Daudzkanālu smo ar kļūmēm. QS ar neveiksmēm un pilnīgu savstarpēju palīdzību patvaļīgām plūsmām

UDK 519.248:656.71

RINDAS SISTĒMAS MODELIS AR NESTACIONĀRĀM PLŪSMĀM UN DAĻĒJU Savstarpēju PALĪDZĪBU STARP KANĀLIEM

© 2011 V. A. Romaņenko

Samaras Valsts aviācijas un kosmosa universitāte nosaukta akadēmiķa S.P. Koroļeva vārdā (Nacionālā pētniecības universitāte)

Aprakstīts daudzkanālu rindu sistēmas dinamisks modelis ar nestacionārām plūsmām, gaidīšanu ierobežota garuma rindā un daļēju kanālu savstarpēju palīdzību, kas izpaužas kā iespēja vienlaicīgi apkalpot aplikāciju pa diviem kanāliem. Sistēmas galveno varbūtības-temporālo raksturlielumu izteiksmes ir dotas. Kā aplūkojamās sistēmas piemērs ir aprakstīti mezgla lidostas funkcionēšanas modelēšanas rezultāti.

Rindas sistēma, nestacionāra plūsma, savstarpēja palīdzība starp kanāliem, mezgla lidosta.

Ievads

Tiek apsvērta daudzkanālu rindas sistēma (QS) ar gaidīšanu ierobežota garuma rindā. Aplūkojamā QS iezīme ir daļēja savstarpēja palīdzība starp kanāliem, kas izpaužas kā iespēja izmantot divus kanālus vienlaikus vienas lietojumprogrammas apkalpošanai. Apvienojot kanālu centienus, kopumā tiek samazināts vidējais apkalpošanas laiks. Tiek pieņemts, ka QS saņem nestacionāru Puasona pieprasījumu plūsmu. Pieteikšanās pakalpojuma ilgums ir atkarīgs no laika.

Tipisks QS piemērs ar uzskaitītajām funkcijām ir lidostas transporta pakalpojumu sistēma. Vairāku (parasti divu) objektu (reģistrācijas letes, lidmašīnu degvielas uzpildītāji, speciālie transportlīdzekļi utt.) vienlaicīgu izmantošanu viena lidojuma apkalpošanai paredz lielo gaisa kuģu (AC) lidostu apkalpošanas tehnoloģiskie grafiki. Tajā pašā laikā nepieciešamība uzlabot pārvadājumu uz zemes pakalpojumu kvalitāti un samazināt ilgumu, kas īpaši aktuāla lielajām lidostām, noved pie tā, ka operāciju īpatsvars, ko veic nevis viens, bet vairāki (divi) līdzekļi. palielinās.

nē līdz ar lidostas mēroga pieaugumu. Rakstā aprakstītais modelis tika izstrādāts, lai atrisinātu centrmezglu lidostu industriālo kompleksu (centrmezglu) darbības analīzes un optimizācijas problēmas, kurām raksturīga lidlauka apkalpošanas iekārtu piesātinājums transportam ar izteiktu pasažieru plūsmas nestacionaritāti, gaisa kuģiem un kravām un to apkalpošanas intensitātes svārstībām.

Modeļa vispārīgs apraksts

Modelis ir izstrādāts, lai noteiktu QS, kas satur N apkalpošanas kanālus, varbūtības raksturlielumu atkarības no laika. Pieteikumu skaits TKO nedrīkstētu pārsniegt K, kas var būt saistīts ar tehniskiem ierobežojumiem lidostā aprīkoto gaisa kuģu stāvvietu skaitam, gaisa termināļa vai kravu kompleksa kapacitātei utt. Viena pieprasījuma apkalpošanai atvēlēto kanālu skaits var būt 1 vai 2. Ja ir vismaz divi brīvi kanāli, ienākošais pieprasījums ar noteiktu varbūtību tiek apkalpots.

viens no tiem un - ar varbūtību y2 = 1 - y1 - abi kanāli. Ja apkalpošanas pieprasījuma saņemšanas brīdī QS ir tikai viens brīvs kanāls, tad šis pieprasījums jebkurā gadījumā aizņem pieejamo kanālu.

vienīgais kanāls. Ja dīkstāves kanālu nav, tikko saņemtais pieprasījums “nokļūst rindā” un gaida apkalpošanu. Ja prasību skaits rindā ir K-N, tad tikko saņemtā prasība atstāj QS neapkalpotu. Šāda notikuma iespējamībai jābūt mazai.

QS ieeja saņem Puasona (ne vienmēr stacionāru) pieprasījumu plūsmu

ar intensitāti l(t). Tiek pieņemts, ka pieprasījuma pakalpojuma ilgums gan vienam kanālam Tobsl1 (t), gan diviem -

Tobsl 2 (t) ir eksponenciāli sadalītas nejaušas laika funkcijas (stohastiskie procesi).

Lietojumprogrammas pakalpojuma intensitāte

viens kanāls ^ (t) un vienlaikus divi kanāli m 2 (t) ir definēti kā

mi (t) = [Tobsl1 (t)]-1, m2 (t) = [Tobsl2 (t)]-1,

kur Tobsl1 (t) = M [Tobsl1 (t)] , Tobsl 2 (t) = M[Tobsl 2 (t)]

Vidējais pieprasījuma apkalpošanas laiks attiecīgi vienam kanālam un diviem kanāliem.

Saikni starp vērtībām m1 (t) un m 2 (t) nosaka attiecība

m2 (t) = ^m1 (t) ,

kur 9 ir koeficients, kas ņem vērā pakalpojumu intensitātes relatīvo pieaugumu, izmantojot divus kanālus.

Praksē sakarība starp piesaistīto līdzekļu skaitu un pakalpojuma intensitāti ir diezgan sarežģīta, ko nosaka attiecīgā pakalpojuma darbības raksturojums. Operācijām, kuru ilgums ir saistīts ar veikto darbu apjomu (piemēram, gaisa kuģu degvielas uzpilde ar aviācijas degvielu, izmantojot gaisa kuģu degvielas tankkuģus, pasažieru iekāpšana vai izkāpšana no gaisa kuģa u.c.), apkalpošanas intensitātes atkarība no kanālu skaits tuvojas tieši proporcionālam, taču tas nav strikti tāds, ņemot vērā sagatavošanās laiku

bet-galīgās operācijas, kuras neietekmē līdzekļu skaits. Šādām operācijām £ 2. Vairākām operācijām izpildes ilguma atkarība no līdzekļu vai izpildītāju skaita ir mazāka

pasažieru pārbaude). Šajā gadījumā sadaļā "1.

Patvaļīgā laika momentā I apskatāmais QS var būt vienā no b + 1 diskrētiem stāvokļiem - B0, ...,

b. Pāreju no stāvokļa uz stāvokli var veikt jebkurā laikā. Varbūtība, ka brīdī I QS būs stāvoklī

normalizācijas nosacījums 2 p () =1

Varbūtību P0 (/), PX (t),..., Pb (t) aprēķins ļauj noteikt tādus svarīgus virtuālos (momentānos) QS raksturlielumus kā vidējo rindas garumu, vidējo aizņemto kanālu skaitu, vidējais klientu skaits QS un citi

Stāvokļu p(t) varbūtības tiek atrastas, atrisinot Kolmogorova diferenciālvienādojumu sistēmu, kuru var uzrakstīt vispārīgā formā kā

=Ё jp(t)P /(t)-P,(t)Z (t).,

r = 0,1,...,b,

kur<р^ ^) - плотности (интенсивности) вероятностей перехода из состояния с порядковым номером г в состояние с порядковым номером ]. Величины фу (t) определяются по формуле

kur P(/; At) ir varbūtība, ka QS, kas brīdī t bija stāvoklī B., pēc

laiks At pāries no tā uz valsti

Kolmogorova vienādojumu sastādīšanai tiek izmantots iezīmēts QS stāvokļu grafiks. Tajā virs bultiņām, kas ved no B. uz B., atbilstošās f. intensitātes.

Grafa sastādīšanai tiek ieviests trīs indeksu apzīmējums, kurā aplūkojamā QS stāvokli patvaļīgā laika momentā raksturo trīs parametri: aizņemto kanālu skaits n (n = 0,1,..., t), 0,1,...,^) un gaida pakalpojumu m (m = 0,1,...,^ - N).

