Uzdevuma avots: Uzdevums 10_20. USE 2018 Sociālās studijas. Risinājums

20. uzdevums. Izlasiet zemāk esošo tekstu, kurā trūkst vairāku vārdu (frāžu). Izvēlieties no piedāvātā vārdu (frāžu) saraksta, ko vēlaties ievietot atstarpju vietā.

“Dzīves kvalitāte ir atkarīga no daudziem faktoriem, sākot no cilvēka dzīvesvietas līdz vispārējai sociāli ekonomiskajai un (A) situācijai, kā arī politisko lietu stāvoklim valstī. Dzīves kvalitāti vienā vai otrā pakāpē var ietekmēt demogrāfiskā situācija, dzīves un darba apstākļi, _____ (B) apjoms un kvalitāte utt. Atkarībā no vajadzību apmierināšanas pakāpes ekonomikā ir ierasts atšķirt dažādus iedzīvotāju dzīves līmeņus: (B) cilvēka vispusīgas attīstības nodrošināšana; normāls _____ (G) līmenis pēc zinātniski pamatotiem standartiem, nodrošinot personai viņa fizisko un intelektuālo spēku atjaunošanu; nabadzība - preču patēriņš darbaspēju saglabāšanas līmenī kā vairošanās apakšējā robeža _____ (D); nabadzība ir preču un pakalpojumu kopuma patēriņš, kas ir minimāli pieņemams pēc bioloģiskiem kritērijiem, kas tikai ļauj saglabāt cilvēka dzīvotspēju.

Iedzīvotāji, pielāgojoties tirgus apstākļiem, izmanto dažādus papildu ienākumu avotus, tajā skaitā ienākumus no personīgajiem palīggabaliem, peļņu no _____ (E)”.

Vārdi (frāzes) sarakstā norādīti nominatīvā gadījumā. Katru vārdu (frāzi) var izmantot tikai vienu reizi.

Izvēlieties secīgi vienu vārdu (frāzi) pēc otra, garīgi aizpildot katru robu. Lūdzu, ņemiet vērā, ka sarakstā ir vairāk vārdu (frāžu), nekā nepieciešams, lai aizpildītu nepilnības.

Terminu saraksts:

1) kapitāls

2) ekoloģisks

3) racionāls patēriņš

4) patēriņa preces

5) ražošanas līdzekļi

7) darbaspēks

8) uzņēmējdarbība

9) sociālā mobilitāte

Risinājums.

Ievietosim terminus tekstā.

“Dzīves kvalitāte ir atkarīga no daudziem faktoriem, sākot no cilvēka dzīvesvietas līdz vispārējai sociālekonomiskajai un vides (2) (A) situācijai, kā arī no politisko lietu stāvokļa valstī. Dzīves kvalitāti zināmā mērā var ietekmēt demogrāfiskā situācija, dzīves un darba apstākļi, patēriņa preču apjoms un kvalitāte (4) (B) utt. Atkarībā no vajadzību apmierināšanas pakāpes ekonomikā tas ir ierasts izdalīt dažādus iedzīvotāju dzīves līmeņus : labklājība - pabalstu izmantošana (6) (B), kas nodrošina cilvēka vispusīgu attīstību; normāls racionāla patēriņa līmenis (3) (D) pēc zinātniski pamatotiem standartiem, nodrošinot personai viņa fizisko un intelektuālo spēku atjaunošanu; nabadzība - preču patēriņš darba spēju saglabāšanas līmenī kā darbaspēka atražošanas apakšējā robeža (7) (E); nabadzība ir preču un pakalpojumu kopuma patēriņš, kas ir minimāli pieņemams pēc bioloģiskiem kritērijiem, kas tikai ļauj saglabāt cilvēka dzīvotspēju.

Pieņemsim, ka R ir kopas X bināra relācija. Tiek izsaukta relācija R atstarojošs , ja (x, x) О R visiem x О X; simetrisks – ja (x, y) О R nozīmē (y, x) О R; pārejas skaitlis 23 atbilst variantam 24, ja (x, y) Î R un (y, z) Î R nozīmē (x, z) Î R.

