Schema studiului functiilor folosind zone. Schema de realizare a graficului unei functii Studiul functiilor pentru un extremum folosind derivate de ordin superior Calculul radacinilor ecuatiilor folosind metodele coardelor si tangentelor

Una dintre schemele posibile pentru studierea unei funcţii şi construirea graficului acesteia se descompune în următoarele etape de rezolvare a problemei: 1. Domeniul funcţiilor (O.O.F.). 2. Punctele de întrerupere ale unei funcții, natura lor. Asimptote verticale. 3. Funcție pară, impară, periodică. 4. Puncte de intersecție ale graficului cu axele de coordonate. 5. Comportarea funcției la infinit. Asimptote orizontale și oblice. 6. Intervale de monotonitate a unei funcţii, puncte de maxim şi minim. 7. Direcțiile convexității curbei. Puncte de inflexiune. 8. Graficul funcției. Exemplul 1. Trasează funcția y \u003d 1. (vereiora sau bucla a Mariei Anieei). - întreaga axă numerică. 2. Nu există puncte de pauză; nu există asimptote verticale. 3. Funcția este pară: astfel încât graficul său să fie simetric față de axa Oy \ neperiodic. Din paritatea funcției rezultă că este suficient să-i trasezi graficul pe semi-linia x ^ 0 și apoi să-l oglindim pe axa y. 4. La x = 0, avem Yx, astfel încât graficul funcției se află în semiplanul superior y > 0. Schemă de construire a unui grafic al unei funcții Investigarea funcțiilor pentru un extremum folosind derivate de ordin superior Calculul rădăcinile ecuațiilor folosind metode de acordare și tangente că graficul are o asimptotă orizontală y = O, nu există asimptote oblice. Deci funcția crește pe măsură ce și scade când. Punctul x = 0 este critic. Când x trece prin punctul x \u003d 0, derivata y "(x) își schimbă semnul din minus în plus. Prin urmare, punctul x \u003d 0 este punctul maxim, y (Q) \u003d I. Acest rezultat este destul de evident: / (x) \u003d T ^ IV *. Derivata a doua dispare în punctele x \u003d. Studiem punctul x \u003d 4- (denumit în continuare argumentul simetriei). La avem. curba este convexă în jos; la obținem (curba este convexă în sus). Prin urmare, punctul x \u003d \u003d - este graficul punctului de inflexiune al funcției. Rezultatele studiului sunt rezumate într-un tabel: Punct de inflexiune max Punct de inflexiune - întregul real axa, excluzand punctul 2. Punctul de discontinuitate al functiei.Deci avem linia dreapta x = 0 - asimptota verticala.3. Funcția nu este nici pară, nici impară [funcția în poziție generală), neperiodică.Presumând obținem graficul funcției intersectează axa Ox în punctul (-1,0), nu există asimptote oblice și orizontale. unde este punctul critic. A doua derivată a funcției este într-un punct, deci x = este punctul minim. A doua derivată se transformă în uul într-un punct și își schimbă semnul la trecerea prin acest punct. Prin urmare, punctul este punctul de inflexiune al curbei. Căci) avem e. convexitatea curbei este îndreptată în jos; pentru -Eu avem. convexitatea curbei este îndreptată în sus. Rezumăm rezultatele studiului într-un tabel: Nu există Nu există Punct de inflexiune Nu există. Asimptota verticală a derivatei torusului dispare la x = e,/2. iar când x trece prin acest punct, y „schimbă semnul Prin urmare, este abscisa punctului de inflexiune al curbei. Rezumăm rezultatele studiului într-un tabel: Punct de inflexiune. Graficul funcției este prezentat în Fig. 37. Exemplu 4. Reprezentați grafic funcția întregii axe numerice, excluzând punctul Discontinuitatea punctului punct al celui de-al doilea fel de funcție.De la Km , atunci asimptota verticală directă a graficului funcției.Funcția este în poziție generală, non- periodic.Setând y = 0, avem, de unde astfel încât graficul funcției intersectează axa x în punctul Prin urmare, graficul funcției are o asimptotă oblică Din condiția obținem - un punct critic.Derivata a II-a a funcției y" \u003d D\u003e 0 peste tot în domeniul definiției, în special, în punctul - punctul minim al funcției. 