Exemple de sisteme de ecuații liniare: metoda soluției. Rezolvarea ecuațiilor liniare cu exemple Cum se rezolvă un sistem de ecuații în 3 variabile

2.3.1. Definiție.

Să fie date ecuații liniare:

A 1 X + b 1 y + c 1 z = d 1 , (2.3.1)

A 2 X + b 2 y + c 2 z = d 2 , (2.3.2)

A 3 X + b 3 y + c 3 z = d 3 . (2.3.3)

Dacă se cere să se găsească o soluție generală a ecuațiilor (2.3.1) ¾ (2.3.3), atunci ei spun că formează sistem . Sistemul format din ecuațiile (2.3.1) ¾ (2.3.3) se notează după cum urmează:

Soluția generală a ecuațiilor care alcătuiesc sistemul se numește soluție de sistem . Rezolvați sistemul (2.3.4) ¾ aceasta înseamnă fie găsirea mulțimii tuturor soluțiilor sale, fie demonstrarea că nu există.

Ca și în cazurile precedente, mai jos vom găsi condiții în care sistemul (2.3.4) are o soluție unică, are mai multe soluții și nu are nicio soluție.

2.3.2. Definiție. Să fie dat sistemul (2.3.4) de ecuații liniare. matrici

sunt numite respectiv ( de bază )matrice și matrice extinsă sisteme.

2.3.3. Definițiile sistemelor echivalente de forma (2.3.4), precum și transformările elementare de tipul I și al II-lea, sunt introduse în același mod ca și pentru sistemele de două ecuații cu două și trei necunoscute.

Transformare elementară Al treilea tip de sistem (2.3.4) este schimbul a două ecuații ale acestui sistem. Similar cu cazurile anterioare ale sistemelor cu 2 ecuații sub transformări elementare ale sistemului se obține un sistem,echivalent cu aceasta.

2.3.4. Un exercitiu. Rezolvarea sistemelor de ecuații:

Decizie. A)

(1) Schimbat prima și a doua ecuație a sistemului (transformare de al treilea tip).

(2) Prima ecuație înmulțită cu 4 se scade din a doua, iar prima ecuație înmulțită cu 6 se scade din a treia (transformare de tip 2); astfel, necunoscutul a fost exclus din a doua și a treia ecuație X .

(3) A doua ecuație înmulțită cu 14 se scade din a treia; necunoscut a fost exclus din a treia y .

(4) Din ultima ecuație găsim z = 1, înlocuind care în al doilea, găsim y = 0. În final, înlocuind y = 0 și z = 1 în prima ecuație, găsim X = -2.с

(1) Schimbat prima și a doua ecuație a sistemului.

(2) Prima ecuație ori 4 este scăzută din a doua, iar prima ecuație ori 6 este scăzută din a treia.

(3) A doua și a treia ecuație au coincis. O excludem din sistem pe una dintre ele (sau, cu alte cuvinte, dacă scadem a doua ecuație din a treia ecuație, atunci a treia ecuație se transformă în identitatea 0 = 0; este exclusă din sistem. Presupunem z = A .

(4) Înlocuitor z = A în a doua și prima ecuație.

(5) Înlocuirea y = 12 - 12A în prima ecuație, găsim X .

c) Dacă prima ecuație este împărțită la 4, iar a treia ¾ la 6, atunci ajungem la un sistem echivalent

care este echivalent cu ecuația X - 2y - z = -3. Soluțiile acestei ecuații sunt cunoscute (vezi Exemplul 2.2.3 b))

Ultima egalitate din sistemul rezultat este contradictorie. Prin urmare, sistemul nu are soluții.

Transformările (1) și (2) ¾ sunt exact aceleași cu transformările corespunzătoare ale sistemului b))

(3) Scădeți a doua ecuație din ultima ecuație.

Răspuns: a) (-2; 0; 1);

b) (21 - 23 A ; 12 - 12A ; A ), A Î R;

c) ((-3 + 2 A + b ; A ; b )|A , b Î R};

d) Sistemul nu are soluții.

