Augstākajā matemātikā tiek pētīta tāda koncepcija kā transponēta matrica. Jāatzīmē, ka daudzi cilvēki domā, ka tas ir diezgan sarežģīts priekšmets, kuru nevar apgūt. Tomēr tā nav. Lai precīzi saprastu, kā tiek veikta tik vienkārša darbība, ir tikai nedaudz jāiepazīstas ar pamatjēdzienu - matricu. Tēmu var saprast jebkurš students, ja viņš velta laiku tās apguvei.

Kas ir matrica?

Matricas matemātikā ir diezgan izplatītas. Jāpiebilst, ka tie sastopami arī datorzinātnēs. Pateicoties viņiem un ar viņu palīdzību, ir viegli programmēt un izveidot programmatūru.

Kas ir matrica? Šī ir tabula, kurā tiek ievietoti elementi. Tam jābūt taisnstūrveida. Vienkārši izsakoties, matrica ir skaitļu tabula. To apzīmē ar jebkuriem lielajiem latīņu burtiem. Tas var būt taisnstūrveida vai kvadrātveida. Ir arī atsevišķas rindas un kolonnas, kuras sauc par vektoriem. Šādas matricas saņem tikai vienu skaitļu rindu. Lai saprastu, kāds ir tabulas izmērs, jums jāpievērš uzmanība rindu un kolonnu skaitam. Pirmo apzīmē ar burtu m, bet otro - n.

Ir obligāti jāsaprot, kas ir matricas diagonāle. Ir sānu un galvenā. Otrā ir tā skaitļu josla, kas iet no kreisās puses uz labo no pirmā līdz pēdējam elementam. Šajā gadījumā sānu līnija būs no labās uz kreiso pusi.

Ar matricām jūs varat veikt gandrīz visas vienkāršākās aritmētiskās darbības, tas ir, saskaitīt, atņemt, reizināt savā starpā un atsevišķi ar skaitli. Tos var arī transponēt.

Transponēšanas process

Transponētā matrica ir matrica, kurā rindas un kolonnas ir apgrieztas. Tas tiek darīts pēc iespējas vienkāršāk. Tas ir apzīmēts kā A ar augšējo indeksu T (AT). Principā jāsaka, ka augstākajā matemātikā šī ir viena no vienkāršākajām operācijām ar matricām. Tabulas izmērs ir saglabāts. Šādu matricu sauc par transponētu.

Transponēto matricu īpašības

Lai pareizi veiktu transponēšanas procesu, ir jāsaprot, kādas šīs darbības īpašības pastāv.

• Jebkurai transponētajai tabulai ir jābūt sākotnējai matricai. To noteicošajiem faktoriem jābūt vienādiem vienam ar otru.
• Ja ir skalārā mērvienība, tad, veicot šo darbību, to var izņemt.
• Kad matrica tiek transponēta divreiz, tā būs vienāda ar sākotnējo.
• Ja salīdzinām divas sakrautas tabulas ar mainītām kolonnām un rindām, ar elementu summu, uz kuriem tika veikta šī darbība, tad tās būs vienādas.
• Pēdējā īpašība ir tāda, ka, ja jūs transponējat tabulas, kas reizinātas savā starpā, tad vērtībai jābūt vienādai ar rezultātiem, kas iegūti, reizinot transponētās matricas apgrieztā secībā.

Kāpēc transponēt?

Matrica matemātikā ir nepieciešama, lai ar to atrisinātu noteiktas problēmas. Dažiem no tiem ir jāaprēķina apgrieztā tabula. Lai to izdarītu, jums ir jāatrod noteicējs. Tālāk tiek aprēķināti nākotnes matricas elementi, pēc tam tie tiek transponēti. Atliek atrast tikai tieši apgriezto tabulu. Var teikt, ka šādos uzdevumos ir jāatrod X, un tas ir diezgan viegli izdarāms, izmantojot vienādojumu teorijas pamatzināšanas.

Rezultāti

Šajā rakstā tika apskatīts, kas ir transponētā matrica. Šī tēma būs noderīga topošajiem inženieriem, kuriem jāprot pareizi aprēķināt sarežģītas struktūras. Dažreiz matricu nav tik viegli atrisināt, jums ir jāsalauž galva. Taču studentu matemātikas gaitā šī darbība tiek veikta pēc iespējas vienkāršāk un bez piepūles.