7. Întrucât, atunci peste tot în domeniul definirii funcției, convexitatea graficului acesteia este îndreptată în jos. Rezumăm rezultatele studiului într-un tabel: Nu există Nu există Nu există. x \u003d 0 - asimptotă verticală Graficul funcției este prezentat în fig. Exemplul 5. Reprezentați grafic funcția întregii axe a numerelor. 2. Continuă peste tot. Nu există asimptote verticale. 3. Pozitie generala, neperiodica. 4. Funcția dispare la 5. Astfel, graficul funcției are o asimptotă oblică.Derivata dispare într-un punct și nu există la. Când x trece prin punctul) derivata nu își schimbă semnul, deci nu există un extremum în punctul x = 0. Când punctul x trece prin punct, derivata) își schimbă semnul din „+” în Deci, funcția are un maxim. Când x trece prin punctul x \u003d 3 (x\u003e I), derivata y "(x) își schimbă semnul, adică în punctul x \u003d 3, funcția are un minim. 7. Găsiți derivata a doua a de ordin superior Calculul rădăcinilor ecuațiilor prin metode ale coardelor și tangentelor Derivata a doua y „(x) nu există în punctul x = 0 și când x trece prin punctul x = 0 y” își schimbă semnul din + în astfel încât punctul (0,0) al curbei este un punct nu există punct de inflexiune cu tangentă verticală Nu există inflexiune în punctul x = 3. Peste tot în semiplanul x > 0 convexitatea curbei este îndreptată în sus .în fig. 39. §7. Investigarea funcțiilor până la un extrem folosind derivate de ordin superior Pentru a găsi punctele maxime și minime ale funcțiilor, se poate folosi formula Taylor. Teorema It. Fie funcția f(x) dintr-o vecinătate a punctului xq să aibă o derivată de ordinul n continuă în punctul xo.Fie 0. Atunci dacă numărul n este impar, atunci funcția f(x) din punctul x0 are fără extremum; când n este par, atunci în punctul x0 funcția f(x) are un maxim dacă f(n)(x0)< 0, и минимум, если /. В силу определения точек максимума и минимума вопрос о том, имеет ли функция f(x) в точке х0 экстремум, сводится к тому, существует ли такое <5 > 0, care se află în interval, diferența - /(x0) își păstrează semnul. Conform formulei Taylor ca prin condiție, atunci din (1) obținem 1-condiție / (n * (r) este continuă într-un punct și Ф Prin urmare, datorită stabilității unei funcții continue, există astfel încât în intervalul () nu se modifică și coincide cu semnul / (n) ( Să luăm în considerare cazurile posibile: 1) n este un număr par și / Atunci eu, prin urmare, datorită (2) . Conform definiției, aceasta înseamnă că punctul o este punctul de minim al funcției f(r). 2) n este par și. Atunci vom avea i împreună cu acesta și Prin urmare, punctul i va fi în acest caz punctul de maxim al funcției f(r). 3) n este un număr impar, /- Atunci, pentru x > x0, semnul > va coincide cu semnul lui /(n)(ro), iar pentru r, va fi opus. Prin urmare, pentru 0 arbitrar mic, semnul diferenței f(r) - f(r0) nu va fi același pentru toate x e (r0 - 6, r0 + t). În consecință, în acest caz funcția f(r) nu are un stremum în punctul th. Exemplu. Să luăm în considerare funcțiile A. Este ușor de observat că punctul x = 0 este un punct critic al ambelor funcții. Pentru funcția y = x4, prima dintre derivatele nenule în punctul x = 0 este derivata de ordinul 4: Astfel, aici n = 4 este par și. Prin urmare, în punctul x = 0, funcția y = x4 are un minim. Pentru