Sursa misiunii: Sarcina 10_20. USE 2018 Studii sociale. Decizie

Sarcina 20. Citiți textul de mai jos, în care lipsesc un număr de cuvinte (expresii). Alegeți din lista propusă de cuvinte (expresii) pe care doriți să le introduceți în locul golurilor.

„Calitatea vieții depinde de mulți factori, de la locul în care locuiește o persoană la situația generală socio-economică și (A), precum și de starea afacerilor politice din țară. Calitatea vieții într-o măsură sau alta poate fi influențată de situația demografică, de condițiile de viață și de muncă, de volumul și calitatea _____ (B), etc. În funcție de gradul de satisfacere a nevoilor din economie, se obișnuiește ca distinge diferite niveluri de viață ale populației: (B) asigurarea dezvoltării globale a unei persoane; un nivel normal de _____ (G) conform standardelor bazate științific, oferind unei persoane refacerea forței sale fizice și intelectuale; sărăcie - consumul de bunuri la nivelul menținerii capacității de muncă ca limită inferioară de reproducere _____ (D); sărăcia este consumul unui ansamblu de bunuri și servicii care este minim acceptabil după criterii biologice, care nu permit decât menținerea viabilității umane.

Populația, adaptându-se la condițiile pieței, folosește diverse surse suplimentare de venit, inclusiv venituri din parcele subsidiare personale, profit din _____ (E)”.

Cuvintele (expresiile) din listă sunt date la caz nominativ. Fiecare cuvânt (expresie) poate fi folosit o singură dată.

Alegeți secvențial un cuvânt (expresie) după altul, completând mental fiecare gol. Vă rugăm să rețineți că există mai multe cuvinte (expresii) în listă decât aveți nevoie pentru a completa golurile.

Lista termenilor:

1) capital

2) ecologic

3) consumul raţional

4) bunuri de consum

5) mijloace de producţie

7) forta de munca

8) activitate antreprenorială

9) mobilitate socială

Decizie.

Să inserăm termenii în text.

„Calitatea vieții depinde de mulți factori, de la locul în care locuiește o persoană la situația generală socio-economică și de mediu (2) (A), precum și starea afacerilor politice din țară. Calitatea vieții poate fi afectată într-o oarecare măsură de situația demografică, condițiile de viață și de muncă, volumul și calitatea bunurilor de consum (4) (B), etc. În funcție de gradul de satisfacere a nevoilor din economie, este obișnuit să se distingă diferite niveluri de viață ale populației: prosperitate - utilizarea beneficiilor (6) (B) care asigură dezvoltarea cuprinzătoare a unei persoane; nivel normal de consum rațional (3) (D) conform standardelor bazate științific, oferind unei persoane refacerea forței sale fizice și intelectuale; sărăcie - consumul de bunuri la nivelul menținerii capacității de muncă ca limită inferioară a reproducerii forței de muncă (7) (E); sărăcia este consumul unui ansamblu de bunuri și servicii care este minim acceptabil după criterii biologice, care nu permit decât menținerea viabilității umane.

Fie R o relație binară pe o mulțime X. Relația R se numește reflectorizant , dacă (x, x) О R pentru toate x О X; simetric – dacă (x, y) О R implică (y, x) О R; numărul tranzitiv 23 corespunde variantei 24 dacă (x, y) Î R și (y, z) Î R implică (x, z) Î R.

Exemplul 1

Vom spune că x - X are în comun cu elementul y н X dacă mulţimea
x З y nu este gol. Relația de a avea în comun va fi reflexivă și simetrică, dar nu tranzitivă.

Relația de echivalență pe X se numește relație reflexivă, tranzitivă și simetrică. Este ușor de observat că R Н X ´ X va fi o relație de echivalență dacă și numai dacă includerile au loc:

Id X Í R (reflexivitate),

R -1 Í R (simetrie),

R ° R Í R (tranzitivitate).

De fapt, aceste trei condiții sunt echivalente cu următoarele:

Id X Í R, R -1 = R, R ° R = R.

despicare mulțimea X este o mulțime A de submulțimi disjunse în perechi a н X astfel încât UA = X. Cu fiecare partiție a lui A, putem asocia o relație de echivalență ~ pe X stabilind x ~ y dacă x și y sunt elemente ale unor a н A. .