2.3.5. Din exemplele anterioare rezultă că sistem cu trei necunoscute, precum și un sistem cu două necunoscute, poate avea o singură soluție, un număr infinit de soluții și neavând o singură soluție. Mai jos vom analiza toate cazurile posibile. Dar mai întâi introducem o notație.

Notăm cu D determinantul matricei sistemului:

Notăm cu D 1 determinantul obținut din D prin înlocuirea primei coloane cu coloana de membri liberi:

În mod similar, să punem

D 2 = și D 3 = .

2.3.6. Teorema. În cazul în care un D¹0, apoi sistemul(2.3.4)are singura solutie

, , . (2.3.5)

Se numesc formulele (2.3.5). formule = = 0 pentru toți i ¹ j și cel puțin unul dintre determinanți , , nu este egal cu zero, atunci sistemul de solutii nu are.

4) În cazul în care un = = = = = = 0 pentru toți i ¹ j , atunci sistemul are un număr infinit de soluții, in functie de doi parametri.

Pentru sistem compunem principalul determinant

si calculeaza-l.

Apoi facem determinanți suplimentari

si calculeaza-le.

Conform regulii lui Cramer, soluția sistemului se găsește prin formule

;
;
,dacă

1)

Să calculăm:

Prin formulele lui Cramer găsim:

Răspuns: (1; 2; 3)

2)

Să calculăm:

Deoarece principalul determinant
, și cel puțin un suplimentar nu este egal cu zero (în cazul nostru
), atunci sistemul nu are soluție.

3)

Să calculăm:

Deoarece toți determinanții sunt egali cu zero, sistemul are un set infinit de soluții, care pot fi găsite ca

Rezolvați propriile sisteme:

A)
b)

Răspuns: a) (1; 2; 5) b) ;;

Lecția practică numărul 3 pe tema:

Produsul scalar a doi vectori și aplicarea acestuia

1. Dacă este dat
și
, atunci produsul scalar se găsește prin formula:

∙

2. Dacă, atunci produsul scalar al acestor doi vectori se găsește prin formula

1. Se dau doi vectori
și

Găsim produsul lor scalar după cum urmează:

.

2. Sunt dați doi vectori:

={2;3;–4}
={1; –5; 6}

produsul punct se găsește astfel:

3.
,

3.1 Găsirea lucrului unei forțe constante pe o secțiune dreaptă a traseului

1) Sub acțiunea unei forțe de 15N, corpul s-a deplasat în linie dreaptă cu 2 metri. Unghiul dintre forţă şi direcţia de mişcare =60 0 . Calculați munca efectuată de forța de mișcare a corpului.

Dat:

Decizie:

2) Având în vedere:

Decizie:

3) Un corp s-a deplasat din punctul M(1; 2; 3) în punctul N(5; 4; 6) sub acțiunea unei forțe de 60N. Unghiul dintre direcţia forţei şi vectorul deplasării =45 0 . Calculați munca efectuată de această forță.

Rezolvare: găsiți vectorul deplasare

Găsiți modulul vectorului deplasare:

Conform formulei
gaseste o slujba:

3.2 Determinarea ortogonalității a doi vectori

Doi vectori sunt ortogonali dacă
, adică

la fel de

1)

– nu ortogonală

2)

-ortogonale

3) Să se determine pentru care  vectorii
și
reciproc ortogonale.

La fel de
, apoi
, mijloace

Decideți singuri:

A)

. Găsiți produsul lor scalar.

b) Calculați câtă muncă efectuează forța
, dacă punctul de aplicare a acestuia, deplasându-se în linie dreaptă, s-a deplasat din punctul M (5; -6; 1) în punctul N (1; -2; 3)

c) Să se determine dacă vectorii sunt ortogonali
și

Răspunsuri: a) 1 b) 16 c) da

3.3 Aflarea unghiului dintre vectori

1)

. A găsi .