funcția y = x), prima dintre derivatele nenule în punctul x = 0 este derivata de ordinul trei. Deci, în acest caz, n = 3 este impar, iar în punctul x = 0 funcția y = x3 nu are extremă. Cometariu. Folosind formula Taylor, putem demonstra următoarea teoremă, care exprimă condițiile suficiente pentru punctul de inflexiune. „Teorema 12. Fie ca funcția /(r) dintr-o vecinătate a punctului r0 să aibă o derivată de ordinul n, continuă în punctul xq. Mo(x0, f(xo)) este punctul de inflexiune al graficului al funcției y = f(x).Cel mai simplu exemplu este oferit de funcția § 8. Calculul rădăcinilor ecuațiilor prin metodele coardelor și tangentelor Problema constă în găsirea rădăcinii reale a ecuației Să presupunem că următoarele condiții sunt îndeplinite: 1) funcția f(x) este continuă pe segmentul [a, 6]; 2) numerele /(a) și f(b) sunt opuse în semn: 3) pe segmentul [a, 6] există derivate f „(x) și f „(x) care păstrează un semn constant pe acest interval. Din condițiile 1) și 2), în virtutea teoremei Bolzano-Cauchy (p. 220), rezultă că funcția f(x) dispare cel puțin într-un punct £ € ( a, b), adică, ecuația (1) are cel puțin o rădăcină reală £ în intervalul (a, b). semn, atunci f(x) este monotonă pe [a, b] și, prin urmare, în int rvale (a, b) ecuația (1) are o singură rădăcină reală Să considerăm o metodă de calcul a valorii aproximative a acestei rădăcini reale unice £ € (a, 6) a ecuației (I) cu orice grad de precizie. Sunt posibile patru cazuri (Fig. 40): 1) Fig. 40 Pentru certitudine, să luăm cazul când f \ x) > 0, f "(x) > 0 pe segmentul [a, 6) (Fig. 41). Să conectăm punctele A (a, / (a) ) și B (b, f(b)) printr-o coardă A B. Acesta este un segment al unei linii drepte care trece prin punctele A și B, a cărei ecuație y \u003d 0, găsim Din Fig. 41 este ușor pentru a vedea că punctul a \ va fi întotdeauna situat pe partea față de care semnele f (x) și f "(x) sunt opuse. Să tragem acum o tangentă la curba y \u003d f (x) în punctul B (b, f(b)), adică la acel capăt al arcului ^AB la care f(x) și /"(x) au același semn. Aceasta este o condiție esențială: fără ea, punctul de intersecție tangent la este posibil ca axa x să nu ofere deloc o aproximare a rădăcinii necesare. Punctul b\, în care tangenta intersectează axa x, este situat între t și b de aceeași parte cu 6 și este o aproximare mai bună pentru decât b. Această tangentă este determinată de ecuația Presupunând în (3) y = 0, găsim Funcții Investigarea funcțiilor până la un extrem folosind derivate de ordin superior Calculul rădăcinilor ecuațiilor prin metodele coardelor și tangentelor. Astfel, avem Fie dată în prealabil eroarea de aproximare absolută C a rădăcinii £. Pentru eroarea absolută a valorilor aproximative ale lui aj și 6, rădăcina £, putem lua valoarea |6i - ai|. Dacă această eroare este mai mare decât cea admisibilă, atunci, luând segmentul drept original, găsim următoarele aproximări ale rădăcinii unde. Continuând acest proces, obținem două secvențe de valori aproximative.Secvențele (an) și (bn) sunt monotone și mărginite și, prin urmare, au limite. Fie Se poate arăta că dacă sunt îndeplinite condițiile formulate mai sus 1 este singura rădăcină a ecuației / Exemplu. Aflați rădăcina (ecuațiile r2 - 1 = 0 pe segment. Astfel, sunt îndeplinite toate condițiile care asigură existența unei singure rădăcini (ecuațiile x2 - 1 = 0 pe segment . iar metoda ar trebui să funcționeze. 8 în cazul nostru). a = 0, b = 2. Când n \u003d I din (4) și (5) găsim Când n \u003d 2 obținem ceea ce oferă o aproximare a valorii exacte a rădăcinii (cu eroare absolută) folosind derivate de ordin superior : Răspunsuri