Uz att. 1. attēlā parādīts iezīmēts stāvokļa grafiks, kas sastādīts, izmantojot iepriekš aprakstītos noteikumus un ieviesto apzīmējumu, QS, kas izvēlēts kā vienkāršs piemērs.

Zemāk dotajā grafikā un atbilstošajā Kolmogorova vienādojumu sistēmā, lai taupītu vietu, intensitātes 1, m1, m2 un stāvokļa varbūtību funkcionālās laika atkarības apzīmējumi ir izlaisti.

^000 /L \u003d - (^1 ^ + ^2 ^) P000 + mp10 + m2P210,

\u003d - (m + Y-11 + Y21) psh + ^Rp000 +

2t1R220 + t2R320,

LR210 IL \u003d - (t2 + ^11 + ^21) P210 + V2Rp000 +

T1P320 + 2 ^2P420,

LR220/L = -(2^1 + ^1^ + ^21) P220 + ^1Rio +

3 m1P330 + ^2P430,

LR32<:)1Л = - (т2 + т1 + ^11 + ^21)р320 +

+ ^ 11P210 + V2ЯP110 + 2t 1P430 +

LR4u1L (1 + 2 ^2) P420 + ^21P210 + m p30, LR330 /L = -(3m1 + ^1^+ ^21) P330 + ^11P220 + +4^1P440 + r2p40,

^430 /L = - (2^1 + ^2 + 1) P430 + ^11P320 +

+ ^ 2 ^ P220 + 3 m 1p40 + 2 ^ 2p31,

LR530 / l \u003d - (t + 2m2 + i) p^30 + 1P420 +

+ ^2R320 + m1R531,

LR440 IL (4t1 + I) r40 + R330 +

5^1p50 + t2p41,

LR540 / l \u003d - (t2 + 3t + i) p540 + yar430 +

+ "^ 2R330 + 3 m1R541 + 2 m2R532,

LR531/L = - (^1 + 2^2 + R) R^31 + R530 +

LR550 IL \u003d - (5t1 + I) R550 + YAR440 +

5t1R551 + t2R542,

LR541/ l \u003d - (t2 + 3m + i) p^41 + rr^40 +

LR532 / l \u003d - (t1 + 2t2) R532 + i p531,

LR5511L \u003d - (5t1 + I) r51 + YAR550 + 5t1R552,

lr542 / l \u003d - (3 t + t2) p542 + i p541,

Rp5^ ^ = 5 m1P552 + i p51.

Ja uz doto brīdi t = 0 QS nav pieprasījumu, tad sākotnējie nosacījumi tiks ierakstīti formā

P10(0)=P210(0)=P220(0)=...=P552(0)=0.

Lielu izmēru sistēmu, līdzīgu (1), (2), ar mainīgajiem 1(t, mDO, m2(0)) risinājums ir iespējams tikai ar skaitliskām metodēm, izmantojot datoru.

Rīsi. 1. QS stāvokļa grafiks

QS modeļa izveide

Saskaņā ar algoritmisko pieeju tiek aplūkota metode, kā patvaļīgas dimensijas Kolmogorova vienādojumu sistēmu pārveidot datoraprēķiniem piemērotā formā. Lai vienkāršotu apzīmējumu, trīskāršā vietā mēs izmantojam dubultu apzīmējumu sistēmu QS stāvokļiem, kurā r ir apkalpošanas aizņemto kanālu skaits plus rindas garums,] ir pieteikumu skaits. QS. Attiecības starp apzīmējumu sistēmām izsaka atkarības:

r = n + m, r = 0,1,...,K;

] = k + m, ] = 0,1,...,K.

Nedrīkst ieviest nevienu stāvokli no formālās kopas

B. (r = 0,1,...,K; ] = 0,1,...,K). It īpaši,

aprakstītā modeļa ietvaros nav iespējami stāvokļi, kuros divus vai vairākus pieprasījumus vienlaikus apkalpo viens

kanāls, t.i. R. (t) = 0, ja ] > r Apzīmēsim QS pieļaujamo stāvokļu kopu ar 8. B. stāvoklis pastāv, un

atbilstošā varbūtība P. ^)

var būt nulle, ja ir izpildīts viens no šiem nosacījumiem:

1)] <г< 2], если 2] < N,

2)] <г< ] + Ч - 1 если \ .

y] + H - 1< К,

3)] < г < К, если ] + ч - 1 ^ К,

r = 0,1,...,K; ] = 0,1,...,K,

kur N ir maksimālais stāvokļu skaits ar atšķirīgu apkalpošanas kanālu skaitu noteiktam pieprasījumu skaitam, ko nosaka pēc formulas

Šeit iekavas apzīmē daļējās daļas izmešanas darbību. Piemēram,

Saskaņā ar stāvokļa grafiku, kas parādīts attēlā. 1, divus klientus var apkalpot divi, trīs vai četri kanāli. Tāpēc iepriekš minētajā piemērā

H \u003d 5 - \u003d 5 - 2 \u003d 3.

Lai realizētu datoraprēķinus, izmantojot Kolmogorova patvaļīgas dimensijas vienādojumu sistēmu, tās vienādojumi ir jāsamazina līdz kādai universālai formai, kas ļauj uzrakstīt jebkuru vienādojumu. Lai izstrādātu šādu formu, mēs uzskatām stāvokļu grafika fragmentu, kas parāda vienu patvaļīgu stāvokli B] ar izvadīšanu no tā

intensitātes bultiņas. Apzīmēsim ar romiešu cipariem blakus esošos stāvokļus, kas tieši saistīti ar B., kā parādīts attēlā. 2.

Katram B. stāvoklim (r = 0,1,...,K; ] = 0,1,...,K), lai B. e 8 , brīdī t vērtības

p^), p(t), p.^), p(t) ņemt

dažādas vērtības (ieskaitot tās, kas vienādas ar nulli). Tomēr vienādojuma struktūra

(3) paliek nemainīgs, kas ļauj to izmantot Kolmogorova patvaļīgas dimensijas vienādojumu sistēmas datorizpildīšanai.

Intensitātes fr (t) , (p. (t), kas tiecas pārnest QS uz stāvokļiem ar lielām r un ] vērtībām, ja ir iespējama šādu stāvokļu klātbūtne, nosaka, pamatojoties uz vairākiem nosacījumiem, kā norādīts tālāk. :

o.. u vai

°(,-+1)0"+1) ї 8 '

0(,-+2)(.+1) - 8 i £ N - 2,

o(i+1)(.+1)- 8 vai

°(.+2)a+1)ї 8

O(.+1)(V+1) - 8'

Rīsi. 2. QS stāvokļa grafika fragments

Ņemot vērā kaimiņvalstu klātbūtni attiecībā pret B., B. vienādojumu var uzrakstīt šādi:

-£ = -[P () + P () + P. () +

Pp (tJ Pr, (t) + Pp+1) (.+1) (t) P(r+1) (.+1) () +

P(H(1-1)^)P(-1)(1-1)^) +

Р 2) ()+1) () Р(r+2) ()-+1) () +

RC2)(.-1) (t)P(r-2)(.-r) ().

O(.+1)(.+1)ї 8 vai i > N - 2

Y2X(i), ja

I(i+1)(.+1) - 8>

O(i+2)(.+1) - 8'i £ N - 2,

O(i+1)(.+1)ї 8'

O(i+2)(.+1) - 8'

r = 0,1,...,k, . = 0,1,...,k.

Intensitāte r. (), p..11 (), nododot QS no valsts B-. štatos

ar mazākām r vērtībām un. (ja ir iespējama šādu stāvokļu klātbūtne) ir tieši proporcionāli iesaistīto kanālu skaitam, kas apkalpo dažāda veida lietojumprogrammas, kas atrodas QS (aizņem vienu vai divus kanālus apkalpošanai). Divu kanālu grupu, kas aizņemta, apkalpojot vienu atbilstošā tipa pieprasījumu, var uzskatīt par vienu kanālu. Tāpēc vispārējā gadījumā

p () = cdM1 () , p. () = ku2^2 () ,

kur k.1 ir lietojumprogrammu skaits, kas aizņem vienu kanālu un ko apkalpo QS stāvoklī B.; k ir lietojumprogrammu skaits, kas aizņem divus kanālus, kurus apkalpo QS stāvoklī B. .

Caur g un šie daudzumi ir definēti šādi:

G2. - r ja r< N,

y1 [ N - 2 (r - .), ja r > N, (4)

uz! 2 = g - . .