1. piemērs

Mēs teiksim, ka x н X ir kopīgs ar elementu y н X ja kopa
x З y nav tukšs. Kopīgā saistība būs refleksīva un simetriska, bet ne pārejoša.

Ekvivalences attiecība uz X sauc par refleksīvu, pārejošu un simetrisku attiecību. Ir viegli saprast, ka R Н X ´ X būs ekvivalences attiecība tad un tikai tad, ja notiek iekļaušana:

Id X Í R (refleksivitāte),

R -1 Í R (simetrija),

R ° R Í R (transitivitāte).

Faktiski šie trīs nosacījumi ir līdzvērtīgi šādiem:

Id X Í R, R -1 = R, R ° R = R.

sadalīšana kopa X ir pa pāriem disjunktu apakškopu kopa A н X tā, ka UA = X. Ar katru A nodalījumu mēs varam saistīt ekvivalences attiecību ~ uz X, iestatot x ~ y, ja x un y ir kādas a н A elementi. .

Katrai ekvivalences relācijai ~ uz X atbilst nodalījums A, kura elementi ir apakškopas, no kurām katra sastāv no relācijā ~ esošajiem. Šīs apakškopas sauc ekvivalences klases . Šo nodalījumu A sauc par kopas X faktoru kopu attiecībā pret ~ un apzīmē: X/~.

Definēsim attiecību ~ uz naturālo skaitļu kopas w, uzstādot x ~ y, ja atlikumi pēc x un y dalīšanas ar 3 ir vienādi. Tad w/~ sastāv no trim ekvivalences klasēm, kas atbilst atlikumiem 0, 1 un 2.

Pasūtījuma attiecības

Tiek izsaukta binārā relācija R uz kopas X antisimetrisks , ja no x R y un y R x seko: x = y. Tiek izsaukta binārā relācija R uz kopas X pasūtījuma attiecības , ja tas ir refleksīvs, antisimetrisks un pārejošs. Ir viegli saprast, ka tas ir līdzvērtīgs šādiem nosacījumiem:

1) Id X Í R (refleksivitāte),

2) R Ç R -1 (antisimetrija),

3) R ° R Í R (transitivitāte).

Tiek izsaukts sakārtots pāris (X, R), kas sastāv no kopas X un secības attiecības R uz X daļēji pasūtīts komplekts .

1. piemērs

Pieņemsim, ka X = (0, 1, 2, 3), R = ((0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 1), (1, 2) ), (1, 3), (2, 2), (3, 3)).

Tā kā R atbilst 1.–3. noteikumiem, tad (X, R) ir daļēji sakārtota kopa. Elementiem x = 2, y = 3 ne x R y, ne y R x nav patiesi. Tādus elementus sauc nesalīdzināms . Parasti pasūtījuma attiecību apzīmē ar £. Iepriekš minētajā piemērā 0 £ 1 un 2 £ 2, taču tā nav taisnība, ka 2 £ 3.

2. piemērs

Ļaujiet< – бинарное отношение строгого неравенства на множестве w натуральных чисел, рассмотренное в разд. 1.2. Тогда объединение отношений = и < является отношением порядка £ на w и превращает w в частично упорядоченное множество.

Tiek izsaukti daļēji sakārtotas kopas (X, £) elementi x, y О X salīdzināmi , ja x £ y vai y £ x.

Tiek izsaukta daļēji sakārtotā kopa (X, £). lineāri sakārtots vai ķēde ja kādi divi tā elementi ir salīdzināmi. Kopa 2. piemērā tiks sakārtota lineāri, bet kopa 1. piemērā netiks sakārtota.