Găsim

conectați la formula:

.

unu). Sunt date vârfurile triunghiului A(3; 2; -3), B(5; 1; -1), C(1; -2; 1). Aflați unghiul la vârful A.

Inlocuieste in formula:

Decideți singuri:

Sunt date vârfurile triunghiului A(3; 5; -2), B(5; 7; -1), C(4; 3; 0). Determinați unghiul interior la vârful A.

Raspuns: 90 o

Lecția practică numărul 4 pe tema:

PRODUS VECTOR DIN DOI VECTORI ŞI APLICAREA SA.

Formula pentru găsirea produsului încrucișat a doi vectori:

	are forma

1) Găsiți modulul de produs vectorial:

Compunem determinantul și îl calculăm (după regula Sarrus sau teorema privind expansiunea determinantului în ceea ce privește elementele primului rând).

1a metodă: după regula Sarrus

A 2-a cale: extindeți determinantul cu elementele primului rând.

2) Găsiți modulul produsului încrucișat:

4.1. CALCULUL AREEI UNUI PARALELOGRAM CONSTRUIT PE DOI VECTORI.

1) Calculați aria unui paralelogram construit pe vectori

2). Găsiți produsul încrucișat și modulul acestuia

4.2. CALCULUL AREEI UNUI TRIUNGHI

Exemplu: date fiind vârfurile triunghiului A(1; 0; -1), B(1; 2; 0), C(3; -1; 1). Calculați aria triunghiului.

Mai întâi, să găsim coordonatele a doi vectori care ies din același vârf.

Să găsim produsul lor vectorial

4.3. DETERMINAREA COLINEARITATII A DOI VECTORI

Dacă vectorul
și
sunt coliniare, atunci

, adică coordonatele vectorilor trebuie să fie proporționale.

a) Date vectoriale::
,
.

Ele sunt coliniare deoarece
și

după reducerea fiecărei fracții se obține raportul

b) Date vectoriale:

.

Ele nu sunt coliniare deoarece
sau

Decideți singuri:

a) Pentru ce valori ale lui m și n ale vectorului
coliniar?

Răspuns:
;

b) Aflați produsul încrucișat și modulul acestuia
,
.

Răspuns:
,
.

Lecția practică numărul 5 pe tema:

LINIA DREPTĂ PE AVION

Sarcina numărul 1. Aflați ecuația unei drepte care trece prin punctul A (-2; 3) paralel cu dreapta

1. Aflați panta dreptei
.

este ecuația unei drepte cu panta și ordonată inițială (
). Asa de
.

2. Deoarece dreptele MN și AC sunt paralele, pantele lor sunt egale, adică.
.

3. Pentru a găsi ecuația dreptei AC, folosim ecuația unei drepte care trece printr-un punct cu o pantă dată:

. În această formulă, în loc de și înlocuim coordonatele punctului A (-2; 3), în loc de să substituim - 3. Ca rezultat al înlocuirii, obținem:

Răspuns:

Sarcina numărul 2. Aflați ecuația unei drepte care trece prin punctul K (1; -2) paralel cu dreapta.

1. Aflați panta dreptei.

Aceasta este ecuația generală a unei linii drepte, care este, în general, dată de formula. Comparând ecuațiile și aflăm că A \u003d 2, B \u003d -3. Panta dreptei date de ecuație se află prin formula
. Înlocuind A = 2 și B = –3 în această formulă, obținem panta dreptei MN. Asa de,
.

2. Deoarece dreptele MN și KS sunt paralele, pantele lor sunt egale:
.

3. Pentru a găsi ecuația dreptei KS, folosim formula pentru ecuația unei drepte care trece printr-un punct cu o pantă dată
. În această formulă, în loc de și înlocuim coordonatele punctului K(–2; 3), în loc de

Sarcina numărul 3. Aflați ecuația unei drepte care trece prin punctul K (–1; –3) perpendicular pe dreapta.