Una dintre cele mai importante sarcini ale calculului diferenţial este dezvoltarea de exemple generale de studiu al comportamentului funcţiilor.

Dacă funcția y \u003d f (x) este continuă pe interval, iar derivata sa este pozitivă sau egală cu 0 pe intervalul (a, b), atunci y \u003d f (x) crește cu (f "(x) 0). Dacă funcția y \u003d f (x) este continuă pe segment și derivata sa este negativă sau egală cu 0 pe intervalul (a,b), atunci y=f(x) scade cu (f"( x)0)

Intervalele în care funcția nu scade sau nu crește se numesc intervale de monotonitate a funcției. Natura monotonității unei funcții se poate modifica numai în acele puncte ale domeniului său de definire, la care semnul derivatei întâi se schimbă. Punctele în care derivata întâi a unei funcții dispare sau se rupe se numesc puncte critice.

Teorema 1 (prima condiție suficientă pentru existența unui extremum).

Fie definită funcția y=f(x) în punctul x 0 și să existe o vecinătate δ>0 astfel încât funcția să fie continuă pe segmentul , diferențiabilă pe intervalul (x 0 -δ, x 0)u( x 0 , x 0 + δ) , iar derivata ei păstrează un semn constant pe fiecare dintre aceste intervale. Atunci, dacă pe x 0 -δ, x 0) și (x 0, x 0 + δ) semnele derivatei sunt diferite, atunci x 0 este un punct extrem, iar dacă se potrivesc, atunci x 0 nu este un punct extrem. . Mai mult, dacă, la trecerea prin punctul x0, derivata își schimbă semnul din plus în minus (la stânga lui x 0, se execută f „(x)> 0, atunci x 0 este punctul maxim; dacă derivata își schimbă semnul de la minus la plus (la dreapta lui x 0 este executat de f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Punctele maxime și minime se numesc puncte extreme ale funcției, iar maximele și minimele funcției sunt numite valorile sale extreme.

Teorema 2 (criteriul necesar pentru un extremum local).

Dacă funcția y=f(x) are un extremum la curentul x=x 0, atunci fie f'(x 0)=0, fie f'(x 0) nu există.
La punctele extreme ale unei funcții diferențiabile, tangenta la graficul acesteia este paralelă cu axa Ox.

Algoritm pentru studierea unei funcții pentru un extremum:

1) Aflați derivata funcției.
2) Găsiți punctele critice, de ex. punctele în care funcția este continuă și derivata este zero sau nu există.
3) Luați în considerare vecinătatea fiecăruia dintre puncte și examinați semnul derivatei la stânga și la dreapta acestui punct.
4) Determinați coordonatele punctelor extreme, pentru această valoare a punctelor critice, înlocuiți în această funcție. Folosind suficiente condiții extreme, trageți concluziile adecvate.

Exemplul 18. Investigați funcția y=x 3 -9x 2 +24x

Decizie.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Echivalând derivata cu zero, găsim x 1 =2, x 2 =4. În acest caz, derivata este definită peste tot; prin urmare, în afară de cele două puncte găsite, nu există alte puncte critice.
3) Semnul derivatei y "=3(x-2)(x-4) se modifică în funcție de interval, așa cum se arată în figura 1. Când trece prin punctul x=2, derivata își schimbă semnul de la plus la minus, iar la trecerea prin punctul x=4 - de la minus la plus.
4) În punctul x=2, funcția are un maxim y max =20, iar în punctul x=4 - un minim y min =16.

Teorema 3. (a 2-a condiție suficientă pentru existența unui extremum).

Fie f "(x 0) și f "" (x 0) există în punctul x 0. Atunci dacă f "" (x 0)> 0, atunci x 0 este punctul minim și dacă f "" (x 0) )<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

Pe segment, funcția y \u003d f (x) poate atinge cea mai mică (cel puțin) sau cea mai mare (cel mult) valoare fie în punctele critice ale funcției aflate în intervalul (a; b), fie la capete a segmentului.

Algoritmul pentru găsirea celor mai mari și mai mici valori ale unei funcții continue y=f(x) pe segment:

1) Găsiți f „(x).
2) Găsiți punctele în care f „(x) = 0 sau f” (x) - nu există și selectați dintre ele pe cele care se află în interiorul segmentului.
3) Calculați valoarea funcției y \u003d f (x) la punctele obținute la paragraful 2), precum și la capetele segmentului și alegeți cel mai mare și cel mai mic dintre ele: acestea sunt, respectiv, cele mai mari ( pentru cele mai mari) și cele mai mici (pentru cele mai mici) valori ale funcției de pe segment.

Exemplul 19. Aflați cea mai mare valoare a unei funcții continue y=x 3 -3x 2 -45+225 pe segmentul .

1) Avem y "=3x 2 -6x-45 pe segment
2) Derivata y" există pentru tot x. Să găsim punctele în care y"=0; primim:
3x2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 \u003d -3; x2=5
3) Calculați valoarea funcției în punctele x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Numai punctul x=5 aparține segmentului. Cea mai mare dintre valorile găsite ale funcției este 225, iar cea mai mică este numărul 50. Deci, la max = 225, la max = 50.

Investigarea unei funcții pe convexitate

Figura prezintă graficele a două funcții. Primul dintre ele este răsturnat cu o umflătură în sus, al doilea - cu o umflătură în jos.