Šīs operācijas ar matricām nav lineāras.

DEFINĪCIJA. Transponēts matrica matricai Izmērs
sauc par izmēru matricu
iegūts no aizstājot visas tā rindas ar kolonnām ar vienādiem kārtas skaitļiem.

Tas ir, ja =
, tad
,=1,2,…,
,=1,2,…,.

PIEMĒRS.

=

; ==

3x2 2x3 3x3 3x3

DEFINĪCIJA. Ja =, tad matrica BET sauca simetrisks.

Visas diagonālās matricas ir simetriskas, jo to elementi, kas ir simetriski attiecībā pret galveno diagonāli, ir vienādi.

Acīmredzot ir derīgas šādas transponēšanas darbības īpašības:

DEFINĪCIJA. Ļaujiet =
ir lieluma matrica
,=
ir lieluma matrica
. Šo matricu reizinājums
- matrica =
Izmērs
, kuras elementus aprēķina pēc formulas:

, =1,2,…,
,=1,2,…,,

tas ir elements -th līnija un -matricas kolonna ir vienāds ar atbilstošo elementu reizinājumu summu -matricas rinda un -matricas kolonna .

PIEMĒRS.

=
, =

2x3 3x1 2x3 3x1 2x1

Darbs
- neeksistē.

MATRIKSAS REIZINĀŠANAS DARBĪBAS ĪPAŠĪBAS

1.
, pat ja abi produkti ir definēti.

PIEMĒRS.
,

, lai gan

DEFINĪCIJA. matricas un sauca permutācijas, ja
, citādi un sauca nemainīgs.

No definīcijas izriet, ka tikai tāda paša izmēra kvadrātveida matricas var būt mainīgas.

PIEMĒRS.

matricas un permutācija.

Tas ir
,

nozīmē, un ir permutācijas matricas.

Kopumā identitātes matrica mainās ar jebkuru kvadrātveida matricu ar tādu pašu secību un jebkurai matricai
. Tā ir matricas īpašība izskaidro, kāpēc to sauc par vienību: reizinot skaitļus, skaitlim 1 ir šī īpašība.

Ja ir definēti atbilstošie darbi, tad:

5.

PIEMĒRS.

,

2x2 2x1 2x1 1x2

KOMENTĀRS. Matricas elementi var būt ne tikai skaitļi, bet arī funkcijas. Tādu matricu sauc funkcionāls.

PIEMĒRS.

Determinanti un to īpašības

Katra kvadrātveida matrica saskaņā ar noteiktiem noteikumiem var būt saistīta ar noteiktu skaitli, ko sauc par tā determinantu.

Apsveriet otrās kārtas kvadrātveida matricu:

Tās determinants ir skaitlis, kas tiek uzrakstīts un aprēķināts šādi:

(1.1)

Tādu determinantu sauc otrās kārtas noteicējs un varbūt

marķēti atšķirīgi:
vai
.

Trešās kārtas determinants sauc par kvadrātmatricai atbilstošu skaitli
, ko aprēķina saskaņā ar noteikumu:

Šo trešās kārtas determinanta aprēķināšanas noteikumu sauc par trīsstūru likumu, un to var shematiski attēlot šādi:

PIEMĒRS.
;

Ja mēs piešķiram pirmo un pēc tam otro kolonnu pa labi no determinanta, tad trīsstūru likumu var mainīt:

Vispirms tiek reizināti skaitļi uz galvenās diagonāles un divas tai paralēlās diagonāles, pēc tam tiek reizināti skaitļi uz otras (sekundārās) diagonāles un paralēli tai. Atlikušo summu atņem no pirmo trīs produktu summas.

Grupējot terminus (1.2) un izmantojot (1.1), mēs to atzīmējam

(1.3)

Tas ir, aprēķinot trešās kārtas determinantu, tiek izmantoti otrās kārtas determinanti, un
ir matricas determinants, kas iegūts no elementa dzēšana (precīzāk, pirmā rinda un pirmā kolonna, kuru krustojumā stāv ),
- elementa dzēšana ,
- elements .

DEFINĪCIJA. Papildus nepilngadīgais
elements kvadrātveida matrica sauc par matricas determinantu, kas iegūta no izsvītrot -th līnija un -tā kolonna.