1. este ecuația generală a unei drepte, care este dată în general de formula.

și aflăm că A = 3, B = 4.

Panta dreptei date de ecuație se găsește prin formula:
. Înlocuind A = 3 și B = 4 în această formulă, obținem panta dreptei MN:
.

2. Deoarece dreptele MN și KD sunt perpendiculare, pantele lor sunt invers proporționale și opuse în semn:

.

3. Pentru a găsi ecuația dreptei KD, folosim formula pentru ecuația unei drepte care trece printr-un punct cu o pantă dată

. În această formulă, în loc de și înlocuim coordonatele punctului K(–1; –3), în loc de hai sa inlocuim. Ca rezultat al înlocuirii, obținem:

Decideți singuri:

1. Aflați ecuația unei drepte care trece prin punctul K (–4; 1) paralel cu dreapta
.

Răspuns:
.

2. Aflați ecuația unei drepte care trece prin punctul K (5; -2) paralel cu dreapta
.

3. Aflați ecuația unei drepte care trece prin punctul K (–2; –6) perpendicular pe dreapta
.

4. Aflați ecuația unei drepte care trece prin punctul K (7; -2) perpendicular pe dreapta
.

Răspuns:
.

5. Aflați ecuația perpendicularei căzute din punctul K (–6; 7) la dreapta
.

Să considerăm un sistem de trei ecuații liniare cu trei necunoscute

un 11, un 12, …, un 33 sunt coeficienții pentru necunoscute,

b 1 , b 2 , b 3- membri gratuiti.

A rezolva sistemul (2.4) înseamnă a găsi un astfel de triplu ordonat de numere x 1 \u003d c 1, x 2 \u003d c 2, x 3 \u003d c 3, la substituirea lor în ecuaţiile sistemului, acestea din urmă se transformă în identităţi.

Un sistem de ecuații care are soluții (mulțime unică sau infinită) se numește comun, un sistem de ecuații care nu are soluții, incompatibil.

Să prezentăm trei metode de rezolvare a sistemului (2.4).

regula lui Cramer

Compuneți determinantul sistemului din coeficienții necunoscutelor

(2.5)

Dacă , atunci sistemul (2.4) are o soluție unică, care se găsește prin formulele Cramer:

unde , , se obțin din determinant prin înlocuirea primei, a doua și, respectiv, a treia coloană cu o coloană de termeni liberi ai sistemului (2.4).

(2.7)

Exemplul 7 Rezolvați sistemul

Se calculează determinantul sistemului (2.5) și determinanții , , (2.6).

prin urmare sistemul are o soluție unică.

Prin formulele lui Cramer (2.6) găsim:

Puteți efectua o verificare înlocuind valorile necunoscutelor în ecuațiile sistemului.

Asa de, x 1 \u003d x 2 \u003d x 3 \u003d 1 este soluția sistemului.

metoda Gauss

Luați în considerare sistemul (2.4):

Metoda Gauss, altfel metoda eliminării secvențiale a necunoscutelor, este următoarea. Fie Exclude din a 2-a și a 3-a ecuație a sistemului x 1. Obținem sistemul:

Obținem un sistem triunghiular. Din ecuația a 3-a găsim x 3, înlocuind-o în a 2-a ecuație, găsim x2, apoi din ecuația 1 găsim x 1, substituind în ea x2și x 3.

Exemplul 8 Rezolvați sistemul

Rearanjam ecuațiile a 3-a și 1 astfel încât în ​​prima ecuație coeficientul de la x 1 a fost egal cu 1.

Exclude x 1 din ecuația a 2-a și a 3-a. Pentru a face acest lucru, înmulțiți prima ecuație cu (-4) și adăugați-o la a doua ecuație; apoi înmulțiți prima ecuație cu (-6) și adăugați-o la a treia ecuație. Obținem sistemul:

Exclude x2 din a 3-a ecuație. Pentru a face acest lucru, înmulțiți a 2-a ecuație cu (-13/10) și adăugați-o la a 3-a ecuație. Obținem sistemul:

Din ultima ecuație găsim x 3= -1, înlocuim în a 2-a ecuație:

10x2 - 13(-1) = -7, -10x2 = - 20, x2 = 2.