Funcția y=f(x) este continuă pe un segment și diferențiabilă în intervalul (a;b), se numește convexă în sus (jos) pe acest segment dacă, pentru axb, graficul său nu se află mai sus (nu mai jos) decât tangenta trasata in orice punct M 0 (x 0 ;f(x 0)), unde axb.

Teorema 4. Fie funcția y=f(x) să aibă o derivată a doua în orice punct interior x al segmentului și să fie continuă la capetele acestui segment. Atunci dacă inegalitatea f""(x)0 este satisfăcută pe intervalul (a;b), atunci funcția este convexă în jos pe segment ; dacă inegalitatea f""(x)0 este satisfăcută pe intervalul (а;b), atunci funcția este convexă în sus pe .

Teorema 5. Dacă funcția y \u003d f (x) are o derivată a doua pe intervalul (a; b) și dacă își schimbă semnul la trecerea prin punctul x 0, atunci M (x 0 ; f (x 0)) este un punct de inflexiune.

Regula pentru găsirea punctelor de inflexiune:

1) Găsiți punctele în care f""(x) nu există sau dispare.
2) Examinați semnul f""(x) la stânga și la dreapta fiecărui punct găsit la primul pas.
3) Pe baza teoremei 4, trageți o concluzie.

Exemplul 20. Găsiți punctele extreme și punctele de inflexiune ale graficului funcției y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.

Avem f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Evident, f"(x)=0 pentru x 1 =0, x 2 =1. Derivata, la trecerea prin punctul x=0, isi schimba semnul din minus in plus, iar la trecerea prin punctul x=1, nu isi schimba semnul. Aceasta înseamnă că x=0 este punctul minim (y min =12) și nu există un extremum în punctul x=1. În continuare, găsim . A doua derivată dispare în punctele x 1 =1, x 2 =1/3. Semnele derivatei a doua se schimba astfel: Pe raza (-∞;) avem f""(x)>0, pe intervalul (;1) avem f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Prin urmare, x= este punctul de inflexiune al graficului funcției (tranziția de la convexitate în jos la convexitate în sus) și x=1 este, de asemenea, un punct de inflexiune (tranziție de la convexitate în sus la convexitate în jos). Dacă x=, atunci y= ; dacă, atunci x=1, y=13.

Un algoritm pentru găsirea asimptotei unui grafic

I. Dacă y=f(x) ca x → a , atunci x=a este o asimptotă verticală.
II. Dacă y=f(x) ca x → ∞ sau x → -∞ atunci y=A este asimptota orizontală.
III. Pentru a găsi asimptota oblică, folosim următorul algoritm:
1) Calculați. Dacă limita există și este egală cu b, atunci y=b este asimptota orizontală; dacă , atunci treceți la pasul al doilea.
2) Calculați. Dacă această limită nu există, atunci nu există nicio asimptotă; dacă există și este egal cu k, atunci treceți la pasul al treilea.
3) Calculați. Dacă această limită nu există, atunci nu există nicio asimptotă; dacă există și este egal cu b, atunci treceți la pasul al patrulea.
4) Notați ecuația asimptotei oblice y=kx+b.

Exemplul 21: Găsiți o asimptotă pentru o funcție

1)
2)
3)
4) Ecuația asimptotă oblică are forma

Schema studiului funcției și construcția graficului acesteia

I. Găsiți domeniul funcției.
II. Aflați punctele de intersecție ale graficului funcției cu axele de coordonate.
III. Găsiți asimptote.
IV. Găsiți puncte de extremum posibil.
V. Găsiți punctele critice.
VI. Folosind desenul auxiliar, investigați semnul primei și a doua derivate. Determinați zonele de creștere și descreștere ale funcției, găsiți direcția convexității graficului, punctele extreme și punctele de inflexiune.
VII. Construiți un grafic, ținând cont de studiul efectuat în paragrafele 1-6.