PIEMĒRS.

DEFINĪCIJA. Algebriskā saskaitīšana elements kvadrātveida matrica sauca numuru
.

PIEMĒRS.

Matricai :

Matricai :
un tā tālāk.

Tātad, ņemot vērā formulētās definīcijas (1.3) var pārrakstīt formā: .

Tagad pāriesim pie vispārējā gadījuma.

DEFINĪCIJA. noteicējs kvadrātveida matrica pasūtījums tiek izsaukts skaitlis, kuru raksta un aprēķina šādi:

(1.4)

Vienādību (1.4) sauc determinanta dekompozīcija pirmā elementu izteiksmē līnijas. Šajā formulā algebriskie papildinājumi tiek aprēķināti kā determinanti
-tais pasūtījums. Tātad, aprēķinot 4. kārtas determinantu pēc formulas (1.4), vispārīgi runājot, ir jāaprēķina 4 3. kārtas determinanti; aprēķinot 5. kārtas determinantu - 5 4. kārtas determinanti utt. Taču, ja, piemēram, 4. kārtas determinantā pirmajā rindā ir 3 nulles elementi, tad formulā (1.4.) paliks tikai viens ar nulli neatšķirīgs termins.

PIEMĒRS.

Apsveriet (bez pierādījumiem) determinantu īpašības:

Determinantu var izvērst pāri pirmās kolonnas elementiem:

PIEMĒRS.

KOMENTĀRS. Apskatītie piemēri ļauj secināt: trīsstūra matricas determinants ir vienāds ar galvenās diagonāles elementu reizinājumu.

No tā izriet, ka determinanta rindas un kolonnas ir vienādas.

No tā jo īpaši izriet, ka jebkuras rindas kopīgs faktors (kolonna) var izņemt no determinanta zīmes. Arī determinants, kuram ir nulles rinda vai nulles kolonna, ir nulle.

Vienādību (1.6) sauc -tā rinda.

Vienādību (1.7) sauc determinanta sadalīšana pa elementiem -tā kolonna.

Kādas rindas (kolonnas) visu elementu reizinājumu summa ar

citas virknes atbilstošo elementu algebriskie papildinājumi

(kolonna) ir nulle, tas ir, kad
un
plkst
.

PIEMĒRS.
, jo šī determinanta pirmās un otrās rindas elementi ir attiecīgi proporcionāli (6. īpašība).

Īpaši bieži, aprēķinot determinantus, tiek izmantots rekvizīts 9, jo tas ļauj iegūt rindu vai kolonnu jebkurā determinantā, kur visi elementi, izņemot vienu, ir vienādi ar nulli.

PIEMĒRS.

Strādājot ar matricām, dažreiz tās ir jātransponē, tas ir, vienkāršiem vārdiem sakot, jāapgriež. Protams, datus var pārrakstīt arī manuāli, taču programma Excel piedāvā vairākus veidus, kā to padarīt vienkāršāku un ātrāku. Apskatīsim tos sīkāk.

Matricas transponēšana ir kolonnu un rindu apmaiņas process. Programmā Excel ir divas transponēšanas iespējas: izmantojot funkciju TRANSPS un izmantojot rīku Paste Special. Apsvērsim katru no šīm iespējām sīkāk.

1. metode: TRANSPOZE operators

Funkcija TRANSPS pieder operatoru kategorijai "Atsauces un masīvi". Īpatnība ir tāda, ka, tāpat kā citas funkcijas, kas darbojas ar masīviem, izdošanas rezultāts ir nevis šūnas saturs, bet viss datu masīvs. Funkcijas sintakse ir diezgan vienkārša un izskatās šādi:

TRANSPOZE (masīvs)

Tas ir, vienīgais šī operatora arguments ir atsauce uz masīvu, mūsu gadījumā uz matricu, kas būtu jāpārvērš.

Apskatīsim, kā šo funkciju var pielietot, izmantojot piemēru ar reālu matricu.

1. Lapā atlasām tukšu šūnu, kas plānota kā transformētās matricas augšējā kreisā šūna. Pēc tam noklikšķiniet uz ikonas "Ievietošanas funkcija", kas atrodas netālu no formulas joslas.



