinājuma pirmās kārtas parciālais atvasinājums. tā pati funkcija.
Piemēram, funkcijas trešās kārtas daļējais atvasinājums ir pirmās kārtas daļējais atvasinājums attiecībā pret otrās kārtas daļējo atvasinājumu y.
Otru vai augstāku daļēju atvasinājumu, kas ņemts attiecībā uz vairākiem dažādiem mainīgajiem, sauc par jauktu daļēju atvasinājumu.
Piemēram, daļēji atvasinājumi
ir divu mainīgo funkcijas jaukti daļēji atvasinājumi.
Piemērs. Atrodiet funkcijas otrās kārtas jauktos daļējos atvasinājumus
Risinājums. Pirmās kārtas daļējo atvasinājumu atrašana
Tad atrodam otrās kārtas jauktos daļējos atvasinājumus
Redzam, ka jauktie parciālie atvasinājumi, kas atšķiras tikai diferenciācijas secībā, t.i., secībā, kādā tiek veikta diferencēšana attiecībā pret dažādiem mainīgajiem, izrādījās identiski vienādi. Šis rezultāts nav nejaušs. Attiecībā uz jauktiem daļējiem atvasinājumiem spēkā ir šāda teorēma, kuru mēs pieņemam bez pierādījumiem.
Turpinām iemīļoto matemātiskās analīzes tēmu – atvasinājumi. Šajā rakstā mēs uzzināsim, kā to atrast trīs mainīgo funkcijas daļējie atvasinājumi: pirmie atvasinājumi un otrie atvasinājumi. Kas jāzina un jāprot apgūt materiāls? Neticiet tam, bet, pirmkārt, jums ir jāspēj atrast viena mainīgā funkcijas "parastos" atvasinājumus - augstā vai vismaz vidējā līmenī. Ja tas ir ļoti saspringts ar viņiem, sāciet ar nodarbību Kā atrast atvasinājumu? Otrkārt, ir ļoti svarīgi izlasīt rakstu un saprast un atrisināt, ja ne visus, tad lielāko daļu piemēru. Ja tas jau ir izdarīts, tad staigājiet ar mani ar pārliecinošu gaitu, būs interesanti, jūs pat gūsit baudu!
Meklēšanas metodes un principi trīs mainīgo funkcijas daļējie atvasinājumi patiesībā ir ļoti līdzīgas divu mainīgo daļējām atvasinātajām funkcijām. Atgādinu, ka divu mainīgo funkcijai ir forma , kur "x" un "y" ir neatkarīgi mainīgie. Ģeometriski divu mainīgo funkcija ir noteikta virsma mūsu trīsdimensiju telpā.
Trīs mainīgo funkcijai ir forma , savukārt mainīgie tiek saukti neatkarīgsmainīgie vai argumentus, tiek izsaukts mainīgais atkarīgais mainīgais vai funkcija. Piemēram: - trīs mainīgo funkcija
Un tagad nedaudz par zinātniskās fantastikas filmām un citplanētiešiem. Jūs bieži dzirdat par 4D, 5D, 10D utt. atstarpes. Muļķības vai nē?
Galu galā trīs mainīgo funkcija nozīmē faktu, ka visas lietas notiek četrdimensiju telpā (patiesi, ir četri mainīgie). Trīs mainīgo funkcijas grafiks ir t.s hipervirsma. To nav iespējams iedomāties, jo mēs dzīvojam trīsdimensiju telpā (garums/platums/augstums). Lai jums ar mani nebūtu garlaicīgi, piedāvāju viktorīnu. Es uzdošu dažus jautājumus, un tie, kas vēlas, var mēģināt uz tiem atbildēt:
– Vai pasaulē ir ceturtais, piektais utt.? mērījumi filistiskās telpas izpratnes izpratnē (garums/platums/augstums)?
- Vai ir iespējams uzbūvēt četrdimensiju, piecdimensiju utt. telpa šī vārda plašā nozīmē? Tas ir, lai sniegtu piemēru šādai telpai mūsu dzīvē.
Vai ir iespējams ceļot pagātnē?
Vai ir iespējams ceļot uz nākotni?
- Vai citplanētieši eksistē?
Uz jebkuru jautājumu varat izvēlēties vienu no četrām atbildēm:
Jā / Nē (zinātne to aizliedz) / Zinātne neaizliedz / Nezinu
Kurš pareizi atbild uz visiem jautājumiem, tam, visticamāk, kaut kas pieder ;-)
Nodarbības laikā pamazām sniegšu atbildes uz jautājumiem, piemērus nepalaid garām!
Patiesībā viņi lidoja. Un tagad labās ziņas: trīs mainīgo funkcijai ir spēkā diferenciācijas noteikumi un atvasinājumu tabula. Tāpēc jums ir labi jāpārvalda "parastais" funkciju atvasinājumi viens mainīgais. Ir ļoti maz atšķirību!
1. piemērs
Risinājums: Ir viegli uzminēt, ka trīs mainīgo funkcijai ir trīs pirmās kārtas daļējie atvasinājumi, kurus apzīmē šādi:
Vai - "x" daļējs atvasinājums;
vai - daļējs atvasinājums attiecībā uz "y";
vai - daļējs atvasinājums attiecībā uz "z".
Vairāk tiek lietots apzīmējums ar triepienu, bet krājumu, rokasgrāmatu sastādītāji uzdevumu nosacījumos ļoti mīl izmantot vienkārši apgrūtinošus apzīmējumus - tā ka nepazūdiet! Varbūt ne visi zina, kā pareizi nolasīt šīs "briesmīgās frakcijas". Piemērs: jālasa šādi: “de u po de x”.
Sāksim ar x-atvasinājumu: . Kad atrodam daļējo atvasinājumu attiecībā uz , tad mainīgie un tiek uzskatīti par konstantēm (konstantiem skaitļiem). Un jebkuras konstantes atvasinājums, ak, žēlastība, ir vienāds ar nulli:
Nekavējoties pievērsiet uzmanību apakšindeksam - neviens neaizliedz atzīmēt, ka tie ir konstantes. Tas ir vēl ērtāk, iesācējiem iesaku izmantot tieši šādu ierakstu, ir mazāks sajaukšanas risks.
(1) Izmantojam atvasinājuma linearitātes īpašības, jo īpaši no atvasinājuma zīmes izņemam visas konstantes. Lūdzu, ņemiet vērā, ka otrajā termiņā konstante nav jāizņem: tā kā “y” ir konstante, tad tā ir arī konstante. Terminā "parastā" konstante 8 un konstante "zet" tiek izņemtas no atvasinājuma zīmes.
(2) Mēs atrodam vienkāršākos atvasinājumus, neaizmirstot, ka tie ir konstantes. Tālāk ķemmējiet atbildi.
Daļējs atvasinājums. Kad mēs atrodam daļējo atvasinājumu attiecībā uz "y", tad mainīgie un tiek uzskatītas par konstantēm:
(1) Mēs izmantojam linearitātes īpašības. Un atkal ņemiet vērā, ka termini ir konstantes, kas nozīmē, ka atvasinājuma zīmei nekas nav jāizņem.
(2) Mēs atrodam atvasinājumus, neaizmirstot, ka konstantes. Vienkāršosim atbildi.
Un visbeidzot, daļējais atvasinājums. Kad mēs atrodam daļējo atvasinājumu attiecībā uz "z", tad mainīgie un tiek uzskatītas par konstantēm:
Vispārējs noteikums acīmredzams un nepretenciozs: Kad atrodam daļējo atvasinājumujebkuram neatkarīgais mainīgais, taddivi citi neatkarīgi mainīgie tiek uzskatīti par konstantēm.
Izstrādājot šos uzdevumus, jums jābūt īpaši uzmanīgiem, jo īpaši nevar zaudēt abonementus(kas norāda, uz kuru mainīgo tiek veikta diferenciācija). Indeksa zaudēšana būs LIELA VAINĪBA. Hmmm… jocīgi, ja pēc tādas iebiedēšanas man pašam tās kaut kur pietrūks)
2. piemērs
Atrodiet trīs mainīgo funkcijas pirmās kārtas daļējos atvasinājumus
Šis ir “dari pats” piemērs. Pilns risinājums un atbilde nodarbības beigās.