Exemplul 22: Trasează graficul unei funcții conform schemei de mai sus

Decizie.
I. Domeniul funcției este mulțimea tuturor numerelor reale, cu excepția x=1.
II. Deoarece ecuația x 2 +1=0 nu are rădăcini reale, atunci graficul funcției nu are puncte de intersecție cu axa Ox, ci intersectează axa Oy în punctul (0; -1).
III. Să clarificăm problema existenței asimptotelor. Investigăm comportamentul funcției în apropierea punctului de discontinuitate x=1. Deoarece y → ∞ pentru x → -∞, y → +∞ pentru x → 1+, atunci linia x=1 este o asimptotă verticală a graficului funcției.
Dacă x → ​​+∞(x → -∞), atunci y → +∞(y → -∞); prin urmare, graficul nu are o asimptotă orizontală. Mai departe, din existența limitelor

Rezolvând ecuația x 2 -2x-1=0, obținem două puncte ale unui extremum posibil:
x 1 =1-√2 și x 2 =1+√2

V. Pentru a găsi punctele critice, calculăm derivata a doua:

Deoarece f""(x) nu dispare, nu există puncte critice.
VI. Investigăm semnul primei și a doua derivate. Posibile puncte extreme de luat în considerare: x 1 =1-√2 și x 2 =1+√2, împarte aria de existență a funcției în intervale (-∞;1-√2),(1-√2). ;1+√2) și (1+√2;+∞).

În fiecare dintre aceste intervale, derivata își păstrează semnul: în primul - plus, în al doilea - minus, în al treilea - plus. Secvența de semne a primei derivate se va scrie astfel: +, -, +.
Obținem că funcția pe (-∞;1-√2) crește, pe (1-√2;1+√2) scade, iar pe (1+√2;+∞) crește din nou. Puncte extreme: maxim la x=1-√2, în plus f(1-√2)=2-2√2 minim la x=1+√2, în plus f(1+√2)=2+2√2. Pe (-∞;1) graficul este convex în sus, iar pe (1;+∞) - în jos.
VII Să facem un tabel cu valorile obţinute

VIII Pe baza datelor obținute, construim o schiță a graficului funcției

Procesul de cercetare a unei funcții constă din mai multe etape. Pentru cea mai completă idee despre comportamentul funcției și natura graficului acesteia, este necesar să găsiți:

Domeniul de aplicare al funcției.

Acest concept include atât domeniul valorilor, cât și domeniul unei funcții.

Puncte de pauză. (Dacă sunt disponibile).

Intervale de crestere si scadere.

Puncte înalte și scăzute.

Valoarea maximă și minimă a unei funcții din domeniul său.

Zone de convexitate și concavitate.

Puncte de inflexiune (dacă există).

Asimptote (dacă există).

Construirea unui grafic.

Să folosim această schemă cu un exemplu.

Exemplu. Investigați funcția și trasați graficul acesteia.

Găsiți aria de existență a funcției. Este evident că domeniul definirii funcția este aria (-; -1)  (-1; 1)  (1; ).

La rândul său, se poate observa că liniile x = 1, x = -1 sunt asimptote verticale strâmb.

Zona valoric al acestei funcţii este intervalul (-; ).

puncte de pauză funcțiile sunt punctele x=1, x=-1.

Găsim puncte critice.

Să găsim derivata funcției

Puncte critice: x = 0; x = -;x = ;x = -1; x = 1.

Să găsim derivata a doua a funcției

Să determinăm convexitatea și concavitatea curbei la intervale.

- < x < -,y < 0, кривая выпуклая

-

1 < x < 0, y >0, curbă concavă

0 < x < 1, y < 0, кривая выпуклая

1 < x < ,y >0, curbă concavă

< x < , y >0, curbă concavă

Găsirea lacune crescândși Descendentă funcții. Pentru a face acest lucru, determinăm semnele derivatei funcției pe intervale.

- < x < -,y >0, funcția este în creștere

-

1 < x < 0, y < 0, функция убывает

0 < x < 1, y < 0, функция убывает

1 < x < ,y < 0, функция убывает

< x < , y >0, funcția este în creștere

Se poate observa că punctul x = - este un punct maxim, iar punctul x = este punctul minim. Valorile funcției în aceste puncte sunt 3/2 și, respectiv, -3/2.

Despre verticală asimptote s-a spus deja mai sus. Acum să găsim asimptote oblice.

Deci, ecuația asimptotă oblică este y = x.

Să construim programa caracteristici:

Mai jos luăm în considerare câteva exemple de cercetare prin metode de calcul diferenţial al diferitelor tipuri de funcţii.

Exemplu: Metode de calcul diferenţial

1. Domeniul acestei funcții sunt toate numerele reale (-; ).

3. Puncte de intersecție cu axe de coordonate: cu axa Oy: x = 0; y=1;

cu axa Ox: y = 0; x = 1;

4. Puncte de discontinuitate și asimptote: Nu există asimptote verticale.

Asimptote oblice: ecuația generală y = kx + b;

Total: y \u003d -x - asimptotă oblică.