2. Palaišana Funkciju vedņi. Atveriet kategoriju "Atsauces un masīvi" vai "Pilns alfabētiskais saraksts". Pēc vārda atrašanas "TRANSP", atlasiet to un noklikšķiniet uz pogas labi.



3. Tiek atvērts funkciju argumentu logs TRANSPS. Vienīgais šī operatora arguments atbilst laukam "Masīvs". Jums ir jāievada matricas koordinātas, lai tajā tiktu pagrieztas. Lai to izdarītu, novietojiet kursoru laukā un, turot nospiestu peles kreiso pogu, atlasiet visu matricas diapazonu uz lapas. Kad apgabala adrese ir parādīta argumentu logā, noklikšķiniet uz pogas labi.



4. Bet, kā redzat, šūnā, kas paredzēta rezultāta parādīšanai, kļūdas veidā tiek parādīta nepareiza vērtība "#VĒRTĪBA!". Tas ir saistīts ar masīvu operatoru darbības īpatnībām. Lai labotu šo kļūdu, mēs atlasām šūnu diapazonu, kurā rindu skaitam jābūt vienādam ar sākotnējās matricas kolonnu skaitu, un kolonnu skaitam jābūt vienādam ar rindu skaitu. Šī atbilstība ir ļoti svarīga, lai rezultāts tiktu parādīts pareizi. Šajā gadījumā šūna, kurā ir izteiksme "#VĒRTĪBA!" jābūt atlasāmā masīva augšējā kreisajā šūnā, un tieši no šīs šūnas ir jāsāk atlases procedūra, turot nospiestu peles kreiso pogu. Kad esat veicis atlasi, novietojiet kursoru formulas joslā uzreiz aiz operatora izteiksmes TRANSPS, kas tajā jāparāda. Pēc tam, lai veiktu aprēķinu, jums jānoklikšķina nevis uz pogas Ievadiet, kā tas ir ierasts parastajās formulās, un sastādiet kombināciju Ctrl+Shift+Enter.



5. Pēc šīm darbībām matrica tika parādīta mums vajadzīgajā veidā, tas ir, transponētā formā. Bet ir vēl viena problēma. Fakts ir tāds, ka tagad jaunā matrica ir masīvs, kas savienots ar formulu, kuru nevar mainīt. Ja mēģināsit veikt izmaiņas matricas saturā, parādīsies kļūda. Daži lietotāji ir diezgan apmierināti ar šo situāciju, jo viņi negrasās veikt izmaiņas masīvā, bet citiem ir nepieciešama matrica, ar kuru viņi var pilnībā strādāt.

   Lai atrisinātu šo problēmu, atlasiet visu transponēto diapazonu. Pārvietots uz cilni "Mājas" noklikšķiniet uz ikonas "Kopēt", kas atrodas uz lentes grupā "Starpliktuve". Norādītās darbības vietā pēc atlases kopēšanai varat iestatīt standarta īsinājumtaustiņu ctrl+c.



6. Pēc tam, nenoņemot atlasi no transponētā diapazona, mēs noklikšķiniet uz tās ar peles labo pogu. Konteksta izvēlnē grupā "Ielīmēšanas opcijas" noklikšķiniet uz ikonas "Vērtības", kas izskatās kā ikona ar cipariem.

   

   Pēc tam masīva formula TRANSPS tiks dzēsta, un šūnās paliks tikai viena vērtība, ar kuru var strādāt tāpat kā ar sākotnējo matricu.

2. metode: matricas transponēšana ar īpašo ielīmēšanu

Turklāt matricu var transponēt, izmantojot vienu konteksta izvēlnes vienumu, ko sauc "Īpašā ielīmēšana".

Pēc šīm darbībām uz lapas paliks tikai pārveidotā matrica.

Tādos pašos divos veidos, kas tika apspriesti iepriekš, programmā Excel varat transponēt ne tikai matricas, bet arī pilnvērtīgas tabulas. Procedūra būs gandrīz identiska.

Tātad, mēs noskaidrojām, ka programmā Excel matricu var transponēt, tas ir, apgriezt, mainot kolonnas un rindas divos veidos. Pirmā iespēja ietver funkcijas izmantošanu TRANSPS, bet otrais ir Paste Special Tools. Kopumā gala rezultāts, kas tiek iegūts, izmantojot abas šīs metodes, neatšķiras. Abas metodes darbojas gandrīz jebkurā situācijā. Tāpēc, izvēloties konvertēšanas iespēju, priekšplānā izvirzās konkrēta lietotāja personīgās izvēles. Tas ir, kura no šīm metodēm jums ir ērtāka, izmantojiet to.