Tiek izsaukta daļēji sakārtotas kopas (X, £) apakškopa A Í X ierobežota no augšas , ja eksistē tāds elements x н X, ka £ x visiem a н A. Elementu x н X sauc lielākais X, ja y £ x visiem y О X. Elementu x О X sauc par maksimālo, ja nav elementu y О X, kas atšķiras no x, kuram x £ y. 1. piemērā elementi 2 un 3 būs maksimālie, bet ne lielākie. The apakšējais ierobežojums apakškopas, vismazākie un minimālie elementi. 1. piemērā elements 0 būtu gan mazākais, gan minimālais. 2. piemērā 0 arī ir šīs īpašības, bet (w, t) nav ne lielākā, ne maksimālā elementa.

Lai (X, £) ir daļēji sakārtota kopa, A Í X ir apakškopa. Relācija uz A, kas sastāv no elementu a, b Î A pāriem (a, b), kuriem a £ b, būs secības relācija uz A. Šo attiecību apzīmē ar to pašu simbolu: £. Tādējādi (A, £) ir daļēji sakārtota kopa. Ja tas ir lineāri sakārtots, tad mēs sakām, ka A ir ķēde (X, £).

Maksimālais princips

Dažus matemātiskos apgalvojumus nevar pierādīt bez izvēles aksiomas. Tiek teikts, ka šie paziņojumi ir atkarīgs no izvēles aksiomas vai derīga ZFC teorijā , praksē izvēles aksiomas vietā pierādīšanai parasti izmanto vai nu Cermelo aksiomu, vai Kuratovska-Zorna lemmu, vai jebkuru citu apgalvojumu, kas līdzvērtīgs izvēles aksiomai.

Kuratovska-Zorna lemma. Ja katra ķēde daļēji pasūtītā komplektā(X, £) tad ierobežo no augšas X ir vismaz viens maksimālais elements.

Šī lemma ir līdzvērtīga izvēles aksiomai, un tāpēc to var uzskatīt par aksiomu.

Teorēma.Jebkuram daļēji pasūtītam komplektam(X, £) ir relācija, kas satur relāciju£ un pārveidojot X lineāri sakārtotā komplektā.

Pierādījums. Visu secības attiecību kopa, kas satur relāciju £, tiek sakārtota pēc iekļaušanas relācijas U. Tā kā secības attiecību ķēdes savienība ir secības relācija, tad pēc Kuratovska-Zorna lemmas pastāv tāda maksimālā attiecība R, ka x £ y nozīmē x R y. Pierādīsim, ka R ir relācija, kas lineāri sakārtota X. Pieņemsim pretējo: eksistē a, b н X tā, ka ne (a, b), ne (b, a) nepieder R. Aplūkosim sakarību:

R¢ = R È ((x, y): x Ra un b R y).

To iegūst, pievienojot pāri (a, b) R un pārus (x, y), kas jāpievieno R¢ no nosacījuma, ka R¢ ir kārtas relācija. Ir viegli redzēt, ka R¢ ir refleksīvs, antisimetrisks un pārejošs. Iegūstam R Ì R¢, kas ir pretrunā ar R maksimumu, tāpēc R ir vēlamā lineārās kārtas sakarība.

Lineāri sakārtotu kopu X sauc par labi sakārtotu, ja kāda no tās netukšajām apakškopām A н X satur vismazāko elementu a н A. Kuratovska-Zorna lemma un izvēles aksioma ir līdzvērtīgas arī šādam apgalvojumam:

Cermelo aksioma. Katrai kopai ir secības attiecība, kas pārvērš to par labi sakārtotu kopu.

Piemēram, naturālu skaitļu kopa w ir labi sakārtota. Induktivitātes princips ir apkopots šādi:

Transfinita indukcija. Ja(X, £) ir labi sakārtota kopa, un F(x) ir tās elementu īpašība, patiess mazākajam elementam x 0 н X un tāds, ka no F(y) patiesības visiem y < z следует истинность F(z), то F(x) taisnība visiem x О X .

Šeit y< z означает, что у £ z, но y ¹ z. Действительно, в противном случае среди x Î X, не обладающих свойством F(x), можно выбрать наименьший элемент x 1 , и выполнение F(y) для всех y < x 1 приводит к выполнению F(x 1), противоречащему предположению.

Varas jēdziens

Ļaujiet f: X à Y un g: Y à Z iestatīt kartējumus. Tā kā f un g ir attiecības, to sastāvs g ° f(x) = g(f(x)) ir definēts. Ja h: Z à T ir kopas kartējums, tad h ° (g ° f) = (h ° g) ° f. Attiecības Id X un Id Y ir funkcijas, tāpēc ir definētas kompozīcijas Id Y ° f = f ° Id x = f. Ja X = Y, mēs definējam f 2 = f ° f, f 3 = f 2 ° f, ..., f n+1 = f n ° f.

Tiek izsaukta kartēšana f: X àY injekcija , ja f(x 1) ¹ f(x 2) ir patiess visiem kopas X elementiem x 1 ¹ x 2. Tiek izsaukta kartēšana f surjekcija , ja katram y нY eksistē x н X tā, ka f(x) = y. Ja f ir gan izteikums, gan injekcija, tad f tiek izsaukts bijekcija . Ir viegli redzēt, ka f ir bijekcija tad un tikai tad, ja apgrieztā attiecība f -1 н Y ´ X ir funkcija.

Teiksim, ka vienādība |X| = |Y|, ja starp X un Y ir bijekcija. Ielieciet |X| £ |Y| ja ir injekcija f: X à Y.

Kantora-Šrēdera-Bernšteina teorēma. Ja|X| £ |Y| un|Y| £ |X| , tad|X| = |Y|.

Pierādījums. Pieņemot, ka ir injekcijas f: X à Y un g: Y à X. Lai A = g¢¢Y = Img ir Y attēls attiecībā pret g. Tad

(X \ A) Ç (gf)¢¢ (X \ A) = Æ,

(gf)¢¢(X \ A) Ç (gf) 2 ¢¢ (X \ A) = Æ, …,

(gf) n ¢¢(X \ A) Ç (gf) n+1 ¢¢(X \ A) = Æ, …

Apsveriet kartējumu j: X à A definēts kā j(x) = gf(x) ar

x н (X \ A) È (gf)¢¢(X \ A) È (gf) 2 ¢¢(X \ A) È … un pretējā gadījumā j(x) = x. Ir viegli redzēt, ka j ir bijekcija. Vēlamā bijekcija starp X un Y būs vienāda ar g -1 ° j.

Kantora antinomija

Uzstādām |X|< |Y|, если |X| £ |Y| и не существует биекции между X и Y.

Kantora teorēma. Jebkurai kopai X, |X|< |P(X)|, где P(X) – множество всех подмножеств множества X.

Var pierādīt šādas teorēmas.

Teorēma 1.4. Funkcijai f ir apgrieztā funkcija f -1 tad un tikai tad, ja f ir bijektīva.

Teorēma 1.5. Bijektīvo funkciju sastāvs ir bijektīva funkcija.

Rīsi. 1.12 parāda dažādas attiecības, visas, izņemot pirmo, ir funkcijas.

attieksme, bet

injekcija, bet

surjekcija, bet

nav funkcija

nav izteikums

nevis injekcija

Lai f : A→ B ir funkcija, un kopas A un B ir galīgas kopas, lai A = n , B = m . Dirihlē princips nosaka, ja n > m, tad vismaz viena f vērtība notiek vairāk nekā vienu reizi. Citiem vārdiem sakot, ir elementu pāris a i ≠ a j , a i , a j A, kuriem f(a i )= f(a j ).

Dirihlē principu ir viegli pierādīt, tāpēc mēs to atstājam lasītāja ziņā kā triviālu vingrinājumu. Apsveriet piemēru. Lai grupā būtu vairāk par 12 skolēniem. Tad ir skaidrs, ka vismaz diviem no viņiem ir dzimšanas diena vienā mēnesī.

§ 7. Ekvivalences attiecība. Faktoru komplekts

Bināro sakarību R kopā A sauc par ekvivalences relāciju, ja R ir refleksīva, simetriska un pārejoša.

Vienādības attiecībai uz skaitļu kopas ir norādītās īpašības, tāpēc tā ir ekvivalences relācija.

Trijstūra līdzības attiecība acīmredzami ir ekvivalences attiecība.

Nestingrās nevienādības (≤ ) sakarība uz reālo skaitļu kopas nebūs ekvivalences sakarība, jo tā nav simetriska: no 3 ≤ 5 neizriet, ka 5 ≤ 3.

Ekvivalences klase (coset), ko ģenerē elements a noteiktai ekvivalences relācijai R ir to x A apakškopa, kas ir attiecībā R ar a. Norādītā ekvivalences klase ir apzīmēta ar [a] R, tāpēc mums ir:

[a] R = (x A: a, x R).

Apsveriet piemēru. Trīsstūru kopai tiek ieviesta līdzības attiecība. Ir skaidrs, ka visi vienādmalu trijstūri ietilpst vienā kopā, jo katrs no tiem ir līdzīgs, piemēram, trijstūrim, kura visām malām ir garuma vienība.

Teorēma 1.6. Lai R ir ekvivalences sakarība uz kopas A un [a] R ir kosete, t.i. [a] R = (x A: a, x R), tad:

1) jebkuram a A: [a] R ≠ , jo īpaši a [a] R ;

2) dažādas cosets nekrustojas;

3) visu kosetu savienība sakrīt ar visu kopu A;

4) dažādu komplektu kopa veido kopas A nodalījumu.

Pierādījums. 1) Sakarā ar R refleksivitāti iegūstam, ka jebkuram a, a A mums ir a, a R , tāpēc a [ a] R un [ a] R ≠ ;

2) pieņemsim, ka [a] R ∩ [b] R ≠ , t.i. ir elements c no A un c [a] R ∩ [b] R . Tad no (cRa)&(cRb), pateicoties R simetrijai, mēs iegūstam (aR c)&(cRb), un no R tranzitivitātes iegūstam aRb.

Jebkuram х [а] R mums ir: (хRa)&(аRb) , tad R tranzitivitātes dēļ iegūstam хRb, t.i. x[b]R, tātad [a]R[b]R. Līdzīgi jebkuram y, y [b] R mums ir: (уRb)&(аRb) , un R simetrijas dēļ mēs iegūstam, ka (уRb)&(bR а), tad R tranzitivitātes dēļ , iegūstam, ka уR а , t.i. y[a]r un

tātad [b] R [a] R . No [a] R [b] R un [b] R [a] R iegūstam [a] R = [b] R, t.i., ja kosetes krustojas, tad tās sakrīt;

3) jebkuram a, a A, kā pierādīts, mums ir [ a] R , tad ir acīmredzams, ka visu kosetu savienība sakrīt ar kopu A.

1.6. teorēmas 4) apgalvojums izriet no 1)–3). Teorēma ir pierādīta. Mēs varam pierādīt šādu teorēmu.

Teorēma 1.7. Dažādas kopas A ekvivalences attiecības ģenerē dažādas A sadaļas.

Teorēma 1.8. Katrs kopas A nodalījums kopā A ģenerē ekvivalences relāciju, un dažādas sadaļas ģenerē dažādas ekvivalences attiecības.

Pierādījums. Ir dots kopas A nodalījums В= (B i ). Definēsim sakarību R : a,b R tad un tikai tad, ja eksistē tāda B i, ka a un b abi pieder šim B i . Ir skaidrs, ka ieviestā attiecība ir refleksīva, simetriska un pārejoša, tāpēc R ir ekvivalences attiecība. Var parādīt, ka, ja nodalījumi ir atšķirīgi, tad arī to ģenerētās ekvivalences attiecības ir atšķirīgas.

Kopas A visu kopu kopu attiecībā pret doto ekvivalences attiecību R sauc par koeficientu kopu un apzīmē ar A/R . Faktoru kopas elementi ir cosets. Coset klase [ a ] ​​R , kā jūs zināt, sastāv no elementiem A, kas ir viens pret otru R .

Aplūkosim ekvivalences attiecības piemēru veselu skaitļu kopai Z = (…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …).

Divus veselus skaitļus a un b sauc par salīdzināmu (kongruentu) moduli m, ja m ir skaitļa a-b dalītājs, t.i., ja mums ir:

a=b+km , k=…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ….

Šajā gadījumā ierakstiet a≡ b(mod m) .

Teorēma 1.9. Jebkuriem skaitļiem a , b , c un m>0 mums ir:

1) a ≡ a(mod m) ;

2) ja a ≡ b(mod m), tad b ≡ a(mod m);

3) ja a ≡ b(mod m) un b ≡ c(mod m), tad a ≡ c(mod m).

Pierādījums. 1) un 2) apgalvojumi ir acīmredzami. Pierādīsim 3). Pieņemsim, ka a=b+k 1 m, b=c+k 2 m, tad a=c+(k 1 +k 2 )m, t.i. a ≡ c(mod m) . Teorēma ir pierādīta.

Tādējādi salīdzināmības modulo m attiecība ir ekvivalences relācija un sadala veselo skaitļu kopu nepārklājošās skaitļu klasēs.

Konstruēsim bezgalīgi atritināmu spirāli, kas attēlā. 1.13 ir attēlots ar nepārtrauktu līniju un bezgalīgi vērptu spirāli, kas attēlota ar pārtrauktu līniju. Dots nenegatīvs vesels skaitlis m. Visus veselus skaitļus (elementus no kopas Z ) novietojam šo spirāļu krustpunktos ar m stariem, kā parādīts attēlā. 1.13.

Salīdzināmības moduļa m attiecībai (īpaši, ja m = 8) ekvivalences klase ir skaitļi, kas atrodas uz stara. Acīmredzot katrs numurs ietilpst vienā un tikai vienā klasē. Var iegūt, ka m= 8 mums ir:

[ 0] ={…, -8, 0, 8, 16, …};
[ 1] ={…, -7, 1, 9, 17, …};
[ 2] ={…, -6, 2, 10, 18, …};
[ 7] ={…, -9, -1, 7, 15, …}.

Kopas Z kopas koeficients attiecībā pret salīdzināšanas moduli m tiek apzīmēts kā Z/m vai kā Z m . Aplūkojamajam gadījumam m =8

iegūstam, ka Z/8 = Z8 = ( , , , …, ) .

Teorēma 1.10. Jebkuriem veseliem skaitļiem a, b, a*, b*, k un m:

1) ja a ≡ b(mod m), tad ka ≡ kb(mod m);

2) ja a ≡ b(mod m) un a* ≡ b* (mod m), tad:

a) a + a * ≡ b + b * (mod m); b) aa * ≡ bb* (mod m).

Mēs piedāvājam pierādījumus gadījumam 2b). Pieņemsim, ka a ≡ b(mod m) un a * ≡ b * (mod m) , tad a=b+sm un a * =b * +tm dažiem veseliem skaitļiem s un t . reizinot,

iegūstam: aa* =bb* + btm+ b* sm+ stm2 =bb* +(bt+ b* s+ stm)m. Sekojoši,

aa* ≡ bb* (mod m).

Tādējādi moduļu salīdzinājumus var saskaitīt un reizināt ar terminu, t.i. darbojas tieši tāpat kā ar vienlīdzību. Piemēram,

Pieņemsim, ka R ir kopas X bināra relācija. Tiek izsaukta relācija R atstarojošs , ja (x, x) О R visiem x О X; simetrisks – ja (x, y) О R nozīmē (y, x) О R; pārejas skaitlis 23 atbilst variantam 24, ja (x, y) Î R un (y, z) Î R nozīmē (x, z) Î R.

1. piemērs

Mēs teiksim, ka x н X ir kopīgs ar elementu y н X ja kopa
x З y nav tukšs. Kopīgā saistība būs refleksīva un simetriska, bet ne pārejoša.