Ņemot vērā ierobežojumus izteiksmes stāvokļu pastāvēšanas iespējamībai

p(), p.() ir forma

^B(r-1)(L) e 8,

QS darbības rādītāji

Aprakstītais modelis dod iespēju noteikt sekojošo veiktspējas rādītāju laika atkarības aplūkojamā QS funkcionēšanai.

Vidējais rindas garums:

var ()=22(g-n) R ().

Vidējais aizņemto kanālu skaits:

Vidējais pieteikumu skaits TKO:

m, ()=22 .R. ().

Pakalpojuma atteikuma iespējamība:

Є, ()= 2 Р- ().

Virtuālā gaidīšanas laika sadalījumu pēc biļetes var iegūt

pakalpojums W (x, t) = P ^exp ()< х) , позволяющее характеризовать качество обслуживания рассматриваемой СМО. Поступившая в систему заявка вынуждена ожидать обслуживания в случае, если все каналы заняты обслуживанием заявок, поступивших

iepriekš. Pastāv iespējamība Рк=0 (t), ka ienākošais pieprasījums tiks nekavējoties apkalpots brīva kanāla (vai vairāku bezmaksas kanālu) klātbūtnē.

B(g-1)(.-1) 8 £,

r = 0,1,...,K, . = 0,1, ..., K.

R. () ° 0, ja B. £ 8.

Ņemot vērā atteices iespējamību, sadales funkcijas W (x^) vēlamo vērtību nosaka kā

F (x-’) \u003d (--o (t)

EEZH M (,)) ()

Ru ()° 0, ja °y. ї 8 .

Šeit W (x, m| (i,./)) ir nosacīta funkcija

noteiktas pretenzijas gaidīšanas laika sadalījums, ar nosacījumu, ka tās pienākšanas brīdī T tas noķēris QS stāvoklī y.

Izskatāmajā QS ienākošās pretenzijas apkalpošanas gaidīšanas laiks ir atkarīgs ne tikai no KV jau esošo atlīdzību skaita, bet arī no kanālu sadalījuma starp esošo atlīdzību grupu un individuālo apkalpošanu. Ja starp kanāliem nebūtu savstarpējās palīdzības, tad izskatāmais QS būtu tradicionāls QS ar gaidīšanu ierobežota garuma rindā, kurai kopējais apkalpošanas sākuma gaidīšanas laiks pēc pretenzijas, kas rindā atrada vēl m pretenzijas. ierašanās brīdī būtu Erlang sadalījums (X) .

Šeit augšindekss satur visu N kanālu apkalpošanas pieprasījumu intensitāti, kas darbojas rindas klātbūtnē; apakšindekss ir sadales secība saskaņā ar Erlang likumu. Šeit aplūkotajā QS aprakstītais likums ir spēkā tikai tiem pieprasījumiem, kas ievadīti QS stāvokļos, kad visi kanāli ir aizņemti, un tie visi apkalpo vienu pieprasījumu. Par šiem stāvokļiem var rakstīt

X (x, m | ^ + m, N + m)) = ^ + 1 () (x).

Apzīmēsim ar E^"^1 (x) vispārinātās Erlan- sadalījuma funkciju.

ha, ar secību 2 "g - 1, kur ag ir skaitlis

lo nejaušie mainīgie sadalīti

eksponenciālais likums ar parametru yi. NO

Izmantojot ieviesto apzīmējumu, mēs rakstām izteiksmes gaidīšanas laika sadalījuma funkcijai citos stāvokļos. Salīdzinot ar (5), šīm izteiksmēm ir sarežģītāka forma, kas netraucē to programmatūras ieviešanu. Turklāt, piemēram, tie ir norādīti tikai pirmajiem trim kanālu pilnas aizņemtības stāvokļiem, izmantojot iepriekš ieviesto trīs rakstzīmju indeksēšanu:

W (x, m | (n, k, m)) = W (x, m | (N, N - g, 0)) =

= (x), 0 £ g £ q,

kur es. \u003d kіLt (t) + ku 2M2 (t);

W (x, m | (n, k, m)) = W (x, m | (N, N - g, l)) =

H ^ ^ - g) km (T)

W (x, m | - g, 2))

H ^). (N–g) km (t)

E/^(t),(t-g) ■i(t),(t-g+l)

(N), (N - g) km(T)

EI-) (t-g) (x) +

^).(N - g) eH^) (x)

Vidējais virtuālais prasības gaidīšanas laiks Itoj () ir skaitliski definēts kā

Identitāte (T) = | ^ W (x, T) .

Var noteikt arī virtuālā apkalpošanas laika sadalījumu patvaļīgi izvēlētam pieprasījumam Tobcl ^).

Tā kā izmaiņas Tobsl(t) aplūkotajā QS ir nejaušs process, kas ir divu eksponenciāli sadalītu nejaušu procesu Tobcl1 (t) un Tobcl2 ^ maisījums, sadalījums

V (x^) \u003d P (Tobsl (t)< х) не будет показательным. С учётом возможности отказа выражение для функции распределения V (х^) запишется в виде

EEU M k,.YR (t)

R.. ^) ° 0 ja 8. £ 8 .

Šeit V (x^| (r,.)) ir noteikta pieprasījuma apkalpošanas laika nosacītā sadales funkcija ar nosacījumu, ka tā saņemšanas brīdī tas noķēra QS stāvoklī ..

Ja pieprasījuma apkalpošanas sākuma brīdī QS ir tādā stāvoklī, kurā iespējama gan grupu, gan individuāla apkalpošana, tad apkalpošanas laiks ir divu pro-

pāreja uz grupu pakalpojumu - valsts iespējamības klātbūtnē (2. att.). Tādējādi mums ir:

U (M (i--/")) =

y (1 — e-m(t)x) + +y (1 — e^2(t)x),

I O(i+2)(]+1) ї 8, O(i+1)(.+1) - 8,

"2\* ^ I' I ^ +2)(.+1)

i = 0,1,...,N -1, i = 0,1,...,N -1.

Tā kā, ja nav divu brīvu kanālu, jebkuru pieprasījumu apkalpo viens kanāls, tad faktiskā viena kanāla piešķiršanas varbūtība (t) būs

det ir lielāks par doto V Funkcija φ ^) ir definēta kā

EEU O", "p (t)

R. (t) ° 0, ja I. ї 8 .

Šeit y1 (r,. ir iespējamība piešķirt vienu ierīci, lai apkalpotu lietojumprogrammu, ko QS saņēmis stāvoklī .:

O(i+1)(.+1) - 8, O(i

2)(}+1) -2)(!+1)

ilgums: Tobsl1 (t) un Tobsl2 (t), ras- i \u003d 0,1 ..., K -1, . \u003d 0,1 ..., K -1.

eksponenciāli ierobežots ar parametriem ^1 (t) un ^2 (t) attiecīgi. Ja iekšā

Šajā brīdī nav iespējams izvēlēties divus kanālus, tad pieprasījuma apkalpošanas laiks tiek sadalīts eksponenciāli ar parametru

t(t). Kad pieprasījums tuvojas apkalpošanas kanāliem stāvoklī B, pāreja uz individuālo apkalpošanu ir pieļaujama, ja

stāvokļa I iespējamības klātbūtne (

Vidējais QS ievadītās lietojumprogrammas apkalpošanas ilgums šobrīd

T var definēt kā UV(T) kā

Tbl (t) \u003d UV (t) Tm (t) + Tbs 2 (t).

Lietojumprogrammas virtuālā uzturēšanās laika sadalījums QS

u (x, m) \u003d P (Tpreb (t)< х)

tiek noteikts, izmantojot iepriekš iegūtās izteiksmes gaidīšanas laika un apkalpošanas laika sadalījuma funkcijām

brīnišķīgi kā es,

2^2 (m) Em^^(m)^^) (x) +

ЕЕi М)) рї (t)

un (x, m | (^ .)) =

1 — e-M1(t)x

y (1 - e-t (t) x) - + y2 (1 - e

(1 — e ^m(t)x),

O(i+1)(.+1) - 8, O(i+ 2)(.+1) ї 8'

О(і+1)(.+1) - 8’ О(і+2)(.+1) - 8,

r = 0,1,...^-1, . = 0'l'...'N-1.