Matricas transponēšana

Matricas transponēšana tiek saukta matricas rindu aizstāšana ar tās kolonnām, vienlaikus saglabājot to secību (vai, kas ir tas pats, matricas kolonnu aizstāšana ar tās rindām).

Dota sākotnējā matrica BET:

Pēc tam saskaņā ar definīciju transponētā matrica BET" izskatās kā:

Matricas transponēšanas operācijas saīsināta forma: bieži tiek apzīmēta transponētā matrica

Piemērs 3. Dotas matricas A un B:

Tad atbilstošajām transponētajām matricām ir šāda forma:

Ir viegli pamanīt divas matricas transponēšanas darbības likumsakarības.

1. Divreiz transponētā matrica ir vienāda ar sākotnējo matricu:

2. Transponējot kvadrātveida matricas, elementi, kas atrodas uz galvenās diagonāles, nemaina savas pozīcijas, t.i. Kvadrātveida matricas galvenā diagonāle transponēšanas laikā nemainās.

Matricas reizināšana

Matricas reizināšana ir īpaša darbība, kas veido matricas algebras pamatu. Matricu rindas un kolonnas var apskatīt kā atbilstošo izmēru rindu vektorus un kolonnu vektorus; citiem vārdiem sakot, jebkuru matricu var interpretēt kā rindu vektoru vai kolonnu vektoru kolekciju.

Dotas divas matricas: BET- Izmērs t X P un AT- Izmērs p x k. Mēs apsvērsim matricu BET kā komplekts t rindu vektori a) izmēriem P katrs un matrica AT - kā komplekts uz kolonnu vektori b Jt kas satur P katras koordinātes:

Matricas rindu vektori BET un matricas kolonnu vektori AT ir parādīti šo matricu attēlojumā (2.7). Matricas rindas garums BET vienāds ar matricas kolonnas augstumu AT, un tāpēc šo vektoru skalārajam reizinājumam ir jēga.

Definīcija 3. Matricu reizinājums BET un AT sauc par matricu C, kuras elementi Su ir vienādi ar rindu vektoru skalārajiem reizinājumiem a ( matricas BET kolonnu vektoros bj matricas AT:

Matricu reizinājums BET un AT- matrica C - ir izmērs t X uz, jo rindu vektoru un kolonnu vektoru garums l pazūd, summējot šo vektoru koordinātu reizinājumus to skalārajos reizinājumus, kā parādīts formulās (2.8). Tātad, lai aprēķinātu matricas C pirmās rindas elementus, ir nepieciešams secīgi iegūt matricas pirmās rindas skalāros reizinājumus BET uz visām matricas kolonnām AT matricas C otro rindu iegūst kā matricas otrās rindas vektora skalāros reizinājumus BET uz visiem matricas kolonnu vektoriem AT, un tā tālāk. Lai būtu ērtāk atcerēties matricu reizinājuma lielumu, matricas koeficientu lielumu reizinājumi jāsadala: - , tad atlikušie attiecībā pret skaitli dod reizinājuma lielumu. uz

dsnia, t.s. matricas C izmērs ir t X uz.

Matricas reizināšanas darbībā ir raksturīga iezīme: matricu reizinājums BET un AT ir jēga, ja kolonnu skaits BET vienāds ar rindu skaitu iekšā AT. Tad ja A un B - taisnstūra matricas, tad produkts AT un BET vairs nebūs jēgas, jo skalārajiem reizinājumiem, kas veido atbilstošās matricas elementus, jāietver vektori ar vienādu koordinātu skaitu.

Ja matricas BET un AT kvadrāts, izmērs l x l, ir jēga kā matricu reizinājums AB, un matricu reizinājums VA, un šo matricu izmērs ir tāds pats kā sākotnējo faktoru izmēram. Šajā gadījumā vispārējā matricas reizināšanas gadījumā netiek ievērots permutācijas (komutativitātes) noteikums, t.i. AB * BA.

Apsveriet matricas reizināšanas piemērus.

