نمونه هایی از سیستم های معادلات خطی: روش حل. حل معادلات خطی با مثال نحوه حل یک سیستم معادلات در 3 متغیر

2.3.1. تعریف.

معادلات خطی داده شوند:

آ 1 ایکس + ب 1 y + ج 1 z = د 1 , (2.3.1)

آ 2 ایکس + ب 2 y + ج 2 z = د 2 , (2.3.2)

آ 3 ایکس + ب 3 y + ج 3 z = د 3 . (2.3.3)

اگر نیاز به یافتن جواب کلی معادلات (2.3.1) ¾ (2.3.3) باشد، می گویند که آنها را تشکیل می دهند. سیستم . سیستم متشکل از معادلات (2.3.1) ¾ (2.3.3) به صورت زیر نشان داده می شود:

حل کلی معادلات تشکیل دهنده سیستم نامیده می شود راه حل سیستم . سیستم را حل کنید (2.3.4) ¾ این به معنای یافتن مجموعه ای از تمام راه حل های آن یا اثبات وجود هیچ کدام است.

مانند موارد قبل، در زیر شرایطی را خواهیم یافت که در آن سیستم (2.3.4) دارای یک راه حل منحصر به فرد، دارای بیش از یک راه حل و بدون راه حل است.

2.3.2. تعریف. اجازه دهید سیستم (2.3.4) معادلات خطی داده شود. ماتریس ها

به ترتیب نامیده می شوند ( پایه ای )ماتریس و ماتریس گسترش یافته سیستم های.

2.3.3. تعاریف سیستم های معادل شکل (2.3.4)، و همچنین تبدیل های ابتدایی نوع 1 و 2، به همان روشی که برای سیستم های دو معادله با دو و سه مجهول معرفی شده است.

دگرگونی ابتدایینوع سوم سیستم (2.3.4) مبادله دو معادله این سیستم است. مشابه موارد قبلی سیستم های 2 معادله تحت دگرگونی های ابتدایی سیستم، یک سیستم به دست می آید,معادل این.

2.3.4. یک تمرین. حل سیستم معادلات:

راه حل. آ)

(1) معادلات اول و دوم سیستم را تعویض کرد (تبدیل نوع 3).

(2) معادله اول ضرب در 4 از دومی کم می شود و اولین معادله ضرب در 6 از سوم کم می شود (تبدیل نوع 2). بنابراین مجهول از معادلات دوم و سوم حذف شد ایکس .

(3) معادله دوم ضرب در 14 از معادله سوم کم می شود. ناشناخته از سوم حذف شد y .

(4) از آخرین معادله ای که می یابیم z = 1، با جایگزینی آن به دومی، پیدا می کنیم y = 0. در نهایت، جایگزینی y = 0 و z = 1 در معادله اول پیدا می کنیم ایکس = -2.с

(1) معادلات اول و دوم سیستم را تعویض کرد.

(2) معادله اول ضربدر 4 از دومی کم می شود و معادله اول ضربدر 6 از معادله سوم کم می شود.

(3) معادلات دوم و سوم با هم منطبق شدند. یکی از آنها را از سیستم حذف می کنیم (یا به عبارت دیگر، اگر معادله دوم را از معادله سوم کم کنیم، آنگاه معادله سوم به هویت 0 = 0 تبدیل می شود؛ از سیستم حذف می شود. فرض می کنیم z = آ .

(4) جایگزین z = آ به معادلات دوم و اول

(5) تعویض y = 12 - 12آ در معادله اول می یابیم ایکس .

ج) اگر معادله اول بر 4 و ¾ سوم بر 6 تقسیم شود، به یک سیستم معادل می رسیم.

که معادل معادله است ایکس - 2y - z = -3. راه حل های این معادله شناخته شده است (به مثال 2.2.3 ب) مراجعه کنید.

آخرین برابری در سیستم حاصل متناقض است. بنابراین سیستم هیچ راه حلی ندارد.

تبدیل های (1) و (2) ¾ دقیقاً همان تبدیل های متناظر سیستم b)) است.

(3) معادله دوم را از آخرین معادله کم کنید.

پاسخ: الف) (-2؛ 0؛ 1)؛

ب) (21 - 23 آ ; 12 - 12آ ; آ ), آ Î آر;

ج) ((-3 + 2 آ + ب ; آ ; ب )|آ , ب Î آر};

د) سیستم هیچ راه حلی ندارد.

2.3.5. از مثال های قبلی چنین بر می آید که سیستم با سه مجهولو همچنین سیستمی با دو مجهول، ممکن است تنها یک راه حل داشته باشد, تعداد بی نهایت راه حل و نداشتن یک راه حل واحد. در زیر تمام موارد ممکن را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد. اما ابتدا مقداری نماد را معرفی می کنیم.

تعیین کننده ماتریس سیستم را با D نشان دهید:

با جایگزین کردن ستون اول با ستون اعضای آزاد، تعیین کننده را با D1 نشان دهید:

به همین ترتیب، بگذارید

D 2 = و D 3 = .

2.3.6. قضیه. اگر یک D¹0، سپس سیستم(2.3.4)تنها راه حل را دارد

, , . (2.3.5)

فرمول های (2.3.5) نامیده می شوند فرمول = = 0 برای همه من ¹ j و حداقل یکی از عوامل تعیین کننده , , برابر با صفر نیست, سپس سیستم راه حل ندارد.

4) اگر یک = = = = = = 0 برای همه من ¹ j , سپس سیستم بی نهایت راه حل دارد, بسته به دو پارامتر.

برای سیستم، ما تعیین کننده اصلی را می نویسیم

و آن را محاسبه کنید.

سپس تعیین کننده های اضافی می سازیم

و آنها را محاسبه کنید.

طبق قانون کرامر، راه حل سیستم با فرمول ها پیدا می شود

;
;
، اگر

1)

بیایید محاسبه کنیم:

با فرمول های کرامر در می یابیم:

پاسخ: (1؛ 2؛ 3)

2)

بیایید محاسبه کنیم:

از آنجایی که تعیین کننده اصلی است
، و حداقل یک اضافی برابر با صفر نیست (در مورد ما
، پس سیستم هیچ راه حلی ندارد.

3)

بیایید محاسبه کنیم:

از آنجایی که همه تعیین‌کننده‌ها برابر با صفر هستند، سیستم دارای مجموعه بی‌نهایتی از راه‌حل‌ها است که می‌توان آن‌ها را به صورت زیر یافت.

سیستم های خود را حل کنید:

آ)
ب)

پاسخ: الف) (1؛ 2؛ 5) ب) ;;

درس عملی شماره 3 با موضوع:

حاصل ضرب اسکالر دو بردار و کاربرد آن

1. اگر داده شود
و
، سپس حاصل ضرب اسکالر با فرمول پیدا می شود:

∙

2. اگر، پس حاصل ضرب اسکالر این دو بردار با فرمول پیدا می شود

1. دو بردار داده شده است
و

ما محصول اسکالر آنها را به صورت زیر می یابیم:

.

2. دو بردار داده شده است:

={2;3;–4}
={1; –5; 6}

محصول نقطه ای به صورت زیر یافت می شود:

3.
,

3.1 یافتن کار نیروی ثابت در یک بخش مستقیم از مسیر

1) تحت تأثیر نیروی 15 نیوتن، بدن 2 متر در یک خط مستقیم حرکت کرده است. زاویه بین نیرو و جهت حرکت =60 0 . کار انجام شده توسط نیروی حرکت بدن را محاسبه کنید.

داده شده:

راه حل:

2) با توجه به:

راه حل:

3) جسمی از نقطه M(1؛ 2؛ 3) به نقطه N(5؛ 4؛ 6) تحت تأثیر نیروی 60N حرکت کرد. زاویه بین جهت نیرو و بردار جابجایی =45 0 . کار انجام شده توسط این نیرو را محاسبه کنید.

راه حل: بردار جابجایی را پیدا کنید

مدول بردار جابجایی را پیدا کنید:

طبق فرمول
پیدا کردن کار:

3.2 تعیین متعامد بودن دو بردار

دو بردار متعامد هستند if
، به این معنا که

زیرا

1)

- متعامد نیست

2)

-متعامد

3) بردارهای کدام  را مشخص کنید
و
متعامد متقابل

زیرا
، سپس
، به معنای

خودتان تصمیم بگیرید:

آ)

. محصول اسکالر آنها را پیدا کنید.

ب) محاسبه کنید که نیرو چقدر کار می کند
، اگر نقطه اعمال آن، در یک خط مستقیم حرکت کند، از نقطه M (5; -6; 1) به نقطه N (1; -2; 3) منتقل شده باشد.

ج) متعامد بودن بردارها را مشخص کنید
و

پاسخ ها: الف) 1 ب) 16 ج) بله

3.3 یافتن زاویه بین بردارها

1)

. پیدا کردن .

ما پیدا می کنیم

به فرمول وصل کنید:

.

یک). رئوس مثلث A(3; 2; -3)، B(5; 1; -1)، C(1; -2; 1) داده شده است. زاویه راس A را پیدا کنید.

جایگزین در فرمول:

خودتان تصمیم بگیرید:

رئوس مثلث A(3; 5; -2)، B(5; 7; -1)، C(4; 3; 0) داده شده است. زاویه داخلی راس A را تعیین کنید.

پاسخ: 90 o

درس عملی شماره 4 با موضوع:

محصول وکتور دو وکتور و کاربرد آن.

فرمول یافتن حاصل ضرب دو بردار:

	فرم را دارد

1) ماژول محصول برداری را پیدا کنید:

تعیین کننده را می سازیم و محاسبه می کنیم (طبق قاعده سارروس یا قضیه بسط دترمینان بر حسب عناصر ردیف اول).

روش اول: طبق قانون ساروس

راه دوم: تعیین کننده را با عناصر ردیف اول گسترش دهید.

2) ماژول محصول متقاطع را پیدا کنید:

4.1. محاسبه مساحت متوازی الاضلاع ساخته شده بر روی دو بردار.

1) مساحت متوازی الاضلاع ساخته شده بر روی بردارها را محاسبه کنید

2). محصول متقاطع و مدول آن را پیدا کنید

4.2. محاسبه مساحت مثلث

مثال: با توجه به رئوس مثلث A(1; 0; -1)، B(1; 2; 0)، C(3; -1; 1). مساحت مثلث را محاسبه کنید.

ابتدا مختصات دو بردار خارج شده از یک راس را پیدا می کنیم.

بیایید محصول برداری آنها را پیدا کنیم

4.3. تعیین هم خطی دو بردار

اگر بردار
و
پس خطی هستند

، یعنی مختصات بردارها باید متناسب باشد.

الف) داده های برداری::
,
.

آنها خطی هستند زیرا
و

پس از کاهش هر کسر، نسبت به دست می آید

ب) داده های برداری:

.

آنها خطی نیستند زیرا
یا

خودتان تصمیم بگیرید:

الف) برای چه مقادیری از m و n بردار
خطی؟

پاسخ:
;

ب) حاصل ضرب متقاطع و مدول آن را بیابید
,
.

پاسخ:
,
.

درس عملی شماره 5 با موضوع:

خط مستقیم در هواپیما

کار شماره 1. معادله خط مستقیمی را که از نقطه A (-2; 3) موازی با خط مستقیم می گذرد بیابید.

1. شیب خط مستقیم را پیدا کنید
.

معادله یک خط مستقیم با شیب و مختصات اولیه (
). از همین رو
.

2. از آنجایی که خطوط MN و AC موازی هستند، شیب آنها برابر است، یعنی.
.

3. برای یافتن معادله خط مستقیم AC از معادله خط مستقیمی که از نقطه ای با شیب معین می گذرد استفاده می کنیم:

. در این فرمول به جای و مختصات نقطه A (-2; 3) را جایگزین می کنیم بیایید جایگزین کنیم - 3. در نتیجه تعویض، دریافت می کنیم:

پاسخ:

کار شماره 2. معادله خط مستقیمی را که از نقطه K (1; -2) موازی با خط مستقیم عبور می کند، پیدا کنید.

1. شیب خط مستقیم را پیدا کنید.

این معادله کلی یک خط مستقیم است که به طور کلی با فرمول ارائه می شود. با مقایسه معادلات متوجه می شویم که A \u003d 2، B \u003d -3. شیب خط مستقیم داده شده توسط معادله با فرمول بدست می آید
. با جایگزینی A = 2 و B = -3 در این فرمول، شیب خط مستقیم MN را بدست می آوریم. بنابراین،
.

2. از آنجایی که خطوط MN و KS موازی هستند، شیب آنها برابر است:
.

3. برای یافتن معادله خط مستقیم KS از فرمول معادله یک خط مستقیم که از نقطه ای با شیب معین عبور می کند استفاده می کنیم.
. در این فرمول به جای و ما مختصات نقطه K(-2; 3) را جایگزین می کنیم

کار شماره 3. معادله خط مستقیمی را که از نقطه K (-1; -3) عمود بر خط مستقیم عبور می کند، پیدا کنید.

1. معادله کلی یک خط مستقیم است که به طور کلی با فرمول به دست می آید.

و دریافتیم که A = 3، B = 4.

شیب خط مستقیم داده شده توسط معادله با فرمول بدست می آید:
. با جایگزینی A = 3 و B = 4 در این فرمول، شیب خط مستقیم MN را بدست می آوریم:
.

2. از آنجایی که خطوط MN و KD عمود هستند، شیب آنها معکوس متناسب و مخالف علامت است:

.

3. برای یافتن معادله خط مستقیم KD از فرمول معادله یک خط مستقیم که از نقطه ای با شیب معین عبور می کند استفاده می کنیم.

. در این فرمول به جای و مختصات نقطه K(–1; –3) را جایگزین می کنیم جایگزین کنیم . در نتیجه تعویض، به دست می آوریم:

خودتان تصمیم بگیرید:

1. معادله خط مستقیمی را که از نقطه K (-4؛ 1) موازی با خط مستقیم می گذرد بیابید.
.

پاسخ:
.

2. معادله خط مستقیمی را که از نقطه K (5; -2) موازی با خط مستقیم می گذرد بیابید.
.

3. معادله خط مستقیمی را که از نقطه K (-2; -6) عمود بر خط مستقیم می گذرد بیابید.
.

4. معادله خط مستقیمی را که از نقطه K (7; -2) عمود بر خط مستقیم می گذرد بیابید.
.

پاسخ:
.

5. معادله عمود کاهش یافته از نقطه K (-6; 7) به خط مستقیم را بیابید.
.

سیستمی متشکل از سه معادله خطی با سه مجهول را در نظر بگیرید

a 11، a 12،…، a 33ضرایبی برای مجهولات هستند،

ب 1، ب 2، ب 3- اعضای رایگان

حل کردن سیستم (2.4) به معنای یافتن چنین سه گانه مرتب شده از اعداد است x 1 \u003d c 1, x 2 \u003d c 2, x 3 \u003d c 3,هنگامی که آنها را در معادلات سیستم جایگزین می کنند، دومی به هویت تبدیل می شود.

به سیستم معادلاتی که دارای راه حل (مجموعه منفرد یا نامتناهی) است گفته می شود مفصل، سیستم معادلاتی که هیچ راه حلی ندارد، ناسازگار.

اجازه دهید سه روش برای حل سیستم (2.4) ارائه کنیم.

قانون کرامر

تعیین کننده سیستم را از ضرایب مجهولات بسازید

(2.5)

اگر، پس سیستم (2.4) یک راه حل منحصر به فرد دارد که با فرمول های کرامر پیدا می شود:

که در آن، با جایگزین کردن ستون های اول، دوم و سوم به ترتیب با ستونی از شرایط آزاد سیستم (2.4) از تعیین کننده به دست می آید.

(2.7)

مثال 7سیستم را حل کنید

ما تعیین کننده سیستم (2.5) و تعیین کننده های , , (2.6) را محاسبه می کنیم.

از این رو سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد.

با فرمول های کرامر (2.6) متوجه می شویم:

می توانید با جایگزین کردن مقادیر مجهولات در معادلات سیستم، بررسی کنید.

بنابراین، x 1 \u003d x 2 \u003d x 3 \u003d 1راه حل سیستم است

روش گاوس

سیستم (2.4) را در نظر بگیرید:

روش گاوس و در غیر این صورت روش حذف متوالی مجهولات به شرح زیر است. اجازه دهید از معادلات 2 و 3 سیستم خارج شود x 1. ما سیستم را دریافت می کنیم:

ما یک سیستم مثلثی می گیریم. از معادله 3 پیدا می کنیم x 3، با جایگزینی آن در معادله 2، پیدا می کنیم x2، سپس از معادله 1 پیدا می کنیم x 1، جایگزین کردن در آن x2و x 3.

مثال 8سیستم را حل کنید

معادلات 3 و 1 را دوباره مرتب می کنیم به طوری که در معادله 1 ضریب x 1برابر 1 بود.

مستثنی کردن x 1از معادلات 2 و 3 برای انجام این کار، معادله 1 را در (-4) ضرب کنید و آن را به معادله 2 اضافه کنید. سپس معادله 1 را در (-6) ضرب کرده و به معادله 3 اضافه کنید. ما سیستم را دریافت می کنیم:

مستثنی کردن x2از معادله 3 برای انجام این کار، معادله 2 را در (13/10) ضرب کرده و به معادله 3 اضافه کنید. ما سیستم را دریافت می کنیم:

از آخرین معادله ای که پیدا می کنیم x 3= -1، معادله 2 را جایگزین می کنیم:

10x2 - 13(-1) = -7, -10x2 = - 20, x2 = 2.

جایگزین کردن x2و x 3وارد معادله 1 می شویم

بنابراین راه حل سیستم این است: x 1 = 1, x2 = 2, x 3 = -1.

حل سیستم با استفاده از ماتریس معکوس

سیستم داده شده: (2.8)

بیایید یک ماتریس بسازیم ولیاز ضرایب مجهولات، ماتریس ستون ایکس- از مجهولات، ماتریس-ستون AT- از اعضای رایگان.

,

سیستم (2.8) را می توان به صورت ماتریسی به صورت زیر نوشت:

ماتریس تصمیم ایکسطبق فرمول پیدا می شود:

A -1معکوس ماتریس است ولی، از مکمل های جبری عناصر ماتریس تشکیل شده است ولیبا فرمول (2.3):

- تعیین کننده یا ماتریس تعیین کننده ولی, .

مثال 9حل سیستم:

ماتریس ها را معرفی می کنیم: ,

ماتریس معکوس در مثال 6 محاسبه شد. با استفاده از فرمول (2.9)، ما یک راه حل برای سیستم پیدا می کنیم.

بنابراین، x 1=1, x2=1, x 3=1.

عناصر جبر برداری

بردار- بخش هدایت شده؛ با یا نشان داده شده است. ولیآغاز بردار است، AT- پایان.

طولیا مدول بردار با نشان داده می شود.

برنج. 21.

در فضای مختصات 0xyz، بردار را می توان به صورت نمایش داد

(3.1)

این فرمول می دهد بسط یک بردار بر حسب مبنابردارها , , ; , , - مختصات دکارتی مستطیلی بردار (در غیر این صورت، پیش بینی های بردار روی محورهای مختصات).

فرمول (3.1) را می توان به صورت زیر نوشت:

– بردار دارای مختصات , , .

طول(مدول) بردار با فرمول پیدا می شود:

. (3.2)

اگر بردار با مختصات مبدا داده شود A(x1، y1، z1)و پایان B(x2، y2، z2)، سپس مختصات با فرمول ها پیدا می شود:

اگر بسط بردارها و در امتداد محورهای مختصات مشخص باشد، در هنگام جمع (تفریق) بردارها، مختصات آنها به همان نام اضافه می شود (کاهش می شود)، هنگامی که یک بردار در یک عدد ضرب می شود، مختصات بردار ضرب می شود. این عدد یعنی

(3.4)

محصول نقطه ایبردارها و نشان داده شده با عدد برابر است با حاصلضرب طول این بردارها و کسینوس زاویه بین آنها

. (3.5)

اگر پس از آن

. (3.6)

اگر بردارها و خطی(موازی)، سپس

. (3.7)

اگر بردارها و متعامد(عمود)، سپس

یا (3.8)

مثال 10امتیاز داده شده الف 1(1,0,-1), A2(2,-1,1), الف 3(0،1،-2). با استفاده از جبر برداری، با توجه به آنچه پیدا می شود:

1) مختصات بردارها و .

ما از فرمول (3.3) استفاده می کنیم:

2) مختصات برداری

با استفاده از فرمول های (3.4) و (3.5)، به دست می آوریم

یا 1.2. طبق قانون مثلث ها: و طول بردار . پاسخ:

3. امتیاز A(0،-2،3)، B(2،1،4)، C(3،4،5) داده شده است. پیدا کردن:

الف) مختصات (پیش بینی) بردارها و

ب) مختصات برداری

ج) طول برداری

4. بردارها داده شده است حاصل ضرب اسکالر بردارها را بیابید.

5. ثابت کنید که بردارها و خطی هستند.

6. ثابت کنید که بردارها متعامد هستند.

سیستم های سه معادله خطی در سه مجهول

معادلات خطی (معادلات درجه یک) با دو مجهول

تعریف 1. معادله خطی (معادله درجه یک) با دو مجهول x و y معادله ای را نام می برند که شبیه آن است

راه حل . اجازه دهید از برابری (2) متغیر y را بر حسب متغیر x بیان کنیم:

از فرمول (3) بر می آید که تمام جفت اعداد فرم

که در آن x هر عددی است.

تذکر . همانطور که از حل مثال 1 پیداست، رابطه (2) دارد راه حل های بی نهایت زیاد. با این حال، توجه به این نکته ضروری است نه هر جفت عدد (ایکس; y) راه حلی برای این معادله است. برای بدست آوردن مقداری جواب معادله (2)، عدد x را می توان به عنوان هر عددی در نظر گرفت و سپس عدد y را با استفاده از فرمول (3) محاسبه کرد.

سیستم های دو معادله خطی در دو مجهول

تعریف 3. سیستمی متشکل از دو معادله خطی با دو مجهول x و y سیستمی از معادلات نامیده می شوند که شکل دارند

جایی که آ 1 , ب 1 , ج 1 , آ 2 , ب 2 , ج 2 اعداد داده می شود.

تعریف 4. در سیستم معادلات (4) اعداد آ 1 , ب 1 , آ 2 , ب 2 نامیده می شوند و اعداد ج 1 , ج 2 – اعضای رایگان.

تعریف 5. با حل سیستم معادلات (4)یک جفت عدد نام ببرید ایکس; y) ، که حل معادلات یک و دیگر سیستم (4) است.

تعریف 6. دو سیستم معادلات نامیده می شوند معادل (معادل)در صورتی که تمام جواب های سیستم معادلات اول، راه حل های سیستم دوم و همه حل های سیستم دوم راه حل های سیستم اول باشند.

هم ارزی سیستم های معادلات با نماد "" نشان داده می شود.

سیستم های معادلات خطی حل می شوند که به کمک آنها با مثال هایی توضیح می دهیم.

مثال 2. حل یک سیستم معادلات

راه حل . برای حل سیستم (5) مجهول را از معادله دوم سیستم حذف می کنیمایکس .

برای این منظور ابتدا سیستم (5) را به شکلی تبدیل می کنیم که در آن ضرایب x مجهول در معادلات اول و دوم سیستم یکسان می شود.

اگر معادله اول سیستم (5) در ضریب x در معادله دوم (عدد 7) ضرب شود و معادله دوم در ضریب x در معادله اول (عدد 2) ضرب شود، سیستم (5) شکل خواهد گرفت

حال اجازه دهید تبدیل های زیر را در سیستم (6) انجام دهیم:

• معادله اول را از معادله دوم کم کنید و معادله دوم سیستم را با اختلاف حاصل جایگزین کنید.

در نتیجه سیستم (6) به یک سیستم معادل تبدیل می شود

از معادله دوم پیدا می کنیم y= 3، و با جایگزینی این مقدار در معادله اول، دریافت می کنیم

پاسخ . (-2 ؛ 3).

مثال 3. تمام مقادیر پارامتر p را که سیستم معادلات آن است را بیابید

آ) راه حل منحصر به فردی دارد.

ب) راه حل های بی نهایت زیادی دارد.

که در) هیچ راه حلی ندارد.

راه حل . با بیان x بر حسب y از معادله دوم سیستم (7) و جایگزینی عبارت حاصل به جای x به معادله اول سیستم (7) به دست می آید.

اجازه دهید راه حل های سیستم (8) را بسته به مقادیر پارامتر p مطالعه کنیم. برای انجام این کار ابتدا معادله اول سیستم (8) را در نظر می گیریم:

y (2 - پ) (2 + پ) = 2 + پ

(9)

اگر یک ، سپس معادله (9) یک راه حل منحصر به فرد دارد

بنابراین، در صورتی که سیستم (7) تنها راه حل را دارد

اگر یک پ= - 2، سپس معادله (9) شکل می گیرد

و حل آن هر عددی است . بنابراین، راه حل سیستم (7) است مجموعه بی نهایتهمه جفت اعداد

,

جایی که y هر عددی است.

اگر یک پ= 2، سپس معادله (9) شکل می گیرد

و هیچ راه حلی ندارد، از آنجا که از آن سیستم پیروی می کند (7) هیچ راه حلی ندارد.

سیستم های سه معادله خطی در سه مجهول

تعریف 7. سیستمی متشکل از سه معادله خطی با سه مجهول x، y و z سیستم معادلات دارای شکل را صدا می زنند

جایی که آ 1 , ب 1 , ج 1 , د 1 , آ 2 , ب 2 , ج 2 , د 2 , آ 3 , ب 3 , ج 3 , د 3 اعداد داده می شود.

تعریف 8. در سیستم معادلات (10) اعداد آ 1 , ب 1 , ج 1 , آ 2 , ب 2 , ج 2 , آ 3 , ب 3 , ج 3 تماس گرفت ضرایب در مجهولو اعداد د 1 , د 2 , د 3 – اعضای رایگان.

تعریف 9. با حل سیستم معادلات (10)سه عدد را نام ببرید (ایکس; y ; z) , با جایگزینی آنها در هر یک از سه معادله سیستم (10)، برابری صحیح به دست می آید.

مثال 4. حل یک سیستم معادلات

راه حل . ما سیستم (11) را با استفاده از آن حل خواهیم کرد روش حذف متوالی مجهولات.

برای این، ابتدا مجهول را از معادلات دوم و سوم سیستم حذف می کنیم y با انجام تبدیل های زیر در سیستم (11):

• ما معادله اول سیستم را بدون تغییر رها می کنیم.
• معادله اول را به معادله دوم اضافه کنید و معادله دوم سیستم را با حاصل جمع جایگزین کنید.
• معادله اول را از معادله سوم کم کنید و معادله سوم سیستم را با اختلاف حاصل جایگزین کنید.

در نتیجه سیستم (11) به

معادله ای با یک مجهول که پس از باز کردن پرانتزها و کاهش عبارت های مشابه، شکل می گیرد

تبر + b = 0، که در آن a و b اعداد دلخواه هستند، فراخوانی می شود معادله خطی با یک ناشناخته امروز چگونگی حل این معادلات خطی را دریابیم.

به عنوان مثال، تمام معادلات:

2x + 3 \u003d 7 - 0.5x. 0.3x = 0; x / 2 + 3 \u003d 1/2 (x - 2) - خطی.

مقدار مجهولی که معادله را به یک برابری واقعی تبدیل می کند نامیده می شود تصمیم گیری یا ریشه معادله .

به عنوان مثال، اگر در معادله 3x + 7 \u003d 13 عدد 2 را به جای مجهول x جایگزین کنیم، برابری صحیح 3 2 + 7 \u003d 13 را به دست می آوریم. این بدان معنی است که مقدار x \u003d 2 راه حل است. یا ریشه معادله

و مقدار x \u003d 3 معادله 3x + 7 \u003d 13 را به یک برابری واقعی تبدیل نمی کند، زیرا 3 2 + 7 ≠ 13. بنابراین، مقدار x \u003d 3 یک راه حل یا ریشه معادله نیست.

حل هر معادله خطی به حل معادلات فرم تقلیل می یابد

تبر + b = 0.

عبارت آزاد را از سمت چپ معادله به سمت راست منتقل می کنیم، در حالی که علامت جلوی b را به سمت مقابل تغییر می دهیم.

اگر a ≠ 0 باشد، x = – b/a .

مثال 1 معادله 3x + 2 =11 را حل کنید.

2 را از سمت چپ معادله به سمت راست منتقل می کنیم، در حالی که علامت مقابل 2 را به عکس تغییر می دهیم، به دست می آید.
3x \u003d 11 - 2.

پس بیایید تفریق را انجام دهیم
3x = 9.

برای پیدا کردن x، باید محصول را بر یک عامل شناخته شده تقسیم کنید، یعنی:
x = 9:3.

بنابراین مقدار x = 3 جواب یا ریشه معادله است.

پاسخ: x = 3.

اگر a = 0 و b = 0، سپس معادله 0x \u003d 0 را بدست می آوریم. این معادله بی نهایت راه حل دارد، زیرا وقتی هر عددی را در 0 ضرب می کنیم، 0 می گیریم، اما b نیز 0 است. راه حل این معادله هر عددی است.

مثال 2معادله 5 (x - 3) + 2 = 3 (x - 4) + 2x - 1 را حل کنید.

بیایید براکت ها را گسترش دهیم:
5x - 15 + 2 \u003d 3x - 12 + 2x - 1.

5x - 3x - 2x \u003d - 12 - 1 + 15 - 2.

در اینجا اعضای مشابه وجود دارد:
0x = 0.

پاسخ: x هر عددی است.

اگر a = 0 و b ≠ 0 باشد، سپس معادله 0x = - b را بدست می آوریم. این معادله هیچ راه حلی ندارد، زیرا وقتی هر عددی را در 0 ضرب می کنیم، 0 می گیریم، اما b ≠ 0.

مثال 3معادله x + 8 = x + 5 را حل کنید.

اجازه دهید عبارات حاوی مجهولات را در سمت چپ و اصطلاحات آزاد را در سمت راست گروه بندی کنیم:
x - x \u003d 5 - 8.

در اینجا اعضای مشابه وجود دارد:
0x = - 3.

پاسخ: راه حلی وجود ندارد.

در شکل 1 طرحی برای حل معادله خطی نشان داده شده است

اجازه دهید یک طرح کلی برای حل معادلات با یک متغیر بسازیم. راه حل مثال 4 را در نظر بگیرید.

مثال 4 بیایید معادله را حل کنیم

1) تمام عبارات معادله را در کمترین مضرب مشترک مخرج ها، برابر با 12 ضرب کنید.

2) پس از کاهش می گیریم
4 (x - 4) + 3 2 (x + 1) - 12 = 6 5 (x - 3) + 24x - 2 (11x + 43)

3) برای جدا کردن اعضای حاوی اعضای مجهول و مجهول، براکت ها را باز کنید:
4x - 16 + 6x + 6 - 12 \u003d 30x - 90 + 24x - 22x - 86.

4) در یک قسمت اصطلاحات حاوی مجهولات را گروه بندی می کنیم و در قسمت دیگر - اصطلاحات رایگان:
4x + 6x - 30x - 24x + 22x \u003d - 90 - 86 + 16 - 6 + 12.

5) در اینجا اعضای مشابه وجود دارد:
- 22x = - 154.

6) تقسیم بر - 22، دریافت می کنیم
x = 7.

همانطور که می بینید، ریشه معادله هفت است.

به طور کلی، چنین معادلات را می توان به صورت زیر حل کرد:

الف) معادله را به شکل عدد صحیح بیاورید.

ب) پرانتز باز.

ج) عبارات حاوی مجهول را در یک قسمت از معادله و عبارات آزاد را در قسمت دیگر گروه بندی کنید.

د) اعضای مشابه را بیاورید.

ه) معادله ای به شکل aх = b که پس از آوردن عبارت های مشابه به دست آمده را حل کنید.

با این حال، این طرح برای هر معادله مورد نیاز نیست. هنگام حل بسیاری از معادلات ساده تر، باید نه از اولی، بلکه از دومی شروع کرد. مثال. 2)، سوم ( مثال. 13) و حتی از مرحله پنجم مانند مثال 5.

مثال 5معادله 2x = 1/4 را حل کنید.

ما مجهول x \u003d 1/4: 2 را پیدا می کنیم،
x = 1/8 .

حل برخی از معادلات خطی که در آزمون دولتی اصلی با آن مواجه می شوند را در نظر بگیرید.

مثال 6معادله 2 (x + 3) = 5 - 6x را حل کنید.

2x + 6 = 5 - 6x

2x + 6x = 5 - 6

پاسخ: - 0.125

مثال 7معادله را حل کنید - 6 (5 - 3x) \u003d 8x - 7.

– 30 + 18x = 8x – 7

18x - 8x = - 7 +30

پاسخ: 2.3

مثال 8 معادله را حل کنید

3 (3x - 4) = 4 7x + 24

9x - 12 = 28x + 24

9x - 28x = 24 + 12

مثال 9 F(6) را پیدا کنید اگر f (x + 2) = 3 7's

راه حل

از آنجایی که باید f(6) را پیدا کنیم، و f (x + 2) را می دانیم،
سپس x + 2 = 6.

معادله خطی x + 2 = 6 را حل می کنیم،
ما x \u003d 6 - 2، x \u003d 4 را دریافت می کنیم.

اگر x = 4 پس
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

جواب: 27.

اگر هنوز سؤالی دارید، تمایل به درک کاملتر حل معادلات وجود دارد، برای درس های من در برنامه ثبت نام کنید. من خوشحال خواهم شد که به شما کمک کنم!

TutorOnline همچنین توصیه می کند یک آموزش ویدیویی جدید از معلم ما اولگا الکساندرونا تماشا کنید، که به شما کمک می کند هم معادلات خطی و هم معادلات دیگر را درک کنید.

سایت، با کپی کامل یا جزئی از مطالب، لینک به منبع الزامی است.