5. Funcții crescătoare și descrescătoare, puncte extremum.

Se poate observa că у 0 pentru orice x  0, prin urmare, funcția scade pe întregul domeniu de definiție și nu are extreme. În punctul x = 0, derivata întâi a funcției este egală cu zero, dar în acest moment scăderea nu se modifică pentru a crește, prin urmare, în punctul x = 0, funcția are cel mai probabil o inflexiune. Pentru a găsi punctele de inflexiune, găsim derivata a doua a funcției.

y = 0 pentru x = 0 și y =  pentru x = 1.

Punctele (0,1) și (1,0) sunt puncte de inflexiune, deoarece y(1-h)< 0; y(1+h) >0; y(-h) > 0; y(h)< 0 для любого h > 0.

6. Să construim un grafic al funcției.

Exemplu: Investigați funcția și trasați graficul acesteia.

1. Domeniul de aplicare al funcției este toate valorile lui x, cu excepția x = 0.

2. Funcția este o funcție de formă generală în sensul de par și impar.

3. Puncte de intersecție cu axe de coordonate: cu axa Ox: y = 0; x=

cu axa Oy: x = 0; y nu exista.

4. Punctul x \u003d 0 este un punct de discontinuitate, prin urmare, linia x \u003d 0 este o asimptotă verticală.

Asimptotele oblice caută sub forma: y = kx + b.

Asimptotă oblică y = x.

5. Aflați punctele extreme ale funcției.

; y = 0 la x = 2, y =  la x = 0.

y > 0 la x  (-, 0) - funcția crește,

y< 0 при х  (0, 2) – функция убывает,

y > 0 la x  (2, ) – funcția crește.

Astfel, punctul (2, 3) este punctul minim.

Pentru a determina natura convexității / concavității funcției, găsim derivata a doua.

> 0 pentru orice x  0, prin urmare, funcția este concavă pe întregul domeniu de definiție.

6. Să construim un grafic al funcției.

Exemplu: Investigați funcția și trasați graficul acesteia.

Domeniul acestei funcții este intervalul x  (-, ).

În sensul de par și impar, funcția este o funcție de formă generală.

Puncte de intersecție cu axele de coordonate: cu axa Oy: x = 0, y = 0;

cu axa Ox: y = 0, x = 0, x = 1.

Asimptote curbe.

Nu există asimptote verticale.

Să încercăm să găsim asimptote oblice sub forma y = kx + b.

- nu există asimptote oblice.

Găsirea punctelor extreme.

Pentru a găsi punctele critice, ar trebui să rezolvați ecuația 4x 3 - 9x 2 + 6x -1 \u003d 0.

Pentru a face acest lucru, descompunem acest polinom de gradul al treilea în factori.

Selecția poate determina că una dintre rădăcinile acestei ecuații este numărul

x = 1. Atunci:

4x 3 – 9x 2 + 6x – 1 x - 1

 4x 3 – 4x 2 4x 2 – 5x + 1

Apoi putem scrie (x - 1) (4x 2 - 5x + 1) = 0. În final, obținem două puncte critice: x = 1 și x = ¼.

Notă. Operația de împărțire a polinoamelor ar putea fi evitată dacă, la găsirea derivatei, se folosește formula pentru derivata produsului:

Să găsim derivata a doua a funcției: 12x 2 - 18x + 6. Echivalând cu zero, găsim:

Sistematizează informațiile primite în tabel:

Să construim un grafic al funcției.

Din păcate, nu toți elevii și școlarii cunosc și iubesc algebra, dar toată lumea trebuie să își pregătească temele, să rezolve teste și să susțină examene. Este deosebit de dificil pentru mulți să găsească sarcini pentru trasarea graficelor de funcții: dacă undeva nu înțelegeți ceva, nu-l terminați, ratați-l, greșelile sunt inevitabile. Dar cine vrea să ia note proaste?

Ați dori să vă alăturați cohortei de tailers și ratați? Pentru a face acest lucru, aveți 2 moduri: așezați-vă pentru manuale și completați golurile în cunoștințe sau utilizați un asistent virtual - un serviciu pentru trasarea automată a graficelor de funcții în funcție de condițiile specificate. Cu sau fără decizie. Astăzi vă vom prezenta câteva dintre ele.

