Кубын уртын нийлбэрийг хэрхэн олох вэ. Эдгээр томъёог санаарай

3-ын 1-р арга: Шоо шооны ирмэгийг шоо

• Кубын нэг ирмэгийн уртыг ол. Дүрмээр бол шоо ирмэгийн уртыг асуудлын тайлбарт өгсөн болно. Хэрэв чи

бодит куб объектын эзэлхүүнийг тооцоолж, түүний ирмэгийг захирагч эсвэл соронзон хэмжүүрээр хэмжинэ.

Ингээд авч үзье жишээ. Шоогийн ирмэг нь 5 см. Шооны эзэлхүүнийг ол.

Кубын ирмэгийн уртыг шоо. Өөрөөр хэлбэл, шоогийн ирмэгийн уртыг өөрөө гурав дахин үржүүлнэ.

Хэрэв снь кубын ирмэгийн урт, тэгвэл

Ингэснээр та тооцоолох болно кубын эзэлхүүн.

Энэ процесс нь кубын суурийн талбайг олох үйл явцтай төстэй (урт хугацааны үржвэртэй тэнцүү)

суурийн талбайн өргөн) ба дараа нь суурийн талбайг кубын өндрөөр үржүүлнэ (өөрөөр хэлбэл,

өөрөөр хэлбэл, та уртыг өргөнөөр өндрөөр үржүүлнэ). Шоо дөрвөлжин дэх ирмэгийн урт нь өргөнтэй тэнцүү ба

өндөртэй тэнцүү бол энэ процессыг кубын ирмэгийг гуравдахь хүч хүртэл өсгөх замаар сольж болно.

Бидний жишээнд кубын эзэлхүүнтэнцүү байна:

• Хариултдаа эзлэхүүний нэгжийг нэмнэ үү. Эзлэхүүн нь тоон үзүүлэлт учраас

биеийн эзэлдэг орон зайн шинж чанар, дараа нь эзэлхүүний нэгж нь куб байна

нэгж (куб см, шоо метр гэх мэт).

Бидний жишээн дээр кубын ирмэгийн хэмжээг сантиметрээр өгсөн тул эзэлхүүнийг кубаар хэмжих болно.

сантиметр (эсвэл см 3). Тэгэхээр шоо 125 см3 хэмжээтэй байна.

Хэрэв шоо дөрвөлжин ирмэгийн хэмжээг бусад нэгжээр өгсөн бол кубын эзэлхүүнийг харгалзах хэмжигдэхүүнээр хэмжинэ.

куб нэгж.

Жишээлбэл, хэрэв кубын ирмэг нь 5 м (5 см биш) бол түүний эзэлхүүн нь 125 м 3 байна.

3-ын 2-р арга: Гадаргуугийн талбайгаас эзлэхүүнийг тооцоолох

• Зарим асуудалд шооны ирмэгийн уртыг заагаагүй боловч бусад хэмжигдэхүүнийг таны тусламжтайгаар өгдөг.

та кубын ирмэг ба түүний эзэлхүүнийг олох боломжтой. Жишээлбэл, хэрэв танд кубын гадаргуугийн талбайг өгвөл хуваах хэрэгтэй

6-аар, үр дүнгийн утгаас квадрат язгуурыг авч, та шоо ирмэгийн уртыг олох болно. Дараа нь

Кубын ирмэгийн уртыг гурав дахь зэрэгт хүргэж, шоогийн эзэлхүүнийг тооцоол.

Кубын гадаргуугийн талбайтэнцүү 6с 2,

Хаана с - шоо ирмэгийн урт(өөрөөр хэлбэл та шооны нэг нүүрний талбайг олоод 6-аар үржүүлнэ.

шоо шиг 6 тэнцүү талтай).

Ингээд авч үзье жишээ.Кубын гадаргуу нь 50 см2 байна. Кубын эзэлхүүнийг ол.

• Кубын гадаргууг 6-д хуваа (шоо 6 тэнцүү талтай тул та талбайг авна.

кубын нэг нүүр). Хариуд нь кубын нэг нүүрний талбай нь тэнцүү байна с 2, Хаана с- кубын ирмэгийн урт.