Citiem stāvokļiem nosacītā sadalījuma funkcijas formulas tiek rakstītas pēc analoģijas ar formulām for

W (x^| (n, k, m)), izmantojot trīs rakstzīmju indeksāciju. Zemāk tie ir norādīti pirmajiem trim kanālu pilnīgas nodarbinātības stāvokļiem:

Kamēr pieprasījums tiek ievadīts, rindas nav, bet visi kanāli ir aizņemti:

u (x^| (n, k, m)) = u (x^ | (NN - g, 0)) =

(x), 0 £ g £ q;

Līdz lietojumprogrammas ienākšanas brīdim rindā ir viena lietojumprogramma:

R. (t) ° 0, ja I. ї 8 .

Šeit u (x^| (r,.)) ir noteikta pieprasījuma QS pavadītā laika nosacītā sadalījuma funkcija ar nosacījumu, ka tā saņemšanas brīdī t tā notvēra sistēmu stāvoklī ..

Valstīs ar bezmaksas kanāliem uzturēšanās laiks QS sakrīt ar apkalpošanas laiku:

Līdz brīdim, kad lietojumprogramma tiek ievadīta, rindā ir divas lietojumprogrammas:

un (x, m | (m, m - ^2))

(m) (m^) H (m) (m^+1)

(t) (t - g) ccm (t)

(t) (t - g) CCM (t)

Vidējais lietojumprogrammas virtuālais uzturēšanās laiks QS ir definēts kā

Tpreb ^) \u003d Tobsl (t) + identitāte (t) .

QS modeļa izmantošanas piemērs

Veicot atsevišķu tehnoloģisko operāciju ielidojošo lidmašīnu apkalpošanai, tiek simulēta vienas no Austrumeiropas reģionālo mezglu lidostu ražošanas kompleksa darbība dienas laikā. Kā sākotnējie dati modelēšanai, ielidojošo gaisa kuģu plūsmas vidējās intensitātes laika atkarības

uz pakalpojumu, i(t) un intensitāti

gaisa kuģa apkope ar vienu līdzekli t1 (t) .

Kā izriet no datiem

lidostas tīmekļa vietnes atkarības grafiks i(t)

(3.a att.), VS ienākšanu raksturo ievērojama nevienmērība: dienas laikā tiek novēroti četri intensitātes maksimumi, kas atbilst četriem “viļņiem”

mums» ielidošanas-izlidošanas lidojumi. Maksimālās vērtības 1(t) galvenajiem "viļņiem" sasniedz 25-30 VS/h.

Uz att. 3 un tiek parādīts arī atkarības t (t) grafiks. Tiek pieņemts, ka nē

tikai gaisa kuģu plūsmas intensitāte, bet arī to apkalpošanas intensitāte ir laika funkcija un ir atkarīga no "viļņa" fāzes. Fakts ir tāds, ka, lai samazinātu vidējo pasažieru pārsēšanās laiku, centrmezgla lidostas grafiks ir veidots tā, ka “vilni” ierosina lielu pasažieru lidmašīnu ielidošana, kuru uzturēšana prasa daudz laikā, un to pabeidz mazo lidmašīnu ierašanās. Piemērā pieņemts, ka vidējais viena instrumenta darbības ilgums, kas lielāko dienas daļu ir 20 minūtes, “viļņa” sākuma stadijā palielinās līdz 25 minūtēm. un pēdējā posmā tiek samazināts līdz 15 minūtēm. Tādējādi četri intervāli ar

zemāks līmenis t(t) att. 3a atbilst "viļņu" sākuma fāzēm, kad dominē lielu lidmašīnu ierašanās. Savukārt četri pieauguma intervāli

līmenis m ^) iekrīt finālā

"viļņu" fāzes, kurās pārsvarā ir mazie gaisa kuģi.

Tālāk ir aprakstīti simulācijas rezultāti, kas ļauj novērtēt sistēmas efektivitāti. Uz att. 3b-3d parāda aizņemto kanālu skaita vidējo vērtību atkarības no laika Nz ^),

kopējais pieteikumu skaits MOH sistēmā ^) un

rindu garumi Moj (7), kas iegūti divām varbūtības robežvērtībām n1 = 0 un n1 = 1 ar šādiem projektēšanas parametriem: N = 10; K = 40; pie = 1,75. Spriežot pēc atkarības grafika Nz (t)

(3.b att.), lielākajā daļā ikdienas laika intervāla sistēmas apkalpojošo kanālu noslogojums saglabājas zems, kas ir ievades nestacionaritātes sekas.

gaisa kuģu plūsma. Liela slodze (60-80%) tiek sasniegta tikai otrā iebraukšanas un izbraukšanas "viļņa" laikā, un opcija n1 = 0 lielām vērtībām 1(t) rada lielāku sistēmas slodzi un mazām vērtībām. no 1(t) - mazāk

salīdzinot ar variantu n1 = 1. Tajā pašā laikā kā

simulācija parādīja, ka atteices iespējamība aplūkotajā sistēmā abām iespējām ir niecīga.

Atkarības grafiku salīdzinājums

M3 ^) un Mozh ^) (attiecīgi 3.c un 3.d attēls) ļauj secināt, ka QS pie n1 = 0 vidēji ir mazāk pieprasījumu un ir paredzēts apkalpot vairāk pieprasījumu nekā pie n1 = 1. Šī pretruna ir izskaidrojams ar to, ka katra QS saņemtā prasība, kas n1 = 0 gadījumā aizņem divas

kanālu, atstāj mazāk bezmaksas kanālu šādiem klientiem, liekot viņiem izveidot lielāku rindu nekā gadījumā

n1 = 1. Tajā pašā laikā kanālu grupas izmantošana, samazinot apkalpošanas laiku, izraisa kopējā apkalpoto un neapstiprināto pieprasījumu skaita samazināšanos. Tātad aplūkotajā piemērā dienas vidējais apkalpošanas laiks

opcijai n1 = 1 ir 20 min., un par

opcija n1 = 0 - 11,7 min.

Iepriekš aplūkotais modelis ļauj atrisināt problēmas, kas saistītas ar transporta pakalpojumu kvalitātes optimālas vadības meklējumiem. Uz att. 3e, 3f parādīti daži šāda veida problēmas risināšanas rezultāti, kuru nozīme ir izskaidrota tālāk aplūkojamās lidostas piemērā.

Pat maksimālās slodzes laikā vidējais rindas garums, kas aplūkotajā piemērā nepārsniedz 0,6 lidmašīnas (3.d att.), negarantē, ka gaidīšanas laiks rindā būs pieņemams lielākajai daļai lidmašīnu. Neliels vidējais gaidīšanas laiks ar apmierinošu vidējo apkalpošanas operācijas veikšanas laiku

Tas neizslēdz arī nepieņemami ilgas dīkstāves iespēju atsevišķu gaisa kuģu apkopei. Apsveriet piemēru, kad lidostas pakalpojumu kvalitāte ir pakļauta prasībām gan attiecībā uz pakalpojumu gaidīšanas laika apmierinošu vērtību nodrošināšanu, gan attiecībā uz sistēmā pavadīto laiku. Mēs pieņemsim, ka vairāk nekā 90% lidmašīnu apkopes veikšanai vajadzētu būt dīkstāvē mazāk nekā 40 minūtes, un apkopes gaidīšanas laikam tādai pašai gaisa kuģu daļai vajadzētu būt mazākam par 5 minūtēm. Izmantojot iepriekš ieviesto apzīmējumu, šīs lidostas pakalpojumu kvalitātes prasības var uzrakstīt kā nevienlīdzības:

P (Tpreb (t)< 40мин)>09, P (ID (t)< 5мин)> 09

Uz att. 3e, 3f parāda varbūtību P laika atkarības (Tpreb (/)< 40мин)

un P (arī (")< 5 мин) для интервала времени

460-640 min. no modeļa dienas sākuma, kas atbilst otrajam ierašanos “vilnim”.

Kā redzams no attēliem, opcija n1 = 1 nav

nodrošina aptuveno servisa laika uzticamību: nosacījuma norādīto apkalpošanas laika prasību

P (Tpreb (t)< 40мин)>09 , tiek veikta tikai īsā laika posmā 530560 minūtes, kas atbilst mazo

Saule. Savukārt variants n1 = 0 nenodrošina aprēķināto ticamību attiecībā uz gaidīšanas laiku rindā: lielo lidmašīnu ielidošanas intervālā (500-510 min.)

Rīsi. 3. Simulācijas rezultāti 262

nosacījums P ir izpildīts (Tozh (t)< 5мин) > 0.9.