Înlocuind x2și x 3în prima ecuație, obținem

Deci soluția sistemului este: x 1 = 1, x2 = 2, x 3 = -1.

Rezolvarea sistemului folosind matricea inversă

Sistemul dat: (2.8)

Să facem o matrice DAR din coeficienții necunoscutelor, matricea coloanei X– din necunoscute, matrice-coloană LA- de la membrii liberi.

,

Sistemul (2.8) poate fi scris sub formă de matrice după cum urmează:

Matricea deciziei X se gaseste dupa formula:

A -1 este inversul matricei DAR, este compus din complemente algebrice ale elementelor matriceale DAR prin formula (2.3):

– determinant sau determinant matriceal DAR, .

Exemplul 9 Rezolvare sistem:

Introducem matrice: ,

Matricea inversă a fost calculată în exemplul 6. Utilizând formula (2.9), găsim o soluție a sistemului

Asa de, x 1=1, x2=1, x 3=1.

Elemente de algebră vectorială

Vector- segment regizat; notat cu sau . DAR este începutul vectorului, LA- sfarsit.

Lungime sau modul vector este notat cu .

Orez. 21.

În spațiul de coordonate 0xyz, vectorul poate fi reprezentat ca

(3.1)

Această formulă dă expansiunea unui vector în termeni de bază vectori , , ; , , - coordonatele carteziene dreptunghiulare ale vectorului (în caz contrar, proiecții ale vectorului pe axele de coordonate).

Formula (3.1) poate fi scrisă după cum urmează:

– vectorul are coordonatele , , .

Lungime(modulul) vectorului se găsește prin formula:

. (3.2)

Dacă vectorul este dat de coordonatele originii A(x1,y1,z1) si sfarsit B(x2,y2,z2), atunci coordonatele se găsesc prin formulele:

Dacă expansiunile vectorilor și de-a lungul axelor de coordonate sunt cunoscute, atunci la adunarea (scăderea) vectorilor, coordonatele lor cu același nume se adună (scad), când un vector este înmulțit cu un număr, coordonatele vectorului sunt înmulțite cu acest număr, adică

(3.4)

Produs punct vectori și , notat cu , este numărul egal cu produsul dintre lungimile acestor vectori și cosinusul unghiului dintre ei

. (3.5)

Daca atunci

. (3.6)

Dacă vectorii şi coliniare(paralel), atunci

. (3.7)

Dacă vectorii şi ortogonală(perpendicular), atunci

Sau (3.8)

Exemplul 10 Puncte date A 1(1,0,-1), A2(2,-1,1), A 3(0,1,-2). Cu ajutorul algebrei vectoriale, dat fiind ce să găsiți:

1) coordonatele vectorilor și .

Folosim formula (3.3):

2) Coordonatele vectoriale

Folosind formulele (3.4) și (3.5), obținem

Sau 1.2. După regula triunghiurilor: , iar lungimea vectorului . Răspuns:

3. Sunt date punctele A(0,-2,3), B(2,1,4), C(3,4,5). A găsi:

a) coordonatele (proiecţiile) vectorilor şi

b) coordonate vectoriale

c) lungimea vectorului

4. Se dau vectorii Găsiți produsul scalar al vectorilor .

5. Demonstrați că vectorii și sunt coliniari.

6. Demonstrați că vectorii sunt ortogonali.

Sisteme de trei ecuații liniare în trei necunoscute

Ecuații liniare (ecuații de gradul I) cu două necunoscute

Definiția 1 . Ecuație liniară (ecuație de gradul I) cu două necunoscute x și y numesc o ecuație care arată ca

Decizia . Să exprimăm din egalitatea (2) variabila y în termenii variabilei x :

Din formula (3) rezultă că toate perechile de numere ale formei

unde x este orice număr.

Observație . După cum se poate observa din soluția exemplului 1, ecuația (2) are infinit de solutii. Cu toate acestea, este important să rețineți că nu orice pereche de numere (X; y) este o soluție a acestei ecuații. Pentru a obține o soluție la ecuația (2), numărul x poate fi luat ca orice număr, iar apoi numărul y poate fi calculat folosind formula (3).

Sisteme de două ecuații liniare în două necunoscute

Definiția 3 . Un sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute x și y se numesc un sistem de ecuații având forma

Unde A 1 , b 1 , c 1 , A 2 , b 2 , c 2 sunt date numere.

Definiția 4 . În sistemul de ecuații (4), numerele A 1 , b 1 , A 2 , b 2 sunt chemate și numerele c 1 , c 2 – membri liberi.

Definiția 5 . Prin rezolvarea sistemului de ecuații (4) numește o pereche de numere X; y) , care este o soluție atât a uneia, cât și a celeilalte ecuații ale sistemului (4).

Definiția 6 . Cele două sisteme de ecuații se numesc echivalent (echivalent), dacă toate soluțiile primului sistem de ecuații sunt soluții ale celui de-al doilea sistem și toate soluțiile celui de-al doilea sistem sunt soluții ale primului sistem.

Echivalența sistemelor de ecuații se notează folosind simbolul ""

Sistemele de ecuații liniare sunt rezolvate cu ajutorul cărora le vom ilustra cu exemple.

Exemplul 2 . Rezolvați un sistem de ecuații

Decizia . Pentru a rezolva sistemul (5) eliminăm necunoscutul din a doua ecuație a sistemului X .

În acest scop, transformăm mai întâi sistemul (5) într-o formă în care coeficienții pentru x necunoscut în prima și a doua ecuație a sistemului devin aceiași.

Dacă prima ecuație a sistemului (5) este înmulțită cu coeficientul de la x în a doua ecuație (numărul 7), iar a doua ecuație este înmulțită cu coeficientul de la x în prima ecuație (numărul 2), atunci sistemul (5) va lua forma

Să efectuăm acum următoarele transformări pe sistemul (6):

• scădeți prima ecuație din a doua ecuație și înlocuiți a doua ecuație a sistemului cu diferența rezultată.

Ca rezultat, sistemul (6) este transformat într-un sistem echivalent

Din a doua ecuație găsim y= 3 și înlocuind această valoare în prima ecuație, obținem

Răspuns . (-2; 3) .

Exemplul 3 . Găsiți toate valorile parametrului p pentru care sistemul de ecuații

A) are o soluție unică;

b) are infinit de soluții;

în) nu are soluții.

Decizia . Exprimând x în termeni de y din a doua ecuație a sistemului (7) și substituind expresia rezultată în loc de x în prima ecuație a sistemului (7), obținem

Să studiem soluțiile sistemului (8) în funcție de valorile parametrului p. Pentru a face acest lucru, luăm mai întâi în considerare prima ecuație a sistemului (8):

y (2 - p) (2 + p) = 2 + p

(9)

În cazul în care un , atunci ecuația (9) are o soluție unică

Astfel, în cazul în care , sistem (7) are singura solutie

În cazul în care un p= - 2 , atunci ecuația (9) ia forma

iar soluția sa este orice număr . Prin urmare, soluția pentru sistemul (7) este set infinit toate perechi de numere

,

unde y este orice număr.

În cazul în care un p= 2 , atunci ecuația (9) ia forma

și nu are soluții, de unde rezultă acel sistem (7) nu are solutii.

Sisteme de trei ecuații liniare în trei necunoscute

Definiția 7 . Un sistem de trei ecuații liniare cu trei necunoscute x , y și z numesc sistemul de ecuații având forma

Unde A 1 , b 1 , c 1 , d 1 , A 2 , b 2 , c 2 , d 2 , A 3 , b 3 , c 3 , d 3 sunt date numere.

Definiția 8 . În sistemul de ecuații (10), numerele A 1 , b 1 , c 1 , A 2 , b 2 , c 2 , A 3 , b 3 , c 3 numit coeficienți la necunoscut, și numerele d 1 , d 2 , d 3 – membri liberi.

Definiția 9 . Prin rezolvarea sistemului de ecuații (10) numește un trio de numere (X; y ; z) , la substituirea lor în fiecare dintre cele trei ecuații ale sistemului (10), se obține egalitatea corectă.

Exemplul 4 . Rezolvați un sistem de ecuații

Decizia . Vom rezolva sistemul (11) folosind metoda de eliminare succesiva a necunoscutelor.

Pentru asta, în primul rând eliminăm necunoscutul din a doua și a treia ecuație a sistemului y prin efectuarea următoarelor transformări pe sistemul (11):

• lăsăm neschimbată prima ecuație a sistemului;
• adăugați prima ecuație la a doua ecuație și înlocuiți a doua ecuație a sistemului cu suma rezultată;
• scădeți prima ecuație din a treia ecuație și înlocuiți a treia ecuație a sistemului cu diferența rezultată.

Ca urmare, sistemul (11) este transformat în

O ecuație cu o necunoscută, care, după deschiderea parantezelor și reducerea termenilor similari, ia forma

ax + b = 0, unde a și b sunt numere arbitrare, se numește ecuație liniară cu unul necunoscut. Astăzi ne vom da seama cum să rezolvăm aceste ecuații liniare.

De exemplu, toate ecuațiile:

2x + 3 \u003d 7 - 0,5x; 0,3x = 0; x / 2 + 3 \u003d 1/2 (x - 2) - liniar.

Se numește valoarea necunoscutului care transformă ecuația într-o egalitate adevărată decizie sau rădăcina ecuației .

De exemplu, dacă în ecuația 3x + 7 \u003d 13 înlocuim numărul 2 în loc de necunoscutul x, atunci obținem egalitatea corectă 3 2 + 7 \u003d 13. Aceasta înseamnă că valoarea x \u003d 2 este soluția sau rădăcina ecuației.

Și valoarea x \u003d 3 nu transformă ecuația 3x + 7 \u003d 13 într-o egalitate adevărată, deoarece 3 2 + 7 ≠ 13. Prin urmare, valoarea x \u003d 3 nu este o soluție sau o rădăcină a ecuației.

Rezolvarea oricăror ecuații liniare se reduce la soluția ecuațiilor de forma

ax + b = 0.

Transferăm termenul liber din partea stângă a ecuației la dreapta, în timp ce schimbăm semnul din fața lui b la opus, obținem

Dacă a ≠ 0, atunci x = – b/a .

Exemplul 1 Rezolvați ecuația 3x + 2 =11.

Transferăm 2 din partea stângă a ecuației la dreapta, în timp ce schimbăm semnul în fața lui 2 la opus, obținem
3x \u003d 11 - 2.

Să facem scăderea, atunci
3x = 9.

Pentru a găsi x, trebuie să împărțiți produsul la un factor cunoscut, adică
x = 9:3.

Deci valoarea x = 3 este soluția sau rădăcina ecuației.

Răspuns: x = 3.

Dacă a = 0 și b = 0, atunci obținem ecuația 0x \u003d 0. Această ecuație are infinit de soluții, deoarece atunci când înmulțim orice număr cu 0, obținem 0, dar b este, de asemenea, 0. Soluția acestei ecuații este orice număr.

Exemplul 2 Rezolvați ecuația 5(x - 3) + 2 = 3 (x - 4) + 2x - 1.

Să extindem parantezele:
5x - 15 + 2 \u003d 3x - 12 + 2x - 1.

5x - 3x - 2x \u003d - 12 - 1 + 15 - 2.

Iată membri similari:
0x = 0.

Răspuns: x este orice număr.