Бидний жишээнд: 50/6 = 8.33 см 2 (талбайг квадрат нэгжээр хэмждэг гэдгийг санаарай - см 2,

м 2 гэх мэт).

• Учир нь шоо дөрвөлжингийн нэг нүүрний талбай нь с 2, дараа нь талбайн утгын квадрат язгуурыг авна

нэг нүүр, шоо ирмэгийн уртыг авна.

Бидний жишээнд √8.33 = 2.89 см.

• Шоогийн эзэлхүүнийг олохын тулд үүссэн утгыг шоо болго.

Бидний жишээнд: 2.89 * 2.89 * 2.89 = 2.893 = 24.14 см3. Хариултдаа куб нэмэхээ бүү мартаарай.

нэгж.

3-ын 3-р арга: Эзлэхүүнийг диагональаар тооцоолох

• Шооны ирмэгийн уртыг олохын тулд нэг шоогийн нүүрний диагональыг √2-т хуваа. Тиймээс,

Хэрэв асуудалд шоогийн нүүрний (аль нэг) диагональ өгөгдсөн бол шоогийн ирмэгийн уртыг хуваах замаар олж болно.

диагональ √2.

Ингээд авч үзье жишээ.Шоогийн нүүрний диагональ нь 7 см. Кубын эзэлхүүнийг ол. Энэ тохиолдолд шоо ирмэгийн урт

7/√2 = 4.96 см-тэй тэнцүү кубын хэмжээ 4.963 = 122.36 см 3.

Санаж байна уу: d2 = 2s2,

Хаана г- шоо нүүрний диагональ, s - шоо ирмэг. Энэ томъёо нь дараахаас гардаг Пифагорын теоремдагуу

тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенузын квадрат (манай тохиолдолд шоо нүүрний диагональ) аль тэнцүү вэ?

хөлний квадратуудын нийлбэр (бидний тохиолдолд ирмэг), өөрөөр хэлбэл:

d 2 = s 2 + s 2 = 2s 2.

• Кубын диагональыг √3-т хуваагаад шоогийн ирмэгийн уртыг ол. Тиймээс, хэрэв асуудал байгаа бол

шоогийн диагональ өгөгдсөн бол та диагональыг √3-т хуваах замаар шооны ирмэгийн уртыг олох боломжтой.

Кубын диагональ- шоо дөрвөлжингийн төвтэй тэгш хэмтэй хоёр оройг холбосон сегмент.

D2 = 3s2

(Хаана Д- шоо диагональ, с- шоо ирмэг).

Энэ томьёо нь Пифагорын теоремоос гардаг бөгөөд үүний дагуу гипотенузын квадрат (бидний тохиолдолд)

тэгш өнцөгт гурвалжны шоо диагональ нь хөлний квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү (манай тохиолдолд нэг хөл нь

энэ нь ирмэг бөгөөд хоёр дахь хөл нь шоо нүүрний диагональ бөгөөд тэнцүү байна 2с 2), тэр бол

D 2 = s 2 + 2s 2 = 3s 2.

Ингээд авч үзье жишээ. Кубын диагональ нь 10 м. Шоогийн эзэлхүүнийг ол.

D2 = 3s2

10 2 = 3с 2

100 = 3с 2

33.33 = с 2

5.77 м = с

Кубын хэмжээ 5.773 = 192.45 м3 байна.

Шоо нь дөрвөлжин хэлбэртэй, ижил хэлбэр, хэмжээтэй нүүртэй ердийн хэлбэрийн олон өнцөгт юм. Үүнээс үзэхэд түүний бүтээн байгуулалт болон холбогдох бүх параметрүүдийг тооцоолоход зөвхөн нэг утгыг мэдэх нь хангалттай юм. Үүнийг ашигласнаар та эзлэхүүн, нүүр бүрийн талбай, бүх гадаргуугийн талбай, диагональ урт, ирмэгийн урт эсвэл хэмжээбүх ирмэгийн урт Куба.