Kā parādīja simulācija, izeja no šīs situācijas var būt izvēle

kompromisa variants у1 » 0.2. Praksē šī iespēja nozīmē, ka lidostas dienestiem būtu jāpiešķir divi līdzekļi nevis visu gaisa kuģu apkalpošanai, bet tikai to lidmašīnu apkalpošanai, kuras ir izvēlētas pēc noteikta pamata, piemēram,

pasažieru ietilpība. Šeit y1 spēlē lomu

parametrs, kas ļauj kontrolēt QS veiktspēju: lietojumprogrammas gaidīšanas laiks rindā un laiks, kad lietojumprogramma paliek QS vai apkalpošanas laikā.

Tādējādi aplūkojamā sistēma, kas pieprasījuma apkalpošanai izmanto vienu vai divus kanālus vienlaikus, ir īpašs, bet praktiski nozīmīgs QS gadījums ar

kanālu savstarpēja palīdzība. Šāda QS dinamiskā modeļa izmantošana ļauj uzstādīt un atrisināt dažādus optimizācijas, tostarp daudzkritēriju, uzdevumus, kas saistīti ne tikai ar kopējo fondu skaita pārvaldīšanu, bet arī to savstarpējo palīdzību. Šādi uzdevumi ir īpaši aktuāli mezglu lidostām, kas ir pārsātinātas ar objektiem, ar to nestacionārajām lidojumu plūsmām un mainīgo pakalpojumu intensitāti. Tādējādi aplūkojamā QS modelis ir rīks tādas perspektīvas klases lidostu kā mezglu parametru analīzei un optimizēšanai.

Bibliogrāfiskais saraksts

1. Bočarovs, P.P. Rindas teorija [Teksts] / P.P. Bočarovs, A.V. Pečinkins. - M.: RUDN Universitātes Izdevniecība, 1995. - 529 lpp.

RINDAS SISTĒMAS MODELIS AR NESTACIONĀRĀM STRAUMĒM UN DAĻĒJU Savstarpēju PALĪDZĪBU STARP KANĀLIEM

© 2011 V. A. Romaņenko

Samaras Valsts aviācijas un kosmosa universitāte, kas nosaukta akadēmiķa S. P. Koroļova vārdā (Nacionālā pētniecības universitāte)

Aprakstīts dinamisks daudzkanālu rindu sistēmas modelis ar nestacionārām straumēm, gaidīšanu ierobežota garuma rindā un kanālu daļēju savstarpēju palīdzību, kas izteikta iespēja vienlaicīgi apkalpot klientu pa diviem kanāliem. Sistēmas pamata varbūtības laika raksturlielumu izteiksmes ir dotas. Kā apskatītās sistēmas piemērs ir aprakstīti mezgla lidostas funkcionēšanas modelēšanas rezultāti.

Rindas sistēma, nestacionāra plūsma, savstarpēja palīdzība starp kanāliem, mezgla lidosta.

Informācija par autoru Romaņenko Vladimirs Aleksejevičs, Ph.D. E-pasts: [aizsargāts ar e-pastu] Zinātniskās intereses: mezgla lidostas transporta pakalpojumu sistēmas optimizācija un modelēšana.

Romaņenko Vladimirs Aleksejevičs, tehnisko zinātņu kandidāts, asociētais profesors, doktora grāds Transporta organizācijas un vadības katedrā, Samaras Valsts aviācijas un kosmosa universitāte, kas nosaukta akadēmiķa S. P. Koroļova vārdā (Nacionālā pētniecības universitāte). E-pasts: [aizsargāts ar e-pastu].ru. Pētniecības joma: centrmezgla lidostas transporta pakalpojumu sistēmas optimizācija un simulācija.

Līdz šim esam izskatījuši tikai tos QS, kuros katru prasību var apkalpot tikai viens kanāls; dīkstāves kanāli nevar "palīdzēt" aizņemtam pakalpojumam.

Kopumā tas ne vienmēr notiek: pastāv rindas sistēmas, kurās vienu un to pašu pieprasījumu var apkalpot vienlaikus divi vai vairāki kanāli. Piemēram, viena un tā pati neveiksmīga iekārta var apkalpot divus strādniekus vienlaikus. Šāda "savstarpēja palīdzība" starp kanāliem var notikt gan atvērtā, gan slēgtā QS.

Apsverot KTO ar savstarpēju palīdzību starp kanāliem, jāņem vērā divi faktori:

1. Cik daudz ātrāka ir aplikācijas apkalpošana, ja tajā strādā nevis viens, bet vairāki kanāli vienlaikus?

2. Kas ir “savstarpējās palīdzības disciplīna”, t.i., kad un kā vairāki kanāli pārņem viena pieprasījuma apkalpošanu?

Vispirms apskatīsim pirmo jautājumu. Ir likumsakarīgi pieņemt, ka, ja pieprasījuma apkalpošanā strādā vairāk nekā viens kanāls, bet vairāki kanāli, pakalpojuma plūsmas intensitāte, palielinoties k, nesamazināsies, t.i., tā būs noteikta skaitļa k nesamazinoša funkcija. darba kanāliem. Apzīmēsim šo funkciju Funkcijas iespējamā forma parādīta att. 5.11.

Acīmredzot, neierobežots vienlaikus darbojošos kanālu skaita pieaugums ne vienmēr rada proporcionālu pakalpojuma tarifa pieaugumu; dabiskāk ir pieņemt, ka pie noteiktas kritiskās vērtības turpmāks aizņemto kanālu skaita pieaugums vairs nepalielina pakalpojuma intensitāti.

Lai analizētu QS darbību ar savstarpēju palīdzību starp kanāliem, pirmkārt, ir jāiestata funkcijas veids

Vienkāršākais izpētes gadījums būs gadījums, kad funkcija palielinās proporcionāli k, kad a paliek nemainīga un vienāda, kad a (sk. 5.12. att.). Ja turklāt kopējais kanālu skaits, kas var palīdzēt viens otram, nepārsniedz

Tagad pievērsīsimies otrajam jautājumam: savstarpējās palīdzības disciplīnai. Šīs disciplīnas vienkāršāko gadījumu mēs nosacīti apzīmēsim kā “visi kā viens”. Tas nozīmē, ka, parādoties vienai lietojumprogrammai, visi kanāli sāk to apkalpot uzreiz un paliek aizņemti līdz šīs lietojumprogrammas apkalpošanas beigām; tad visi kanāli pārslēdzas uz cita pieprasījuma apkalpošanu (ja tāds eksistē) vai gaida tā parādīšanos, ja tāda neeksistē utt.. Acīmredzot šajā gadījumā visi kanāli strādā kā viens, QS kļūst vienkanāla, bet ar augstāku servisu intensitāte.

Rodas jautājums: vai ir izdevīgi vai neizdevīgi ieviest šādu savstarpēju palīdzību starp kanāliem? Atbilde uz šo jautājumu ir atkarīga no lietojumprogrammu plūsmas intensitātes, kāda veida funkcija, kāda veida QS (ar kļūmēm, ar rindu), kāda vērtība ir izvēlēta kā pakalpojuma efektivitātes raksturojums.

1. piemērs. Ir trīs kanālu QS ar kļūmēm: lietojumprogrammu plūsmas intensitāte (lietojumprogrammas minūtē), vienas lietojumprogrammas vidējais apkalpošanas laiks pa vienu kanālu (min), funkcija "? Vai tas ir izdevīgi no pieteikuma vidējā uzturēšanās laika samazināšanās sistēmā?

Risinājums a. Bez savstarpējas palīdzības

Ar Erlang formulām (sk. 4. §) mums ir:

QS relatīvā kapacitāte;

Absolūtais joslas platums:

Iesnieguma vidējais uzturēšanās laiks QS tiek noteikts kā iespējamība, ka pieteikums tiks pieņemts apkalpošanā, reizināts ar vidējo apkalpošanas laiku:

Būtība (min).