Fiecărei relaţii de echivalenţă ~ pe X îi corespunde o partiţie A, ale cărei elemente sunt submulţimi, fiecare fiind formată din cele din relaţia ~. Aceste subseturi sunt numite clase de echivalenţă . Această partiție A se numește mulțime de factori a mulțimii X față de ~ și se notează: X/~.

Să definim relația ~ pe mulțimea w de numere naturale stabilind x ~ y dacă resturile după împărțirea x și y la 3 sunt egale. Atunci w/~ constă din trei clase de echivalență corespunzătoare resturilor 0, 1 și 2.

Relația de comandă

O relație binară R pe o mulțime X se numește antisimetric , dacă din x R y și y R x rezultă: x = y. O relație binară R pe o mulțime X se numește relație de ordine , dacă este reflexiv, antisimetric și tranzitiv. Este ușor de observat că acest lucru este echivalent cu următoarele condiții:

1) Id X Í R (reflexivitate),

2) R Ç R -1 (antisimetrie),

3) R ° R Í R (tranzitivitate).

Se numește o pereche ordonată (X, R) formată dintr-o mulțime X și o relație de ordine R pe X set parțial comandat .

Exemplul 1

Fie X = (0, 1, 2, 3), R = ((0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 1), (1, 2) ), (1, 3), (2, 2), (3, 3)).

Deoarece R satisface condițiile 1–3, atunci (X, R) este o mulțime parțial ordonată. Pentru elementele x = 2, y = 3, nici x R y nici y R x nu sunt adevărate. Astfel de elemente sunt numite incomparabil . De obicei, relația de ordine este notată cu £. În exemplul de mai sus, 0 £ 1 și 2 £ 2, dar nu este adevărat că 2 £ 3.

Exemplul 2

Lasa< – бинарное отношение строгого неравенства на множестве w натуральных чисел, рассмотренное в разд. 1.2. Тогда объединение отношений = и < является отношением порядка £ на w и превращает w в частично упорядоченное множество.

Elementele x, y О X ale unei mulțimi parțial ordonate (X, £) sunt numite comparabil , dacă x £ y sau y £ x.

Se numește mulțimea parțial ordonată (X, £). ordonat liniar sau lanţ dacă oricare două dintre elementele sale sunt comparabile. Mulțimea din Exemplul 2 va fi ordonată liniar, dar mulțimea din Exemplul 1 nu.

Se numește o submulțime A Í X dintr-o mulțime parțial ordonată (X, £). mărginit de sus , dacă există un element x н X astfel încât un £ x pentru tot un н A. Un element x н X se numește cel mai mare în X dacă y £ x pentru tot y О X. Un element x О X se numeşte maxim dacă nu există elemente y О X diferite de x pentru care x £ y. În exemplul 1, elementele 2 și 3 vor fi maxime, dar nu cele mai mari. The constrângere de jos submulțimi, elemente minime și minime. În exemplul 1, elementul 0 ar fi atât cel mai mic, cât și cel mai mic. În exemplul 2, 0 are și aceste proprietăți, dar (w, t) nu are nici cel mai mare, nici elementul maxim.

Fie (X, £) o mulțime parțial ordonată, A Í X o submulțime. O relație pe A formată din perechi (a, b) de elemente a, b Î A, pentru care a £ b, va fi o relație de ordine pe A. Această relație se notează cu același simbol: £. Astfel, (A, £) este o mulțime parțial ordonată. Dacă este ordonată liniar, atunci spunem că A este lanţ în (X, £).

Principiul maxim

Unele afirmații matematice nu pot fi dovedite fără axioma alegerii. Se spune că aceste afirmații sunt depinde de axioma de alegere sau valabil în teoria ZFC , în practică, în loc de axioma de alegere, se folosește de obicei pentru demonstrație fie axioma lui Zermelo, fie lema Kuratovsky-Zorn, fie orice altă afirmație echivalentă cu axioma alegerii.

Lema lui Kuratowski-Zorn. Dacă fiecare lanț dintr-un set parțial ordonat(X, £) mărginit de sus, atunci X există cel puțin un element maxim.

Această lemă este echivalentă cu axioma alegerii și, prin urmare, poate fi luată ca axiomă.

Teorema.Pentru orice set parțial comandat(X, £) există o relaţie care conţine relaţia£ și transformând X într-o mulțime ordonată liniar.

Dovada. Mulțimea tuturor relațiilor de ordine care conțin relația £ este ordonată după relația de includere U. Deoarece unirea unui lanț de relații de ordine este o relație de ordine, atunci după lema Kuratowski-Zorn există o relație maximă R astfel încât x £ y implică x R y. Să demonstrăm că R este o relație care ordonează liniar pe X. Să presupunem contrariul: să existe a, b н X astfel încât nici (a, b) nici (b, a) să nu aparțină lui R. Să considerăm relația:

R¢ = R È ((x, y): x Ra și b R y).

Se obține prin adăugarea perechii (a, b) la R și a perechilor (x, y), care trebuie adăugate la R¢ din condiția ca R¢ să fie o relație de ordine. Este ușor de observat că R¢ este reflexiv, antisimetric și tranzitiv. Se obține R Ì R¢, care contrazice maximalitatea lui R, prin urmare, R este relația de ordin liniar dorită.

O mulțime X ordonată liniar este numită bine ordonată dacă oricare dintre submulțimile sale nevide A − X conține cel mai mic element a − A. Lema Kuratowski-Zorn și axioma alegerii sunt, de asemenea, echivalente cu următoarea afirmație:

Axioma lui Zermelo. Pentru fiecare mulțime există o relație de ordine care o transformă într-o mulțime bine ordonată.

De exemplu, mulțimea w de numere naturale este bine ordonată. Principiul inductanței este rezumat după cum urmează:

Inductie transfinita. În cazul în care un(X, £) este o mulțime bine ordonată și F(x) este o proprietate a elementelor sale, adevărat pentru cel mai mic element x 0 н X și astfel încât din adevărul lui F(y) pentru tot y < z следует истинность F(z), то F(x) adevărat pentru toată lumea x О X .

Aici y< z означает, что у £ z, но y ¹ z. Действительно, в противном случае среди x Î X, не обладающих свойством F(x), можно выбрать наименьший элемент x 1 , и выполнение F(y) для всех y < x 1 приводит к выполнению F(x 1), противоречащему предположению.

Conceptul de putere

Fie f: X à Y și g: Y à Z mapări setate. Deoarece f și g sunt relații, compoziția lor este definită g ° f(x) = g(f(x)). Dacă h: Z à T este o mapare setată, atunci h ° (g ° f) = (h ° g) ° f. Relațiile Id X și Id Y sunt funcții, deci se definesc compozițiile Id Y ° f = f ° Id x = f. Pentru X = Y, definim f 2 = f ° f, f 3 = f 2 ° f, ..., f n+1 = f n ° f.

Se numește maparea f: X àY injecţie , dacă f(x 1) ¹ f(x 2) este adevărată pentru orice elemente x 1 ¹ x 2 ale mulțimii X. Maparea f este numită surjecție , dacă pentru fiecare y нY există x н X astfel încât f(x) = y. Dacă f este atât o suprajecție cât și o injecție, atunci f se numește bijectie . Este ușor de observat că f este o bijecție dacă și numai dacă relația inversă f -1 н Y ´ X este o funcție.

Vom spune că egalitatea |X| = |Y| dacă există o bijecție între X și Y. Puneți |X| £ |Y| dacă există o injecție f: X à Y.

Teorema Cantor-Schroeder-Bernstein. În cazul în care un|X| £ |Y| și|Y| £ |X| , apoi|X| = |Y|.

Dovada. Prin presupunere, există injecții f: X à Y și g: Y à X. Fie A = g¢¢Y = Img imaginea lui Y în raport cu g. Apoi

(X \ A) Ç (gf)¢¢(X \ A) = Æ,

(gf)¢¢(X \ A) Ç (gf) 2 ¢¢(X \ A) = Æ, …,

(gf) n ¢¢(X \ A) Ç (gf) n+1 ¢¢(X \ A) = Æ, …

Considerăm o mapare j: X à A definită ca j(x) = gf(x) cu

x н (X \ A) È (gf)¢¢(X \ A) È (gf) 2 ¢¢(X \ A) È …, iar j(x) = x altfel. Este ușor de observat că j este o bijecție. Bijecția dorită între X și Y va fi egală cu g -1 ° j.

Antinomia lui Cantor

Să setăm |X|< |Y|, если |X| £ |Y| и не существует биекции между X и Y.

teorema lui Cantor. Pentru orice set X, |X|< |P(X)|, где P(X) – множество всех подмножеств множества X.

Pot fi demonstrate următoarele teoreme.

Teorema 1.4. O functie f are o functie inversa f -1 daca si numai daca f este bijectiva.

Teorema 1.5. Compoziția funcțiilor bijective este o funcție bijectivă.

Orez. 1.12 arată relații diferite, toate, cu excepția primei, sunt funcții.

atitudine, dar

injectie, dar

surjecție, dar

nu o funcție

nu o surjecție

nu o injecție

Fie f : A→ B o funcție, iar mulțimile A și B să fie mulțimi finite, fie A = n , B = m . Principiul lui Dirichlet afirmă că dacă n > m, atunci cel puțin o valoare a lui f apare de mai multe ori. Cu alte cuvinte, există o pereche de elemente a i ≠ a j , a i , a j A pentru care f(a i )= f(a j ).

Principiul Dirichlet este ușor de demonstrat, așa că îl lăsăm cititorului ca un exercițiu banal. Luați în considerare un exemplu. Să fie mai mult de 12 elevi în grup. Atunci este evident că cel puțin doi dintre ei au o zi de naștere în aceeași lună.

§ 7. Relaţia de echivalenţă. Setul de factori

O relație binară R pe o mulțime A se numește relație de echivalență dacă R este reflexiv, simetric și tranzitiv.

Relația de egalitate pe mulțimea numerelor are proprietățile indicate, deci este o relație de echivalență.

Relația de similitudine a triunghiului este, evident, o relație de echivalență.

Relația de inegalitate nestrictă (≤ ) pe mulțimea numerelor reale nu va fi o relație de echivalență, deoarece nu este simetrică: din 3 ≤ 5 nu rezultă că 5 ≤ 3.

O clasă de echivalență (coset) generată de un element a pentru o relație de echivalență dată R este submulțimea acelor x A care sunt în relație R cu a. Clasa de echivalență specificată este notată cu [a] R, prin urmare, avem:

[a] R = (x A: a, x R).

Luați în considerare un exemplu. Pe multimea triunghiurilor se introduce o relatie de asemanare. Este clar că toate triunghiurile echilaterale se încadrează într-un singur grup, deoarece fiecare dintre ele este similar, de exemplu, cu un triunghi, toate laturile cărora au lungimea unitară.

Teorema 1.6. Fie R o relație de echivalență pe o mulțime A și [a] R o serie, i.e. [a] R = (x A: a, x R), atunci:

1) pentru orice a A : [a] R ≠ , în special, a [a] R ;

2) diferite clase nu se intersectează;

3) unirea tuturor claselor coincide cu întreaga mulțime A;

4) mulțimea de diferite clase formează o partiție a mulțimii A.

Dovada. 1) Datorită reflexivității lui R, obținem că pentru orice a, a A, avem a, a R , deci a [ a] R și [ a] R ≠ ;

2) să presupunem că [a] R ∩ [b] R ≠ , i.e. există un element c din A și c [a] R ∩ [b] R . Apoi din (cRa)&(cRb), datorită simetriei lui R, obținem (aR c)&(cRb), iar din tranzitivitatea lui R avem aRb.

Pentru orice х [а] R avem: (хRa)&(аRb) , atunci datorită tranzitivității lui R obținem хRb, i.e. x[b]R, deci [a]R[b]R. În mod similar, pentru orice y, y [b] R , avem: (уRb)&(aRb) , iar datorită simetriei lui R obținem că (уRb)&(bR а), apoi, datorită tranzitivității lui R , obținem acel уR а , adică y[a]r și

deci [b] R [a] R . Din [a] R [b] R și [b] R [a] R obținem [a] R = [b] R, adică dacă clasele se intersectează, atunci ele coincid;

3) pentru orice a, a A, după cum s-a dovedit, avem un [a] R , atunci este evident că unirea tuturor claselor coincide cu mulțimea A.

Aserțiunea 4) din teorema 1.6 rezultă din 1)–3). Teorema a fost demonstrată. Putem demonstra următoarea teoremă.