Cel mai bun lucru despre Desmos.com este o interfață extrem de personalizabilă, interactivitate, capacitatea de a răspândi rezultatele în tabele și de a vă stoca munca în baza de date de resurse gratuit, fără limite de timp. Și dezavantajul este că serviciul nu este tradus complet în rusă.

Grafikus.ru

Grafikus.ru este un alt calculator de grafice demn de remarcat în limba rusă. Mai mult, el le construiește nu numai în spațiu bidimensional, ci și în spațiu tridimensional.

Iată o listă incompletă a sarcinilor cărora acest serviciu le face față cu succes:

• Desenarea graficelor 2D ale funcțiilor simple: linii, parabole, hiperbole, trigonometrice, logaritmice etc.
• Desenarea graficelor 2D ale funcțiilor parametrice: cercuri, spirale, figuri Lissajous și altele.
• Desenarea graficelor 2D în coordonate polare.
• Construcția suprafețelor 3D de funcții simple.
• Construcția suprafețelor 3D de funcții parametrice.

Rezultatul final se deschide într-o fereastră separată. Utilizatorul are opțiuni pentru a descărca, imprima și copia linkul către acesta. Pentru acesta din urmă, va trebui să vă conectați la serviciu prin butoanele rețelelor sociale.

Planul de coordonate Grafikus.ru acceptă modificarea limitelor axelor, a etichetelor acestora, a distanței dintre grilă, precum și a lățimii și înălțimii planului în sine și a mărimii fontului.

Cel mai mare punct forte al Grafikus.ru este capacitatea de a crea grafice 3D. În caz contrar, nu funcționează mai rău și nici mai bine decât resursele analogice.

Onlinecharts.ru

Asistentul online Onlinecharts.ru nu construiește diagrame, ci diagrame de aproape toate tipurile existente. Inclusiv:

• Liniar.
• Columnar.
• Circular.
• cu regiuni.
• Radial.
• Diagrame XY.
• Bubble.
• Punct.
• Tauri polari.
• Piramidele.
• Vitezometre.
• coloană-liniară.

Resursa este foarte ușor de utilizat. Aspectul diagramei (culoarea fundalului, grila, liniile, indicatoarele, forma colțului, fonturile, transparența, efectele speciale etc.) este complet definit de utilizator. Datele pentru construirea pot fi introduse fie manual, fie importate dintr-un tabel într-un fișier CSV stocat pe un computer. Rezultatul final este disponibil pentru descărcare pe un computer ca imagine, fișier PDF, CSV sau SVG, precum și pentru salvare online pe găzduirea foto ImageShack.Us sau în contul personal Onlinecharts.ru. Prima opțiune poate fi folosită de toată lumea, a doua - numai cei înregistrați.

Punctele de referință în studiul funcțiilor și construcția graficelor acestora sunt puncte caracteristice - puncte de discontinuitate, extremum, inflexiune, intersecție cu axele de coordonate. Cu ajutorul calculului diferențial, se pot stabili trăsăturile caracteristice ale modificării funcțiilor: creștere și scădere, maxime și minime, direcția convexității și concavității graficului, prezența asimptotelor.

O schiță a graficului funcției poate (și ar trebui) să fie schițată după găsirea asimptotelor și a punctelor extreme și este convenabil să completați tabelul rezumat al studiului funcției în cursul studiului.

De obicei, se folosește următoarea schemă de cercetare a funcției.

1.Găsiți domeniul, intervalele de continuitate și punctele de întrerupere ale unei funcții.

2.Examinați funcția pare sau impar (simetria axială sau centrală a graficului.

3.Găsiți asimptote (verticale, orizontale sau oblice).

4.Găsiți și investigați intervalele de creștere și scădere ale funcției, punctele sale extreme.

5.Aflați intervalele de convexitate și concavitate ale curbei, punctele sale de inflexiune.

6.Aflați punctele de intersecție ale curbei cu axele de coordonate, dacă acestea există.

7.Alcătuiește un tabel rezumativ al studiului.

8.Construiți un grafic, ținând cont de studiul funcției, efectuat conform punctelor de mai sus.

Exemplu. Funcția de explorare

și complotează-l.

7. Să facem un tabel rezumativ al studiului funcției, unde vom introduce toate punctele caracteristice și intervalele dintre ele. Având în vedere paritatea funcției, obținem următorul tabel: