Derivatele parțiale ale funcțiilor mai multor variabile sunt funcții ale acelorași variabile. Aceste funcții, la rândul lor, pot avea derivate parțiale, pe care le vom numi derivate parțiale a doua (sau derivate parțiale de ordinul doi) ale funcției originale.

Deci, de exemplu, o funcție a două variabile are patru derivate parțiale de ordinul doi, care sunt definite și notate după cum urmează:

O funcție de trei variabile are nouă derivate parțiale de ordinul doi:

În mod similar, derivatele parțiale de ordinul trei și superior ale unei funcții a mai multor variabile sunt definite și notate: derivata parțială de ordinul unei funcții a mai multor variabile este derivata parțială de ordinul întâi a derivatei parțiale de ordinul mai multor variabile. aceeași funcție.

De exemplu, derivata parțială de ordinul trei a unei funcții este derivata parțială de ordinul întâi în raport cu y a derivatei parțiale de ordinul doi

O derivată parțială a doua sau mai mare luată în raport cu mai multe variabile diferite se numește derivată parțială mixtă.

De exemplu, derivate parțiale

sunt derivate parțiale mixte ale unei funcții a două variabile.

Exemplu. Găsiți derivate parțiale mixte de ordinul doi ale unei funcții

Decizie. Găsirea derivatelor parțiale de ordinul întâi

Apoi găsim derivatele parțiale mixte de ordinul doi

Vedem că derivatele parțiale mixte și care diferă doar în ordinea diferențierii, adică în succesiunea în care se realizează diferențierea față de diferite variabile, s-au dovedit a fi identic egale. Acest rezultat nu este întâmplător. În ceea ce privește derivatele parțiale mixte, este valabilă următoarea teoremă, pe care o acceptăm fără demonstrație.

Continuăm tema preferată a analizei matematice – derivatele. În acest articol, vom învăța cum să găsim derivate parțiale ale unei funcții a trei variabile: derivate primare și derivate secunde. Ce trebuie să știi și să poți stăpâni materialul? Nu credeți, dar, în primul rând, trebuie să puteți găsi derivatele „obișnuite” ale unei funcții a unei variabile - la un nivel ridicat sau cel puțin mediu. Dacă este într-adevăr strâns cu ei, atunci începe cu o lecție Cum să găsesc derivatul?În al doilea rând, este foarte important să citiți articolul și să înțelegeți și să rezolvați, dacă nu toate, atunci majoritatea exemplelor. Dacă acest lucru a fost deja făcut, atunci mergeți cu mine cu un mers încrezător, va fi interesant, chiar veți obține plăcere!

Metode și principii de găsire derivate parțiale ale unei funcții a trei variabile sunt de fapt foarte asemănătoare cu funcțiile derivate parțiale ale două variabile. Funcția a două variabile, vă reamintesc, are forma , unde „x” și „y” sunt variabile independente. Geometric, o funcție a două variabile este o anumită suprafață în spațiul nostru tridimensional.

Funcția a trei variabile are forma , în timp ce variabilele sunt numite independentvariabile sau argumente, variabila este numită variabilă dependentă sau funcţie. De exemplu: - o funcţie a trei variabile

Și acum puțin despre filme științifico-fantastice și extratereștri. Auzi des despre 4D, 5D, 10D etc. spatii. Prostii sau nu?
La urma urmei, funcția a trei variabile implică faptul că toate lucrurile au loc într-un spațiu cu patru dimensiuni (într-adevăr, există patru variabile). Graficul unei funcții de trei variabile este așa-numitul hipersuprafață. Este imposibil de imaginat, deoarece trăim într-un spațiu tridimensional (lungime/lățime/înălțime). Ca să nu te plictisești de mine, îți propun un test. Voi pune câteva întrebări, iar cei care doresc pot încerca să le răspundă:

- Există un al patrulea, al cincilea etc. în lume? măsurători în sensul înțelegerii filistei a spațiului (lungime/lățime/înălțime)?

- Este posibil să se construiască un patru-dimensional, cinci-dimensional, etc. spațiu în sensul larg al cuvântului? Adică să dăm un exemplu de astfel de spațiu din viața noastră.

Este posibil să călătorești în trecut?

Este posibil să călătorești în viitor?

-Există extratereștrii?

Pentru orice întrebare, puteți alege unul dintre cele patru răspunsuri:
Da / Nu (știința interzice acest lucru) / Știința nu interzice / Nu știu

Cine răspunde corect la toate întrebările, cel mai probabil are ceva ;-)

Voi da treptat răspunsuri la întrebări în timpul lecției, nu sări peste exemple!

De fapt, au zburat. Și acum veștile bune: pentru o functie de trei variabile sunt valabile regulile de diferentiere si tabelul derivatelor. De aceea trebuie să fii bun la gestionarea „obișnuitului” derivate ale funcţiilor o variabilă. Sunt foarte putine diferente!

Exemplul 1

Decizie: Este ușor de ghicit că pentru o funcție de trei variabile există Trei derivate parțiale de ordinul întâi, care se notează după cum urmează:

Sau - derivată parțială a lui „x”;
sau - derivată parțială în raport cu „y”;
sau - derivată parțială în raport cu „z”.

Notarea cu un accident vascular cerebral este mai folosită, dar compilatorii de colecții, manualele în condițiile sarcinilor sunt foarte pasionați de a folosi doar notații greoaie - așa că nu vă pierdeți! Poate că nu toată lumea știe să citească corect aceste „fracții teribile” cu voce tare. Exemplu: trebuie citit după cum urmează: „de u po de x”.

Să începem cu derivata x: . Când găsim derivata parțială în raport cu , apoi variabilele și sunt considerate constante (numerele constante).Și derivata oricărei constante, oh, grație, este egală cu zero:

Acordați atenție imediată indicelui - nimeni nu vă interzice să marcați că sunt constante. Este și mai convenabil, recomand ca începătorilor să folosească doar o astfel de înregistrare, există mai puțin risc de confuzie.

(1) Folosim proprietățile liniarității derivatei, în special, scoatem toate constantele din semnul derivatei. Vă rugăm să rețineți că în al doilea termen, constanta nu trebuie eliminată: deoarece „y” este o constantă, atunci este și o constantă. În termen, constanta „obișnuită” 8 și constanta „zet” sunt scoase din semnul derivatului.

(2) Găsim cele mai simple derivate, fără a uita că sunt constante. Apoi, pieptene răspunsul.

Derivată parțială. Când găsim derivata parțială față de „y”, atunci variabilele și sunt considerate constante:

(1) Folosim proprietățile liniarității. Și din nou, rețineți că termenii sunt constante, ceea ce înseamnă că nu trebuie scos nimic pentru semnul derivatei.

(2) Găsim derivate, fără a uita că constante. Să simplificăm răspunsul.

Și în sfârșit, derivata parțială. Când găsim derivata parțială față de „z”, atunci variabilele și sunt considerate constante:

Regula generala evident și fără pretenții: Când găsim derivata parțialăpentru orice variabilă independentă, atunciîncă doi variabilele independente sunt considerate constante.

Când proiectați aceste sarcini, ar trebui să fiți extrem de atenți, în special, nu se poate pierde abonamente(care indică pe ce variabilă se face diferențierea). Pierderea indexului va fi o MARE DEFECT. Hmmm…. e amuzant dacă, după o asemenea intimidare, îmi va fi dor de ei pe undeva)

Exemplul 2

Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi ale unei funcții de trei variabile

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Cele două exemple luate în considerare sunt destul de simple și, după ce au rezolvat mai multe probleme similare, chiar și un ceainic se va adapta la reprimarea lor verbală.

Pentru a descărca, să revenim la prima întrebare a testului: Există un al patrulea, al cincilea etc. în lume? măsurători în sensul înțelegerii filistei a spațiului (lungime/lățime/înălțime)?

Răspuns corect: Știința nu o interzice.. Toate axiomaticile matematice fundamentale, teoremele, aparatele matematice sunt frumoase și consistent lucrează în spațiu de orice dimensiune. Este posibil ca undeva în Univers să existe hipersuprafețe care nu sunt supuse minții noastre, de exemplu, o hipersuprafață cu patru dimensiuni, care este dată de o funcție a trei variabile. Sau poate există hipersuprafețe lângă noi sau chiar suntem chiar în ele, doar viziunea noastră, alte organe de simț, conștiința sunt capabile să perceapă și să cuprindă doar trei dimensiuni.

Să revenim la exemple. Da, dacă cineva este foarte încărcat cu un test, este mai bine să citiți răspunsurile la următoarele întrebări după ce ați învățat cum să găsiți derivatele parțiale ale unei funcții de trei variabile, altfel vă voi scoate tot creierul în cursul articolului =)

Pe lângă cele mai simple Exemple 1,2, în practică există sarcini care pot fi numite un mic puzzle. Astfel de exemple, spre supărarea mea, au căzut din vedere când am creat lecția. Derivate parțiale ale funcțiilor a două variabile. Recuperarea timpului pierdut:

Exemplul 3

Decizie: Pare a fi „totul este simplu”, dar prima impresie este înșelătoare. Când găsesc derivate parțiale, mulți vor ghici zațul de cafea și vor face greșeli.

Să analizăm exemplul în mod consecvent, clar și clar.

Să începem cu derivata parțială față de x. Când găsim derivata parțială față de „x”, atunci variabilele sunt considerate constante. Prin urmare, indicele funcției noastre este, de asemenea, o constantă. Pentru manechine, recomand următoarea soluție: pe schiță, schimbați constanta cu un anumit întreg pozitiv, de exemplu, la „cinci”. Rezultatul este o funcție a unei variabile:
sau poți scrie și așa:

Aceasta este putere funcţie cu bază complexă (sinus). De :

Acum amintiți-vă că, astfel:

Pe o copie curată, desigur, soluția ar trebui să fie elaborată astfel:

Găsim derivata parțială față de „y”, acestea sunt considerate constante. Dacă „x” este o constantă, atunci este și o constantă. Pe schiță, facem același truc: înlocuim, de exemplu, cu 3, „Z” - îl vom înlocui cu același „cinci”. Rezultatul este din nou o funcție a unei variabile:

Aceasta este demonstrație funcție cu un exponent complex. De regula de diferențiere a unei funcții complexe:

Acum amintiți-vă de înlocuitorul nostru:

Prin urmare:

Pe o copie curată, desigur, designul ar trebui să arate frumos:

Și cazul în oglindă cu o derivată parțială în raport cu „z” (- constante):

Cu ceva experiență, analiza poate fi efectuată mental.

Efectuăm a doua parte a sarcinii - compunem un diferențial de ordinul întâi. Este foarte simplu, prin analogie cu o funcție a două variabile, diferența de ordinul întâi se scrie prin formula:

În acest caz:

Și afaceri atunci. Observ că în problemele practice, diferenţialul complet de ordinul 1 al unei funcţii de trei variabile este necesar să fie compilat mult mai rar decât pentru o funcţie a două variabile.

Un exemplu distractiv pentru o soluție de tip do-it-yourself:

Exemplul 4

Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi ale unei funcții de trei variabile și faceți o diferență totală de ordinul întâi

Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției. Dacă aveți dificultăți, utilizați algoritmul considerat „chainikov”, vă va ajuta garantat. Și un alt sfat util - nu te grabi. Astfel de exemple nu sunt rezolvate rapid nici măcar de mine.

Ne divagăm și analizăm a doua întrebare: Este posibil să construim un patru-dimensional, cinci-dimensional etc. spațiu în sensul larg al cuvântului? Adică să dăm un exemplu de astfel de spațiu din viața noastră.

Răspuns corect: da. Și, este foarte ușor. De exemplu, adăugăm o a patra dimensiune la lungime/lățime/înălțime - timp. Popularul spațiu-timp cu patru dimensiuni și binecunoscuta teorie a relativității furate cu grijă de Einstein de la Lobachevsky, Poincaré, Lorentz și Minkowski. Nici toată lumea nu știe. De ce a primit Einstein Premiul Nobel? A fost un scandal teribil în lumea științifică, iar Comitetul Nobel a formulat meritul plagiatorului astfel: „Pentru contribuția generală la dezvoltarea fizicii”. Deci asta este. Marca de gradul C a lui Einstein este pură promovare și PR.

Este ușor să adăugați o a cincea dimensiune spațiului cu patru dimensiuni considerat, de exemplu: presiunea atmosferică. Și așa mai departe, așa mai departe, câte dimensiuni ai stabilit în modelul tău - vor fi atât de multe. În sensul larg al cuvântului, trăim într-un spațiu multidimensional.

Să ne uităm la câteva sarcini obișnuite:

Exemplul 5

Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi într-un punct

Decizie: O sarcină din această formulare este adesea întâlnită în practică și implică următoarele două acțiuni:
– trebuie să găsiți derivate parțiale de ordinul întâi;
– trebuie să calculați valorile derivatelor parțiale de ordinul 1 la punctul .

Noi decidem:

(1) Avem o funcție complexă, iar primul pas este să luăm derivata arc-tangentei. Făcând acest lucru, folosim, de fapt, cu calm formula tabulară pentru derivata arc-tangentei. De regula de diferențiere a unei funcții complexe rezultatul trebuie înmulțit cu derivata funcției interioare (înglobare): .

(2) Folosim proprietățile liniarității.

(3) Și luăm derivatele rămase, fără a uita că sunt constante.

Conform condiției de atribuire, este necesar să se găsească valoarea derivatei parțiale găsite la punctul . Înlocuiți coordonatele punctului în derivata găsită:

Avantajul acestei sarcini este faptul că alte derivate parțiale se găsesc într-un mod foarte similar:

După cum puteți vedea, șablonul de soluție este aproape același.

Să calculăm valoarea derivatei parțiale găsite în punctul:

Și în sfârșit, derivata față de „z”:

Gata. Soluția ar putea fi formulată și în alt mod: mai întâi, găsiți toate cele trei derivate parțiale și apoi calculați valorile lor în punctul . Dar, mi se pare, metoda de mai sus este mai convenabilă - au găsit doar derivatul parțial și imediat, fără a părăsi casa de marcat, și-au calculat valoarea la un moment dat.

Este interesant de observat că, din punct de vedere geometric, un punct este un punct foarte real în spațiul nostru tridimensional. Valorile funcției, derivatele sunt deja a patra dimensiune și nimeni nu știe unde este localizată geometric. După cum se spune, nimeni nu s-a târât în ​​jurul Universului cu o bandă de măsură, nu a verificat.

De îndată ce tema filozofică a trecut din nou, să luăm în considerare a treia întrebare: Este posibil să călătorești în trecut?

Răspuns corect: Nu. Călătoria în trecut contrazice a doua lege a termodinamicii despre ireversibilitatea proceselor fizice (entropia). Așa că vă rugăm să nu vă scufundați într-o piscină fără apă, evenimentul poate fi redat doar în videoclip =) Înțelepciunea populară a venit cu legea lumească opusă pentru un motiv: „Măsurați de șapte ori, tăiați o dată”. Deși, de fapt, un lucru trist, timpul este unidirecțional și ireversibil, niciunul dintre noi nu va arăta mai tânăr mâine. Și diverse filme științifico-fantastice precum „Terminator” din punct de vedere științific sunt o prostie totală. Este absurd și din punctul de vedere al filosofiei - când Consecința, revenind în trecut, își poate distruge propria Cauză. .

Mai interesant cu derivata cu privire la „z”, deși, este încă aproape la fel:

(1) Scoatem constantele din semnul derivatei.

(2) Aici din nou produsul a două funcții, fiecare dintre ele depinde din variabila „live” „z”. În principiu, puteți folosi formula pentru derivata unui coeficient, dar este mai ușor să mergeți în altă direcție - să găsiți derivata produsului.

(3) O derivată este o derivată tabelară. Al doilea termen conține derivata deja familiară a unei funcții complexe.

Exemplul 9

Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi ale unei funcții de trei variabile

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Gândiți-vă cum este mai rațional să găsiți una sau alta derivată parțială. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Înainte de a trece la exemplele finale ale lecției și luați în considerare derivate parțiale de ordinul doi funcții a trei variabile, voi încuraja încă o dată pe toată lumea cu a patra întrebare:

Este posibil să călătorești în viitor?

Răspuns corect: Știința nu o interzice.. Paradoxal, nu există nicio lege matematică, fizică, chimică sau de altă natură care să interzică călătoriile în viitor! Pare o prostie? Dar aproape toată lumea în viață a avut o premoniție (și nesusținută de niciun argument logic) că acesta sau altul se va întâmpla. Și s-a întâmplat! De unde au venit informatia? Din viitor? Astfel, filmele fantastice despre călătoriile în viitor și, apropo, predicțiile a tot felul de ghicitori, psihici nu pot fi numite astfel de prostii. Cel puțin, știința nu a respins acest lucru. Totul este posibil! Așa că, când eram la școală, CD-urile și monitoarele cu ecran plat din filme mi s-au părut o fantezie incredibilă.

Cunoscuta comedie „Ivan Vasilyevich își schimbă profesia” este pe jumătate ficțiune (maximum). Nicio lege științifică nu i-a interzis lui Ivan cel Groaznic să fie în viitor, dar este imposibil ca doi ardei să fie în trecut și să îndeplinească îndatoririle unui rege.

Conceptul de funcție a mai multor variabile

Fie n-variabile și fiecărui x 1, x 2 ... x n dintr-o anumită mulțime x i se atribuie o definiție. numărul Z, apoi pe mulțimea x este dată funcția Z \u003d f (x 1, x 2 ... x n) a multor variabile.

X - zona de funcții definite

x 1, x 2 ... x n - variabilă independentă (argumente)

Z - funcție Exemplu: Z \u003d P x 2 1 * x 2 (Volumul cilindrului)

Luați în considerare Z \u003d f (x; y) - f-țiunea a 2 variabile x (x 1, x 2 înlocuite cu x, y). Rezultatele sunt transferate prin analogie la alte funcții ale multor variabile. Aria de definire a funcției a 2 variabile este întregul cordon al pătratului (ooh) sau o parte a acestuia. Mn-în valoarea celei de-a doua funcții a 2 variabile - suprafața într-un spațiu tridimensional.

Tehnici de construire a graficelor: - Secțiune Rassm-t peste suprafața pătratului || pătrate de coordonate.

Exemplu: x \u003d x 0, zn. pătratul X || 0yz y \u003d y 0 0xz Tip de funcție: Z \u003d f (x 0, y); Z=f(x, y 0)

De exemplu: Z=x 2 +y 2 -2y

Z= x 2 +(y-1) 2 -1 x=0 Z=(y-1) 2 -1 y=1 Z= x 2 -1 Z=0 x 2 +(y-1) 2 -1

Cercul parabolă(centrul(0;1)

Limitele și continuitatea funcțiilor a două variabile

Fie dat Z = f (x; y), atunci A este limita f-ției în m. (x 0, y 0), dacă pentru orice put arbitrar mic. număr E>0 substantiv-t număr pozitiv b>0, că pentru toate x,y satisface |x-x 0 |<б; |y-y 0 |<б выполняется нерав-во |f(x,y)-A|

Z \u003d f (x; y) este continuă în t. (x 0, y 0), dacă: - este definit în acest t .; - are un finit limită la x, tinde spre x 0 și y spre y 0; - această limită = valoare

funcții în t. (x 0, y 0), adică. limf (x; y) \u003d f (x 0, y 0)

Dacă funcţia este continuă în fiecare. t. mn-va X, atunci este continuu in aceasta zona

Funcția diferențială, geosemnificația ei. Utilizarea lui dif-la în valori aproximative.

dy=f’(x)∆x – funcție diferențială

dy=dx, adică dy=f '(x)dx dacă y=x

Din punctul de vedere al unui geolog, o funcție diferențială este o creștere a ordonatei tangentei trasate la graficul funcției într-un punct cu abscisa x 0

Dif-l este utilizat în calculul a cca. valorile funcției conform formulei: f(x 0 +∆x)~f(x 0)+f’(x 0)∆x

Cu cât ∆x este mai aproape de x, cu atât rezultatul este mai precis.

Derivate parțiale de ordinul întâi și al doilea

Derivată de ordinul întâi (care se numește privat)

A. Fie x, y incrementele variabilelor independente x și y la un anumit punct din regiunea X. Atunci valoarea egală cu z = f(x + x, y + y) = f(x, y) se numește increment total în punctul x 0, y 0. Dacă variabila x este fixă, iar variabila y este incrementată cu y, atunci obținem zу = f(x, y, + y) – f(x, y)

Derivata parțială a variabilei y este definită în mod similar, i.e.

Derivata parțială a unei funcții de 2 variabile se găsește după aceleași reguli ca și pentru funcțiile unei variabile.

Diferența este că la diferențierea unei funcții față de variabila x, y este considerat const, iar la diferențierea față de y, x este considerat const.

Constantele izolate sunt conectate la funcție cu operații de adunare/scădere.

Constantele asociate sunt conectate la funcția cu operații de înmulțire/împărțire.

Derivată a const izolat = 0

1.4.Diferenţialul total al unei funcţii de 2 variabile şi aplicaţiile acesteia

Fie z = f(x,y), atunci

tz = - se numește increment complet

Derivată parțială de ordinul 2

Pentru funcții continue a 2 variabile, derivatele parțiale mixte de ordinul 2 și coincid.

Utilizarea derivatelor parțiale pentru a determina derivatele parțiale ale funcțiilor max și min se numește extreme.

A. Punctele se numesc max sau min z = f(x,y) dacă există unele segmente astfel încât pentru toate x și y din această vecinătate f(x,y)

T. Dacă este dat un punct extremum al unei funcții de 2 variabile, atunci valoarea derivatelor parțiale în acest punct este egală cu 0, i.e. ,

Punctele în care derivatele parțiale de ordinul întâi sunt numite staționare sau critice.

Prin urmare, pentru a găsi punctele extreme ale unei funcții de 2 variabile, sunt utilizate condiții extreme suficiente.

Fie funcția z = f(x,y) să fie de două ori diferențiabilă și fie punctul staționar,

1) și maxA<0, minA>0.

1.4.(*)diferenţial complet. Sensul geometric al diferenţialului. Aplicarea diferenţialului în calcule aproximative

O. Fie definită funcția y = f(x) într-o vecinătate în punctele . O funcție f(x) se numește diferențiabilă într-un punct dacă crește în acest punct , unde este reprezentat sub forma (1)

Unde A este o valoare constantă independentă de , la un punct fix x, - infinit mic la . O funcție relativ liniară A se numește diferența funcției f(x) într-un punct și se notează cu df() sau dy.

Astfel, expresia (1) poate fi scrisă ca ().

Funcția diferențială în expresia (1) are forma dy = A . Ca orice funcție liniară, este definită pentru orice valoare în timp ce creșterea funcției trebuie luată în considerare numai pentru cele pentru care + aparține domeniului funcției f(x).

Pentru comoditatea notării diferenţialului, incrementul este notat cu dx şi se numeşte diferenţialul variabilei independente x. Prin urmare, diferența se scrie ca dy = Adx.

Dacă funcția f(x) este diferențiabilă în fiecare punct al unui interval, atunci diferența sa este o funcție a două variabile - punctul x și variabila dx:

T. Pentru ca funcția y = g(x) să fie diferențiabilă la un moment dat, este necesar și suficient ca ea să aibă o derivată în acest punct, în timp ce

(*) Dovada. Nevoie.

Fie funcția f(x) diferențiabilă în punctul , adică . Apoi

Prin urmare, derivata f'() există și este egală cu A. Prin urmare, dy = f'()dx

Adecvarea.

Să existe o derivată f'(), adică. = f'(). Atunci curba y = f(x) este un segment tangent. Pentru a calcula valoarea unei funcții într-un punct x, luați un punct din vecinătatea acestuia, astfel încât să nu fie dificil să găsiți f() și f’()/

Derivate parțiale ale funcțiilor a două variabile.
Concept și exemple de soluții

În această lecție, vom continua cunoașterea funcției a două variabile și vom lua în considerare, probabil, cea mai comună sarcină tematică - găsirea derivate parțiale de ordinul întâi și al doilea, precum și diferența totală a funcției. Studenții cu fracțiune de normă, de regulă, se confruntă cu derivate parțiale în anul 1 în semestrul 2. În plus, conform observațiilor mele, sarcina de a găsi derivate parțiale se regăsește aproape întotdeauna în examen.

Pentru a studia eficient următorul material, tu necesar să poată găsi mai mult sau mai puțin cu încredere derivatele „obișnuite” ale unei funcții a unei variabile. Puteți învăța cum să gestionați corect derivatele în lecții Cum să găsesc derivatul?și Derivată a unei funcții complexe. De asemenea, avem nevoie de un tabel de derivate ale funcțiilor elementare și reguli de diferențiere, cel mai convenabil este dacă este la îndemână în formă tipărită. Puteți găsi material de referință pe pagină Formule și tabele matematice.

Să repetăm ​​rapid conceptul de funcție a două variabile, voi încerca să mă limitez la minim. O funcție a două variabile este de obicei scrisă ca , variabilele fiind numite variabile independente sau argumente.

Exemplu: - o funcție a două variabile.

Uneori se folosește notația. Există, de asemenea, sarcini în care litera este folosită în loc de scrisoare.

Din punct de vedere geometric, o funcție a două variabile este cel mai adesea o suprafață a spațiului tridimensional (plan, cilindru, bilă, paraboloid, hiperboloid etc.). Dar, de fapt, aceasta este deja mai mult geometrie analitică și avem analiză matematică pe ordinea de zi, pe care profesorul meu universitar nu m-a lăsat niciodată să le opresc este „calul” meu.

Ne întoarcem la problema găsirii derivatelor parțiale de ordinul întâi și al doilea. Am niște vești bune pentru cei dintre voi care au băut câteva căni de cafea și sunt în chef de material neînchipuit de dificil: derivatele parțiale sunt aproape aceleași cu derivatele „obișnuite” ale unei funcții a unei variabile.

Pentru derivatele parțiale sunt valabile toate regulile de diferențiere și tabelul de derivate ale funcțiilor elementare. Există doar câteva mici diferențe pe care le vom cunoaște chiar acum:

... da, apropo, pentru acest subiect am creat carte mica pdf, care vă va permite să vă „umpleți mâna” în doar câteva ore. Dar, folosind site-ul, veți obține, desigur, și rezultatul - poate puțin mai lent:

Exemplul 1

Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi și al doilea ale unei funcții

În primul rând, găsim derivatele parțiale de ordinul întâi. Sunt doi dintre ei.

Notaţie:
sau - derivată parțială față de "x"
sau - derivată parțială în raport cu „y”

Sa incepem cu . Când găsim derivata parțială față de „x”, atunci variabila este considerată o constantă (număr constant).

Comentarii cu privire la acțiunile întreprinse:

(1) Primul lucru pe care îl facem când găsim derivata parțială este să concluzionam toate funcţionează între paranteze sub liniuţă cu indice.

Atenție importantă! Indicele NU PIERD pe parcursul soluției. În acest caz, dacă desenați o „lovitură” undeva fără, atunci profesorul, cel puțin, o poate pune lângă sarcină (mușcă imediat o parte din scor pentru neatenție).

(2) Folosiți regulile de diferențiere , . Pentru un exemplu simplu ca acesta, ambele reguli pot fi aplicate în același pas. Atenție la primul termen: de când este considerată o constantă și orice constantă poate fi scoasă din semnul derivatei, apoi o scoatem din paranteze. Adică, în această situație, nu este mai bun decât un număr obișnuit. Acum să ne uităm la al treilea termen: aici, dimpotrivă, nu este nimic de scos. Deoarece este o constantă, este și o constantă și, în acest sens, nu este mai bună decât ultimul termen - „șapte”.

(3) Folosim derivate tabulare și .

(4) Simplificăm sau, după cum îmi place să spun, „combinăm” răspunsul.

Acum . Când găsim derivata parțială față de „y”, atunci variabilaconsiderată o constantă (număr constant).

(1) Folosim aceleași reguli de diferențiere , . În primul termen scoatem constanta dincolo de semnul derivatei, în al doilea termen nu se poate scoate nimic pentru că este deja o constantă.

(2) Folosim tabelul derivatelor funcțiilor elementare. Schimbați mental în tabel tot „X” cu „Y”. Adică, acest tabel este la fel de valabil pentru (și într-adevăr pentru aproape orice literă). În special, formulele pe care le folosim arată astfel: și .

Care este sensul derivatelor parțiale?

În esență, derivatele parțiale de ordinul 1 se aseamănă derivat „obișnuit”.:

- Acest funcții, care caracterizează rata de schimbare funcţionează în direcţia axelor şi respectiv. Deci, de exemplu, funcția caracterizează abruptul „urcărurilor” și „pârtilor” suprafeteîn direcția axei absciselor, iar funcția ne vorbește despre „relieful” aceleiași suprafețe în direcția axei ordonatelor.

! Notă : aici se referă la direcții care sunt paralele axele de coordonate.

Pentru o mai bună înțelegere, să luăm în considerare un punct specific al planului și să calculăm valoarea funcției („înălțime”) în el:
- și acum imaginați-vă că sunteți aici (la suprafață).

Calculăm derivata parțială în raport cu „x” la un punct dat:

Semnul negativ al derivatului „X” ne vorbește despre Descendentă funcţionează într-un punct în direcţia axei x. Cu alte cuvinte, dacă facem un mic-mic (infinitezimal) pas spre vârful axei (paralel cu această axă), apoi coborâți panta suprafeței.

Acum aflăm natura „terenului” în direcția axei y:

Derivata față de „y” este pozitivă, prin urmare, într-un punct de-a lungul axei, funcția crește. Dacă este destul de simplu, atunci aici așteptăm o urcare în urcare.

În plus, derivata parțială la un punct caracterizează rata de schimbare funcţionează în direcţia relevantă. Cu cât valoarea rezultată este mai mare modulo- cu cât suprafața este mai abruptă și invers, cu cât este mai aproape de zero, cu atât suprafața este mai plată. Deci, în exemplul nostru, „panta” în direcția abscisei este mai abruptă decât „muntele” în direcția ordonatei.

Dar acelea erau două căi private. Este destul de clar că din punctul în care ne aflăm, (și în general din orice punct al suprafeței date) ne putem deplasa într-o altă direcție. Astfel, există un interes în alcătuirea unei „hărți de navigație” generale care să ne spună despre „peisajul” suprafeței. daca este posibilîn fiecare punct domeniul de aplicare al acestei funcțiiîn toate modurile disponibile. Voi vorbi despre asta și despre alte lucruri interesante într-una din lecțiile următoare, dar deocamdată să revenim la partea tehnică a problemei.

Sistematizează regulile elementare aplicate:

1) Când diferențiem prin , atunci variabila este considerată o constantă.

2) Când diferenţierea se realizează conform, atunci este considerată o constantă.

3) Regulile și tabelul de derivate ale funcțiilor elementare sunt valabile și aplicabile pentru orice variabilă (sau oricare alta) față de care se realizează diferențierea.

Pasul doi. Găsim derivate parțiale de ordinul doi. Sunt patru.

Notaţie:
sau - a doua derivată în raport cu „x”
sau - a doua derivată în raport cu „y”
sau - amestecat derivată „x cu y”
sau - amestecat derivată „Y cu X”

Nu există probleme cu derivata a doua. In termeni simpli, a doua derivată este derivata primei derivate.

Pentru comoditate, voi rescrie derivatele parțiale de ordinul întâi deja găsite:

Mai întâi găsim derivatele mixte:

După cum puteți vedea, totul este simplu: luăm derivata parțială și o diferențiem din nou, dar în acest caz, deja prin „y”.

În mod similar:

În exemple practice, vă puteți concentra pe următoarea egalitate:

Astfel, prin derivate mixte de ordinul doi, este foarte convenabil să verificăm dacă am găsit corect derivatele parțiale de ordinul întâi.

Găsim derivata a doua în raport cu „x”.
Fără invenții, luăm și diferențiază-l cu „X” din nou:

În mod similar:

Trebuie remarcat faptul că atunci când găsiți, trebuie să arătați atenție sporită, din moment ce nu există egalități miraculoase care să le testeze.

Derivatele secunde găsesc, de asemenea, o aplicație practică largă, în special, sunt utilizate în problema găsirii extremele unei funcții a două variabile. Dar totul are timpul lui:

Exemplul 2

Calculați derivatele parțiale de ordinul întâi ale funcției în punctul . Găsiți derivate de ordinul doi.

Acesta este un exemplu de auto-rezolvare (răspunsuri la sfârșitul lecției). Dacă întâmpinați dificultăți în a diferenția rădăcinile, reveniți la lecție Cum să găsesc derivatul?În general, destul de curând veți învăța cum să găsiți derivate similare din mers.

Ne umplem mâna cu exemple mai complexe:

Exemplul 3

Verifică asta . Scrieți diferența totală de ordinul întâi.

Rezolvare: Găsim derivate parțiale de ordinul întâi:

Atenție la indice: lângă „x” nu este interzis să scrieți între paranteze că este o constantă. Acest marcaj poate fi foarte util pentru începători pentru a facilita navigarea prin soluție.

Comentarii suplimentare:

(1) Scoatem toate constantele din afara semnului derivatei. În acest caz, și , și, prin urmare, produsul lor este considerat un număr constant.

(2) Nu uitați cum să diferențiați corect rădăcinile.

(1) Luăm toate constantele din semnul derivatei, în acest caz constanta este .

(2) Sub prim, avem produsul a două funcții, prin urmare, trebuie să folosim regula de diferențiere a produsului .

(3) Nu uitați că este o funcție complexă (deși cea mai simplă dintre cele complexe). Folosim regula corespunzătoare: .

Acum găsim derivate mixte de ordinul doi:

Aceasta înseamnă că toate calculele sunt corecte.

Să scriem diferența totală. În contextul sarcinii luate în considerare, nu are sens să spunem care este diferența totală a unei funcții a două variabile. Este important ca această diferență să fie scrisă foarte des în probleme practice.

Diferenţial total de prim ordin funcțiile a două variabile are forma:

În acest caz:

Adică, în formulă trebuie doar să înlocuiți prostesc derivatele parțiale de ordinul întâi deja găsite. Pictograme diferențiale și în această situație și în situații similare, dacă este posibil, este mai bine să scrieți în numărătoare:

Și la cererea repetată a cititorilor, diferenţial complet de ordinul doi.

Arata cam asa:

Găsiți cu ATENȚIE derivatele „cu o singură literă” de ordinul 2:

și notează „monstrul”, „atașând” cu grijă pătratele, produsul și fără a uita să dublezi derivatul mixt:

Este în regulă dacă ceva părea dificil, poți oricând să revii la derivate mai târziu, după ce ai luat tehnica de diferențiere:

Exemplul 4

Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi ale unei funcții . Verifică asta . Scrieți diferența totală de ordinul întâi.

Luați în considerare o serie de exemple cu funcții complexe:

Exemplul 5

Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi ale funcției.

Decizie:

Exemplul 6

Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi ale unei funcții .
Notați diferența totală.

Acesta este un exemplu de auto-rezolvare (răspuns la sfârșitul lecției). Nu voi posta soluția completă pentru că este destul de simplă.

Destul de des, toate regulile de mai sus sunt aplicate în combinație.

Exemplul 7

Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi ale unei funcții .

(1) Folosim regula diferențierii sumei

(2) Primul termen în acest caz este considerat o constantă, deoarece în expresie nu există nimic care să depindă de „x” - doar „y”. Știi, este întotdeauna frumos când o fracție poate fi transformată în zero). Pentru al doilea termen, aplicăm regula de diferențiere a produsului. Apropo, în acest sens, nimic nu s-ar schimba dacă s-ar da în schimb o funcție – este important că aici produsul a două funcții, FIECARE din care depinde de "X", și, prin urmare, trebuie să utilizați regula de diferențiere a produsului. Pentru al treilea termen, aplicăm regula de diferențiere a unei funcții complexe.

(1) În primul termen, atât numărătorul, cât și numitorul conțin un „y”, prin urmare, trebuie să utilizați regula pentru diferențierea coeficientului: . Al doilea termen depinde DOAR de „x”, ceea ce înseamnă că este considerat o constantă și se transformă în zero. Pentru al treilea termen, folosim regula de diferențiere a unei funcții complexe.

Pentru acei cititori care au ajuns cu curaj aproape până la sfârșitul lecției, vă voi spune o veche anecdotă a lui Mehmatov pentru detenție:

Odată a apărut un derivat malefic în spațiul funcțiilor și cum a mers să diferențieze pe toată lumea. Toate funcțiile se împrăștie în toate direcțiile, nimeni nu vrea să se întoarcă! Și o singură funcție nu scapă nicăieri. Derivatul o abordează și întreabă:

— De ce nu fugi de mine?

- Ha. Dar nu-mi pasă, pentru că sunt „e la puterea lui x”, iar tu nu-mi poți face nimic!

La care derivatul malefic cu un zâmbet insidios îi răspunde:

- Aici greșești, te voi diferenția prin „y”, așa că fii zero pentru tine.

Cine a înțeles gluma, a stăpânit derivatele, cel puțin pentru „troika”).

Exemplul 8

Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi ale unei funcții .

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. O soluție completă și un model de proiect al problemei sunt la sfârșitul lecției.

Ei bine, asta e aproape tot. În cele din urmă, nu pot să nu le rog matematicienilor cu încă un exemplu. Nici măcar nu e vorba de amatori, fiecare are un alt nivel de pregătire matematică – sunt oameni (și nu atât de rari) cărora le place să concureze cu sarcini mai dificile. Deși, ultimul exemplu din această lecție nu este atât de complicat, ci greoi din punct de vedere al calculelor.

Principiul general al găsirii derivatelor parțiale de ordinul doi ale unei funcții a trei variabile este similar cu principiul găsirii derivatelor parțiale de ordinul doi ale unei funcții a două variabile.

Pentru a găsi derivatele parțiale de ordinul doi, trebuie mai întâi să găsiți derivatele parțiale de ordinul întâi sau, într-o altă notație:

Există nouă derivate parțiale de ordinul doi.

Primul grup este derivatele a doua în raport cu aceleași variabile:

Sau - a doua derivată în raport cu „x”;

Sau - a doua derivată în raport cu „y”;

Sau - a doua derivată în raport cu „z”.

Al doilea grup este amestecat derivate parțiale de ordinul 2, există șase dintre ele:

Sau - amestecat derivată „prin x y”;

Sau - amestecat derivată „prin y x”;

Sau - amestecat derivată „prin x z”;

Sau - amestecat derivat „po zet x”;

Sau - amestecat derivat „prin jocul z”;

Sau - amestecat derivat „po z y”.

Ca și în cazul unei funcții a două variabile, atunci când rezolvăm probleme, se poate concentra pe următoarele egalități ale derivatelor mixte de ordinul doi:

Notă: strict vorbind, acesta nu este întotdeauna cazul. Pentru egalitatea derivatelor mixte este necesar să se îndeplinească cerința continuității acestora.

Pentru orice eventualitate, câteva exemple despre cum să citiți cu voce tare această rușine:

- „două lovituri de două ori pe y”;

- „de two y po de zet square”;

- „două lovituri pe x pe z”;

- „de two y po de z po de y”.

Exemplul 10

Găsiți toate derivatele parțiale de ordinul întâi și al doilea pentru o funcție a trei variabile:

.

Decizie:În primul rând, găsim derivatele parțiale de ordinul întâi:

Luăm derivata găsită

și diferențiază-l prin „y”:

Luăm derivata găsită

și diferențiază-l prin "x":

Egalitatea se face. Bun.

Ne ocupăm de a doua pereche de derivate mixte.

Luăm derivata găsită

și diferențiază-l prin „z”:

Luăm derivata găsită

și diferențiază-l prin "x":

Egalitatea se face. Bun.

În mod similar, avem de-a face cu a treia pereche de derivate mixte:

Egalitatea se face. Bun.

După munca depusă, se garantează că, în primul rând, am găsit corect toate derivatele parțiale de ordinul 1 și, în al doilea rând, am găsit corect și derivatele parțiale mixte de ordinul 2.

Rămâne să găsiți încă trei derivate parțiale de ordinul doi, aici, pentru a evita erorile, ar trebui să vă concentrați cât mai mult posibil:

Gata. Din nou, sarcina nu este atât de dificilă, ci voluminoasă. Soluția poate fi scurtată și denumită egalități ale derivatelor parțiale mixte, dar în acest caz nu va exista nicio verificare. Așa că este mai bine să îți faci timp și să găsești toate derivate (în plus, acest lucru poate fi solicitat de profesor) sau, în cazuri extreme, verificați un proiect.

Exemplul 11

Găsiți toate derivatele parțiale de ordinul întâi și al doilea pentru o funcție a trei variabile

.

Acesta este un exemplu de do-it-yourself.

Solutii si raspunsuri:

Exemplul 2:Decizie:

Exemplul 4:Decizie: Să găsim derivate parțiale de ordinul întâi.

Compunem diferența totală de ordinul întâi:

Exemplul 6:Decizie: M(1, -1, 0):

Exemplul 7:Decizie: Să calculăm derivatele parțiale de ordinul întâi la punctM(1, 1, 1):

Exemplul 9:Decizie:

Exemplul 11:Decizie: Să găsim derivate parțiale de ordinul întâi:

Să găsim derivate parțiale de ordinul doi:

.

Integrale

8.1. Integrală nedefinită. Exemple de soluții detaliate

Să începem să studiem subiectul integrală nedefinită", și, de asemenea, analizează în detaliu exemple de soluții la cele mai simple (și nu chiar) integrale. Ca de obicei, ne vom limita la teoria minimă care se află în numeroase manuale, sarcina noastră este să învățăm cum să rezolvăm integralele.

Ce trebuie să știi pentru a stăpâni cu succes materialul? Pentru a face față calculului integral, trebuie să puteți găsi derivate, cel puțin la un nivel mediu. Nu va fi o experiență de prisos dacă aveți câteva zeci, sau mai bine, o sută de derivate găsite independent în spate. Cel puțin, nu ar trebui să fii confuz de sarcina de a diferenția cele mai simple și mai comune funcții.

S-ar părea, unde sunt deloc derivatele, dacă vorbim de integrale în articol?! Și iată chestia. Cert este că găsirea derivatelor și găsirea integralelor nedefinite (diferențiere și integrare) sunt două acțiuni reciproc inverse, cum ar fi adunarea / scăderea sau înmulțirea / împărțirea. Astfel, fără o îndemânare și un fel de experiență în găsirea de derivate, din păcate, nu se poate avansa mai departe.

În acest sens, vom avea nevoie de următoarele materiale metodologice: Tabel de derivateși Tabelul integralelor.

Care este dificultatea studierii integralelor nedefinite? Dacă în derivate există strict 5 reguli de diferențiere, un tabel de derivate și un algoritm de acțiuni destul de clar, atunci în integrale totul este diferit. Există zeci de metode și tehnici de integrare. Și, dacă metoda de integrare a fost inițial aleasă incorect (adică nu știi cum să o rezolvi), atunci integrala poate fi literalmente „înțepată” pentru literalmente zile, ca un adevărat rebus, încercând să observi diverse trucuri și trucuri . Unora chiar le place.

Apropo, am auzit destul de des de la studenți (nu de științe umaniste) o opinie de genul: „Nu am avut niciodată interes să rezolv limita sau derivata, dar integralele sunt o chestiune complet diferită, este incitant, există întotdeauna dorința de a „crack”. „o integrală complexă”. Stop. Destul de umor negru, să trecem la aceste integrale foarte nedefinite.

Deoarece există multe moduri de a rezolva, atunci de unde începe un ceainic să studieze integralele nedefinite? În calculul integral, în opinia noastră, există trei piloni sau un fel de „axă” în jurul cărora se învârte totul. În primul rând, ar trebui să înțelegeți bine cele mai simple integrale (acest articol).

Apoi, trebuie să elaborați lecția în detaliu. ACEASTA ESTE CEA MAI IMPORTANTĂ RECEPȚIE! Poate chiar și cel mai important articol dintre toate articolele dedicate integralelor. Și în al treilea rând, asigurați-vă că citiți integrare pe părți, deoarece integrează o clasă largă de funcții. Dacă stăpânești cel puțin aceste trei lecții, atunci există deja „nu două”. Poți fi iertat că nu știi integrale ale funcțiilor trigonometrice, integrale ale fracțiilor, integrale ale funcţiilor raţionale fracţionale, integrale ale funcțiilor iraționale (rădăcini), dar dacă „intri într-o băltoacă” pe metoda înlocuirii sau pe metoda integrării prin piese, atunci va fi foarte, foarte rău.

Deci, să începem simplu. Să ne uităm la tabelul integralelor. Ca și în derivate, observăm mai multe reguli de integrare și un tabel de integrale ale unor funcții elementare. Orice integrală tabelară (și într-adevăr orice integrală nedefinită) are forma:

Să trecem direct la notație și termeni:

- pictograma integrală.

- funcția integrand (scrisă cu litera „s”).

– pictogramă diferenţial. Ce este, vom lua în considerare foarte curând. Principalul lucru este că atunci când scrieți integrala și în timpul soluției, este important să nu pierdeți această pictogramă. Va fi un defect vizibil.

este integrantul sau „umplutura” integralei.

– antiderivat funcţie.

– . Nu este nevoie să fii foarte încărcat cu termeni, cel mai important lucru aici este că în orice integrală nedefinită, la răspuns se adaugă o constantă.

A rezolva o integrală nedefinită înseamnă a găsiset de funcții antiderivate din integrantul dat

Să ne uităm din nou la intrare:

Să ne uităm la tabelul integralelor.

Ce se întâmplă? Părțile noastre din stânga se întorc la alte functii: .

Să simplificăm definiția noastră:

Rezolvați integrala nedefinită - înseamnă să-l transformi într-o funcție nedefinită (până la o constantă). , folosind unele reguli, tehnici și un tabel.

Luați, de exemplu, integrala tabelului . Ce s-a întâmplat? Înregistrarea simbolică s-a transformat într-un set de funcții antiderivate.

Ca și în cazul derivatelor, pentru a învăța cum să găsești integrale, nu este necesar să fii conștient de ce este o integrală sau o funcție antiderivată din punct de vedere teoretic. Este suficient doar să efectuați transformări după niște reguli formale. Deci, în caz că nu este deloc necesar să înţelegem de ce integrala se transformă în exact. Puteți lua aceasta și alte formule de la sine înțeles. Toată lumea folosește electricitate, dar puțini oameni se gândesc la modul în care electronii circulă de-a lungul firelor.

Deoarece diferențierea și integrarea sunt operații opuse, atunci pentru orice antiderivată care este găsită corect, următorul lucru este adevărat:

Cu alte cuvinte, dacă răspunsul corect este diferențiat, atunci trebuie obținut integrandul original.

Să revenim la aceeași integrală de tabel .

Să verificăm validitatea acestei formule. Luăm derivata părții drepte:

este integrantul original.

Apropo, a devenit mai clar de ce o constantă este întotdeauna atribuită unei funcții. La diferențiere, o constantă se transformă întotdeauna în zero.

Rezolvați integrala nedefinităînseamnă a găsi o multime de toate antiderivate și nu o singură funcție. În exemplul tabelar considerat, , , , etc. - toate aceste funcții sunt soluția integralei . Există infinit de soluții, așa că scriu pe scurt:

Astfel, orice integrală nedefinită este destul de ușor de verificat. Aceasta este o compensație pentru un număr mare de integrale de diferite tipuri.

Să trecem la exemple concrete. Să începem, ca și în studiul derivatei, cu două reguli de integrare:

- constant C poate (și ar trebui) să fie scos din semnul integral.

– integrala sumei (diferența) a două funcții este egală cu suma (diferența) a două integrale. Această regulă este valabilă pentru orice număr de termeni.

După cum puteți vedea, regulile sunt practic aceleași ca pentru instrumentele derivate. Uneori sunt chemați proprietăți de liniaritate integrală.

Exemplul 1

Aflați integrala nedefinită.

Efectuați o verificare.

Decizie: Este mai convenabil să-l convertiți ca.

(1) Aplicarea regulii . Nu uitați să notați pictograma diferențial dx sub fiecare integrală. De ce sub fiecare? dxeste un multiplicator complet. Dacă pictezi în detaliu, atunci primul pas ar trebui să fie scris după cum urmează:

.

(2) Potrivit regulii scoatem toate constantele din semnele integralelor. Rețineți că în ultimul termen tg 5 este o constantă, o scoatem și noi.

În plus, la acest pas pregătim rădăcinile și gradele pentru integrare. La fel ca și în diferențiere, rădăcinile trebuie reprezentate în formă . Rădăcinile și gradele care sunt situate în numitor - se deplasează în sus.

Notă: spre deosebire de derivate, rădăcinile din integrale nu trebuie întotdeauna reduse la forma , și mutați gradele în sus.

De exemplu, - aceasta este o integrală tabelară gata făcută, care a fost deja calculată înaintea dvs. și tot felul de trucuri chinezești precum complet inutil. În mod similar: - aceasta este și o integrală tabelară, nu are rost să reprezinte o fracție în formă . Studiați cu atenție masa!

(3) Toate integralele sunt tabulare. Efectuăm transformarea folosind tabelul, folosind formulele: , și

pentru o funcție de putere - .

Trebuie remarcat faptul că integrala tabelului este un caz special al formulei pentru o funcție de putere: .

Constant C doar adăugați-l o dată la sfârșitul expresiei

(mai degrabă decât să le pună după fiecare integrală).

(4) Rezultatul obținut îl scriem într-o formă mai compactă, când toate gradele formei

din nou reprezentate ca rădăcini, iar puterile cu un exponent negativ sunt resetate la numitor.

Examinare. Pentru a efectua verificarea, trebuie să diferențiați răspunsul primit:

Iniţială integrand, adică integrala a fost găsită corect. Din ce au dansat, s-au întors. E bine când povestea cu integrala se termină chiar așa.

Din când în când, există o abordare ușor diferită pentru verificarea integralei nedefinite, atunci când nu este derivată, dar diferența este luată din răspuns:

.

Ca rezultat, obținem nu un integrand, ci un integrand.

Nu vă fie teamă de conceptul de diferenţial.

Diferenţialul este derivata înmulţită cu dx.

Cu toate acestea, nu subtilitățile teoretice sunt importante pentru noi, ci ce să facem în continuare cu această diferență. Diferența se dezvăluie astfel: pictograma d eliminați, puneți o lovitură în dreapta deasupra parantezei, atribuiți un multiplicator la sfârșitul expresiei dx :

Inițiala primită integrand, adică integrala se găsește corect.

După cum puteți vedea, diferența se reduce la găsirea derivatei. Îmi place a doua modalitate de a verifica mai puțin, deoarece trebuie să trag în plus paranteze mari și să trag pictograma diferențial dx până la sfârșitul testului. Deși este mai corect, sau „mai solid”, sau așa ceva.

De fapt, a fost posibil să păstrăm tăcerea despre a doua metodă de verificare. Ideea nu este în metodă, ci în faptul că am învățat să deschidem diferența. Din nou.

Diferența este prezentată după cum urmează:

1) pictograma d elimina;

2) puneți o lovitură în dreapta deasupra parantezei (denumirea derivatului);

3) la sfârșitul expresiei atribuim un factor dx .

De exemplu:

Tine minte asta. Vom avea nevoie de tehnica luată în considerare foarte curând.

Exemplul 2

.

Când găsim o integrală nedefinită, încercăm ÎNTOTDEAUNA să verificămÎn plus, există o mare oportunitate pentru asta. Nu toate tipurile de probleme din matematica superioară sunt un dar din acest punct de vedere. Nu contează că verificarea nu este adesea necesară în sarcinile de control, nimeni și nimic nu împiedică să fie efectuată pe un proiect. O excepție poate fi făcută numai atunci când nu este suficient timp (de exemplu, la test, examen). Personal, verific integral integrale și consider că lipsa verificării este un hack și o sarcină prost finalizată.

Exemplul 3

Aflați integrala nedefinită:

. Efectuați o verificare.

Rezolvare: Analizând integrala, vedem că sub integrală avem produsul a două funcții, și chiar exponențiarea întregii expresii. Din păcate, în domeniul luptei integrale Nu bun si confortabil formule de integrare a produsului și a coeficientului la fel de: sau .

Prin urmare, atunci când este dat un produs sau un coeficient, este întotdeauna logic să vedem dacă este posibil să transformăm integrandul într-o sumă? Exemplul luat în considerare este cazul când este posibil.

În primul rând, dăm soluția completă, comentariile vor fi mai jos.

(1) Folosim vechea formulă bună pentru pătratul sumei pentru orice numere reale, scăpând de gradul de deasupra parantezei comune. în afara parantezelor şi aplicând formula de înmulţire prescurtată în sens invers: .

Exemplul 4

Aflați integrala nedefinită

Efectuați o verificare.

Acesta este un exemplu de auto-rezolvare. Răspundeți și rezolvați complet la sfârșitul lecției.

Exemplul 5

Aflați integrala nedefinită

. Efectuați o verificare.

În acest exemplu, integrandul este o fracție. Când vedem o fracție în integrand, primul gând ar trebui să fie întrebarea: „Este posibil să scăpăm cumva de această fracție sau măcar să o simplificăm?”.

Observăm că numitorul conține o rădăcină singură a lui „x”. Unul din domeniu nu este un războinic, ceea ce înseamnă că puteți împărți numărătorul în numitor termen cu termen:

Nu comentăm acțiunile cu puteri fracționale, deoarece acestea au fost discutate în mod repetat în articole despre derivata unei funcții.

Dacă încă ești confuz de un astfel de exemplu ca

și nimeni nu primește răspunsul corect,

De asemenea, rețineți că soluția omite un pas, și anume aplicarea regulilor , . De obicei, cu o anumită experiență în rezolvarea integralelor, aceste reguli sunt considerate un fapt evident și nu sunt descrise în detaliu.

Exemplul 6

Aflați integrala nedefinită. Efectuați o verificare.

Acesta este un exemplu de auto-rezolvare. Răspundeți și rezolvați complet la sfârșitul lecției.

În cazul general, cu fracții în integrale, totul nu este atât de simplu, material suplimentar despre integrarea fracțiilor de unele tipuri poate fi găsit în articol: Integrarea unor fracții. Dar, înainte de a trece la articolul de mai sus, trebuie să citiți lecția: Metoda înlocuirii în integrală nedefinită. Faptul este că însumarea unei funcții sub o metodă de modificare diferenţială sau variabilă este punct-cheieîn studiul temei, deoarece apare nu numai „în sarcini pure pentru metoda înlocuirii”, ci și în multe alte varietăți de integrale.

Solutii si raspunsuri:

Exemplul 2: Soluție:

Exemplul 4: Soluție:

În acest exemplu, am folosit formula de înmulțire redusă

Exemplul 6: Soluție:

Metoda de schimbare a unei variabile într-o integrală nedefinită. Exemple de soluții

În această lecție, ne vom familiariza cu unul dintre cele mai importante și mai comune trucuri care este utilizat în cursul rezolvării integralelor nedefinite - metoda schimbării variabilei. Pentru stăpânirea cu succes a materialului, sunt necesare cunoștințe inițiale și abilități de integrare. Dacă există senzația unui ceainic plin gol în calcul integral, atunci ar trebui să vă familiarizați mai întâi cu materialul Integrală nedefinită. Exemple de soluții, unde se explică într-o formă accesibilă ce este o integrală și sunt analizate în detaliu exemple de bază pentru începători.

Din punct de vedere tehnic, metoda de schimbare a unei variabile într-o integrală nedefinită este implementată în două moduri:

– Aducerea funcţiei sub semnul diferenţialului.

– Modificarea efectivă a variabilei.

De fapt, sunt același lucru, dar designul soluției arată diferit. Să începem cu un caz mai simplu.