Nedrīkst aizmirst, ka šis vidējais laiks attiecas uz visiem pieprasījumiem – gan apkalpotajiem, gan neapkalpotajiem.Mūs varētu interesēt vidējais laiks, kādā apkalpotais pieprasījums paliks sistēmā. Šoreiz ir:

6. Ar savstarpēju palīdzību.

Pieteikuma vidējais uzturēšanās laiks TKO:

Apkalpotā pieprasījuma vidējais uzturēšanās laiks QS:

Līdz ar to, pastāvot savstarpējai palīdzībai “visi kā viens”, SMO caurlaidspēja ir manāmi samazinājusies. Tas tiek skaidrots ar kļūmes iespējamības palielināšanos: kamēr visi kanāli ir aizņemti ar vienas lietojumprogrammas apkalpošanu, var nākt citas lietojumprogrammas, kuras, protams, tiks atteiktas. Kas attiecas uz pieteikuma vidējo uzturēšanās laiku TKO, tas, kā bija paredzēts, samazinājās. Ja kāda iemesla dēļ mēs cenšamies visos iespējamos veidos samazināt laiku, ko aplikācija pavada QS (piemēram, ja uzturēšanās QS ir bīstama lietojumprogrammai), var izrādīties, ka, neskatoties uz caurlaidspēju, joprojām būs izdevīgi apvienot trīs kanālus vienā.

Tagad ar cerībām apsvērsim savstarpējās palīdzības “visi kā viens” ietekmi uz TKO darbu. Vienkāršības labad mēs ņemam tikai neierobežotas rindas gadījumu. Protams, savstarpēja palīdzība šajā gadījumā neietekmēs QS caurlaidspēju, jo jebkuros apstākļos tiks apkalpoti visi ienākošie pieteikumi. Rodas jautājums par savstarpējās palīdzības ietekmi uz gaidīšanas pazīmēm: vidējo rindas garumu, vidējo gaidīšanas laiku, vidējo QS pavadīto laiku.

Saskaņā ar formulām (6.13), (6.14) 6. § apkalpošanai bez savstarpējas palīdzības vidējais klientu skaits rindā būs

vidējais gaidīšanas laiks:

un vidējais sistēmā pavadītais laiks:

Ja tiek izmantota savstarpēja palīdzība “visi kā viens”, sistēma darbosies kā vienkanāla sistēma ar parametriem

un tā raksturlielumus nosaka ar formulām (5.14), (5.15) 5. §:

Piemērs 2. Ir trīs kanālu QS ar neierobežotu rindu; lietojumprogrammu plūsmas intensitāte (pieteikumi minūtē), vidējais apkalpošanas laiks Funkcija Noderīga, ņemot vērā:

Vidējais rindas garums

Vidējais pakalpojuma gaidīšanas laiks,

Pieteikuma vidējais uzturēšanās laiks TKO

ieviest savstarpēju palīdzību starp kanāliem, piemēram, "visi kā viens"?

Risinājums a. Nav savstarpējas palīdzības.

Pēc formulām (9.1) - (9.4) mums ir

(3-2)

b. Ar savstarpēju palīdzību

Pēc formulām (9.5) - (9.7) atrodam;

Tādējādi vidējais rindas garums un vidējais gaidīšanas laiks rindā savstarpējās palīdzības gadījumā ir lielāks, bet iesnieguma vidējais uzturēšanās laiks sistēmā ir mazāks.

No aplūkotajiem piemēriem ir skaidrs, ka savstarpēja palīdzība starp k? Skaidras naudas veids “visi kā viens”, kā likums, neveicina pakalpojuma efektivitātes paaugstināšanos: samazinās aplikācijas pavadītais laiks QS, bet pasliktinās citi pakalpojuma raksturlielumi.

Līdz ar to ir vēlams mainīt apkalpošanas disciplīnu, lai kanālu savstarpējā palīdzība netraucētu pieņemt jaunus apkalpošanas pieprasījumus, ja tie parādās laikā, kad visi kanāli ir aizņemti.

Par "vienotu savstarpējo palīdzību" nosacīti sauksim šādu savstarpējās palīdzības veidu. Ja pieprasījums pienāk brīdī, kad visi kanāli ir brīvi, tad tā apkalpošanai tiek pieņemti visi kanāli; ja pieprasījuma apkalpošanas brīdī pienāk cits, daži kanāli pārslēdzas uz tā apkalpošanu; ja, kamēr šie divi pieprasījumi tiek apkalpoti, pienāk vēl viens, daži kanāli tiek pārslēgti, lai to apkalpotu, un tā tālāk, līdz visi kanāli ir aizņemti; ja tā, tad tikko saņemtā prasība tiek noraidīta (QS ar atteikumiem) vai ievietota rindā (QS ar gaidīšanu).

Ar šo savstarpējās palīdzības disciplīnu iesniegums tiek noraidīts vai ierindots rindā tikai tad, kad to nav iespējams izsniegt. Kas attiecas uz kanālu “dīkstāves laiku”, tā šādos apstākļos ir minimāla: ja sistēmā ir vismaz viena lietojumprogramma, visi kanāli darbojas.

Iepriekš minējām, ka, parādoties jaunam pieprasījumam, daži no aizņemtajiem kanāliem tiek atbrīvoti un tiek pārslēgti uz tikko saņemtā pieprasījuma apkalpošanu. Kura daļa? Tas ir atkarīgs no funkcijas veida.Ja tai ir lineāras attiecības forma, kā parādīts att. 5.12, un nav nozīmes tam, kuru kanālu daļu atvēlēt tikko saņemta pieprasījuma apkalpošanai, ja vien visi kanāli ir aizņemti (tad kopējā pakalpojumu intensitāte jebkuram kanālu sadalījumam pēc pieprasījumiem būs vienāda ar ). Var pierādīt, ka, ja līkne ir izliekta uz augšu, kā parādīts attēlā. 5.11, tad jums ir nepieciešams pēc iespējas vienmērīgāk sadalīt kanālus starp lietojumprogrammām.

Apskatīsim -kanāla QS darbu ar "vienotu" savstarpēju palīdzību starp kanāliem.

Problēmas formulēšana. Pie ieejas n-kanāls QS saņem vienkāršāko pieprasījumu plūsmu ar blīvumu λ. Katra kanāla vienkāršākās pakalpojumu plūsmas blīvums ir vienāds ar μ. Ja pēc saņemtā pakalpojuma pieprasījuma visi kanāli ir brīvi, tas tiek pieņemts apkalpošanai un apkalpots vienlaicīgi l kanāli ( l < n). Šajā gadījumā viena pieprasījuma pakalpojumu plūsmai būs intensitāte l.

Ja saņemtais pieprasījums par apkalpošanu sistēmā atrod vienu pieprasījumu, tad n ≥ 2l tikko saņemtais pieteikums tiks pieņemts apkalpošanai un tiks apkalpots vienlaicīgi l kanāliem.

Ja sistēmā atrod pieteikums, kas saņemts par apkalpošanu i lietojumprogrammas ( i= 0,1, ...), kamēr ( i+ 1)l≤ n, tad saņemtais pieprasījums tiks apkalpots l kanāli ar kopējo jaudu l. Ja sistēmā atrod tikko saņemts pieteikums j pieprasījumus, un vienlaikus tiek apmierinātas divas nevienlīdzības: ( j + 1)l > n un j < n, tad pieteikums tiks pieņemts apkalpošanai. Šajā gadījumā dažas lietojumprogrammas var tikt pasniegtas l kanāli, otra daļa mazāka par l, kanālu skaits, bet visi n kanālus, kas tiek nejauši sadalīti starp lietojumprogrammām. Ja sistēmā tiek atrasts tikko saņemts pieteikums n pieteikumus, tas tiek noraidīts un netiks izsniegts. Apkalpotā lietojumprogramma tiek apkalpota līdz galam (lietojumprogrammas ir "pacientas").

Šādas sistēmas stāvokļa grafiks ir parādīts attēlā. 3.8.

Rīsi. 3.8. QS stāvokļa grafiks ar kļūmēm un daļēju

savstarpēja palīdzība starp kanāliem

Ņemiet vērā, ka sistēmas stāvokļa grafiks līdz stāvoklim x h sakrīt ar klasiskās rindu sistēmas stāvokļa grafiku ar atteicēm, kas parādīts 2. att., līdz plūsmas parametru apzīmējumam. 3.6.

Sekojoši,

(i = 0, 1, ..., h).

Sistēmas stāvokļu grafiks, sākot no stāvokļa x h un beidzot ar valsti x n, līdz apzīmējumam sakrīt ar QS stāvokļa grafiku ar pilnīgu savstarpēju palīdzību, kas parādīts attēlā. 3.7. Pa šo ceļu,

.

Mēs ieviešam apzīmējumu λ / lμ = ρ l ; λ / nμ = χ, tad

Ņemot vērā normalizēto stāvokli, mēs iegūstam

Lai saīsinātu turpmāku apzīmējumu, mēs ieviešam apzīmējumu

Atrodiet sistēmas īpašības.