Ekvivalences attiecība uz X sauc par refleksīvu, pārejošu un simetrisku attiecību. Ir viegli saprast, ka R Н X ´ X būs ekvivalences attiecība tad un tikai tad, ja notiek iekļaušana:

Id X Í R (refleksivitāte),

R -1 Í R (simetrija),

R ° R Í R (transitivitāte).

Faktiski šie trīs nosacījumi ir līdzvērtīgi šādiem:

Id X Í R, R -1 = R, R ° R = R.

sadalīšana kopa X ir pa pāriem disjunktu apakškopu kopa A н X tā, ka UA = X. Ar katru A nodalījumu mēs varam saistīt ekvivalences attiecību ~ uz X, iestatot x ~ y, ja x un y ir kādas a н A elementi. .

Katrai ekvivalences relācijai ~ uz X atbilst nodalījums A, kura elementi ir apakškopas, no kurām katra sastāv no relācijā ~ esošajiem. Šīs apakškopas sauc ekvivalences klases . Šo nodalījumu A sauc par kopas X faktoru kopu attiecībā pret ~ un apzīmē: X/~.

Definēsim attiecību ~ uz naturālo skaitļu kopas w, uzstādot x ~ y, ja atlikumi pēc x un y dalīšanas ar 3 ir vienādi. Tad w/~ sastāv no trim ekvivalences klasēm, kas atbilst atlikumiem 0, 1 un 2.

Pasūtījuma attiecības

Tiek izsaukta binārā relācija R uz kopas X antisimetrisks , ja no x R y un y R x seko: x = y. Tiek izsaukta binārā relācija R uz kopas X pasūtījuma attiecības , ja tas ir refleksīvs, antisimetrisks un pārejošs. Ir viegli saprast, ka tas ir līdzvērtīgs šādiem nosacījumiem:

1) Id X Í R (refleksivitāte),

2) R Ç R -1 (antisimetrija),

3) R ° R Í R (transitivitāte).

Tiek izsaukts sakārtots pāris (X, R), kas sastāv no kopas X un secības attiecības R uz X daļēji pasūtīts komplekts .

1. piemērs

Pieņemsim, ka X = (0, 1, 2, 3), R = ((0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 1), (1, 2) ), (1, 3), (2, 2), (3, 3)).

Tā kā R atbilst 1.–3. noteikumiem, tad (X, R) ir daļēji sakārtota kopa. Elementiem x = 2, y = 3 ne x R y, ne y R x nav patiesi. Tādus elementus sauc nesalīdzināms . Parasti pasūtījuma attiecību apzīmē ar £. Iepriekš minētajā piemērā 0 £ 1 un 2 £ 2, taču tā nav taisnība, ka 2 £ 3.

2. piemērs

Ļaujiet< – бинарное отношение строгого неравенства на множестве w натуральных чисел, рассмотренное в разд. 1.2. Тогда объединение отношений = и < является отношением порядка £ на w и превращает w в частично упорядоченное множество.

Tiek izsaukti daļēji sakārtotas kopas (X, £) elementi x, y О X salīdzināmi , ja x £ y vai y £ x.

Tiek izsaukta daļēji sakārtotā kopa (X, £). lineāri sakārtots vai ķēde ja kādi divi tā elementi ir salīdzināmi. Kopa 2. piemērā tiks sakārtota lineāri, bet kopa 1. piemērā netiks sakārtota.

Tiek izsaukta daļēji sakārtotas kopas (X, £) apakškopa A Í X ierobežota no augšas , ja eksistē tāds elements x н X, ka £ x visiem a н A. Elementu x н X sauc lielākais X, ja y £ x visiem y О X. Elementu x О X sauc par maksimālo, ja nav elementu y О X, kas atšķiras no x, kuram x £ y. 1. piemērā elementi 2 un 3 būs maksimālie, bet ne lielākie. The apakšējais ierobežojums apakškopas, vismazākie un minimālie elementi. 1. piemērā elements 0 būtu gan mazākais, gan minimālais. 2. piemērā 0 arī ir šīs īpašības, bet (w, t) nav ne lielākā, ne maksimālā elementa.