Kopš matricas kolonnu skaita BET ir vienāds ar matricas rindu skaitu AT, matricas produkts AB ir nozīme. Izmantojot formulas (2.8), iegūstam 3x2 matricu produktā:

Darbs VA ns ir jēga, jo matricas kolonnu skaits AT neatbilst matricas rindu skaitam BET.

Šeit mēs atrodam matricu reizinājumus AB un VA:

Kā redzams no rezultātiem, reizinājuma matrica ir atkarīga no matricu secības produktā. Abos gadījumos matricas produktiem ir tāds pats izmērs kā sākotnējiem faktoriem: 2x2.

Šajā gadījumā matrica AT ir kolonnas vektors, t.i. matrica ar trim rindām un vienu kolonnu. Kopumā vektori ir īpaši matricu gadījumi: garuma rindas vektors P ir matrica ar vienu rindu un P kolonnas un augstuma kolonnas vektoru P- matrica ar P rindas un viena kolonna. Reducēto matricu izmēri ir attiecīgi 2 x 3 un 3 x I, tāpēc ir definēts šo matricu reizinājums. Mums ir

Produkts iegūst 2 x 1 matricu vai kolonnas vektoru ar augstumu 2.

Secīgi reizinot matricu, mēs atrodam:

Matricu reizinājuma īpašības. Ļaujiet A, B un C ir atbilstoša izmēra matricas (lai būtu definēti matricas produkti), un a ir reāls skaitlis. Tad ir spēkā šādas matricu reizinājuma īpašības:

• 1) (AB)C = A(BC);
• 2) C A + B) C = AC + BC
• 3) A (B+ C) = AB + AC;
• 4) a (AB) = (aA)B = A(aB).

Identitātes matricas jēdziens E tika ieviests 2.1.1. Ir viegli pārbaudīt, vai matricas algebrā tā spēlē vienības lomu, t.i., Mēs varam atzīmēt vēl divas īpašības, kas saistītas ar reizināšanu ar šo matricu no kreisās un labās puses:

• 5 )AE=A;
• 6) EA = BET.

Citiem vārdiem sakot, jebkuras matricas reizinājums ar identitātes matricu, ja tam ir jēga, nemaina sākotnējo matricu.

Lai transponētu matricu, matricas rindas jāraksta kolonnās.

Ja , tad transponētā matrica

Ja tad

1. vingrinājums. Atrast

1. Kvadrātveida matricu determinanti.

Kvadrātveida matricām tiek ieviests skaitlis, ko sauc par determinantu.

Otrās kārtas (dimensijas) matricām determinantu nosaka pēc formulas:

Piemēram, matricai tās determinants ir

Piemērs . Aprēķināt matricas determinantus.

Trešās kārtas (dimensijas ) kvadrātveida matricām ir “trijstūra” noteikums: attēlā raustītā līnija nozīmē skaitļu reizināšanu, caur kuriem šķērso raustītā līnija. Pirmie trīs skaitļi jāsaskaita, nākamie trīs skaitļi jāatņem.

Piemērs. Aprēķiniet determinantu.

Lai sniegtu vispārīgu determinanta definīciju, mums jāievieš nepilngadīgā un algebriskā papildinājuma jēdziens.

Nepilngadīga matricas elementu sauc par determinantu, kas iegūts, izdzēšot šo rindu un kolonnu.

Piemērs. Atrodiet dažus matricas A nepilngadīgos.

Algebriskā saskaitīšana elementu sauc par skaitli.

Tātad, ja indeksu un summa ir pāra, tad tie nekādā veidā neatšķiras. Ja indeksu un summa ir nepāra, tad tie atšķiras tikai pēc zīmes.

Iepriekšējam piemēram.

matricas determinants ir kādas rindas elementu reizinājumu summa

(kolonna) to algebriskajiem papildinājumiem. Apsveriet šo definīciju trešās kārtas matricā.

Pirmais ieraksts tiek saukts par determinanta paplašināšanu pirmajā rindā, otrais ir paplašināšana otrajā kolonnā, bet pēdējais ir trešās rindas paplašināšana. Kopumā šādus paplašinājumus var rakstīt sešas reizes.

Piemērs. Aprēķiniet determinantu saskaņā ar "trijstūra" noteikumu un izvērsiet to pa pirmo rindu, tad pa trešo kolonnu, tad pa otro rindu.

Izvērsīsim determinantu ar pirmo rindiņu:

Izvērsīsim determinantu trešajā kolonnā:

Izvērsīsim determinantu ar otro rindiņu:

Ņemiet vērā, ka jo vairāk nulles, jo vienkāršāki aprēķini. Piemēram, izvēršot pirmo kolonnu, mēs iegūstam

Starp determinantu īpašībām ir īpašība, kas ļauj iegūt nulles, proti:

Ja noteiktas rindas (kolonnas) elementiem pievienosim citas rindas (kolonnas) elementus, kas reizināti ar skaitli, kas nav nulle, tad determinants nemainīsies.

Ņemsim to pašu determinantu un iegūsim nulles, piemēram, pirmajā rindā.

Augstākas kārtas noteicošos faktorus aprēķina tādā pašā veidā.

2. uzdevums. Aprēķiniet ceturtās kārtas determinantu:

1) izvēršot jebkuru rindu vai kolonnu

2) iepriekš saņēmis nulles

Mēs iegūstam papildu nulli, piemēram, otrajā kolonnā. Lai to izdarītu, reiziniet otrās rindas elementus ar -1 un pievienojiet ceturtajai rindai:

1. Lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu risināšana ar Krāmera metodi.

Parādīsim lineāro algebrisko vienādojumu sistēmas risinājumu ar Krāmera metodi.

2. uzdevums. Atrisiniet vienādojumu sistēmu.

Mums jāaprēķina četri noteicošie faktori. Pirmo sauc par galveno, un tas sastāv no nezināmo koeficientiem:

Ņemiet vērā, ka, ja , sistēmu nevar atrisināt ar Krāmera metodi.

Pārējie trīs determinanti ir apzīmēti ar , , un tiek iegūti, aizstājot atbilstošo kolonnu ar labās puses kolonnu.

Mēs atradām . Lai to izdarītu, galvenā noteicēja pirmo kolonnu mainām uz labo daļu kolonnu:

Mēs atradām . Lai to izdarītu, galvenā noteicēja otro kolonnu mainām uz labo daļu kolonnu:

Mēs atradām . Lai to izdarītu, galvenā noteicēja trešo kolonnu mainām uz labo daļu kolonnu:

Sistēmas risinājums tiek atrasts ar Krāmera formulām: , ,

Tādējādi sistēmas risinājums , ,

Pārbaudīsim, šim aizvietojam atrasto risinājumu visos sistēmas vienādojumos.

1. Lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu risināšana ar matricas metodi.

Ja kvadrātveida matricai ir determinants, kas nav nulle, tad ir tāda apgrieztā matrica, ka . Matricu sauc par identitāti, un tai ir forma

Apgrieztā matrica tiek atrasta pēc formulas:

Piemērs. Atrodiet apgriezto matricu matricai

Pirmkārt, mēs aprēķinām determinantu.

Algebrisko papildinājumu atrašana:

Mēs rakstām apgriezto matricu:

Lai pārbaudītu aprēķinus, jums jāpārliecinās, ka .

Dota lineāro vienādojumu sistēma:

Apzīmē

Tad vienādojumu sistēmu var uzrakstīt matricas formā kā , un tātad . Iegūto formulu sauc par matricas metodi sistēmas risināšanai.

3. uzdevums. Atrisiniet sistēmu matricas veidā.

Nepieciešams izrakstīt sistēmas matricu, atrast tās apgriezto un pēc tam reizināt ar labo daļu kolonnu.

Mēs jau esam atraduši apgriezto matricu iepriekšējā piemērā, lai mēs varētu atrast risinājumu:

1. Lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu risināšana ar Gausa metodi.

Cramer metodi un matricas metodi izmanto tikai kvadrātveida sistēmām (vienādojumu skaits ir vienāds ar nezināmo skaitu), un determinants nedrīkst būt vienāds ar nulli. Ja vienādojumu skaits nav vienāds ar nezināmo skaitu vai sistēmas determinants ir vienāds ar nulli, tiek izmantota Gausa metode. Gausa metodi var izmantot jebkuras sistēmas risināšanai.

Un aizstājiet pirmo vienādojumu:

5. uzdevums. Atrisiniet vienādojumu sistēmu, izmantojot Gausa metodi.

Izmantojot iegūto matricu, mēs atjaunojam sistēmu:

Mēs atrodam risinājumu: