Smo multicanal cu eșecuri. QS cu eșecuri și asistență reciprocă completă pentru fluxuri arbitrare
UDC 519.248:656.71
MODEL DE SISTEM DE COZI DE COZI CU DEBURĂRI NESTAȚIONARE ȘI ASISTENȚĂ RECIPROCĂ PARȚIALĂ ÎNTRE CANALE
© 2011 V. A. Romanenko
Universitatea Aerospațială de Stat din Samara poartă numele academicianului S.P. Korolev (Universitatea Națională de Cercetare)
Este descris un model dinamic al unui sistem de așteptare multicanal cu fluxuri nestaționare, care așteaptă într-o coadă de lungime limitată și asistență reciprocă parțială a canalelor, care se exprimă în posibilitatea deservirii simultane a unei aplicații pe două canale. Sunt date expresii pentru principalele caracteristici probabilistic-temporale ale sistemului. Rezultatele modelării funcționării aeroportului hub sunt descrise ca un exemplu al sistemului luat în considerare.
Sistem de așteptare, flux non-staționar, asistență reciprocă între canale, aeroport hub.
Introducere
Este luat în considerare un sistem de așteptare cu mai multe canale (QS) cu așteptare într-o coadă de lungime limitată. O caracteristică a QS luată în considerare este asistența reciprocă parțială între canale, care se exprimă în posibilitatea de a utiliza două canale simultan pentru a deservi o aplicație. Combinarea eforturilor canalelor duce în cazul general la o reducere a timpului mediu de serviciu. Se presupune că QS primește un flux de cereri Poisson nestaționar. Durata serviciului de aplicație depinde de timp.
Un exemplu tipic de QS cu caracteristicile enumerate este sistemul de servicii de transport aeroportuar. Utilizarea simultană a mai multor (de regulă, două) facilități (ghișee de check-in, alimentări de avioane, vehicule speciale etc.) pentru întreținerea unui zbor este prevăzută de orarele tehnologice de deservire aeroportuară a aeronavelor mari (AC). În același timp, nevoia de îmbunătățire a calității și de reducere a duratei de handling la sol a transportului, care este deosebit de relevant pentru aeroporturile mari, duce la faptul că ponderea operațiunilor efectuate nu printr-unul, ci prin mai multe (două) mijloace. creste.
nu cu creșterea dimensiunii aeroportului. Modelul descris în articol a fost dezvoltat pentru a rezolva problemele de analiză și optimizare a funcționării complexelor industriale ale aeroporturilor hub (hub-uri), caracterizate prin saturarea instalațiilor de handling la sol pentru transport cu o nestaționaritate pronunțată a fluxului de pasageri, aeronave și mărfuri și fluctuații ale intensității serviciului lor.
Descrierea generală a modelului
Modelul este conceput pentru a determina dependențele de timp ale caracteristicilor probabilistice ale unui QS care conține N canale de servire. Numărul de aplicații în CMO nu trebuie să depășească K, ceea ce se poate datora restricțiilor tehnice privind numărul de locuri de parcare pentru aeronave dotate în aeroport, capacitatea terminalului aerian sau a complexului de marfă etc. Numărul de canale alocate pentru deservirea unei cereri a poate fi fie 1, fie 2. Dacă există cel puțin două canale libere, cererea de intrare cu o anumită probabilitate va fi deservită
unul dintre ele și - cu probabilitate y2 = 1 - y1 - ambele canale. Dacă, la momentul primirii unei cereri de service, QS are un singur canal liber, atunci această solicitare ocupă oricum canalul disponibil.
singurul canal. Dacă nu există canale inactive, cererea nou primită „intră în coadă” și așteaptă serviciul. Dacă numărul de cereri din coadă este K-N, atunci cererea nou sosită lasă QS neservit. Probabilitatea unui astfel de eveniment ar trebui să fie mică.
Intrarea QS primește un flux de cereri Poisson (nu neapărat staționar).
cu intensitatea l(t). Se presupune că durata serviciului de solicitare atât de către un canal Tobsl1 (t), cât și de două -
Tobsl 2 (t) sunt funcții aleatorii ale timpului distribuite exponențial (procese stocastice).
Intensitatea serviciului de aplicare
un canal ^ (t) şi simultan două canale m 2 (t) sunt definite ca
mi (t) = [Tobsl1 (t)]-1 , m2 (t) = [Tobsl2 (t)]-1,
unde Tobsl1 (t) = M [Tobsl1 (t)] , Tobsl 2 (t) = M[Tobsl 2 (t)]
Durata medie de serviciu pentru o solicitare de către un canal și, respectiv, două canale.
Legătura dintre valorile m1 (t) și m2 (t) este dată de relația
m2 (t) = ^m1 (t),
unde 9 este un coeficient care ia în considerare creșterea relativă a intensității serviciului la utilizarea a două canale.
În practică, relația dintre numărul de fonduri strânse și intensitatea serviciului este destul de complexă, determinată de caracteristicile operațiunii de serviciu luate în considerare. Pentru operațiuni, a căror durată este legată de volumul de muncă efectuat (de exemplu, realimentarea aeronavelor cu combustibil de aviație folosind cisterne de combustibil pentru aeronave, îmbarcarea sau debarcarea pasagerilor din aeronavă etc.), dependența intensității serviciului de numărul de canale se apropie de unul direct proporțional, însă nefiind strict astfel din cauza timpului petrecut pregătirii
operatii dar-finale, care nu sunt afectate de numarul de mijloace. Pentru astfel de operațiuni 2 GBP.
screening-ul pasagerilor). În acest caz, în „1.
La un moment arbitrar de timp I, QS-ul luat în considerare poate fi într-una dintre b + 1 stări discrete - B0, ...,
b. Trecerea de la stat la stat poate fi efectuată în orice moment. Probabilitatea ca la momentul I QS-ul să fie în stare
condiția de normalizare 2 p () =1
Calculul probabilităților P0 (/), PX (t),..., Pb (t) face posibilă determinarea unor caracteristici QS virtuale (instantanee) atât de importante precum lungimea medie a cozii, numărul mediu de canale ocupate, numărul mediu de clienți în QS și altele
Probabilitățile stărilor p(t) se găsesc prin rezolvarea sistemului de ecuații diferențiale Kolmogorov, care se pot scrie în formă generală ca
=Ё jp(t)P /(t)-P,(t)Z (t).,
r = 0,1,...,b,
Unde<р^ ^) - плотности (интенсивности) вероятностей перехода из состояния с порядковым номером г в состояние с порядковым номером ]. Величины фу (t) определяются по формуле
unde P(/; At) este probabilitatea ca QS, care se afla la momentul t în starea B., după
timpul La voia trece de la ea la stat
Pentru a compune ecuațiile Kolmogorov, se folosește un grafic etichetat al stărilor QS. În ea, deasupra săgeților care duc de la B. la B., intensitățile corespunzătoare ale f. .
Pentru alcătuirea graficului se introduce o notație cu trei indici, în care starea QS-ului considerat la un moment de timp arbitrar este caracterizată de trei parametri: numărul de canale ocupate n (n = 0,1,..., t), numărul de cereri deservite k (k = 0,1,...,^) și în așteptare m (m = 0,1,...,^ - N).
Pe fig. Figura 1 prezintă un grafic de stare etichetat, compilat folosind regulile descrise mai sus și notația introdusă, pentru un QS ales ca exemplu simplu.
Pe graficul și în sistemul corespunzător de ecuații ale lui Kolmogorov prezentate mai jos, pentru a economisi spațiu, sunt omise denumirile dependenței funcționale de timp a intensităților 1, m1, m2 și probabilităților de stare.
^000 /L \u003d - (^1 ^ + ^2 ^) P000 + mp10 + m2P210,
\u003d - (m + Y-11 + Y21) psh + ^Rp000 +
2t1R220 + t2 R320,
LR210 IL \u003d - (t2 + ^11 + ^21) P210 + V2Rp000 +
T1P320 + 2 ^2P420,
LR220/L = -(2^1 + ^1^ + ^21) P220 + ^1Rio +
3 m1P330 + ^2P430,
LR32<:)1Л = - (т2 + т1 + ^11 + ^21)р320 +
+ ^ 11P210 + V2ЯP110 + 2t 1P430 +
LR4u1L (1 + 2 ^2) P420 + ^21P210 + m p30, LR330 /L = -(3m1 + ^1^+ ^21) P330 + ^11P220 + +4^1P440 + r2p40,
^430 /L = - (2^1 + ^2 + 1) P430 + ^11P320 +
+ ^ 2 ^ P220 + 3m 1p40 + 2 ^ 2p31,
LR530 / l \u003d - (t + 2m2 + i) p^30 + 1P420 +
+ ^2R320 + m1R531,
LR440 IL (4t1 + I) r40 + R330 +
5^1p50 + t2p41,
LR540 / l \u003d - (t2 + 3t + i) p540 + yar430 +
+ „^ 2R330 + 3 m1R541 + 2 m2R532,
LR531/L = - (^1 + 2^2 + R) R^31 + R530 +
LR550 IL \u003d - (5t1 + I) R550 + YAR440 +
5t1R551 + t2R542,
LR541/ l \u003d - (t2 + 3m + i) p^41 + rr^40 +
LR532 / l \u003d - (t1 + 2t2) R532 + i p531,
LR5511L \u003d - (5t1 + I) r51 + YAR550 + 5t1R552,
lr542 / l \u003d - (3 t + t2) p542 + i p541,
Rp5^ ^ = 5 m1P552 + i p51.
Dacă în momentul de față t = 0 nu există cereri în QS, atunci condițiile inițiale se vor scrie sub forma
P10(0)=P210(0)=P220(0)=...=P552(0)=0.
Rezolvarea sistemelor de dimensiuni mari, similare cu (1), (2), cu variabile 1(t, mDO, m2(0) este posibilă numai prin metode numerice folosind un calculator.
Orez. 1. Graficul de stare QS
Construirea unui model QS
În conformitate cu abordarea algoritmică, luăm în considerare o metodă de transformare a sistemului de ecuații Kolmogorov de dimensiune arbitrară într-o formă potrivită pentru calcule computerizate. Pentru a simplifica notația, în loc de triplu, folosim un sistem dublu de notație pentru stările QS, în care r este numărul de canale ocupate de service plus lungimea cozii,] este numărul de aplicații. în QS. Relația dintre sistemele de notație exprimă dependențe:
r = n + m, r = 0,1,...,K;
] = k + m, ] = 0,1,...,K.
Nicio stare din setul formal nu poate fi implementată
B. (r = 0,1,...,K; ] = 0,1,...,K). În special,
în cadrul modelului descris, sunt imposibile stările în care două sau mai multe solicitări sunt deservite simultan de una singură
canal, adică R. (t) = 0 dacă ] > r. Fie 8 setul de stări admisibile ale QS. starea lui B. există și
probabilitatea corespunzătoare P. ^)
poate fi diferit de zero dacă este îndeplinită una dintre următoarele condiții:
1)] <г< 2], если 2] < N,
2)] <г< ] + Ч - 1 если \ .
y] + H-1< К,
3)] < г < К, если ] + ч - 1 ^ К,
r = 0,1,...,K; ] = 0,1,...,K,
unde N este numărul maxim de stări cu un număr diferit de canale de servire pentru un anumit număr de cereri, determinat de formula
Aici parantezele indică operația de eliminare a părții fracționale. De exemplu,
Conform graficului de stare prezentat în Fig. 1, doi clienți pot fi deserviți de două, trei sau patru canale. Prin urmare, în exemplul de mai sus
H \u003d 5 - \u003d 5 - 2 \u003d 3.
Pentru a implementa calcule computerizate folosind sistemul Kolmogorov de ecuații de dimensiune arbitrară, ecuațiile sale trebuie reduse la o formă universală care să permită scrierea oricărei ecuații. Pentru a dezvolta o astfel de formă, luăm în considerare un fragment al graficului de stări care afișează o stare arbitrară B] cu conducător din ea
săgeți de intensitate. Să notăm cu cifre romane statele învecinate direct legate de B., așa cum se arată în Fig. 2.
Pentru fiecare stare a lui B. (r = 0,1,...,K; ] = 0,1,...,K), astfel încât B. e 8 , la momentul t valorile
p^), p(t), p.^), p(t) ia
diverse valori (inclusiv cele egale cu zero). Cu toate acestea, structura ecuației
(3) rămâne neschimbat, ceea ce face posibilă utilizarea lui pentru implementarea computerizată a sistemului Kolmogorov de ecuații de dimensiune arbitrară.
Intensitățile fr (t) , (p. (t), care tind să transfere QS-ul în stări cu valori mari ale lui r și ], dacă prezența unor astfel de stări este posibilă, sunt determinate pe baza unui număr de condiții după cum urmează :
o.. u sau
°(,-+1)0"+1) ї 8 ’
0(,-+2)(.+1) - 8 i £ N - 2,
o(i+1)(.+1)- 8 sau
°(.+2)a+1)ї 8
O(.+1)(V+1) - 8’
Orez. 2. Fragment din graficul stării QS
Ținând cont de prezența statelor vecine față de B., ecuația pentru B. se poate scrie astfel:
-£ = -[P () + P () + P. () +
Pp (tJ Pr, (t) + Pp+1)(.+1) (t) P(r+1)(.+1) () +
P(H(1-1)^)P(-1)(1-1)^) +
Р 2)()+1)() Р(r+2)()-+1)() +
RC2)(.-1) (t)P(r-2)(.-r) ().
O(.+1)(.+1)ї 8 sau i > N - 2
Y2X(i), dacă
I(i+1)(.+1) - 8>
O(i+2)(.+1) - 8 'i £ N - 2,
O(i+1)(.+1)ї 8’
O(i+2)(.+1) - 8’
r = 0,1,...,k, . = 0,1,...,k.
Intensitatea r. (), p..11 (), transferând QS din starea B-. în state
cu valori mai mici ale lui r și. (dacă este posibilă prezența unor astfel de stări) sunt direct proporționale cu numărul de canale implicate, care deservesc aplicații de diferite tipuri situate în QS (ocupând unul sau două canale pentru service). Un grup de două canale ocupate prin deservirea unei cereri de tipul corespunzător poate fi considerat un singur canal. Prin urmare, în cazul general
p () = cdM1 () , p. () = ku2^2 () ,
unde k.1 este numărul de aplicații care ocupă un canal, deservite de QS în starea B.; k este numărul de aplicații care ocupă două canale deservite de QS în starea B. .
Prin g şi aceste cantități sunt definite după cum urmează:
G2. - r dacă r< N,
y1 [ N - 2 (r - .), dacă r > N, (4)
la! 2 = g - . .
Ținând cont de restricțiile asupra posibilității de existență a stărilor expresiei pentru
p(), p.() au forma
^B(r-1)(L) e 8,
Indicatori de performanță QS
Modelul descris face posibilă determinarea dependențelor de timp ale următorilor indicatori de performanță pentru funcționarea QS-ului considerat.
Lungimea medie a cozii:
poate ()=22(g-n) R ().
Numărul mediu de canale ocupate:
Numărul mediu de aplicații în CMO:
m, ()=22 .R. ().
Probabilitatea de refuzare a serviciului:
Є, ()= 2 Р- ().
Se poate obține distribuirea timpului virtual de așteptare după bilet
serviciu W (x, t) = P ^exp ()< х) , позволяющее характеризовать качество обслуживания рассматриваемой СМО. Поступившая в систему заявка вынуждена ожидать обслуживания в случае, если все каналы заняты обслуживанием заявок, поступивших
anterior. Există o probabilitate Рк=0 (t) de deservire imediată a cererii primite în prezența unui canal liber (sau a mai multor canale libere)
B(g-1)(.-1) 8 GBP,
r = 0,1,...,K, . = 0,1, ..., K.
R. () ° 0 dacă B. £ 8 .
Ținând cont de posibilitatea eșecului, se determină valoarea dorită a funcției de distribuție W(x^) ca
F (x-‘) \u003d (--o (t)
EEZH M (,)) ()
Ru ()° 0 dacă °y. ї 8 .
Aici W (x, m| (i,./)) este o funcție condiționată
repartizarea timpului de așteptare al unei anumite creanțe, cu condiția ca la momentul sosirii ei T să prindă QS-ul în starea y.
În QS luat în considerare, timpul de așteptare pentru notificarea unei cereri primite depinde nu numai de numărul de cereri deja în QS, ci și de distribuția canalelor între gestionarea grupului și individual a cererilor existente. Dacă nu ar exista asistență reciprocă între canale, atunci QS-ul luat în considerare ar fi un QS tradițional cu așteptare într-o coadă de lungime limitată, pentru care timpul total de așteptare pentru începerea serviciului printr-o cerere care a găsit m alte cereri în coadă. la momentul sosirii ar avea distribuția Erlang (X) .
Aici, indicele conține intensitatea cererilor de service de către toate N canalele care funcționează în prezența unei cozi; indicele este ordinea de distribuție conform legii Erlang. În QS-ul considerat aici, legea descrisă este valabilă numai pentru cererile care au intrat în QS în stările în care toate canalele sunt ocupate și toate deservesc o singură cerere. Pentru aceste stări se poate scrie
X (x, m | ^ + m, N + m)) = ^ + 1() (x).
Să notăm cu E^"^1 (x) funcția de distribuție a Erlan-ului generalizat.
ha, având ordinul 2 "g - 1, unde ag este numărul
lo variabile aleatoare distribuite peste
legea exponenţială cu parametrul yi. Cu
Folosind notația introdusă, scriem expresii pentru funcția de distribuție a timpului de așteptare în alte stări. În comparație cu (5), aceste expresii au o formă mai complexă, care nu interferează cu implementarea lor software. În plus, ca exemplu, acestea sunt date numai pentru primele trei stări de ocupat complet ale canalelor folosind indexarea cu trei caractere introdusă anterior:
W (x, m | (n, k, m)) = W (x, m | (N, N - g, 0)) =
= (x), 0 £ g £ q,
unde eu. \u003d kіLt (t) + ku 2M2 (t);
W (x, m | (n, k, m)) = W (x, m | (N, N - g, l)) =
H ^ ^ - g) Km (T)
W (x, m | - g, 2))
H ^).(N - g) Km (t)
E/^(t),(t-g) ■i(t),(t-g+l)
(N),(N - g) kM(T)
EI-) (t-g) (x) +
^).(N - g) eH^) (x)
Timpul mediu de așteptare virtuală pentru o revendicare Itoj () este definit numeric ca
Identitatea (T) = | ^ W (x, T).
Distribuția timpului de serviciu virtual pentru o solicitare aleasă în mod arbitrar Tobcl ^) poate fi de asemenea determinată.
Deoarece modificarea Tobsl(t) în QS considerat este un proces aleatoriu, care este un amestec de două procese aleatoare distribuite exponențial Tobcl1 (t) și Tobcl2 ^), distribuția
V (x^) \u003d P (Tobsl (t)< х) не будет показательным. С учётом возможности отказа выражение для функции распределения V (х^) запишется в виде
EEU M k,.YR (t)
R.. ^) ° 0 dacă 8. £ 8 .
Aici V (x^| (r,.)) este funcția de distribuție condiționată a timpului de serviciu al unei anumite cereri, cu condiția ca în momentul sosirii acesteia să prindă QS-ul în starea ..
Dacă, la momentul începerii deservirii unei cereri, QS-ul se află într-o stare în care este posibilă atât deservirea de grup, cât și cea individuală, atunci timpul de service este un amestec de două pro-
trecerea la serviciul de grup - în prezența posibilității statului (Fig. 2). Astfel, avem:
U (M (i--/")) =
y (1 - e-m(t)x) + +y (1 - e^2(t)x),
I O(i+2)(]+1) ї 8, O(i+1)(.+1) - 8,
„2\* ^ I' I ^ +2)(.+1)
i = 0,1,...,N -1, i = 0,1,...,N -1.
Deoarece în absența a două canale libere, orice cerere este deservită de un canal, atunci probabilitatea reală (t) de a aloca un canal va fi
det este mai mare decât V dat Funcţia φ ^) este definită ca
EEU O", "p (t)
R. (t) ° 0 dacă I. ї 8 .
Aici y1 (r,. este probabilitatea de a aloca un dispozitiv pentru a deservi o aplicație primită de QS în starea .:
O(i+1)(.+1) - 8, O(i
2)(}+1) -2)(!+1)
durate: Tobsl1 (t) și Tobsl2 (t), ras- i \u003d 0,1 ..., K -1, . \u003d 0,1 ..., K -1.
limitat exponențial cu parametrii ^1 (t) și, respectiv, ^2 (t). Dacă în
În acest moment, nu există posibilitatea de a selecta două canale, atunci timpul de serviciu al cererii este distribuit exponențial cu parametrul
t(t). Când o solicitare se apropie de canalele de service în starea B, trecerea la deservirea individuală este admisibilă când
prezența posibilității statului I (
Durata medie de funcționare a unei aplicații care a intrat în QS în acest moment
T, poate fi definit în termeni de uv(T) ca
Tbl (t) \u003d UV (t) Tm (t) + Tbs 2 (t).
Distribuirea timpului de rezidență virtual al aplicației în QS
u (x, m) \u003d P (Tpreb (t)< х)
se determină folosind expresiile obținute anterior pentru funcțiile de distribuție a timpului de așteptare și a timpului de serviciu
vanatii ca mine,
2^2 (m) Em^^(m)^^) (x) +
ЕЕi М)) рї (t)
și (x, m | (^ .)) =
1 - e-M1(t)x
y (1 - e-t (t) x) - + y2 (1 - e
(1 - e ^m(t)x),
O(i+1)(.+1) - 8, O(i+ 2)(.+1) ї 8’
О(і+1)(.+1) - 8’ О(і+2)(.+1) - 8,
r = 0,1,...^-1, . = 0'l'...'N-1.
Pentru alte stări, formulele funcției de distribuție condiționată sunt scrise prin analogie cu formulele pentru
W (x^| (n, k, m)) folosind indexarea cu trei caractere. Mai jos sunt date pentru primele trei stări de ocupare deplină a canalelor:
Până la intrarea cererii, nu există nicio coadă, dar toate canalele sunt ocupate:
u (x^| (n, k, m)) = u (x^ | (NN - g, 0)) =
(x), 0 £ g £ q;
Până la intrarea aplicației, există o aplicație în coadă:
R. (t) ° 0 dacă I. ї 8 .
Aici u (x^| (r,.)) este funcția de distribuție condiționată a timpului petrecut în QS a unei anumite cereri, cu condiția ca în momentul sosirii ei să prindă sistemul în starea ..
Pentru statele cu canale gratuite, timpul de rezidență în QS coincide cu timpul de serviciu:
Până la intrarea aplicației, există două aplicații în coadă:
și (x, m | (m, m - ^2))
(m)(m^)H (m)(m^+1)
(t)(t - g) ccm (t)
(t)(t - g) CCM (t)
Durata medie de rezidență virtuală a unei aplicații în QS este definită ca
Tpreb ^) \u003d Tobsl (t) + Identitate (t) .
Un exemplu de utilizare a modelului QS
Funcționarea complexului de producție al unuia dintre aeroporturile hub regional din Europa de Est în timpul zilei este simulată la efectuarea unei operațiuni tehnologice separate pentru deservirea aeronavelor care sosesc. Ca date inițiale pentru modelare, dependențele de timp ale intensității medii a fluxului de aeronave care sosesc
pe serviciu, i(t) și intensitate
întreținerea aeronavei printr-un mijloc t1 (t) .
După cum rezultă din date
graficul dependenței site-ului aeroportului i(t)
(Fig. 3a), sosirea VS se caracterizează printr-o neuniformitate semnificativă: în timpul zilei se observă patru maxime de intensitate, corespunzătoare a patru „valuri”
noi» zboruri sosire-plecare. Valorile de vârf 1(t) pentru „valurile” principale ajung la 25-30 VS/h.
Pe fig. 3 și este afișată și o diagramă a dependenței t (t). Se presupune că nu
doar intensitatea fluxului de aeronave, dar și intensitatea serviciului acestora este o funcție de timp și depinde de faza „valului”. Cert este că, pentru a reduce timpul mediu de transfer de pasageri, orarul aeroportului hub este construit în așa fel încât „valul” să fie inițiat de sosiri de aeronave mari de pasageri, a căror întreținere necesită multă timp, și completat de sosiri de aeronave mici. În exemplu, se presupune că durata medie a operațiunii cu un singur instrument, care este de 20 de minute pentru cea mai mare parte a zilei, în stadiul inițial al „valului” crește la 25 de minute. și se reduce în etapa finală la 15 minute. Astfel, patru intervale cu
nivelul inferior t(t) din fig. 3a corespund fazelor inițiale ale „valurilor” când predomină sosiri de avioane mari. La rândul lor, patru intervale de creștere
nivel m ^) cad pe finala
faze de „valuri” cu predominanţă a aeronavelor mici.
Rezultatele simulării sunt descrise mai jos, care permit evaluarea eficienței sistemului. Pe fig. 3b-3d arată dependențele de timp ale valorilor medii ale numărului de canale ocupate Nz ^),
numărul total de aplicații în sistemul MOH ^) și
lungimi de coadă Moj (7) obținute pentru două valori limită de probabilitate n1 = 0 și n1 = 1 cu următoarele caracteristici de proiectare: N = 10; K = 40; la = 1,75 . Judecând după graficul de dependență Nz (t)
(Fig. 3b), în cea mai mare parte a intervalului zilnic de timp, ocuparea canalelor de deservire ale sistemului rămâne scăzută, ceea ce este o consecință a nestationarității intrării.
fluxul de aeronave. Sarcina mare (60-80%) se realizează numai în timpul celui de-al doilea „val” de sosiri și plecări, iar opțiunea n1 = 0 pentru valori mari de 1(t) determină o sarcină mai mare asupra sistemului și pentru valori mici. din 1(t) - mai puțin
comparativ cu varianta n1 = 1. În acelaşi timp, ca
simularea a arătat că probabilitatea de defecțiune în sistemul luat în considerare pentru ambele opțiuni este neglijabilă.
Compararea graficelor de dependență
M3 ^) și Mozh ^) (Fig. 3c și, respectiv, 3d) ne permit să concluzionam că în QS la n1 = 0 există mai puține solicitări în medie și se așteaptă să fie deservite mai multe cereri decât la n1 = 1. Această contradicție se explică prin faptul că fiecare revendicare primită de QS, care în cazul lui n1 = 0 ocupă două
canal, lasă mai puține canale gratuite pentru următorii clienți, forțându-i să creeze o coadă mai mare decât în cazul respectiv
n1 = 1. În același timp, utilizarea în grup a canalelor, reducând timpul de service, determină o scădere a numărului total de cereri deservite și în așteptare. Deci, în exemplul luat în considerare, timpul mediu zilnic de serviciu
pentru opțiunea n1 = 1 este 20 min., iar pentru
opțiunea n1 = 0 - 11,7 min.
Modelul considerat mai sus face posibilă rezolvarea problemelor legate de căutarea managementului optim al calității serviciului de transport. Pe fig. 3e, 3f prezintă unele rezultate ale rezolvării acestui gen de probleme, al căror sens este explicat mai jos pe exemplul aeroportului considerat.
Chiar și în timpul sarcinilor de vârf, lungimea medie a cozii, care nu depășește 0,6 aeronave în exemplul considerat (Fig. 3d), nu garantează că timpul de așteptare în coadă va fi acceptabil pentru marea majoritate a aeronavelor. Un timp mediu mic de așteptare cu un timp mediu satisfăcător pentru efectuarea unei operațiuni de service
De asemenea, nu exclude posibilitatea unui timp de nefuncționare inacceptabil de lung pentru întreținerea aeronavei individuale. Luați în considerare un exemplu când calitatea serviciului aeroportuar este supusă unor cerințe atât în ceea ce privește asigurarea unor valori satisfăcătoare ale timpului de așteptare a serviciului, cât și în ceea ce privește timpul petrecut în sistem. Vom presupune că mai mult de 90% din aeronave ar trebui să fie inactiv pentru întreținere pentru mai puțin de 40 de minute, iar timpul de așteptare pentru întreținere pentru aceeași proporție de aeronave ar trebui să fie mai mic de 5 minute. Folosind notația introdusă mai sus, aceste cerințe pentru calitatea serviciului aeroportuar pot fi scrise ca inegalități:
P (Tpreb (t)< 40мин)>09, P (Iden (t)< 5мин)> 09
Pe fig. 3e, 3f arată dependențele de timp ale probabilităților P (Tpreb (/)< 40мин)
și P (de asemenea (")< 5 мин) для интервала времени
460-640 min. de la începutul zilei model corespunzătoare celui de-al doilea „val” de sosiri.
După cum se poate observa din figuri, opțiunea n1 = 1 nu este
furnizează fiabilitatea timpului de serviciu estimat: necesarul de timp de serviciu dat de condiție
P (Tpreb (t)< 40мин)>09 , se desfășoară doar pe o perioadă scurtă de 530560 minute, corespunzătoare sosirilor de mici
Soare. La rândul său, varianta n1 = 0 nu oferă fiabilitatea calculată în ceea ce privește timpul de așteptare în coadă: în intervalul de sosiri a aeronavelor mari (500-510 min.)
Orez. 3. Rezultate simulare 262
condiția P este îndeplinită (Tozh (t)< 5мин) > 0.9.
După cum a arătat simularea, calea de ieșire din această situație poate fi alegerea
opțiunea de compromis у1 » 0.2. În practică, această opțiune înseamnă că serviciile aeroportuare ar trebui să aloce două fonduri pentru întreținerea nu tuturor aeronavelor, ci doar a celor selectate pe o anumită bază, de exemplu,
capacitatea de pasageri. Aici y1 joacă un rol
un parametru care vă permite să controlați performanța QS: timpul de așteptare pentru o aplicație în coadă și timpul în care aplicația rămâne în QS sau timpul de service.
Astfel, sistemul luat în considerare, care utilizează unul sau două canale simultan pentru a deservi o solicitare, este un caz particular, dar semnificativ practic, al unui QS cu
asistenta reciproca a canalelor. Utilizarea unui model dinamic al unui astfel de QS permite stabilirea și rezolvarea diferitelor sarcini de optimizare, inclusiv multicriteriale, legate nu numai de gestionarea numărului total de fonduri, ci și de asistența reciprocă a acestora. Astfel de sarcini sunt relevante în special pentru aeroporturile hub, care sunt saturate de facilități, cu fluxurile lor de zbor nestaționare și cu intensitatea fluctuantă a serviciilor. Astfel, modelul QS-ului considerat este un instrument de analiză și optimizare a parametrilor unei clase atât de promițătoare de aeroporturi ca hub-uri.
Lista bibliografică
1. Bocharov, P.P. Teoria coadă [Text] / P.P. Bocharov, A.V. Pechinkin. - M.: Editura Universității RUDN, 1995. - 529 p.
MODEL DE SISTEM DE COZI DE COZI CU FLUXURI NESTAȚIONARE ȘI ASISTENȚĂ RECIPROCĂ PARȚIALĂ ÎNTRE CANALE
© 2011 V. A. Romanenko
Universitatea Aerospațială de Stat din Samara poartă numele academicianului S. P. Korolyov (Universitatea Națională de Cercetare)
Este descris un model dinamic de sistem de așteptare multicanal cu fluxuri nestaționare, așteptare într-o coadă de lungime limitată și asistență reciprocă parțială a canalelor exprimată în oportunitatea deservirii simultane a unui client pe două canale. Sunt date expresii pentru caracteristicile de bază probabilitate-timp ale sistemului. Sunt descrise rezultatele modelării funcționării unui aeroport hub ca exemplu de sistem discutat.
Sistem de așteptare, flux non-staționar, asistență reciprocă între canale, aeroport hub.
Informații despre autor Romanenko Vladimir Alekseevich, Ph.D. E-mail: [email protected] Interese de cercetare: optimizarea și modelarea sistemului de servicii de transport al aeroportului hub.
Romanenko Vladimir Alexeevitch, candidat la științe tehnice, profesor asociat, doctorat la departamentul de organizare și management al transporturilor, Universitatea Aerospațială de Stat Samara, numit după academicianul S. P Korolyov (Universitatea Națională de Cercetare). [email protected].ru. Domeniul de cercetare: optimizarea și simularea unui sistem de servicii de transport aeroportuar hub.
Până acum, am luat în considerare doar acele QS-uri în care fiecare revendicare poate fi deservită de un singur canal; canalele inactive nu pot „ajuta” pe unul ocupat în serviciu.
În general, acesta nu este întotdeauna cazul: există sisteme de așteptare în care aceeași cerere poate fi deservită simultan de două sau mai multe canale. De exemplu, aceeași mașină eșuată poate servi doi lucrători simultan. O astfel de „asistență reciprocă” între canale poate avea loc atât în QS deschis, cât și în cel închis.
Atunci când luăm în considerare CMO cu asistență reciprocă între canale, trebuie luați în considerare doi factori:
1. Cu cât este mai rapid serviciul unei aplicații când nu funcționează pe ea una, ci mai multe canale simultan?
2. Care este „disciplina ajutorului reciproc”, adică când și cum preiau mai multe canale serviciul aceleiași cereri?
Să luăm în considerare prima întrebare. Este firesc să presupunem că, dacă mai mult de un canal, dar mai multe canale, lucrează la deservirea unei cereri, intensitatea fluxului de serviciu nu va scădea odată cu creșterea k, adică va fi o anumită funcție nedescrescătoare a numărului k. a canalelor de lucru. Să notăm această funcție.Forma posibilă a funcției este prezentată în fig. 5.11.
Evident, o creștere nelimitată a numărului de canale care funcționează simultan nu duce întotdeauna la o creștere proporțională a ratei de serviciu; este mai firesc să presupunem că, la o anumită valoare critică, o nouă creștere a numărului de canale ocupate nu mai crește intensitatea serviciului.
Pentru a analiza funcționarea unui QS cu asistență reciprocă între canale, este necesar, în primul rând, să se stabilească tipul funcției
Cel mai simplu caz de investigare va fi cazul când funcția crește proporțional cu k când a rămâne constantă și egală când a (vezi Fig. 5.12). Dacă, în plus, numărul total de canale care se pot ajuta reciproc nu depășește
Să trecem acum la a doua întrebare: disciplina ajutorului reciproc. Cel mai simplu caz al acestei discipline îl vom desemna condiționat drept „toți ca unul”. Aceasta înseamnă că atunci când apare o aplicație, toate canalele încep să o difuzeze simultan și rămân ocupate până când serviciul acestei aplicații se termină; apoi toate canalele trec la deservirea unei alte cereri (dacă aceasta există) sau așteaptă apariția acesteia dacă nu există etc. Evident, în acest caz, toate canalele funcționează ca unul singur, QS-ul devine monocanal, dar cu un serviciu mai mare intensitate.
Se pune întrebarea: este benefic sau dezavantajos să se introducă o astfel de asistență reciprocă între canale? Răspunsul la această întrebare depinde de intensitatea fluxului de aplicații, ce tip de funcție, ce tip de QS (cu defecțiuni, cu o coadă), ce valoare este aleasă ca caracteristică a eficienței serviciului.
Exemplul 1. Există un QS cu trei canale cu defecțiuni: intensitatea fluxului de aplicații (aplicații pe minut), timpul mediu de service al unei aplicații pe un canal (min), funcția „? Este benefic din punctul de vedere al reducerii timpului mediu de rezidență al unei aplicații în sistem?
Soluția a. Fără ajutor reciproc
Prin formulele Erlang (vezi § 4) avem:
Capacitatea relativă a QS;
Lățime de bandă absolută:
Timpul mediu de rezidență al unei cereri în QS se găsește ca probabilitatea ca cererea să fie acceptată pentru serviciu, înmulțită cu timpul mediu de serviciu:
Esența (min).
Nu trebuie uitat că acest timp mediu se aplică tuturor solicitărilor - atât deservite, cât și neservite. S-ar putea să fim interesați de timpul mediu în care o solicitare deservită va rămâne în sistem. De data aceasta este:
6. Cu ajutor reciproc.
Timpul mediu de rezidență al unei cereri în CMO:
Timpul mediu de rezidență al unei cereri deservite în QS:
Astfel, în prezența asistenței reciproce „toți ca unul”, debitul SMO a scăzut considerabil. Acest lucru se datorează unei creșteri a probabilității de eșec: în timp ce toate canalele sunt ocupate cu o aplicație, alte aplicații pot veni și, desigur, pot fi refuzate. În ceea ce privește timpul mediu de rezidență al unei aplicații în OCM, acesta, așa cum era de așteptat, a scăzut. Dacă, din anumite motive, ne străduim să reducem timpul pe care aplicația îl petrece în QS în toate modurile posibile (de exemplu, dacă rămânerea în QS este periculoasă pentru aplicație), se poate dovedi că, în ciuda scăderii debitului, va fi totuși benefic să combinați cele trei canale într-unul singur.
Să luăm acum în considerare impactul asistenței reciproce „toți ca unul” asupra activității CMO cu așteptări. Pentru simplitate, luăm doar cazul unei cozi nelimitate. Desigur, nu va exista nicio influență a asistenței reciproce asupra debitului QS în acest caz, deoarece în orice condiții vor fi servite toate aplicațiile primite. Se pune întrebarea despre influența asistenței reciproce asupra caracteristicilor așteptării: lungimea medie a cozii, timpul mediu de așteptare, timpul mediu petrecut în QS.
În virtutea formulelor (6.13), (6.14) § 6 pentru serviciul fără asistență reciprocă, numărul mediu de clienți în coadă va fi
timpul mediu de așteptare:
și timpul mediu petrecut în sistem:
Dacă se utilizează asistență reciprocă de tip „toți ca unul”, atunci sistemul va funcționa ca un sistem cu un singur canal cu parametri
iar caracteristicile sale sunt determinate de formulele (5.14), (5.15) § 5:
Exemplul 2. Există un QS cu trei canale cu o coadă nelimitată; intensitatea fluxului de aplicații (aplicații pe min.), timp mediu de serviciu Funcție Beneficiar în vederea:
Lungimea medie a cozii
Timp mediu de așteptare pentru service,
Timpul mediu de rezidență al unei cereri în CMO
introduceți asistență reciprocă între canale precum „toți ca unul”?
Soluția a. Fără ajutor reciproc.
Prin formulele (9.1) - (9.4) avem
(3-2)
b. Cu ajutor reciproc
Prin formulele (9.5) - (9.7) găsim;
Astfel, lungimea medie a cozii și timpul mediu de așteptare în coadă în cazul asistenței reciproce este mai mare, dar timpul mediu pe care aplicația îl petrece în sistem este mai mic.
Din exemplele luate în considerare este clar că asistența reciprocă între k? Tipul de numerar „toți ca unul”, de regulă, nu contribuie la creșterea eficienței serviciului: timpul petrecut de o aplicație în QS scade, dar alte caracteristici ale serviciului se deteriorează.
Prin urmare, este de dorit să se schimbe disciplina de serviciu, astfel încât asistența reciprocă între canale să nu interfereze cu acceptarea de noi cereri de serviciu dacă acestea apar în timpul în care toate canalele sunt ocupate.
Să numim condiționat „asistență reciprocă uniformă” următorul tip de asistență reciprocă. Dacă cererea ajunge în momentul în care toate canalele sunt gratuite, atunci toate canalele sunt acceptate pentru serviciul său; daca in momentul deservirii cererii mai ajunge una, unele dintre canale trec la deservirea acesteia; dacă, în timp ce aceste două cereri sunt servite, sosește alta, unele dintre canale sunt comutate pentru a le servi și așa mai departe, până când toate canalele sunt ocupate; dacă da, cererea nou sosită este respinsă (într-un QS cu refuzuri) sau pusă în coadă (într-un QS cu așteptare).
Cu această disciplină a asistenței reciproce, cererea este respinsă sau pusă la coadă numai atunci când nu este posibilă deservirea ei. În ceea ce privește „timpul” al canalelor, acesta este minim în aceste condiții: dacă există cel puțin o aplicație în sistem, toate canalele funcționează.
Am menționat mai sus că, atunci când apare o nouă solicitare, unele dintre canalele ocupate sunt eliberate și trec la deservirea cererii nou sosite. Care parte? Depinde de tipul funcției.Dacă are forma unei relații liniare, așa cum se arată în fig. 5.12, și nu contează ce parte a canalelor să aloce pentru deservirea unei cereri nou primite, atâta timp cât toate canalele sunt ocupate (atunci intensitatea totală a serviciilor pentru orice distribuție a canalelor pe cereri va fi egală cu ). Se poate demonstra că dacă curba este convexă în sus, așa cum se arată în Fig. 5.11, atunci trebuie să distribuiți canalele între aplicații cât mai uniform posibil.
Să luăm în considerare munca -canal QS cu asistență reciprocă „uniformă” între canale.
Formularea problemei. La intrare n-canalul QS primește cel mai simplu flux de cereri cu densitatea λ. Densitatea celui mai simplu flux de serviciu al fiecărui canal este egală cu μ. Dacă o solicitare primită pentru service găsește toate canalele libere, atunci este acceptată pentru service și deservită simultan l canale ( l < n). În acest caz, fluxul de servicii al unei cereri va avea o intensitate l.
Dacă o solicitare primită pentru service găsește o solicitare în sistem, atunci n ≥ 2l aplicația nou sosită va fi acceptată pentru service și va fi deservită simultan l canale.
Dacă o cerere primită pentru service se găsește în sistem i aplicatii ( i= 0,1, ...), în timp ce ( i+ 1)l≤ n, atunci cererea primită va fi deservită l canale cu o capacitate totală l. Dacă o aplicație recent primită se găsește în sistem j cereri, iar două inegalități sunt satisfăcute simultan: ( j + 1)l > nși j < n, atunci cererea va fi acceptată pentru service. În acest caz, unele aplicații pot fi servite l canale, cealaltă parte mai mică decât l, număr de canale, dar toate n canale care sunt distribuite aleatoriu între aplicații. Dacă în sistem se găsește o aplicație nou primită n cereri, este respinsă și nu va fi comunicată. O aplicație care a fost deservită este deservită până la capăt (aplicațiile sunt „pacient”).
Graficul de stare al unui astfel de sistem este prezentat în Fig. 3.8.
Orez. 3.8. Graficul de stare QS cu defecțiuni și parțiale
asistență reciprocă între canale
Rețineți că graficul de stare al sistemului până la stare X h coincide cu graficul de stare al sistemului clasic de așteptare cu defecțiuni, prezentat în Fig. 2, până la notarea parametrilor de curgere. 3.6.
Prin urmare,
(i
= 0, 1, ..., h).
Graficul stărilor sistemului, pornind de la stare X hși terminând cu statul X n, coincide până la notare cu graficul de stare al QS cu asistență reciprocă deplină, prezentat în Fig. 3.7. Prin urmare,
.
Introducem notatia λ / lμ = ρ l ; λ / nμ = χ, atunci
Ținând cont de starea normalizată, obținem
Pentru a scurta notația suplimentară, introducem notația
Găsiți caracteristicile sistemului.
Probabilitatea serviciului de aplicație
Numărul mediu de aplicații din sistem,
Canale ocupate în medie
.
Probabilitatea ca un anumit canal să fie ocupat
.
Probabilitatea de ocupare a tuturor canalelor sistemului
3.4.4. Sisteme de așteptare cu defecțiuni și fluxuri neomogene
Formularea problemei. La intrare n-canalul QS primește un flux elementar neomogen cu o intensitate totală λ Σ , și
λ Σ
=
,
unde λ i- intensitatea aplicatiilor in i-m sursă.
Deoarece fluxul de cereri este considerat ca o suprapunere a cerințelor din diverse surse, fluxul combinat cu suficientă precizie pentru practică poate fi considerat Poisson pentru N = 5...20 și λ i ≈ λ i +1 (i1,N). Intensitatea de serviciu a unui dispozitiv este distribuită conform legii exponențiale și este egală cu μ = 1/ t. Dispozitivele de service pentru întreținerea unei aplicații sunt conectate în serie, ceea ce echivalează cu creșterea timpului de service de atâtea ori câte dispozitive sunt combinate pentru întreținere:
t obs = kt, μ obs = 1 / kt = μ/ k,
Unde t obs – cerere timp service; k- numărul de dispozitive de service; μ obs - intensitatea serviciului de aplicație.
În cadrul ipotezelor făcute în Capitolul 2, reprezentăm starea QS ca un vector , unde k m este numărul de solicitări din sistem, fiecare dintre acestea fiind deservită m aparate; L = q max- q min +1 este numărul de fluxuri de intrare.
Apoi numărul de dispozitive ocupate și libere ( n zan ( 
),n sv ( 
)) in conditie 
este definită după cum urmează:
In afara statului 
sistemul poate merge în orice altă stare 
. Din moment ce sistemul are L fluxuri de intrare, apoi din fiecare stare este posibil posibil L tranziții directe. Cu toate acestea, din cauza resurselor limitate ale sistemului, nu toate aceste tranziții sunt fezabile. Lăsați QS-ul să fie în stare 
și sosește o aplicație care solicită m aparate. În cazul în care un m≤ n sv ( 
), atunci cererea este acceptată pentru service și sistemul intră într-o stare cu intensitatea λ m. Dacă aplicația necesită mai multe dispozitive decât sunt gratuite, atunci va primi un refuz de serviciu, iar QS-ul va rămâne în stare 
. Dacă se poate 
există aplicații care necesită m dispozitive, apoi fiecare dintre ele este deservit cu intensitatea m, și intensitatea totală a deservirii unor astfel de solicitări (μ m) este definit ca μ m
= k m μ
/ m. Când serviciul uneia dintre solicitări este finalizat, sistemul va intra într-o stare în care coordonatele corespunzătoare are o valoare cu una mai mică decât în stare 
,
=, adică va avea loc tranziția inversă. Pe fig. 3.9 prezintă un exemplu de model vectorial QS pentru n
= 3, L
= 3, q min = 1, q max=3, P(m) = 1/3, λ Σ = λ, intensitatea întreținerii instrumentului este μ.
Orez. 3.9. Un exemplu de grafic al modelului vectorial QS cu refuz de serviciu
Deci fiecare stat 
caracterizat prin numărul de cereri deservite de un anumit tip. De exemplu, într-o stare 
o revendicare este deservită de un dispozitiv și o revendicare de două dispozitive. În această stare, toate dispozitivele sunt ocupate, prin urmare, sunt posibile doar tranzițiile inverse (sosirea oricărui client în această stare duce la refuzul serviciului). Dacă serviciul cererii de primul tip s-a încheiat mai devreme, sistemul va trece la starea 
(0,1,0) cu intensitatea μ, dar dacă serviciul celui de-al doilea tip de solicitare s-a încheiat mai devreme, atunci sistemul va intra în stare 
(0,1,0) cu intensitatea μ/2.
Un sistem de ecuații algebrice liniare este compilat din graficul stărilor cu intensități de tranziție aplicate. Din rezolvarea acestor ecuații se găsesc probabilitățile R(
), prin care se determină caracteristica QS.
Luați în considerare găsirea R otk (probabilitate de refuz de serviciu).
,
Unde S este numărul de stări ale graficului modelului vectorial QS; R(
) este probabilitatea ca sistemul să fie în stare 
.
Numărul de stări conform este definit după cum urmează:
,
(3.22)
;
Să determinăm numărul de stări ale modelului vectorial QS conform (3.22) pentru exemplul prezentat în Fig. 3.9.
.
Prin urmare, S = 1 + 5 + 1 = 7.
Pentru a implementa cerințe reale pentru dispozitivele de service, un număr suficient de mare de n
(40, ..., 50), iar cererile pentru numărul de dispozitive de service ale aplicației se află în practică în intervalul 8-16. Cu un asemenea raport de instrumente și cereri, modalitatea propusă de găsire a probabilităților devine extrem de greoaie, întrucât Modelul vectorial QS are un număr mare de stări S(50)
= 1790, S(60)
= 4676, S(70) = 11075, iar dimensiunea matricei de coeficienți a sistemului de ecuații algebrice este proporțională cu pătratul S, care necesită o cantitate mare de memorie de computer și o cantitate semnificativă de timp de calculator. Dorința de a reduce cantitatea de calcul a stimulat căutarea posibilităților de calcul recurente R(
) bazate pe forme multiplicative de reprezentare a probabilităţilor de stare. Lucrarea prezintă o abordare a calculului R(
):
(3.23)
Utilizarea criteriului de echivalență a balanțelor globale și detaliate ale lanțurilor Markov propuse în lucrare face posibilă reducerea dimensiunii problemei și efectuarea de calcule pe un computer de putere medie folosind recurența calculelor. În plus, există posibilitatea:
– calculați pentru orice valoare n;
– accelerați calculul și reduceți costul timpului mașinii.
Alte caracteristici ale sistemului pot fi definite în mod similar.
Să luăm în considerare un sistem de așteptare multicanal (există n canale în total), în care cererile ajung cu o rată de λ și sunt deservite cu o rată de μ. O solicitare care a ajuns în sistem este deservită dacă cel puțin un canal este liber. Dacă toate canalele sunt ocupate, atunci următoarea solicitare care intră în sistem este respinsă și părăsește QS-ul. Numerotăm stările sistemului după numărul de canale ocupate:
- S 0 – toate canalele sunt gratuite;
- S 1 – un canal este ocupat;
- S 2 – două canale sunt ocupate;
- Sk- ocupat k canale;
- Sn– toate canalele sunt ocupate.
Orez. 7.24
Figura 6.24 prezintă un grafic de stare în care Si– numărul canalului; λ este intensitatea primirii cererilor; μ
- respectiv, intensitatea cererilor de service. Aplicațiile intră în sistemul de așteptare cu o intensitate constantă și ocupă treptat canalele unul după altul; când toate canalele sunt ocupate, următoarea cerere care ajunge la QS va fi respinsă și va părăsi sistemul.
Să determinăm intensitățile fluxurilor de evenimente care transferă sistemul de la o stare la alta atunci când se deplasează atât de la stânga la dreapta, cât și de la dreapta la stânga de-a lungul graficului stării.
De exemplu, lăsați sistemul să fie în stare S 1, adică un canal este ocupat, deoarece există o revendicare la intrarea lui. Imediat ce cererea este procesată, sistemul va trece la starea S 0 .
De exemplu, dacă două canale sunt ocupate, atunci fluxul de servicii care transferă sistemul din stat S 2 pe stat S 1 va fi de două ori mai intens: 2-μ; respectiv, dacă este ocupat k canale, intensitatea este egală cu k-μ.
Procesul de serviciu este un proces de moarte și reproducere. Ecuațiile Kolmogorov pentru acest caz particular vor avea următoarea formă:
(7.25)
Se numesc ecuațiile (7.25). Ecuații Erlang
.
Pentru a afla valorile probabilităților stărilor R 0 , R 1 , …, Rn, este necesar să se determine condițiile inițiale:
– R 0 (0) = 1, adică există o solicitare la intrarea sistemului;
– R 1 (0) = R 2 (0) = … = Rn(0) = 0, adică la momentul inițial sistemul este liber.
După integrarea sistemului de ecuații diferențiale (7.25), obținem valorile probabilităților de stare R 0 (t), R 1 (t), … Rn(t).
Dar ne interesează mult mai mult probabilitățile limitative ale stărilor. Ca t → ∞ și folosind formula obținută în considerarea procesului de moarte și reproducere, obținem soluția sistemului de ecuații (7.25):
(7.26)
În aceste formule, raportul de intensitate λ / μ
la fluxul de aplicaţii este convenabil să se desemneze ρ
.Această valoare este numită intensitatea redusă a fluxului de aplicații, adică numărul mediu de aplicații care sosesc în QS pentru timpul mediu de serviciu al unei aplicații.
Ținând cont de notația de mai sus, sistemul de ecuații (7.26) ia următoarea formă:
(7.27)
Aceste formule pentru calcularea probabilităților marginale sunt numite Formule Erlang
.
Cunoscând toate probabilitățile stărilor QS, găsim caracteristicile de eficiență QS, adică debitul absolut DAR, debit relativ Qși probabilitatea de eșec R deschis
O solicitare care intră în sistem va fi respinsă dacă găsește că toate canalele sunt ocupate:
.
Probabilitatea ca cererea să fie acceptată pentru serviciu:
Q = 1 – R bine,
Unde Q este ponderea medie a cererilor primite deservite de sistem sau numărul mediu de cereri deservite de QS pe unitatea de timp, împărțit la numărul mediu de cereri primite în acest timp:
A=λ Q=λ (1-P deschis)
În plus, una dintre cele mai importante caracteristici ale QS cu eșecuri este canale medie ocupate. LA n-canal QS cu defecțiuni, acest număr coincide cu numărul mediu de aplicații din QS.
Numărul mediu de aplicații k poate fi calculat direct în funcție de probabilitățile stărilor Р 0 , Р 1 , … , Р n:
,
adică găsim așteptarea matematică a unei variabile aleatoare discrete care ia o valoare de la 0 la n cu probabilităţi R 0 , R 1 , …, Rn.
Este chiar mai ușor de exprimat valoarea lui k în termeni de debit absolut al QS, adică. A. Valoarea lui A este numărul mediu de aplicații care sunt deservite de sistem pe unitatea de timp. Un canal ocupat servește μ solicitări pe unitate de timp, apoi numărul mediu de canale ocupate
În marea majoritate a cazurilor, în practică, sistemul de așteptare este multicanal, adică mai multe aplicații pot fi deservite în paralel și, prin urmare, ,
modele de canale de servicii(unde numărul de canale de servicii n>1) prezintă un interes indubitabil.
Procesul de așteptare descris de acest model este caracterizat de intensitatea fluxului de intrare λ, în timp ce nu mai mult de n clienți (aplicații). Durata medie de utilizare a unei aplicații este egală cu 1/μ. Modul de funcționare al unuia sau altui canal de serviciu nu afectează modul de funcționare al altor canale de serviciu ale sistemului, iar durata procedurii de serviciu pentru fiecare dintre canale este o variabilă aleatorie guvernată de o lege de distribuție exponențială. Scopul final al utilizării canalelor de servicii conectate în paralel este de a crește (comparativ cu un sistem cu un singur canal) viteza cerințelor de întreținere prin întreținerea simultană. n clientii.
Soluția staționară a sistemului are forma:
;
Unde, .
Se numesc formule pentru calcularea probabilităților Formule Erlang.
Să determinăm caracteristicile probabilistice ale funcționării unui QS multicanal cu defecțiuni într-un mod staționar:
probabilitatea de eșec:
.
deoarece aplicația este respinsă dacă ajunge într-un moment în care toate canalele sunt ocupate. Valoare R otk caracterizează caracterul complet al serviciului fluxului de intrare;
probabilitatea ca cererea să fie acceptată pentru comunicare(este, de asemenea, debitul relativ al sistemului) complemente R otk pana la unu:
.
lățime de bandă absolută
numărul mediu de canale ocupate de serviciu() următoarele:
Valoarea caracterizează gradul de încărcare a QS.
Exemplu. Lasa n-canal QS este un centru de calcul (CC) cu trei ( n=3) PC-uri interschimbabile pentru rezolvarea sarcinilor primite. Fluxul sarcinilor care ajung la CC are o intensitate de λ=1 sarcină pe oră. Durata medie a serviciului t aproximativ =1,8 ore.
Este necesar să se calculeze valorile:
- probabilitățile numărului de canale CC ocupate;
- probabilitatea refuzului de a comunica cererea;
- capacitatea relativă a CC;
- capacitatea absolută a CC;
- numărul mediu de PC-uri angajați la CC.
Stabiliți cât de mult PC suplimentar trebuie să cumpărați pentru a crește de 2 ori debitul centrului de calculatoare.
Decizie.
Să definim parametrul μ al fluxului de serviciu:
.
Intensitatea redusă a fluxului de aplicații
.
Găsim probabilitățile limită ale stărilor folosind formulele Erlang:
Probabilitatea refuzului de a deservi cererea
.
Debit relativ al VC
.
Debit absolut al CC:
.
Număr mediu de canale ocupate - PC
Astfel, în modul stabilit de funcționare al QS-ului, în medie, 1,5 computere din trei vor fi ocupate - restul de unul și jumătate va fi inactiv. Activitatea CC considerată cu greu poate fi considerată satisfăcătoare, deoarece centrul nu deservește aplicațiile în medie în 18% din cazuri (Р 3 = 0,180). Este evident că capacitatea centrului de calcul pentru λ și μ dat poate fi crescută doar prin creșterea numărului de computere.
Să stabilim cât de mult este necesar să folosiți un computer pentru a reduce de 10 ori numărul de solicitări neservite care ajung la CC, adică. astfel încât probabilitatea de eșec în rezolvarea problemelor să nu depășească 0,0180. Pentru a face acest lucru, folosim formula pentru probabilitatea de eșec:
Să facem următorul tabel:
| n | ||||||
| P 0 | 0,357 | 0,226 | 0,186 | 0,172 | 0,167 | 0,166 |
| P deschis | 0,673 | 0,367 | 0,18 | 0,075 | 0,026 | 0,0078 |
Analizând datele din tabel, trebuie menționat că extinderea numărului de canale CC pentru valorile date de λ și μ la 6 unități PC va asigura satisfacția aplicațiilor pentru rezolvarea problemelor cu 99,22%, deoarece cu n= 6 probabilitate de refuz de serviciu ( R otk) este 0,0078.