Зааварчилгаа

• Шоо дөрвөлжин дэх ирмэгүүдийн тоог тоол. Энэхүү гурван хэмжээст дүрс нь зургаан нүүртэй бөгөөд түүний өөр нэрийг тодорхойлдог - ердийн зургаан өнцөгт (hexa нь "зургаан" гэсэн үг). Зургаан дөрвөлжин нүүртэй дүрс нь зөвхөн арван хоёр ирмэгтэй байж болно. Бүх нүүр нь ижил хэмжээтэй дөрвөлжин хэлбэртэй тул бүх ирмэгийн урт тэнцүү байна. Энэ нь бүх ирмэгийн нийт уртыг олохын тулд нэг ирмэгийн уртыг олж, арван хоёр дахин нэмэгдүүлэх шаардлагатай гэсэн үг юм.
• Нэг ирмэгийн уртыг үржүүлнэ Куба(A) бүх ирмэгийн уртыг тооцоолохын тулд арван хоёроор Куба(L): L=12∗A. Энэ бол ердийн зургаан өнцөгтийн ирмэгийн нийт уртыг тодорхойлох хамгийн энгийн арга юм.
• Хэрэв нэг ирмэгийн урт Кубатодорхойгүй, гэхдээ түүний гадаргуугийн талбай (S) нь мэдэгдэж байгаа бол нэг ирмэгийн уртыг гадаргуугийн талбайн зургаагийн нэгийн квадрат язгуураар илэрхийлж болно. Бүх ирмэгүүдийн уртыг (L) олохын тулд ийм аргаар олж авсан утгыг арван хоёр дахин нэмэгдүүлэх шаардлагатай бөгөөд энэ нь ерөнхийдөө томъёо нь дараах байдалтай байна: L=12∗√(S/6).
• Хэрэв эзлэхүүн нь мэдэгдэж байгаа бол Куба(V), дараа нь түүний аль нэг нүүрний уртыг энэ мэдэгдэж буй хэмжигдэхүүний шоо язгуур гэж тодорхойлж болно. Дараа нь ердийн тетраэдрийн бүх нүүрний урт (L) нь мэдэгдэж буй эзэлхүүний арван хоёр шоо үндэс болно: L=12∗³√V.
• Хэрэв диагональ урт нь мэдэгдэж байвал Куба(D), дараа нь нэг ирмэгийг олохын тулд энэ утгыг гурвын квадрат язгуурт хуваах ёстой. Энэ тохиолдолд бүх ирмэгийн уртыг (L) арван хоёрын тооны үржвэр ба диагональ уртын язгуур гурвын язгуурт хуваасан хуваалтаар тооцоолж болно: L=12∗D/√3.
• Хэрэв шоо (r) дотор бичсэн бөмбөрцгийн радиусын урт нь мэдэгдэж байгаа бол нэг нүүрний урт нь энэ утгын хагастай тэнцүү байх ба бүх ирмэгийн нийт урт (L) энэ утгатай тэнцүү байна. , зургаа дахин нэмэгдсэн: L=6∗r.
• Хэрэв бичээстэй биш харин хүрээлэгдсэн бөмбөрцгийн радиусын урт (R) мэдэгдэж байгаа бол нэг ирмэгийн уртыг гурвын язгуурт хуваасан радиусын уртаас хоёр дахин үржүүлсэн коэффициент гэж тодорхойлно. Дараа нь бүх ирмэгийн урт (L) нь гурвын язгуурт хуваагдсан хорин дөрвөн радиусын урттай тэнцүү байх болно: L=24∗R/√3.

Ихэнхдээ шоо дөрвөлжин ирмэгийг олох шаардлагатай байдаг тул үүнийг түүний эзэлхүүн, нүүрний талбай эсвэл диагональ байдлын талаархи мэдээлэлд үндэслэн хийх хэрэгтэй. Кубын ирмэгийг тодорхойлох хэд хэдэн сонголт байдаг.