Abi aplūkotie piemēri ir diezgan vienkārši, un, atrisinot vairākas līdzīgas problēmas, pat tējkanna pielāgosies, lai tās verbāli apkarotu.
Lai izlādētos, atgriezīsimies pie viktorīnas pirmā jautājuma: Vai pasaulē ir ceturtais, piektais utt.? mērījumi filistiskās telpas izpratnes izpratnē (garums/platums/augstums)?
Pareizā atbilde: Zinātne to neaizliedz.. Visa fundamentālā matemātiskā aksiomātika, teorēmas, matemātiskais aparāts ir skaisti un konsekventi strādāt jebkuras dimensijas telpā. Iespējams, ka kaut kur Visumā ir mūsu prātam nepakļautas hipervirsmas, piemēram, četrdimensiju hipervirsma, ko dod trīs mainīgo funkcija. Vai varbūt mums blakus ir hipervirsmas vai pat mēs tajās esam taisni, tikai mūsu redze, citi maņu orgāni, apziņa spēj uztvert un aptvert tikai trīs dimensijas.
Atgriezīsimies pie piemēriem. Jā, ja kāds ir ļoti noslogots ar viktorīnu, labāk ir izlasīt atbildes uz tālāk norādītajiem jautājumiem pēc tam, kad esat iemācījies atrast trīs mainīgo funkcijas daļējos atvasinājumus, pretējā gadījumā es jums izņemšu visas smadzenes raksta gaita =)
Papildus vienkāršākajiem piemēriem 1,2, praksē ir uzdevumi, kurus var saukt par nelielu mīklu. Šādi piemēri, man par kairinājumu, izkrita no redzesloka, kad es veidoju nodarbību. Divu mainīgo funkciju daļējie atvasinājumi. Zaudētā laika atlīdzināšana:
3. piemērs
Risinājums:Šķiet, ka “viss ir vienkārši”, taču pirmais iespaids ir mānīgs. Atrodot daļējus atvasinājumus, daudzi uzminēs kafijas biezumus un kļūdīsies.
Konsekventi, skaidri un skaidri analizēsim piemēru.
Sāksim ar daļējo atvasinājumu attiecībā pret x. Kad mēs atrodam daļējo atvasinājumu attiecībā uz "x", tad mainīgie tiek uzskatīti par konstantēm. Tāpēc arī mūsu funkcijas indekss ir konstante. Manekeniem es iesaku šādu risinājumu: uzmetumā mainiet konstanti uz noteiktu pozitīvu veselu skaitli, piemēram, uz “pieci”. Rezultāts ir viena mainīgā funkcija:
vai arī varat to uzrakstīt šādi:
to jauda funkcija ar sarežģītu bāzi (sinusu). Autors:
Tagad atcerieties, ka šādi:
Uz tīras kopijas, protams, risinājums būtu jāsagatavo šādi:
Mēs atrodam daļējo atvasinājumu attiecībā uz "y", tos uzskata par konstantēm. Ja "x" ir konstante, tad tā ir arī konstante. Uzmetumā mēs darām to pašu triku: aizstājam, piemēram, ar 3, "Z" - mēs to aizstāsim ar to pašu "pieci". Rezultāts atkal ir viena mainīgā funkcija:
to demonstrācija funkcija ar kompleksu eksponentu. Autors sarežģītas funkcijas diferenciācijas noteikums:
Tagad atcerieties mūsu nomaiņu:
Pa šo ceļu:
Uz tīras kopijas, protams, dizainam vajadzētu izskatīties jauki:
Un spoguļa korpuss ar daļēju atvasinājumu attiecībā uz "z" (- konstantes):
Ar zināmu pieredzi analīzi var veikt garīgi.
Mēs veicam otro uzdevuma daļu - sastādam pirmās kārtas diferenciāli. Tas ir ļoti vienkārši, pēc analoģijas ar divu mainīgo funkciju, pirmās kārtas diferenciālis tiek uzrakstīts pēc formulas:
Šajā gadījumā:
Un tad bizness. Es atzīmēju, ka praktiskajās problēmās trīs mainīgo funkcijas 1. kārtas pilna diferenciālis ir jākompilē daudz retāk nekā divu mainīgo funkcijai.
Jautrs piemērs risinājumam, ko dari pats:
4. piemērs
Atrodiet trīs mainīgo funkcijas pirmās kārtas daļējos atvasinājumus un izveidojiet pirmās kārtas kopējo diferenciāli
Pilns risinājums un atbilde nodarbības beigās. Ja rodas grūtības, izmantojiet apskatīto "čaņikova" algoritmu, tas noteikti palīdzēs. Un vēl viens noderīgs padoms - nesteidzies. Tādus piemērus ātri neatrisinu pat es.
Mēs novirzāmies un analizējam otro jautājumu: vai ir iespējams izveidot četrdimensiju, piecdimensiju utt. telpa šī vārda plašā nozīmē? Tas ir, lai sniegtu piemēru šādai telpai mūsu dzīvē.
Pareizā atbilde: Jā. Un tas ir ļoti vienkārši. Piemēram, garumam/platumam/augstumam pievienojam ceturto dimensiju – laiku. Populārā četrdimensiju laiktelpa un labi zināmā relativitātes teorija, ko Einšteins rūpīgi nozaga no Lobačevska, Puankarē, Lorenca un Minkovska. Arī ne visi zina. Kāpēc Einšteins saņēma Nobela prēmiju? Zinātniskajā pasaulē bija briesmīgs skandāls, un Nobela komiteja plaģiāta nopelnu formulēja šādi: "Par vispārējo ieguldījumu fizikas attīstībā." Tā nu tas arī viss. Einšteina C kategorijas zīmols ir tikai reklāma un PR.
Apskatāmajai četrdimensiju telpai ir viegli pievienot piekto dimensiju, piemēram: atmosfēras spiedienu. Un tā tālāk, tā tālāk, tā tālāk, cik dimensiju iestatīsiet savā modelī - to būs tik daudz. Šī vārda plašā nozīmē mēs dzīvojam daudzdimensionālā telpā.
Apskatīsim vēl dažus tipiskus uzdevumus:
5. piemērs
Atrodiet pirmās kārtas daļējos atvasinājumus punktā
Risinājums: Praksē bieži sastopams uzdevums šajā formulējumā, un tas ietver šādas divas darbības:
– jāatrod pirmās kārtas daļējie atvasinājumi;
– jāaprēķina 1. kārtas daļējo atvasinājumu vērtības punktā .
Mēs nolemjam:
(1) Mums ir sarežģīta funkcija, un pirmais solis ir ņemt loka tangensas atvasinājumu. To darot, mēs faktiski mierīgi lietojam tabulas formulu loka tangensas atvasinājumam. Autors sarežģītas funkcijas diferenciācijas noteikums rezultāts jāreizina ar iekšējās funkcijas (iegulšanas) atvasinājumu: .
(2) Mēs izmantojam linearitātes īpašības.
(3) Un mēs ņemam atlikušos atvasinājumus, neaizmirstot, ka tie ir konstantes.
Atbilstoši piešķiršanas nosacījumam ir jāatrod atrastā daļējā atvasinājuma vērtība punktā . Atrastajā atvasinājumā aizstājiet punkta koordinātas:
Šī uzdevuma priekšrocība ir tā, ka citi daļējie atvasinājumi tiek atrasti ļoti līdzīgā veidā:
Kā redzat, risinājuma veidne ir gandrīz tāda pati.
Aprēķināsim atrastā daļējā atvasinājuma vērtību punktā:
Un visbeidzot, atvasinājums attiecībā uz "z":
Gatavs. Risinājumu var formulēt arī citā veidā: vispirms atrodiet visus trīs daļējos atvasinājumus un pēc tam aprēķiniet to vērtības punktā . Bet, man šķiet, iepriekš minētā metode ir ērtāka - viņi vienkārši atrada daļējo atvasinājumu un nekavējoties, neizejot no kases, aprēķināja tā vērtību kādā punktā.
Interesanti atzīmēt, ka ģeometriski punkts ir ļoti reāls punkts mūsu trīsdimensiju telpā. Funkcijas vērtības, atvasinājumi jau ir ceturtā dimensija, un neviens nezina, kur tā ģeometriski atrodas. Kā saka, neviens ar mērlenti nerāpoja pa Visumu, nepārbaudīja.
Tiklīdz filozofiskā tēma atkal ir aizgājusi, apsvērsim trešo jautājumu: vai ir iespējams ceļot pagātnē?
Pareizā atbilde: Nav. Ceļošana pagātnē ir pretrunā ar otro termodinamikas likumu par fizisko procesu neatgriezeniskumu (entropiju). Tāpēc, lūdzu, nenirt baseinā bez ūdens, notikumu var atskaņot tikai video =) Tautas gudrība ne velti izdomājusi pretēju pasaulīgo likumu: “Septiņas reizes nomēri, vienreiz nogriez”. Lai gan patiesībā skumji, laiks ir vienvirziena un neatgriezenisks, neviens no mums rīt neizskatīsies jaunāks. Un dažādas zinātniskās fantastikas filmas kā "Terminators" no zinātniskā viedokļa ir pilnīgas muļķības. Tas ir absurds arī no filozofijas viedokļa – kad Seka, atgriežoties pagātnē, var iznīcināt pati savu Cēloņu. .
Interesantāks ir atvasinājums attiecībā uz "z", lai gan tas joprojām ir gandrīz tāds pats:
(1) Mēs izņemam konstantes no atvasinājuma zīmes.
(2) Šeit atkal ir divu funkciju reizinājums, no kuriem katrs ir atkarīgs no "dzīvā" mainīgā "z". Principā var izmantot koeficienta atvasinājuma formulu, taču vieglāk ir iet citu ceļu – atrast reizinājuma atvasinājumu.
(3) Atvasinājums ir tabulas atvasinājums. Otrais termins satur jau pazīstamo kompleksās funkcijas atvasinājumu.
9. piemērs
Atrodiet trīs mainīgo funkcijas pirmās kārtas daļējos atvasinājumus
Šis ir “dari pats” piemērs. Padomājiet par to, kā ir racionālāk atrast vienu vai otru daļēju atvasinājumu. Pilns risinājums un atbilde nodarbības beigās.
Pirms turpināt nodarbības pēdējos piemērus un apsvērt otrās kārtas daļēji atvasinājumi Trīs mainīgo funkcijas, es vēlreiz uzmundrināšu visus ar ceturto jautājumu:
Vai ir iespējams ceļot uz nākotni?
Pareizā atbilde: Zinātne to neaizliedz.. Paradoksāli, bet nav tāda matemātikas, fizikāla, ķīmiska vai cita dabaszinātņu likuma, kas aizliegtu ceļot uz nākotni! Šķiet, ka ir muļķības? Bet gandrīz katram dzīvē bija priekšnojauta (un ne ar kādiem loģiskiem argumentiem pamatota), ka tas vai cits notikums notiks. Un tas notika! No kurienes nāca informācija? No nākotnes? Līdz ar to fantastiskas filmas par ceļošanu nākotnē un, starp citu, visādu zīlnieku, ekstrasensu pareģojumus nevar nosaukt par tādām muļķībām. Vismaz zinātne to nav atspēkojusi. Viss ir iespējams! Tāpēc, kad es mācījos skolā, kompaktdiski un plakanā ekrāna monitori no filmām man šķita kā neticama fantāzija.
Pazīstamā komēdija "Ivans Vasiļjevičs maina savu profesiju" ir daļēji daiļliteratūra (maksimums). Neviens zinātnisks likums neaizliedza Ivanam Bargajam atrasties nākotnē, taču nav iespējams diviem pipariem būt pagātnē un pildīt karaļa pienākumus.
Daudzu mainīgo funkcijas jēdziens
Lai ir n-mainīgie un katram x 1, x 2 ... x n no noteiktas kopas x tiek piešķirta definīcija. skaitlis Z, tad uz kopas x ir dota daudzu mainīgo funkcija Z \u003d f (x 1, x 2 ... x n).
X - definēto funkciju apgabals
x 1, x 2 ... x n — neatkarīgs mainīgais (argumenti)
Z — funkcija Piemērs: Z \u003d P x 2 1 * x 2 (cilindra tilpums)
Apsveriet Z \u003d f (x; y) - f-ciju no 2 mainīgajiem x (x 1, x 2 aizstāts ar x, y). Rezultāti pēc analoģijas tiek pārnesti uz citām daudzu mainīgo funkcijām. 2 mainīgo funkcijas definēšanas laukums ir visa kvadrāta aukla (ooh) vai tā daļa. Mn-2 mainīgo th funkcijas vērtībā - virsma 3-dimensiju telpā.
Grafiku konstruēšanas paņēmieni: - Rassm-t posms virs kvadrāta virsmas || koordinātu kvadrāti.
Piemērs: x \u003d x 0, zn. kvadrāts X || 0yz y \u003d y 0 0xz Funkcijas veids: Z \u003d f (x 0, y); Z=f(x, y 0)
Piemēram: Z=x 2 +y 2 -2y
Z= x 2 + (y-1) 2 -1 x = 0 Z = (y-1) 2 -1 y = 1 Z = x 2 -1 Z = 0 x 2 + (y-1) 2 -1
Parabolas aplis(centrs(0;1)
Divu mainīgo funkciju robežas un nepārtrauktība
Ja ir dots Z = f (x; y), tad A ir f-cijas robeža m. (x 0, y 0), ja jebkuram patvaļīgi mazam likumam. skaitlis E>0 lietvārds-t pozitīvs skaitlis b>0, ka visiem x,y atbilst |x-x 0 |<б; |y-y 0 |<б выполняется нерав-во |f(x,y)-A| Z \u003d f (x; y) ir nepārtraukts t. (x 0, y 0), ja: - tas ir definēts šajā t .; - ir ierobežots robeža pie x, tiecoties uz x 0 un y uz y 0; - šī robeža = vērtība funkcijas t.(x 0, y 0), t.i. limf (x; y) \u003d f (x 0, y 0) Ja funkcija ir nepārtraukta katrā. t.mn-va X, tad tas šajā apgabalā ir nepārtraukts Diferenciālā funkcija, tās ģeogrāfiskā nozīme. Dif-la izmantošana aptuvenās vērtībās. dy=f’(x)∆x – diferenciālfunkcija dy=dx, t.i. dy=f '(x)dx, ja y=x No ģeologa viedokļa funkcijas diferenciāle ir pieskares ordinātu pieaugums, kas novilkts funkcijas grafikam punktā ar abscisu x 0 Dif-l tiek izmantots, aprēķinot apm. funkciju vērtības pēc formulas: f(x 0 +∆x)~f(x 0)+f'(x 0) ∆x Jo tuvāk ∆x ir x, jo precīzāks ir rezultāts. Pirmās un otrās kārtas daļējie atvasinājumi Pirmās kārtas atvasinājums (ko sauc par privātu) O. Pieņemsim, ka x, y ir neatkarīgo mainīgo x un y pieaugumi kādā punktā no apgabala X. Tad vērtību, kas vienāda ar z = f(x + x, y + y) = f(x, y), sauc par kopējais pieaugums punktā x 0, y 0. Ja mainīgais x ir fiksēts un mainīgais y tiek palielināts par y, tad iegūstam zу = f(x, y, + y) – f(x, y) Mainīgā y daļējais atvasinājums tiek definēts līdzīgi, t.i. 2 mainīgo funkcijas daļējais atvasinājums tiek atrasts saskaņā ar tiem pašiem noteikumiem kā viena mainīgā funkcijām. Atšķirība ir tāda, ka, diferencējot funkciju attiecībā uz mainīgo x, y tiek uzskatīts par const, un, diferencējot attiecībā uz y, x tiek uzskatīts par const. Izolētie konsti ir savienoti ar funkciju ar saskaitīšanas/atņemšanas operācijām. Saistītie nosacījumi ir savienoti ar funkciju, izmantojot reizināšanas/dalīšanas operācijas. Izolētas const = 0 atvasinājums 1.4.2 mainīgo funkcijas kopējā diferenciāle un tās pielietojumi
Lai z = f(x,y), tad tz = 2. kārtas daļējs atvasinājums Nepārtrauktām 2 mainīgo funkcijām 2. kārtas un jauktie parciālie atvasinājumi sakrīt. Daļējo atvasinājumu izmantošanu, lai noteiktu max un min funkciju daļējos atvasinājumus, sauc par ekstrēmu. A. Punktus sauc par max vai min z = f(x,y), ja ir daži tādi segmenti, ka visiem x un y no šīs apkārtnes f(x,y) T. Ja dots 2 mainīgo funkcijas ekstrēma punkts, tad parciālo atvasinājumu vērtība šajā punktā ir vienāda ar 0, t.i. , Punktus, kuros pirmās kārtas daļējie atvasinājumi sauc par stacionāriem vai kritiskiem. Tāpēc, lai atrastu 2 mainīgo funkcijas ekstremālos punktus, tiek izmantoti pietiekami ekstrēma nosacījumi. Lai funkcija z = f(x,y) ir divreiz diferencējama, un lai stacionārais punkts, 1) un maxA<0, minA>0. 1.4.(*)pilns diferenciālis. Diferenciāļa ģeometriskā nozīme. Diferenciāļa pielietojums aptuvenos aprēķinos
O. Lai funkcija y = f(x) ir definēta kādā apkaimē punktos . Funkciju f(x) sauc par diferencējamu punktā, ja tās pieaugums šajā punktā Kur A ir nemainīga vērtība, kas nav atkarīga no , fiksētā punktā x, - bezgalīgi maza pie . Relatīvi lineāru funkciju A sauc par funkcijas f(x) diferenciāli punktā un apzīmē ar df() vai dy. Tādējādi izteiksmi (1) var uzrakstīt kā Funkciju diferenciāļa izteiksmē (1) ir forma dy = A . Tāpat kā jebkura lineāra funkcija, tā ir definēta jebkurai vērtībai Diferenciāļa pieraksta ērtībai inkrementu apzīmē ar dx un sauc par neatkarīgā mainīgā x diferenciāli. Tāpēc diferenciālis tiek uzrakstīts kā dy = Adx. Ja funkcija f(x) ir diferencējama katrā kāda intervāla punktā, tad tās diferenciālis ir divu mainīgo – punkta x un mainīgā dx – funkcija: T. Lai funkcija y = g(x) kādā brīdī būtu diferencējama , ir nepieciešams un pietiekami, ka tai šajā punktā ir atvasinājums, savukārt (*)Pierādījums. Vajag. Lai funkcija f(x) ir diferencējama punktā , t.i., Tāpēc atvasinājums f'() pastāv un ir vienāds ar A. Tādējādi dy = f'()dx Atbilstība. Lai ir atvasinājums f'(), t.i. = f'(). Tad līkne y = f(x) ir pieskares segments. Lai aprēķinātu funkcijas vērtību punktā x, paņemiet punktu kādā tās apkārtnē, lai nebūtu grūti atrast f() un f’()/ Šajā nodarbībā mēs turpināsim iepazīšanos ar divu mainīgo funkciju un apsvērsim, iespējams, visizplatītāko tematisko uzdevumu - atrašanu pirmās un otrās kārtas daļējie atvasinājumi, kā arī funkcijas kopējā diferenciāle. Nepilna laika studenti, kā likums, saskaras ar daļējiem atvasinājumiem 1. kursā 2. semestrī. Turklāt, pēc maniem novērojumiem, eksāmenā gandrīz vienmēr tiek atrasts uzdevums atrast daļējus atvasinājumus. Lai efektīvi izpētītu šo materiālu, jums nepieciešams spēt vairāk vai mazāk pārliecinoši atrast viena mainīgā funkcijas "parastos" atvasinājumus. Nodarbībās varat uzzināt, kā pareizi rīkoties ar atvasinājumiem Kā atrast atvasinājumu? un Sarežģītas funkcijas atvasinājums. Nepieciešama arī elementāro funkciju atvasinājumu tabula un diferenciācijas noteikumi, visērtāk, ja tā ir pie rokas drukātā veidā. Lapā varat atrast atsauces materiālus Matemātiskās formulas un tabulas. Ātri atkārtosim divu mainīgo funkcijas jēdzienu, mēģināšu aprobežoties ar pašu minimumu. Divu mainīgo funkciju parasti raksta kā , izsaucot mainīgos neatkarīgi mainīgie vai argumentus. Piemērs: - divu mainīgo funkcija. Dažreiz tiek izmantots apzīmējums. Ir arī uzdevumi, kur burta vietā tiek izmantots burts. No ģeometriskā viedokļa divu mainīgo funkcija visbiežāk ir trīsdimensiju telpas virsma (plakne, cilindrs, lode, paraboloīds, hiperboloīds utt.). Bet patiesībā šī jau ir analītiskāka ģeometrija, un mūsu darba kārtībā ir matemātiskā analīze, ko mans universitātes pasniedzējs nekad neļāva man norakstīt, ir mans “zirgs”. Mēs pievēršamies jautājumam par pirmās un otrās kārtas daļēju atvasinājumu atrašanu. Man ir labas ziņas tiem no jums, kuri ir izdzēruši dažas kafijas tases un ir noskaņoti neiedomājami grūtam materiālam: daļējie atvasinājumi ir gandrīz tādi paši kā viena mainīgā funkcijas "parastie" atvasinājumi. Daļējiem atvasinājumiem ir spēkā visi diferenciācijas noteikumi un elementāro funkciju atvasinājumu tabula. Ir tikai dažas nelielas atšķirības, kuras mēs tagad uzzināsim: ... jā, starp citu, šai tēmai es izveidoju maza pdf grāmata, kas ļaus “piepildīt roku” vien pāris stundu laikā. Bet, izmantojot vietni, jūs, protams, arī iegūsit rezultātu - tikai varbūt nedaudz lēnāk: 1. piemērs Atrodiet funkcijas pirmās un otrās kārtas daļējos atvasinājumus Pirmkārt, mēs atrodam pirmās kārtas daļējos atvasinājumus. Tādas ir divas. Apzīmējums: Sāksim ar . Kad mēs atrodam daļēju atvasinājumu attiecībā uz "x", tad mainīgais tiek uzskatīts par konstanti (nemainīgs skaitlis). Komentāri par veiktajām darbībām: (1) Pirmā lieta, ko mēs darām, atrodot daļējo atvasinājumu, ir secināt visi funkcija iekavās zem domuzīmes ar apakšindeksu. Uzmanību svarīgi! Apakšraksti risinājuma gaitā NEZAUDĒ. Tādā gadījumā, ja jūs kaut kur uzzīmējat “triecienu”, tad skolotājs to vismaz var likt blakus uzdevumam (neuzmanības dēļ nekavējoties nokož daļu no rezultāta). (2) Izmantojiet diferenciācijas noteikumus (3) Mēs izmantojam tabulas atvasinājumus un . (4) Mēs vienkāršojam vai, kā man patīk teikt, "apvienojam" atbildi. Tagad . Kad mēs atrodam daļējo atvasinājumu attiecībā uz "y", tad mainīgaisuzskatīts par konstanti (nemainīgs skaitlis). (1) Mēs izmantojam tos pašus diferencēšanas noteikumus (2) Mēs izmantojam elementāro funkciju atvasinājumu tabulu. Garīgi mainiet tabulā visus "X" uz "Y". Tas ir, šī tabula ir vienlīdz derīga (un patiešām gandrīz jebkurai burtai). Jo īpaši mūsu izmantotās formulas izskatās šādi: un . Pēc savas būtības 1. kārtas daļējie atvasinājumi atgādina "parastais" atvasinājums: - tas ir funkcijas, kas raksturo izmaiņu ātrums darbojas asu virzienā un attiecīgi. Tā, piemēram, funkcija ! Piezīme
: šeit attiecas uz norādēm, kas ir paralēli koordinātu asis. Labākas izpratnes labad apskatīsim konkrētu plaknes punktu un aprēķināsim tajā esošās funkcijas vērtību (“augstumu”): Mēs aprēķinām daļējo atvasinājumu attiecībā uz "x" noteiktā punktā: Tagad mēs uzzinām "reljefa" raksturu y ass virzienā: Turklāt daļējais atvasinājums punktā raksturo izmaiņu ātrums darbojas attiecīgajā virzienā. Jo lielāka ir iegūtā vērtība modulo- jo stāvāka virsma un otrādi, jo tuvāk nullei, jo plakanāka virsma. Tātad mūsu piemērā "slīpums" abscisu ass virzienā ir stāvāks nekā "kalns" ordinātu ass virzienā. Bet tie bija divi privāti ceļi. Ir pilnīgi skaidrs, ka no tā brīža, kurā esam, (un vispār no jebkura dotās virsmas punkta) mēs varam virzīties kādā citā virzienā. Līdz ar to rodas interese sastādīt vispārēju "navigācijas karti", kas pastāstītu par virsmas "ainavu". ja iespējams katrā punktā šīs funkcijas darbības jomu visos pieejamajos veidos. Par šo un citām interesantām lietām runāšu kādā no nākamajām nodarbībām, bet pagaidām atgriezīsimies pie jautājuma tehniskās puses. 1) Ja mēs atšķiram pēc , tad mainīgais tiek uzskatīts par konstanti. 2) Kad tiek veikta diferencēšana saskaņā ar, tad tiek uzskatīts par konstanti. 3) Noteikumi un elementāro funkciju atvasinājumu tabula ir spēkā un piemērojami jebkuram mainīgajam (vai jebkuram citam), attiecībā uz kuru tiek veikta diferenciācija. Otrais solis. Mēs atrodam otrās kārtas daļējus atvasinājumus. Tādas ir četras. Apzīmējums: Ar otro atvasinājumu problēmu nav. Vienkāršiem vārdiem sakot, otrais atvasinājums ir pirmā atvasinājuma atvasinājums. Ērtības labad es pārrakstīšu jau atrastos pirmās kārtas daļējos atvasinājumus: Vispirms atrodam jauktos atvasinājumus: Kā redzat, viss ir vienkārši: ņemam daļējo atvasinājumu un atkal to diferencējam, bet šajā gadījumā jau ar “y”. Līdzīgi: Praktiskajos piemēros varat koncentrēties uz šādu vienlīdzību: Tādējādi, izmantojot otrās kārtas jauktos atvasinājumus, ir ļoti ērti pārbaudīt, vai esam pareizi atraduši pirmās kārtas daļējos atvasinājumus. Mēs atrodam otro atvasinājumu attiecībā uz "x". Līdzīgi: Jāpiebilst, ka atrodot , jāparāda pastiprināta uzmanība, jo nav brīnumainu vienlīdzību, kas tos pārbaudītu. Arī otrajiem atvasinājumiem ir plašs praktisks pielietojums, jo īpaši tie tiek izmantoti atrašanas problēmā divu mainīgo funkcijas ekstrēma. Bet visam savs laiks: 2. piemērs Aprēķiniet funkcijas pirmās kārtas daļējos atvasinājumus punktā . Atrodiet otrās kārtas atvasinājumus. Šis ir piemērs pašrisināšanai (atbildes nodarbības beigās). Ja jums ir grūtības atšķirt saknes, atgriezieties pie nodarbības Kā atrast atvasinājumu? Kopumā diezgan drīz jūs uzzināsit, kā lidojumā atrast līdzīgus atvasinājumus. Mēs piepildām savu roku ar sarežģītākiem piemēriem: 3. piemērs Pārbaudiet to. Uzrakstiet pirmās kārtas kopējo starpību. Risinājums: mēs atrodam pirmās kārtas daļējus atvasinājumus: Pievērsiet uzmanību apakšindeksam: blakus "x" nav aizliegts iekavās rakstīt, ka tā ir konstante. Šī atzīme var būt ļoti noderīga iesācējiem, lai atvieglotu orientēšanos risinājumā. Papildu komentāri: (1) Mēs izņemam visas konstantes ārpus atvasinājuma zīmes. Šajā gadījumā un , un līdz ar to to reizinājums tiek uzskatīts par nemainīgu skaitli. (2) Neaizmirstiet, kā pareizi atšķirt saknes. (1) Mēs izņemam visas konstantes no atvasinājuma zīmes, šajā gadījumā konstante ir . (2) Zem galvenās vērtības mums ir divu funkciju reizinājums, tāpēc mums ir jāizmanto produktu diferenciācijas noteikums (3) Neaizmirstiet, ka tā ir sarežģīta funkcija (lai gan vienkāršākā no sarežģītajām). Mēs izmantojam atbilstošo noteikumu: Tagad mēs atrodam jauktos otrās kārtas atvasinājumus: Tas nozīmē, ka visi aprēķini ir pareizi. Uzrakstīsim kopējo starpību. Aplūkojamā uzdevuma kontekstā nav jēgas pateikt, kāda ir divu mainīgo funkcijas kopējā diferenciāle. Ir svarīgi, ka šī ļoti atšķirība ļoti bieži ir jāpieraksta praktiskās problēmās. Kopējais pirmās kārtas diferenciāls divu mainīgo funkcijām ir šāda forma: Šajā gadījumā: Tas ir, formulā jums vienkārši ir muļķīgi jāaizstāj jau atrastie pirmās kārtas daļējie atvasinājumi. Diferenciālās ikonas un šajā un līdzīgās situācijās, ja iespējams, labāk rakstīt skaitītājos: Un pēc lasītāju atkārtota lūguma pilna otrās kārtas diferenciālis. Tas izskatās šādi: UZMANĪGI atrodiet 2. kārtas "viena burta" atvasinājumus: un pierakstiet "briesmoni", uzmanīgi "piestiprinot" kvadrātus, preci un neaizmirstot dubultot jaukto atvasinājumu: Ja kaut kas šķita sarežģīts, vienmēr varat atgriezties pie atvasinājumiem vēlāk, kad būsiet apguvis diferenciācijas paņēmienu: 4. piemērs Atrast funkcijas pirmās kārtas daļējos atvasinājumus Apsveriet virkni piemēru ar sarežģītām funkcijām: 5. piemērs Atrodiet funkcijas pirmās kārtas daļējos atvasinājumus. Risinājums: 6. piemērs Atrast funkcijas pirmās kārtas daļējos atvasinājumus Šis ir piemērs pašrisināšanai (atbilde nodarbības beigās). Es nepublicēšu pilnu risinājumu, jo tas ir diezgan vienkāršs. Diezgan bieži visi iepriekš minētie noteikumi tiek piemēroti kombinācijā. 7. piemērs Atrast funkcijas pirmās kārtas daļējos atvasinājumus (1) Mēs izmantojam summas diferencēšanas noteikumu (2) Pirmais termins šajā gadījumā tiek uzskatīts par konstanti, jo izteiksmē nav nekā, kas būtu atkarīgs no "x" - tikai "y". Ziniet, vienmēr ir jauki, ja daļu var pārvērst par nulli). Otrajam termiņam piemērojam produktu diferenciācijas noteikumu. Starp citu, šajā ziņā nekas nemainītos, ja tā vietā tiktu dota funkcija - šeit tas ir svarīgi divu funkciju reizinājums, KATRS no kuriem ir atkarīgs no "X", un tāpēc jums ir jāizmanto produkta diferencēšanas noteikums. Trešajam termiņam mēs piemērojam sarežģītas funkcijas diferenciācijas likumu. (1) Pirmais vārds gan skaitītājā, gan saucējā satur “y”, tāpēc koeficienta diferencēšanai ir jāizmanto noteikums: Tiem lasītājiem, kuri drosmīgi tikuši gandrīz līdz stundas beigām, es jums pastāstīšu vecu Mekhmatova anekdoti detente: Reiz funkciju telpā parādījās ļauns atvasinājums un kā tas spēja visus atšķirt. Visas funkcijas izkliedējas uz visām pusēm, neviens negrib griezties! Un tikai viena funkcija nekur neizbēg. Atvasinājums tuvojas tam un jautā: "Kāpēc tu nebēg no manis?" - Ha. Bet man ir vienalga, jo es esmu "e līdz x spēkam", un tu man neko nevari izdarīt! Uz ko ļaunais atvasinājums ar viltīgu smaidu atbild: - Šeit jūs kļūdāties, es jūs atšķiršu ar “y”, tāpēc esiet nulle. Kurš joku saprata, tas atvasinājumus apguva, vismaz "troikai"). 8. piemērs Atrast funkcijas pirmās kārtas daļējos atvasinājumus Šis ir “dari pats” piemērs. Nodarbības beigās ir pilnīgs risinājums un problēmas dizaina paraugs. Nu, tas ir gandrīz viss. Visbeidzot, es nevaru iepriecināt matemātiķus ar vēl vienu piemēru. Runa pat nav par amatieriem, katram ir atšķirīgs matemātiskās sagatavotības līmenis – ir cilvēki (un ne tik reti), kuriem patīk sacensties ar grūtākiem uzdevumiem. Lai gan pēdējais piemērs šajā nodarbībā nav tik daudz sarežģīts, cik apgrūtinošs aprēķinu ziņā. Vispārējais princips, kā atrast trīs mainīgo funkcijas otrās kārtas daļējus atvasinājumus, ir līdzīgs divu mainīgo funkcijas otrās kārtas daļējo atvasinājumu atrašanas principam. Lai atrastu otrās kārtas daļējos atvasinājumus, vispirms jāatrod pirmās kārtas daļējie atvasinājumi vai citā apzīmējumā: Ir deviņi otrās kārtas daļējie atvasinājumi. Pirmā grupa ir otrā atvasinājumi attiecībā uz tiem pašiem mainīgajiem: Vai arī - otrais atvasinājums attiecībā uz "x"; Vai arī - otrais atvasinājums attiecībā uz "y"; Vai arī - otrais atvasinājums attiecībā uz "z". Otrā grupa ir sajaukts 2. kārtas daļēji atvasinājumi, ir seši no tiem: Vai arī - sajaukts atvasinājums "ar x y"; Vai arī - sajaukts atvasinājums "ar y x"; Vai arī - sajaukts atvasinājums "pēc x z"; Vai arī - sajaukts atvasinājums "po zet x"; Vai arī - sajaukts atvasinājums "pēc spēles z"; Vai arī - sajaukts atvasinājums "po z y". Tāpat kā divu mainīgo funkcijas gadījumā, risinot problēmas, var koncentrēties uz šādām jauktu otrās kārtas atvasinājumu vienādībām: Piezīme: Stingri sakot, tas ne vienmēr tā ir. Jaukto atvasinājumu vienlīdzībai ir jāizpilda to nepārtrauktības prasība. Katram gadījumam daži piemēri, kā skaļi nolasīt šo apkaunojumu: - "divi sitieni divreiz gadā"; - “de two y po de zet square”; - "divi sitieni uz x uz z"; - “de two y po de z po de y”. 10. piemērs Atrodiet visus pirmās un otrās kārtas daļējos atvasinājumus trīs mainīgo funkcijai: Risinājums: Pirmkārt, mēs atrodam pirmās kārtas daļējos atvasinājumus: Mēs ņemam atrasto atvasinājumu un atšķirt to ar "y": Mēs ņemam atrasto atvasinājumu un atšķirt to ar "x": Vienlīdzība ir izdarīta. Labi. Mēs nodarbojamies ar otro jaukto atvasinājumu pāri. Mēs ņemam atrasto atvasinājumu un atšķirt to ar "z": Mēs ņemam atrasto atvasinājumu un atšķirt to ar "x": Vienlīdzība ir izdarīta. Labi. Līdzīgi mēs strādājam ar trešo jaukto atvasinājumu pāri: Vienlīdzība ir izdarīta. Labi. Pēc padarītā darba tiek garantēts, ka, pirmkārt, pareizi atradām visus 1. kārtas daļatvasinājumus, otrkārt, pareizi atradām arī 2. kārtas jauktos daļatvasinājumus. Atliek atrast vēl trīs daļējus otrās kārtas atvasinājumus, šeit, lai izvairītos no kļūdām, pēc iespējas vairāk jākoncentrējas: Gatavs. Atkal uzdevums nav tik daudz grūts, cik apjomīgs. Risinājumu var saīsināt un saukt par jauktu daļēju atvasinājumu vienādībām, taču šajā gadījumā pārbaudes nebūs. Tāpēc labāk ir veltīt laiku un atrast visi atvasinājumi (turklāt to var prasīt skolotājs), vai ārkārtējos gadījumos pārbaudiet melnrakstu. 11. piemērs Atrodiet visus pirmās un otrās kārtas daļējos atvasinājumus trīs mainīgo funkcijai Šis ir “dari pats” piemērs. Risinājumi un atbildes:
2. piemērs:Risinājums:
4. piemērs:Risinājums:
Atradīsim pirmās kārtas daļējos atvasinājumus. Mēs veidojam pirmās kārtas kopējo starpību: 6. piemērs:Risinājums:
M(1, -1, 0):
7. piemērs:Risinājums:
Aprēķināsim pirmās kārtas daļējos atvasinājumus punktāM(1, 1, 1):
9. piemērs:Risinājums:
11. piemērs:Risinājums:
Atradīsim pirmās kārtas daļējos atvasinājumus: Atradīsim otrās kārtas daļējos atvasinājumus: Integrāļi 8.1. Nenoteikts integrālis. Detalizēti risinājumu piemēri Sāksim pētīt tēmu Nenoteikts integrālis", kā arī detalizēti analizējiet vienkāršāko (un ne gluži) integrāļu risinājumu piemērus. Kā parasti, mēs aprobežosimies ar minimālo teoriju, kas ir daudzās mācību grāmatās, mūsu uzdevums ir iemācīties atrisināt integrāļus. Kas jums jāzina, lai veiksmīgi apgūtu materiālu? Lai tiktu galā ar integrālrēķinu, jums ir jāspēj atrast atvasinājumi vismaz vidējā līmenī. Tā nebūs lieka pieredze, ja aiz jums ir vairāki desmiti vai, labāk, simts neatkarīgi atrastu atvasinājumu. Vismaz jums nevajadzētu apjukt uzdevumā atšķirt vienkāršākās un izplatītākās funkcijas. Šķiet, kur tad vispār ir atvasinājumi, ja rakstā runājam par integrāļiem?! Un šī ir lieta. Fakts ir tāds, ka atvasinājumu atrašana un nenoteiktu integrāļu atrašana (diferencēšana un integrācija) ir divas savstarpēji apgrieztas darbības, piemēram, saskaitīšana / atņemšana vai reizināšana / dalīšana. Tādējādi bez iemaņām un zināmas pieredzes atvasinājumu atrašanā diemžēl tālāk virzīties nevar. Šajā sakarā mums būs nepieciešami šādi metodiskie materiāli: Atvasinājumu tabula un Integrāļu tabula. Kādas ir grūtības pētīt nenoteiktus integrāļus? Ja atvasinājumos ir stingri 5 diferenciācijas noteikumi, atvasinājumu tabula un diezgan skaidrs darbību algoritms, tad integrāļos viss ir savādāk. Ir desmitiem integrācijas metožu un paņēmienu. Un, ja integrācijas metode sākotnēji tika izvēlēta nepareizi (tas ir, jūs nezināt, kā to atrisināt), tad integrāli var burtiski “durstīt” burtiski dienām, kā īsts rebuss, cenšoties pamanīt dažādus trikus un trikus. . Dažiem tas pat patīk. Starp citu, diezgan bieži no studentiem (ne humanitārajām zinātnēm) dzirdējām tādu viedokli kā: “Man nekad nav bijusi interese atrisināt limitu vai atvasinājumu, bet integrāļi ir pavisam cita lieta, tas ir aizraujoši, vienmēr ir vēlme kreka "sarežģīts integrālis" . Stop. Pietiek melnā humora, pāriesim pie šiem ļoti nenoteiktajiem integrāļiem. Tā kā ir daudz veidu, kā atrisināt, tad kur tējkanna sāk pētīt nenoteiktus integrāļus? Integrālajā aprēķinos, mūsuprāt, ir trīs pīlāri jeb sava veida "ass", ap kuru griežas viss pārējais. Pirmkārt, jums vajadzētu labi izprast vienkāršākos integrāļus (šis raksts). Tad jums ir detalizēti jāizstrādā nodarbība. ŠĪ IR SVARĪGĀKĀ UZŅEMŠANA! Varbūt pat vissvarīgākais raksts no visiem rakstiem, kas veltīti integrāļiem. Un, treškārt, noteikti izlasi integrācija pa daļām, jo tajā ir integrēta plaša funkciju klase. Ja apgūstat vismaz šīs trīs nodarbības, tad jau ir “nevis divas”. Jums var piedot, ka nezināt trigonometrisko funkciju integrāļi, daļskaitļu integrāļi, frakcionētu racionālu funkciju integrāļi, iracionālo funkciju integrāļi (saknes), bet, ja jūs "iekļūsit peļķē" par nomaiņas metodi vai integrāciju ar detaļu metodi, tad tas būs ļoti, ļoti slikti. Tātad, sāksim ar vienkāršu. Apskatīsim integrāļu tabulu. Tāpat kā atvasinājumos, mēs pamanām vairākus integrācijas noteikumus un dažu elementāru funkciju integrāļu tabulu. Jebkuram tabulas integrālim (un, protams, jebkuram nenoteiktam integrālim) ir šāda forma: Pāriesim tieši pie apzīmējumiem un noteikumiem: - neatņemama ikona. - integrand funkcija (rakstīta ar burtu "s"). - diferenciāļa ikona. Kas tas ir, mēs ļoti drīz apsvērsim. Galvenais ir tas, ka, rakstot integrāli un risināšanas laikā, ir svarīgi nepazaudēt šo ikonu. Būs manāms trūkums. ir integrāļa integrands jeb "pildījums". – antiatvasinājums funkcija. – . Nevajag smagi noslogot ar terminiem, svarīgākais šeit ir tas, ka jebkurā nenoteiktā integrālī atbildei tiek pievienota konstante. Atrisināt nenoteiktu integrāli nozīmē atrastantiderivatīvu funkciju kopums no dotā integranda Vēlreiz apskatīsim ierakstu: Apskatīsim integrāļu tabulu. Kas notiek? Mūsu kreisās daļas griežas citām funkcijām: . Vienkāršosim mūsu definīciju: Atrisiniet nenoteikto integrāli - tas nozīmē PĀRVĒRTĒT to nenoteiktā (līdz pat nemainīgai) funkcijai , izmantojot dažus noteikumus, paņēmienus un tabulu.
Ņemiet, piemēram, tabulas integrāli Tāpat kā atvasinājumu gadījumā, lai iemācītos atrast integrāļus, nav jāapzinās, kas ir integrālis vai antiatvasinājuma funkcija no teorētiskā viedokļa. Pietiek tikai veikt transformācijas saskaņā ar dažiem formāliem noteikumiem. Tātad, gadījumā Tā kā diferencēšana un integrācija ir pretējas darbības, jebkuram pareizi atrastam antiatvasinājumam ir taisnība: Citiem vārdiem sakot, ja pareizā atbilde ir diferencēta, tad jāiegūst sākotnējais integrands. Atgriezīsimies pie tā paša tabulas integrāļa Pārbaudīsim šīs formulas derīgumu. Mēs ņemam labās puses atvasinājumu: ir sākotnējais integrands. Starp citu, kļuva skaidrāks, kāpēc funkcijai vienmēr tiek piešķirta konstante. Diferencējot, konstante vienmēr pārvēršas par nulli. Atrisiniet nenoteikto integrāli tas nozīmē atrast daudz visi antiatvasinājumi, nevis kāda atsevišķa funkcija. Aplūkotajā tabulas piemērā , , , utt. - visas šīs funkcijas ir integrāļa atrisinājums. Ir bezgala daudz risinājumu, tāpēc viņi raksta īsi: Tādējādi jebkuru nenoteiktu integrāli ir pietiekami viegli pārbaudīt. Šī ir kompensācija par lielu skaitu dažāda veida integrāļu. Pāriesim pie konkrētiem piemēriem. Sāksim, tāpat kā atvasinājuma izpētē, ar diviem integrācijas noteikumiem: Kā redzat, noteikumi būtībā ir tādi paši kā atvasinātajiem instrumentiem. Dažreiz tos sauc linearitātes īpašības neatņemama. 1. piemērs Atrodiet nenoteikto integrāli. Palaidiet pārbaudi. Risinājums:Ērtāk ir konvertēt to kā. (1) Piemērojot noteikumu (2) Saskaņā ar noteikumu Turklāt šajā solī mēs sagatavojam saknes un grādus integrācijai. Tāpat kā diferenciācijā, saknes ir jāattēlo formā . Saknes un grādi, kas atrodas saucējā - virzīties uz augšu.
Piezīme: atšķirībā no atvasinājumiem, saknes integrāļos ne vienmēr ir jāreducē līdz formai , un pārvietojiet grādus uz augšu.
Piemēram, - tas ir gatavs tabulu integrālis, kas jau ir aprēķināts pirms jums, un visādi ķīniešu triki, piemēram, pilnīgi nevajadzīgi. Līdzīgi: - tas ir arī tabulas integrālis, nav jēgas attēlot daļskaitli formā . Rūpīgi izpētiet tabulu!
(3) Visi integrāļi ir tabulas veidā. Mēs veicam transformāciju, izmantojot tabulu, izmantojot formulas: jaudas funkcijai - Jāņem vērā, ka tabulas integrālis ir īpašs jaudas funkcijas formulas gadījums: Pastāvīgi C vienkārši pievienojiet to vienreiz izteiksmes beigās
(nevis likt tos aiz katra integrāļa).
(4) Iegūto rezultātu rakstām kompaktākā formā, kad visas formas pakāpes atkal attēlo kā saknes, un pakāpes ar negatīvu eksponentu tiek atiestatītas atpakaļ uz saucēju. Pārbaude. Lai veiktu pārbaudi, saņemtā atbilde ir jādiferencē: Sākotnējais integrand, t.i., integrālis atrasts pareizi. No tā, ko viņi dejoja, viņi atgriezās. Ir labi, ja stāsts ar integrāli beidzas tieši tāpat. Ik pa laikam ir nedaudz atšķirīga pieeja nenoteiktā integrāļa pārbaudei, kad no atbildes tiek ņemts nevis atvasinājums, bet diferenciālis: Rezultātā mēs iegūstam nevis integrandu, bet gan integrandu. Nebaidieties no diferenciāļa jēdziena. Diferenciāls ir atvasinājums, kas reizināts ar dx.
Tomēr mums ir svarīgi nevis teorētiskie smalkumi, bet gan tas, ko darīt tālāk ar šo diferenciāli. Diferenciālis tiek atklāts šādi: ikona d
noņemiet, ielieciet insultu labajā pusē virs iekavas, izteiksmes beigās piešķiriet reizinātāju dx
: Saņemts oriģināls integrand, tas ir, integrālis ir atrasts pareizi. Kā redzat, diferenciālis ir atkarīgs no atvasinājuma atrašanas. Otrais pārbaudes veids man patīk mazāk, jo man papildus jāzīmē lielas iekavas un jāvelk diferenciāļa ikona dx
līdz testa beigām. Lai gan tas ir pareizāk, vai "solīdāk", vai kaut kas. Patiesībā par otro pārbaudes metodi varēja klusēt. Lieta nav metodē, bet gan tajā, ka esam iemācījušies atvērt diferenciāli. Atkal. Atšķirība tiek atklāta šādi: 1) ikona d noņemt; 2) labajā pusē virs kronšteina (atvasinājuma apzīmējums) ielieciet svītru; 3) izteiksmes beigās piešķiram koeficientu dx
. Piemēram: Atceries šo. Pavisam drīz mums būs nepieciešama pārdomātā tehnika. 2. piemērs Kad atrodam nenoteiktu integrāli, mēs VIENMĒR cenšamies pārbaudīt Turklāt tam ir lieliska iespēja. Ne visi augstākās matemātikas uzdevumi ir dāvana no šī viedokļa. Tas nekas, ka pārbaudes uzdevumos bieži vien nav nepieciešama pārbaude, neviens, un nekas neliedz to veikt uz melnraksta. Izņēmumu var izdarīt tikai tad, ja nav pietiekami daudz laika (piemēram, ieskaitē, eksāmenā). Personīgi es vienmēr pārbaudu integrāļus un uzskatu, ka verifikācijas trūkums ir uzlauzts un slikti izpildīts uzdevums. 3. piemērs Atrodiet nenoteikto integrāli: Risinājums: Analizējot integrāli, mēs redzam, ka zem integrāļa mums ir divu funkciju reizinājums un pat visas izteiksmes kāpinājums. Diemžēl integrālās cīņas laukā Nē labi un ērti formulas reizinājuma un koeficienta integrēšanai kā: Tāpēc, kad tiek dots reizinājums vai koeficients, vienmēr ir jēga noskaidrot, vai integrandu ir iespējams pārveidot par summu? Aplūkotais piemērs ir gadījums, kad tas ir iespējams. Pirmkārt, mēs sniedzam pilnu risinājumu, komentāri būs zemāk. (1) Mēs izmantojam veco labo formulu summas kvadrātam jebkuriem reāliem skaitļiem, atbrīvojoties no pakāpes virs kopējās iekavas. ārpus iekavām un piemērojot saīsināto reizināšanas formulu pretējā virzienā: . 4. piemērs Atrodiet nenoteikto integrāli Palaidiet pārbaudi. Šis ir piemērs pašrisināšanai. Atbilde un pilnīgs risinājums nodarbības beigās. 5. piemērs Atrodiet nenoteikto integrāli Šajā piemērā integrands ir daļskaitlis. Kad integrandā redzam daļskaitli, pirmajai domai vajadzētu būt jautājumam: "Vai ir iespējams kaut kā atbrīvoties no šīs daļas vai vismaz to vienkāršot?". Mēs pamanām, ka saucējā ir vientuļa "x" sakne. Viens laukā nav karotājs, kas nozīmē, ka jūs varat sadalīt skaitītāju saucēja terminā pēc vārda: Mēs nekomentējam darbības ar daļskaitli, jo tās ir vairākkārt apspriestas rakstos par funkcijas atvasinājumu. Ja jūs joprojām mulsina šāds piemērs kā un neviens nesaņem pareizo atbildi, Ņemiet vērā arī to, ka risinājums izlaiž vienu soli, proti, noteikumu piemērošanu 6. piemērs Atrodiet nenoteikto integrāli. Palaidiet pārbaudi. Šis ir piemērs pašrisināšanai. Atbilde un pilnīgs risinājums nodarbības beigās. Vispārīgā gadījumā ar daļskaitļiem integrāļos viss nav tik vienkārši, papildu materiālu par dažu veidu daļskaitļu integrāciju var atrast rakstā: Dažu frakciju integrācija. Bet, pirms pāriet uz iepriekš minēto rakstu, jums jāizlasa nodarbība: Aizstāšanas metode nenoteiktā integrālī. Fakts ir tāds, ka funkcijas summēšana saskaņā ar diferenciālo vai mainīgo izmaiņu metodi ir galvenais punkts tēmas izpētē, jo tas notiek ne tikai "tīros aizvietošanas metodes uzdevumos", bet arī daudzos citos integrāļu veidos. Risinājumi un atbildes:
2. piemērs: risinājums: 4. piemērs: risinājums: Šajā piemērā mēs izmantojām saīsināto reizināšanas formulu
6. piemērs: risinājums: Mainīgā mainīšanas metode nenoteiktā integrālī. Risinājumu piemēri Šajā nodarbībā iepazīsimies ar vienu no svarīgākajiem un izplatītākajiem trikiem, kas tiek izmantots nenoteikto integrāļu risināšanas gaitā - mainīgā metodes maiņu. Veiksmīgai materiāla apguvei nepieciešamas sākotnējās zināšanas un integrācijas prasmes. Ja integrālajā aprēķinā ir tukšas pilnas tējkannas sajūta, tad vispirms jāiepazīstas ar materiālu Nenoteikts integrālis. Risinājumu piemēri, kur pieejamā veidā ir izskaidrots, kas ir integrālis, un detalizēti analizēti pamata piemēri iesācējiem. Tehniski metode mainīgā mainīšanai nenoteiktā integrālī tiek īstenota divos veidos: – Funkciju novietošana zem diferenciāļa zīmes. – mainīgā lieluma faktiskās izmaiņas. Patiesībā tie ir viens un tas pats, taču risinājuma dizains izskatās savādāk. Sāksim ar vienkāršāku gadījumu.
- tiek saukts par pilnu pieaugumu
, kur ir attēlots formā (1)
().
savukārt funkcijas pieaugums jāņem vērā tikai tiem, kuriem + pieder funkcijas f(x) domēnam.. Tad
Divu mainīgo funkciju daļējie atvasinājumi.
Koncepcija un risinājumu piemēri
vai - daļējs atvasinājums attiecībā uz "x"
vai - daļējs atvasinājums attiecībā uz "y"
, . Tādam vienkāršam piemēram kā šis, abus noteikumus var piemērot vienā darbībā. Pievērsiet uzmanību pirmajam termiņam: kopš tiek uzskatīta par konstanti, un jebkuru konstanti var izņemt no atvasinājuma zīmes, tad mēs to izņemam no iekavām. Tas ir, šajā situācijā tas nav labāks par parasto numuru. Tagad paskatīsimies uz trešo termiņu: šeit, gluži otrādi, nav ko izņemt. Tā kā tā ir konstante, tā ir arī konstante, un šajā ziņā tas nav labāks par pēdējo terminu - “septiņi”.
, . Pirmajā terminā mēs izņemam konstanti aiz atvasinājuma zīmes, otrajā terminā neko nevar izņemt, jo tā jau ir konstante.Ko nozīmē daļēji atvasinājumi?
raksturo "kāpumu" un "nogāžu" stāvumu virsmas abscisu ass virzienā, un funkcija mums stāsta par tās pašas virsmas "reljefu" ordinātu ass virzienā.
- un tagad iedomājieties, ka esat šeit (UZ PAŠAS virsmas).
"X" atvasinājuma negatīvā zīme mums stāsta par lejupejoša darbojas punktā x ass virzienā. Citiem vārdiem sakot, ja mēs veidojam mazu-mazu (bezgalīgi mazs) soli virzienā uz ass galu (paralēli šai asij), pēc tam dodieties lejup pa virsmas nogāzi.
Atvasinājums attiecībā pret "y" ir pozitīvs, tāpēc punktā gar asi, funkcija palielinās. Ja tas ir pavisam vienkārši, tad šeit mūs gaida kāpiens kalnā.Mēs sistematizējam piemērojamos elementāros noteikumus:
vai - otrais atvasinājums attiecībā pret "x"
vai - otrais atvasinājums attiecībā uz "y"
vai - sajaukts atvasinājums "x ar y"
vai - sajaukts atvasinājums "Y ar X"
Nav izgudrojumu, mēs ņemam 
un vēlreiz atdaliet to ar "X": 
.
.
. Pārbaudiet to. Uzrakstiet pirmās kārtas kopējo starpību.
.
Pierakstiet kopējo starpību.
.
. Otrais termins ir atkarīgs TIKAI no "x", kas nozīmē, ka tas tiek uzskatīts par konstanti un pārvēršas par nulli. Trešajam terminam mēs izmantojam sarežģītas funkcijas diferenciācijas likumu.
.
.
.
.
. Kas notika? Simboliskais ieraksts ir pārvērties par antiderivatīvu funkciju kopumu.nemaz nav jāsaprot, kāpēc integrālis pārvēršas tieši par. Šo un citas formulas varat uzskatīt par pašsaprotamu. Ikviens izmanto elektrību, bet tikai daži cilvēki domā par to, kā elektroni skrien pa vadiem. .
- nemainīgs C var (un vajag) izņemt no integrālās zīmes.
– divu funkciju summas (starpības) integrālis ir vienāds ar divu integrāļu summu (starpību). Šis noteikums ir spēkā jebkuram terminu skaitam.
. Neaizmirstiet pierakstīt diferenciāļa ikonu dx zem katra integrāļa. Kāpēc zem katra? dxir pilns reizinātājs. Ja krāsojat detalizēti, pirmais solis jāraksta šādi:
.mēs izņemam visas konstantes no integrāļu zīmēm. Ņemiet vērā, ka pēdējā termiņā tg 5 ir konstante, mēs to arī izņemam.
, un
.
.
.
.
. Palaidiet pārbaudi.
vai 
.
. Palaidiet pārbaudi.
, . Parasti ar zināmu pieredzi integrāļu risināšanā šie noteikumi tiek uzskatīti par acīmredzamu faktu un nav detalizēti aprakstīti.