Lietojumprogrammas pakalpojuma varbūtība

Vidējais pieteikumu skaits sistēmā,

Vidēji aizņemti kanāli

.

Varbūtība, ka konkrēts kanāls būs aizņemts

.

Visu sistēmas kanālu aizņemtības varbūtība

3.4.4. Rindu sistēmas ar atteicēm un neviendabīgām plūsmām

Problēmas formulēšana. Pie ieejas n-kanāls QS saņem nehomogēnu elementāru plūsmu ar kopējo intensitāti λ Σ , un

λ Σ = ,

kur λ i- pieteikumu intensitāte i-m avots.

Tā kā pieprasījumu plūsma tiek uzskatīta par prasību superpozīcija no dažādiem avotiem, apvienoto plūsmu ar pietiekamu precizitāti praksei var uzskatīt par Puasona. N = 5...20 un λ i ≈ λ i +1 (i1,N). Vienas ierīces apkalpošanas intensitāte ir sadalīta saskaņā ar eksponenciālo likumu un ir vienāda ar μ = 1/ t. Servisa ierīces lietojumprogrammas apkalpošanai ir savienotas virknē, kas ir līdzvērtīga apkalpošanas laika pagarināšanai tik reižu, cik ierīču tiek apvienotas apkalpošanai:

t obs = kt, μ obs = 1 / kt = μ/ k,

kur t obs – pieprasīt dienesta laiku; k- apkalpošanas ierīču skaits; μ obs - lietojumprogrammas pakalpojuma intensitāte.

2. nodaļā izdarīto pieņēmumu ietvaros mēs attēlojam QS stāvokli kā vektoru , kur k m ir pieprasījumu skaits sistēmā, no kuriem katrs tiek apkalpots m ierīces; L = q max- q min +1 ir ievades straumju skaits.

Pēc tam aizņemto un brīvo ierīču skaits ( n zan ( ),n sv ( )) spēj ir definēts šādi:

Ārpus valsts sistēma var pāriet uz jebkuru citu stāvokli . Tā kā sistēmai ir L ievades straumes, tad no katra stāvokļa tas ir potenciāli iespējams L tiešas pārejas. Tomēr sistēmas ierobežoto resursu dēļ ne visas šīs pārejas ir iespējamas. Lai QS ir stāvoklī un pienāk pieteikums, kas prasa m ierīces. Ja m≤ n sv ( ), tad pieprasījums tiek pieņemts apkalpošanai un sistēma pāriet stāvoklī ar intensitāti λ m. Ja lietojumprogrammai ir nepieciešams vairāk ierīču nekā ir bezmaksas, tā saņems pakalpojuma atteikumu, un QS paliks stāvoklī . Ja var ir nepieciešami pieteikumi m ierīces, tad katra no tām tiek apkalpota ar intensitāti  m, un kopējo šādu pieprasījumu apkalpošanas intensitāti (μ m) ir definēts kā μ m = k m μ / m. Kad viena pieprasījuma apkalpošana ir pabeigta, sistēma pāries stāvoklī, kurā atbilstošajai koordinātei ir par vienu mazāka vērtība nekā stāvoklī ,=, t.i. notiks apgrieztā pāreja. Uz att. 3.9 parāda QS vektora modeļa piemēru n = 3, L = 3, q min = 1, q max = 3, P(m) = 1/3, λ Σ = λ, instrumenta apkopes intensitāte ir μ.

Rīsi. 3.9. QS vektora modeļa grafika piemērs ar pakalpojuma atteikumu

Tātad katrā valstī ko raksturo noteikta veida apkalpoto pieprasījumu skaits. Piemēram, štatā
vienu pretenziju apkalpo viena ierīce, bet vienu pretenziju — divas ierīces. Šajā stāvoklī visas ierīces ir aizņemtas, tāpēc ir iespējamas tikai apgrieztās pārejas (jebkura klienta ierašanās šajā stāvoklī noved pie pakalpojuma atteikuma). Ja pirmā veida pieprasījuma apkalpošana beidzās agrāk, sistēma pārslēgsies uz stāvokli (0,1,0) ar intensitāti μ, bet, ja otrā veida pieprasījuma apkalpošana beidzās agrāk, tad sistēma pāries stāvoklī (0,1,0) ar intensitāti μ/2.

Lineāro algebrisko vienādojumu sistēma tiek sastādīta no stāvokļu grafika ar pielietotām pārejas intensitātēm. No šo vienādojumu atrisinājuma tiek atrastas varbūtības R(), ar kuru tiek noteikts QS raksturlielums.

Apsveriet atrašanu R otk (pakalpojuma atteikuma varbūtība).

,

kur S ir QS vektora modeļa grafika stāvokļu skaits; R() ir varbūtība, ka sistēma atrodas stāvoklī .

Stāvokļu skaits saskaņā ar ir definēts šādi:

, (3.22)

;

Noteiksim QS vektora modeļa stāvokļu skaitu saskaņā ar (3.22) attēlā redzamajam piemēram. 3.9.

.

Sekojoši, S = 1 + 5 + 1 = 7.

Lai ieviestu reālas prasības servisa ierīcēm, pietiekami liels skaits n (40, ..., 50), un pieprasījumi par lietojumprogrammas apkalpojošo ierīču skaitu praksē ir robežās no 8 līdz 16. Ar šādu instrumentu un pieprasījumu attiecību ierosinātais varbūtību noteikšanas veids kļūst ārkārtīgi apgrūtinošs, jo QS vektora modelim ir liels stāvokļu skaits S(50) = 1790, S(60) = 4676, S(70) = 11075, un algebrisko vienādojumu sistēmas koeficientu matricas lielums ir proporcionāls kvadrātam S, kas prasa lielu datora atmiņas apjomu un ievērojamu datora laiku. Vēlme samazināt aprēķinu apjomu veicināja atkārtotu skaitļošanas iespēju meklēšanu R(), pamatojoties uz stāvokļa varbūtību reprezentācijas multiplikatīvām formām. Darbā ir sniegta pieeja aprēķinam R():

(3.23)

Darbā piedāvātā Markova ķēžu globālo un detalizēto bilanču ekvivalences kritērija izmantošana ļauj samazināt problēmas dimensiju un veikt aprēķinus uz vidējas jaudas datora, izmantojot aprēķinu atkārtošanos. Turklāt ir iespēja:

– aprēķiniet jebkuras vērtības n;

– paātrināt aprēķinu un samazināt mašīnas laika izmaksas.

Līdzīgi var definēt arī citus sistēmas raksturlielumus.

Apskatīsim daudzkanālu rindu sistēmu (kopā ir n kanāli), kurā pieprasījumi pienāk ar ātrumu λ un tiek apkalpoti ar ātrumu μ. Sistēmā ienākušais pieprasījums tiek apkalpots, ja ir brīvs vismaz viens kanāls. Ja visi kanāli ir aizņemti, nākamais pieprasījums, kas ienāk sistēmā, tiek noraidīts un atstāj QS. Mēs numurējam sistēmas stāvokļus pēc aizņemto kanālu skaita:

• S 0 – visi kanāli ir brīvi;
• S 1 – viens kanāls ir aizņemts;
• S 2 – divi kanāli ir aizņemti;
• Sk- aizņemts k kanāli;
• Sn– visi kanāli ir aizņemti.

Ir acīmredzams, ka sistēma pārvietojas no stāvokļa uz stāvokli pieprasījumu ievades plūsmas ietekmē. Izveidosim stāvokļu grafiku šai rindu sistēmai.

Rīsi. 7.24
6.24. attēlā parādīts stāvokļa grafiks, kurā Si- kanāla numurs; λ ir pieteikumu saņemšanas intensitāte; μ - attiecīgi lietojumprogrammu apkalpošanas intensitāte. Lietojumprogrammas iekļūst rindu sistēmā ar nemainīgu intensitāti un pamazām aizņem kanālus vienu pēc otra; kad visi kanāli ir aizņemti, nākamais pieprasījums, kas pienāk QS, tiks noraidīts un tiks atstāts no sistēmas.
Noteiksim notikumu plūsmu intensitātes, kas pārnes sistēmu no stāvokļa uz stāvokli, pārvietojoties pa stāvokļu grafiku gan no kreisās puses uz labo, gan no labās uz kreiso.
Piemēram, ļaujiet sistēmai būt stāvoklī S 1 , t.i., viens kanāls ir aizņemts, jo tā ieejā ir pretenzija. Tiklīdz pieprasījums tiks apstrādāts, sistēma pārslēgsies uz stāvokli S 0 .
Piemēram, ja divi kanāli ir aizņemti, tad pakalpojuma plūsma, kas pārsūta sistēmu no stāvokļa S 2 katrā valstī S 1 būs divreiz intensīvāks: 2-μ; attiecīgi, ja aizņemts k kanāliem, intensitāte ir vienāda ar k-μ.

Kalpošanas process ir nāves un vairošanās process. Kolmogorova vienādojumiem šajā konkrētajā gadījumā būs šāda forma:

(7.25)
Tiek izsaukti vienādojumi (7.25). Erlanga vienādojumi .
Lai atrastu stāvokļu varbūtību vērtības R 0 , R 1 , …, Rn, ir jānosaka sākotnējie nosacījumi:
– R 0 (0) = 1, t.i., sistēmas ieejā ir pieprasījums;
– R 1 (0) = R 2 (0) = … = Rn(0) = 0, t.i., sākotnējā brīdī sistēma ir brīva.
Pēc diferenciālvienādojumu sistēmas (7.25) integrēšanas iegūstam stāvokļa varbūtību vērtības R 0 (t), R 1 (t), … Rn(t).
Taču mūs daudz vairāk interesē stāvokļu ierobežojošās varbūtības. Kā t → ∞ un izmantojot formulu, kas iegūta, aplūkojot nāves un vairošanās procesu, iegūstam vienādojumu sistēmas (7.25) atrisinājumu:

(7.26)
Šajās formulās intensitātes attiecība λ / μ lietojumprogrammu plūsmai ir ērti norādīt ρ .Šo vērtību sauc samazināta lietojumprogrammu plūsmas intensitāte, tas ir, vidējais QS ienākošo pieteikumu skaits viena pieteikuma vidējam apkalpošanas laikam.

Ņemot vērā iepriekš minēto apzīmējumu, vienādojumu sistēmai (7.26) ir šāda forma:

(7.27)
Šīs robežas varbūtību aprēķināšanas formulas sauc Erlang formulas .
Zinot visas QS stāvokļu varbūtības, mēs atrodam QS efektivitātes raksturlielumus, t.i., absolūto caurlaidspēju BET, relatīvā caurlaidspēja J un neveiksmes varbūtība R atvērts
Sistēmā ienākošais pieprasījums tiks noraidīts, ja visi kanāli būs aizņemti:

.
Varbūtība, ka pieteikums tiks pieņemts pakalpojumam:

J = 1 – R otk,
kur J ir vidējā sistēmas apkalpoto ienākošo pieprasījumu daļa vai vidējais QS apkalpoto pieprasījumu skaits laika vienībā, dalīts ar vidējo šajā laikā saņemto pieprasījumu skaitu:

A=λ Q=λ (1-P atvērts)
Turklāt viens no svarīgākajiem QS raksturlielumiem ar kļūmēm ir vidēji aizņemti kanāli. AT n-kanāla QS ar kļūmēm, šis skaitlis sakrīt ar vidējo pieteikumu skaitu QS.
Vidējo pielietojumu skaitu k var aprēķināt tieši ar stāvokļu Р 0 , Р 1 , … , Р n varbūtībām:

,
i., mēs atrodam diskrēta gadījuma lieluma matemātisko cerību, kura vērtība ir no 0 līdz n ar varbūtībām R 0 , R 1 , …, Rn.
Vēl vienkāršāk ir izteikt k vērtību QS absolūtās caurlaidības izteiksmē, t.i. A. A vērtība ir vidējais sistēmas apkalpoto lietojumprogrammu skaits laika vienībā. Viens aizņemts kanāls apkalpo μ pieprasījumus laika vienībā, tad vidējais aizņemto kanālu skaits

Lielākajā daļā gadījumu praksē rindu sistēma ir daudzkanālu, tas ir, vairākas lietojumprogrammas var apkalpot paralēli, un tāpēc , pakalpojumu kanālu modeļi(kur pakalpojumu kanālu skaits n>1) neapšaubāmi interesē.
Šī modeļa aprakstīto rindas procesu raksturo ieejas plūsmas intensitāte λ, savukārt ne vairāk kā n klienti (pieteikumi). Viena lietojuma vidējais apkalpošanas ilgums ir vienāds ar 1/μ. Viena vai otra pakalpojuma kanāla darbības režīms neietekmē citu sistēmas apkalpošanas kanālu darbības režīmu, un apkalpošanas procedūras ilgums katram no kanāliem ir nejaušs lielums, ko regulē eksponenciālās sadales likums. Paralēli savienoto servisa kanālu izmantošanas galvenais mērķis ir palielināt (salīdzinājumā ar viena kanāla sistēmu) apkalpošanas prasību izpildes ātrumu, veicot apkalpošanu vienlaicīgi. n klientiem.
Sistēmas stacionārajam risinājumam ir šāda forma:
;
kur,.
Formulas varbūtību aprēķināšanai sauc Erlang formulas.
Noteiksim daudzkanālu QS darbības varbūtības raksturlielumus ar kļūmēm stacionārā režīmā:
atteices varbūtība:
.
jo pieteikums tiek noraidīts, ja tas tiek saņemts laikā, kad visi kanāli ir aizņemti. Vērtība R otk raksturo ienākošās straumes apkalpošanas pilnīgumu;
varbūtība, ka pieteikums tiks pieņemts izsniegšanai(tā ir arī sistēmas relatīvā caurlaidspēja) papildina R otk līdz vienam:
.
absolūtais joslas platums

vidējais pakalpojuma aizņemto kanālu skaits() sekojošais:

Vērtība raksturo QS noslogojuma pakāpi.
Piemērs. Ļaujiet n-kanāls QS ir datoru centrs (CC) ar trim ( n=3) maināmi datori ienākošo uzdevumu risināšanai. Uzdevumu plūsmai, kas nonāk CC, intensitāte ir λ=1 uzdevums stundā. Vidējais dienesta ilgums t aptuveni =1,8 stundas.
Ir nepieciešams aprēķināt vērtības:
- aizņemto CC kanālu skaita varbūtības;
- pieteikuma iesniegšanas atteikuma iespējamība;
- CC relatīvā kapacitāte;
- CC absolūtā jauda;
- vidējais KP nodarbināto personālo datoru skaits.
Nosakiet, cik daudz papildu datora ir jāiegādājas, lai palielinātu datorcentra caurlaidspēju 2 reizes.
Risinājums.
Definēsim pakalpojuma plūsmas parametru μ:
.
Samazināta lietojumprogrammu plūsmas intensitāte
.
Mēs atrodam stāvokļu ierobežojošās varbūtības, izmantojot Erlang formulas:

Lietojumprogrammas apkalpošanas atteikuma iespējamība
.
VC relatīvā caurlaidspēja
.
CC absolūtā caurlaidspēja:
.
Vidējais aizņemto kanālu skaits - dators

Tādējādi QS izveidotajā darbības režīmā vidēji būs aizņemti 1,5 datori no trim - atlikušais pusotrs būs dīkstāvē. Aplūkojamā KP darbu diez vai var uzskatīt par apmierinošu, jo centrs pieteikumus neapkalpo vidēji 18% gadījumu (Р 3 = 0,180). Ir skaidrs, ka datorcentra kapacitāti dotajiem λ un μ var palielināt tikai palielinot datoru skaitu.
Noskaidrosim, cik daudz ir nepieciešams izmantot datoru, lai 10 reizes samazinātu neapkalpoto pieprasījumu skaitu, kas nonāk CC, t.i. lai neveiksmes varbūtība uzdevumu risināšanā nepārsniegtu 0,0180. Lai to izdarītu, mēs izmantojam neveiksmes varbūtības formulu:

Izveidosim šādu tabulu:

n
P 0	0,357	0,226	0,186	0,172	0,167	0,166
P atvērts	0,673	0,367	0,18	0,075	0,026	0,0078

Analizējot tabulas datus, jāatzīmē, ka CC kanālu skaita paplašināšana dotajām λ un μ vērtībām līdz 6 PC vienībām nodrošinās lietojumprogrammu apmierinātību problēmu risināšanai par 99,22%, jo ar n= 6 pakalpojuma atteikuma varbūtība ( R otk) ir 0,0078.