Teorema 1.7. Diferite relații de echivalență pe o mulțime A generează diferite partiții ale lui A.

Teorema 1.8. Fiecare partiție a mulțimii A generează o relație de echivalență pe mulțimea A, iar diferite partiții generează relații de echivalență diferite.

Dovada. Să fie dată o partiție В= (B i ) a mulțimii A. Să definim relația R : a,b R dacă și numai dacă există un B i astfel încât a și b să aparțină ambii acestui B i . Este evident că relația introdusă este reflexivă, simetrică și tranzitivă; prin urmare, R este o relație de echivalență. Se poate demonstra că dacă partițiile sunt diferite, atunci relațiile de echivalență generate de acestea sunt și ele diferite.

Mulțimea tuturor claselor unei mulțimi A în raport cu o relație de echivalență dată R este numită mulțime de coeficient și se notează cu A/R . Elementele setului de factori sunt seturi. Clasa de clase [a] ​​R , după cum știți, constă din elementele A care sunt în relație între ele R .

Luați în considerare un exemplu de relație de echivalență pe mulțimea numerelor întregi Z = (…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …).

Două numere întregi a și b se numesc comparabile (congruente) modulo m dacă m este un divizor al numărului a-b, adică dacă avem:

a=b+km , k=…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ….

În acest caz, scrieți a≡ b(mod m) .

Teorema 1.9. Pentru orice numere a , b , c și m>0 avem:

1) a ≡ a(mod m) ;

2) dacă a ≡ b(mod m), atunci b ≡ a(mod m);

3) dacă a ≡ b(mod m) și b ≡ c(mod m), atunci a ≡ c(mod m).

Dovada. Afirmațiile 1) și 2) sunt evidente. Să demonstrăm 3). Fie a=b+k 1 m , b=c+k 2 m , apoi a=c+(k 1 +k 2 )m , i.e. a ≡ c(mod m) . Teorema a fost demonstrată.

Astfel, relația de comparabilitate modulo m este o relație de echivalență și împarte mulțimea de numere întregi în clase de numere care nu se suprapun.

Să construim o spirală care se desfășoară la infinit, care în fig. 1.13 este reprezentat cu o linie continuă și o spirală care se răsucește la infinit, reprezentată cu o linie întreruptă. Fie dat un întreg nenegativ m. Amplasăm toate numerele întregi (elementele din mulțimea Z) în punctele de intersecție ale acestor spirale cu m raze, așa cum se arată în Fig. 1.13.

Pentru relația de comparabilitate modulo m (în special, pentru m = 8) clasa de echivalență este numerele aflate pe rază. Evident, fiecare număr se încadrează într-o singură clasă. Se poate obține că pentru m= 8 avem:

[ 0] ={…, -8, 0, 8, 16, …};
[ 1] ={…, -7, 1, 9, 17, …};
[ 2] ={…, -6, 2, 10, 18, …};
[ 7] ={…, -9, -1, 7, 15, …}.

Factorul set al unei mulțimi Z în raport cu comparația modulo m este notat cu Z/m sau cu Z m . Pentru cazul în cauză, m =8

obținem că Z/8 = Z8 = ( , , , …, ) .

Teorema 1.10. Pentru orice numere întregi a, b, a * , b * , k și m :

1) dacă a ≡ b(mod m), atunci ka ≡ kb(mod m);

2) dacă a ≡ b(mod m) și a* ≡ b* (mod m), atunci:

a) a + a * ≡ b + b * (mod m); b) aa * ≡ bb* (mod m).

Prezentăm dovada pentru cazul 2b). Fie a ≡ b(mod m) și a * ≡ b * (mod m) , apoi a=b+sm și a * =b * +tm pentru unele numere întregi s și t . Înmulțirea,

obţinem: aa* =bb* + btm+ b* sm+ stm2 =bb* +(bt+ b* s+ stm)m. Prin urmare,

aa* ≡ bb* (mod m).

Astfel, comparațiile modulo pot fi adăugate și multiplicate termen cu termen, i.e. funcționează exact în același mod ca și în cazul egalităților. De exemplu,

Fie R o relație binară pe o mulțime X. Relația R se numește reflectorizant , dacă (x, x) О R pentru toate x О X; simetric – dacă (x, y) О R implică (y, x) О R; numărul tranzitiv 23 corespunde variantei 24 dacă (x, y) Î R și (y, z) Î R implică (x, z) Î R.

Exemplul 1

Vom spune că x - X are în comun cu elementul y н X dacă mulţimea
x З y nu este gol. Relația de a avea în comun va fi reflexivă și simetrică, dar nu tranzitivă.

Relația de echivalență pe X se numește relație reflexivă, tranzitivă și simetrică. Este ușor de observat că R Н X ´ X va fi o relație de echivalență dacă și numai dacă includerile au loc:

Id X Í R (reflexivitate),

R -1 Í R (simetrie),

R ° R Í R (tranzitivitate).

De fapt, aceste trei condiții sunt echivalente cu următoarele:

Id X Í R, R -1 = R, R ° R = R.

despicare mulțimea X este o mulțime A de submulțimi disjunse în perechi a н X astfel încât UA = X. Cu fiecare partiție a lui A, putem asocia o relație de echivalență ~ pe X stabilind x ~ y dacă x și y sunt elemente ale unor a н A. .

Fiecărei relaţii de echivalenţă ~ pe X îi corespunde o partiţie A, ale cărei elemente sunt submulţimi, fiecare fiind formată din cele din relaţia ~. Aceste subseturi sunt numite clase de echivalenţă . Această partiție A se numește mulțime de factori a mulțimii X față de ~ și se notează: X/~.

Să definim relația ~ pe mulțimea w de numere naturale stabilind x ~ y dacă resturile după împărțirea x și y la 3 sunt egale. Atunci w/~ constă din trei clase de echivalență corespunzătoare resturilor 0, 1 și 2.

Relația de comandă

O relație binară R pe o mulțime X se numește antisimetric , dacă din x R y și y R x rezultă: x = y. O relație binară R pe o mulțime X se numește relație de ordine , dacă este reflexiv, antisimetric și tranzitiv. Este ușor de observat că acest lucru este echivalent cu următoarele condiții:

1) Id X Í R (reflexivitate),

2) R Ç R -1 (antisimetrie),

3) R ° R Í R (tranzitivitate).

Se numește o pereche ordonată (X, R) formată dintr-o mulțime X și o relație de ordine R pe X set parțial comandat .

Exemplul 1

Fie X = (0, 1, 2, 3), R = ((0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 1), (1, 2) ), (1, 3), (2, 2), (3, 3)).

Deoarece R satisface condițiile 1–3, atunci (X, R) este o mulțime parțial ordonată. Pentru elementele x = 2, y = 3, nici x R y nici y R x nu sunt adevărate. Astfel de elemente sunt numite incomparabil . De obicei, relația de ordine este notată cu £. În exemplul de mai sus, 0 £ 1 și 2 £ 2, dar nu este adevărat că 2 £ 3.

Exemplul 2

Lasa< – бинарное отношение строгого неравенства на множестве w натуральных чисел, рассмотренное в разд. 1.2. Тогда объединение отношений = и < является отношением порядка £ на w и превращает w в частично упорядоченное множество.

Elementele x, y О X ale unei mulțimi parțial ordonate (X, £) sunt numite comparabil , dacă x £ y sau y £ x.

Se numește mulțimea parțial ordonată (X, £). ordonat liniar sau lanţ dacă oricare două dintre elementele sale sunt comparabile. Mulțimea din Exemplul 2 va fi ordonată liniar, dar mulțimea din Exemplul 1 nu.

Se numește o submulțime A Í X dintr-o mulțime parțial ordonată (X, £). mărginit de sus , dacă există un element x н X astfel încât un £ x pentru tot un н A. Un element x н X se numește cel mai mare în X dacă y £ x pentru tot y О X. Un element x О X se numeşte maxim dacă nu există elemente y О X diferite de x pentru care x £ y. În exemplul 1, elementele 2 și 3 vor fi maxime, dar nu cele mai mari. The constrângere de jos submulțimi, elemente minime și minime. În exemplul 1, elementul 0 ar fi atât cel mai mic, cât și cel mai mic. În exemplul 2, 0 are și aceste proprietăți, dar (w, t) nu are nici cel mai mare, nici elementul maxim.