Хэрэв кубын талбай нь мэдэгдэж байгаа бол ирмэгийг хялбархан тодорхойлж болно. Шоогийн нүүр нь шооны ирмэгтэй тэнцүү талтай дөрвөлжин юм. Үүний дагуу түүний талбай нь шоо ирмэгийн квадраттай тэнцүү байна. Та томъёог ашиглах хэрэгтэй: a = √S, энд a нь шоогийн ирмэгийн урт, S нь шооны нүүрний хэсэг юм. Эзлэхүүн дээр үндэслэн шоогийн ирмэгийг олох нь бүр ч хялбар ажил юм. Кубын эзэлхүүн нь шооны ирмэгийн уртын шоо (гурав дахь зэрэгтэй) тэнцүү гэдгийг анхаарч үзэх хэрэгтэй. Энэ нь ирмэгийн урт нь түүний эзэлхүүний шоо үндэстэй тэнцүү байна. Өөрөөр хэлбэл, бид дараах томъёог авна: a = √V, энд a нь шоогийн ирмэгийн урт, V нь шооны эзэлхүүн юм.

Диагональуудыг ашигласнаар та кубын ирмэгийг олох боломжтой. Үүний дагуу бидэнд хэрэгтэй: a - шоо ирмэгийн урт, b - шоо нүүрний диагональ урт, c - шоо диагональ урт. Пифагорын теоремоор бид: a^2+a^2=b^2-г олж авах бөгөөд эндээс бид дараах томъёог хялбархан гаргаж болно: a=√(b^2/2), шоо дөрвөлжин ирмэгийг гаргаж авдаг. .

Дахин нэг удаа Пифагорын теоремыг (a^2+a^2=b^2) ашиглан бид дараах хамаарлыг олж авч болно: a^2+a^2+a^2=c^2, үүнээс бид дүгнэлт гаргадаг: 3 *a^2=c ^2, тиймээс кубын ирмэгийг дараах байдлаар авч болно: a=√(c^2/3).

Шоо бол тэгш өнцөгт параллелепипед хэлбэртэй геометрийн бие бөгөөд бүх нүүр нь дөрвөлжин тул бүх ирмэг нь тэнцүү байна. Шоо нь 6 нүүр (талбайн хувьд тэнцүү), 12 ирмэг (тэнцүү урт), 8 оройтой.

Жишээлбэл, шоо хэлбэр нь дараахь байж болно.

• шоо;
• Рубик шоо;
• мөсөн шоо;
• Осман;
• аквариум;
• хайрцаг;
• хайрцаг;
• хүүхдийн барилгын блок.

Кубын ирмэгийн уртыг тооцоолох

Өгөгдсөн: a = 11 см.

Ол: кубын ирмэгийн уртын нийлбэр.

Энэ шоо нь тус бүр нь 11 см 12 ирмэгтэй тул түүний уртын нийлбэрийг ирмэгийн тоо ба ирмэгийн уртын үржвэрээр тооцоолж болно.

12 * 11 = 132 (см).

Хариулт: 132 см.

Кубын гадаргуугийн талбай

Кубын гадаргуугийн талбайг арифметик болон томъёогоор хоёр аргаар олж болно.

Ингээд авч үзье эхний арга. Кубын гадаргуу нь ижил талбайтай дөрвөлжин хэлбэртэй зургаан нүүрээс бүрдэнэ. Шоо дөрвөлжингийн ирмэг нь 11 см урттай гэдгийг мэдээд эхлээд нэг нүүрний талбайг, өөрөөр хэлбэл 11 см талтай дөрвөлжингийн талбайг (S = a * a эсвэл S =) тооцоолно. a²):

1) 11² = 11 * 11 = 121 (см²) - кубын нэг нүүрний талбай.

Мөн шоо нь ийм 6 нүүртэй тул:

2) 6 * 121 = 726 (см²) - кубын гадаргуугийн талбай.

Хариулт: 726 см².

Ингээд авч үзье хоёр дахь зам. Өмнөх үндэслэлд үндэслэн бид кубын гадаргуугийн талбайн S = 6a² томъёог гаргаж болно. Дараа нь шийдэл нь нэг илэрхийлэл болж буурна:

S = 6a² = 6 * 11² = 6 * 121 = 726 (см²).

Шоо нь дөрвөлжин хэлбэртэй, ижил хэлбэр, хэмжээтэй нүүртэй ердийн хэлбэрийн олон өнцөгт юм. Үүнээс үзэхэд түүний бүтээн байгуулалт болон холбогдох бүх параметрүүдийг тооцоолоход зөвхөн нэг утгыг мэдэх нь хангалттай юм. Үүнийг ашигласнаар та эзлэхүүн, нүүр бүрийн талбай, бүх гадаргуугийн талбайг олох боломжтой. уртдиагональ, уртхавирга эсвэл хэмжээбүх ирмэгийн урт Куба.

Зааварчилгаа

Шоо дөрвөлжин дэх ирмэгүүдийн тоог тоол. Энэхүү гурван хэмжээст дүрс нь зургаан нүүртэй бөгөөд түүний өөр нэрийг тодорхойлдог - ердийн зургаан өнцөгт (hexa нь "зургаан" гэсэн үг). Зургаан дөрвөлжин нүүртэй дүрс нь зөвхөн арван хоёр ирмэгтэй байж болно. Бүх нүүр нь ижил хэмжээтэй дөрвөлжин хэлбэртэй тул бүх ирмэгийн урт тэнцүү байна. Энэ нь бүх ирмэгийн нийт уртыг олохын тулд та олж мэдэх хэрэгтэй гэсэн үг юм уртнэг хавирга, арван хоёр дахин нэмэгдүүлнэ.

Үржүүлэх уртнэг хавирга Куба(A) тооцоолохын тулд арван хоёроор уртбүх хавирга Куба(L): L=12&бага-А. Энэ нь ердийн зургаан өнцөгтийн ирмэгийн нийт уртыг тодорхойлох хамгийн энгийн арга юм.

Хэрэв нэг ирмэгийн урт Кубань тодорхойгүй, гэхдээ түүний гадаргуугийн талбай (S) нь мэдэгдэж байна уртнэг ирмэгийг гадаргуугийн зургааны нэгийн квадрат язгуураар илэрхийлж болно. Бүх ирмэгийн уртыг (L) олохын тулд ийм аргаар олж авсан утгыг арван хоёр дахин нэмэгдүүлэх шаардлагатай бөгөөд энэ нь ерөнхийдөө томъёо нь дараах байдалтай байна: L=12&lowast-&radic-(S/6).

Хэрэв эзлэхүүн нь мэдэгдэж байгаа бол Куба(V), тэгвэл урттүүний нэг нүүрийг энэ мэдэгдэж буй хэмжигдэхүүний шоо язгуур гэж тодорхойлж болно. Дараа нь уртЭнгийн тетраэдрийн бүх нүүр (L) нь мэдэгдэж буй эзэлхүүний арван хоёр шоо язгуур байх болно: L=12&бага-?&radic-V.

Хэрэв диагональ урт нь мэдэгдэж байвал Куба(D), дараа нь нэг ирмэгийг олохын тулд энэ утгыг гурвын квадрат язгуурт хуваах ёстой. Энэ тохиолдолд бүх ирмэгийн уртыг (L) арван хоёрын тооны үржвэр ба диагональ уртын язгуур гурвын язгуурт хуваасан байдлаар тооцоолж болно: L=12&бага-D/&radic-3.

Хэрэв шоо (r) дотор бичсэн бөмбөрцгийн радиусын урт нь мэдэгдэж байгаа бол нэг нүүрний урт нь энэ утгын хагастай тэнцүү байх ба бүх ирмэгийн нийт урт (L) нь энэ утгыг нэмэгдүүлнэ. зургаан удаа: L=6&бага-r.

Хэрэв бичээстэй биш харин хүрээлэгдсэн бөмбөрцгийн радиусын урт (R) мэдэгдэж байгаа бол нэг ирмэгийн уртыг гурвын язгуурт хуваасан радиусын уртаас хоёр дахин үржүүлсэн коэффициент гэж тодорхойлно. Дараа нь бүх ирмэгийн урт (L) нь гурван язгуурт хуваагдсан хорин дөрвөн радиусын урттай тэнцүү байх болно: L=24&lowast-R/&radic-3.