Dacă a = 0 și b ≠ 0, atunci obținem ecuația 0x = - b. Această ecuație nu are soluții, deoarece atunci când înmulțim orice număr cu 0, obținem 0, dar b ≠ 0.

Exemplul 3 Rezolvați ecuația x + 8 = x + 5.

Să grupăm termenii care conțin necunoscute în partea stângă și termenii liberi în partea dreaptă:
x - x \u003d 5 - 8.

Iată membri similari:
0x = - 3.

Răspuns: fără soluții.

Pe figura 1 este prezentată schema de rezolvare a ecuaţiei liniare

Să compunem o schemă generală de rezolvare a ecuațiilor cu o variabilă. Luați în considerare soluția exemplului 4.

Exemplul 4 Să rezolvăm ecuația

1) Înmulțiți toți termenii ecuației cu cel mai mic multiplu comun al numitorilor, egal cu 12.

2) După reducere obținem
4 (x - 4) + 3 2 (x + 1) - 12 = 6 5 (x - 3) + 24x - 2 (11x + 43)

3) Pentru a separa membrii care conțin membri necunoscuți și liberi, deschideți paranteze:
4x - 16 + 6x + 6 - 12 \u003d 30x - 90 + 24x - 22x - 86.

4) Grupăm într-o parte termenii care conțin necunoscute, iar în cealaltă - termeni liberi:
4x + 6x - 30x - 24x + 22x \u003d - 90 - 86 + 16 - 6 + 12.

5) Iată membri similari:
- 22x = - 154.

6) Împărțiți la - 22 , obținem
x = 7.

După cum puteți vedea, rădăcina ecuației este șapte.

În general, așa ecuațiile pot fi rezolvate după cum urmează:

a) aduceți ecuația într-o formă întreagă;

b) paranteze deschise;

c) grupează termenii care conțin necunoscutul într-o parte a ecuației, iar termenii liberi în cealaltă;

d) aduce membri similari;

e) rezolvați o ecuație de forma aх = b, care s-a obținut după aducerea unor termeni similari.

Cu toate acestea, această schemă nu este necesară pentru fiecare ecuație. Când rezolvați multe ecuații mai simple, trebuie să începeți nu de la prima, ci de la a doua ( Exemplu. 2), al treilea ( Exemplu. treisprezece) și chiar din etapa a cincea, ca în exemplul 5.

Exemplul 5 Rezolvați ecuația 2x = 1/4.

Găsim necunoscutul x \u003d 1/4: 2,
x = 1/8 .

Luați în considerare soluția unor ecuații liniare întâlnite la examenul de stat principal.

Exemplul 6 Rezolvați ecuația 2 (x + 3) = 5 - 6x.

2x + 6 = 5 - 6x

2x + 6x = 5 - 6

Răspuns: - 0,125

Exemplul 7 Rezolvați ecuația - 6 (5 - 3x) \u003d 8x - 7.

– 30 + 18x = 8x – 7

18x - 8x = - 7 +30

Răspuns: 2.3

Exemplul 8 Rezolvați ecuația

3(3x - 4) = 4 7x + 24

9x - 12 = 28x + 24

9x - 28x = 24 + 12

Exemplul 9 Găsiți f(6) dacă f (x + 2) = 3 7

Decizie

Deoarece trebuie să găsim f(6) și știm f (x + 2),
atunci x + 2 = 6.

Rezolvăm ecuația liniară x + 2 = 6,
obținem x \u003d 6 - 2, x \u003d 4.

Dacă x = 4 atunci
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

Raspuns: 27.

Dacă mai aveți întrebări, există dorința de a înțelege mai bine soluția ecuațiilor, înscrieți-vă la lecțiile mele în PROGRAM. Voi fi bucuros să vă ajut!

TutorOnline vă recomandă, de asemenea, vizionarea unui nou tutorial video de la tutorele noastre Olga Alexandrovna, care vă va ajuta să înțelegeți atât ecuațiile liniare, cât și altele.

site, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.